Model Cox a. Testowanie założeń o proporcjonalnym hazardzie.

Transkrypt

1 Model Cox a. Testowanie założeń o proporcjonalnym hazardzie. Seminarium - Statystyka w medycynie Model Cox a..

2 Plan 1 Wstęp Model Cox a - przypomnienie 2 Założenie proporcjonalnego hazardu 3 Metoda wizualna Przykłady 4 5 Przykład 6 7 Model Cox a..

3 Plan Wstęp 1 Wstęp Model Cox a - przypomnienie Model Cox a - przypomnienie 2 Założenie proporcjonalnego hazardu 3 Metoda wizualna Przykłady 4 5 Przykład 6 7 Model Cox a..

4 Model Cox a - przypomnienie Model Cox a - przypomnienie Funkcja Hazardu λ(t, Z) = λ 0 (t) exp(β T Z) gdzie Z - wektor p zmiennych objaśniajacych, λ 0 (t) - hazard bazowy, β T - nieznany wektor współczynników Model Cox a..

5 Plan Wstęp 1 Wstęp Model Cox a - przypomnienie Założenie proporcjonalnego hazardu 2 Założenie proporcjonalnego hazardu 3 Metoda wizualna Przykłady 4 5 Przykład 6 7 Model Cox a..

6 Założenie proporcjonalnego hazardu Założenie proporcjonalnego hazardu (1) W modelu proporcjonalnego hazardu zakłada się, że funkcja hazardu dla jednostki (tzn. obserwacji w analizie) zależy od wartości zmiennych objaśniajacych (ang. covariates) i wartości hazardu bazowego. Dla dwóch jednostek o określonych wartościach zmiennych objaśniajacych stosunek estymowanych wartości hazardu w czasie będzie stały. Stad nazwa metody: model proporcjonalnego hazardu. Model Cox a..

7 Założenie proporcjonalnego hazardu Założenie proporcjonalnego hazardu (2) Załóżmy, że istnieje taki wektor funkcji od czasu g(t), że λ(t, Z) = λ 0 (t) exp([β + g(t)] T Z) Wtedy proporcja (the hazard ratio) może zmieniać się w czasie. W celu przetestowania założenia o proporcjonalnym hazardzie, trzeba sprawdzić czy wektor funkcji g jest bliski zeru. Model Cox a..

8 Plan Wstęp 1 Wstęp Model Cox a - przypomnienie Metoda wizualna Przykłady 2 Założenie proporcjonalnego hazardu 3 Metoda wizualna Przykłady 4 5 Przykład 6 7 Model Cox a..

9 Metoda wizualna Przykłady Wizualne testowanie założeń proporcjonalności Dla dwóch grup (np osoby poddane terapii i osoby nie leczone), gdy założenie proporcjonalnego hazardu jest spełnione, tzn: λ(t,z 1 ) λ(t,z 2 ) = λ 0(t) exp(β T Z 1 ) λ 0 (t) exp(β T Z 2 ) = exp(βt Z 1 ) exp(β T Z 2 ) = c testowanie proporcjonalności możemy sprowadzić do porównania przekształconych wykresów funkcji przeżycia. Model Cox a..

10 Funkcja log( log(s(t)) (1) Metoda wizualna Przykłady Niech λ(t, Z i ) = λ i (t) dla i = 1, 2 Wiemy, że: S i (t) = exp( t 0 λ i(s)ds) Dalej po przekształceniu otrzymujemy: log( log(s i (t))) = log( λ 0 (t) exp(β T Z i )) = log(λ 0 (t)) + β T Z i Model Cox a..

11 Funkcja log( log(s(t)) (2) Metoda wizualna Przykłady Wykorzystujac założenie o proporcjonalnym hazardzie z poprzedniego slajdu i przekształcajac mamy: log( log(s 1 (t))) = log(λ 0 (t)) + β T Z 1 = log(λ 0 (t)) + log c + β t Z 2 = log( log(s 2 (t))) + log c Stad, gdy wykresy funkcji log( log(s(t))) dla dwóch grup sa przesunięte, założenie o proporcjonalności możemy uznać za spełnione Model Cox a..

12 Przykład 1 Metoda wizualna Przykłady Model Cox a..

13 Przykład 2 Metoda wizualna Przykłady Model Cox a..

14 Uwagi Wstęp Metoda wizualna Przykłady Testowanie wizualne najlepiej sprawdza się w przypadku dwóch wartości cechy użytej przy konstrukcji modelu W przypadku cechy o większej liczbie wartości lub cech o wartościach ciagłych metody graficznej się nie stosuje W wielu przypadkach wykres nie jest jednoznaczny Model Cox a..

15 Przykład 3 Metoda wizualna Przykłady Model Cox a..

16 Plan 1 Wstęp Model Cox a - przypomnienie 2 Założenie proporcjonalnego hazardu 3 Metoda wizualna Przykłady 4 5 Przykład 6 7 Model Cox a..

17 (1) czyli ˆr i = Z i j R i Z j exp( ˆβ T Z j ) j R i exp( ˆβ T Z j ) ˆr i = Z i Ê(Z i R i ) gdzie R i = {j : t j t i } - zbiór ryzyk do czasu t i, ˆβ - estymator współczynników β Model Cox a..

18 (2) Wniosek E(ˆr i ) V i g(t i ) gdzie czyli j R V i = i Z j Zj T exp(β T Z j ) j R i exp(β T Z j ) [ j R i Z j exp(β T Z j ) ][ j R i Z j exp(β T Z j ) ] T [ j R i exp(β T Z j ) ] 2 V i = E(Z 2 i R i ) E(Z i R i ) 2 Model Cox a..

19 (3) Jeśli założenie o proporcjonalnym hazardzie jest prawdziwe, to E(ˆr i ) 0 a plot ˆr i względem czasu będzie położony blisko 0. Zauważmy, że V i 0. Zatem znak E(ˆr i ) zależy od g(t). Zmiany w g(t) można zobrazować plotem ˆr i względem czasu. Model Cox a..

20 (4) NIech r i będzie zdefiniowane podobnie jak ˆr i, tylko z β, a nie ˆβ. Niech U i będzie macierza wymiaru p na p, której elementami sa pochodne czastkowe r i po β. Np. elementem (k,s) będzie r ik β s. Niech U = j R i U j. Wtedy możemy rozwinać ˆr i wokół β, korzystajac ze wzoru Taylora ˆr i = r i + U i ( ˆβ β) + o p (n 1 2 ) (1) Model Cox a..

21 (5) Wzór (1) można przekształcić do postaci ˆr i = r i + U i U 1 r j + o p (n 1 2 ) Ponadto, można za pomoca U i U i, U j zdefiniować korelację ˆr i i ˆr j : δ ij U i U i U 1 U j Za pomoca powyższego wzoru można również wyznaczyć wariancję ˆr i. Model Cox a..

22 Plan Wstęp 1 Wstęp Model Cox a - przypomnienie Przykład 2 Założenie proporcjonalnego hazardu 3 Metoda wizualna Przykłady 4 5 Przykład 6 7 Model Cox a..

23 Przykład Testowanie graficzne z użyciem skalowanych residuów Schoenfelda Do obliczania skalowanych residuów Schoenfelda służy funkcja: residuals(model, type= scaledsch ) model - objekt typu coxph type - rodzaj residuów wyliczanych przez funkcje. Dostępne: martingale, deviance, score, schoenfeld, dfbeta, dfbetas, scaledsch, partial Model Cox a..

24 Przykład 4 Przykład Dla danego modelu możemy narysować residua >dane1 < Surv(dane$czas.obserwacji, dane$status) >model < coxph(dane1 wiek.dawcy+wiek.biorcy, data=dane) >res=residuals(model, scaledsch ) >time=as.numeric(unlist(dimnames(res))) >plot(time, res[, 1], ylab= residua dla wiek.dawcy ) >abline(0, 0, lty=2) >lines(smooth.spline(time, res[, 1], spar=0.75), col= black ) Model Cox a..

25 Przykład 4 cd Przykład Model Cox a..

26 Przykład 4 cd Przykład Model Cox a..

27 Uwagi Wstęp Przykład Graficzne testowanie założeń o proporcjonalnym hazardzie sprowadza się do badania, czy residua Schoenfelda znajduja się blisko 0 Przesłanka za uznaniem proporcjonalności hazardu jest wykres gładkiej funkcji (czerwona przerywana linia) przypominajacy stała prosta bliska 0 Model Cox a..

28 Plan 1 Wstęp Model Cox a - przypomnienie 2 Założenie proporcjonalnego hazardu 3 Metoda wizualna Przykłady 4 5 Przykład 6 7 Model Cox a..

29 Co robi funkcja cox.zph Aby móc powiedzieć, czy spełnione jest założenie o proporcjonalnym hazardzie, używamy funkcji cox.zph. Funkcja ta: Testuje hipotezę zerowa H 0 o spełnieniu założeń proporcjonalnego hazardu dla poszczególnych zmiennych objaśniajacych Test polega na zastosowaniu przeskalowanych residuów Schoenfelda i policzeniu testu chi-kwadrat Model Cox a..

30 Funkcja cox.zph Składnia funkcji: cox.zph(fit, transform, global) fit - obiekt typu coxph, czyli obiekt wynikowy funkcji coxph; transform - parametr ten odpowiada za transformację czasu przeżycia, możliwe wartości: "km"dla danych cenzorowanych prawostronnie, "rank", "identity", lub dowolna funkcja jednoargumentowa; global - czy ma być wykonany test chi-kwadrat dla całego modelu Model Cox a..

31 Wynikiem działania funkcji cox.zph jest objekt typu cox.zph. Składa się on z następujacych elementów: $table - zestawienie wyników testu opianego wyżej, szczegóły na następnym slajdzie $x - przeskalowany czas, zależnie od opcji transform użytej w funkcji cox.zph $y - macierz przeskalowanych residuów Schoenfelda dla każdej ze zmiennych objaśniajacych Model Cox a..

32 Wynik działania funkcji cox.zph Po wywołaniu funkcji cox.zph dla naszego modelu otrzymujemy >test < cox.zph(model) rho chisq p wiek.dawcy wiek.biorcy GLOBAL NA rho - współczynnik korelacji Pearsona dla przeskalowanych residuów Schoenfelda i czasu chisq - wartość statystyki testowej chi-kwadrat p - p-value dla testowania hipotezy zerowej o spełnieniu założenia Marta Burawska o proporcjonalnym i Marcin Kolankowski Model hazardzie Cox a. Testowanie dla modelu założeń o proporcjonalnym hazardzie.

33 Rysowanie obiektów typu cox.zph Wywołanie funkcji: plot(cox.zph(model), se, df) se - gdy wartość TRUE, na wykresie pojawiaja się przerywane linie oznaczajace 2 x bład standardowy df - liczba stopni swobody przy dopasowywaniu gładkiej krzywej do residuów, dla df = 2 ostrzymujemy prosta Model Cox a..

34 plot(cox.zph(model, transform=identity)[1], df=4, se=t) Model Cox a..

35 plot(cox.zph(model, transform=identity)[1], df=2, se=f) Model Cox a..

36 Plan 1 Wstęp Model Cox a - przypomnienie 2 Założenie proporcjonalnego hazardu 3 Metoda wizualna Przykłady 4 5 Przykład 6 7 Model Cox a..

37 D.Schoenfeld; Partial resduals for the proportional hazards regression model A.Winnett; A note on scaled Schoenfeld residuals for the proportional hazards model Terry M. Therneau, Patricia M. Grambsch; Modeling Survival Data na Model Cox a..