FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin. 2010, Oeconomica 280 (59),
|
|
- Edyta Kaźmierczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Uiv. Techol. Steti. 200, Oecoomica 280 (59), Celia Skrobisz PROGNOZOWANIE BAYESOWSKIE W PRZYPAKU BRAKU PEŁNEJ INFORMACJI NA PRZYKŁAZIE PROUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ BAYESIAN PREICTION FOR NON-FULL INFORMATION ON THE EXAMPLE OF ELECTRICITY Katedra Zastosowań Matematki w Ekoomii, Zachodiopomorski Uiwerstet Techologicz w Szczeciie ul. Klemesa Jaickiego 3, Szczeci Abstract. The article was cosecrated the baesia modellig ad orecastig o the groud the hierarchical models o time series i case missig data. The priciples o baesia modelig ad orecastig were put-upo to aalsis o productio o electric power. I the article to buildig, estimatio ad predictio the baesia, hierarchical models were used umerical methods Mote Carlo. Słowa kluczowe: aaliza baesowska, brakujące dae, modele hierarchicze. Ke words: baesia aalsis, hierarchical models. missig data. ISTOTA BAYESOWSKIEGO WNIOSKOWANIA W EKONOMETRII Celem iiejszego opracowaia jest przedstawieie baesowskiego modelowaia hierarchiczego w przpadku braku pełej iormacji oraz porówaie otrzmach wików z wikami uzskami klasczmi metodami progozowaia dla brakującch dach. Baesowski model statstcz charakterzowa jest przez gęstość łączego rozkładu prawdopodobieństwa wektora obserwowaego, wektora progozowaego oraz wektora parametrów. Zapis aalitcz tego modelu jest astępując:,, ) /, ) / ) ) () wektor obserwacji; wektor parametrów; ) wstępa (iezależa od obserwacji) wiedza badacza o parametrze, wrażoa za pomocą rozkładu a priori o gęstości ); /) ukcja wiargodości określająca stopień przekoaia, dotcząc przjmowach przez badae zjawisko wartości względem hipotetczch wartości parametru ; /) wiedza badacza o parametrze oparta a całej dostępej iormacji (a podstawie prób i wiedz wstępej), wrażoa w postaci gęstości rozkładu a posteriori. Estmacja parametrów modelu polega a wzaczeiu a podstawie wektora obserwacji i wektora parametrów warukowej gęstości parametrów, prz dam wektorze, czli gęstości rozkładu a posteriori. Wioskowaie baesowskie opiera się a twierdzeiu Baesa: / ) ) / ) (2) / ) ) d
2 00 C. Skrobisz p ( ) ) / ) d gęstość brzegowego rozkładu wektora X. Predkcja jest wzaczeiem z łączej gęstości p (,, ) gęstości rozkładu warukowego dla wektora progozowaego, prz zaobserwowam wektorze ; jest to tzw. gęstość rozkładu predktwego:,, ) d, ), ) / ) /, ) d /, ) / ) d ) ) ) (3) Uzska rozkład a posteriori / ) i rozkład predktw, ) reprezetuje całą dostępą wiedzę o szacowach wielkościach parametrów i wektorze w astępstwie wektora. W stosowaiu metod baesowskich podstawowmi problemami, z którmi ależ się uporać, są problem atur umerczej. Wzaczeie podstawowch charakterstk rozkładów a posteriori i predktwego wmaga obliczeia całek wielokrotch. Ozacza to, że w przpadku wielowmiarowch przestrzei parametrów i zmiech ukrtch, które są przedmiotem wioskowaia, jedmi dostępmi metodami obliczeiowmi są smulacje metod Mote Carlo. W procesie smulacjm wkorzstwae są róże, p. Gibbsa, Metropolisa i Hastigsa cz algortm elimiacji. BAYESOWSKIE HIERARCHICZNE MOELE SZEREGU CZASOWEGO Ogóle zapis aalitcze zarówo hierarchiczch modeli klasczch, jak i baesowskich są takie same. Różice i to o zasadiczm charakterze dotczą sposobów estmacji, werikacji i budow progoz. Hierarchicz model dwustopiow z liiowm tredem i periodczm składikiem sezoowm moża zapisać astępująco (Zawadzki 2003): m p 2 Y srt αt α0 b0sqst b0srqsrt U srt, s b0sr s m p r Model 3-stopiow wraża się wzorem: s b0 0 (4) m m m p p 2 p Y srlt = αt + α0 + b + b0sr srt = 0s Qst Q 3 + b0srl + Q srlt + U s r = l srlt (5) m m m p p 2 p 3 prz warukach: b0 s = b0 sr = b = 0 s = r = l = 0srl W modelach (), (2) zmiee Q kt, Q srt oraz Q srlt są zmiemi zero-jedkowmi, przjmującmi wartości rówe dla poszczególch podokresów, woszącch odpowiedio, oraz, gdzie p m m m, p2, p3 są podzielikami odpowiadającmi kolejm stop- p p2 p3 iom w hierarchii. Z kolei liczba szacowach parametrów w modelach hierarchiczch jest r
3 Progozowaie baesowskie w przpadku braku... 0 rówa sumie podzielików pomiejszoch o liczbę stopi w hierarchii. W przpadku modelu dwuczikowego: L p p p p Natomiast w modelu trzczikowm: L p p p p p p W przpadku, gd ckl wahań wosi 2 miesięc (m = 2), otrzmam czter modele dwustopiowe i trz modele trójstopiowe. Zestawieie tch modeli zawiera tab.. Tabela. Specikacja regularch modeli hierarchiczch dla dach miesięczch Model Czik pierwsz Czik drugi Czik trzeci rodzaj zmieości macierz rodzaj zmieości macierz rodzaj zmieości macierz Liczba szacowach parametrów M2 IN H26 H34 H43 H62 H232 H223 H322 półrocze kwartał okres czterech miesięc okres dwóch miesięc półrocze półrocze okres czterech miesięc Źródło: Zawadzki (2003). PR K CZ PR PR CZ w półroczu w kwartale w okresie czterech miesięc w okresie dwóch miesięc dwa e w półroczu kwartał w półroczu dwa e w okresie czterech miesięc MP 6 MK 5 MCZ 5 M 6 P KP MCZ w okresie dwóch miesięc w kwartale w okresie dwóch miesięc TM 4 MK 4 M 4 PROGNOZOWANIE HIERARCHICZNE W PRZYPAKU BRAKUJĄCYCH ANYCH W procesie modelowaia predktwego i progozowaia zmiech wkazującch wahaia sezoowe prz braku pełej iormacji ależ wróżić dwa zasadicze przpadki, gd: a) w szeregu czasowm wstępują luki iesstematcze, b) w szeregu czasowm wstępują luki sstematcze. Z lukami iesstematczmi mam do czieia wted, gd dspoujem przajmiej jedą obserwacją o dam podokresie cklu wahań periodczch (u, kwartale itp.). Gd atomiast brakuje takich dach o przajmiej jedm podokresie, mam do czieia z szeregiem z lukami sstematczmi. Z wstępowaiem luk w dach wiążą się kosekwecje powodujące komplikacje w przebiegu procesu. W przpadku luk iesstema-
4 02 C. Skrobisz tczch składowe ależące do różch czików (stopi w hierarchii) mogą bć skorelowae. Tm samm ie będzie możliw idwidual pomiar udziału zmieości daego czika w ogólej wariacji sezoowej. Ze zaczie dalej idącmi kosekwecjami mam do czieia w szeregach z lukami sstematczmi. o możliwch astępstw ależ zaliczć: ) skorelowaie składowch ależącch do różch czików, 2) stałość iektórch składowch, 3) wstąpieie zjawiska polegającego a tm, że iektóre składowe mogą bć kombiacjami liiowmi ich składowch. To, z którą ze wskazach wżej stuacji będziem mieć do czieia, zależeć będzie od liczb i rozmieszczeia luk w dach. Na podstawie predktorów w stuacji, gd w dach wstępują luki, wzaczae są dwa rodzaje progoz iterpolacje i ekstrapolacje. Progoz iterpolacje dotczą podokresów przedziału czasowego prób, w którch wstąpił luki w dach. Natomiast progoz wbiegające wprzód poza okres estmacji są progozami ekstrapolacjmi. WNIOSKOWANIE BAYESOWSKIE W PRZYPAKU BRAKUJĄCYCH ANYCH o szacowaia parametrów baesowskich modeli hierarchiczch w przpadku iepełej iormacji zastosowa zostaie algortm EM (Expectatio Maximalizatio). Algortm EM jest uiwersalą umerczą metodą postępowaia. Istota metod polega a ckliczm powtarzaiu dwóch etapów polegającch odpowiedio a przewidwaiu określoch parametrów (krok E), a astępie a wliczeiu zmiech maksmalizującch określoą ukcję celu (krok M). W każdm z tch etapów korzsta się z wielkości obliczoch w etapie poprzedim. Etap wstęp polega a przjęciu założeia dotczącego wartości każdej z brakującch dach, p. średiej lub media. Korzstając z tch wartości, w kroku E estmuje się parametr rozkładu. Następie w kroku M wcześiej przjęte brakujące wartości są zastępowae wartościami dającmi w eekcie ajwiększą wartość ukcji wiargodości. Fukcja wiargodości zależ ściśle od parametrów rozkładu wzaczoch w poprzedim kroku. Formal zapis postępowaia w algortmie EM jest astępując: mam da wektor obserwacji i, któr zawiera dae obserwowae ( obs ) i dae brakujące ( mis ). Przez θ ( μ, σ ) ozaczam bieżące old old old oszacowaia. Wartości zmieej ij old = E ( ij / obs, old ) E( E i i old ij/ obs, θ ) ij / ik obs old wzaczae są ze wzoru:, θ old jeśli ij jest obserwowae jeśli brakuje ij i old ij old old old ij ik cijk i (6)
5 Progozowaie baesowskie w przpadku braku ew ew ew Koleje oszacowaia: θ ( μ, σ ) wzacza się ze wzorów: μ σ ew old j ij i ew old old old ew ew jk ( ij ik cijk ) μ j μk i i 0 dla dach obserwowach c old ijk = cov( ij, ik / obs, old ), gd dach brakuje Rozkład a posteriori jest astępując: old ew old ew old ij μ j ik μk cijk θ/obs, mis ) p ( θ) L( θ/ obs, mis ) (8) Co tożsame jest z: / obs ) =, mis / obs ) d mis ) = / mis, obs ) mis / obs ) /d mis (9) Wartość oczekiwaa a posteriori przjmuje wówczas astępującą postać: E ( / obs ) = E [E( / mis, obs ) / obs ] (0) Wariacja a posteriori atomiast ma postać: Var ( / obs ) = E [Var( / mis, obs ) / obs ] + Var [E( / mis, obs ) / obs ] () Rówaie powższe moża aproksmować: p ( / obs ) d mis d p ( mis / obs ). / mis d / obs ) Podobie wartość oczekiwaa i wariacja mogą bć aproksmowae przez: E ( / obs ) ˆ / d d d Var ( / obs ) / d mis, obs ) d = (2), ˆd = E( / d mis, obs ) V d d d ( ˆ d ˆ) 2 V B V d wariacja a posteriori oszacowaa ( mis, obs ), V V d /. d d (7) PRZYKŁA EMPIRYCZNY otchczasowe rozważaia zostaą zilustrowae przkładem empirczm dotczącm miesięczej produkcji eergii elektrczej ENEL.
6 04 C. Skrobisz Rsuek przedstawia kształtowaie się miesięczej produkcji eergii elektrczej [kwh] Miesiąc Rs.. Kształtowaie się produkcji eergii elektrczej W badaiu rozpatrzoch zostało pięć wariatów luk sstematczch w dach miesięczch: I luki wstępują w czwartm i ósmm u cklu roczego, II luki wstępują w piątm, siódmm i jedeastm u cklu roczego, III luki wstępują w pierwszm kwartale każdego roku, IV luki wstępują w drugim kwartale każdego roku, V luki wstępują w co drugim u i obejmują e ieparzste, Luki w dach otrzmao poprzez usuięcie odpowiedich dach z pełch szeregów czasowch; kierowao się międz imi odległością międz lukami oaz wstępowaiem miimów i maksimów sezoowch. W aalizie produkcji eergii elektrczej w przpadku wszstkich wariatów luk w dach szacowaiu poddao siedem modeli hierarchiczch, w tm czter dwustopiowe oraz trz trzstopiowe. Rsuek 2 przedstawia brzegow rozkład a posteriori parametru θ_ zmieej ENEL w pierwszm wariacie luk w dach. Tabela 2 przedstawia wartości oczekiwae i odchleia stadardowe a posteriori parametrów siedmiu modeli hierarchiczch badaej zmieej ENEL w pierwszm przpadku luk w dach. Parametr ozacza warukow rozkład a posteriori; zależ od dach oraz ich parametrów modelu. Założoo, że parametr mu ma rozkład ormal, warukow rozkład a posteriori odpowiadając wariacji, warukow rozkład a posteriori o rozkładzie 2.
7 Tabela 2. Zestawieie wartości oczekiwach (A) i odchleń stadardowch (B) a posteriori parametrów siedmiu modeli w pierwszm wariacie luk w dach Parametr H26 H43 H34 H62 H223 H232 H322 A B A B A B A B A B A B A B θ_ 808,23 238, ,74 272,5 3 64,04 268, ,30 380,80 759,5 97,56 790,8 99, ,60 357,4 θ_2 793,57 24,58 967,6 273, ,94 267, ,6 370,62 782,92 99,43 842,25 225, ,22 358,60 θ_3 907,9 255,85 44,88 306, ,0 266,98 977,7 376,42 728,20 27,60 799,3 220,82 406,98 248,63 θ_4 787,63 242,23 377,0 306,69 692,69 230,2 969,27 377,52 677,68 224,20 72,20 204,90 609,84 248,8 θ_5 857,22 243,63 770,04 306,84 829,72 230,7 238,27 368,96 θ_6 747,29 249,53 604,8 27,27 σ 66,24 20,66 389,62 02,36 87,37 87,40 374,35 05,45 68,74,86 70,52 3,06 57,28,7 τ 246,68 20,26 858,06 899,9 243,43 028,34 867,76 753,62 295,08 288,49 302,0 293, ,78 799,3 μ 87,39 96,98 477,00 763,5 266,55 872,55 247,36 700,22 737,7 27,46 787,89 220,72 453,32 223,83
8 06 C. Skrobisz Rs. 2. Brzegow rozkład a posteriori parametru θ_ w modelu H26 w pierwszm wariacie luk w dach W tabeli 3 przedstawioo wartości kwatli brzegowch rozkładów predktwch w przpadku wstępowaia luk w pierwszm wariacie, tj. w 4 i 8 u każdego roku. Tabela 3. Kwatle rozkładów predktwch a posteriori dla poszczególch parametrów Kawtle rzędu 2 _3 _4 _5 _6 0, , , , , , ,6 0,25 304,96 353,45 385, , , ,55 0,5 35,62 460,03 523, , , ,65 0,75 396,22 500,42 648, , , ,5 0,95 836,02 634,86 737, , , ,08 Rzeczwiste wartości Niewielkie różice charakterstk a posteriori dla parametrów θ_, θ_2, θ_3, θ_4, θ_5, θ_6 zawartch w tab. 2 wraźie wskazują a bardzo iewielką wrażliwość wików estmacji baesowskiej a założeia modelowe i rozkład a priori. Aalizę jedowmiarowch brzegowch rozkładów predktwch opieram a kwatlach odcztach z tch rozkładów. Moża tu w szczególości wkorzstać jako miarę rozproszeia różicę międz kwatlami woszącą 0,75 i 0,25 (odległość międzkwatlową) rozkładu predktwego. W tabeli 3, oprócz wartości kwatli, podao zrealizowae wartości zmieej ENEL. Okazuje się, że progoza puktowa a poziomie wszstkich kwatli jest dość traa w tm sesie, że zrealizowae wartości leżą w sąsiedztwie tej charakterstki. Jedie dwie pierwsze zrealizowae wartości odbiegają dość zaczie od uzskach kwatli rozkładów predktwch. Ta stuacja powoduje, że progoz puktowe ie są obarczoe dość dużm błędem progoz, co potwierdzi aaliza błędów progoz ekstrapolacjch.
9 Progozowaie baesowskie w przpadku braku W tabelach 4 i 5 przedstawioo wiki średich błędów progoz ekstrapolacjch dla zmieej ENEL w przpadku iepełej iormacji zarówo dla klasczch modeli hierarchiczch (K), jak i baesowskich (B) dla dwóch horzotów czasowch h = 2 i h = 6. Tabela 4. Zestawieie wików progozowaia ekstrapolacjego dla h = 2 Wa- H26 H34 H43 H62 H223 H232 H322 riat K B K B K B K B K B K B K B I 6,2 3,22 8,34 7,25 2,08 0,23 8,67 7,34 4,36 6,32 4,83 5, 9,67 8,35 II 5,5 20,8 7,57 3,33 9,06 8,62 6,64 9,38 4,30 4,38 5,0 4,34 7,5 9,35 III 5,33 4,73 5,56 5,89 0,79 0,69 4,02 3,98 5,57,87 5,73 0,64 0,4 0,03 IV 20,77 8,46 8,63 8,5,84,7 8,57 8,4 20,85 5,73 2,33 8,24,96 0,98 V 4,3 3,9 >30 25,4 0,09 9,45,92 0,82 >30 2,46 4,6 2,85 2,55 0,38 Źródło: wiki dla modeli klasczch Markiewicz (2004); obliczeia włase dla modeli baesowskich. Tabela 5. Zestawieie wików progozowaia ekstrapolacjego dla h = 6 Wariat H26 H34 H43 H62 H223 H232 H322 K B K B K B K B K B K B K B I 6,4 4,52 2,30 2,09 3,7 3,35 2,02 5,90,9 3,06 3, 3,22 2,04,92 II,02 9,86 0,09 2,08 2,55 0,8 6,42 9,02 9,50 3,78 2,80 0,74 7,57 7,94 III 27,56,62 27,82 7,9 5,32 0,55 23,55 2,27 27,85 7,02 27,07 7,9 4,74 7,96 IV 37,35 3,8 3,99 2,79 8,84,63 2,62 2,02 >30 3,79 >30 3,49 9,2 2,4 V 9,42 0,49 >30,66 6,55 7,52 6,28 5,25 >30 0,99 22,06 0,95 6,9 7,60 Źródło: wiki dla modeli klasczch Markiewicz (2004); obliczeia włase dla modeli baesowskich. Progozowaie ekstrapolacje a podstawie baesowskich hierarchiczch modeli szeregu czasowego w warukach wstępowaia luk sstematczch okazało się we wszstkich przpadkach eektwe i spełiające przjęte krterium dopuszczalości progoz. Natomiast w przpadku klasczch modeli hierarchiczch w czterech przpadkach waruek te ie został spełio, tj. dla H34 (V wariat), H223 (IV i V wariat) oraz H232 (IV wariat). Tabela 6 przedstawia procet przpadków, w którch stosując baesowską aalizę brakującch dach w modelach hierarchiczch, osiągięto lepsze wiki średich błędów progoz ekstrapolacjch iż w przpadku klasczej aaliz tch modeli. Tabela 6. Procet przpadków, w którch lepsze wiki progozowaia osiągięto, stosując aalizę baesowską Wariat luk Procet przpadków h = 2 h = 6 I 57,4 57,4 II 28,57 42,85 III 85,7 00 IV V 00 00
10 08 C. Skrobisz POSUMOWANIE Na pięć wariatów luk w dach jedie w drugim wariacie dla dwóch okresów progozowaia w większości przpadków lepsze wiki średich błędów progozą osiągięto, stosując aalizę klasczą. W pozostałch przpadkach lepsze wiki progozowaia uzskao, stosując aalizę baesowską. Natomiast w IV i V wariacie luk dla dwóch okresów progozowaia stosując baesowską aalizę, aż w 00% przpadków osiągięto lepsze wiki, iż stosując klasczą aalizę. Rówież w III warciaie luk, ale tlko dla horzotu czasowego h = 6, stosując baesowską aalizę brakującch dach, osiągięto lepsze wiki w 00%. PIŚMIENNICTWO Box G.E.P., Tiao G.C Baesia ierece i statistical aalsis. Lod, Wile Classics Librar. Markiewicz A Zastosowaie modeli hierarchiczch oraz sieci euroowch w progozowaiu zjawisk ekoomiczch. Szczeci, AR. Osiewalski J. 99. Baesowska estmacja i predkcja dla jedorówaiowch modeli ekoometrczch. Zesz. Nauk. AE Krak. 00, Osiewalski J Ekoometria Baesowska w zastosowaiach. Kraków, AE. Little R.J.A., Rubi.B Statistical aalsis with missig data. New Jerse, Wile-Itersciece. Zawadzki J Zastosowaie hierarchiczch modeli szeregów czasowch w progozowaiu zmiech ekoomiczch z wahaiami sezoowmi. Szczeci, AR.
Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych
Ocea dopasowaia modelu do dach empirczch Po oszacowaiu parametrów modelu ależ zbadać, cz zbudowa model dobrze opisuje badae zależości. Jeśli okaże się, że rozbieżość międz otrzmam modelem a dami empirczmi
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 3. tel.: (061)
Ćwiczeia 3 mgr iż.. Mara Krueger mara.krueger@edu.wsl.com.pl mara.krueger@ilim.poza.pl el.: (06 850 49 57 Meod progozowaia krókoermiowego sał poziom red sezoowość Y Y Y Czas Czas Czas Model aiw Modele
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowo3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
Bardziej szczegółowoNIEKLASYCZNE METODY BUDOWY PROGNOZ ZATRUDNIENIA W GOSPODARCE WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO
Tomasz Szkutik Mirosław Wójciak Uiwerstet Ekoomicz w Katowicach NIEKLASYCZNE METODY BUDOWY PROGNOZ ZATRUDNIENIA W GOSPODARCE WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO Wprowadzeie Dwa zasadicze urt, tj. związa z eoklasczą
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM.
Kompterowe Sstem Idetfikacji Laboratorim Ćwiczeie 5 IERACYJY ALGORY LS. IDEYFIKACJA OBIEKÓW IESACJOARYCH ALGORY Z WYKŁADICZY ZAPOIAIE. gr iż. Piotr Bros, bros@agh.ed.pl Kraków 26 Kompterowe Sstem Idetfikacji
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoPROGNOZY I SYMULACJE
orecasig is he ar of saig wha will happe, ad he explaiig wh i did. Ch. Chafield (986 PROGNOZY I YMULACJE Kaarza Chud Laskowska kosulacje: p. 400A środa -4 czwarek -4 sroa iereowa: hp://kc.sd.prz.edu.pl/
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE. mgr Żaneta Pruska. Katedra Systemów Logistycznych.
PROGNOZOWANIE Kaedra Ssemów Logisczch mgr Żaea Pruska zaea_pruska@wp.pl zaea.pruska@wsl.com.pl PROJEKT 0 pk. (grup 4-osobowe) Projek: Wersja w Wordzie Powia zawierać opis projeku z zasosowaiem eapów progozowaia.
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2.
Zachęcam do samodzielej prac z arkuszem diagostczm. Pozaj swoje moce i słabe stro, a astępie popracuj ad słabmi. Żczę przjemego rozwiązwaia zadań. Zadaie. ( pkt) Wartość wrażeia a ZADANIA ZAMKNIĘTE b dla
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoWersja najbardziej zaawansowana. Zestaw nr 1: Ciągi liczbowe własności i granica
Wersja ajbardziej zaawasowaa. Zestaw r : Ciągi liczbowe własości i graica.. Niech a dla.... Sprawdzić cz a jest ciągiem mootoiczm artmetczm... Sprawdzić cz astępując ciąg jest ciągiem geometrczm. Wpisać
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE. mgr Żaneta Pruska. Katedra Systemów Logistycznych.
PROGNOZOWANIE Kaedra Ssemów Logisczch mgr Żaea Pruska zaea_pruska@wp.pl zaea.pruska@wsl.com.pl PROJEKT 5 pk. (grup 4-osobowe) Projek: Wersja w Wordzie Powia zawierać opis projeku z zasosowaiem eapów progozowaia.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoZasady budowania prognoz ekonometrycznych
Zasad budowania prognoz ekonometrcznch Klasczne założenia teorii predkcji 1. Znajomość modelu kształtowania się zmiennej prognozowanej Znajomość postaci analitcznej wstępującch zależności międz zmiennmi
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoMetody prognozowania: Jakość prognoz Wprowadzenie (1) 6. Oszacowanie przypuszczalnej trafności prognozy
Metod prognozowania: Jakość prognoz Dr inż. Sebastian Skoczpiec ver. 03.2012 Wprowadzenie (1) 1. Sformułowanie zadania prognostcznego: 2. Określenie przesłanek prognostcznch: 3. Zebranie danch 4. Określenie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoMichał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW
Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wstęp Pomiarem jest procesem pozawczm, któr umożliwia odwzorowaie właściwości fizczch obiektów w dziedziie liczb. Sam proces pomiarow jest ciągiem czości
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIV, 06.06.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA CD. Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoBielecki Jakub Kawka Marcin Porczyk Krzysztof Węgrzyn Bartosz. Zbiorcze bazy danych
Bielecki Jakub Kawka Marci Porczk Krzsztof Węgrz Bartosz Zbiorcze baz dach Marzec 2006 Spis treści. Opis działalości bizesowej firm... 3 2. Omówieie struktur orgaizacjej... 4 3. Opis obszaru bizesowego...
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoMiary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoZmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoFORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS
FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 007, Oeconomica 54 (47), 73 80 Mateusz GOC PROGNOZOWANIE ROZKŁADÓW LICZBY BEZROBOTNYCH WEDŁUG MIAST I POWIATÓW FORECASTING THE DISTRIBUTION
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrzmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 4 Aaliza stau aprężeia Sta aprężeia w pukcie, tesor aprężeia, klasfikacja staów aprężeia, aaliza jedoosiowego stau aprężeia, aaliza płaskiego stau
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowoPrzedziały ufności i testy parametrów. Przedziały ufności dla średniej odpowiedzi. Interwały prognoz (dla przyszłych obserwacji)
Wkład 1: Prosta regresja liniowa Statstczn model regresji liniowej Dane dla prostej regresji liniowej Przedział ufności i test parametrów Przedział ufności dla średniej odpowiedzi Interwał prognoz (dla
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK (dok.) WYGŁADZANIE szeregu czasowego
D. Miszczńska,M.Miszczński, Maeriał do wkładu 6 ze Saski, 009/0 [] ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK (dok.). szereg czasow, chroologicz (momeów, okresów). średi poziom zjawiska w czasie (średia armecza, średia
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoPlanowanie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocnicze
Plaowaie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocicze Układ bloków kompletie zradomizowaych Założeia: (a) Z jedostek doświadczalych tworzymy rówolicze grupy zwae blokami (b bloków) w taki sposób, aby jedostki
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoWykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.
Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób
Bardziej szczegółowoWykład 2b. Podstawowe zadania identyfikacji. Wybór optymalnego modelu
Wkład b. odstawowe zadaia idetfikaci. Wbór optmalego model Wiki: wioski i hipotez metod proektowaia metod zarządzaia algortm sterowaia metod diagostcze odiesieie wików do obiekt Efekt: owa wiedza owe obiekt
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoopisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowo19. Wybrane układy regulacji Korekcja nieliniowa układów. Przykład K s 2. Rys Schemat blokowy układu oryginalnego
19. Wbrane układ regulacji Przkład 19.1 19.1. Korekcja nieliniowa układów w K s 2 Rs. 19.1. Schemat blokow układu orginalnego 1 Zbadać możliwość stabilizacji układu za pomocą nieliniowego prędkościowego
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoMateriały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Ćwiczenia
Materiał ddaktcze Matematka Semestr III Ćwiczeia Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci CIII RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH RÓWNANIA JEDNORODNE Rówaia różiczkowe o
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów
Wtrzmałość materiałów IMiR - IA - Wkład Nr 8 Aaliza stau aprężeia Sta aprężeia w pukcie, tesor aprężeia, klasfikacja staów aprężeia, aaliza jedoosiowego stau aprężeia, aaliza płaskiego stau aprężeia, koło
Bardziej szczegółowoPorównanie dwu populacji
Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów niestacjonarnych z wykorzystaniem koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji
POLIEHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ ELEKRONIKI I EHNIK INFORMAYJNYH INSYU SYSEMÓW ELEKRONIZNYH mgr iż. Korad Jędrzejewski Rozprawa doktorska Przetwarzaie sgałów iestacjoarch z wkorzstaiem kocepcji adaptacjej
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i symulacje
Progozowaie i smulacje Ramow pla wkładu. Wprowadzeie w przedmio. rafość dopuszczalość i błąd progoz 3. Progozowaie a podsawie szeregów czasowch 4. Progozowaie a podsawie modelu ekoomerczego 5. Heurscze
Bardziej szczegółowoSPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization Jakub M. Tomczak Studenckie Koło Naukowe Estymator jakub.tomczak@pwr.wroc.pl 4.1.213 Klasteryzacja Zmienne
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,
Bardziej szczegółowoModel ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoREGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Bardziej szczegółowo(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO
Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia
Bardziej szczegółowo