Pola powierzchni i objętości

Transkrypt

1 Pola powierzchni i objętości Zadanie Trapez ABCD o wierzchołkach A = 3, 2, B = 1, 2, C = 1, 6 i D = 3, 8 obrócono wokół dłuższej podstawy. (c) Opisz powstałą bryłę i podaj jej wymiary Oblicz objętość powstałej bryły Oblicz pole jej powierzchni całkowitej Zadanie Pokój Zosi ma kształt prostopadłościanu o długości 4,5m, szerokości 4m i wysokości 2,5m. Okno i drzwi zajmują 20 procent powierzchni ścian pokoju. Zosia chce pomalować sufit i ściany pokoju. Ile musi kupić puszek farby, jeżeli jedna puszka farby starcza na pomalowanie 13m 2 powierzchni. Zadanie W prostopadłościanie przekątna ściany bocznej o długości 8 cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45, a przekątna prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu i jego objętość. Zadanie Bloczek do budowy fundamentów ma kształt prostopadłościanu o powierzchni 16,84dm 2. Oblicz wymiary bloczka, wiedząc, że jego wymiary są kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego o różnicy 0,5. Zadanie Długości trzech krawędzi prostopadłościanu są w stosunku 1 : 2 : 3. Jeżeli te krawędzie przedłużymy odpowiednio o 2m,1m i 3m, to objętość prostopadłościanu zwiększy sie o 426m 3. Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu. Zadanie Oblicz objętość prostopadłościennego kartonu o wymiarach podanych na rysunku obok. Do kartonu zapakowano prostopadłościenne pudełka (P) o wymiarach 10cm 20cm 25cm. Ile takich pudełek maksymalnie zmieści się w kartonie? Pudełek (R), o wymiarach 12 cm 20 cm 25 cm, ułożono w kartonie maksymalną ilość, a pozostałą wolną przestrzeń wypełniono płytą ze styropianu. Ile tych pudełek włożono do kartonu? Oblicz objętość V P płyty styropianowej i wynik podaj w metrach sześciennych. Ile procent objętości kartonu zajmuje styropian? Zadanie Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 90. Wyznacz wymiary graniastosłupa, wiedząc, że suma długości wszystkich jego krawędzi jest równa 48. Zadanie Przekątna sześcianu jest o 2cm dłuższa od jego krawędzi. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu i jego objętość. Zadanie Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe sumie pól obu podstaw. Wyznacz sinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. Zadanie Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60. Wiedząc, że podstawę graniastosłupa można wpisać w koło o promieniu 2 3, oblicz objętość tego graniastosłupa. Zadanie Punkt M leży poza płaszczyzną wyznaczoną przez wierzchołki trójkąta równobocznego, jest odległy od każdego z tych wierzchołków o 13cm, a od każdego z jego boków o 2cm. Wyznacz odległość punktu M od płaszczyzny trójkąta równobocznego.

2 Zadanie Ściany boczne prawidłowego ostrosłupa trójkątnego są trójkątami prostokątnymi. Narysuj siatkę tego ostrosłupa i oblicz miarę konta α nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Wynik podaj z dokładnością do 1. Zadanie Producent napojów owocowych ma do wyboru dwa rodzaje pojemników, do których chciałby wlewać 0,5 litra napoju. Jeden z pojemników jest w kształcie czworościanu foremnego o krawędzi 1,6 dm, a drugi w kształcie sześcianu o krawędzi 0,8 dm. Oceń, do którego pojemnika powinna wytwórnia wlewać napój. Zadanie W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 4. Wysokość ostrosłupa ma długość 6. Oblicz miarę konta: (c) (d) β nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy γ nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy α ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ϕ nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy. Zadanie Oblicz rzeczywistą powierzchnię piramidy w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 120m, wiedząc, że na mapie w skali 1 : 5000 krawędź jej podstawy ma długość 64mm. O ile procent powierzchnia boczna piramidy jest większa od powierzchni jej podstawy? Zadanie W sześcianie o krawędzi długości a połączono wszystkie wierzchołki dolnej podstawy z jednym z wierzchołków podstawy górnej. Wyznacz pole powierzchni całkowitej otrzymanego w ten sposób ostrosłupa. Z ilu takich ostrosłupów można złożyć sześcian? Zadanie Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9dm 2. Dwie ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, π a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami 3 i π 6. Oblicz objętość ostrosłupa. Zadanie Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe 96 3cm 2, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 30. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zadanie W ostrosłupie sześciokątnym prawidłowym najdłuższa przekątna podstawy równa jest 4 3. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa. Zadanie Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe 6 3, a pole jego powierzchni bocznej jest równe 12. Wyznacz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa. Zadanie Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna d = 8 2 tworzy z bokiem odpowiadającym wysokości walca kąt α = 60. Oblicz objętość walca. Zadanie Z kawałka blachy długosci 48 cm i szerokości 20 cm należy wykonać boczną powierzchnię naczynia w kształcie walca, odpowiednio ją zwijając. Które naczynie będzie miało większą objętość: czy to, którego wysokość równa jest szerokości blachy, czy to, którego wysokość równa się długości blachy. Zadanie Walec do równania nawierzchni szosy ma średnicę 2 m i długość 2,5 m. Oblicz, ile metrów kwadratowych szosy wyrówna ten walec, gdy przesuwając się w jednym kierunku wykona 20 pełnych obrotów. Do obliczeń przyjmij π = 3,14. Zadanie W stalowym walcu o wymiarach h = 4dm, R = 6cm wydrążono cylindryczny otwór, którego objętość stanowi 20 procent objętości całego walca. Oblicz:

3 długość promienia tego otworu masę walca po wydrążeniu, wiedząc, że gęstość stali ρ = 7,9 g cm 3. Do obliczeń przyjmij π = 3,14 i wynik podaj z dokładnością do 0,1kg Zadanie Przekrój poprzeczny tunelu metra o długości 3000 m jest częścią koła o promieniu 4 m (rysunek obok). Linia PO wyznacza poziom tunelu, na którym będą ułożone szyny. Oblicz, ile metrów sześciennych ziemi trzeba było usunąć, aby zbudować tunel. Do obliczeń przyjmij π = 3,14. Zadanie Grubość podkładki stalowej, o kształcie pokazanym na rysunku obok, równa jest 0,2 cm. Oblicz masę tej podkładki, przyjmując, że gęstość stali jest równa 7,9 g oraz π = 3,14. Wynik podaj z dokładnością do 1 cm 3 grama. Zadanie Z sześciennej kostki o krawędzi 8 cm wycięto bryłę o wymiarach i kształcie pokazanym na rysunku obok. Oblicz objętość otrzymanej bryły. Do obliczeń przyjmij π = 3,14 i wynik podaj z dokładnością do 1cm 3. Zadanie Z metalowej sztaby o długości 2dm i przekroju kwadratu o boku a = 10cm wytoczono wał o maksymalnym promieniu r. Ile procent objętości sztaby stanowiły odpady przy toczeniu? Do obliczeń przyjmij π = 3,14. Zadanie Wewnętrzne wymiary kufra prababci podano na rysunku obok. Wyznacz pojemność kufra. Zadanie Wyznacz pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 3 i objętości V = 16π. Zadanie Koło o promieniu R = 10 cm podzielono na pięć równych wycinków. Z jednego z nich utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka i jego objętość. Zadanie Wyznacz miarę konta α rozwarcia stożka, jeśli stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy stożka jest równy 2. Zadanie Puchar w kształcie stożka napełniono do połowy (rysunek obok). Oblicz, jaką część pucharu napełniono. Zadanie Klepsydra ma kształt dwóch złączonych stożków o wymiarach podanych na rysunku. Piasek przesypuje się z szybkością2 cm3 min. Czy czas, który odmierza klepsydra jest równy czasowi trwania lekcji w szkole? Do obliczeń przyjmij π = 3,14. Zadanie Z arkusza papieru w kształcie koła o promieniu R = 30cm zrobiono trzy jednakowe pojemniki na prażoną kukurydzę w kształcie stożków (pomijamy straty materiału). Ile należy zapłacić za napełnienie ich kukurydzą po brzegi, jeśli porcja kukurydzy o objętości 1dm 3 kosztuje 2 zł? Do obliczeń przyjmij π = 3,14. Zadanie Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta prostokątnego ABC dookoła najdłuższego boku, wiedząc, że wierzchołek B leży w początku układu współrzędnych oraz, że A = (3,1) i B = (2,2). Zadanie Górna część zbiornika (rysunek obok) jest walcem o średnicy równej wysokości, a dolna jest stożkiem o wysokości równej promieniowi podstawy. Jaką częścią pojemności całego zbiornika jest pojemność tej części, która jest stożkiem. Zadanie Do produkcji lodów o nazwie Rożek potrzebne są wafle w kształcie stożka o wymiarach podanych na rysunku. Oblicz objętość porcji lodów Rożek, jeśli nad całkowicie wypełnionym waflem jest jeszcze masa lodowa, w kształcie walca o wysokości 2cm ponad brzeg wafla Ile pełnych Rożków można otrzymać z masy lodowej wypełniającej prostopadłościenny pojemnik o wymiarach 0,8m 0,6m 0,4m?

4 Przyjmij π = 3,14 i wynik podaj z dokładnością do 1cm 3. Zadanie Kształt i wymiary namiotu pokazano na rysunku obok. Ile metrów kwadratowych brezentu potrzeba na uszycie tego namiotu? Na ścinki i zakładki dolicz 5 procent materiału. Przyjmij π = 3,14 i wynik podaj z dokładnością do 1m 2. Zadanie Do salaterki wlano rozpuszczoną galaretkę, która po zastygnięciu przybrała kształt stożka ściętego. Przekrój osiowy tej bryły był trapezem równoramiennym o wysokości 6 cm i podstawach długości 14 cm i 26 cm. Oblicz objętość wlanego płynu. Do obliczeń przyjmij π = 3,14 i wynik podaj z dokładnością do 1cm 3. Zadanie Szklanka ma kształt walca o wysokości H = 10cm, a promień podstawy r = 3cm. Do jakiej maksymalnie wysokości szklanki można nalać soku, aby można było jeszcze wrzucić trzy kulki lodu (całkowicie zanurzone), każdą o promieniu 1cm. Zadanie Przetopiono metalową kulę o promieniu 10 cm oraz metalowy stożek, w którym średnica i wysokość mają długości odpowiednio 16 cm i 12 cm. Następnie z otrzymanego stopu wykonano walec o średnicy podstawy Oblicz wysokość H walca. Zadanie Figura ABCD przedstawiona na rysunku obok obraca się dookoła prostej l. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły. Zadanie Trapez ABCD o wierzchołkach A = ( 3, 2), B = (1, 2), C = (1, 6), D = ( 3, 8) obraca się wokół dłuższej podstawy. (c) Oblicz powstałą bryłę i podaj jej wymiary Oblicz objętość powstałej bryły Oblicz pole powierzchni całkowitej powstałej bryły Zadanie Kwadrat o boku długości π rozcięto na dwa prostokąty, które po zwinięciu tworzą powierzchnie boczne dwóch walców o wysokości π. W jakiej odległości od jednego z boków należy dokonać cięcia kwadratu, aby suma objętości walców w 1 i w 2 była najmniejsza? Zadanie Oblicz pole kwadratu o przekątnej długości 10 cm. Zadanie Oblicz pole prostokąta o obwodzie 20 cm. Zadanie Ilem 2 szkła potrzeba do zaszklenia okna w kształcie prostokąta zwieńczonego półkolem, jeśli wysokość części prostokątnej jest równa 1,5 m, a szerokość stanowi 60 procent wysokości. Zadanie Oblicz pole figury otrzymanej z wycięcia sześciokąta foremnego z koła w którego okrąg jest wpisany ten sześciokąt. Zadanie W jakim wzajemnym stosunku pozostają pola kwadratów: opisanego na okręgu o promieniu r i wpisanego w ten okrąg. Zadanie Narysuj wielokąt, którego przekątne o długości 7 cm i 12 cm przecinają się pod kątem prostym. Oblicz pole powierzchni tego wielokąta oraz jego obwód. Zadanie Oblicz pole trójkata o wierzchołkach: A = ( 5, 3),B = (6,2),C = (1,7).

5 Zadanie Oblicz pole trójkąta wyznaczonego przez proste: y = x+7,y = 2x,y = x 5. Zadanie Oblicz pole i obwód sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r = 5,5cm. Zadanie W rombie o obwodzie 20 jedna z przekątnych jest dwa razy krótsza od drugiej. Jakie pole ma ten romb? Zadanie Oblicz pole prostokąta o obwodzie 27, w którym stosunek długości boków jest równy 4 : 5. Zadanie Czy sześciokat foremny o boku 40cm zmieści się w prostokącie o wymiarach 70cm 80cm. Zadanie Oblicz pola zacieniowanych figur. Przyjmij, że bok kratki ma długość 1. Zadanie Zapisz wzór, który pozwala obliczyć: długość okręgu l, gdy dana jest jego średnica d pole koła P, gdy dany jest jego obwód l (c) średnicę koła d, gdy dane jest jego pole P (d) obwód koła l, gdy dane jest jego pole P Zadanie Oblicz pola zacieniowanych figur. Przyjmij, że bok kratki ma długość 1. Zadanie Punkty A i B są połączone dwiema liniami - czarną i niebieską. Która z nich jest dłuższa? Zadanie Oblicz pole zacieniowanego obszaru i długość zaznaczonego łuku: Zadanie W pewnym wielokącie jest o 13 przekątnych więcej niż w wielokącie, który ma o 2 boki mniej. Ile boków ma ten wielokąt? Zadanie Na sześciokącie foremnym opisano okrąg i w ten sam sześciokąt wpisano okrąg. Pole powstałego pierścienia kołowego jest równe 2π. Oblicz pole tego sześciokąta. Zadanie W okrąg o promieniu r wpisano kwadrat i na tym na tym samym okręgu opisano trójkąt równoboczny. Oblicz długość promienia okręgu, wiedząc, że suma długości boku kwadratu i boku trójkąta równobocznego jest równa 12. Zadanie Szklarz ma oszklić okno, którego szyba na kształt i wymiary przedstawione na rysunku obok. Szybę tę wycinano z tafli szkła o wymiarach 1,1 0,6m. Oblicz powierzchnię szyby i podaj jaki procent stanowią odpady szkła przy jej wycinaniu. Wynik podaj w metrach kwadratowych z dokładnością do 0,1. Zadanie Szyba w oknie ma kształt prostokąta o obwodnie 4 m. Jakie są jej wymiary, jeśli wiadomo, że szyba przepuszcza maksymalną ilość światła? Oblicz powierzchnię szyby w oknie. Zadanie Ogródek w kształcie prostokąta, przylegający do płotu jest z trzech stron ogrodzony siatką o długości 24 m. Jakie są wymiary ogródka, jeśli wiadomo, że jego pole powierzchni jest największe z możliwych? Zadanie Z drutu o długości 8 dm wykonano prostokątną ramkę. Oblicz wymiary ramki tak, aby pole obszaru ograniczonego tą ramką było największe. Zadanie Jednokierunkowa droga o szerokości 8 m prowadzi przez tunel. Przektój poprzeczny tunelu, przedstawiony na rysunku obok, ma kształt zbliżony do łuku paraboli o równaniuy = 3 8 x2 +6. Sprawdź, wykonując odpowiednie

6 obliczenia, czy ciężarówka wioząca prostopadłościenny kontener o szerokości 4,8 m może przejechać tym tunelem, jeżeli najwyższy punkt kontenera znajduje się 4 m nad drogą. Zadanie W trapezie równoramiennym o kącie ostrym 45 suma długości wysokości i dłuższej podstawy jest równa 16. Jakie długości powinny mieć boki trapezu, aby jego pole było maksymalne? Oblicz pole i obwód tego trapezu. Zadanie Drut o długości 1 m przecięto na dwie części. Pierwszą część wygięto tak, że utworzyła ramkę w kształcie kwadratu, z drugiej części utworzono ramkę w kształcie prostokąta, w którym jeden bok był dwa razy dłuższy od drugiego. Podaj długość każdej z części drutu, jeśli wiadomo, że suma pól powstałych figur ograniczonych ramkami jest minimalna.