ODKSZTAŁCENIA PROMIENIOWE SZYBKOOBROTOWYCH PIERŚCIENI ŁOŻYSKOWYCH SPOWODOWANE SIŁAMI ODŚRODKOWYMI

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2018 nr 68, ISSN X ODKSZTAŁCENIA PROMIENIOWE SZYBKOOBROTOWYCH PIERŚCIENI ŁOŻYSKOWYCH SPOWODOWANE SIŁAMI ODŚRODKOWYMI Mateusz Muszyński 1a 1 Katedra Budowy Maszyn, Politechnika Śląska a mateusz.muszynski@polsl.pl Streszczenie W artykule zaproponowany został analityczny model pozwalający na wyznaczanie sprężystych odkształceń wirujących pierścieni szybkoobrotowych łożysk, spowodowanych siłami odśrodkowymi. Przedstawiony model uwzględnia ograniczające oddziaływanie kulek na odkształcenie pierścienia. W dotychczasowych modelach nie było to brane pod uwagę. Ponadto przedstawione zostały wyniki symulacji MES potwierdzające zasadność rozpatrywania wpływu sił kontaktowych na odkształcenie wirującego pierścienia. Słowa kluczowe: odkształcenie pierścienia, siły kontaktowe, łożyska skośne, HSC, MES RADIAL DEFORMATIONS IN HIGH-SPEED BEARING RINGS DUE TO CENTRIFUGAL FORCES Summary The paper presents analytical model that enables to determine elastic deformation of rotating rings of high speed bearings caused by centrifugal forces. Proposed model take into account the impact of contact loads on deformation of the ring which limits this deformation and which in existing models were not included. Paper also presents FEM simulation results which confirmed rightness of considering the imapct of contact forces on ring deformation. Keywords: ring deformation, contact loads, angular bearings, HSC, FEM 1. WSTĘP Szybkoobrotowe wrzeciona (tzw. elektrowrzeciona) obrabiarek High Speed Cutting łożyskowane są najczęściej z wykorzystaniem kulkowych łożysk skośnych z uwagi na możliwość przenoszenia przez nie dużych obciążeń promieniowych i osiowych, małe opory ruchu i dużą dostępność na rynku. Ze względu na postać konstrukcyjną elektrowrzecion istotna jest, z punktu widzenia dokładności obróbki, możliwość oszacowania odkształceń cieplnych, jakim ulega wrzeciono. Głównymi źródłami ciepła są straty w łożyskach i w silniku elektrycznym [6]. Możliwe jest analityczne oszacowanie ilości traconej mocy w łożyskach, a do tego celu niezbędne jest wyznaczenie sił oddziaływania między jego elementami (sił kontaktowych) [3]. Przy wyznaczaniu tych sił istotny wpływ na ich wielkość ma wielkość promieniowego odkształcenia wirującego pierścienia [2, 9] spowodowanego dużą prędkością obrotową, czego następstwem są duże siły odśrodkowe. Jak dotąd w nielicznych publikacjach uwzględniano wpływ odkształceń pierścienia wewnętrznego łożyska na siły i kąty kontaktowe [2, 11]. Mimo bardzo małych wielkości tego odkształcenia, rzędu kilku μm, wpływa ono w sposób znaczący na siły kontaktowe w łożysku skośnym [2, 9], co wynika z faktu, że wielkości odkształceń kontaktowych są również niewielkie. Natomiast od wielkości sił kontaktowych zależne są opory ruchu łożyska, a co za tym idzie, ilość wydzielanego ciepła. W [2] autorzy zaproponowali sposób wyznaczania odkształcenia, który opisany jest wzorem (1). 85

2 ODKSZTAŁCENIA PROMIENIOWE SZYBKOOBROTOWYCH PIERŚCIENI ŁOŻYSKOWYCH ( ) uu = 3+vv 8EE ρρωω2 rr (1 vv)(bb 2 + cc 2 ) + (1 + vv) bb2 cc 2 rr 2 1 vv2 3+vv rr2 + PPbb2 rr (bb 2 cc 2 )EE cc2 1 vv + (vv + 1) rr2 (1) Poza wpływem siły odśrodkowej uwzględniono również wpływ pasowania na wielkość tego odkształcenia poprzez ciśnienie P wywierane na wewnętrzną powierzchnię pierścienia. Jednak w wyniku odkształcenia wcisk powstały na skutek pasowania jest coraz mniejszy, stąd ciśnienie P powinno być również coraz mniejsze aż do momentu, w którym pasowanie nie wpływa na odkształcenie tego pierścienia, o czym autorzy nie wspominają. Inny model wyznaczania odkształcenia wirującego pierścienia podano w [11], który został przedstawiony w [8], opisuje go wzór (2). uu = ρρωω2 dd mm 32EE [DD ii 2 (3 + vv) + dd mm 2 (1 vv)] (2) Zarówno pierwszy jak i drugi model pozwala na wyznaczenie sprężystego odkształcenia promieniowego pierścienia, które nie jest w żaden sposób ograniczone, jednak w rzeczywistych warunkach pracy łożyska pierścień wewnętrzny współpracuje z kulkami, które oddziałują na niego poprzez siły kontaktowe Qi oraz siły powstałe na skutek działania momentu żyroskopowego (rys. 2). Oddziaływanie sił kontaktowych na pierścień łożyskowy z pewnością ogranicza jego odkształcenia na kierunku promieniowym, a ich wielkość może przyjmować duże wartości w zależności od wielu czynników, głównie prędkości obrotowej i napięcia wstępnego. Na rys. 1 przedstawiono przykładowy wpływ prędkości obrotowej na odkształcenie promieniowe pierścienia łożyskowego B7013-E-T-P4S wyznaczone na podstawie wzorów (1) i (2). Dla wyznaczenia odkształcenia na podstawie wzoru (1) pominięto wpływ ciasnego pasowania. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń widać, że odkształcenie promieniowe danego pierścienia rośnie w sposób wykładniczy w stosunku do prędkości obrotowej i wynosi, w zależności od przyjętego modelu, od około 5 do 7 μm dla prędkości obr/min, natomiast różnica między wyznaczonymi odkształceniami wynosi dla każdej prędkości 40,51%. 8 7 u [μm] n [obr/min] [2] [8] Rys. 1. Wpływ prędkości obrotowej na sprężyste odkształcenie promieniowe pierścienia łożyska B7013 Rys. 2. Oddziaływanie kulek w łożysku na promieniowo odkształcający się pierścień 2. PROPONOWANY MODEL Jak wcześniej wspomniano, na sprężyste promieniowe odkształcenia wirującego pierścienia łożyskowego wpływają siły oddziaływania między kulką a bieżnią ograniczające te odkształcenia. Na rys. 3 przedstawiono wycinek pierścienia łożyskowego odpowiadający pojedynczej kulce i działające na ten wycinek siły (z pominięciem siły wynikającej z momentu żyroskopowego): siła odśrodkowa, siła kontaktowa Qi, siły normalne Fn i siła napięcia wstępnego Fa. 86

3 Mateusz Muszyński Rys. 3. Wycinek wewnętrznego pierścienia łożyska z działającymi na niego siłami Na podstawie rys. 3 możliwe jest wypisanie warunku równowagi sił działających na wycinek opisany równaniem (3). FF cc QQ ii cos αα ii 2FF nn sin ππ zz = 0 (3) Stąd możliwe jest wyznaczenie wielkości siły normalnej Fn: FF nn = FF cc QQ ii cos αα ii 2 sin ππ zz Siłę odśrodkową można wyznaczyć na podstawie: (4) FF cc = mmωω 2 rr = ρρρρ 2ππ zz AA ωω2 rr = ρρ 2ππ zz AAωω2 rr 2 (5) Znajomość siły normalnej działającej w wirującym pierścieniu łożyskowym pozwala na wyznaczenie wielkości średniego naprężenia normalnego w przekroju: Jak wynika ze wzoru (9), do wyznaczenia wielkości promieniowego odkształcenia niezbędna jest znajomość wielkości kąta działania siły kontaktowej αi,którą można wyznaczyć na drodze analitycznej przez wykonywanie iteracji polegających na rozwiązaniu układu dwóch równań (przy założeniu stałej wartości siły napięcia wstępnego) jednego wynikającego z warunku równowagi sił działających na kulkę i drugiego opisującego zależności geometryczne (uwzględniającego położenie i jego zmiany środków krzywizn bieżni i środka kulki), a następnie po wyznaczeniu szukanych wartości kątów ponownym wyznaczeniu odkształcenia promieniowego przy użyciu wzoru (9) i rozwiązaniu tego samego układu równań itd. Jednak sposób ten jest czasochłonny. Tego typu rozważania analityczne można znaleźć m. in. w [1, 3, 4, 5]. Jeśli siła normalna w pierścieniu osiąga wartości ujemne, to nie dochodzi do sprężystego odkształcenia tego pierścienia pierścień jest ściskany; taka sytuacja będzie miała miejsce przy małych prędkościach obrotowych, σσ = FF nn AA (6) Wielkość odkształcenia promieniowego (zwiększenia promienia pierścienia) można wyznaczyć, korzystając z prawa Hooke a na podstawie zależności [10]: εε φφ = uu rr = σσ EE (7) która po przekształceniu i po wstawieniu zależności (5) do (4) i (4) do (6) wyraża się następująco: uu = σσσσ = ρρ 2ππ EE zz AAωω2 rr 2 QQ ii cos αα ii 2 sin ππ zz rr AAAA (8) Przy stałej sile napięcia wstępnego wyrażenie (8) sprowadza się do: uu = σσσσ = ρρ 2ππ EE zz AAωω2 rr 2 FF aa zz tan αα ii 2 sin ππ zz rr AAAA (9) kiedy wartość siły odśrodkowej będzie stosunkowo niewielka w porównaniu z wartością siły kontaktowej, która dla małych prędkości wynika głównie z wielkości napięcia wstępnego. 3. BADANIA SYMULACYJNE Za pomocą metody elementów skończonych przeprowadzone zostały symulacje, które miały na celu określenie odkształceń promieniowych wirującego pierścienia łożyskowego. Na potrzeby tych symulacji przygotowano geometryczny model wycinka łożyska B7013-E-T-P4S, który przedstawiono na rys. 4. W okolicy stref kontaktu zarówno na bieżni wewnętrznej, zewnętrznej, jak i kulki zagęszczona została siatka elementów skończonych w celu dokładniejszych obliczeń (rys. 5). Aby odzwierciedlić rzeczywiste łożysko, zastosowano stosowne narzędzia symetrii. Warunki brzegowe, prędkość obrotowa i napięcie wstępne zamodelowano w sposób analogiczny do sposobu 87

4 ODKSZTAŁCENIA PROMIENIOWE SZYBKOOBROTOWYCH PIERŚCIENI ŁOŻYSKOWYCH ( ) przedstawionego w [7], natomiast, aby możliwe było sprężyste odkształcanie pierścienia, zastosowano funkcję Compression only jako warunek brzegowy dla pierścienia wewnętrznego. Rys. 6. Przykładowe wyniki symulacji dla prędkości obrotowej n=12000 obr/min Rys. 4. Model geometryczny wycinka łożyska B7013 w programie ANSYS Rys. 5. Model geometryczny wycinka łożyska B7013 po nałożeniu siatki elementów skończonych Przeprowadzono symulacje wpływu prędkości obrotowej na przemieszczenia na kierunku prostopadłym do osi obrotu (odkształcenia promieniowe) przy założeniu stałej wartości napięcia wstępnego o wartości Fa=500N, które dla danego łożyska jest stosunkowo niewielką wartością. Producent podaje [12], że badane łożysko może pracować przy napięciu wstępnym o wartości 2350N. Symulacje przeprowadzono w programie ANSYS W tym miejscu należy zaznaczyć, że odkształcenie wirującego pierścienia jest nierównomierne, co widać na przedstawionym rysunku, tzn. odkształcenie promieniowe po stronie działania siły kontaktowej jest mniejsze niż po stronie przeciwnej, co wynika z tego, że siła kontaktowa działa na bieżnię pod kątem (łożysko skośne). Miejsca odczytywania wielkości odkształcenia również zostały zaznaczone na rys. 5. W tabeli 1 zestawiono wyniki symulacji odkształcenia promieniowego pierścienia maksymalnego i w pobliżu strefy kontaktu kulki z bieżnią. Na rys. 7 przedstawiono wyniki symulacji MES i modelowania analitycznego przy wykorzystaniu zależności (1) oraz zależności (8) przy założeniu, że na pierścień nie działa siła kontaktowa (tj. Qi=0). Z rysunku wynika duża zgodność modeli analitycznych pozwalających na wyznaczenie odkształcenia swobodnego (wyniki uzyskane na podstawie proponowanego modelu są większe o około 2,84%). Jak można było przypuszczać, uwzględnienie siły kontaktowej w rozważaniu sprężystego odkształcenia wirującego pierścienia jest istotne; rzeczywiste odkształcenie w okolicy strefy kontaktu kulki z bieżnią jest mniejsze niż wyznaczone na podstawie wzoru (1), co spowodowane jest oddziaływaniem kulki na odkształcający się pierścień. Dla 6000 obr/min uzyskane na podstawie symulacji MES przemieszczenie jest dwukrotnie mniejsze niż wyznaczone przy pomocy wzoru (1), a dla obr/min jest mniejsze o około 18%. Gdyby uwzględnić siłę kontaktową i skorzystać z zależności (9), z pewnością wyznaczone odkształcenia byłyby bardziej zbliżone do rzeczywistości. Na rys. 6 pokazano przykładowe wyniki symulacji przemieszczeń dla prędkości obrotowej n=12000 obr/min. 88

5 Mateusz Muszyński Tabela 1. Zestawienie wyników symulacji MES łożyska B7013- E-T-P-4S nn oooooo mmmmmm uu [μμmm] (maks.) uu[μμmm] (w strefie kontaktu) 500 0,0112 0,0004* ,077 0, ,31 0, ,67 0, ,16 0, ,79 1, ,54 1, ,41 2, ,38 3, ,43 4,29 *- odkształcenie w zależności od miejsca jego odczytania waha się pomiędzy 1 10^(-6) μm a -1,5 10^(-6) co spowodowane jest obecnością i oddziaływaniem kulki na bieżnię. Ponadto z rys. 7 można wywnioskować, że pierścień zaczyna się odkształcać przy prędkości około 4000 obr/min, co można wytłumaczyć na podstawie zależności (4), mianowicie dopóki warunek opisany równaniem (10) będzie spełniony, pierścień wewnętrzny nie będzie ulegał odkształceniu promieniowemu. u [μm] [2] n [obr/min] wyniki symulacji MES (8) - proponowany model (odkształcenie swobodne) Rys. 7. Wpływ prędkości obrotowej łożyska na wielkość sprężystego odkształcenia wirującego pierścienia na kierunku promieniowym QQ ii cos αα ii > FF cc (10) Należy tu podkreślić, że przyjęto napięcie wstępne o wartości 500N, natomiast przypuszczalnie dla jego większych wartości odkształcenie promieniowe byłoby jeszcze mniejsze, co wynika z następującej zależności opisującej drugi z warunków równowagi sił działających na wycinek pierścienia (11) (tj. ze zwiększeniem wartości napięcia wstępnego siła kontaktowa będzie większa, ale również kąt jej działania): FF aa zz = QQ ii sin αα ii = cccccccccc (11) Również należy zaznaczyć, że wyznaczenie odkształcenia promieniowego w postaci konkretnej wartości jest pewnym przybliżeniem, gdyż jak wspomniano, pierścień łożyskowy odkształca się nierównomiernie. Niemniej jednak zastosowanie modelu opisanego wzorem (8) z pewnością pozwoli na uzyskanie odkształcenia bardziej zbliżonego do rzeczywistości, które będzie nieodzowne przy wyznaczaniu wielkości siły kontaktowej. 4. PODSUMOWANIE Wirujący pierścień wewnętrzny ulega sprężystemu odkształceniu promieniowemu na skutek działania siły odśrodkowej, która osiąga znaczne wartości przy dużych prędkościach obrotowych łożyska. Odkształcenie to ma istotny wpływ na wielkości sił kontaktowych, tj. wewnętrznych sił reakcji, które w bezpośredni sposób wpływają na opory ruchu łożyska. Możliwe jest wyznaczenie sił kontaktowych na drodze analitycznej, jednak wtedy niezbędna jest znajomość wielkości odkształcenia pierścienia. Jak dotąd w nielicznych publikacjach przedstawiono zagadnienie i zaproponowano sposoby wyznaczenia odkształcenia, jednak oba te sposoby dotyczą odkształcenia swobodnego W niniejszej publikacji zaproponowano inny model analityczny, uwzględniający oddziaływanie kulek na wirujący pierścień. Należy jednak stwierdzić, że wyznaczenie pojedynczej wartości odkształcenia pierścienia nie jest możliwe ze względu na nierównomierność jego odkształcania spowodowaną skośnym kierunkiem działania siły kontaktowej, jednak ze względu na cele modelowania analitycznego prawdopodobnie wystarczające będzie oszacowanie tego odkształcenia przez proponowany model. 5. WYKAZ OZNACZEŃ A pole przekroju poprzecznego wirującego pierścienia, E moduł Younga P ciśnienie wywierane na powierzchnię wewnętrzną wirującego pierścienia będące skutkiem ciasnego pasowania, b promień wewnętrzny wirującego pierścienia, c promień zewnętrzny wirującego pierścienia, r promień wirującego pierścienia (promień środka ciężkości), 89

6 ODKSZTAŁCENIA PROMIENIOWE SZYBKOOBROTOWYCH PIERŚCIENI ŁOŻYSKOWYCH ( ) u sprężyste odkształcenie promieniowe pierścienia łożyskowego, v współczynnik Poissona, z liczba kulek w łożysku, Di średnica bieżni wewnętrznej łożyska, Fa napięcie wstępne łożyska, Fc siła odśrodkowa, Qi siła kontaktowa działająca na wirujący pierścień, dm średnica podziałowa łożyska, ρ gęstość materiału, ω prędkość kątowa wirującego pierścienia, αi kąt działania siły kontaktowej działającej na wirujący pierścień, ε φ odkształcenie liniowe na kierunku promieniowym. Fn siła normalna, Literatura 1. Antoine J-F., Abba G., Molinari A.: A new proposal for explicit angle calculation in angular contact ball bearing. Journal of Mechanical Design 2006, Vol.128, p Cao H., Holkup T.,Chen X., He Z.: Study of characteristic variations of high-speed spindles induced by centrifugal expansion deformations. Journal of Vibroengineering 2012, Vol. 14, Iss. 3, p Harris T. A., Kotzalas M. N.: Rolling bearing technology, fifth edition: advanced concepts of bearing technology. Boca Raton: CRC Press, ISBN Jędrzejewski J., Kwaśny W.: Modelling of angular contact ball bearings and axial displacements for high-speed spindles. CIRP Annals Manufacturing Technology 2010, Vol. 59, Iss. 1, p Kosmol J.: Determination of motion resistances in high-speed spindle angular bearings. Gliwice: Wyd. Pol. Śl., ISBN Kosmol J., Lehrich K.: Model cieplny elektrowrzeciona. Modelowanie Inżynierskie 2010, t. 8, nr 39, s Kosmol J., Lis P.: Modelowanie zjawisk kontaktowych w łożysku skośnym metodą elementów skończonych. Modelowanie Inżynierskie 2015, t. 25, nr 56, s Li H., Shin Y. C.: Integrated dynamic thermo-mechanical modeling of high-speed spindles, part 1: model development. Journal of Manufacturing Science and Engineering 2004, Vol. 126, Iss. 1, p Muszyński M.: Wyznaczanie kątów i sił kontaktowych w łożysku skośnym przy uwzględnieniu odkształcenia promieniowego wirującego pierścienia. Stal, Metale & Nowe Technologie 2018, nr 5-6, s Walczak J.: Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności. T. I. Kraków: PWN, Zivkovic A., Zeljkovic M., Tabakovic S., Milojevic Z.: Mathematical modeling and experimental testing of highspeed spindle behavior. International Journal of Advanced Manufacturing Technology 2014, Vol. 77, p dostęp r. Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. 90