LICEUM I TECHNIKUM. Matematyka. Podręcznik ZAKRES PODSTAWOWY

Transkrypt

1 LICEUM I TECHNIKUM 1 Matematyka Podręcznik ZAKRES PODSTAWOWY

2

3 Spis treści Równania i nierówności Liczby wymierne... 1 Liczby niewymierne... 0 Zapisywanie i przekształcanie wyrażeń algebraicznych... 4 Twierdzenia. Dowodzenie twierdzeń Równania i układy równań pierwszego stopnia Przekształcanie wzorów Zbiory Przedziały liczbowe... 5 Nierówności pierwszego stopnia Równania kwadratowe Wyróżnik równania kwadratowego Równania wyższych stopni Powtórzenie... 7 Praca badawcza. Kolorowe prostokąty Figury geometryczne Kilka uwag wstępnych przed rozdziałem z geometrii Kąty Kąty w trójkątach i czworokątach Własności trójkątów Czworokąty Wielokąty Wielokąty foremne Pole koła. Długość okręgu Kąt środkowy. Kąt wpisany Okręgi i proste Wielokąty wpisane w okrąg i wielokąty opisane na okręgu Powtórzenie Praca badawcza. Środek ciężkości

4 Funkcje Pojęcie funkcji Monotoniczność funkcji Wzory i wykresy funkcji Funkcja liniowa Przesuwanie wykresów funkcji Przekształcanie wykresów funkcji Powtórzenie Praca badawcza. Prosta regresji Własności funkcji kwadratowej Przesuwanie paraboli Funkcja kwadratowa Funkcjakwadratowa(cd.)... 0 Nierówności kwadratowe Zastosowania funkcji kwadratowej Powtórzenie Praca badawcza. Parabola... 0 Trygonometria Tangens kąta ostrego... 4 Tangens (cd.)... 9 Funkcje trygonometryczne kątów ostrych Zastosowania trygonometrii... 4 Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30,45 i Związki między funkcjami trygonometrycznymi Funkcje trygonometryczne Powtórzenie... 6 Praca badawcza. Schody

5 Równania i nierówności Najlepsi koszykarze potrafią skoczyć tak wysoko, że mogą znaleźć się nawet 1 m nad ziemią. Czy zastanawiałeś się, jak długo trwa wyskok koszykarza? Liczby wymierne Liczby niewymierne Zapisywanie i przekształcanie wyrażeń algebraicznych Twierdzenia. Dowodzenie twierdzeń Równania i układy równań pierwszego stopnia Przekształcanie wzorów Zbiory Przedziały liczbowe Nierówności pierwszego stopnia Równania kwadratowe Wyróżnik równania kwadratowego Równania wyższych stopni 11

6 ICZBY WYMIERNE A B LICZBY WYMIERNE 1. Liczby 1,6 i 0,05 zapisz w postaci ułamków zwykłych nieskracalnych.. Każdą z liczb 1 5, 3 0 i 4 zapisz w postaci ułamka dziesiętnego Która z liczb jest większa:,(6) czy,67? Jak wiadomo, każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada pewna liczba i odwrotnie, każdej liczbie odpowiada pewien punkt na osi liczbowej. Wszystkie liczby, które odpowiadają punktom na osi liczbowej, nazywamy liczbami rzeczywistymi. Uwaga. Być może zastanawiałeś się, dlaczego wprowadzono nazwę liczby rzeczywiste. Czyżby były jakieś inne liczby? Okazuje się, że matematycy posługują się także liczbami innymi niż rzeczywiste, np. liczbami, które nazwali zespolonymi. (Będziesz mógł je poznać, gdy po maturze wybierzesz studia związane z naukami ścisłymi). Liczby naturalne 0, 1,, 3, 4,... Liczby całkowite..., 3,, 1, 0, 1,, 3,... Przyjrzyj się osi liczbowej narysowanej poniżej. Wśród liczb zaznaczonych kropkami są liczby całkowite, ułamki zwykłe i dziesiętne (zarówno dodatnie, jak i ujemne). Każdą z tych liczb zapisano jako pewien iloraz. Liczby, które można przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych, nazywamy liczbami wymiernymi. Na osi liczbowej zaznaczono przykłady takich liczb. 1. Zapisz podane liczby w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych ,14 0, Jakie liczby zaznaczono kropkami na osiach liczbowych? 1 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

7 Każdą liczbę wymierną (iloraz liczb całkowitych) można zapisać w postaci dziesiętnej, czyli podać jej rozwinięcie dziesiętne. Wystarczy w tym celu wykonać dzielenie. Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej może być skończone (po przecinku może występować skończenie wiele cyfr). Może też być nieskończone (po przecinku występuje nieskończenie wiele cyfr), wówczas jednak zawsze od pewnego miejsca powtarza się jakaś cyfra lub grupa cyfr, zwana okresem. 9 = 1,15 79 = 1, = 1,4(36) 8 55 C 1. Znajdź rozwinięcie dziesiętne liczby 1 40 iliczby Podaj dziesiątą cyfrę po przecinku liczby 0,01(301) oraz liczby 1,(36). Liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Jest też na odwrót. Każda liczba podana w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego lub nieskończonego okresowego jest równa pewnemu ilorazowi liczb całkowitych, czyli jest liczbą wymierną. P Zapisz liczbę 1,5(7) w postaci ułamka zwykłego. a = 1, a = 100 1, = 157,777...= 157,(7) 10 a =10 1, = 15,777...= 15,(7) 100a 10a =90a Oznaczmy liczbę 1,5(7) literą a. Znajdujemy takie wielokrotności liczby a, aby w każdej z nich po przecinku występowały jednakowe cyfry. 157,(7) 15,(7) = 14 Zatem: 90a = 14 a = = Wobec tego: 1,5(7) = LICZBY WYMIERNE 13

8 ZADANIA 1. Uzasadnij, że podana liczba jest liczbą wymierną. a) b) 7 c) 0,09 d) 1,14. Korzystając z kalkulatora, znajdź rozwinięcia dziesiętne liczb: a) Czy rozwinięcia dziesiętne zapisane obok mógłbyś znaleźć za pomocą swojego kalkulatora? b) Korzystając z równości podanych obok, zapisz rozwinięcia dziesiętne liczb: = 0,( ) 9 5 = 0,17(30769) = 0,05(7) 4. Uporządkuj podane liczby od najmniejszej do największej. a) 0, 0,0 0, 0,0 b) 0, ,333 0,(30) 5. a) Jaka jest trzynasta cyfra po przecinku, a jaka setna liczby 3,0(15)? b) Na którym miejscu po przecinku w rozwinięciach dziesiętnych liczb 1,8(39) i 0,(134567) występuje ta sama cyfra? 6. Podaj rozwinięcia dziesiętne liczb: 1 9, 9, 3. Co zauważyłeś? Zapisz w postaci 9 ułamków zwykłych liczby: 0,(4), 0,(5), 0,(6), 0,(7), 0,(8). 7. Znajdź ułamki zwykłe lub liczby mieszane równe liczbom: a) 1,(41) b) 0,(1) c) 3,1(4) d) 7,0(51) 8. Oblicz w pamięci (wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego): a) 5 e) 4 ( i) 1 ) ( 3 ) ( m) 1 1 ) b) f) j) 5 1 : 1 ( n) ) 4 c) g) d) 5 6 h) k) 1 1 o) 5 : 5 l) 3 ( 5 : p) 6: 1 1 ) 9. Oblicz: a) b) c) d) 4 4 ( ) 6 e) 4 4 ( 9 ( f) 8 ) ) 8 : ( ) g) 6 1 ( 3 : ) 9 h) 5 5 ( 9 : 5 5 ) RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

9 10. Podaj wynik działania: a),6+3,15 c) 0,4 + 0,3 e) 1,5 g) 8,4 : b) 0,4 d) 0, 0,03 f) 4 ( 1,) h) 0,3 : ( 4) 11. Oblicz, nie używając kalkulatora: a) 0,1 0,3 c) 50 0,007 e) 3,3 : 0,8 g) ( 0,004) 3,5 b) 4,5 d) 0,03 0,7 f) ( 0,64) : 0,8 h) ( 0,) ( 0,105) 0,05 1. Oblicz (postaraj się liczyć w pamięci): a) 1 +0, , ,3 c) 5 ( 4) 0, 5 0,05 ( 0,07) 6 3 b) 0, ,5 5 3,5 d) 7 3 : 1 7 : 0,01 4 : 0, Znajdź liczbę a, odwrotność liczby a i liczbę przeciwną do a. Która z tych liczb jest największa, a która najmniejsza? a) a =4,4 3, 1 1 b) a =1 3 1, Dla a = 0 odwrotność liczbya to 1 a. c) a = ( 5 3 ) 8 11,65 : ( ) 14. Panowie Kowalski i Nowak podzielili kwotę 700 zł w stosunku 1 : 3. Pan Nowak otrzymał więcej pieniędzy. Które zdanie jest prawdziwe? 1 Pan Kowalski otrzymał 1 kwoty 700 zł. 4 Pan Nowak otrzymał 3 razy mniej pieniędzy niż pan Kowalski. 3 Różnica między kwotą, którą otrzymał Kowalski, a kwotą, którą otrzymał Nowak, wynosi 1350 zł. 4 Gdyby pan Nowak oddał panu Kowalskiemu trzecią część pieniędzy, to obaj mieliby tyle samo. Art W pierwszej kolejności powołane są z ustawy do spadku dzieci spadkodawcy oraz jego małżonek; dziedziczą oni w częściach równych. Jednakże część przypadająca małżonkowi nie może być mniejsza niż jedna czwarta całości spadku. 15. Przeczytaj fragment Kodeksu cywilnego. Pewien mężczyzna zmarł. Wartość wspólnego majątku jego i żony wyceniono na 600 tys. zł. Połowę tego majątku stanowi własność żony, a połowa (spadek po zmarłym) została rozdzielona pomiędzy żonę i dwoje dzieci, zgodnie z zasadami określonymi w Kodeksie cywilnym. Jaki spadek przypadnie każdemu z dzieci? Jaka część spadku przypadłaby każdemu z dzieci, gdyby było ich pięcioro? LICZBY WYMIERNE 15

10 16. Porównaj liczby: a) i 8 9 b) i 16 7 c) 0,1 i d) 0,48 i 4 43 Aby porównać dwie liczby dodatnie a i b, wystarczy obliczyć ich iloraz. Jeśli a b >1, to a > b. ciekawostka W trakcie badania dużych grup etnicznych zauważono pewne prawidłowości. Zdecydowanie najmniej osób ma grupę krwi AB. Odsetek ludzi z tą grupą nie przekracza kilkunastu procent. W większości narodów występują wszystkie grupy krwi, ale najczęściej jedna z grup ma pewną przewagę. Na przykład wśród Polaków, Szwedów i Japończyków najwięcej jest ludzi z grupą krwi A, a wśród Turków, Szkotów i Wietnamczyków większość stanowią ludzie zgrupąkrwi0. W niektórych społeczeństwach zauważa się bardzo wyraźną przewagę występowania jednej lub dwóch grup krwi. Jest tak na przykład wśród Indian peruwiańskich i brazylijskich, gdzie 100% populacji ma grupę krwi 0. Wśród Aborygenów z Australii nie ma osób z grupą krwi B ani z grupą AB. 17. Odsetek osób z poszczególnymi grupami krwi jest różny w różnych krajach. Dane o kilku różnych narodowościach podano w postaci diagramów kołowych. a) W USA żyje 1,9 mln Indian. Ile jest wśród nich osób z grupą krwi AB, a ile zgrupąkrwi0? b) Greków z grupą krwi AB jest 530 tys. Ilu Greków ma krew grupy 0? c) Arabów z grupą krwi A jest o 4 mln więcej niż z grupą krwi B. Ilu Arabów ma krew grupy A, a ilu grupy B? d) 387,6 mln Hindusów ma krew grupy 0. Czy Hindusów z grupą krwi AB jest więcej czy mniej niż Arabów z grupą krwi 0? 16 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

11 18. Zapisz dowolną liczbę dwucyfrową większą od 50. a) Oblicz w pamięci: 10%, 5%, 1%, 0,5%, 0,01%, 0%, 5%, 50%, 150% oraz 1000% tej liczby. b) Podaj liczbę o 10% od niej mniejszą oraz liczbę o 5% od niej większą. 3% liczby a to 0,3a 0,7% liczby a to 0,007a 19. Oblicz: a) 17% liczby 18, c) 1,5% liczby 140, b) 0,6% liczby 10, d) 1,06% liczby Znajdź liczbę: a) o 15% większą od 106, b) o 7% mniejszą od 8800, c) o 10% większą od 166, d) o 1,6% mniejszą od 000, e) o 0,% większą od Liczba o 3% większa od a jest równa 1,3a Liczba o 3% mniejsza od a jest równa 0,77a Lp. Masa podana Masa na opakowaniu rzeczywista g ± 10% 38 g. 35 g ± % 36 g g ± 1% 445 g 1. Na opakowaniach podaje się często oprócz masy produktu maksymalną różnicę pomiędzy masą podaną na opakowaniu a masą rzeczywistą. W których wypadkach spośród opisanych w tabeli rzeczywista masa produktu jest zgodna z warunkami podanymi na opakowaniu?. Znajdź liczbę, której: a) 7,5% wynosi 150, d),5% wynosi 8, b) 115% wynosi 69, e) 0,07% wynosi 3,5, c) 50% wynosi 1500, f) 96% wynosi 43. Liczba, której 3,5% wynosi 18, spełnia równanie: 0,035 x =18 3. Znajdź liczbę a, wiedząc,że: a) liczba o 0% większa od a jest równa 18,6, b) liczba o 0,05% większa od a to 0,01, c) liczba o 30% mniejsza od a to 3,9, d) liczba o 0,6% mniejsza od a to 576,5. 4. a) Jaki procent liczby 56 stanowi liczba 7? b) Jaki procent liczby 6 stanowi liczba 10? Aby obliczyć, jakim procentem liczby a jest liczba b, wystarczy obliczyć, jakim ułamkiem liczby a jest liczba b, a następnie wyrazić ten ułamek w procentach. 5. a) O ile procent większa od liczby 5 jest liczba 30? b) O ile procent mniejsza od liczby 10 jest liczba 80? LICZBY WYMIERNE 17

12 samochody osobowe 644 tys. (1,7%) papier i tektura 1830 tys. t (0,6%) odkurzacze 1,31 mln (3,8%) złoto 0,5 t (0,0%) 6. Obok podano, ile poszczególnych towarów produkuje się rocznie w Polsce. W nawiasie podano, jaki to procent produkcji światowej. Oblicz, ile na świecie produkuje się tych towarów. 7. a) Komputer kosztuje netto 4000 zł. Stawka VAT wynosi 3%. Ile złotych brutto kosztuje ten komputer? b) Do ceny mieszkania doliczono 8-procentowy VAT w wysokości zł. Jaka jest cena netto tego mieszkania? c) Na słoiku miodu podano cenę netto 1 zł i cenę brutto 1,60 zł. Oblicz stawkę VAT. Cena netto to cena bez podatku od towarów i usług (VAT). Gdy doliczamy do niej ten podatek, otrzymujemy cenę brutto (taką cenę płacimy w sklepie). Stawka VAT wskazuje, jaki procent ceny netto (a nie brutto!) stanowi VAT. Jeśli wpłacimy pieniądze do banku na lokatę roczną lub krótszą, to po upływie terminu lokaty bank zwiększy stan naszego konta o pewną kwotę pieniędzy, zwaną odsetkami. Odsetki zależą oczywiście od wielkości wpłaconej kwoty oraz od oprocentowania danej lokaty. Oprocentowanie podawane jest zawsze w skali roku, np. jeśli oprocentowanie lokaty kwartalnej wynosi p %, to po upływie kwartału bank dolicza odsetki wynoszące 1 p % wpłaconej kwoty. 4 Przy lokatach wieloletnich po każdym roku do aktualnego stanu konta bank dolicza odsetki. 8. Zapoznaj się z ofertą banku przedstawioną obok i oblicz, ile wyniosą odsetki po upływie terminu lokaty, jeśli wpłacimy: a) 3100 zł na lokatę roczną, b) 1300 zł na lokatę półroczną, c) 5000 zł na lokatę trzymiesięczną. OPROCENTOWANIE LOKAT (w stosunku rocznym) 1 miesięcy 6% 6miesięcy 5% 3miesiące 4% 9. a) Ile złotych trzeba wpłacić na lokatę kwartalną, aby odsetki po upływie terminu lokaty wyniosły 500 zł, jeśli oprocentowanie tej lokaty wynosi 5% w skali roku? b) Jakie musiałoby być oprocentowanie w skali roku lokaty półrocznej, aby odsetki od kwoty 400 zł wyniosły po upływie terminu lokaty 15 zł? 18 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

13 Odsetki, które dopisuje bank do naszych oszczędności, traktowane są przez państwo jako nasz dochód. Dlatego musimy zapłacić od nich podatek. Podatek ten wynosi w Polsce 19% kwoty odsetek i jest automatycznie przekazywany przez bank do skarbu państwa. Przypuśćmy na przykład, że złożyliśmy w banku kwotę zł na lokacie rocznej, której oprocentowanie wynosi 6%. Po roku bank doliczy nam 6% odsetek, tzn. kwotę 0, zł = 600 zł. Jednak 19% tej kwoty, czyli 0, zł = 114 zł bank przekaże do skarbu państwa. Do naszych oszczędności zostanie dopisana kwota 486 zł. Można więc powiedzieć, że oprocentowanie netto tej lokaty wynosi = 0,0486 4,9%. 486 zł zł 30. a) Jaki podatek zapłaci osoba, która wpłaciła 1500 zł na lokatę roczną, jeśli oprocentowanie wynosi 5%? b) Jaki podatek od odsetek zapłaci osoba, która wpłaciła 750 zł na lokatę dwumiesięczną, jeśli oprocentowanie tej lokaty wynosi 3%? c) Jaką kwotę odsetek (netto) otrzymałbyś po roku od wpłacenia 000 zł na lokatę roczną, której oprocentowanie wynosi 8%? d) Oprocentowanie lokaty wynosi 7%. Jakie jest oprocentowanie netto tej lokaty? 31. a) San Marino to jedno z najmniejszych państw Europy. Jego mieszkańcy stanowią 0,037 europejczyków. Ile to procent? 1 1 (czyt. promil) wielkości to tej wielkości = = 0,1 100 =0,1% b) W Polsce 99,8% dorosłych umie czytać i pisać. Wyraź w promilach, ilu analfabetów jest wśród dorosłych mieszkańców Polski. 3. Znajdź: a) liczbę o 0% większą od liczby o 15% większej od 10, b) liczbę o 30% mniejszą od liczby o 0% mniejszej od 10, c) liczbę o 15% większą od liczby stanowiącej 80% liczby 45, d) liczbę stanowiącą 60% liczby o 0% większej od W pewnych wyborach wzięło udział 40% uprawnionych do głosowania. Zwycięska partia zdobyła 40% głosów. Ile procent uprawnionych do głosowania oddało głos na tę partię? 34. a) Cenę pewnego produktu zwiększono najpierw o 30%, a potem jeszcze o 40%. O ile procent wyższa jest obecna cena od ceny początkowej? b) Cenę produktu zwiększono o 0%, a potem zmniejszono o 50%. O ile procent obecna cena jest mniejsza od ceny początkowej? LICZBY WYMIERNE 19

14 35. Ustal, ile jest liczb całkowitych spełniających warunek: a) a =7 e) a 0 b) 7 = a f) a < a < c) a < 10,7 g) 10 a 15 d) a 5 h) a < 100 i a < Podaj przykłady liczb spełniających podane warunki. a = a c = c b = b d = d Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba. Wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna. Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy symbolem a. Możnatozapisać krócej: { a dla a 0 a = a dla a <0 TEST T1. Liczba 7 8 leży na osi liczbowej w takiej samej odległości od liczby 1 1 jak liczba: A. 3 4 B C D T. Na egzaminie Ania zdobyła 8 punktów, czyli 40% wszystkich możliwych do zdobycia punktów. Ile najwięcej punktów można było otrzymać na tym egzaminie? A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 T3. Dla liczby a = 7 spełniony jest warunek: A. a +1 =8 B. 7 a =14 C. a 1 =6 D. 7 a =0 LICZBY NIEWYMIERNE IERNE A 1. Zapisz podane liczby w postaci ułamka zwykłego. 0,7 1,75 1,(6). Jaką długość ma przekątna kwadratu o boku 1? Nie każda liczba rzeczywista jest liczbą wymierną. Na przykład liczby nie można przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych (dowód tego faktu znajduje się na str. 33). Liczby rzeczywiste, których nie da się przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych, nazywamy liczbami niewymiernymi. 0 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

15 Jeśli liczba naturalna n nie jest kwadratem innej liczby naturalnej, to n jest liczbą niewymierną. Liczby, 3, 5, 6, 7, 8, 10 itd. są więc liczbami niewymiernymi. Suma (różnica) liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną. Na przykład niewymierne są liczby 1 + i3,5 3. Iloczyn (iloraz) liczby niewymiernej i liczby wymiernej różnej od 0 jest liczbą niewymierną. Na przykład niewymierne są liczby 3 7i. Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych zawsze mają nieskończenie wiele cyfr po przecinku. Nigdy jednak nie można wskazać grupy cyfr powtarzającej się w nieskończoność. Na osi liczbowej zaznaczono kropkami kilka przykładów takich liczb. Liczby niewymierne mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone i nieokresowe. Jest też na odwrót. Liczba, która ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe, jest liczbą niewymierną. Na przykład liczby zapisane poniżej mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone i nieokresowe (cyfry rozwinięć zapisywane są według takiej reguły, że nie można wskazać miejsca, od którego powtarza się stale ta sama grupa cyfr). Liczby te są niewymierne (żadnej z nich nie można zapisać w postaci ilorazu liczb całkowitych). a = 0, b = 0, ciekawostka Liczby niewymierne pojawiają się w naturalny sposób w geometrii, na przykład długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 jest równa, długość przekątnej prostokąta o bokach długości 1 i jest równa 5itp. Popatrz, jak można dokładnie wyznaczyć na osi liczbowej liczby 1 5, oraz LICZBY NIEWYMIERNE 1

16 ZADANIA 1. Które z podanych liczb są niewymierne? a = 5 1 c = 0, e = 5,13(78) g =π + 7 b = d = 3 f = 817 h = Zapisz rozwinięcia dziesiętne podanych liczb do siódmego miejsca po przecinku. a =+ d =1,41+ g = b = 3 1 e = π +3,14 h = π 10 0, c = π 3 f =10 3 i = 100 1,41 = 1, = 1, π = 3, Podaj przykład liczby niewymiernej większej od 100 oraz przykład liczby niewymiernej mniejszej od Uzupełniając podane zdanie dwoma (różnymi) wyrazami wybranymi spośród wymienionych (oczywiście w odpowiednim przypadku gramatycznym), można wypowiedzieć różne zdania. Ile zdań prawdziwych można w ten sposób utworzyć? naturalna całkowita wymierna niewymierna rzeczywista Każda liczba... jest liczbą.... Przykłady zaokrąglania liczb: do setek: 39, do dziesiątek: 39, do jedności: 39, do części dziesiątych: 39,853 39,9 5. Każdą z podanych liczb zaokrąglij do setek, do jedności oraz do części setnych. p = 587,691 q = 551,199 r = 999,3 s =1,(3) t = 5,(47) u = 1000π v = 513,5 + w = 0, Podaj zaokrąglenie do części tysięcznych liczby: a) d) ,004 b) 0,1 11 e) 17 0,013 c) 5 f) , =, =, = 3, = 3, = 4, = 4, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

17 7. Na osi liczbowej zaznaczono kilka liczb. Podaj zaokrąglenia każdej z nich do jedności, do części dziesiątych oraz do dziesiątek. 8. Liczba a = 0, jest niewymierna. Znajdź takie liczby dodatnie b i c (różne od a), aby liczby a + b i a c były liczbami wymiernymi. 9. Uporządkuj podane liczby od najmniejszej do największej. a) 1, b) 0,66 3 0,0(6) 10. Podaj przykład liczby wymiernej spełniającej warunek: a) 0<a < b) <b < 3 c) 1000π < c < Podaj przykład liczby niewymiernej spełniającej warunek: a) 1<a < b) 0<b <1 c) 3<c < 3 1. Oszacuj, między jakimi kolejnymi liczbami całkowitymi leżą na osi liczbowej liczby: 40, 85, 157, Podaj przykłady dwóch liczb niewymiernych, których odległość od 0 (na osi liczbowej) jest mniejsza od Zapisz, nie używając symbolu wartości bezwzględnej: a) c) 3 3 e) 3 0,3 b) d) 1,(41) f) 3π 9,4 TEST T1. Na którym rysunku zaznaczono na osi liczbowej liczbę 5? T. Która z podanych liczb jest liczbą wymierną? A. 3 3 B C D LICZBY NIEWYMIERNE 3

18 RZEKSZTAŁCANIE ZAPISYWANIE I PRZEKSZTAŁCANIE WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH A 1. Oblicz wartość wyrażenia 3x x dla x =. B. Zapisz w jak najprostszej postaci wyrażenie x ++a + 8x a. 3. Zapisz wyrażenie (5 3x) w postaci sumy algebraicznej. 1. Popatrz na rysunek. Kolejne figury układane są z zapałek według pewnej reguły. Jakimi wyrażeniami należy zastąpić w tabelce znaki zapytania? Numer figury n Liczba zapałek ???. Przyjrzyj się kolejnym figurom układanym z zapałek. Z ilu zapałek powinna być ułożona czwarta figura, z ilu piąta, a z ilu n-ta figura? W ćwiczeniu B należało sformułować ogólne reguły, według których układano zapałczane figury. Przykłady wyrażeń algebraicznych: n + x y 7 (a + b)h a 3 4 mgh a b 3(a + b) c +7 Takie uogólnienia, zapisywane za pomocą wyrażeń algebraicznych, bardzo często występują w matematyce i innych dziedzinach wiedzy. Na przykład: Pole trójkąta równobocznego o boku długości a obliczamy ze wzoru: P = a 3 4. Liczba przekątnych w wielokącie o n bokach wynosi 1 n(n 3). Dawka leku o nazwie Winkrystyna dla dziecka, które waży m kilogramów (m > 1), powinna wynosić 0,03m + 0,6 miligramów na dobę. 4 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

19 Wyrażenia algebraiczne występują w różnych wzorach, twierdzeniach, definicjach, równaniach i nierównościach. W poniższych przykładach pokazujemy, jak można przekształcać wyrażenia algebraiczne. P a) 3x(x + y) 5(x xy +3)= =6x +3xy 5x +10xy 15= = x +13xy 15 Każdy składnik pierwszej sumy mnożymy przez każdy składnik drugiej sumy. Następnie redukujemy wyrazy podobne. b) (a + b)(a 3b +1)= =a 6ab +a + ba 3b + b = =a 3b 5ab +a + b Przekształcając wyrażenia algebraiczne, możemy korzystać z tzw. wzorów skróconego mnożenia, które są podane obok. Każdą z równości zapisanych obok można udowodnić, przekształcając jedną z jej stron, tak aby otrzymać drugą. Kwadrat sumy: (a + b) = a +ab + b Kwadrat różnicy: (a b) = a ab + b Różnica kwadratów: a b =(a + b)(a b) Na przykład: aby udowodnić równość (a + b) = a +ab + b,najwygodniej przekształcić lewą stronę (L) równości, tak aby otrzymać prawą stronę (P). L=(a + b) =(a + b)(a + b) =a + ab + ba + b = a +ab + b =P Uzasadniając równość a b =(a + b)(a b), najwygodniej zacząć od przekształcania prawej strony. P=(a + b)(a b) =a ab + ba b = a b =L C Uzasadnij wzór (a b) = a ab + b. ZAPISYWANIE I PRZEKSZTAŁCANIE WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH 5

20 ciekawostka Wzory skróconego mnożenia (dla liczb dodatnich) można zinterpretować geometrycznie. Na przykład wzór na kwadrat sumy możemy zilustrować tak jak na rysunku. Kwadrat o boku a + b podzielono na dwa mniejsze kwadraty o polach a i b oraz dwa takie same prostokąty każdy o polu ab. Pole całego kwadratu to suma pól tych czterech części, stąd otrzymujemy równość: (a + b) = a +ab + b Wzory skróconego mnożenia ułatwiają przekształcanie niektórych wyrażeń algebraicznych. P a)(4+3x) = x +(3x) =16+4x +9x b) (5 + x) +(1 5x) =5+ 5x + x +1 5x +(5x) =6+6x c) (4x y ) =(4x) 4x y + ( y ) =16x 8xy + y 4 d) (a 3)(a + 3) = (a) ( 3) =4a 3 W kilku rozważanych dotąd przykładach przekształcaliśmy iloczyny wyrażeń algebraicznych, otrzymując sumy algebraiczne. Czasami możemy wykonać operację odwrotną zapisać sumę algebraiczną w postaci iloczynu. W niektórych wypadkach można to osiągnąć, wyłączając wspólny czynnik przed nawias. P a) 15x 0xy =5x(3x 4y) 5x 3x 5x 4y b) 8m n + 6m 3 + m =m(4mn +3m +1) m 4mn m 3m m 1 c) a a + ab b = a(a )+b(a )=(a )(a + b) a(a ) b(a ) wspólny czynnik d) ab +10a + b 5 =a(b +5)+(b 5)(b +5)=(b + 5)(a + b 5) a(b +5) (b 5)(b + 5) wspólny czynnik 6 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

21 ZADANIA 1. Przyjrzyj się rysunkom. Z ilu kwadracików zbudowano te figury? Z ilu kwadracików powinna być zbudowana czwarta, a z ilu n-ta figura?. Przyjmujemy w tym zadaniu, że liczby oznaczone literami są dodatnie. Zapisz: a) połowę sumy liczb a i b, b) liczbę 5 razy większą od sumy liczb a i b, c) sumę liczby n i liczby o 5 większej od n, d) liczbę 4 razy mniejszą od kwadratu liczby n, e) liczbę o 3 mniejszą od liczby razy mniejszej od x. 3. Przyjmujemy, że liczby a, b i c oraz p są dodatnie. Zapisz: a) 10% liczby a, 130% liczby b, % liczbyc, b) liczbę o 40% większą od a, o 7% większą od b, o 0,5% większą od c, c) liczbę o 15% mniejszą od a, o 6% mniejszą od b, o 80% mniejszą od c, d) p% liczby 7, p% liczbya, 4. Uzasadnij, że jeśli cenę zwiększymy o p %, a następnie o q %, to otrzymamy taki sam wynik, jak gdybyśmy najpierw zwiększyli ją o q %, a następnie o p %. 5. a) Zapisz liczby przeciwne do liczb: a n b c x 7 b) Zapisz odwrotności liczb: r 1 x p 3a b 5 y Liczbą przeciwną do liczby a jest liczba a. Dla a = 0odwrotność liczby a to 1 a. 6. Kilogram jabłek kosztuje j złotych, gruszek g złotych, a pomarańczy p złotych. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego odpowiedzi na poniższe pytania. a) Pani Ania kupiła 5 kg pomarańczy, a pani Bożena kg jabłek. Pani Ania zapłaciła więcej. O ile złotych więcej? b) Iwona kupiła 5 kg jabłek,,5 kg gruszek i pomarańcze, które ważyły 78 dag. Zapłaciła banknotem pięćdziesięciozłotowym. Ile złotych reszty otrzymała? c) Janek kupił pomarańcze i zapłacił 15,70 zł. Ile ważyły te pomarańcze? d) Jarek kupił jabłka, które ważyły a kilogramów i b dekagramów, oraz gruszki, które ważyły c dekagramów. Ile złotych zapłacił za te zakupy? e) Przed zamknięciem sklepu cenę jabłek obniżono o 10%, a cenę gruszek o 0%. Ostatni klient kupił po obniżonych cenach 4 kg jabłek i kg gruszek. Ile zapłacił? O ile więcej by zapłacił, gdyby kupił te same ilości owoców przed obniżką cen? ZAPISYWANIE I PRZEKSZTAŁCANIE WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH 7

22 7. Oblicz wartość wyrażenia algebraicznego: a) 3ab 5a b dla a =4 i b = 1, c) 4y 3z z dla y = 1 i z =, b) 5(m n)(3 + n) dla m =5 i n = 4, d) 1 x dla x =. 8. Wskaźnik BMI (od ang. body mass index wskaźnik masy ciała) osoby, która waży m kilogramów i ma w metrów wzrostu, oblicza się ze wzoru BMI = m w.zwykle przyjmuje się, że masa ciała jest prawidłowa, gdy wskaźnik BMI jest większy od 0 i mniejszy od 5. Oblicz wskaźnik BMI osoby o wzroście 1,7 m, ważącej 63 kg. ciekawostka Każdy wierzchołek narysowanego niżej wielokąta leży w punkcie kratowym, czyli w punkcie przecięcia linii tworzących kratki. Pole wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych można obliczać tak: do liczby punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta dodajemy połowę liczby punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta i odejmujemy 1 (jednostka pola to powierzchnia jednej kratki). Pole narysowanego wielokąta wynosi więc = 34,5. Tę regułę obliczania pól wielokątów odkrył niemiecki matematyk Georg Pick w 1899 roku. 9. Przeczytaj ciekawostkę. a) Zapisz wzór na pole wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych, przyjmując oznaczenia: w liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta, b liczba punktów kratowych na brzegu wielokąta. b) Narysuj na kartce w kratkę trójkąt o wierzchołkach w punktach kratowych. Oblicz jego pole na dwa sposoby: korzystając ze wzorów znanych ci z geometrii (przyjmując, że bok kratki ma długość 1) oraz korzystając ze wzoru Picka. c) Narysuj trzy dowolne wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych i oblicz ich pola, korzystając ze wzoru Picka. 10. Zapisz w jak najprostszej postaci: a) x 4(1 x) c) (3 x) (1 x ) e) (n 3) 4n +1 b) 3(5x ) 5(3 4x) d) x x 1 (x ) f) x +3 4x Liczba n jest naturalna. Zapisz w jak najprostszej postaci średnią arytmetyczną: a) pięciu kolejnych liczb naturalnych następujących bezpośrednio po liczbie n, b) dwóch kolejnych liczb parzystych bezpośrednio poprzedzających liczbę n, c) trzech kolejnych liczb nieparzystych następujących bezpośrednio po liczbie n, d) sześciu liczb: dwóch kolejnych liczb parzystych poprzedzających liczbę naturalną n 1 oraz kolejnych czterech liczb nieparzystych następujących po tej liczbie. 8 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

23 1. Pan de Fraudant wyjechał w podróż służbową z Paryża do Cartouse. Wziął ze sobą x euro pieniędzy prywatnych i dwa razy tyle służbowych. Pieniądze prywatne włożył do lewej kieszeni, a służbowe do prawej. W poniedziałek pan de Fraudant nic nie wydał, ale zapewne przez pomyłkę przełożył 300 pieniędzy służbowych do lewej kieszeni. We wtorek zapłacił w restauracji 15 pieniędzmi z lewej kieszeni, a po południu, znowu przez pomyłkę, przełożył czwartą część pieniędzy z prawej kieszeni do lewej. W której kieszeni miał wówczas więcej pieniędzy i o ile więcej? 13. Dziadek przyniósł wnukom worek, w którym było n cukierków, i powiedział: NiechMarekweźmie 1 10 wszystkich cukierków. Ania weźmie 1 tego, co zostało, 10 i dodatkowo 10 razy mniej cukierków, niż ma Marek. Teraz ja powiedziała Tosia. Wezmę 1 tego, co zostało, i dodatkowo 10 razy 10 mniej cukierków, niż mają razem Marek i Ania. Dzieci stwierdziły, że rozumieją sposób, w jaki należy dzielić cukierki i podzieliły pozostałe. Kiedy ostatnie z wnucząt wzięło swoją porcję, cukierki się skończyły. Ile cukierków dostała Ania, ile Marek, a ile Tosia? Ile było wnucząt? 14. Przedstaw wyrażenie w postaci jak najprostszej sumy algebraicznej: a) (4m n)(3m 5n) d) a b (b a)( + a) b) (3+b)(1 b +5c) e) 5 (x +1)(x 3) c) (a )(b + ) f) ( xy) (1 x )(y 1)+xy 15. Zapisz w jak najprostszej postaci: (x 1)(x n 1 + x n x + x +1) 16. Zapisz w postaci sumy algebraicznej: ( ) a) (5 + p) c) a +3a e) (v + ( 3) g) 4 b )( 4+ b ) b) (1 4x) d) ( m k ) f) (y 3) h) ( t 5 )( t + 5 ) 17. Zapisz w postaci sumy algebraicznej wyrażenie (a 1) a) Zapisz w postaci sumy algebraicznej: (a + b)(b + a) ( a b) ( a + b) (a b)(b + a) b) Zapisz w postaci iloczynu: 1 9 a 5x y 4 100m 4 p n 16 ZAPISYWANIE I PRZEKSZTAŁCANIE WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH 9

24 19. Oblicz sprytnie podane iloczyny, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: a) b) Które z poniższych równości są prawdziwe dla dowolnych liczb a i b? a) (a b) =(b a) c) (a b) =(b a) e) ( a b) =(a + b) b) ( a + b) =(b a) d) ( a b) = (a + b) f) ( a + b) = (a b) 1. Uprość wyrażenie: a) 5x(x 3y) (3x y) d) (5x y)(5x + y) (5 y) b) (y 3) +(y +6) e) ( + a)(a )+( 3+a) c) (x 3y)(x +3y) (x +y) f) (1 x)(1+x) (y x ). Zastąp symbole i takimi liczbami, aby otrzymać równość, którą spełnia każda liczba rzeczywista. a) x +14x +49=(x + ) d) x 6x + =(x ) b) a 5a =(a ) e) y y + =(y ) c) t +0t +50=(t + ) f) 9x +1x + =(3x + ) 3 1 = ( 3+1) ( 3 1)( 3+1) = ( 3+1) = Usuń niewymierność z mianownika w sposób pokazany obok. a) b) 7+ 7 c) Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: a) 8x 4x c) 15ab 5a +10ac e) 9pr +(pr) +3p r b) 14uv 7uv d) st +s t 3 4s t f) 8a b 0a 3 b +4ab 5. Zapisz, jaki warunek musi być spełniony, aby: a) liczba n była parzysta, b) liczba n była podzielna przez 5, c) reszta z dzielenia liczby n przez 4 wynosiła 1. Liczba naturalna n jest nieparzysta, gdy można ją zapisać w postaci n =k +1, gdzie k jest pewną liczbą naturalną. 6. Przedstaw sumę w postaci iloczynu: a) a a + b ab c) st 5s + t 5t e) st 4s t st +4s b) 5a 10b + a ab d) 1x +3y +4xy + y 3 f) 9u v 3u +3uv + v 30 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

25 TEST T1. Wyrażenie (a + b) (a b) można zapisać w postaci: A. 4ab B. 4ab +b C. 4b D. 4a b T. Najmniejsza z czterech kolejnych liczb naturalnych równa jest n. Liczba n jest mniejsza od średniej arytmetycznej tych czterech liczb o: A. 1 4 B. 1,5 C. n 4 D. n T3. Liczba a jest podzielna przez 6. Która z poniższych liczb jest na pewno podzielna przez 18? A. a +1 B.a +18 C.a + a D. a +3a RDZENIA. TWIERDZENIA. DOWODZENIE TWIERDZEŃ Twierdzenia matematyczne często są formułowane w postaci zadań Jeżeli..., to.... Zdanie w takiej formie nazywane jest implikacją. W twierdzeniach matematycznych pierwsza część implikacji jest nazywana założeniem, adruga tezą. Otoprzykłady: Jeżeli liczby a i b są nieujemne, założenie to ab = a b. teza Jeżeli bok kwadratu ma długość a, założenie to jego przekątna ma długość a. teza Nawet jeśli twierdzenie nie jest zapisane w postaci implikacji, to zwykle możnajenaimplikację przerobić. Na przykład twierdzenie: Suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą. można sformułować tak: Jeśli dwie liczby są parzyste, to ich suma też jest liczbą parzystą. TWIERDZENIA. DOWODZENIE TWIERDZEŃ 31

26 Przy dowodzeniu twierdzeń matematycznych najczęściej stosowane są dwa rodzaje uzasadnienia, że implikacja jest prawdziwa. Jeden z nich nazywany jest dowodem wprost, adrugi dowodem nie wprost. Gdy twierdzenie w postaci implikacji dowodzimy metodą wprost, postępujemy w następujący sposób: przyjmujemy, że prawdziwe jest założenie i wykazujemy prawdziwość tezy. Zatem pokazujemy, że jeśli założenie jest prawdziwe, to teza także jest prawdziwa. P Udowodnij twierdzenie: Jeśli a jest liczbą naturalną podzielną przez 3 oraz b jest liczbą naturalną podzielną przez 7, to liczba a b jest podzielna przez 1. Dowód Zakładamy, że liczba a jest podzielna przez 3 oraz liczba b jest podzielna przez 7. Przyjmujemy, że prawdziwe jest założenie. Zzałożeniawynika,że a =3m i b =7n dla pewnych liczb naturalnych m i n. Wtakimraziea b =3m 7n =1mn. Ponieważ liczba 1mn jest podzielna przez 1, więc liczba a b jest podzielna przez 1. Przy dowodzeniu implikacji metodą nie wprost postępujemy w następujący sposób: przyjmujemy, że fałszywa jest teza i wykazujemy fałszywość założenia (czyli pokazujemy, że gdyby teza była fałszywa, to założenie nie mogłoby być prawdziwe). P Udowodnij twierdzenie: Jeśli liczba a jest niewymierna, to a też jest liczbą niewymierną. Dowód Przypuśćmy, że liczba a jest wymierna. Przyjmujemy, że teza jest nieprawdziwa. Wobec tego a = p q całkowitych p i q. dla pewnych liczb Stąd a = p,czylia jest liczbą wymierną (jest ilorazem liczb całkowitych), co q jest sprzeczne z założeniem. Wykazujemy, że nieprawdziwe jest założenie. 3 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

27 Uwaga. Na końcu dowodów w przykładach na poprzedniej stronie pojawił się mały kwadracik. W ten sposób będziemy oznaczać, że dowód jest już zakończony. Dowód nie wprost czasami polega na tym, że przyjmujemy, iż twierdzenie nie jest prawdziwe i w wyniku poprawnego rozumowania dochodzimy do sprzeczności ze znanymi faktami matematycznymi. Na przykład w poniższym przykładzie dowód prowadzi do sprzeczności z następującym ważnym twierdzeniem dotyczącym liczb: Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych w sposób jednoznaczny. Z twierdzenia tego wynika, że dwa rozkłady na czynniki pierwsze tej samej liczby mogą się różnić co najwyżej kolejnością czynników. P Udowodnij twierdzenie: Liczba jest liczbą niewymierną. Dowód Przypuśćmy, że jest liczbą wymierną. Wobec tego = p q dla pewnych liczb naturalnych p i q. Zatem: = p q Gdy dwie liczby dodatnie są równe, to ich kwadraty też są równe. Wobec tego: q = p W rozkładzie liczby p liczba występuje parzystą ilość razy (gdyż jeśli w rozkładzie liczby p występowała k razy, to w rozkładzie liczby p występuje k razy). W rozkładzie liczby q na czynniki pierwsze liczba występuje nieparzystą ilość razy (gdyż jeśli w rozkładzie liczby q liczba występuje m razy, to w rozkładzie q występuje m +1razy). Jest to sprzeczne z faktem, że każdą liczbę można rozłożyć na czynniki pierwsze tylko w jeden sposób. W matematyce często też można spotkać twierdzenia, które są zapisane w postaci zdania, w którym występuje zwrot wtedy i tylko wtedy, gdy. Zdania w takiej formie nazywamy równoważnością. TWIERDZENIA. DOWODZENIE TWIERDZEŃ 33

28 Oto przykład równoważności: Iloczyn liczb a b jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest parzysta lub liczba b jest parzysta. Aby udowodnić tak sformułowane twierdzenie, musimy udowodnić dwie implikacje. Na przykład, aby udowodnić powyższą równoważność, musimy udowodnić implikację: Jeżeli iloczyn a b jest liczbą parzystą, to liczba a jest parzysta lub liczba b jest parzysta. oraz implikację odwrotną: Jeżeli liczba a jest parzysta lub liczba b jest parzysta, to iloczyn a b jest liczbą parzystą. A Udowodnij każdą z powyższych implikacji. Wskazówka. Pierwszą z tych implikacji udowodnij metodą nie wprost, a drugą metodą wprost. Skorzystaj z tego, że liczba jest parzysta, jeśli można ją zapisać w postaci k dla pewnej liczby całkowitej k. ciekawostka W matematyce twierdzeniem nazywamy tylko takie zdanie, którego prawdziwość została udowodniona. Twierdzenia powstają na ogół w ten sposób, że zauważona prawidłowość, np. dotycząca liczb lub figur, formułowana jest w postaci ogólnej, a następnie zostaje udowodniona. Jeśli ktoś sformułował pewną prawidłowość, ale jej nie udowodnił, to mówimy, że postawił hipotezę. Jedną z najsłynniejszych hipotez w historii matematyki była hipoteza Fermata. Na marginesie pewnego dzieła matematycznego Pierre de Fermat napisał, że potrafi udowodnić następującą własność liczb naturalnych: Dla n 3nie istnieje trójka liczb naturalnych dodatnich x, y, z spełniająca równanie x n + y n = z n. Napisał też, że uzasadnienie nie mieści się niestety na marginesie książki. Do dziś nie wiemy, czy Fermat znał poprawny dowód powyższego faktu. Hipotezę tę próbowano udowodnić przez ponad 350 lat. Dopiero w 1994 roku matematyk angielski Andrew Wiles znalazł dowód hipotezy Fermata, która od tego momentu może być już nazywana twierdzeniem Fermata. 34 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

29 ZADANIA 1. Sformułuj poniższe twierdzenia w postaci implikacji. Wskaż założenie i tezę każdego z tych twierdzeń. a) Każdy prostokąt jest równoległobokiem. b) W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę 60. c) W każdym kwadracie kąt między przekątną a bokiem ma miarę 45. d) Liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. e) Liczby rzeczywiste, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone i nieokresowe, są liczbami niewymiernymi.. Udowodnij twierdzenie: a) Kwadrat liczby parzystej jest liczbą podzielną przez 4. b) Jeśli liczby a i b są liczbami wymiernymi, to a + b jest liczbą wymierną. c) Iloczyn liczby parzystej i liczby nieparzystej jest liczbą parzystą. d) Dla każdej liczby rzeczywistej x, liczbax + 1 jest dodatnia. e) Liczba naturalna n jest dzielnikiem liczby naturalnej m wtedy i tylko wtedy, gdy n m jest dzielnikiem liczby m. 3. Niech n oznacza liczbę naturalną. Uzasadnij, że: a) liczba n + n jest parzysta, c) liczba 3n +3n jest podzielna przez 6, b) ostatnią cyfrą liczby 5n +5n jest 0, d) liczba n 3n jest liczbą całkowitą. 4. Wykaż, że jeśli kwadrat dowolnej liczby nieparzystej podzielimy przez 4, to zawsze otrzymamy resztę Wykaż, że jeśli a oraz b są liczbami całkowitymi, to liczba ab 4a + b 4b jest podzielna przez a + b (przy założeniu, że a + b = 0). Za pomocą symboli oraz można krócej zapisywać implikacje i równoważności: a b czytamy: jeżeli a, tob a b czytamy: a wtedy i tylko wtedy, gdy b 6. Uzasadnij, że: a) x 0 x =0, b) a +3=7 a jest liczbą wymierną, c) a b jest liczbą niewymierną a jest liczbą niewymierną lub b jest liczbą niewymierną. TWIERDZENIA. DOWODZENIE TWIERDZEŃ 35

30 7. Udowodnij twierdzenie: a) Liczba naturalna jest podzielna przez 10 wtedy i tylko wtedy, gdy ostatnią cyfrą tej liczby jest 0. b) Liczba trzycyfrowa jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr tej liczby dzieli się przez 3. c) Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 3. ciekawostka W 174 roku pruski matematyk Christian Goldbach postawił następującą hipotezę: Każda liczba parzysta większa od jest sumą dwóch liczb pierwszych. Hipoteza ta do dzisiaj nie została ani potwierdzona, ani obalona, mimo że przez jakiś czas (do 00 roku) można było za to zdobyć nagrodę w wysokości 1 mln dolarów. Aby potwierdzić hipotezę Goldbacha, trzeba podać jej dowód, zaś aby ją obalić wystarczy podać liczbę parzystą, która nie spełnia warunku opisanego przez Goldbacha. Gdy uda się podać przykład, który obala pewne stwierdzenie, mówimy, że podany został kontrprzykład. 8. Przeczytaj ciekawostkę. Dla każdego z poniższych stwierdzeń podaj dowód, jeśli jest ono prawdziwe, lub kontrprzykład, gdy jest fałszywe. a) Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą. b) Liczba, która jest podzielna przez 3 i przez 5, jest podzielna przez 15. c) Liczba, która jest podzielna przez 4 i przez 6, jest podzielna przez 4. TEST T1. Jeśli liczba jest podzielna przez 15 i przez, to ostatnią cyfrą tej liczby jest 0. Z tego twierdzenia można wywnioskować, że 0 jest ostatnią cyfrą liczby: A B C D T. Jeśli w liczbie postaci liczba zer jest parzysta, to liczba ta dzieli się przez 11. Założenie tego twierdzenia spełnia liczba: A B C D T3. Tylko w jednym z poniższych zdań symbol implikacji można zastąpić symbolem równoważności. Wktórym? A. Liczba a jest wymierna liczba a jest wymierna. B. Liczba n jest podzielna przez 6 3 jest dzielnikiem liczby n. C. m > n m n >0 D. m <0 m 4 >0 36 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

31 ŁADY RÓWNAŃ P RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA A 1. Rozwiąż równanie 3x +=x 1.. Sprawdź, czy para liczb x =, y = 0 spełnia układ równań 3. Zrównościx 5y =6wyznaczx. Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą: x +=(x +1) x x 1=4 3x x + 9 x +5 + x 1 3 =1 = 1 (x +1) 3 B { y x =4 5x +4y =10 Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą tego typu może mieć jedno rozwiązanie, może nie mieć rozwiązań albo może je spełniać każda liczba rzeczywista. Równania, które nie mają rozwiązań, nazywamy sprzecznymi. Gdy każda liczba spełnia dane równanie, nazywamy je tożsamościowym. Wśród podanych obok przykładów równań znajdź równanie tożsamościowe. Poniżej zapisano trzy układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. { 3x + y =3 3x y = 3 { x +5y =1 x +y =1 { x + y = 4 3x 4y = METODA PODSTAWIANIA { 3x + y =3 3x y = 3 { y =3 3x 3x (3 3x) = 3 3x 6+6x = 3 9x =3 y = { x = 1 3 y = x = 1 3 METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW { 3x + y =3 3x y = 3 ( 1) + { 3x + y =3 3x +y =3 3x 3x + y +y =3+3 3x +=3 { x = 1 3 y = x = 1 3 3y =6 y = Rozwiązaniem jest para liczb x = 1 3, y =. RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA 37

32 C Rozwiąż pozostałe dwa układy równań (zapisane nad przykładem na str. 37), wybierając dla każdego z nich inną metodę. Każdy z układów równań zapisanych nad przykładem ma jedno rozwiązanie (rozwiązaniem jest jedna para liczb). Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi może mieć jedno rozwiązanie albo nie mieć rozwiązań, albo mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Układ równań, który ma jedno rozwiązanie, nazywamy układem oznaczonym. Gdy układ równań nie ma rozwiązań, nazywamy go układem sprzecznym. Gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy go układem nieoznaczonym. { P x +3y 4=0 a) x 1 =y { x +3y 4=0 x 1=6y 3 { x +6y 8=0 + x 6y +=0 6=0 Układ jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązań (nie istnieje para liczb spełniających ten układ). { x + y = ( ) b) 4x +y =4 { 4x y = 4 + 4x +y =4 0 x +0 y =0 Układ jest nieoznaczony. Zbiór rozwiązań tego układu tworzą te pary liczb x i y, które spełniają jedno (dowolne) równanie układu (np. równanie x + y =). D 1. Podaj przykład pary liczb x i y spełniającej równanie x + y =. Sprawdź, że ta para liczb spełnia także równanie 4x +y =4. { x +=y +6. Sprawdź, że układ równań jest nieoznaczony. Podaj kilka x 9=y 1 par liczb, które są rozwiązaniami tego układu. ZADANIA 1. Rozwiąż równanie: a) 3x ( x) = 9 d) 3 x 13= 1 3 (9+x) b) 5x =10x (x +5) e) 10 4x 6 5 x 3 c) 4(x 5)=(3x +7) f) x(x 3)=(x +) =0 38 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

33 . Rozwiąż równanie podane w postaci proporcji (najpierw przyjmij odpowiednie założenia): a) 15 3 x = 7 x b) 1 x = 5 x 3 c) 4x +1 = x +1 x 1 x d) x x +1 = x +1 x + e) x x 1 = x +1 x +3 f) 4 x 1 = 5 x Jeśli b = 0 i d = 0, to proporcję a b = c d możemy zastąpić równością ad = bc 3. Zapisz i rozwiąż odpowiednie równanie. a) Liczba 3 razy większa od x jest równa połowie sumy liczb x i7. b) Iloraz liczby x i liczby o 1 od niej większej jest równy 3 5. c) Różnica kwadratu liczby x i kwadratu liczby o mniejszej od x jest równa 40. d) Iloraz liczby o 5 większej od x przez 4 jest równy ilorazowi liczby razy większej od x przez Znajdź liczbę a, wiedząc,że: a) liczba o 0% większa od a jest równa 18,6, b) liczba o 30% mniejsza od a to 3,9, c) liczba o 5 większa od a to 335,67, d) liczba o 6 mniejsza od a to 576,5. 5. Zapisz i rozwiąż odpowiednie równanie. a) Cenę pewnego towaru dwukrotnie zmniejszono o 0%. Teraz za ten towar trzeba zapłacić 768 zł. Jaka była cena początkowa? b) Cenę pewnego towaru najpierw zwiększono o 8%, a potem zmniejszono o 5%. Teraz towar ten kosztuje 115 zł. Jaka była cena początkowa? c) Cenępewnegotowaruzmniejszonoo15%,apotemzwiększonoo40%.Teraz towar ten jest o 57 zł droższy niż przed pierwszą zmianą ceny. Jaka jest jego cena? Mówimy, że roztwór jest p-procentowy, gdy masa rozpuszczonej substancji stanowi p % masy całego roztworu. s = p 100 r s masa rozpuszczonej substancji r masa roztworu 6. a) Ile wody należałoby dolać do 3 kg ośmioprocentowej solanki, aby otrzymać roztwór pięcioprocentowy? b) Z solanki czteroprocentowej odparowano 3 kg wody. Otrzymana solanka ma stężenie 10%. Ile waży ta solanka? c) Ile soli należy dosypać do 9 kg solanki o stężeniu %, aby otrzymać solankę ostężeniu10%? Wskazówka. Gdy dolewamy lub odparowujemy wodę, masa soli się nie zmienia. RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA 39

34 7. Zapisz odpowiednie równanie w postaci proporcji i rozwiąż je. a) Jeszcze w zeszłym miesiącu w firmie Macho pracowało 6 pań. W tym miesiącu zatrudniono 7 panów i panie, ale stosunek liczby panów do liczby pań się nie zmienił. Ilu pracowników zatrudnia teraz firma Macho? b) Na butelce z sokiem napisano: Aby otrzymać szklankę napoju, zmieszaj 70 ml soku i 130 ml wody. Ile soku i wody należy zmieszać, aby otrzymać 1,5 litra napoju? 8. Rozwiąż układ równań: a) { x =6y +13 y =x 15 c) { 6x y =9 3x + y 4,5=0 e) { 4a 7b = 19 3a +b = b) { 3x + y =6,5 x =4y 5 d) { 0,1x 0,y =0,7 x +4y = 14 f) { 5(x 3y) = 7(3y x) 3(x +4)+9y =0 9. Zapisz i rozwiąż odpowiednie układy równań. a) Liczba x jest o 5 mniejsza od liczby y. Liczba o 1 większa od y jest 3 razy większa od x. b) Liczba o 5 większa od x jest równa średniej arytmetycznej liczb x i y. Liczba razymniejszaodx jest 4 razy mniejsza od y. c) Liczba o 0% większa od x jest o 10 mniejsza od y. Liczbao0%mniejszaody jest o 6 większa od x. d) Liczba o 50% mniejsza od liczby y jest o 1 większa od liczby x. 60%liczbyx stanowi 5% liczby y. 10. Na podstawie informacji podanych pod rysunkami oblicz, jakie długości mają odcinki oznaczone literami x, y, a i b. 11. Podczas meczu pewien koszykarz zdobył 7 punktów, wykonując 9 skutecznych rzutów z gry (czyli za lub za 3 punkty). Ile skutecznych rzutów za 3 punkty wykonał ten zawodnik? 40 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

35 1. a) Ułożono 8 dwuzłotówek i 9 złotówek w szeregu, jedna za drugą. Tak ułożony szereg miał długość 37,9 cm. Gdy w podobny sposób ułożono 4 dwuzłotówki i 10 złotówek, otrzymany szereg monet miał długość 31,6 cm. Oblicz, jaką średnicę ma dwuzłotówka, a jaką złotówka. b) 60 dwuzłotówek i 90 złotówek waży razem 76,6 g, a 40 dwuzłotówek i 60 złotówek waży razem 508,4 g. Czy na podstawie tych informacji można obliczyć, ile waży dwuzłotówka, a ile złotówka? 13. Łuty i skrupuły to dawne jednostki masy. Pan Albert twierdzi, że łuty i 5 skrupułów to 30,64 g. Pan Dionizy twierdzi, że 4 łuty i 10 skrupułów to 61,48 g. Pan Zenobiusz twierdzi, że 8 łutów i 0 skrupułów to 10,496 g. Wiadomo, że dwóch z tych panów mówi prawdę, a jeden kłamie. Który kłamie? 14. Test składa się z 15 pytań. Za dobrą odpowiedź przyznaje się 3 punkty, a za złą odpowiedź lub brak odpowiedzi odejmuje się 1 punkt. Ile prawidłowych odpowiedzi zaznaczyła osoba, która zdobyła 33 punkty? Czy za rozwiązanie tego testu można otrzymać 15 punktów? 15. Agnieszka kupiła wczoraj książkę i płytę, za które zapłaciła 83 zł. Dziś ceny wszystkich książek podniesiono o zł, ale ceny płyt obniżono o 0%. Gdyby swoje zakupy Agnieszka robiła dzisiaj, zaoszczędziłaby 9 zł. Ile zapłaciła Agnieszka za książkę, a ile za płytę? 16. Płatki owsiane zawierają 14% białka i 6,4% tłuszczu. Płatki kukurydziane zawierają 8% białka i 0,8% tłuszczu. Jakie ilości płatków każdego rodzaju należy zmieszać, aby otrzymać: a) 0,15 kg mieszanki zawierającej 1,5 dag białka, b) 0,8 kg mieszanki zawierającej 5% tłuszczu? 17. Gdy zmieszamy 10 dag bananów i 10 dag mleka, otrzymamy koktajl bananowy o zawartości 1,35% tłuszczu. Po zmieszaniu 0 dag bananów i 30 dag mleka otrzymamy koktajl, który zawiera 1,48% tłuszczu. Jaka jest zawartość procentowa tłuszczu w mleku, a jaka w bananie? 18. a) Obraz w ramie kosztuje 70 zł. Rama jest o 00 zł droższa od obrazu. Ilekosztujeobraz? b) Waza z warząchwią waży 900 g. Warząchew jest 3 razy lżejsza niż waza. O ile mniej od wazy waży warząchew? RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA 41

36 19. Paweł ma o 100 zł więcej niż Gaweł. Gdyby Paweł oddał Gawłowi połowę swoich pieniędzy, to Gaweł miałby dwa razy więcej pieniędzy niż Paweł. O ile złotych więcej miałby wówczas Gaweł? 0. Kiedyś do partii Przeszłość należało 3 razy więcej osób niż do partii Przyszłość. W wyniku nieudanych działań w Przeszłości 5osóbprzeszłodoPrzyszłości. Ostatnio przewodniczący Przeszłości przygotował i przeprowadził udaną akcję propagandową, w wyniku której osoby z Przyszłości wróciły do Przeszłości, ana dodatek przyjęto jeszcze 5 nowych członków. Teraz Przeszłość jest dwa razy liczniejsza niż Przyszłość. Ile osób należy do Przeszłości? 1. Przyjrzyj się rysunkowi. Jaka jest odpowiedź na zadane pytanie? TEST T1. Cenę butów obniżono najpierw o 10 zł, a potem jeszcze o 0% nowej ceny. Po tych dwóch obniżkach buty kosztują 100 zł. O ile złotych ta nowa cena jest mniejsza od ceny sprzed obniżek? A.o0zł B.o5zł C.o30zł D.o35zł T. Każdą wypowiedź na forum internetowym można ocenić, przyznając +1, gdy wypowiedź się podoba, lub 1, gdy się nie podoba. Pewną wypowiedź oceniło 57 osób, a suma ocen to +13. Ilu oceniającym osobom ta wypowiedź się podobała? A. 13 B. C. 35 D. 44 T3. Jaką liczbą należy zastąpić literę a w układzie równań zapisanym obok, aby otrzymać układ nieoznaczony? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 { x +6y =4 3x + ay =6 4 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI