Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1) Sławomir Winiarski

Transkrypt

1 KURS BIOFIZYKI PODSTAW dla studentów VER. i Wychowania Fizjoterapii Fizycznego.1 Wrocław, listopad 004 1

2 Podstawy Biofizyki Ś (kurs elektroniczny.1) Sławomir Winiarski S P I S T R E C I : 1. MECHANIKA CIAŁ STAŁYCH WIELKOŚCI FIZYCZNE I ICH JEDNOSTKI KINEMATYKA RUCHU POSTĘPOWEGO I RUCHU PO OKRĘGU Ruch postępowy (liniowy) Rzut ukośny Ruch obrotowy...9. DYNAMIKA RUCHU PROSTOLINIOWEGO ŚRODEK MASY PĘD PUNKTU MATERIALNEGO ZASADY DYNAMIKI NEWTONA ZASADA ZACHOWANIA PĘDU PRACA I ENERGIA Praca mechaniczna Energia potencjalna Energia kinetyczna Moc Zasada zachowania energii DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ Moment siły Moment pędu Zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego Zachowanie momentu pędu Moment bezwładności Ruch obrotowo-postępowy MECHANIKA PŁYNÓW CIŚNIENIE I GĘSTOŚĆ Ciśnienie hydrostatyczne Ciśnienie atmosferyczne Prawo Pascala Prawo Archimedesa Ogólny opis przepływu płynów Równanie Bernoulliego Dynamiczna siła nośna Siła oporów aerodynamicznych FALA AKUSTYCZNA (DŹWIĘKOWA) NATĘśENIE I POZIOM NATĘśENIA DŹWIĘKU; ZAŁAMANIE I ODBICIE FALI DŹWIĘKOWEJ ZJAWISKO DOPPLERA TERMODYNAMIKA GAZ DOSKONAŁY TEMPERATURA, RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO... 31

3 5..1. Zerowa zasada termodynamiki Kinetyczna interpretacja temperatury Równanie stanu gazu doskonałego Pomiar temperatury, skale temperatur EKWIPARTYCJA ENERGII PIERWSZA ZASADA TERMODYNAMIKI CIEPŁO WŁAŚCIWE BILANS CIEPLNY ZASADA BILANSU CIEPLNEGO: PROCESY ODWRACALNE I NIEODWRACALNE, CYKL CARNOTA ENTROPIA I DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI ENTROPIA Entropia a nieuporządkowanie STANY RÓWNOWAGI, ZJAWISKA TRANSPORTU Stany równowagi fazowej Zjawiska transportu ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM ELEKTROSTATYKA Spoczywający ładunek elektryczny ELEKTRODYNAMIKA Rodzaje prądu Charakterystyka prądu elektrycznego Prąd zmienny, impedancja (zawada) układu RLC: Transport jonów w błonach i potencjały błonowe Wpływ prądu stałego na organizm Elektroterapia w pigułce REZONANS MAGNETYCZNY Moment magnetyczny POLE ELEKTROMAGNETYCZNE Powstawanie światła laserowego PROMIENIOWANIE CIEPLNE PRAWO PROMIENIOWANIA KIRCHHOFFA PRAWO PROMIENIOWANIA PLANCKA PRAWO PRZESUNIĘĆ WIENA: PRAWO PROMIENIOWANIA STEFANA BOLTZMANNA: TERMOGRAFIA PROMIENIOWANIE NIEJONIZUJĄCE (W PRZYGOTOWANIU): PROMIENIOWANIE JONIZUJĄCE: (W PRZYGOTOWANIU) UZUPEŁNIENIA ALFABET GRECKI WYBRANE STAŁE FIZYCZNE LITERATURA

4 Biofizyka jest nauką fizycznych aspektów biologii, włączając w to zastosowanie praw fizyki i techniki do opisu procesów zachodzących w Ŝywych organizmach (w szczególności człowieku). Działy fizyki w niniejszych materiałach (tj. mechanika ciał stałych, cieczy i gazów, akustyka, termodynamika, elektryczność i magnetyzm, promieniowanie ciał oraz elementy fizyki współczesnej) zostały dobrane w taki sposób aby w moŝliwie uproszczony sposób wyjaśnić niektóre zjawiska fizyczne zachodzące w organizmie człowieka. Niniejsze materiały mają stanowić jedynie pomocnicze źródło wiedzy do poznawanych zagadnień, dlatego uprzejmie zachęca się czytelnika do sięgnięcia równieŝ do innych pozycji literaturowych w szerokim wachlarzu ofert dostępnych na rynku wydawniczym. autor 1. MECHANIKA CIAŁ STAŁYCH Mechanika jest działem fizyki zajmującym się opisem ruchu ciał materialnych lub ich części wynikający z ich wzajemnych oddziaływań oraz badaniem stanu równowagi pomiędzy nimi. WyróŜnia się mechanikę klasyczną (opartą na teorii Isaaka Newtona) oraz relatywistyczną (uwzględniającą mechanikę efekty przewidywane przez teorię względności Alberta Einsteina). Mechanikę dzieli się kinematykę i kinetykę (dynamikę): Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się geometrycznym (matematycznym) opisem ruchu ciał bez analizowania sił, które ten ruch wywołały. Kinetyka (teŝ są dynamika) dział mechaniki badający ruch wywołany działaniem na układ określonych sił WIELKOŚCI FIZYCZNE I ICH JEDNOSTKI Prawa fizyki wyraŝają związki między róŝnymi wielkościami fizycznymi. Prawa te formułowane w postaci równań matematycznych wyraŝających ścisłe ilościowe relacje między tymi wielkościami, a to się wiąŝe zawsze z pomiarami określającymi liczbowo stosunek danej wielkości do przyjętej jednostki. Wiele z wielkości fizycznych jest współzaleŝnych. Na przykład prędkość jest podzieloną długością przez czas, gęstość masą podzieloną przez objętość itd. Dlatego z pośród wszystkich wielkości fizycznych wybieramy pewną ilość tak zwanych wielkości podstawowych, za pomocą są których wyraŝamy wszystkie pozostałe wielkości nazywane wielkościami pochodnymi. Z tym podziałem związany jest równieŝ wybór jednostek. Jednostki podstawowe wielkości podstawowych wybierane (ustalane), a jednostki pochodne definiuje się za pomocą są są jednostek podstawowych. Aktualnie obowiązującym w Polsce układem jednostek jest układ SI (Systeme International d'unites). Uklad SI ma siedem jednostek podstawowych i dwie uzupełniające niezbędne w sformułowaniach praw fizyki. Wielkości podstawowe i ich jednostki zestawione w tabeli 1.1 poniŝej. Definicje jednostek podstawowych związane albo ze wzorcami jednostek albo z pomiarem. Przykładem jednostki związanej ze wzorcem jest masa. Obecnie światowym wzorcem kilograma (kg) jest walec platynowo irydowy przechowywany w Międzynarodowym Biurze Miar i Wag w Sevres (Francja). Natomiast przykładem jednostki związanej z pomiarem jest długość. Metr (m) definiujemy jako długość drogi przebytej w próŝni przez światło w czasie 1/ s. 4

5 Oprócz jednostek w fizyce posługujemy się pojęciem wymiaru jednostki danej wielkości fizycznej. Wymiarem jednostki podstawowej jest po prostu ona sama. Natomiast dla jednostek pochodnych wymiar jest kombinacją jednostek podstawowych (w odpowiednich potęgach). Na przykład jednostka siły ma wymiar kg. m/s wynikający ze wzoru F = ma. Niektóre jednostki pochodne mają swoje nazwy tak jak jednostka siły - niuton. Tabela 1-1 Wielkości podstawowe, uzupełniające i ich jednostki w układzie SI. Wielkość Jednostka Symbol 1. Długość. Masa 3. Czas 4. Ilość są metr m kilogram kg sekunda s materii (substancji) mol mol 5. NatęŜenie prądu elektrycznego amper A 6. Temperatura termodynamiczna kelwin K 7. Światłość kandela cd 8. Kąt płaski radian rad 9. Kąt bryłowy steradian sr Wreszcie, oprócz jednostek podstawowych i pochodnych posługujemy się takŝe jednostkami wtórnymi, które ich wielokrotnościami. WyraŜa się je bardzo prosto poprzez dodanie odpowiedniego przedrostka określającego odpowiednią potęgę dziesięciu, która jest mnoŝnikiem dla jednostki (patrz tabela 1.). Tabela 1- Wybrane przedrostki jednostek wtórnych. Przedrostek Skrót MnoŜnik tera giga mega kilo hekto decy centy mili mikro nano piko femto T G M k h d c m µ n p f KINEMATYKA RUCHU POSTĘPOWEGO I RUCHU PO OKRĘGU Do określenia połoŝenia wybranego ciała lub układu ciał uŝywamy układów odniesienia. Zwróćmy uwagę na to, Ŝe ruch tego samego ciała widziany z róŝnych układów odniesienia moŝe być róŝny. W szczególności moŝna wybrać taki układ odniesienia, w którym ciało nie porusza się. Oznacza to, Ŝe ruch jest pojęciem względnym. Ponadto, w naszych rozwaŝaniach będziemy posługiwać się pojęciem punktu materialnego: Punkt materialny jest to punktowy model rzeczywistego ciała obdarzony masą, którego rozmiary moŝna zaniedbać. 5

6 Rzeczywiste ciała mają zawsze skończoną objętość, ale dopóki rozpatrujemy ich ruch postępowy (ciała nie obracają się, ani nie wykonują drgań) to z dobrym przybliŝeniem moŝemy je traktować jako punkty materialne. To przybliŝenie moŝe być z powodzeniem stosowane do opisu ruchu obiektów o róŝnej wielkości, zarówno "małych" cząsteczek, jak i "duŝych" planet Ruch postępowy (liniowy) Jest to ruch wzdłuŝ linii prostej (1 stopień swobody=1dof). JeŜeli ciało porusza się ruchem jednostajnym (ze stałą prędkością) i jeŝeli w pewnej chwili t 0 znajdowało się w połoŝeniu x 0 to po czasie t znajdzie się w połoŝeniu x danym wzorem: x ( t) x + v ( t ) = (1) 0 t 0 Dwa przykłady zaleŝności między połoŝeniem x i czasem t pokazano na rysunku poniŝej dla dwóch ciał (np. pojazdów). Jak wynika z powyŝszego wzoru nachylenie wykresu x(t) przedstawia prędkość danego ciała. RóŜne nachylenia wykresów x(t) odpowiadają więc róŝnym prędkościom. Prędkość v (wektor) moŝe być dodatnia albo ujemna; jej znak wskazuje kierunek ruchu. Wektor v dodatni - ruch w kierunku rosnących x, ujemny to ruch w kierunku malejących x. Rysunek 1. Przykład ruchu postępowego. Jednowymiarowy ruch mierzony względem startu drugiego () ciała. Pomimo, Ŝe w chwili początkowej (t=0s) pierwsze ciało było dwa metry za drugim, zdąŝyło go wyprzedzić (miało większą prędkość) i jako pierwsze dotarło do mety (ośmiometrowej). Prędkość definiujemy jako zmianę połoŝenia ciała w jednostce czasu. W kinematyce rozróŝnia się pomiędzy prędkością średnią a prędkością chwilową. Gdy samochód przyspiesza lub hamuje to wskazania prędkościomierza zmieniają się i nie moŝemy mówić o "jednej" stałej prędkości. Prędkość zmienia się i w kaŝdej chwili jest inna. Ograniczając się dąŝą do bardzo małych wartości róŝnic x x 0 = x) czyli równieŝ bardzo małego przedziału czasu t=t t 0 (chwili). Prędkość chwilową w punkcie x otrzymamy gdy nasze przedziały czasowe t do zera (małe odstępy czasu): s def ds vch. = lim = ( ) t 0 t dt Jak widzimy prędkość chwilowa jest z definicji pierwszą pochodną drogi po czasie. Przy szacowaniu czasu dojazdu do wybranej miejscowości często nie jesteśmy w stanie przewidzieć wszystkich parametrów podróŝy wpływających na prędkość takich jak natęŝenie ruchu, konieczność ograniczenia prędkości w terenie zabudowanym itp. Posługujemy się wtedy pojęciem prędkości średniej: 6

7 Podstawy Prędkość Biofizyki (kurs elektroniczny.1) Sławomir Winiarski średnia stosunek przyrostu drogi do przyrostu czasu (czasami stosunek całkowitej drogi do całkowitego czasu): s s k s p v = = (3) śr. t t k t p gdzie indeksami k i p oznaczono stany końcowe i początkowe ruchu. Przyspieszenie. Przyspieszeniem nazywamy tempo zmiany prędkości. RozróŜnia się pomiędzy przyspieszeniem chwilowym i średnim. Przyspieszenie chwilowe jest pierwszą pochodną prędkości po czasie (drugą pochodną drogi po czasie): v def dv d s a ch. = lim = t 0 t dt = ( 4) dt Prędkość średnia dotyczy skończonych przedziałów i wyraŝa się wzorem: v v k v p a = = (5) śr. t t k t p Ruch jednostajny, to ruch ze stałą prędkością. v = const. i zerowym przyspieszeniem: a=0. Wartość drogi w danym momencie t moŝna obliczyć wzoru (1-1), otrzymując: s( t) = s 0 + v t, gdzie s 0 jest początkową wartością przebytej drogi. Ruch jednostajnie zmienny. Ruch ten, ze względu na niezerową wartość współczynnika przyspieszenia, dzielimy na ruch jednostajnie przyspieszony (a>0) i ruch jednostajnie opóźniony (a<0). Stąd, jeŝeli a 0, wartość prędkości w dowolnej chwili czasu t obliczyć moŝemy ze wzoru (1-): v( t) = v 0 + a t, natomiast drogę obliczymy całkując równanie (1-1): 1 s( t) s0 + v0 t + a t początkowymi wartościami drogi i prędkości. W poniŝszej tabeli znajduje się podsumowanie i zestawienie wzorów na przyspieszenie, prędkość i drogę dla róŝnych typów ruchów: =, gdzie s 0 i v 0 są Tabela 1-3 Rodzaje ruchów podsumowanie rodzaj ruchu przyspieszenie prędkość droga a=0 v(t)=v=const. s t = s 0 + v ruch jednostajny a v v>0 t t v<0 s s0 ( ) t v>0 s0=0 v<0 t ruch niejednostajnie zmienny a const. i a>0 przyspiesz. a<0 opóźniony. v ( t) = a dt ( ( ) s t = v( t) dt = a( t) dt ruch jednostajnie zmienny a=const. i a>0 > przyspieszony a<0 > opóźniony a a>0 a<0 t v ( t) v + a t = 0 v a>0 v0 v0=0 a<0 t s ( t) = s + v t + a t s s 0 a>0 s 0=0 a<0 t 7

8 1... Rzut ukośny. Piłka kopnięta przez piłkarza lub rzucona przez koszykarza, oszczep lub dysk rzucony przez atletę czy wreszcie pocisk wystrzelony z działa poruszają się poruszają się po torze krzywoliniowym. Naszym celem jest znalezienie prędkości i połoŝenia rzuconego ciała w dowolnej chwili, opisanie toru ruchu i wyznaczenie zasięgu rzutu. JeŜeli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym g (g 10m/s ). MoŜemy więc zastosować równania dla ruchu jednostajnie zmiennego. PoniewaŜ przyspieszenie jest skierowane "w dół" wygodnie jest wybrać układ współrzędnych tak, Ŝe x będzie współrzędną poziomą, a y pionową. Ponadto, przyjmijmy, Ŝe początek układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało oraz, prędkość Ŝe w chwili początkowej t = 0 jest równa v 0 i tworzy kąt α z dodatnim kierunkiem osi x (rysunek poniŝej). ZauwaŜmy, Ŝe rzut (np. pokazany z prawej strony rzut piłką tenisową) rozłoŝyć moŝemy na dwa ruchy: ruch jednostajny względem osi podłuŝnej (x) oraz ruch jednostajnie zmienny względem osi pionowej (y). Dla składowych poziomej i pionowej prędkości zapisać moŝemy: vx ( t) = v0x = v0 cosα ( 6) v y ( t) = v0x gt = v0 sin α gt a znając prędkości obliczyć moŝemy przemieszczenia odpowiednio poziome i pionowe: x( t) = v0 cosα t 1 1 (7) y( t) = v0xt gt = v0 sinα t gt Sprawdźmy teraz po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej y(x). Równanie y(x) moŝemy obliczyć eliminując czas t z tych równań. Z zaleŝności x(t) obliczamy t, a następnie wstawiamy do równania y(t), które przyjmuje postać g y( x) = tg 0 cos x v α Jest to parabola z ramionami skierowanymi w dół (rysunek poniŝej). α x ( 8) 8

9 Z powyŝszych równań łatwo pokazać, Ŝe: a) maksymalna wysokość, na jaką wzniesie się są ciało wynosi: v y v0 sin θ hmax = = (9) g g b) całkowity czas ruchu: v y v0 sinθ t = = (10) g g c) zasięg rzutu (maksymalny dystans): v0 sinθ v0 sin(θ ) z = v xt = v0 cosθ = (11) g g PowyŜsze wzory przydatne do określenia zasięgu, oraz maksymalnej wysokości rzutów w lekkoatletyce Ruch obrotowy. RozwaŜać będziemy ciało poruszające się ze stałą prędkością (liniową) po okręgu o promieniu R. Prędkość kątowa (obrotowa) zdefiniowana jest jako zmiana kąta do zmiany czasu. Prędkość kątowa średnia wyraŝa się wzorem: = α ωśr (1) t natomiast prędkość kątowa chwilowa wzorem: dα ω ch = (13) dt i jak widzimy jest to pierwsza pochodna kąta po czasie. Na zasadzie analogii pomiędzy ruchem obrotowym i liniowym zauwaŝymy, przyspieszenie chwilowe kątowe jest pierwszą pochodną prędkości kątowej po czasie: dω ε ch = (14) dt Związek prędkości liniowej i kątowej moŝna wyprowadzić, w prosty sposób, przy wsparciu następującym rysunkiem: R α R v P v R P α R s s Ŝe Wyobraźmy sobie, Ŝe punkt materialny (reprezentujący np. młot z sytuacji z prawej strony) przemieścił się z punktu P do punktu P. 9

10 ZałóŜmy równieŝ, Ŝe przemieszczenie s było nieskończenie małe (rysunek). Prowadząc dwusieczną kąta α obliczmy sinus α/ powstałego w ten sposób trójkąta s prostokątnego: α s sin = =. R R Skorzystajmy z tego, Ŝe kąt α jest nieskończenie małym kątem (dla małych kątów sinz z), dostaniemy: sin α s α =, a stąd: s= α. R. R Przekształcając dalej moŝemy otrzymać związek pomiędzy prędkością liniową a kątową: v = ω R (15) oraz pomiędzy przyspieszeniem liniowym a kątowym: a = ε R (16) Przy analizie ruchu po okręgu dobrze jest wspomnieć o następujących parametrach: Okres czas pełnego obiegu (kąt α zmienia się wtedy o π). 1 Częstotliwość odwrotność okresu: f = (17) T Tabela 4 Niektóre analogie pomiędzy ruchem postępowym a obrotowym Ruch postępowy Ruch obrotowy 1. r. zmienny a 0 * a>0 r.przysp. * a<0 r opóźn. a = a(t) v ( t) = a( t) dt s ( t) = v( t) dt ε = ε(t) ω ( t ) = ε( t) dt α ( t ) = ω( t) dt. r. jednostajnie zmienny a=const. 3. r. jednostajny a = 0 s( t) = s a(t) = a 0 v ( t) v + at 0 = 0 a t + v0t + a(t) = 0 v ( t) = v 0 s( t) = s0 + v0t ε(t) = ε 0 ω ( t) ω + εt = 0 ε t α ( t) = α 0 + ω 0t + ε(t) = 0 ω ( t ) = ω 0 α ( t) = α + ω0 t 0 10

11 . DYNAMIKA RUCHU PROSTOLINIOWEGO Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał pod działaniem sił. Do tego celu słuŝą róŝne rodzaje równań ruchu w zaleŝności modelu zastosowanego. WyróŜnia się dynamikę punktu materialnego, bryły sztywnej, aerodynamikę i hydrodynamikę..1. ŚRODEK MASY Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. obdarzone masą cząstki bezwymiarowe (o zerowej objętości) co wystarczało w przypadku ruchu postępowego ciał bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała. Jednak rzeczywiste ciała układami ogromnej liczby atomów, a ich ruch moŝe być bardzo skomplikowany. Ciało moŝe wirować lub drgać, w trakcie ruchu cząstki mogą zmieniać swoje wzajemne połoŝenie. Przykład takiego ruchu jest przedstawiony na rysunku-animacji poniŝej. Przykład: RozwaŜamy układ dwóch róŝnych mas m 1 i m pokazanych na rysunku: X1 X 0 X Rys.. Środek masy układu dwóch mas m 1 i m średnią o współrzędnych odpowiednio: x 1, x. PołoŜenie środka masy tego układu (x-owa współrzędna osiowa) definiujemy jako:. PołoŜenie środka masy układu punktów materialnych wyznaczamy jak zatem waŝoną, przy czym masa tych punktów jest czynnikiem waŝącym przy tworzeniu średniej. Przez analogię dla układu n cząstek (punktów materialnych) współrzędna x środka masy jest dana zaleŝnością: gdzie suma mas poszczególnych punktów układu jest całkowitą masą układu: Σm i = M. Postępując w ten sam sposób moŝemy wyznaczyć pozostałe współrzędne y, z. W wyniku otrzymujemy trzy równania skalarne, które moŝemy zastąpić jednym równaniem: gdzie r jest uogólnioną = współrzędną: r = {x, y, z} ZauwaŜmy, Ŝe środek masy układu punktów materialnych zaleŝy tylko od mas tych punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia, a nie zaleŝy od wyboru układu odniesienia. Dla ciał o regularnym kształcie środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym. Ruch środka masy: Środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały. Ma śr. m. F = Fwypadkowa 11

12 pr Z twierdzenia o ruchu środka masy wynika, Ŝe nawet ciała materialne będące układami złoŝonymi z duŝej liczby punktów materialnych moŝemy w pewnych sytuacjach traktować jako pojedynczy punkt materialny. Tym punktem jest środek masy. To twierdzenie obowiązuje dla kaŝdego układu punktów materialnych. W szczególności układ moŝe być ciałem o budowie ciągłej (np. ciało stałe). Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie Σ zastępujemy całkowaniem. Układ moŝe teŝ być zbiorem cząstek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Pojęcie środka masy jest bardzo uŝyteczne np. do obliczania energii kinetycznej cząsteczek, wypadkowej siły, pędu, itp... PĘD PUNKTU MATERIALNEGO. Jest to iloczyn masy tego punktu oraz jego prędkości. Podobnie jak prędkość pęd jest jednostką wektorową (posiada wartość, r kierunek i zwrot). = m v (18).3. ZASADY DYNAMIKI NEWTONA 1 Trzy podstawowe prawa fizyczne mechaniki, których treść jest następująca: 1. JeŜeli na punkt materialny (p.m.) nie działa siła (lub działające siły równowaŝą tą się), to ciało to spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.. JeŜeli na punkt materialny działa niezerowa siła, to ciało porusza się ruchem przyspieszonym (lub opóźnionym). Przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły zgodnie ze wzorem: F = m a, (19) gdzie stała proporcjonalności m jest masą przyspieszanego p.m. 3. JeŜeli jeden punkt materialny działa na drugi p.m. siłą F 1, to ten drugi działa na pierwszy z samą siłą ale o przeciwnym zwrocie: F = F 1. Znana jest jeszcze inna postać drugiej zasady dynamiki. Przekształćmy równanie F=ma. dv d( mv) dp Otrzymamy: F = m a = m = =, przy załoŝeniu o stabilności masy w czasie. dt dt dt Czyli: dp F = (0) dt.4. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU. JeŜeli na układ ciał nie działają siły zewnętrzne (F=0) (lub się one równowaŝą), to w myśl drugiej zasady dynamiki: dp = 0, a to implikuje, Ŝe dp=0 czyli pęd układu pozostaje stały. dt jezeli F = 0, to p = const. (1) Analogicznie posługując się zasadą zachowania pędu moŝna wytłumaczyć na przykład zjawisko odrzutu występujące przy strzelaniu z broni palnej. Zjawisko odrzutu ma jednak waŝne praktyczne znaczenie. Zostało wykorzystane w silnikach odrzutowych i rakietowych, w których wyrzucane spaliny nadają samolotowi (rakiecie) przeciwnie skierowany pęd. Zjawisko to jednak róŝni się od opisanych powyŝej, bo w przeciwieństwie do układów gdzie masa elementów składowych pozostawała stała masa wyrzucanych spalin i masa rakiety zmieniają się. 1 Sir Isaac Newton ( ) 1

13 Wiemy juŝ, Ŝe jeŝeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru spełniona jest zasada zachowania pędu. W takim układzie mogą jednak działać siły wewnętrzne, przykład siły występujące przy zderzeniach między cząsteczkami gazu. I właśnie dlatego moŝemy skorzystać z zasady zachowania pędu do opisu zderzeń..5. PRACA I ENERGIA Znajomość zagadnień związanych z szeroko rozumianym pojęciem energii jest konieczna dla wszelkich rozwaŝań zarówno technologicznych, ekonomicznych, ekologicznych jak i społecznych. się śeby o tym przekonać wystarczy sprawdzić jak pozycją istotną w budŝecie domowym stanowią wydatki związane z zapotrzebowaniem na energię (zakupy Ŝywności, opłaty za prąd, gaz, ogrzewanie czy paliwo do samochodu). Z energią związana jest najwaŝniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania energii. Nakłada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystanie. Do zasady tej będziemy się odwoływali wielokrotnie w kolejnych rozdziałach dotyczących róŝnych zagadnień fizyki. W mechanice zasada zachowania energii pozwala obliczać w bardzo prosty sposób ruch ciał, stanowi alternatywę r o do stosowania zasad dynamiki Newtona Praca mechaniczna W najprostszym przypadku, punkt materialny przemieszcza się pod wpływem stałej siły F. Traktując przesunięcie s jako wektor o długości równej drodze jaką przebywa ten punkt i kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu, moŝemy zdefiniować pracę W. Praca mechaniczna W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły F i wektora przesunięcia s W F s = Fs cosα, gdzie α jest kątem między kierunkami siły i przesunięcia. Zwróćmy uwagę, Ŝe kąt α moŝe być róŝny od zera bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Dzieje się tak gdy działają jeszcze inne siły (np. cięŝar, tarcie). Ale nawet gdy działała tylko jedna siła to i tak ciało nie musi poruszać się w kierunku jej działania np. siła grawitacji w rzucie ukośnym. Rozpatrzmy teraz następujący przykład. Przykład: Ciało o masie m ( na przykład sanki) jest ciągnięte po poziomej powierzchni stałą siłą F (rysunek poniŝej), a sznurek, za który ciągniemy tworzy kąt α z poziomem. Praca jaką wykonał człowiek ciągnący to ciało na drodze s jest zgodnie z równaniem (7.1) równa Fscosα. ZauwaŜmy, pracę Ŝe wykonuje tylko składowa F s = Fcosα styczna do przesunięcia s. Natomiast składowa pionowa Fsinα działa w górę zmniejszając nacisk ciała na powierzchnię. =r Ciało o masie m ciągnięte po poziomej powierzchni stałą siłą F tworzącą kąt α z poziomem. 13

14 Praca moŝe przyjmować zarówno wartości dodatnie gdy α < 90, jak i ujemne gdy α > 90. W omawianym przykładzie, poza siłą ciągnącą ciało, działa jeszcze siła tarcia kinetycznego T (rysunek 7.1) przeciwstawiająca się ruchowi (α = 180 ). Praca wykonana przez siłę tarcia jest ujemna W = T s = Ts cos180 = -Ts. W szczególności praca moŝe być równa zeru, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesunięcia (α = 90, cos90 = 0). Przykładem moŝe być praca dla siły dośrodkowej. Przyspieszenie dośrodkowe jest prostopadłe do toru więc siła dośrodkowa nie wykonuje pracy. Rozpatrzmy jeszcze raz powyŝszy przykład ale w sytuacji gdy człowiek ciągnący ciało porusza się ze stałą prędkością. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, Ŝe wtedy F wyp = 0. W kierunku poziomym F wyp = Fcosa T = 0, zatem "dodatnia" praca wykonana przez człowieka jest równa co do wartości bezwzględnej "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę tarcia..5.. Energia potencjalna Przy podnoszeniu w górę (ze stałą prędkością) ciała o masie m na wysokość h zauwaŝmy, Ŝe w trakcie podnoszenia ciała człowiek działa siłą F równą cięŝarowi ale przeciwnie skierowaną, więc "dodatnia" praca W = mgh wykonana na drodze h przez siłę F (człowieka) jest równa co do wartości "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę cięŝkości. Pracę tą nazywamy energią potencjalną Ep. E p =mgh. () Poprzez związek energii potencjalnej z wysokością, moŝemy stwierdzić, Ŝe energia potencjalna, to energia ciała na jakiejś wysokości Energia kinetyczna Rozpatrzmy jeszcze raz ruch ciała pod wpływem stałej, niezrównowaŝonej siły F i obliczmy pracę jaką wykonuje ona na drodze s. Stałość siły oznacza, Ŝe ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem a. Zakładamy ponadto, Ŝe kierunek siły F i przyspieszenia a pokrywa się z kierunkiem przesunięcia s. Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego moŝemy napisać: at s = v t v - v v - v a = i s = t (3) t v = v 0 + at Wykonana praca jest zatem równa: v - v0 v - v0 mv mv0 W = Fs = ma s = m t = (4) t i jest równa przyrostowi tzw. energii kinetycznej: W = E k. Energią kinetyczną E k nazywamy połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości ciała o masie m. Energia kinetyczna jest energią są ciała w ruchu. mv E k = (5) Z twierdzenia o pracy i energii wynika, Ŝe jednostki pracy i energii takie same. Jednostki: Jednostką pracy i energii jest w układzie SI dŝul (J); 1J = 1N m. W fizyce atomowej powszechnie uŝywa się jednostki elektronowolt (ev); 1eV = J Moc Z punktu widzenia zastosowań praktycznych często istotnym jest nie to ile energii moŝna uzyskać ją ze źródła ale to jak szybko moŝna uzyskać (zamienić w uŝyteczną postać). 14

15 Na przykład, waŝnym parametrem samochodu, istotnym przy wyprzedzaniu, jest to jak szybko samochód przyspiesza tzn. jak szybko silnik wykonuje pracę związaną z rozpędzaniem samochodu. Inny przykład to, gdy chcemy zlecić komuś pracę do wykonania. Bierzemy wtedy pod uwagę nie tylko koszty ale i czas wykonania zlecenia (pracy). Moc definiujemy jako ilość wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w jakim została ona wykonana (moc mechaniczna średnia). W P sr = (6). t Moc chwilowa określa natomiast szybkość wykonywania pracy, bo jest pochodną pracy po czasie: dw P chw. = (7) dt Moc jest parametrem, który mierzy takŝe tempo przemiany (przekazywania) energii. Praca obliczona dla stałej siły F przyjmuje dodatkową postać: P = W / t = F. s / t = F. v P = F. v. (8) Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych powszechnie stosowaną jednostką mocy jest kilowat (kw), a jednostką energii elektrycznej (iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kwh) Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, Ŝe dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała. E m = E k + E p = constans (9) Podaliśmy zasadę zachowania energii mechanicznej dla pojedynczego ciała, ale ta zasada jest bardziej ogólna i obowiązuje dla wszystkich odosobnionych układów ciał. Układy odosobnione to takie, na które nie działają siły zewnętrzne (spoza układu). W takich układach suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał pozostaje stała bez względu na oddziaływania w nich zachodzące. Siła tarcia zmienia energię mechaniczną ją układu (zmniejsza bo tarcie jest siłą rozpraszającą). Pozostaje wyjaśnić co stało się ze "straconą" energią mechaniczną. Okazuje się, Ŝe zostaje ona przekształcona na energię wewnętrzną U, która objawia się wzrostem temperatury ciała i otoczenia. Zmiana energii wewnętrznej U jest równa rozproszonej energii mechanicznej. Energia całkowita, tj. suma energii kinetycznej, energii potencjalnej i energii wewnętrznej w układzie odosobnionym nie zmienia się. Mamy więc zasadę zachowania energii całkowitej. Inaczej mówiąc energia moŝe być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie moŝe być wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą. E c = E k + E p + U = constans. (30).6. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ Bryła sztywna jest to wyidealizowany obiekt fizyczny, w którym odległości pomiędzy jego punktami nie ulegają zmianie. Jak wynika z naszego codziennego doświadczenia w ruchu obrotowym waŝna jest nie tylko wartość siły, ale to gdzie i pod jakim kątem jest ona przyłoŝona. Na przykład, drzwi najłatwiej jest otworzyć przykładając siłę na ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym do płaszczyzny drzwi. Siła przyłoŝona wzdłuŝ płaszczyzny drzwi jak i siła przyłoŝona w miejscu zawiasów nie pozwalają na ich obrót. 15

16 rr.6.1. Moment siły Dla ruchu obrotowego wielkością, która odgrywa rolę analogiczną do siły w ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy, skręcający) Μ. JeŜeli siła F jest przyłoŝona w pewnym punkcie to moment siły Μ względem tego punktu jest definiowany jako: Mr = r F (31) gdzie wektor r reprezentuje połoŝenie punktu względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której: a) wartość wynosi: M = r. F. sin(α) = R. F. (3) Wielkość R = r. sin(α) nazywamy ramieniem siły. (Z równania wynika, Ŝe tylko składowa siły prostopadła do ramienia F = Fsinθ wpływa na moment siły.) b) kierunek jest prostopadły do wektora wodzącego r i wektora siły F (tzn. do płaszczyzny wyznaczonej przez r i F), a c) zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej (lub reguła trzech palców )..6.. Moment pędu Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu. Wielkość rr L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako: Lr = p (33) gdzie p jest pędem punktu materialnego, a r reprezentuje jego połoŝenie względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Sama wartość wektora L, z definicji iloczynu wektorowego wynosi: L = r. p. sin(α). 34 Istnieje bezpośrednia zaleŝność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. wyprowadzić ją śeby zróŝniczkujmy obie strony równania: (35) PoniewaŜ są wektory v oraz p zawsze równoległe to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru. Otrzymujemy więc zaleŝność, która będzie inną postacią drugiej zasady dynamiki w ruchu obrotowym: dl r= (36) dt Mr.6.3. Zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego a) Drugie prawo dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: Wypadkowy moment siły działający na punkt materialny jest równy prędkości zmian momentu pędu. (równanie wyŝej) Jest to sformułowanie drugiej zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego. Równanie na M jest analogiczne do odpowiedniego równania na F dla ruchu postępowego. Analogicznie moŝemy sformułować pierwszą zasadę dynamiki ruchu obrotowego: b) Pierwsze prawo dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: 16

17 Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym. c) Trzecie prawo dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: JeŜeli dwa ciała oddziałują wzajemnie, to moment siły z jakim działa ciało drugie na ciało pierwsze jest równy i przeciwnie skierowany do momentu siły, z jakim ciało pierwsze działa na drugie Zachowanie momentu pędu Dla układu n cząstek moŝemy zsumować r momenty sił działające na poszczególne punkty materialne, otrzymując: dlwypadkowy M wypadkowyr = (37) dt JeŜeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub wypadkowy moment sił zewnętrznych jest równy zeru) to całkowity moment pędu układu pozostaje stały: gdy M wypadkowy =0, to: L=constans. (38).6.5. Moment bezwładności Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne ale rozciągłe ciała sztywne. Przeanalizujmy teraz ruch takiej bryły sztywnej obracającej się ze stałą prędkością kątową ω wokół stałej osi obrotu w układzie środka masy. ZauwaŜmy, chociaŝ Ŝe wszystkie punkty mają te samą prędkość kątową ω to punkty znajdujące się w róŝnych odległościach od osi obrotu mają róŝną prędkość liniową v. Prędkość i -tego punktu o masie m i wynosi v i = r i ω gdzie r i jest odległością od osi obrotu. Obliczamy teraz wartość momentu pędu L tego ciała: Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności I, który definiujemy jako: (39) dla punktowego (tzw. dyskretnego) rozkładu masy, oraz dla rozkładu ciągłego: (40) (41) Zwróćmy uwagę, Ŝe moment bezwładności (I) zaleŝy od masy oraz odległości do osi obrotu i określa sposób rozmieszczenia masy względem osi obrotu dla obracającego się ciała. MoŜemy teraz wyrazić moment pędu poprzez moment bezwładności: a poniewaŝ zgodnie z równaniem M = dl/dt = d(i. ω)/dt = I. ε gdzie M jest momentem siły, ε przyspieszeniem kątowym. Obliczmy teraz energię kinetyczną obracającego się ciała: (4) M = I. ε., (43) (44) 17

18 Fr Mr czyli: (45) Zestawmy teraz odpowiednie wielkości obliczone dla ruchu obrotowego z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego (tabela poniŝej). Tabela 5. Zestawienie wielkości opisujących ruch postępowy i ruch obrotowy Ruch postępowy Ruch obrotowy druga zasada dynamiki F = m. a M = I. ε pęd / moment pędu p = m. v L = I. ω inna postać są drugiej zasady dp dl r= dynamiki r= dt dt mv Iω energia kinetyczna E k = E k = Z tego porównania widać, Ŝe moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu postępowym. Zwróćmy uwagę, Ŝe w przeciwieństwie do masy moment bezwładności zaleŝy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych ciał sztywnych podane w tabeli poniŝej: Ciało moment bezwładności I Obręcz, pierścień o promieniu R, względem osi obręczy MR KrąŜek, walec względem osi walca ½ MR Pręt o długości L, względem osi symetrii prostopadłej do pręta 1/1 ML Pełna kula o promieniu R, względem średnicy /5 MR Czasza kulista o promieniu R, względem średnicy /3 MR Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłuŝyć się twierdzeniem Steinera. Podaje ono zaleŝność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej osi, a momentem bezwładności I 0 tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy (tzw. osi centralnej) i równoległej do pierwszej. Związek ten wyraŝa się zaleŝnością: I = I 0 + Md (46) gdzie d jest odległością między osiami, a M jest masą obracającego się ciała Ruch obrotowo-postępowy W przeciwieństwie do ruchu obrotowego względem nieruchomej osi obrotu w przypadku toczenia występuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego spróbujemy opisać toczenie jako złoŝenie ruchu postępowego i obrotowego. W tym celu prześledźmy ruch walca o promieniu R pokazany na rysunku: Rysunek. Toczenie (c) jako złoŝenie ruchu postępowego (a) i obrotowego (b). 18

19 W ruchu postępowym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi prędkościami, natomiast w ruchu obrotowym wokół środka masy S, rysunek (b), przeciwległe punkty poruszają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunku (c) pokazano wynik złoŝenia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b). Zwróćmy uwagę, Ŝe podstawa walca (punkt A styczności z podłoŝem) w kaŝdej chwili spoczywa (prędkość chwilowa v A = 0). Natomiast prędkość liniowa punktów S i B jest proporcjonalna do ich odległości od punktu A (punkt B w odległości R ma prędkość dwukrotnie większą są niŝ punkt S w odległości R). Jeszcze pełniej widać to na rysunku 11.6 gdzie narysowane prędkości chwilowe kilku punktów na obwodzie toczącego się walca. Rysunek 3. Toczenie się walca jako obrót wokół punktu A. Widać, prędkość Ŝe kaŝdego z tych punktów jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z podstawą A i proporcjonalna do odległości tego punktu od A. Takie zachowanie jest charakterystyczne dla ciała wykonującego ruch obrotowy względem nieruchomej osi. Oznacza to, Ŝe opisywany walec obraca się wokół punktu A, a co za tym idzie, Ŝe moŝemy toczenie opisywać równieŝ wyłącznie jako ruch obrotowy ale względem osi przechodzącej przez punkt A styczności z powierzchnią, po której toczy się ciało. W celu zilustrowania równowaŝności obu opisów obliczymy teraz energię kinetyczną walca o masie m toczącego się z prędkością v. Najpierw potraktujemy toczenie jako złoŝenie ruchu postępowego i obrotowego względem środka masy. Energię kinetyczną obliczamy jako sumę energii ruchu postępowego i obrotowego: (47) Ruch ciała będący złoŝeniem ruchu postępowego środka masy i obrotowego względem osi przechodzącej przez środek masy jest równowaŝny ruchowi obrotowemu wokół osi przechodzącej przez punkt styczności ciała z powierzchnią, po której się ono toczy. 19

20 3. MECHANIKA PŁYNÓW Powszechnie przyjęty jest podział materii na ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która moŝe płynąć rozumiemy zarówno ciecze jak i gazy. Płyny, w odróŝnieniu od ciał sztywnych, mających określony rozmiar i kształt, łatwo zmieniają swój kształt, a w przypadku gazów przyjmują objętość równą objętości naczynia. Mówimy, Ŝe płyny nie mają spręŝystości kształtu, a mają spręŝystość objętości. Dlatego rozwiązanie zagadnień z mechaniki płynów wymaga posługiwania się nowymi pojęciami takimi jak ciśnienie i gęstość. RóŜnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe jest związana z tym, Ŝe w cieczy siły występują tylko przy zmianie objętości, a nie jak w ciałach stałych przy ich deformacji (zmianie kształtu). W związku z tym w cieczy siła powierzchniowa, zwana siłą parcia, musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu podczas gdy w ciele stałym moŝe mieć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie moŝe równowaŝyć sił stycznych (warstwy 3.1. CIŚNIENIE I GĘSTOŚĆ płynu się ślizgałyby po sobie) i dlatego moŝe zmieniać kształt i płynąć. W związku z tym będziemy opisywać siłę działającą na płyn za pomocą ciśnienia p zdefiniowanego następująco: Ciśnienie definiujemy jako: stosunek siły parcia (F) działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni (S). Fparcia p = (48) S Ciśnienie jest wywierane zarówno na ścianki naczynia jak i na dowolne przekroje płynów zawsze prostopadle do tych ścianek i przekrojów. Ciśnienie jest wielkością skalarną. Jednostką ciśnienia jest pascal (Pa); 1 Pa = 1 N/m. Inne stosowane jednostki to bar (1 bar = 10 5 Pa), atmosfera (1 atm = Pa), milimetr słupka rtęci (760 mm Hg = 1atm). Do opisu płynów stosujemy równieŝ pojęcie gęstości ρ wyraŝonej jako: masa m ρ = = (49) objetosc V Gęstość płynów zaleŝy od wielu czynników takich jak temperatura, czy ciśnienie. W tablicy przedstawiony jest zakres gęstości spotykanych w przyrodzie: Tabela 6. >Od najmniejszych do największych gęstości<. Materiał ρ [kg/m 3 ] przestrzeń międzygwiezdna najlepsza próŝnia laboratoryjna powietrze (1 atm 0 C) 1.3 powietrze (50 atm 0 C) 6.5 drewno Lód (0 C) 917 Woda destylowana 998 Woda morska 105 Ziemia: skorupa 800 Ziemia: rdzeń 9500 Ziemia: wartość średnia 550 białe karły jądro uranu

21 Ciśnienie hydrostatyczne Równanie p = F/S opisywało ciśnienie wywierane przez płyn na powierzchnię, która go ogranicza. MoŜemy takŝe mówić o ciśnieniu wewnętrznym płynu (tzw. ciśnienie hydrostatyczne). W tym celu rozpatrzmy element płynu w kształcie cienkiego dysku znajdującego się na głębokości h pod powierzchnią płynu pokazany na rysunku. Grubość są dysku wynosi dh, a powierzchnia podstawy wynosi S. Rysunek 4. Siły działające na element cieczy znajdujący się na głębokości h. Masa takiego elementu wynosi ρsdh a jego cięŝar ρgsdh. Pamiętajmy, Ŝe siły działające na element w kaŝdym punkcie prostopadłe do powierzchni. Siły poziome wywołane jedynie przez ciśnienie płynu równowaŝą są się. Siły pionowe wywoływane nie tylko przez ciśnienie płynu ale teŝ przez jego cięŝar. PoniewaŜ płyn jest nieruchomy więc wypadkowa siła działająca na element płynu jest równa zeru. Ciśnienie hydrostatyczne zmienia się z głębokością płynu. Powodem jest cięŝar warstwy płynu leŝącej pomiędzy punktami, dla których mierzymy róŝnicę ciśnień. Wielkość są ρg nazywamy cięŝarem właściwym płynu. Dla cieczy zazwyczaj ρ jest stałe (ciecze praktycznie nieściśliwe) więc moŝemy obliczyć ρcałkowite ciśnienie cieczy na głębokości h, otrzymując (wzór na całkowite ciśnienie hydrostatyczne na głębokości h): pcal.hydro. = p0 + wody g h (50) gdzie p 0 jest ciśnieniem na powierzchni cieczy (h=0). Zazwyczaj jest to ciśnienie atmosferyczne (przyjmuje się ciśnienie standardowe: p 0 =1013hPa). Równanie powyŝsze nie tylko pokazuje, Ŝe ciśnienie rośnie wraz z głębokością ale teŝ, Ŝe jest jednakowe dla punktów o tej samej głębokości, a nie zaleŝy od kształtu naczynia (paradoks hydrostatyczny). ZałoŜenie o stałej gęstości ρ nie jest jednak prawdziwe dla gazów gdy mamy do czynienia ze znaczną róŝnicą wysokości (np. gdy wznosimy się w atmosferze). Ciśnienie zmienia się wtedy znacznie i zmienia się teŝ ρ Ciśnienie atmosferyczne. Do obliczenia całkowitego ciśnienia atmosferycznego na wysokości h (ponad poziomem morza) stosować moŝemy następujący wzór: pcal. atmo. = p0 exp( C h) p0 ρ powietrza g h (51) gdzie: po jest ciśnieniem standardowym, natomiast C=0,116km -1 jest stałą. Eksponenta exp(x), (lub e x ) jest funkcją wykładniczą. Ze wzoru tego widzimy, Ŝe ciśnienie atmosferyczne maleje wykładniczo wraz z wysokością i z dobrym przybliŝeniem (dla małych wysokości) da się zastąpić funkcją liniową Prawo Pascala Ciśnienie zewnętrzne wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane niezmienione na kaŝdą część płynu oraz na ścianki naczynia. (rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach przestrzeni) 1

22 Prawo to jest konsekwencją praw mechaniki płynów podobnie jak prawo Archimedesa. będącą część Prawo Archimedesa Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie to płyn ten wywiera ciśnienie na kaŝdą, z nim w kontakcie, powierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i nazywa się siłą wyporu (lub siłą Archimedesa). Gdy przyjmiemy przykładowo, Ŝe w cieczy zostało zanurzone ciało w kształcie walca o powierzchni podstawy równej S (tak jak na rysunku) to wypadkowa siła działająca na to ciało jest związana z róŝnicą ciśnień na głębokościach h 1 i h odpowiednio nad i pod walcem. Rysunek 5. Walec o powierzchni podstawy S zanurzony w płynie. Siła działająca na walec jest równa cięŝarowi cieczy wypartej przez ten walec. ZauwaŜmy, Ŝe ta siła nie zaleŝy od kształtu ciała, a tylko od jego objętości. Podsumowując, prawo Archimedesa moŝna streścić zdaniem: Ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze siłą (wyporu) równą cięŝarowi wypartego przez to ciało płynu. Siła wyporu natomiast zaleŝy od gęstości płynu, oraz objętości części zanurzonej ciała: Fwyporu = m plynu g = ρ plynu Vzan. g (5) gdzie m p jest masą płynu, ρ p. jego gęstością, natomiast V z jest objętością części zanurzonej ciała. Na kaŝde zanurzone w płynie ciało działają siła wyporu i siła cięŝkości. Dla ciała o masie m i objętości V całkowicie zanurzonego w płynie wypadkowa tych dwóch sił wynosi Fwypadkowa = Fwyporu Fciezkosci = ρ plynuvg ρcialavg = Vg( ρ plynu ρciala ) (53) gdzie ρ plynu jest gęstością średnią płynu, a ρ ciala gęstością ciała. Widzimy, Ŝe zwrot siły wypadkowej zaleŝy od róŝnicy gęstości płynu i ciała. Na przykład ciało zanurzone w cieczy o gęstości ρ < ρ 1 tonie, a dla gęstości ρ > ρ 1 pływa częściowo zanurzone Ogólny opis przepływu płynów Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu czyli zajmiemy się dynamiką są płynów. Znane dwa podejścia do opisu ruchu płynu. MoŜemy albo zająć się opisem ruchu poszczególnych cząsteczek płynu albo opisywać gęstość płynu i jego prędkość w kaŝdym punkcie przestrzeni w funkcji czasu. Na wstępie poznamy ogólne pojęcia charakteryzujące przepływ. Przepływ moŝe być ustalony (laminarny) lub nieustalony. Ruch płynu jest ustalony, gdy prędkość płynu v w dowolnie wybranym punkcie jest stała w czasie tzn. kaŝda cząsteczka przechodząca przez dany punkt zachowuje się tak samo. Warunki takie osiąga się przy niskich prędkościach przepływu.

23 Przepływ moŝe być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest bezwirowy, gdy w Ŝadnym punkcie cząsteczka nie ma wypadkowej prędkości kątowej. Przepływ moŝe być ściśliwy lub nieściśliwy. Przepływ jest nieściśliwy gdy gęstość płynu jest stała. Zazwyczaj przepływ cieczy jest nieściśliwy. RównieŜ przepływ gazu moŝe być w pewnych warunkach nieściśliwy. Przykładem moŝe tu być ruch powietrza względem skrzydeł samolotu podczas lotu z prędkością mniejszą od prędkości dźwięku. Przepływ moŝe być lepki lub nielepki. Lepkość w ruchu płynów jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych. Charakteryzuje opór płynów przeciw płynięciu pod działaniem sił zewnętrznych. Lepkość jest istotną cechą wielu produktów na przykład smarów ZałoŜenie: W naszych rozwaŝaniach ograniczymy się do przepływów ustalonych, bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich!!! W przepływie ustalonym v jest stała w czasie w danym punkcie. Oznacza to, Ŝe kaŝda cząstka przechodząca przez dowolny punkt ma taką samą prędkość np. v 1. Tak samo jest w kolejnym punkcie gdzie kaŝda cząstka ma prędkość v. Dotyczy to wszystkich punktów. Oznacza to, Ŝe wystarczy prześledzić tor jednej cząstki, a będziemy znali tor kaŝdej cząstki przechodzącej przez dany punkt. Tor tej cząstki nazywamy linią prądu (rysunek). Linia prądu jest równoległa do prędkości płynu. śadne linie prądu nie mogą się przecinać bo istniałaby niejednoznaczność w wyborze drogi przez cząstkę (przepływ nie byłby ustalony). JeŜeli wybierzemy pewną skończoną liczbę linii prądu to taką wiązkę nazywamy strugą prądu. Brzegi składają się z linii prądu a poniewaŝ są linie prądu równoległe do prędkości więc płyn nie przepływa przez brzegi strugi. Płyn wchodzący jednym końcem strugi musi opuścić ją drugim tak jak w rurce. Na rysunku poniŝej prędkość cząstek w punkcie P 1 wynosi v 1, a pole przekroju strugi S 1. W punkcie P mamy odpowiednio prędkość v i pole przekroju S. W czasie t cząstka płynu przebywa odległość równą v t. Masa płynu przechodzącego przez S 1 w czasie t wynosi:, gdzie S 1 v 1 t stanowi objętość elementu płynu. Analogicznie masa płynu przepływającego przez powierzchnię S w czasie t jest równa: PoniewaŜ płyn jest nieściśliwy więc jego gęstość jest taka sama w punkcie P 1 i P. Ponadto między tymi punktami płyn nie moŝe opuścić strugi więc strumienie mas przepływające przez obie powierzchnie muszą być sobie równe. Zatem lub (54) 3

24 Otrzymany związek nosi nazwę równania ciągłości (lub prawa przepływu strugi). Wynika z niego między innymi, Prędkość Ŝe płynu nieściśliwego przy ustalonym przepływie jest odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju strugi. Linie prądu muszą się zagęszczać w węŝszej części a rozrzedzać w szerszej. To znaczy, rzadko rozmieszczone linie oznaczają obszary niskiej prędkości, linie rozmieszczone gęsto obszary wysokiej prędkości płynu Równanie Bernoulliego RozwaŜmy, pokazany na rysunku, nielepki, ustalony, nieściśliwy przepływ płynu w strudze. Płyn na rysunku przemieszcza się w stronę prawą. W czasie t powierzchnia S 1 przemieszcza się o odcinek v 1 t. Analogicznie powierzchnia S przemieszcza się o odcinek v t. Na powierzchnię S 1 działa siła F 1 = p 1 S 1, a na powierzchnię S siła F = p S. Rysunek 6. Struga płynu (gazu lub cieczy) przepływa w taki sposób, Ŝe zmienia się wysokość przepływu, oraz prędkość przepływu (bo zmienia się średnica strugi). Musi mieć to oczywiście wpływ na zmianę ciśnienia, jakie zmierzymy (tzw. ciśnienie punktowe), ale w przewidywalny sposób (por. prawo Bernoulliego). Dla tej strugi moŝna pokazać, Ŝe: (55) lub (56) Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego dla przepływu ustalonego, nielepkiego i nieściśliwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów. WyraŜa fakt, Ŝe z przepływem płynu związane jest (oprócz ciśnienia statycznego i hydrostatycznego) ciśnienie dynamiczne. Wynika z niego, Ŝe: suma trzech ciśnień: statycznego (teŝ punktowego), hydrostatycznego (związanego z wysokością przepływu) i dynamicznego (związanego z prędkością przepływu) nie zmienia się. Przepływ cieczy w strudze moŝe być wywołany róŝnicą ciśnień na końcach strugi lub róŝnicą poziomów tych końców Dynamiczna siła nośna W odróŝnieniu od statycznej siły nośnej, którą jest siła wyporu działającą zgodnie z prawem Archimedesa na przykład na balon czy statek, dynamiczna siła nośna wywołana jest ruchem ciał w płynie na przykład na skrzydła samolotu czy śmigła helikoptera. 4

25 schematycznie są Rysunek 7. Przykład opływu powietrza ponad wybrane przeszkody. Na rysunku poniŝej pokazane linie prądu i ruch cząstek powietrza wokół skrzydła samolotu. Samolot wybieramy jako układ odniesienia i analizujemy ruch powietrza względem skrzydła. są Rysunek 8. Powietrze przepływając przez skrzydło (o wypukłym ku górze profilu i ustawionym pod kątem natarcia) jest kierowane nad jego górną powierzchnię, dlatego pokonując dłuŝszą drogę musi pokonać ją szybciej (v 1 >v ). Wraz ze wzrostem prędkości zwiększa się ciśnienie dynamiczne i obniŝa ciśnienie punktowe (statyczne). W rezultacie powstaje siła nośna chcąca wyrównać ciśnienia i unosząca skrzydło do góry. Analizując linie prądu zauwaŝymy, Ŝe ze względu na ustawienie skrzydła (tak zwany kąt natarcia) oraz jego asymetryczny profil (górna powierzchnia bardziej wypukła) linie prądu nad skrzydłem rozmieszczone gęściej niŝ pod skrzydłem co oznacza, prędkość Ŝe v 1 powietrza ponad skrzydłem jest większa niŝ prędkość v pod skrzydłem. Widzimy, ponadto Ŝe cząstki powietrza przelatujące nad skrzydłem pokonują, w tym samym czasie, niŝ dłuŝszą drogę cząstki przelatujące pod skrzydłem co równieŝ oznacza, mają większą Ŝe prędkość. Prowadzi to do wniosku, zgodnie z prawem Bernoulliego, Ŝe ciśnienie nad skrzydłem jest mniejsze od ciśnienia pod skrzydłem i Ŝe otrzymujemy wypadkową siłę nośną F skierowaną ku górze. Wniosek ten wynika równieŝ wprost z trzeciej zasady dynamiki Newtona. Wektor prędkości v a powietrza zbliŝającego się do skrzydła jest poziomy podczas gdy powietrze za skrzydłem jest skierowane na ukos w dół (prędkość v b ma składową pionową). Oznacza to, Ŝe skrzydło pchnęło powietrze w dół więc w reakcji powietrze pchnęło skrzydło do góry. W naszych rozwaŝaniach pominęliśmy siłę oporu powietrza tak zwaną siłę oporu czołowego. W warunkach rzeczywistych siła nośna jest wypadkową przedstawionej powyŝej siły parcia wynikającej z asymetrycznej budowy skrzydła i siły oporu czołowego. Przy konstrukcji skrzydeł jak i śmigieł staramy się zminimalizować opór czołowy. Ta sama siła oporu czołowego wpływa znacząco na zuŝycie paliwa w samochodach. Dlatego tak wielką wagę konstruktorzy przywiązują do optymalizacji kształt nadwozia samochodów Siła oporów aerodynamicznych Na kaŝde ciało poruszające się w płynie działa siła oporu czołowego skierowana przeciwnie do wektora prędkości v. 5