Algorytmy grafiki rastrowej. Mirosław Głowacki Wykład z Grafiki Komputerowej
|
|
- Bartłomiej Cybulski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algorytmy grafiki rastrowej Mirosław Głowacki Wykład z Grafiki Komputerowej
2 Konwersja odcinków Mirosław Głowacki Wykład z Grafiki Komputerowej
3 Konwersja odcinków Algorytmy konwersji odcinków obliczają współrzędne pikseli leżących na lub blisko idealnej, nieskończenie cienkiej linii prostej nałożonych na siatkę dwuwymiarowego rastra Sekwencja pikseli powinna leżeć możliwie blisko odcinka rzeczywistego i tworzyć możliwie prostą linię Dla odcinków o nachyleniu z przedziału [ 1, 1] tylko jeden piksel w każdej kolumnie, dla pozostałych tylko jeden piksel w wierszu
4 Konwersja odcinków Wszystkie odcinki powinny być rysowane ze stałą jasnością niezależnie od długości i orientacji i tak szybko jak to możliwe Powinna istnieć możliwość rysowania odcinka grubszego niż 1 o osi symetrii pokrywającej się z odcinkiem idealnym. Wygląd takich odcinków musi zależeć od atrybutów linii oraz stylu pióra i spełniać wymagania ilustracji dobrej jakości
5 Odcinki o grubości 1 - przykłady konwersji odcinków Odcinki pionowe, poziome i o nachyleniu m = 1 są szczególnymi przypadkami, gdyż przechodzą dokładnie przez środek pikseli
6 Odcinek po konwersji
7 Podstawowy algorytm przyrostowy Najprostsza strategia polega na: obliczeniu nachylenia odcinka m jako y/ x, zwiększaniu wartości x o 1 zaczynając od punktu położonego maksymalnie z lewej strony, obliczaniu y i = m x i + B dla kolejnych x i Wyświetlaniu piksela x i, Round y i Jest to strategia nieefektywna, gdyż w każdej iteracji wykonywane jest zmiennopozycyjne mnożenie, dodawanie i wywoływanie funkcji Round
8 Podstawowy algorytm przyrostowy Mnożenie można wyeliminować jeśli zauważymy, że y i+1 = mx i+1 + B = m x i + x + B = = y i + m x Teraz jeśli x = 1, to y i+1 = y i + m Wobec tego jednostkowej zmianie x towarzyszy zmiana y o m nachylenie odcinka Wartości kolejnego punktu leżącego na prostej teoretycznej (nie chodzi tu o punkty uzyskane w wyniku rasteryzacji) definiowane są rekurencyjnie
9 Podstawowy algorytm przyrostowy (x i + 1,Round(y i + m)) Idealna prosta (x i,y i ) (x i + 1,y i + m) (x i,round(y i )) Poprzedni piksel Potencjalne punkty dla bieżącego piksela
10 Podstawowy algorytm przyrostowy Obliczenia przyrostowe rozpoczynają się od (x 0, y 0 ) Należy zauważyć, że obliczenia nie biorą pod uwagę przesunięcia odcinka linii prostej względem osi OY, tzn. współczynnika B prostej. Jeśli m > 1 to jednostkowemu krokowi w kierunku OX towarzyszy krok w kierunku osi OY większy niż 1 Należy wówczas zamienić miejscami x i y, tzn. zwiększać o jednostkę współrzędną y oraz x o wartość x = y/m = 1/m
11 Podstawowy algorytm przyrostowy implementacja w C++ void Line ( int x0, int y0, int x1, int y1, int value ) { // Zakłada się, ze -1 < m < 1 // x zmienia się od x0 do x1 z przyrostem jednostkowym int x; float dx, dy, y, m dx = x1 x0; dy = y1 y0; m = dy / dx; y = y0; for (x = x0; x <= x1; x++) { // Ustawienie piksela WritePixel ( x, static_cast<int>(floor(y+0.5)),value); y += m; } }
12 Algorytm Bresenhama konwersji odcinka Może być stosowany do odcinków o dowolnych rzeczywistych końcach Może być stosowany również do rysowania okręgów całkowitoliczbowych Nie może być stosowana do innych krzywych stożkowych Obliczenia wykonywane są z wykorzystaniem arytmetyki całkowitoliczbowej Przyrostowe obliczanie wartości dla piksela i + 1 na podstawie znanych współrzędnych i tego piksela Zapewnia najlepszą aproksymację dla idealnego odcinka prostej minimalizuje błąd (odległość od linii idealnej)
13 Algorytm z punktem środkowym, algorytm Bresenhama NE Q M E P = (xp, yp) Poprzedni piksel Potencjalne punkty dla bieżącego piksela Potencjalne punkty dla następnego piksela
14 Algorytm z punktem środkowym Zakładamy nachylenie odcinka linii prostej pomiędzy 0 i 1 Dla innych nachyleń korzysta się z odpowiednich odbić osi współrzędnych Przyjmujemy, że dolny lewy koniec odcinka ma współrzędne (x 0, y 0 ), a prawy górny (x 1, y 1 )
15 Algorytm z punktem środkowym, algorytm Bresenhama W poprzednim kroku wybrano punkt P o współrzędnych (x p, y p ) Teraz należy wybrać piksel przesunięty o jednostkę w prawo ( tzw. piksel wschodni E) lub o jednostkę w prawo i jednostkę do góry (piksel północno-wschodni NE) P = (xp, yp) Poprzedni piksel Q NE M E Potencjalne punkty dla bieżącego piksela Potencjalne punkty dla następnego piksela
16 Algorytm Bresenhama Punkt Q będący punktem przecięcia odcinka z linią x = x p + 1 jest wykorzystywany do wybrania pomiędzy pikselami E i NE Oblicza się odległości w pionie pomiędzy E i Q oraz pomiędzy NE i Q Mniejsza z odległości powoduje wybór odpowiedniego piksela E lub NE P = (xp, yp) Poprzedni piksel Q NE M E Potencjalne punkty dla bieżącego piksela Potencjalne punkty dla następnego piksela
17 Algorytm z punktem środkowym Analizy dokonuje się w oparciu o punkt środkowy M leżący na linii x = x p + 1 oraz jego położenie w stosunku do punktu Q Jeśli M leży powyżej odcinka linii prostej, to piksel E leży bliżej odcinka, jeśli M leży poniżej odcinka linii prostej, to piksel NE leży bliżej tego odcinka Nie ma znaczenia czy odcinek przebiega pomiędzy pikselami E i NE czy też nie algorytm wybierze najbliższy, nawet spoza tego zakresu Błąd, tzn. pionowa odległość między pikselem i odcinkiem idealnym 1/2 P = (xp, yp) Poprzedni piksel Q NE M E Potencjalne punkty dla bieżącego piksela Potencjalne punkty dla następnego piksela
18 Algorytm z punktem środkowym Niech odcinek będzie reprezentowany przez funkcję uwikłaną ze współczynnikami a, b i c Jeśli to równanie prostej F x, y = ax + by + c dy = y 1 y 0 dx = x 1 x 0 y = dy dx x B
19 Algorytm z punktem środkowym Stąd postać funkcji uwikłanej będzie F x, y = dy x dx y + Bdx = 0 Zatem w postaci uwikłanej a = dy b = dx c = B dx
20 Algorytm z punktem środkowym Dla punktów położonych na odcinku F x, y = 0 Dla punktów poniżej odcinka F x, y > 0 Dla punktów powyżej odcinka F x, y < 0
21 Algorytm z punktem środkowym Teraz należy jedynie sprawdzić znak funkcji. W tym celu definiujemy zmienną decyzyjną d d = F M = F x p + 1, y p Z definicji d przyjmuje wartość d = a x p b y p c
22 Algorytm z punktem środkowym d > 0 d < 0 d = 0 Zostaje wybrany piksel NE Zostaje wybrany piksel E Może zostać wybrany dowolny piksel i wybieramy E
23 Algorytm z punktem środkowym, algorytm Bresenhama NE Q M E P = (xp, yp) Poprzedni piksel Potencjalne punkty dla bieżącego piksela Potencjalne punkty dla następnego piksela
24 Algorytm z punktem środkowym Pytanie: Co stanie się z położeniem punktu M i wartością d dla następnej linii siatki? Odpowiedź zależy od tego czy uprzednio wybrano piksel E czy też piksel NE
25 Algorytm z punktem środkowym Jeśli wybrany został piksel E, to M zwiększa swoją odciętą o jeden krok i nie zmienia rzędnej - wtedy d new = F x p + 2, y p = a x p b y p c Poprzednia wartość d wynosiła d old = a x p b y p c
26 Algorytm z punktem środkowym Stąd wynika fakt d new = d old + a Zatem po wybraniu punktu E, przyrost zmiennej decyzyjnej d wyniesie E = a = dy Nie ma zatem potrzeby bezpośredniego obliczania wartości funkcji F(x, y) w kolejnym kroku
27 Algorytm z punktem środkowym Jeśli wybrany został piksel NE, to M zwiększa obie swoje współrzędne o jednostkę d new = F x p + 2, y p = a x p b y p c Ponieważ d old = a x p b y p c
28 Algorytm z punktem środkowym Stąd d new = d old + a + b Zatem po wybraniu punktu NE, przyrost zmiennej decyzyjnej d wyniesie NE = a + b = dy dx Również w tym przypadku nie ma potrzeby bezpośredniego obliczania wartości funkcji F(x, y) w kolejnym kroku
29 Algorytm z punktem środkowym Pierwszym zaznaczanym pikselem jest początek odcinka, tzn. (x 0, y 0 ). Początkową wartość d wylicza się bezpośrednio dla punktu (x 0 + 1, y 0 + 1/2) F x 0 + 1, y = a x b y c = = ax 0 + by 0 + c + a + b 2 = F x 0, y 0 + a + b 2
30 Algorytm z punktem środkowym Punkt (x 0, y 0 ) leży na odcinku, więc F(x 0, y 0 ) = 0. d start = a + b 2 = dy dx 2 Korzystając z d start wybieramy drugi piksel, potem liczymy d new i wybieramy trzeci piksel, itd W celu uniknięcia ułamka w d start funkcję F(x, y) mnożymy przez 2 F x, y = 2 ax + by + c Powoduje to konieczność mnożenia każdej stałej, zmiennej decyzyjnej oraz przyrostów E i NE przez 2, nie wpływa to jednak na znak zmiennej decyzyjnej, co jest istotne dla algorytmu i gwarantuje możliwość dodawania całkowitoliczbowego
31 Algorytm z punktem środkowym implementacja w C, C++ void MidpointLine ( int x0, int y0, int x1, int y1, int value ) { int dx, dy, incre, incrne, d, x, y; dx = x1 x0; dy = y1 y0; d = dy * 2 dx; // Początkowa wartość d incre = dy * 2; // Przyrost przy przejściu do E incrne = ( dy dx ) * 2; // Przyrost przy przejściu do NE x = x0; y = y0; WritePixel ( x, y, value); // Piksel początkowy while ( x < x1 ) { if ( d <= 0 ) { d += incre; x++;} // Wybór E else { d += incrne; x++; y++;} // Wybór NE WritePixel ( x, y, value); // Wybrany najbliższy piksel } }
32 Algorytm z punktem środkowym 12 Odcinek pomiędzy punktami (5, 8) i (9, 11) rysowany metodą punktu środkowego d = 2 d = 0 d = 6 NE E d = 4 NE NE
33 Algorytm konwersji z punktem środkowym Wu i Rokne Opiera się na klasycznym algorytmie punktu środkowego Dwukrotnie zredukowano liczbę decyzji Poszukuje się nie kolejnego pojedynczego piksela, a pary pikseli
34 Algorytm Wu i Rokne Wu pokazał, że mogą wystąpić cztery kombinacje przy wyborze pary pikseli Wzór 1 Wzór 2 Wzór 3 Wzór 4
35 Algorytm Wu i Rokne Wu i Rokne pokazali, że wzory 1 i 4 nie mogą wystąpić na tym samym odcinku Jeśli nachylenie odcinka > ½, to nie może wystąpić wzór 1 Jeśli nachylenie odcinka < ½, to nie może wystąpić wzór 4 Testowanie nachylenia odcinka ogranicza wybór do jednego z trzech wzorów: 1, 2, 3 albo 2, 3, 4 Wzór 1 Wzór 3 Wzór 2 Wzór 4
36 Algorytm Wu i Rokne Przypadek 1: nachylenie odcinka zawiera się w przedziale ( 0, ½ ), co jak wiemy wyklucza wzór 4 Należy wybrać wzór: 1, 2, albo 3. Początkowa wartość zmiennej decyzyjnej, która zapewnia dodawanie całkowitoliczbowe będzie d = 4 a + b 2 = 4dy 2dx
37 Algorytm Wu i Rokne Potem dla każdego kroku o dwie jednostki rastra, jeśli d < 0, to należy wybrać wzór 1 Jeśli d 0, to należy wybrać wzór: 2 lub 3. Decyduje o tym test d < 2dy. Zwiększanie d przebiega wg reguły: Jeśli d i < 0, (wzór 1) Jeśli d i 0, (wzór: 2 lub 3) d i+1 = d i + 4dy d i+1 = d i + 4dy 2dx
38 Algorytm Wu i Rokne implementacja w C++ void DoubleStep ( int x0, int y0, int x1, int y1 ){ int current_x, incr_1, incr_2, cond, dx, dy, d; /* Kod wewnętrznej pętli dla przypadku nachylenia z przedziału (0, 1/2). Dla procedury DrawPixels jest potrzebny wzór (patern) i bieżąca wartość odciętej x. W przypadku końca odcinka może być konieczne narysowanie tylko jednego piksela, a nie całego wzoru, gdyż w przeciwnym przypadku konwersja może dać zbyt długi odcinek. */ // inicjalizacja pętli wewnętrznej dx = x1 x0; dy = y1 y0; current_x = x0; incr_1 = 4 * dy; incr_2 = 4 * dy 2 * dx; cond = 2 * dy; d = 4 * dy dx;
39 Algorytm Wu i Rokne implementacja w C++ (kontynuacja) d = 4 * dy dx; while (current_x < x1) { if (d < 0) { } } DrawPixels ( PATTERN_1, current_x); d += incr_1 // potrzebna jest dalsza konwersja // pierwsza decyzja } else { if (d < cond) // Wybór między 2 i 3 DrawPixels ( PATTERN_2, current_x); else DrawPixels ( PATTERN_3, current_x); d += incr_2; } current_x += 2;
40 Kolejność punktów końcowych Należy zapewnić, aby odcinek rysowany od P 1 do P 2 zawierał ten sam zestaw pikseli co odcinek rysowany od P 2 do P 1 Zapewnia to niezależność wyglądu odcinka od kolejności podawania jego punktów końcowych Jedyną sytuacją, gdy wybór piksela zależy od kierunku rysowania odcinka jest przypadek, gdy przechodzi on dokładnie przez punkt środkowy i zmienna decyzyjna jest równa zeru Jeśli idąc z lewa na prawo zostałby wybrany piksel E, to na zasadzie symetrii spodziewamy się, że idąc z prawa na lewo dla d = 0 zostanie wybrany piksel W.
41 Kolejność punktów końcowych Jednak wtedy będzie to piksel leżący o jednostkę wyżej niż miałoby to miejsce przy konwersji z lewa na prawo. Powinien natomiast zostać wybrany piksel SW. Należy zatem zmodyfikować algorytm konwersji z prawa na lewo. Można co prawda każdorazowo dokonywać konwersji z lewa na prawo, ale możliwe jest to tylko przy wykreślaniu linii ciągłej. Dla odcinka rysowanego np. linią przerywaną konieczne jest aby wzór bitowy ( przykładowo ) zaczynał się zawsze w początku odcinka, a nie w jego końcu. W ogólnym przypadku należy zatem przeprowadzać konwersję w zadanym kierunku.
42 Początek odcinka na krawędzi prostokąta obcinającego Algorytm powinien prawidłowo rasteryzować odcinki, które zostały obcięte za pomocą jednego z algorytmów obcinających. Punkt przecięcia ma całkowitą współrzędną x, ale rzeczywistą współrzędną y Piksel [x min, Round(mx min + B)] leżący na krawędzi jest tym pikselem, który byłby narysowany przy pomocy algorytmu przyrostowego dla odcinka nie obciętego (x min, Round(mx min + B)) x = xmin (x min, mx min + B) NE E y = ymin
43 Początek odcinka na krawędzi prostokąta obcinającego Przy algorytmie z punktem środkowym musimy zatem dla przedstawionego piksela początkowego zainicjalizować zmienną decyzyjną pomiędzy E i NE Strategia ta daje prawidłową sekwencję pikseli w przeciwieństwie do algorytmu, który zakłada dokonywanie konwersji wcześniej obciętego odcinka, co zmienia jego nachylenie
44 Początek odcinka na krawędzi prostokąta obcinającego Jeśli odcinek przecina linię poziomą, to sytuacja jest bardziej skomplikowana Dla odcinka o niewielkim nachyleniu, w wierszu y = y min będzie kilka pikseli, które odpowiadają dolnej krawędzi prostokąta obcinającego Chcemy, aby każdy z tych pikseli należał do wnętrza obszaru obcinającego. x = x min B A y = y min - 1/2 y = y min - 1 y = y min
45 Początek odcinka na krawędzi prostokąta obcinającego Zwykle jednak obliczenia analityczne przecięcia odcinka z linią y = y min i późniejsze zaokrąglenie wartości x daje piksel A zamiast B Piksel B leży z prawej strony i nad miejscem, w którym odcinek po raz pierwszy przecina pionową linię siatki ponad punktem środkowym y = y min ½. Współrzędne pierwszego punktu środkowego to (Round x, y min ½) x = x min B A y = y min - 1/2 y = y min - 1 y = y min
46 Konwersja okręgów Mirosław Głowacki Wykład z Grafiki Komputerowej
47 Konwersja okręgu Metody mało efektywne: Konwersja ćwiartki okręgu z automatyczną konwersją pozostałej części na zasadzie symetrii Dla uwikłanej postaci równania okręgu: y = ± R 2 x 2 wadliwe, nierównomierne rozmieszczenie pikseli Dla równania okręgu w postaci: (R cos, R sin ) dla z zakresu 0 do 90 o Można usprawnić sposób rysowania lepiej wykorzystując symetrię okręgu. Obliczeń można dokonać jedynie dla segmentu o kącie rozwarcia 45 o
48 Konwersja okręgu ośmiokrotna symetria (-x, y) (x, y) Ośmiokrotna symetria Jeśli punkt o współrzędnych (x, y) należy do okręgu, to w trywialny sposób można obliczyć położenie siedmiu innych punktów (-y, x) (-y, -x) R/2 0.5 (y, x) (y, -x) (-x, -y) (x, -y)
49 Ośmiokrotna symetria funkcja CirclePoints void CirclePoints (float x, float y, int value) { WritePixel(x, y, value); WritePixel(y, x, value); WritePixel(y, -x, value); WritePixel(x, -y, value); WritePixel(-x, -y, value); WritePixel(-y, -x, value); WritePixel(-y, x, value); WritePixel(-x, y, value); }
50 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu Bresenham opracował przyrostowy generator okręgu Zastosował metodę przyrostową do współpracy z ploterami Podobny algorytm może zostać oparty o metodę punktu środkowego Algorytm działa dla okręgów o całkowitoliczbowych: promieniu i współrzędnych środka okręgu Rozważa się 45 o drugi oktant okręgu od x = 0 do x = y = R/ 2 Podobnie jak dla odcinka oblicza się funkcję w punkcie środkowym pomiędzy dwoma pikselami i wybiera jeden z nich
51 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu P = (xp, yp) E Siatka pikselowa dla algorytmu z punktem środkowym dla okręgu M SE M E M SE Poprzedni piksel Możliwości wyboru dla bieżącego piksela Możliwości wyboru dla następnego piksela
52 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu Jeśli został wybrany punkt P o współrzędnych (x p, y p ) to jako następny może zostać wybrany E lub SE Funkcja uwikłana F(x, y) będzie miała postać: F x, y = x 2 + y 2 R 2 Funkcja ta będzie miała wartość: zerową na okręgu ujemną wewnątrz i dodatnią na zewnątrz okręgu Jeśli punkt środkowy pomiędzy pikselami E i SE leży na zewnątrz okręgu, to bliższym okręgu jest piksel SE Jeśli punkt środkowy leży wewnątrz okręgu, to bliższym okręgu jest piksel E
53 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu Podobnie jak dla odcinków wyboru dokonuje się na podstawie zmiennej decyzyjnej d d = F x p + 1, y p 1 2 = x p y p R 2 Jeśli d < 0 to wybieramy piksel E i następny punkt środkowy będzie w odległości jednego przyrostu wzdłuż osi OX d new = F x p + 2, y p 1 2 = x p y p R 2
54 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu Stąd wynika fakt d new = d old + 2x p + 3 Zatem po wybraniu punktu E, przyrost zmiennej decyzyjnej d wyniesie E = 2x p + 3 Nie ma zatem potrzeby bezpośredniego obliczania wartości funkcji F(x, y) w kolejnym kroku
55 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu Jeśli d old 0 to wybieramy piksel SE i następny punkt środkowy będzie w odległości jednego przyrostu wzdłuż osi OX i jednego ujemnego przyrostu wzdłuż osi OY d new = F x p + 2, y p 3 2 = x p y p 3 2 Stąd wynika fakt d new = d old + 2x p 2y p + 5 Zatem po wybraniu punktu SE, przyrost zmiennej decyzyjnej d wyniesie SE = 2x p 2y p + 5 Również i teraz nie ma zatem potrzeby bezpośredniego obliczania wartości funkcji F(x, y) w kolejnym kroku 2 R 2
56 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu W przypadku linii prostej E i NE miały stałe wartości W przypadku okręgu S i SE zmieniają się w każdym kroku w zależności od wartości współrzędnych (x p, y p ) piksela wybranego w poprzedniej iteracji Punkt P o współrzędnych (x p, y p ) nazywa się zatem punktem odniesienia Ponieważ obliczeń dokonujemy dla promieni całkowitoliczbowych w drugi oktancie okręgu wiemy, że piksel początkowy leży na okręgu w punkcie (0, R) Następny punkt środkowy leży w (1, R ½ ). Wartość funkcji F dla tego punktu wyniesie F 1, R 1 2 = 1 + R2 R R2 = 5 4 R
57 Implementacja algorytmu w C++ void MidpointCircle(int radius, int value) { int x, y; float d; x = 0; // inicjalizacja y = radius; d = 5./4. - radius; CirclePoints (x, y, value); while (y > x) { if (d < 0) {d += x*2. + 3; x++;} // wybrac E else {d += (x y) * ; x++; y--;} // wybrac SE CirclePoints (x, y, value); } }
58 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu wersja całkowitoliczbowa Wadą jest tu konieczność używania arytmetyki zmiennoprzecinkowej ze względu na ułamkową inicjalizację wartości d. Funkcja ta może zostać z łatwością przystosowana do rasteryzacji okręgów, dla których promień bądź współrzędne środka nie są całkowite Należy również opracować wersję w pełni całkowitoliczbową, a więc i szybką Definiujemy nową zmienną decyzyjną h = d 1 4 i podstawiamy w kodzie h + ¼ zamiast d i do inicjalizacji mamy h = 1 R Porównanie d < 0 zostaje zastąpione porównaniem h < ¼ Ponieważ jednak h zaczyna się od wartości całkowitej i zwiększa się o wartości całkowite S i SE możemy porównanie zmienić na h < 0
59 Implementacja algorytmu w C++ void MidpointCircle(int radius, int value) { int x, y; int d; // w dalszym ciągu używamy d pamiętając, // że ma wartość h x = 0; // inicjalizacja y = radius; d = 1 - radius; CirclePoints (x, y, value); while ( y > x ) { if ( d < 0 ) {d += x * 2 + 3; x++;} // wybrac E else {d += (x y) * 2 + 5; x++; y--; } // wybrac SE CirclePoints (x, y, value); } }
60 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu różnice drugiego rzędu Algorytm z punktem środkowym dla okręgu można jeszcze bardziej przyspieszyć korzystając z metody obliczeń przyrostowych Podobnie jak to miało miejsce dla zmiennej decyzyjnej d wartość każdego wielomianu można obliczać przyrostowo. W rezultacie obliczamy różnice pierwszego i drugiego rzędu w dwóch sąsiednich punktach. Dla wielomianów różnice są wielomianami niższego rzędu.
61 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu różnice drugiego rzędu Jeśli w bieżącej iteracji wybrano E, to kolejny punkt przesuwa się z (x p, y p ) do (x p + 1, y p ) P = (xp, yp) M E M E Dla punktu x p, y p SE Δ Eold = 2x p + 3 M SE Stąd dla (x p + 1, y p ) Δ Enew = 2 x p Δ Enew Δ Eold = 2 Poprzedni piksel Możliwości wyboru dla bieżącego piksela Możliwości wyboru dla następnego piksela
62 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu różnice drugiego rzędu Podobnie wartość SE dla punktu (x p, y p ) P = (xp, yp) M E M E Δ SEold = 2x p 2y p + 5 a dla dla (x p + 1, y p ) Poprzedni piksel Δ SEnew = 2 x p + 1 2y p + 5 Δ SEnew Δ SEold = 2 SE Możliwości wyboru dla bieżącego piksela Możliwości wyboru dla następnego piksela M SE
63 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu różnice drugiego rzędu Jeśli w bieżącej iteracji wybrano punkt SE, to analizowany punkt przesuwa się z (x p, y p ) do punktu (x p + 1, y p 1). Wtedy dla następnego punktu E Δ Enew = 2 x p Δ Enew Δ Eold = 2 natomiast dla następnego punktu SE Δ SEnew = 2 x p y p Δ SEnew Δ SEold = 4
64 Algorytm z punktem środkowym dla okręgu z różnicami drugiego rzędu Inicjalizacja zmiennych decyzyjnych w oparciu o punkt (0, R) Wybór piksela na podstawie znaku zmiennej d obliczonej w poprzedniej iteracji Uaktualnienie zmiennej d o E albo SE korzystając z wartości obliczonych w poprzedniej iteracji Uaktualnienie E i SE z uwzględnieniem przejścia do nowego piksela, korzystając ze stałych różnic Wykonanie przesunięcia
65 Implementacja algorytmu z różnicami drugiego rzędu w C++ void MidpointCircle(int radius, int value){ int x, y, d, deltae, deltase; x = 0; // inicjalizacja y = radius; d = 1 - radius; deltae = 3; deltase = 5 radius * 2 CirclePoints (x, y, value); while ( y > x ) { if ( d < 0 ) // wybrac E {d += deltae; deltae += 2; deltase += 2; x++;} else // wybrac SE {d += deltase; deltae += 2; deltase += 4; x++; y--;} CirclePoints (x, y, value); } }
66 Prymitywy pogrubione Mirosław Głowacki Wykład z Grafiki Komputerowej
67 Prymitywy pogrubione Tworzy się je na zasadzie śledzenia konturów uzyskanych w wyniku konwersji Umowny pędzel tworzący ślad o pewnej szerokości i w wysokości umieszcza się w pikselu powstałym w wyniku konwersji Piksel pokrywa się z jednym z pikseli pędzla: środkowym narożnym w przypadku pędzla prostokątnego
68 Prymitywy pogrubione Istotne są przy tym: kształt pędzla (kołowy, kwadratowy) orientacja pędzla czy oś pędzla, pierwotnie pionowa, nie zmienia swojej orientacji czy też jest styczna do brzegu prymitywu jak wyglądają końce odcinków co dzieje się w wierzchołku pogrubionego wielokąta jak współdziałają styl linii i styl pióra itp.
69 Cztery podstawowe metody pogrubiania algorytm powielania pikseli algorytm linii pogrubianej metodą ruchomego pióra o pewnym kształcie i rozmiarach algorytm rysowania dwóch konturów w pewnej odległości i wypełniania środka algorytm aproksymacji linii krzywych łamaną i pogrubiania odcinków łamanej
70 Powielanie pikseli Polega na zaznaczaniu wielu pikseli sąsiadujących z wyznaczonym poprzez algorytm konwersji Stosowany z powodzeniem przy konwersji odcinków Dla odcinków o nachyleniach od 1 do 1 piksele są powielane w kolumnach Dla pozostałych nachyleń powielane są wiersze Wada - końce odcinków są zawsze pionowe bądź poziome
71 Powielanie kolumn Pogrubiony odcinek narysowany metodą powielania kolumn.
72 Wady metody powielania pikseli dla grubych odcinków jest to poważny mankament istnieją zauważalne przerwy przy przecinaniu się odcinków występują braki pikseli w miejscach zmiany kierunku powielania z pionowego na poziomy braki są wyraźnie widoczne dla łuków w postaci przewężeń pomiędzy poszczególnymi oktantami odcinki poziome i pionowe różnią się grubością od odcinków rysowanych pod kątem grubość wynika z rozmiaru w kierunku prostopadłym do linii jeśli odcinek pionowy (poziomy) ma grubość t, to narysowany pod kątem 45 o ma grubość t 2 jeśli liczba pikseli odcinka grubego jest parzysta, to jego oś nie może się pokrywać z osią geometryczną
73 Okrąg i metoda powielania pikseli Pogrubiony okrąg narysowany metodą powielania kolumn.
74 Metoda ruchomego pióra Dobre efekty dla odcinka uzyskuje się jeśli środek lub róg pióra o przekroju prostokątnym porusza się wzdłuż odcinka Odcinek ukośny jest podobny do uzyskanego metodą powielania pikseli, ale grubszy na końcach Jeśli pióro ustawione jest zawsze pionowo, to grubość linii zmienia się w funkcji jej nachylenia. W przeciwieństwie do powielania pikseli linie ukośne są grubsze w stosunku do poziomych i pionowych
75 Metoda ruchomego pióra Pogrubiony odcinek narysowany za pomocą prostokątnego pióra.
76 Metoda ruchomego pióra Okrąg jest grubszy w okolicach przejść pomiędzy oktantami Problem można wyeliminować stosując obrót prostokąta wzdłuż konturu Lepszą metodą jest zastosowanie pióra o przekroju okrągłym W tym przypadku należy maskować piksele narożne pióra, co nie jest łatwe i efektywne W najprostszych rozwiązaniach piksele są zapisywane wielokrotnie ślad pióra nakłada się na sąsiednie piksele Lepsza metoda polega na wykorzystywaniu segmentów śladu (przecięć liniami poziomymi) do obliczania kolejnych ich położeń Sprowadza się to do określania x min i x max dla kolejnych segmentów podobnie jak przy wypełnianiu prymitywów
77 Okrąg i metoda ruchomego pióra Pogrubiony okrąg narysowany za pomocą prostokątnego pióra.
Algorytmy grafiki rastrowej. Mirosław Głowacki Wykład z Grafiki Komputerowej
Algorytmy grafiki rastrowej Mirosław Głowacki Wykład z Grafiki Komputerowej Wypełnianie prymitywów Mirosław Głowacki Wykład z Grafiki Komputerowej Wypełnianie prymitywów Zadanie wypełniania prymitywów
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 WYPEŁNIANIE OBSZARÓW. Plan wykładu: 1. Wypełnianie wieloboku
WYKŁ 3 WYPŁNINI OSZRÓW. Wypełnianie wieloboku Zasada parzystości: Prosta, która nie przechodzi przez wierzchołek przecina wielobok parzystą ilość razy. Plan wykładu: Wypełnianie wieloboku Wypełnianie konturu
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 2 Algorytmy rastrowe
Grafika komputerowa Wykład 2 Algorytmy rastrowe Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1 Algorytm Bresenhama
Bardziej szczegółowoDefinicja obrotu: Definicja elementów obrotu:
5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek
Bardziej szczegółowoKGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012
Rysowanie precyzyjne 7 W ćwiczeniu tym pokazane zostaną wybrane techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2012, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Narysować
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoRysowanie precyzyjne. Polecenie:
7 Rysowanie precyzyjne W ćwiczeniu tym pokazane zostaną różne techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2010, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Z uwagi na
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Wykład 3. Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady. Rzutowanie prostokątne - geneza. Rzutowanie prostokątne - geneza
Plan wykładu Wykład 3 Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady 1. Rzutowanie prostokątne - geneza 2. Dwa sposoby wzajemnego położenia rzutni, obiektu i obserwatora, metoda europejska i amerykańska
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoObcinanie prymitywów. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH
Obcinanie prymitywów Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH Obcinanie odcinków Z reguły odcinki linii prostej muszą być obcinane przez prostokąty np. okna Wielokąty
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY
Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.
Bardziej szczegółowoGeometria. Hiperbola
Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoŁożysko z pochyleniami
Łożysko z pochyleniami Wykonamy model części jak na rys. 1 Rys. 1 Część ta ma płaszczyznę symetrii (pokazaną na rys. 1). Płaszczyzna ta może być płaszczyzną podziału formy odlewniczej. Aby model można
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)
Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoKolektor. Zagadnienia. Wyciągnięcia po profilach, Lustro, Szyk. Wykonajmy model kolektora jak na rys. 1.
Kolektor Zagadnienia. Wyciągnięcia po profilach, Lustro, Szyk Wykonajmy model kolektora jak na rys. 1. Rysunek 1 Składa się on z grubszej rury, o zmiennym przekroju, leżącej w płaszczyźnie symetrii kolektora
Bardziej szczegółowoPRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu
PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu IDEA PRZEKROJU stosujemy, aby odzwierciedlić wewnętrzne, niewidoczne z zewnątrz, kształty przedmiotu.
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoAUTOCAD teoria i zadania z podstaw rysowania Rysowanie linii, prostej, półprostej, punktu, trasy, polilinii. Zadania geodezyjne.
AUTOCAD teoria i zadania z podstaw rysowania Rysowanie linii, prostej, półprostej, punktu, trasy, polilinii. Zadania geodezyjne. RYSOWANIE 2D Polecenie LINIA Polecenie LINIA tworzy linię, której punkty
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 10. kodem pierwotnym krzywej jest ciąg par współrzędnych x, y kolejnych punktów krzywej: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...
WYKŁAD 10 Kompresja krzywych dyskretnych Kompresja krzywych dyskretnych KP SK = KW SK - stopień kompresji krzywej. KP [bajt] - obszar pamięci zajmowany przez kod pierwotny krzywej. KW [bajt] - obszar pamięci
Bardziej szczegółowoGrafika Komputerowa. Algorytmy rastrowe
Grafika Komputerowa. Algorytmy rastrowe Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Ò Ù Ô º ÙºÔÐ 1 / 23 Algorytmy rastrowe
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoInformatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki
Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.
Bardziej szczegółowo1 Wstęp teoretyczny. Temat: Obcinanie odcinków do prostokąta. Grafika komputerowa 2D. Instrukcja laboratoryjna Prostokąt obcinający
Instrukcja laboratoryjna 3 Grafika komputerowa 2D Temat: Obcinanie odcinków do prostokąta Przygotował: dr inż. Grzegorz Łukawski, mgr inż. Maciej Lasota, mgr inż. Tomasz Michno 1 Wstęp teoretyczny 1.1
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoGrafika Komputerowa Materiały Laboratoryjne
Grafika Komputerowa Materiały Laboratoryjne Laboratorium 6 Processing c.d. Wstęp Laboratorium 6 poszerza zagadnienie generowania i przetwarzania obrazów z wykorzystaniem języka Processing 2, dedykowanego
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoTWORZENIE OBIEKTÓW GRAFICZNYCH
R O Z D Z I A Ł 2 TWORZENIE OBIEKTÓW GRAFICZNYCH Rozdział ten poświęcony będzie dokładnemu wyjaśnieniu, w jaki sposób działają polecenia służące do rysowania różnych obiektów oraz jak z nich korzystać.
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie wykresów.
Sławomir Jemielity Przekształcanie wykresów. Pokażemy tu, jak zmiana we wzorze funkcji wpływa na wygląd jej wykresu. A. Mamy wykres funkcji f(). Jak będzie wyglądał wykres f ( ) + a, a stała? ( ) f ( )
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze z programu AutoCAD 2014.
Materiały pomocnicze z programu AutoCAD 2014. Poniżej przedstawiony zostanie przykładowy rysunek wykonany w programie AutoCAD 2014. Po uruchomieniu programu należy otworzyć szablon KKM, w którym znajdują
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowo- biegunowy(kołowy) - kursor wykonuje skok w kierunku tymczasowych linii konstrukcyjnych;
Ćwiczenie 2 I. Rysowanie precyzyjne Podczas tworzenia rysunków często jest potrzeba wskazania dokładnego punktu na rysunku. Program AutoCad proponuje nam wiele sposobów zwiększenia precyzji rysowania.
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowo1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.
1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do rysowania w 3D. Praca w środowisku 3D
Wprowadzenie do rysowania w 3D 13 Praca w środowisku 3D Pierwszym krokiem niezbędnym do rozpoczęcia pracy w środowisku 3D programu AutoCad 2010 jest wybór odpowiedniego obszaru roboczego. Można tego dokonać
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu
Bardziej szczegółowonarzędzie Linia. 2. W polu koloru kliknij kolor, którego chcesz użyć. 3. Aby coś narysować, przeciągnij wskaźnikiem w obszarze rysowania.
Elementy programu Paint Aby otworzyć program Paint, należy kliknąć przycisk Start i Paint., Wszystkie programy, Akcesoria Po uruchomieniu programu Paint jest wyświetlane okno, które jest w większej części
Bardziej szczegółowoPrzykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami, łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej ł
1. Dane Droga klasy technicznej G 1/2, Vp = 60 km/h poza terenem zabudowanym Prędkość miarodajna: Vm = 90 km/h (Vm = 100 km/h dla krętości trasy = 53,40 /km i dla drogi o szerokości jezdni 7,0 m bez utwardzonych
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA UŻYTKOWANIA PROGRAMU MEB EDYTOR 1. Dane podstawowe Program MEB edytor oblicza zadania potencjalne Metodą Elementów Brzegowych oraz umożliwia ich pre- i post-processing. Rozwiązywane zadanie
Bardziej szczegółowoRZUT CECHOWANY DACHY, NASYPY, WYKOPY
WYZNACZANIE DACHÓW: RZUT CECHOWANY DACHY, NASYPY, WYKOPY Ograniczymy się do dachów złożonych z płaskich wielokątów nazywanych połaciami, z linią okapu (linią utworzoną przez swobodne brzegi połaci) w postaci
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 21 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie 21 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 21. krąg o środku S = (3, 2) leży wewnątrz okręgu o równaniu (x 6) 2 + (y 8) 2 = 100 i jest do niego styczny. Wyznacz równanie
Bardziej szczegółowoI V X L C D M. Przykłady liczb niewymiernych: 3; 2
1 LICZBY Liczby naturalne: 0; 1; 2; 3;.... Liczby całkowite:...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;.... Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać w postaci ułamka a b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
MATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, niewymiernej, - sposób i potrzebę zaokrąglania liczb, - pojęcie wartości bezwzględnej,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte (0- pkt) Zadanie Jeżeli a = log 6 to a jest równe: 4 A. B. C. - Zadanie Warunek x ; 8 jest rozwiązaniem nierówności: A. x + 5 > B. x 5 C. x 5 x + 5 Zadanie Wskaż warunek, który opisuje
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0
Bardziej szczegółowoAnimowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.
Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollub.pl Rzutowanie Równoległe Perspektywiczne Rzutowanie równoległe Rzutowanie równoległe jest powszechnie używane w rysunku technicznym - umożliwienie
Bardziej szczegółowoWstęp Pierwsze kroki Pierwszy rysunek Podstawowe obiekty Współrzędne punktów Oglądanie rysunku...
Wstęp... 5 Pierwsze kroki... 7 Pierwszy rysunek... 15 Podstawowe obiekty... 23 Współrzędne punktów... 49 Oglądanie rysunku... 69 Punkty charakterystyczne... 83 System pomocy... 95 Modyfikacje obiektów...
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU
Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoGeometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury
Geometria wykreślna 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 5. Obroty i
Bardziej szczegółowoLecture Notes in Computer Graphics. 2D graphics
xxx Lecture Notes in Computer Graphics 2D graphics Piotr Fulmański Łódź, 2014 Spis treści Spis treści Przedmowa iii v 1 Simple raster algorithms 1 1.1 Pierwsze podejście do rysowania odcinka.......................
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ
Klasa 1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowo