SIECI PETRIEGO WYŻSZEGO RZEDU Kolorowane sieci Petriego. Kolorowane sieci Petriego 1

Transkrypt

1 SIECI PETRIEGO WYŻSZEGO RZEDU Kolorowane sieci Petriego Kolorowane sieci Petriego 1

2 PRZYKŁAD - DWA POCIAGI Kolorowane sieci Petriego 2

3 KONCEPCJA KOLORÓW Model z rysunku (a) nie jest równoważny poprzedniemu, bo nie pozwala rozróżnić stanów ani zdarzeń związanych z poszczególnymi wózkami Model z rysunku (b) pozwala na takie rozróżnienie, bo posiada 2 kolorowane (zindywidualizowane) znaczniki: < y > i < b >, a każda z tranzycji może się palić w dwóch kolorach: a i b. Kolorowane sieci Petriego 3

4 Tranzycja T 1 jest przygotowana ze względu na kolor y, jeżeli jest znacznik < y > w miescu P 1. Odpalenie T 1 w kolorze y powoduje usunięcie znacznika < y > z miejsca P 1 i dodanie znacznika < y > do miejsca P 2. Analogiczne, tranzycja T 1 jest przygotowana ze względu na kolor b, jeżeli jest znacznik < b > w miejscu P 1. Odpalenie T 1 w kolorze b powoduje usunięcie znacznka < b > z miejsca P 1 i dodanie znacznika < b > do miejsca P 2. Takie same reguły obowiązują dla tranzycji T 2 Kolorowane sieci Petriego 4

5 KONCEPCJA FUNKCJI W celu powiązania kolorów znaczników i kolorów palenia tranzycji przypisuje się wszystkim łukom w sieci określone funkcje. f (b) = b Tutaj jest to funkcja identyczności Id f (y) = y Kolorowane sieci Petriego 5

6 INNE FUNKCJE Wróćmy do pierwszego rysunku (model opisany zwykła siecią Petriego) i rozważmy jeden z wózków, np. żółty. Ruchy wózka w lewą i w prawą stronę są reprezentowane taką samą strukturą sieci. Możemy zatem zastąpić miejsca P y 1 (ruch w lewo) i Py 2 (ruch w prawo) jednym miejscem P y (ruch wózka), a tranzycje T y 1 (koniec ruchu w lewo) i T y 2 (koniec ruchu w prawo) jedną tranzycją T y (koniec ruchu w tym samym kierunku). Kolorowane sieci Petriego 6

7 Dla rozróznienia kierunków ruchu z miejscem P y wiążemy dwa możliwe kolory znaczników: < l > (ruch w lewo) i < r > (ruch w prawo). Tranzycja T y może się palić w dwóch kolorach: l (koniec ruchu w lewo) i p (koniec ruchu w prawo). Dla prawidłowego działania systemu znaczniki < l > i < r > muszą pojawiać się w miejscu P y 1 na przemian i podobnie tranzycja T y musi na przemian palić się w kolorze l i r. A zatem, tylko funkcja związana z łukiem (P y,t y ) jest identycznością, natomiast funkcja związana z łukiem (T y,p y ) powoduje zmianę znacznika f (P y,t y ) f (l) = l f (r) = r f (T y,p y ) f (l) = r f (r) = l Kolorowane sieci Petriego 7

8 KOLORY WEKTOROWE Za pomocą jednego miejsca i jednej tranzycji reprezentujemy ruch obu wózków. Miejsce P 1 zawiera znaczniki o kolorach dwuelementowych Tranzycja T 1 pali sie w czterech trybach identyfikowanych za pomocą kolorów dwuelementowych Funkcje f () przypisane łukom sieci przekształcają znaczniki dwuelementowe Kolorowane sieci Petriego 8

9 ZWIJANIE/ROZWIJANIE SIECI Kolorowane sieci Petriego 9

10 MULTIZBIORY Multizbiór określony na niepustym zbiorze S jest funkcją b : S N gdzie N jest zbiorem nieujemnych liczb całkowitych. Zbiór wszystkich skończonych multizbiorów określonych na zbiorze S oznacza się przez S MS Intuicyjnie, multizbiór jest zbiorem, który może zawierać wiele kopii elementów, łacznie z tym, że pewnych elementów może nie być (0 kopii). Wygodnie jest reprezentować multizbiory w postaci sumy b = b(s)s gdzie b(s) jest liczbą kopii elementu s w multizbiorze b. Kolorowane sieci Petriego 10

11 Na przykład: multizbiór {x,y,z,y} jest skończonym multizbiorem określonym na zbiorze {u,w,x,y,z}, który można zapisać jako Dla multizbiorów definiuje się: b 1 + b 2 = (b 1 (s) + b 2 (s)) n b = (nb(s))s b = x + 2y + z b 1 b 2 s S : b 1 (s) b 2 (s) b = b(s) b 2 b 1 = (b 2 (s) b 1 (s)) (określone dla b 1 b 2 ) Kolorowane sieci Petriego 11

12 CPN - DEFINICJA Kolorowana sieć Petriego jest szóstką CPN = (P,T,C,Pre,Post,M 0 ) P i T są zbiorami miejsc i tranzycji C jest zbiorem kolorów Pre() i Post() są funkcjami incydencji, określonymi dla trójek (p,t/c) P T C takich, że c C(t) jest możliwym kolorem palenia tranzycji t, przez: Pre(p,t/c) C MS Post(p,t/c) C MS Pre(p,t/c) 0 p t Post(p,t/c) 0 p t M 0 : P C MS jest markowaniem początkowym. Kolorowane sieci Petriego 12

13 PRZYKŁAD FUNKCJI INCYDENCJI Kolorowane sieci Petriego 13

14 EWOLUCJA MARKOWANIA Niech C(t) będzie zbiorem kolorów tranzycji t. Tranzycja t jest przygotowana ze względu na kolor c C(t) wtedy i tylko wtedy jeżeli p P, M(p) Pre(p,t/c) Przejście, ktore jest przygotowane ze względu na koloru c może w tym kolorze odpalić, w wyniku czego następuje zmiana markowania: p P, M (p) = M(p) Pre(p,t/c) + Post(p,t/c) Kolorowane sieci Petriego 14

15 PRZYKŁAD EWOLUCJI MARKOWANIA Startując z makowania M 1, dla ciągu paleń σ = t 1 /c 1,t 2 /c 2,...,t n /c k M k+1 (p) = M 1 (p) + k (Post(p,t j /c j ) Pre(p,t j /c j )), p P j=1 Kolorowane sieci Petriego 15

16 MODELOWANIE Każdą zwykła sieć Petriego z miejscami {p 1, p 2,..., p n } i tranzycjami {t 1,t 2,...,t m } można sprowadzić do sieci kolorowanej zawierającej tylko jedno miejsce P i jedną tranzycję T. Czy to ma jednak sens? C = C(P) +C(T ) C(P) = {p 1, p 2,..., p n }, C(T ) = {t 1,t 2,...,t m } Pre(P,T /t j ) = n i=1 X i j p i, Post(P,T /t j ) = n i=1 X i + j p i M0 c = n i=1 M 0(p i ) p i Kolorowane sieci Petriego 16

17 TRANSFORMACJA PN DO CPN - PRZYKŁAD Kolorowane sieci Petriego 17

18 MODELOWANIE - PRZYKŁAD W systemie występują współbieżnie dwa procesy produkcji: elementów umieszczonych na paletach typu l 1 i elementów umieszczonych na paletach typu l 2. Palety są wprowadzane na przemian jednego i drugiego typu. Palety wychodzące po odmontowaniu elementów przekazywane są z powrotem do systemu. Kolorowane sieci Petriego 18

19 MODEL 1 i {1,2} C i - paleta typu i-tego B i - palety w buforze we maszyny i-tej F i - maszyna i-ta jest wolna O i - maszyna i-ta jest zajęta T i - ładowanie maszyny i-tej T i - rozładowanie maszyny i-tej Kolorowane sieci Petriego 19

20 MODEL 1 c.d. Funkcja Succ(C i ) = C (i+1)mod 2 zapewnia wymaganą naprzemienność przepływu palet różnych typów Stan początkowy systemu jest zadany przez: w buforze maszyny m 1 jest n 1 palet pierwszego i n 2 palet drugiego typu M 0 (B 1 ) = n 1 C 1 + n 2 C 2 maszyny są dostępne i oprzyrządowane do realizacji elementów typu C 1 M 0 (F 1 ) = M 0 (F 2 ) = C 1 Kolorowane sieci Petriego 20

21 MODEL 2 Nie zawsze jest najlepiej używać prostych kolorów. Np. jeżeli liczba maszyn w linii wzrośnie, to model taki staje się bardziej złożony. Alternatywnie możemy związać palety z maszynami poprzez użycie kolorów dwuelementowych < c i,m j >. Obecność takiego znacznika w miejscu B oznacza, że w buforze maszyny j-tej jest paleta typu i-tego, a obecność < c i,m j > w miejscu F oznacza, że maszyna j-ta jest dostępna i przygotowana na przyjęcie części typu i-tego. Wówczas: Succ 1 (< c i,m j >) =< c (i+1)mod 2,m j > - funkcja wyznacza naprzemienny przepływ elementów c 1 i c 2 przez maszynę m j Succ 2 (< c i,m j >) =< c i,m ( j+1)mod 2 > - funkcja wyznacza przepływ palety c i naprzemian przez maszynę m 1 i m 2 Kolorowane sieci Petriego 21

22 MODEL 2 c.d. Kolorowane sieci Petriego 22

23 Stan początkowy systemu jest zadany przez: w buforze maszyny m 1 jest n 1 palet pierwszego i n 2 palet drugiego typu M 0 (B) = n 1 < c 1,m 1 > +n 2 < c 2,m 1 > maszyny m 1 i m 2 są dostępne i oprzyrządowane do realizacji elementów typu c 1 M 0 (F) =< c 1,m 1 > + < c 1,m 2 > Kolorowane sieci Petriego 23

24 ROZSZERZENIE MODELU 2 Jeżeli chcielibyśmy zamodelować linię produkcyjną złożoną z I typów palet (części) i J maszyn, to struktura modelu 2 (otrzymanego dla 2 typów palet i 2 maszyn) nie ulegnie zmianie. Jedyne modyfikacje to: 1. Funkcje Succ 1 i Succ 2 należy zdefiniować odpowiednio modulo I i modulo J. 2. markowanie początkowe M 0 (B) należy rozszerzyć do I znaczników, tj. M 0 (B) = I i=1 < c i,m 1 > 3. markowanie początkowe M 0 (F) należy rozszerzyć do J znaczników, tj. M 0 (F) = J j=1 < c 1,m j > Kolorowane sieci Petriego 24

25 TYPOWE FUNKCJE Kolorowane sieci Petriego 25

26 FUNKCJE NASTEPNIKA I DYSKOLORUJACA Kolorowane sieci Petriego 26

27 PRZENOŚNIK - KOLEJKA FIFO Transporter może jednocześnie przenosić co najwyżej 8 obiektów, które należą do q typów: o 1,...,o q. Model ma dostarczać bieżącej informacji o tym, które miejsca są wolne, a które zajęte i jakiego typu obiektem. Dwa typy znaczników: < o i,r j > - obiekt typu i-tego znajduje się w miejscu j-tym < r j > - miejsce j-te jest wolne Tranzycje T 1, T 2, T 3 reprezentują odpowiednio umieszczenie obiektu na przenośniku, zdjęcie obiektu z przenośnika i przesunięcie się transportera o jedno miejsce Kolorowane sieci Petriego 27

28 PRZENOŚNIK - MODEL Kolorowane sieci Petriego 28

29 LINIA MONTAŻOWA Produkowane są trzy różne typy wyrobów, każdy przez inną maszynę. Transporter dowozi odpowiednią paletę do odpowiedniej maszyny, gdzie paleta jest wprowadzana, jeżeli maszyna jest wolna. W przeciwnym przypadku transporter zatrzymuje się i czeka na jej zwolnienie; paleta zwalniająca maszynę umieszczana jest na transporterze i następnie przenoszona do wyjścia. Kolorowane sieci Petriego 29

30 Kolorowane sieci Petriego 30

31 MODYFIKACJE - NIESKIEROWANE CPN dwa modele skrzyżowania prosty system AGV Kolorowane sieci Petriego 31

32 SYSTEM TRANSPORTOWY Definicja 1 Dla sieci ścieżek U = (T,P,x) i n wózków, system transportowy jest siecią CPN N = N(U,n) = (P,T,C,Pre,Post,M 0 ) taką że: 1. P, T - zbiory miejsc i przejść 2. C - zbiór kolorów taki że: C(p) = {< h,t > h 1..n t x(p)} C(t) = {< h, p, p > h 1..n t x(p) x(p ) p p } 3. Pre, Post - funkcje incydencji zdefiniowane p P i t T ze względu na każdy kolor c C(t), c =< h,q,q >, przez: < h,t > jeżeli p = q Pre(p, t/c) = 0 w innym przypadku < h,t > jeżeli p = q Post(p, t/c) = 0 w innym przypadku gdzie: t x(q ) and x(q ) = 2 t t Kolorowane sieci Petriego 32

33 4. M 0 - markowanie początkowe takie że M 0 M i: p P, M(p) = 0 or M(p) C(p) h 1..n, p P takie że M(p) =< h,t > jeżeli M(p) =< h,t > i M(p ) =< h,t > to h h Kolorowane sieci Petriego 33

34 DYNAMIKA SYSTEMU M [ t 6 /(h 2, p 5, p 7 ) > M Definicja 2 Dla tranzycji t T i koloru c C(t), c =< h,q,q >: zdarzenie t/c jest przygotowane w.t.w. jeżeli M(q) =< h,t > and M(q ) = 0 0 if p = q M (p) = < h,t > jeżeli p = q t x(q ) gdzie: x(q ) = 2 t t M(p) w innym przypadku Kolorowane sieci Petriego 34

35 Jeżeli przy markowaniu M wystąpi zdarzenie t/c takie, że t T, c =< h,q,q > C(t) to nowe markowanie M jest określone przez: 0 jeżeli p = q M (p) = < h,t > jeżeli p = q M(p) w pozostalych przypadkach gdzie: t x(q ) i x(q ) = 2 t t. Kolorowane sieci Petriego 35