STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
|
|
|
- Bogna Sikora
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 1 13 pa¹dziernik / 49
2 Plan wykªadu 1. Analizy prze»ycia na przykªadach 2. Podstawowe idee statystyki matematycznej wykorzystywane w analizie prze»ycia 3. Krzywe prze»ycia 4. Pakiet R 2 / 49
3 ANALIZA PRZE YCIA - PRZYKŠADY 3 / 49
4 Przykªad 1 - transplantacja serca Rysunek 1: Czas do transplantacji serca oraz czas prze»ycia dla 82 pacjentów wybranych z Programu Transplantacji Serca Stanford (Turnbull et al., 1974). 4 / 49
5 Przykªad 1 - transplantacja serca Rysunek 2: Prawdopodobie«stwo prze»ycia osób zakwalikowanych do przeszczepu serca estymowane przy pomocy krzywych Kaplana-Meiera (Turnbull et al., 1974). 5 / 49
6 Przykªad 2 - przewlekªa biaªaczka szpikowa Rysunek 3: Krzywa prze»ycia dla pacjentów z przewlekª biaªaczk szpikow (Peto et al., 1977). 6 / 49
7 Przykªad 2 - przewlekªa biaªaczka szpikowa Rysunek 4: Krzywe prze»ycia dla pacjentów z przewlekª biaªaczk szpikow poddawanych chemioterapii (Busulphan) lub radioterapii (Peto et al., 1977). 7 / 49
8 Przykªad 3 - antykoncepcja Rysunek 5: Skumulowana stopa regeneracji spermy po zaprzestaniu za»ywania gossypolu (Meng et al., 1988). 8 / 49
9 PODSTAWOWE IDEE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ WYKORZYSTYWANE W ANALIZIE PRZE YCIA 9 / 49
10 Mediana czasu prze»ycia Mediana czasu prze»ycia - warto± dla której 50% osób ma dªu»szy czas prze»ycia i 50% osób ma krótszy czas prze»ycia. Dlaczego nie u»ywamy ±redniego czasu prze»ycia? Zazwyczaj rozkªad czasu prze»ycia jest sko±ny (maªa ilo± osób chorych»yje dªugo). 10 / 49
11 Mediana czasu prze»ycia Mediana czasu prze»ycia - warto± dla której 50% osób ma dªu»szy czas prze»ycia i 50% osób ma krótszy czas prze»ycia. Dlaczego nie u»ywamy ±redniego czasu prze»ycia? Zazwyczaj rozkªad czasu prze»ycia jest sko±ny (maªa ilo± osób chorych»yje dªugo). 10 / 49
12 Mediana czasu prze»ycia Mediana czasu prze»ycia - warto± dla której 50% osób ma dªu»szy czas prze»ycia i 50% osób ma krótszy czas prze»ycia. Dlaczego nie u»ywamy ±redniego czasu prze»ycia? Zazwyczaj rozkªad czasu prze»ycia jest sko±ny (maªa ilo± osób chorych»yje dªugo). 10 / 49
13 Mediana czasu prze»ycia Rysunek 6: Rozkªad czasu pomi dzy pierwszym symptomem a diagnoz raka piersi dla 145 kobiet. rednia wynosi 225.1, a mediana 185 dla skali oryginalnej i odpowiednio i dla skali zlogarytmowanej. 11 / 49
14 Przedziaªy ufno±ci W analizie prze»ycia wa»n rol odgrywaj przedziaªy ufno±ci: X z 1 α 2 S < µ < X + z 1 n α S 2 n Rysunek 7: Dolny i górny α 2 punkt standardowego rozkªadu normalnego 12 / 49
15 Przedziaªy ufno±ci Statystyka Parametr Estymator Bª d ±rednia µ n X = 1 n x i=1 i standardowy S n + S2 B n B S 2 ró»nica ±rednich δ = µ A µ B d = X A X A B n A proporcja π p = r p(1 p) n n ró»nica proporcji δ = π A π B d = p A p pa (1 p A ) B n A + p B (1 p B ) n B Tablica 1: Statystyki i ich bª dy standardowe. 13 / 49
16 Przedziaªy ufno±ci - przykªad Lekarstwo nie wyleczony wyleczony ª cznie procent niewyleczonych pirenzepina 7 (a) 23 (c) 30 (a+c) trithiozina 13 (b) 18 (d) 31 (b+d) ª cznie 20 (r) 41 (s) 61 (n) Tablica 2: Pacjenci choruj cy na wrzody»oª dka z podziaªem na grupy leczone pirenzepin (P) i trithiozin (T) (Familiari et al., 1981). Mamy n P = 30, p P = , n T = 31 i p T = Obserwowana ró»nica pomi dzy sposobami leczenia wynosi d = p T p P = Bª d standardowy dla estymatora d wynosi: p T (1 p T ) SE = + p P(1 p P ) = n T n P Przedziaª ufno±ci dla parametru δ wynosi: 4% < δ < 42%. 14 / 49
17 Iloraz ryzyka (Hazard ratio) Zaªó»my,»e O A oznacza obserwowan ilo± zgonów w grupie A oraz E A oznacza oczekiwan ilo± zgonów w tej grupie. Wtedy O A E A oznacza relatywn ±miertelnno± w grupie A. Podobnie O B E B oznacza relatywn ±miertelnno± w grupie B. Iloraz ryzyka deniujemy jako: HR = O A E A O B E B = O AE B E A O B. Interpretacja: HR = 1 - nie ma ró»nic pomi dzy grupami A i B, HR > 1 - ryzyko w grupie A jest wi ksze ni» w grupie B, HR < 1 - ryzyko w grupie B jest wi ksze ni» w grupie A. Przykªad: Je±li HR = 3 to znaczy,»e ryzyko ±mierci w grupie A jest trzykrotnie wy»sze ni» w grupie B. Je±li HR = 0.5 to znaczy,»e ryzyko ±mierci w grupie A jest dwukrotnie ni»sze ni» w grupie B. 15 / 49
18 Ryzyko wzgl dne (Relative risk) Azbest zdiagnozowany niezdiagnozowany ª cznie mi dzybªoniak mi dzybªoniak Typ I a c a+c Typ II b d b+d ª cznie r s n Tablica 3: Zestawienie robotników nara»onych na dwa rodzaje azbestu oraz informacja, czy zachorowali na mi dzybªoniaka czy nie. Na podstawie powy»szej tabeli ryzyko wzgl dne deniujemy jako: RR = a a+c b b+d = a(b + d) (a + c)b, czyli ryzyko wyst pienia mi dzybªoniaka u robotników nara»onych na azbest typu I dzielimy przez ryzyko wyst pienia mi dzybªoniaka u robotników nara»onych na azbest typu II. Interpretacja RR jest analogiczna jak w przypadku HR. 16 / 49
19 Ryzyko wzgl dne - Przykªad Na podstawie danych z Tablicy (2) mamy: RR = = Oznacza to,»e pacjenci leczeni trithiozin maj okoªo dwa razy wi ksze ryzyko, i» nie zostan wyleczeni z wrzodów ni» ci, którzy byli leczeni pirenzepin. 17 / 49
20 Iloraz szans (Odds ratio) U»ywaj c danych z powy»szej tabeli (Tablica 3) iloraz szans jest deniowany jako: OR = = ad bc Na podstawie danych z Tablicy (2) mamy: a c b d OR = = Oznacza to,»e pacjenci leczeni trithiozin maj okoªo 2.4 razy wi ksze szanse na niewyleczenie, ni» pacjenci, którzy byli leczeni pirenzepin. 18 / 49
21 Zale»no± mi dzy RR i OR Zakªadaj c,»e w Tablicy (3) zdarzenie pojawia si z bardzo maªym prawdopodobie«stwem tzn. z du»ej liczby robotników tylko kilku zachoruje na mi dzybªoniaka. Wtedy a (a + c) a c i b (b + d) b d. Na podstawie powy»szych przybli»e«mamy zale»no± : OR RR. 19 / 49
22 Testy istotno±ci Nale»y przypomnie sobie nast puj ce testy: z test χ 2 test test oparty na ilorazie wiarygodno±ci 20 / 49
23 KRZYWE PRZE YCIA 21 / 49
24 Czas prze»ycia Czas prze»ycia jest mierzony od jednego zdarzenia (np. start leczenia) do innego zdarzenia (np. ±mier ). Pacjentów, dla których nie zaobserwowali±my danego zdarzenia nazywamy zmiennymi cenzorowanymi. Wszystko co wiemy to,»e taki pacjent do»yª do danego punktu czasu. Przyczyn cenzorowania mo»e by równie» przerwanie leczenia przez pacjenta. 22 / 49
25 Czas prze»ycia Rysunek 8: Pacjenci wª czeni do bada«w ró»nym czasie ze znanym ( ) lub cenzorowanym ( ) czasem prze»ycia. 23 / 49
26 Czas prze»ycia Rysunek 9: Tabela z czasem prze»ycia dla pacjentów z Rysunku (8). 24 / 49
27 Czas prze»ycia Rysunek 10: Dane z Rysunku (8) uszeregowane ze wzgl du na czas prze»ycia. 25 / 49
28 Czas prze»ycia Niech T b dzie (nieujemn ) zmienn losow oznaczaj c czas do interesuj cego nas zdarzenia (survival time). Wtedy dystrybuanta F (t) = P(T t), t > 0 oznacza prawdopodobie«stwo,»e nasze zdarzenie wydarzy si przed czasem t. W bioinformatyce (oraz biomedycynie) u»ywa si funkcji prze»ycia (survival function) S(t) = P(T t) = 1 F (t ) wtedy S(t) oznacza,»e obiekt prze»yje do czasu t. 26 / 49
29 Czas prze»ycia Wªasno±ci S(t) = P(T t) = 1 F (t ): w t = 0 mamy S(t) = 1, czyli nikt jeszcze nie umarª w t = + mamy S(t) = 0, czyli ka»dy musi kiedy± umrze 27 / 49
30 Estymator Kaplana-Meiera Rysunek 11: Czas do transplantacji serca oraz czas prze»ycia dla 82 pacjentów wybranych z Programu Transplantacji Serca Stanford (Turnbull et al., 1974). 28 / 49
31 Metoda Kaplana-Meiera Zaªo»enie: czas prze»ycia jest niezale»ny od czynnika powoduj cego cenzorowanie danych. Estymator Kaplana-Meiera funkcji prze»ycia: gdzie Ŝ(t) = j:t j t r j d j r j, dla0 t t + {t j : j = 1, 2,..., n} - zbiór wszystkich momentów wyst pienia zdarzenia d j - liczba wyst pie«zdarzenia w chwili t j r j = n j w j - liczba obserwowanych obiektów zagro»onych w chwili t j n j - liczba obserwowanych obiektów w chwili t j w j - liczba obiektów uci tych w okresie (t j 1, t j ) - np. pacjent wypisany ze szpitala t + - moment zako«czenia badania 29 / 49
32 Krzywe prze»ycia Rysunek 12: Estymator krzywej prze»ycia Kaplana-Meiera dla 24 pacjentów chorych na raka jelita grubego (McIllmurray and Turkie, 1987). 30 / 49
33 Mediana czasu prze»ycia W zbiorze danych nie ma obserwacji cenzorowanych { t ([n+1]/2) n jest nieparzyste M = 0.5 (t ) (n/2) + t (n/2+1) n jest parzyste W zbiorze danych wyst puj obserwacje cenzorowane Wyznaczy krzyw prze»ycia S(t) Kaplana-Meiera Znale¹ warto± M dla której S(M) = / 49
34 Mediana czasu prze»ycia - przykªad Rysunek 13: rozsiane. Mediana prze»ycia (M=6) dla pacjentów chorych na stwardnienie 32 / 49
35 Przedziaªy ufno±ci dla S(t) Metoda Greenwooda t 1 SE GR [S(t)] = S(t) d j r j (r j d j ) j=0 1 2 Przykªad dla danych z Rysunek (11) w punkcie czasu t = 12: [ ] 1 4 SE GR [S(12)] = (23 4) = (19 2) CI (95%)=(S(t) 1.96 SE GR [S(t)]; S(t) SE GR [S(t)]) = =(0.4938; ) 33 / 49
36 Przedziaªy ufno±ci dla S(t) Metoda Peto ( ) 1 S(t)[1 S(t)] 2 SE P [S(t)] =, R(t) gdzie R(t) = n c t, c t jest ilo±ci cenzorowanych danych do chwili t. Przykªad dla danych z Rysunek (11) w punkcie czasu t = 12: ( ) [ ] 2 SE P [S(12)] = = CI (95%)=(S(t) 1.96 SE P [S(t)]; S(t) SE P [S(t)]) = =(0.4575; ) 34 / 49
37 Przedziaªy ufno±ci dla S(t) Metoda transformacyjna SE Tr [S(t)] = ( t 1 j=0 ) 1 d j 2 r j (r j d j ) ( t 1 j=0 log ( rj d j r j )) Przykªad dla danych z Rysunek (11) w punkcie czasu t = 12: 4 23(23 4) (19 2) SE GR [S(12)] = log ( ) ( 23 4 log ) = ( ) CI (95%)= S(t) exp(+1.96se Tr ) ; S(t) exp( 1.96SE Tr ) = =(0.3851; ) 35 / 49
38 Przedziaªy ufno±ci dla M Bª d standardowy dla mediany prze»ycia wyznacza si z poni»szego wzoru: SE M = SE GR [S(M)] (t small t large ) S(t large ) S(t small ), gdzie t small jest najmniejszym czasem prze»ycia z krzywej Kaplana-Meiera dla której S(t) jest mniejsze b d¹ równe 0.45, natomiast t large jest najwi kszym czasem prze»ycia z krzywej Kaplana-Meiera dla której S(t) jest mniejsze b d¹ równe / 49
39 Przedziaªy ufno±ci dla M - Przykªad Na podstawie Rysunków (11) i (12) mamy M = 30, t small = 30 i t large = 20. Nast pnie nale»y wyestymowa bª d standardowy metod Greenwooda dla S(30). [ ] 1 4 SE GR [S(30)]=0.5 23(23 4) = 8(8 1) = = SE M = (30 20) ( = 5.92 CI (95%)=(S(t) 1.96 SE M [S(t)]; S(t) SE M [S(t)]) = =(18.40; 41.60) 37 / 49
40 Hazard rate Podstawowe poj cia: mortality rate - procent populacji, dla której b dzie miaªo miejsce oczekiwane zdarzenie (np. ±mier ) w okresie mi dzy t oraz t + 1, dla których zdarzenie nie zaszªo do czasu t. hazard rate m(t) = P(t T < t + 1 T t) P(t T < t + t T t) λ(t) = lim t 0 t 38 / 49
41 Hazard rate Wzór: mo»na zapisa jako λ(t) = P(t T < t + t T t) λ(t) = lim t 0 t P(t T < t + t) lim t 0 t P(T t) = f (t) S(t) = S (t) S(t) = = d log[s(t)] dt Caªkuj c obie strony otrzymujemy skumulowan funkcj hazardu Λ(t) = t 0 λ(u)du = log[s(0)] log[s(t)] = log[s(t)] 39 / 49
42 Hazard rate Ze wzoru: mo»na wyliczy S(t) Λ(t) = log[s(t)] ( t S(t) = exp ( Λ(t)) = exp 0 ) λ(u)du Zale»no± wariancji funkcji prze»ycia od wariancji hazardu skumulowanego: var(ŝ(t)) = Ŝ 2 (t)var( Λ(t)) UWAGA!!! hazard rate nie jest prawdopodobie«stwem, mo»e by wi kszy od / 49
43 Hazard rate - przykªad Na podstawie Rysunku (11) wyznaczymy roczn funkcj hazardu dla pacjentów: 1. Sze±cioro pacjentów zmarªo (czworo w 6 i dwoje w 8 miesi cu), czyli prze»yli ª cznie f 1 = = 40 miesi cy. Z pacjentów, którzy prze»yli jeden byª cenzorowany w trzecim miesi cu, a siedemna±cioro do»yªo do ko«ca roku, czyli prze»yli ª cznie F 1 = = 207 miesi cy. Wszyscy pacjenci prze»yli f 1 + F 1 = 247 miesi cy. Funkcja hazardu dla pierwszego roku wynosi h 1 = d1 f 1+F 1 = 6 = na 247 miesi c lub = 0.29 na rok. 2. h 2 = na miesi c lub 0.24 na rok. 3. h 2 = na miesi c lub 0.73 na rok. 4. h 2 = na miesi c lub 2.00 na rok. Co zrobi ze zdarzeniami na brzegach przedziaªów (np. zgon nast piª w 12 miesi cu)? 41 / 49
44 Metoda Flemingtona-Harringtona Zale»no± mi dzy funkcj prze»ycia, a skumulowanym hazardem ma posta : S(t) = exp ( Λ(t)) Estymator Nelsona-Aalena skumulowanego hazardu ma posta : Λ(t) = j:t j t d j r j, 0 t t + gdzie t j, r j, d j - jak w przypadku estymatora Kaplana-Meiera. Estymator Flemingtona-Harringtona funkcji prze»ycia otrzymamy przez podstawienie estymatora Nelsona-Aalena do funkcji skumulowanego hazardu Š(t) = exp ( Λ(t)) 42 / 49
45 Porównanie estymatorów KM i FH Dla dowolnego t mamy oszacowanie Š(t)=exp ( Λ(t)) = exp = j:t j t ( exp d ) j r j j:t j t j:t j t d j r j = ( 1 d j r j ) = Ŝ(t) 43 / 49
46 Pakiet R 44 / 49
47 Pakiet R 1 library(survival) 2 data(stanford2) 3 attach(stanford2) 4 head(stanford2) Rysunek 14: Dane Stanford2 zaimportowane do pakietu R. 45 / 49
48 Pakiet R 1 Surv(time,status) 2 survt(surv(time,status)~1) Rysunek 15: Prezentacja funkcji Surv() i survt w pakiecie R. 46 / 49
49 Pakiet R 1 summary(survt(surv(time,status)~1)) Rysunek 16: Podstawowe statystyki dla funkcji survt w pakiecie R. 47 / 49
50 Pakiet R 1 plot(survt(surv(time,status)~1),col='red') 2 lines(survt(surv(time,status)~1,type="eming harrington"),col='blue') Rysunek 17: Krzywe prze»ycia Kaplana-Meiera (czerwony) i Flemingtona- Harringtona (niebieski). 48 / 49
51 Bibliograa Wykªad opracowany na podstawie ksi»ki: Mahesh K. B. Parmer and David Machin Survival Analysis - A Practical Approach 49 / 49
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Analiza przeżycia Survival Analysis
Analiza przeżycia Survival Analysis 2013 Analiza przeżycia Doświadczenie dynamiczne - zwierzęta znikają lub pojawiają się w czasie doświadczenia Obserwowane zdarzenia: zachorowanie, wyzdrowienie, zejście,
Analiza przeżycia Survival Analysis
Analiza przeżycia Survival Analysis 2016 Analiza przeżycia Analiza takich zdarzeń jak zachorowanie, wyzdrowienie, zejście, ciąża, Ważne jest nie tylko wystąpienie zdarzenia, ale również czas do momentu
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Metody analizy funkcji przeżycia
Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy
Survival Analysis. Survival Analysis - analiza przeżyć. Statystyka Medyczna
- analiza przeżyć Statystyka Medyczna Plan wykładu 1 2 3 4 5 6 Główne cechy modelu przeżycia: co najwyżej jedno zdarzenie na przedmiot badania (można umrzeć tylko raz) rozkład ma dużą skośność, zazwyczaj
Analiza przeżycia. Wprowadzenie
Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia
LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA Za zadanie do±wiadczalne mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Rozgrzane wolframowe wªókno»arówki o temperaturze bezwzgl dnej T emituje
Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,
VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si
Analiza przeżycia. Czym zajmuje się analiza przeżycia? Jest to analiza czasu trwania, zaprojektowana do analizy tzw.
ANALIZA PRZEŻYCIA Analiza przeżycia Czym zajmuje się analiza przeżycia? Jest to analiza czasu trwania, zaprojektowana do analizy tzw. danych uciętych Obserwacja jest nazywana uciętą jeżeli zdarzenie jeszcze
Zastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.
Analiza przeżycia. Czym zajmuje się analiza przeżycia?
ANALIZA PRZEŻYCIA Analiza przeżycia Czym zajmuje się analiza przeżycia? http://www.analyticsvidhya.com/blog/2014/04/survival-analysis-model-you/ Analiza przeżycia Jest to inaczej analiza czasu trwania
Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe
Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Teoria masowej obsªugi,
Analiza danych ilościowych i jakościowych
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego 8 kwietnia 2010 Plan prezentacji 1 Zbiory danych do analiz 2 3 4 5 6 Implementacja w R Badanie depresji Depression trial data Porównanie
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście
EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia
Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -
Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t
Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania
Badania obserwacyjne 1
Badania obserwacyjne 1 Chorobowość Chorobowość (ang. prevalence rate) liczba chorych w danej chwili na konkretną chorobę w określonej grupie mieszkańców (np. na 100 tys. mieszkańców). Współczynnik ten
Statystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.
Statystyka opisowa. Wykªad II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci Mediana i moda 1 Mediana i moda 2 3 4 Mediana i moda Median m e (warto±ci ±rodkow ) próbki x 1,..., x n nazywamy ±rodkow liczb w
Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 259, 2011. Anna Szymańska *
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 59, * WPŁYW TYPU ROZKŁADU WIELKOŚCI SZKÓD NA WARTOŚĆ SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC. TEORETYCZNE ZASADY KALKULACJI
NIEZALEŻNOŚĆ i ZALEŻNOŚĆ między cechami Test chi-kwadrat, OR, RR
NIEZALEŻNOŚĆ i ZALEŻNOŚĆ między cechami Test chi-kwadrat, OR, RR M Zalewska Zakład Profilaktyki ZagrożeńŚrodowiskowych i Alergologii Analiza niezależności zmiennych jakościowych (test niezależności Chi-kwadrat)
2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).
1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna
Model Cox a. Testowanie założeń o proporcjonalnym hazardzie.
Model Cox a. Testowanie założeń o proporcjonalnym hazardzie. Seminarium - Statystyka w medycynie Model Cox a.. Plan 1 Wstęp Model Cox a - przypomnienie 2 Założenie proporcjonalnego hazardu 3 Metoda wizualna
Porównywanie wielowymiarowych ±rednich. Analiza wariancji
Porównywanie wielowymiarowych ±rednich. Analiza wariancji Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Kozdemba Adam Pierko FTiMS, Matematyka Finansowa, 8 semestr 23 marca 2014 Paulina Grabowska Magdalena Kloc
E k o n o m e t r i a S t r o n a 1
E k o n o m e t r i a S t r o n a Liniowy model ekonometryczny Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny (model regresji wielorakiej) można zapisać w postaci: y = α + α x + α x +... + α x + ε, t =,,...,
Zapadalność (epidemiologia)
Chorobowość Chorobowość (ang. prevalence rate) liczba chorych w danej chwili na konkretną chorobę w określonej grupie mieszkańców (np. na 100 tys. mieszkańców). Współczynnik ten obejmuje zarówno osoby
statystyka badania epidemiologiczne
statystyka badania epidemiologiczne Epidemiologia Epi = wśród Demos = lud Logos = nauka Epidemiologia to nauka zajmująca się badaniem rozprzestrzenienia i uwarunkowań chorób u ludzi, wykorzystująca tą
AUTOR MAGDALENA LACH
PRZEMYSŁY KREATYWNE W POLSCE ANALIZA LICZEBNOŚCI AUTOR MAGDALENA LACH WARSZAWA, 2014 Wstęp Celem raportu jest przedstawienie zmian liczby podmiotów sektora kreatywnego na obszarze Polski w latach 2009
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia. Tomasz Suchocki
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate 3. Cenzurowanie danych 4. Metoda Kaplana-Meiera i Flemingtona-Harringtona 5. Krzywe
Testowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010
szeregu czasowego Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1 19 lutego 2010 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci 2 3 4 5 6 7 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Testowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Matematyka finansowa 2.06.2001 r.
Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 3. Inwe 2!%3'(!!%3 $'!%4&!! &,'! * "! &,-' ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak *!&! $!%3$! %4 A.,. B. spadnie o 5% C. spadnie
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno
WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ Dr Wioleta Drobik-Czwarno REGRESJA LOGISTYCZNA Zmienna zależna jest zmienną dychotomiczną (dwustanową) przyjmuje dwie wartości, najczęściej 0 i 1 Zmienną zależną może być:
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Epidemiologia weterynaryjna
Jarosław Kaba Epidemiologia weterynaryjna Testy diagnostyczne I i II i III Zadania 04, 05, 06 Warszawa 2009 Testy diagnostyczne Wzory Parametry testów diagnostycznych Rzeczywisty stan zdrowia chore zdrowe
Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych
Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 3 29 pa¹dziernik 2015 1 / 39 Plan wykªadu 1. Test log-rank dla wi cej ni» dwóch grup 2. Test Mantela-Haenszela dla wi cej ni» dwóch grup 3. Wst p do
Statystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.
Wykład 8 Dane kategoryczne
Wykład 8 Dane kategoryczne Wrocław, 19.04.2017r Zmienne kategoryczne 1 Przykłady zmiennych kategorycznych 2 Zmienne nominalne, zmienne ordynalne (porządkowe) 3 Zmienne dychotomiczne kodowanie zmiennych
ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW
ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną
Założenia: wyniki są binarne próby są niezależne liczba prób n ustalona przed pomiarem to samo prawdopodobieństwo sukcesu we wszystkich próbach
Biostatystyka, 2018/2019 dla Fizyki Medycznej, studia magisterskie Test dwumianowy χ 2 test dobroci dopasowania Analiza tabeli kontygencji ( tabeli krzyżywej) P k sukcesów = n k pk (1 p) n k Założenia:
Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Statystyka Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik
Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3
Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 1 grudnia 2007 Komentarze s pisane kursyw. 1. Doktoranci s dzieleni na kategorie pod wzgl
1 Analizy zmiennych jakościowych
1 Analizy zmiennych jakościowych Przedmiotem analizy są zmienne jakościowe. Dokładniej wyniki pomiarów jakościowych. Pomiary tego typu spotykamy w praktyce badawczej znacznie częściej niż pomiary typu
HTA (Health Technology Assessment)
Krzysztof Łanda 1 z 5 HTA (Health Technology Assessment) Ocena leków stosowanych w okre lonych wskazaniach podlega tym samym generalnym regu om, co inne technologie terapeutyczne, jednak specyfika interwencji
Krzywe przeżycia - testowanie różnic
5 listopada 2008 Podstawowe pojęcia Przypomnienie Cel testowania Badamy np.: przeżywalność pacjentów po operacji; długość trwania małżeństwa. T zmienna losowa oznaczająca czas do interesującego nas zdarzenia
5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY PB 2 PB 1 Projekt z wyznaczania reduktów zbioru Liczba osób realizuj cych projekt: 1-2 osoby 1. Wczytanie danych w formatach arf,
Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera
V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety
Kolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Twierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623
Twierdzenie Bayesa Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Niniejszy skrypt ma na celu usystematyzowanie i uporządkowanie podstawowej wiedzy na temat twierdzenia Bayesa i jego zastosowaniu
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.
7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód
KWALIFIKACJA I WERYFIKACJA LECZENIA DOUSTNEGO STANÓW NADMIARU ŻELAZA W ORGANIZMIE
Opis świadczenia KWALIFIKACJA I WERYFIKACJA LECZENIA DOUSTNEGO STANÓW NADMIARU ŻELAZA W ORGANIZMIE 1. Charakterystyka świadczenia 1.1 nazwa świadczenia Kwalifikacja i weryfikacja leczenia doustnego stanów
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Test F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ
Test F- nedecora W praktyce często mamy do czynienia z kilkoma niezaleŝnymi testami, słuŝącymi do weryfikacji tej samej hipotezy, prowadzącymi do odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej na róŝnych poziomach
Oszacowanie i rozkład t
Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie
MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2
JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS X OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA AKTUARIALNA ZAGADNIENIA AKTUARIALNE TEORIA I PRAKTYKA WARSZAWA,
Koszty obciążenia społeczeństwa. Ewa Oćwieja Marta Ryczko Koło Naukowe Ekonomiki Zdrowia IZP UJ CM 2012
Koszty obciążenia społeczeństwa chorobami układu krążenia. Ewa Oćwieja Marta Ryczko Koło Naukowe Ekonomiki Zdrowia IZP UJ CM 2012 Badania kosztów chorób (COI Costof illnessstudies) Ekonomiczny ciężar choroby;
W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego
W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Niezawodność elementu nienaprawialnego 1. Model niezawodności elementu nienaprawialnego
Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r
Statystyka matematyczna Test χ 2 Wrocław, 18.03.2016r Zakres stosowalności Testowanie zgodności Testowanie niezależności Test McNemara Test ilorazu szans Copyright 2014, Joanna Szyda ZAKRES STOSOWALNOŚCI
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.
Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8
Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa
Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa Test serii (test Walda-Wolfowitza) Założenie. Rozpatrywane rozkłady są ciągłe. Mamy dwa uporządkowane
STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
LECZENIE NIEDOKRWISTOŚCI W PRZEBIEGU PRZEWLEKŁEJ NIEWYDOLNOŚCI
Załącznik nr 14 do Zarządzenia Nr 41/2009 Prezesa NFZ z dnia 15 września 2009 roku Nazwa programu: LECZENIE NIEDOKRWISTOŚCI W PRZEBIEGU PRZEWLEKŁEJ NIEWYDOLNOŚCI NEREK ICD-10 N 18 przewlekła niewydolność
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej
IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej dr inż. Bartosz Krysta Członek Zarządu ds. Zarządzania Portfelem Enea Trading Sp. z o.o. Kraków, 18.04.2015 r. Agenda Wycena ryzyka - istota Zniżkowy trend
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Studenckie Koło Naukowe Drogowiec
Pomiary natężenia ruchu drogowego na ulicy Warszawskiej w Białymstoku Członkowie Studenckiego Koła Naukowego Drogowiec przeprowadzili pomiary natężenia ruchu drogowego na ulicy Warszawskiej w Białymstoku,
Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Testowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
DZISIAJ PRZEDSZKOLAKI JUTRO JUŻ PIERWSZAKI
Publiczna Szkoła Podstawowa nr 14 im. A. Mickiewicza 45 720 Opole ul. Sz. Koszyka 21 tel./fax.: (077) 4743191 DZISIAJ PRZEDSZKOLAKI JUTRO JUŻ PIERWSZAKI program współpracy szkolno - przedszkolnej Magdalena
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji
Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Dane są obserwacje x 1, x 2,..., x n. Czy można założyć, że x 1, x 2,...,
Nadciśnienie tętnicze 2013: Polska na tle świata
Nadciśnienie tętnicze 2013: Polska na tle świata Krzysztof Narkiewicz Katedra Nadciśnienia Tętniczego i Diabetologii Gdański Uniwersytet Medyczny Nadciśnienie tętnicze 2013 1. Jaka jest skala problemu?
PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO. w Urzędzie Gminy Mściwojów
I. Postanowienia ogólne 1.Cel PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO w Urzędzie Gminy Mściwojów Przeprowadzenie oceny ryzyka zawodowego ma na celu: Załącznik A Zarządzenia oceny ryzyka zawodowego monitorowanie
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
XIII KONKURS MATEMATYCZNY
XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania
Rozdzia 5. Uog lniona metoda najmniejszych kwadrat w : ::::::::::::: Podstawy uog lnionej metody najmniejszych kwadrat w :::::: Zastos
Spis tre ci PRZEDMOWA :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 11 CZ I. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ::::::::::: 13 Rozdzia 1. Modelowanie ekonometryczne ::::::::::::::::::::::::::::::
Badania skuteczności działania filtrów piaskowych o przepływie pionowym z dodatkiem węgla aktywowanego w przydomowych oczyszczalniach ścieków
Uniwersytet Rolniczy im. Hugona Kołł łłątaja w Krakowie, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Inżynierii Sanitarnej i Gospodarki Wodnej K r z y s z t o f C h m i e l o w s k i Badania skuteczności
Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a