MODELOWANIE ANALITYCZNO-NUMERYCZNE PARAMETRÓW PRACY BELKI WSPORNIKOWEJ JEDNOSTRONNIE UTWIERDZONEJ Z ZASTOSOWANIEM PROGRAMU MATHEMATICA

Transkrypt

1 Polska Problemy Nauk Stosowanych, 15, Tom, s Szczecin dr inż. Barbara MAZUR-CHRZANOWSKA a, Rafał CHRZANOWSKI b a Wyższa Szkoła Techniczno-Ekonomiczna w Szczecinie, Edukacja Techniczno-Informatyczna Higher School of Technology and Economics in Szczecin, Informatics and Technical Education b Uniwersytet Szczeciński, Wydział Matematyczno-Fizyczny, Katedra Edukacji Informatyczno-Technicznej (absolwent) University of Szczecin, Faculty of Mathematics & Physics, Department of Informatics & Technical Education (graduate) MODELOWANIE ANALITYCZNO-NUMERYCZNE PARAMETRÓW PRACY BELKI WSPORNIKOWEJ JEDNOSTRONNIE UTWIERDZONEJ Z ZASTOSOWANIEM PROGRAMU MATHEMATICA Streszczenie Wstęp i cele: W pracy pokazano modelowanie analityczno-numeryczne jednostronnie utwierdzonej o przekroju prostokąta i obciążoną siłą skupioną na końcu. W pracy pokazano wyprowadzenie równania ugięcia oraz wzorów na kąt ugięcia i strzałkę ugięcia. Celem pracy jest analiza numeryczno-graficzna funkcji kąta ugięcia i funkcji strzałki ugięcia. Materiał i metody: Wykorzystano model mechaniczny bazując na literaturze z wytrzymałości materiałów. Zastosowano metodę analityczną i numeryczną z programem Mathematica. Wyniki: Z otrzymanych równań uzyskano wzory na kąt ugięcia i strzałkę ugięcia. Wykorzystując program Mathematica przeprowadzono analizę numeryczną dla wybranych parametrów pracy jak siła skupiona, długość i moduł Younga materiału badając parami ich wzajemne zależności. Wniosek: Stosując program Mathematica można przeprowadzić analizę wytrzymałościową funkcji kąta ugięcia i strzałki ugięcia dla odpowiednich parametrów. Słowa kluczowe: Belka wspornikowa, jednostronnie utwierdzona, przekrój prostokątny, obciążenie siłą skupioną, model teoretyczny, analiza numeryczna, Mathematica. (Otrzymano: ; Zrecenzowano: ; Zaakceptowano: ) ANALYTICAL AND NUMERICAL MODELLING OF WORKING PARAMETRES FOR ONE-SIDEDLY FIXED CANTILEVERED BEAM WITH MATHEMATICA PROGRAM APICTAION Abstract Introduction and aims: The study shows the analytical and numerical modeling of cantilevered beam with a rectangular cross section and loaded with concentrated force at the end. The study shows the derivation of equations and formulas for beam deflection angle and deflection of the beam. The aim of the study is to numerical and graphical analysis for function of deflection angle of the beam and function of the beam deflection. Material and methods: In this paper has been shown a beam mechanical model based on the literature of the strength of materials. The analytical and numerical method by using Mathematica program have been described in the paper. Results: From these equations were obtained formulas for the angle of deflection and deflection of the beam. Using Mathematica numerical analysis was performed for selected operating parameters beams as a concentrated force, the length of the beam and Young's modulus of the beam material examining their interaction pairs. Conclusions: Using Mathematica it is possible to perform strength analysis for function of deflection angle and for function of beam deflection for the relevant parameters. Key-words: Cantilevered beam, one-sidedly fixed, rectangular cross-section, loaded by a concentrated force, theoretical model, numerical analysis, Mathematica. (Received: ; Revised: ; Accepted: ) B. Mazur-Chrzanowska, R. Chrzanowski 15 Mechanika techniczna / Technical Mechanics

2 B. Mazur-Chrzanowska, R. Chrzanowski 1. Model analityczny wspornikowej Belka wspornikowa o długości L i o stałym przekroju w kształcie prostokąta o szerokości b i wysokości h jest obciążona siłą skupioną P przyłożoną na jej końcu (Rys. 1) [], [7]-[11]. Rys. 1. Belka wspornikowa obciążona na końcu siłą skupioną P Źródło: Opracowanie własne Autorów na podstawie [9], [1], [14] Fig. 1. The cantilevered beam loaded by a concentrated force P at the end basing on [9], [1], [14] Przy obciążeniu wspornikowej siłą skupioną P przyłożoną na jej końcu moment M w przekroju o odciętej x wyraża się w postaci skalarnej wzorem [], 9], [1], [1], [14]: M = P x. (1) Zatem równanie różniczkowe linii ugięcie wspornikowej ma postać: gdzie iloczyn EJ oznacza sztywność na zginanie. Równanie () obustronnie całkujemy względem zmiennej x: d y EJ = P x, () dx d dy EJ dx = P dx dx Po wykonaniu całkowania otrzymujemy: x dx. dy P EJ = x + C1, C1 R. (4) dx Stałą C 1 wyznaczymy z warunku doskonałego utwierdzenia w punkcie A. Warunek ten wyraża fakt, że przekrój w tym miejscu nie obraca się. Fakt ten oznacza, że zgięta oś pozostanie styczna do osi odciętych w punkcie A. Zatem warunek brzegowy ma postać: dy dx =. x = L Wykorzystując warunek brzegowy (5) w równaniu (4) po uporządkowaniu mamy: C () (5) =. (6) 1 Podstawiając wyznaczoną stałą C 1 do równania (4) i po podzieleniu obu jego stron przez stałą EJ dostajemy następującą jego postać: dy P = x. (7) dx EJ EJ 44

3 Modelowanie analityczno-numeryczne parametrów pracy wspornikowej jednostronnie utwierdzonej z zastosowaniem programu Mathematica Podstawiając x = w równaniu (7) znajdziemy wartość kąta ϑ nachylenia stycznej na końcu (kąt ugięcia ): dy ϑ =. (8) dx x = EJ Równanie różniczkowe (7) obustronnie całkujemy względem zmiennej x: Po wykonaniu całkowania otrzymujemy: dy P dx = x dx dx. dx EJ (9) EJ y P (x) = x x + C, C R. (1) 6EJ EJ Stałą C wyznaczymy z drugiego warunku brzegowego, który zakłada, że ugięcie w miejscu utwierdzenia jest równe zeru. Zatem warunek ten ma postać: y (x = L) =. (11) Wykorzystując warunek brzegowy (11) w równaniu (1) uporządkowaniu mamy: C =. (1) EJ Podstawiając wyznaczoną stałą C do równania (1) dostajemy następującą jego postać: P y(x) = x x +. (1) 6EJ EJ EJ Równanie (1) jest równaniem linii ugięcia wspornikowej o długości L i sztywności EJ obciążonej na końcu siłą skupioną P. Największe ugięcie czyli wartość strzałki ugięcia f jaka powstaje na swobodnym końcu wspornikowej otrzymamy, gdy w równaniu (1) położymy x=: Rozwiązując równanie (14) względem EJ otrzymujemy: f y(x = ) =. (14) EJ EJ =. (15) f Zależność (15) oznacza, że sztywność zginania przy tych samych warunkach obciążenia i podparcia jest odwrotnie proporcjonalna do strzałki ugięcia sprężystego. Po wprowadzeniu momentu bezwładności do wzorów (8) i (14) otrzymujemy wzory na kąt i strzałkę ugięcia wygodne w obliczeniach numerycznych: 6 ϑ =, E bh (16) 4P L f =. E b h (17) 45

4 B. Mazur-Chrzanowska, R. Chrzanowski. Analiza numeryczna w programie Mathematica Do analizy numerycznej przyjmuje się następujące wartości parametrów dla jednostronnie utwierdzonej i obciążonej siłą skupioną na jej końcu podane w tabeli 1. Przyjmuje się również, że belka o przekroju prostokątnym jest wykonana ze stali węglowej pospolitej [], [4], [5] [7], [8], [11], [1], [17]-[19]: Tabela 1. Dane do analizy numerycznej dla obciążonej siłą skupioną P na jej końcu Table 1. Data for numerical analysis for beam loaded by a concentrated force P at the end Oznaczenie: Parametr: Wartość: P Wartość siły skupionej,5 4, kg 4,9 9, N L Długość wspornikowej 5 1 cm,5 1, m b Szerokość wspornikowej 4, cm,4 m h Wysokość wspornikowej,6 cm,6 m E Moduł Younga (stal węglowa pospolita),1 1 5, 1 5 MPa Źródło: Opracowanie Autorów Source: Elaborated by the Authors Programy do analizy numerycznej funkcji kąta ugięcia ϑ = ϑ Program 1. Mathematica [1], [6], [15], [16] E:=.1*1^5; b:4; h:=6 PlotD[(-6*P*L^)/(E*b*h^),{P,4,},{L,.5,1}, ColorFunction Hue] Program. Mathematica [1], [6], [15], [16] E:=.1*1^5; b:4; h:=6 ContourPlot [(-6*P*L^)/(E*b*h^),{P,4,},{L,.5,1}, ColorFunction Hue] Komentarz: Moduł Younga, Wykres przestrzenny D funkcji ϑ = ϑ Komentarz: Moduł Younga, Wykres warstwicowy funkcji ϑ = ϑ Programy do analizy numerycznej funkcji strzałki ugięcia f = f(p, E) Program. Mathematica [1], [6], [15], [16] L:=575; b:4; h:=6 PlotD[(4*P*L^)/(E*b*h^),{P,4,}, {E,.1*1^5,.5*1^5},ColorFunction Hue] Program 4. Mathematica [1], [6], [15], [16] L:=575; b:4; h:=6 ContourPlot[(4*P*L^)/(E*b*h^),{P,4,}, {E,.1*1^5,.5*1^5},ColorFunction Hue] Komentarz Długość, Wykres przestrzenny D funkcji f = f(p, E) Komentarz Długość, Wykres warstwicowy funkcji f = f(p, E) 46

5 Modelowanie analityczno-numeryczne parametrów pracy wspornikowej jednostronnie utwierdzonej z zastosowaniem programu Mathematica Analiza numeryczna funkcji kąta ugięcia ϑ = ϑ Kąt ugięcia ϑ Długość L Rys.. Belka wspornikowa obciążona na końcu siłą skupioną P. Wykres przestrzenny D funkcji kąta ugięcia ϑ = ϑ zależnej od siły skupionej P i długości L. Źródło: Opracowanie własne Autorów Fig.. The cantilevered beam loaded by a concentrated force P at the end. The graph D of function of deflection angle of the beam ϑ = ϑ dependent of a concentrated force P and the beam length L Długość L Rys.. Belka wspornikowa obciążona na końcu siłą skupioną P. Wykres warstwicowy funkcji kąta ugięcia ϑ = ϑ zależnej od siły skupionej P i długości L. Źródło: Opracowanie własne Autorów Fig.. The cantilevered beam loaded by a concentrated force P at the end. The contour graph of function of deflection angle of the beam ϑ = ϑ dependent of a concentrated force P and the beam length L. Analiza numeryczna funkcji strzałki ugięcia f = f(p,e ) 8 6 Strzałka ugięcia f Rys. 4. Belka wspornikowa obciążona na końcu siłą skupioną P. Wykres przestrzenny D funkcji strzałki ugięcia f = f(p,e) zależnej od siły skupionej P oraz modułu Younga E. Źródło: Opracowanie własne Autora Fig. 4. The cantilevered beam loaded by a concentrated force P at the end. The graph D of deflection function of the beam f = f (P, E) dependent on concentrated force P and Young s modulus E. 5 4 Moduł Younga E Moduł Younga 1 1 E Rys. 5. Belka wspornikowa obciążona na końcu siłą skupioną P. Wykres warstwicowy funkcji strzałki ugięcia f = f(p,e) zależnej od siły skupionej P oraz modułu Younga E. Źródło: Opracowanie własne Autora Fig. 5. The cantilevered beam loaded by a concentrated force P at the end. The contour graph of deflection function of the beam f = f (P, E) dependent on concentrated force P and Young s modulus E. 47

6 B. Mazur-Chrzanowska, R. Chrzanowski. Wnioski Modelowanie analityczne o danej długości, jednostronnie utwierdzonej o przekroju prostokąta, obciążonej na jej końcu siłą skupioną i danym module Younga pozwala wyprowadzić nie tylko równanie ugięcia ale również wzory na strzałkę i kąt ugięcia. Analiza numeryczna o danej długości L, jednostronnie utwierdzonej o przekroju prostokąta, obciążonej na jej końcu siłą skupioną P i danym module Young E daje możliwość modelowania obliczeń wartości strzałki i kąta ugięcia. Literatura [1] Abel M.L., Braselton J.P.: Mathematica by example, Revised edition. Georgia Southern University, Department of Mathematics and Computer Science, Statesboro, Georgia, AP Professional A Division of Harcourt Brace & Company, Boston San Diego New York London Sydney Tokyo Toronto 199. [] Ashby M.F.: Dobór materiałów w projektowaniu inżynierskim, WNT, Warszawa, 1998, w. II. [] Banasiak M., Grossman K., Trombski M.: Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów. Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1998, Rozdział 8, w. II poprawione. [4] Bogucki W., Żyburtowicz M.: Tablice do projektowania konstrukcji metolowych. Arkady, Warszawa1996, w. VI znowelizowane i uzupełnione. [5] Dobrzański L.: Metalowe materiały inżynierskie. WNT, Warszawa 4. [6] Drwal G., Grzymkowski R., Kapusta A., Słota D.: Mathematica 4. Wyd. Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice. [7] Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów Tom 1, WNT, Warszawa [8] Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów Tom, WNT, Warszawa [9] Grabowski Jan, Iwanczeska Anna: Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1997, Rozdział 6, w. V. [1] Huber Maksymilian Tytus: Stereomechanika techniczna (Wytrzymałość materiałów) Część II. PZWS, Warszawa 1951, Rozdział 1, s [11] Mały Poradnik Mechanika Tom I Nauki matematyczno-fizyczne, Materiałoznawstwo. WNT, Warszawa [1] Kubiak J., Mielniczuk J., Wilczyński A.: Mechanika techniczna, WNT, Warszawa 198. [1] Niezgodziński Michał Edward, Niezgodziński Tadeusz: Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe, WNT, Warszawa 1996, w. VI zmienione. [14] Szerszyński J: Mechanika techniczna, podstawy, przykłady, zastosowania. WNT, Warszawa 198. [15] Trott M.: The Mathematica for Graphics. Guide Book. Springer Science+Business, Inc., 4, USA. [16] Wolfram S.: The Mathematica Book, 4 th edition. Wolfram Media and Cambridge University Press, Champaign and Cambridge [17] Wolny A., Siemieniec A.: Wytrzymałość materiałów, Część 1 Teoria Zastosowanie. Wyd. AGH, Kraków. [18] Wolny A., Siemieniec A.: Wytrzymałość materiałów, Część Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów. Wyd. AGH, Kraków 4. [19] Zielnica J.: Wytrzymałość materiałów. Wyd. Pol. Poznańskiej, Poznań