Przedruk wzbroniony Warszawa, dnia 4 lutego 1931 r. Tom LXX. PRZEGLĄD TECHNICZNY TYGODNIK POŚWIĘCONY SPRAWOM TECHNIKI I PRZEMYSŁU.

Transkrypt

1 Nr.. Przedruk wzbrniny Warszawa, dnia 4 luteg 3 r. Tm LXX. PRZEGLĄD TECHNICZNY TYGODNIK POŚWIĘCONY SPRAWOM TECHNIKI I PRZEMYSŁU. TREŚĆ: Ramy eliptyczne, nap. Dr. St. Bryła, Prfesr Plitechniki Lwwskiej. III Kngres Międzynardwy Mechaniki Technicznej w Sztkhlmie, 24. VIII d 2. VIII 30 (dk.), nap. Dr. M. T. Huber, Prfesr Plitechniki Warszawskiej, Saln.Samchdwy w Paryżu wr. 30, (dk.). nap. Inż. M. Thugutt. Przegląd pism technicznych. Bibljgrafja. Sprawzdania i Prace Plskieg Kmitetu Energetyczneg. SOMMAIRE: Le calcul descadres eliptiques(a suivre), par. M. St. Bryła, Dr., Prfesseur a 'Ecle Plytechniąue de Lwów. Le Ill-re Cngres Internatinal de la Mecaniąue Appliąuee, a Stckhlm, le 24 2 aut 30 (suitę et fin), par M. M. T. Huber, Dr, Ing., Prfesseur a l'ecle Plytechniąue de Varsvie. Le Saln d'aulmbile a P aris, 30 (suitę et fin), par M. M. Thugutf, Ingenieur. Revue Bibligraphie. dcumentaire. Bulletin du Cmite Plnais de l'e n e r g i e. Ramy eliptyczne, Napisał Dr. Sł. Bryła, Prf. Plił. Lwwskiej., Wstęp. Równania gólne. W budwnictwie używane są częst ramy i łuki eliptyczne, głównie ze względu na ich estetyczny wygląd. Styczna ich na pdprze jest nrmalnie pinwa, c pwduje piękne wyrastanib łuku ze ściany, względnie ze słupa ramy. Pd względem statycznym kształt ten jest raczej niekrzystny; psiada bwiem ku pdprm bardz silną krzywiznę, a nadt wyżej wspmnianą pinwą styczną, która pwduje, że Hnja ciśnienia wychdzi tam z rdzenia przekrju bardz wybitnie. Wreszcie, ze względu na kształt łuku eliptyczneg, bliczenie tegż, nawet przybliżne, jest bardz żmudne, a tembardziej dtyczy t eliptycznej ramy, T też prblem ten dtychczas badany nie był; wszelkie tablice, dtyczące ram, nie wspminają nawet ramach eliptycznych; zaś bliczenie ich przeprwadzał się z reguły z sbna dla każdeg knkretneg wypadku. Niniejsza praca ma na celu wyprwadzenie wzrów i pdanie tablic, które pzwliłyby na bliczenie ram (i łuków) eliptycznych. Zgóry muszę serdecznie pdziękwać memu knstruktrwi p. inż. Dr. Alfnswi Chmielwcwi, który w pracwanie teg zagadnienia włżył bardz wiele żmudnej pracy. Rama eliptyczna składa się w gólnści ze słupów pinwych i rzpry eliptycznej. Cięciwa elipsy, t, j. prsta, łącząca górne kńce słupów, mże być pzima lub ukśna. Niemal zawsze cięciwa wpada w ś główną elipsy; wtedy słup przechdzi w rzprę bez załmu w spsób ciągły, łagdny. Tym też przypadkiem zajmiemy się wyłącznie. Przyjmiemy przytem równą wyskść słupów i stały przekrój ramy, a więc ten sam mment bezwładnści słupów, c i rzpry, c jest usprawiedliwine ciągłścią Iinji, czyli brakiem załmów. Pdstawwemi wymiarami są (rys. ): rzpiętść 2 er, wyskść słupów h i pinwa półś rzpry b. Wyskść całkwita ramy wynsi więc h-\-b. Knstrukcję ćwiartki elipsy najłatwiej przeprwadzić przy pmcy dwu pęków prmieni, wychdzących z punktów C i E (rys. ). Styczne EF i CF dzielimy wtedy na dwlną ilść równych części; na przecięciu się równimiennych prmieni trzymamy wtedy punkty elipsy, F i Rys.. Dlne kńce słupów mgą być utwierdzne lub przegubwe. Zajmiemy się tylk ramą przegubwą. Rama taka jest jednkrtnie hyperstatyczna. Mżemy ją uczynić"izstatyczną (statycznie wyznaczalną), zamieniając jeden z dwu przegubów na łżysk ruchme. Będziemy nazywać ustrjem zastępczym (rys. 2) ramę izstatyczną, w której łżysk ruchme pruszać się mże pzim. Przez dwlne bciążenie ustrju zastępczeg, łżysk ruchme dzna przesunięcia S p {i/ p > 0, jeżeli rzpiętść wzrśnie). Stan naprężeń w dwlnym przekrju ramy kreślny jest wówczas wielkściami M n, iv u> T (rys. 2a). Jeżeli pnadt zaczepimy na łżyskach parę sił równych, lecz przeciwnie skierwanych, działających w sensie zbliżenia ł-

2 4 PRZEGLĄD TECHNICZNY 3 zysk, a tak wielkich, iż przesunięcie P zmniejszy się d zera (rys. 2b), t stan naprężeń w dwlnym przekrju ramy, kreślny! wielkściami M, N, T, będzie identyczny z tym, jaki panuje przy danem bciążeniu w naszej ramie dwuprzegubwej. Natężenie tej pary sił niech będzie H. Jeżeli na ustrój zastępczy działać będą dwie siły H = (rys. 2c), M.M.T. że: mment zginający jest ddatni, jeżeli pwduje rzciąganie w wewnętrznych, zaś ściskanie w zewnętrznych warstwach, siła siwa jest ddatnia, jeżeli ściskająca (ujemna zaś, jeżeli rzciągająca), wreszcie siła pprzeczna jest ddatnia, jeżeli lewą część, dciętą pmyślanym przekrjem, stara"się przesunąć na zewnątrz. Będzie tedy (rys. 3): m h = y', rih cs S-, i u = sin 8-, jeżeli & jest dchyleniem ^stycznej daneg punktu d pzimu. W kluczu E zmienia O- znak, zatem h staje się ujemne dla prawej płwy ramy. Dla słupów jest nh~0, h = ±\ (-f- dla leweg, dla praweg). h O Rys. 3. Równania przybirą tedy następujący kształt: M = M 0 Hy' I T = T - H sh Z równania elipsy Rys. 2. t łżyska ddalą się wymiar %, dpwiedni stan naprężeń kreślą [wartści mi, nr,, h. Stąd wynikają następujące związki: mment zginający M = Af 0 Htrih\ siła siwa... N = N 0 Hm >. () siła pprzeczna. T=T Q Hth J parcie pzime. H = -z- (2) Jeżeli bciążenie ramy jest ukśne lub pzime, t składwe pzime ddziaływań nie są sbie równe, Wówczas pwyższa wartść H dnsi się d praweg przegubu. Na lewy zaś (pr. rys. a i b) działa pzima siła H'=H H 0. Wreszcie pinwe składwe ddziaływań *~ A D D ło^ A -**0» *"* *^0 '... ^J Wielkści k, m/,, n/, i h zależą tylk d kształtu ramy, 8/, także d jej wymiarów pprzecznych, natmiast 3 p, U 0, N it 0, tudzież H, A, B zależą pnadi d rdzaju bciążenia. Przyjmiemy, wynika sec ft = zaś cs &== _ dx a'y " a 2 x y ;» css-' () l J... (8) Wpływ sił siwych i pprzecznych na dkształcenie ramy jest tak mały w prównaniu z wpływem mmentów, że z wystarczającą dkładnścią mżemy g pminąć. Będzie tedy 8 P = h = ittlhds

3 Nr. TECHNICZNY Obie całki rzciągają się na całą długść bwdu ramy. Każdą z nich mżemy rzłżyć na dwie części część dnszącą się d słupów AC i BD (tu ds = dy), tudzież część dnszącą się d rzpry. + 2hb przyczem S R A = C (M y'd } D B" (M 0 [h-\- y)d s D () \My' dy. (0). () Wprwadzając (rys. 4): a'-a 2 zmienną <p zamiast *, trzymamy y.= < x = a cs ṟ p, dy = b cs <p df, dx = a sin <p dif, zaś 2) = f (2) -- c/'f I Równanie (2) przejdzie więc w następujące (3) W pwyższem równaniu tylk licznik zależy d bciążenia. Jeżeliby słupy miały inny przekrój niż rzpra, t we wzrze pwyższym należy części, dnszące się d słupów, pmnżyć przez stsunek mmentu bezwładnści rzpry d m. bezwł. słupa. Jeżeli J = mment bezwładnści rzpry, J' = mment bezwładnści słupów, zaś a = J:J', t TT as+r 2 a 3~ -\- 2 hb I sin 'f V b~ cs 2 <p -)- a- sin 2 'f d'f -jb p b~ i sin w ^P'' b'~ cs~ '-P "f~ G sin ^p d^. () b Zależnie d wartści M, równanie () dla wyrażenia R prwadzi częst d całek jeszcze zawilszych. Wbec teg zrezygnujemy z ich rzwiązania, a wprwadzimy pewne uprszczenia. Najłatwiej byłby przyjąć ds dx, jak t się częst przyjmuje w łukach płaskich, parablicznych lub dcinkwych. Na przykładzie ramy rzprze Pzstaje nam tedy "d bliczenia wartść K półklistej, dla której całki pwyższe dadzą się w zależnści d wymiarów ramy a, 6, h, całki S i R, a. tw rzwiązać, sprawdzimy dpuszczalnść tatudzież wielkści A a,b a,h n,m Ol N ni T n w zależn- kteg załżenia ści jeszcze d rdzaju bciążenia. Dla kła jest mianwicie 2, Metda bliczenia. Równanie elipsy () mżemy też napisać y = i Element łuku ds = dx sec ft, czyli z uwagi na (7) i (4); (4) a = b = r, d'-s = d&, więc równanie () przybierze kształt K = h' 2 \ r f sin»rj& + r 2 J' sin 2 & r cfó. Ale h =-=,7, Dalej mamy ~dx sin, Równanie (2) przybierze więc pstać = 4 = 0,784. (6) K a =r (,7 h s.-f 2,784 r 2 ).. (7)

4 6 PRZEGLĄD TECHNICZNY 3 Zakładając ds = dx, trzymamy zamiast K Czyli z pwdu równ. (6): Pnieważ więc r r *j y- s= r" X- = r»- = -r s == 0,667 r s, Wstawimy x t i y, w równanie elipsy (), t będziemy mieli układ równań, z któreg wynika: 2 b 2 r v = fq Otrzymamy tedy zamiast (2).. (20) Alt = r I cs 2 <p dcp = r' jf [h + y) * dy = I[h* + 2 Ay + y 2 ) c?y = czyli K n ' = r (fi- +,7 kr -f 0,667 r 2 ).. (8) Prównajmy wzry (7) i (8) dla kilku różnych stsunków h r. Dla h = 0 Błąd Dla h = r Dla h = K === 0,784 r :( X' = 0,667 r :i. -,"="0,77 (7,7%!) Z = 4,36 r :i Z' = 3,237 r 3. 3 = 0,346 (34,6%) K =,07 r* K'= 7,807 r - 3 = 0,42 (42%!) Widzimy, że błąd z pwdu przyjęcia ds dx jest bardz pważny i mcn zależny d h, zatem przet trudny d wyeliminwania. Pchdzi n głów- nie d elementów całki, dpwiadających strmej części rzpry, gdzie różnica pmiędzy ds a dx, t. j. pmiędzy elementem łuku, a jeg rzutem jest znaczna i dchdzi dla % = 0" d ds ; dx =. przyczem Dla całek R, ile M maleje d zera ku punktm C i D, przyjęcie ds = dx jest dpuszczalne, sin gdyż błąd największy teg załżenia mnżymy przez y'ikf = O. Ogólny błąd całkwania, dchdzący w niektórych wypadkach d 20% jest jednak Znacznie prściej trzymamy: mał zmienny z wyskścią h i zależny tyl- k d a, a więc da się łatw, jak zbaczymy, wyeliminwać. Tam zaś, gdzie wyrażenie pd całką nie maleje d zera w miarę zbliżania się d słupów, np. [y~\-h] 2 w równaniu dla K, rzłżymy całkwanie na dwie części: część strmą, dla której $ < 4, i część płaską i przyjmiemy tylk dla części płaskiej ds = dx, zaś dla części strmej przyjmiemy ds = dy. Jeżeli F jest punktem si rzpry, w którym nachylenie łuku d pzimu wynsi 4", t spółrzędne teg punktu mierzne względem układu si głównych elipsy będą x x i y x. Dla teg punktu jest, p=ll~j-a 2 zaś! yi UD /" [h + y) 2 dx = h*x,~\-2h f ydx + j y i dx. (a) ii i) b Z uwagi na (4) jest: x, Xi Xi', a i A A Cli* * 2 \l U A/i 7A Pnieważ zas I x 2 dx [arcsin x-\- x li x z, 6 ' a b ' (23). (24) l'y*dx = b%u-±-±c\... (2) ^ ' Wstawiwszy (23) i (2) w (22), zaś (22) i (2) w (20) i uwzględniając (), trzymamy p uprządkwaniu względem h: B«JL?±J*! 3 (i - S a 2 ) a,.. (26).... (27)

5 Nr. PRZEGLĄD TECHNICZNY 7 b. a P TABELA. i 6 Błąd prcentwy jest, jak widzimy, prawie niezależny d wartści h i wynsi kł,%, średni,3*. Dla rzpry prstej, czyli dla a = 0 jest Y = = 0, (= (pr, tab, ), więc 0,7 0 0, , ,0,00,0,042,077,,66,220,280,34,44,487,6,64,72,80.837,72 2,08 2,6 2,237,7,76,83,3,608,630,66,6,73,78,83,87, 2,020 2,08 2,Q 2,233 2,308 2,38 2,463 0,0067 0,0267 0,060 0,07 0,67 0,2433 0,3333 0,440 0, ,872,060,270,03,767 2,060 2,384 2,744 3,4 3,78 Tabela pdaje wartści (3, Y i 8 b a = a,03,0226,033,042,06,0678,07,004,07,3,,7,,2,23,2,27,2,3,33 7? = + 0,3 a.,8, w I dla różnych (28) Dla rzpry półklistej, a = 'b=r f czyli a =. Wedle tabeli, jest 0 =,44, f,78, = 0,707, więc wedle (26) jest K n ' = r (,44 ft'+,78 hr + 0,707 r). Dla fc = 0 K ' 0,707 r\ Błąd K' O,"; Dla fc = r K a ' = r 3 (l,4<-f,78 + 0,707) = 3,06 r\ = ^6 = 3,06 = 0 6 (6 0 Dla /i = 2r K a ' = r 3 (, f, ,707) =,2 r\ Tę samą wartść trzymamy z równania (2), pdstawiając w nietn y = 0, ds dx i całkując d 0 d 2a, więc 2Kn = 2ah- czyli K[\ K\\' ah ł. błąd wyrażenia K' wynsi tu 0. Mamy tedy dla a = 3 = 0,3, zaś dla a = 0 6 = 0, Skr przyjmiemy wgóle 3 = 0,3 a, (2) t sprawdzą się ba skrajne przypadki zupełnie dkładnie. Dla pśrednich wartści a równanie (2) sprawdzi się tylk w przybliżeniu, c jednak wystarczy, Jeżeli bwiem pprawka jest mniejsza niż 0%, a błąd pprawki wynsi nawet 3O', t błąd wzru jest mniejszy niż 3%. Błąd pprawki mał wpływa zatem na błąd rezultatu. Jeżeli nazwiemy <p=l-fs= t... (30). (3) Tab. pdaje również wartści <p. Największa dchyłka d równania (2) znajduje się wpbliżu wartści a = 0,, która jest najbardziej ddalna d wartści skrajnych a 0 Dla a 0, jest wedle tab. : 3 =,, = 0,803, 3 = 0,67, f =,06. Dla a = 6m = 26 i h~0: K' = 0, = 688 m 3, f K' = 726,3 m 8. Dla a = 2b = 2h "=, , a. S-f-0, = Dla a = /i = 2fc = 6 m: K' ==,. 6 :i + 0, ,67. 6 :! = 8, Dla a = 2&=6m, h=32m K' =, , ,67. 6 ;! = = 266, cp K' = 2706 m s. Aby się przeknać słusznści metdy przyjętej, sprawdzn pwyższe wartści spsbem dkładnym. Dzieląc ple ćwiartki elipsy wymiarach a=6m, 6 = 8m na 6 pasków szerkści m, mżemy na pdstawie dczytanych z rysunku wartści ds, y bliczyć sumy S As, SyAs i Sy*As, które bardz mał się różnią d dpwiednich całek. Ostatni pasek pdzieln na dwa, aby zmniejszyć

6 PRZEGLĄD TECHNICZNY 3 TABELA 2. S As =,37 m, :2 = 8U m', L.p. V As = = 206 m 3. As y y ds y 2 rfs 2 x 2x\s (2 x) 2 As #,37fc h W tabeli dla x = 2 znalezin 2 7, 7. 63,3 3 3 (3 = 2,237, T = 2,463, 3 = 3,78, 3 4,03,03 7,86 7,7 7, , ,3 60,8 7 7,3,4 2 8 więc #' = 8 (2,237 ń ,463 h ,78) = = 7, /z s + 3,/i ,04 7,47 7,8 8,8, 27 Dla h = 0 #==206, #' =830m' K #' = 276 = 0, #' (błąd %). 7,04 7,26 7,6,7 3 3,7 78 Dla ft = 8 m # = =6226 m ,0 7,0 6,7 7,4 7,24 2,2 48,8 7, , 26 #'= =43 m 3 # #' = 733 = 0,34 #' (błąd 3,4%). Dla /i = 6m #= =282 m 8 0,06 6,4 6,4 44, 20, 30 #'= = 442 m 3,06 6,0 6, , 48 K #' = 37 = 0,2 #' (błąd 2*) ,07,7,27,6,00 4,2 6,2 6,0,6 34, , ,3 30,0 3,4 82, 748 Mżemy przyjąć średni dla «= = ~ T ^ = 0,33. Dla 8= mieliśmy 3, =0,3. Interplując linjw trzymany dla < a < 2,47 3,38,07 7, 2 43, J262 S = 3 + [Sj,) (a ) = 6,07 2,30 2,3,84 30,6 33,7 03 = 0,3 + 0,02 (a ), 7,7,3 2,7 3, , zaś <p = +3=,3 + 0,02(«J... [32) s=,37,67 728, Tabela pdaje wartści cp bliczne według elementy -i s, które zbyt dbiegały d prstej. Z wzru (30) dla 0 < * <, zaś wedle wzru (32) tabeli 2 czytamy: dla < a < 2. SA S =,37 m Przykład. SyA* =,67 m 2y 2 As =728,3 m. Rzpiętść 2a=8m, a = m. Wyskść h + 6 = 20 m, b = 6 m, czyli ( + y) /j =4m, a = 6: = 0,667 /i 2 = 6, K ==,37 /z ,67 h + 728,3. Dla h = 0, K 728,3, c w prównaniu z blicznem pwyżej cp #' = 726,3 daje błąd 0,27?ó. Według tabeli. a 2 = 8, Dla A = 8 m,- # = 373, tp#' = 3673, błąd wyrażenia y K' wynsi 2,6 u u. P Y 0 V Dla h = 6 # = 264, <p #' = 02, a = 0,6,66,630 0,2433,0678 błąd < 2,3%. 0.7,220,66 0,3333,07 Dla h = 32 m # = 2763, <p A"' = 2706, Aa = 0,04 0,03 0,0 0,03 błąd 2,3%. 0,667 A a 0, ,06 0,007 Błądy są tedy tak małe ( < 2,$, że wzry pwyżej wyprwadzne mżemy uważać za wystarcza- Wedł. (26) a = 0,6667,202,6 0,3033,073 jąc dkładne, a metdę za usprawiedliwiną. Wzór (30) mżna zatem w przybliżeniu przyjmwać dla wartści 0<a<;l. Jeg ekstraplacja = ( ,4) a = 468,4. = 42 m 8. #' = (6., ,6+8. 0,3033) a = prwadzi d błędów pważniejszych. Celem ustawienia wzru na 8 i <p dla a > l, znalezin sp- # =, = 430 m 8 sbem pwyżej pisanym wartści S As, Ey As = T H«= i Sy 2 As dla 6=6, a ==8, czyli dla a = 2. Psługując się tym samym rysunkiem c pprzedni ~h* + K = 44 m B (dla «=, a =6, 6 = 8), zamienin b na. a, x na y. Aby uniknąć liczb dziesiętnych, wypisan S + R w tab. 2 wartści 2x zamiast x. Z tabeli tej Wedł. (3) H^f-^f 080m 3 rubryki, (6 i 7) wynika: (d. c. n.)