STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH"

Transkrypt

1 STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 1 13 pa¹dziernik / 49

2 Plan wykªadu 1. Analizy prze»ycia na przykªadach 2. Podstawowe idee statystyki matematycznej wykorzystywane w analizie prze»ycia 3. Krzywe prze»ycia 4. Pakiet R 2 / 49

3 ANALIZA PRZE YCIA - PRZYKŠADY 3 / 49

4 Przykªad 1 - transplantacja serca Rysunek 1: Czas do transplantacji serca oraz czas prze»ycia dla 82 pacjentów wybranych z Programu Transplantacji Serca Stanford (Turnbull et al., 1974). 4 / 49

5 Przykªad 1 - transplantacja serca Rysunek 2: Prawdopodobie«stwo prze»ycia osób zakwalikowanych do przeszczepu serca estymowane przy pomocy krzywych Kaplana-Meiera (Turnbull et al., 1974). 5 / 49

6 Przykªad 2 - przewlekªa biaªaczka szpikowa Rysunek 3: Krzywa prze»ycia dla pacjentów z przewlekª biaªaczk szpikow (Peto et al., 1977). 6 / 49

7 Przykªad 2 - przewlekªa biaªaczka szpikowa Rysunek 4: Krzywe prze»ycia dla pacjentów z przewlekª biaªaczk szpikow poddawanych chemioterapii (Busulphan) lub radioterapii (Peto et al., 1977). 7 / 49

8 Przykªad 3 - antykoncepcja Rysunek 5: Skumulowana stopa regeneracji spermy po zaprzestaniu za»ywania gossypolu (Meng et al., 1988). 8 / 49

9 PODSTAWOWE IDEE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ WYKORZYSTYWANE W ANALIZIE PRZE YCIA 9 / 49

10 Mediana czasu prze»ycia Mediana czasu prze»ycia - warto± dla której 50% osób ma dªu»szy czas prze»ycia i 50% osób ma krótszy czas prze»ycia. Dlaczego nie u»ywamy ±redniego czasu prze»ycia? Zazwyczaj rozkªad czasu prze»ycia jest sko±ny (maªa ilo± osób chorych»yje dªugo). 10 / 49

11 Mediana czasu prze»ycia Mediana czasu prze»ycia - warto± dla której 50% osób ma dªu»szy czas prze»ycia i 50% osób ma krótszy czas prze»ycia. Dlaczego nie u»ywamy ±redniego czasu prze»ycia? Zazwyczaj rozkªad czasu prze»ycia jest sko±ny (maªa ilo± osób chorych»yje dªugo). 10 / 49

12 Mediana czasu prze»ycia Mediana czasu prze»ycia - warto± dla której 50% osób ma dªu»szy czas prze»ycia i 50% osób ma krótszy czas prze»ycia. Dlaczego nie u»ywamy ±redniego czasu prze»ycia? Zazwyczaj rozkªad czasu prze»ycia jest sko±ny (maªa ilo± osób chorych»yje dªugo). 10 / 49

13 Mediana czasu prze»ycia Rysunek 6: Rozkªad czasu pomi dzy pierwszym symptomem a diagnoz raka piersi dla 145 kobiet. rednia wynosi 225.1, a mediana 185 dla skali oryginalnej i odpowiednio i dla skali zlogarytmowanej. 11 / 49

14 Przedziaªy ufno±ci W analizie prze»ycia wa»n rol odgrywaj przedziaªy ufno±ci: X z 1 α 2 S < µ < X + z 1 n α S 2 n Rysunek 7: Dolny i górny α 2 punkt standardowego rozkªadu normalnego 12 / 49

15 Przedziaªy ufno±ci Statystyka Parametr Estymator Bª d ±rednia µ n X = 1 n x i=1 i standardowy S n + S2 B n B S 2 ró»nica ±rednich δ = µ A µ B d = X A X A B n A proporcja π p = r p(1 p) n n ró»nica proporcji δ = π A π B d = p A p pa (1 p A ) B n A + p B (1 p B ) n B Tablica 1: Statystyki i ich bª dy standardowe. 13 / 49

16 Przedziaªy ufno±ci - przykªad Lekarstwo nie wyleczony wyleczony ª cznie procent niewyleczonych pirenzepina 7 (a) 23 (c) 30 (a+c) trithiozina 13 (b) 18 (d) 31 (b+d) ª cznie 20 (r) 41 (s) 61 (n) Tablica 2: Pacjenci choruj cy na wrzody»oª dka z podziaªem na grupy leczone pirenzepin (P) i trithiozin (T) (Familiari et al., 1981). Mamy n P = 30, p P = , n T = 31 i p T = Obserwowana ró»nica pomi dzy sposobami leczenia wynosi d = p T p P = Bª d standardowy dla estymatora d wynosi: p T (1 p T ) SE = + p P(1 p P ) = n T n P Przedziaª ufno±ci dla parametru δ wynosi: 4% < δ < 42%. 14 / 49

17 Iloraz ryzyka (Hazard ratio) Zaªó»my,»e O A oznacza obserwowan ilo± zgonów w grupie A oraz E A oznacza oczekiwan ilo± zgonów w tej grupie. Wtedy O A E A oznacza relatywn ±miertelnno± w grupie A. Podobnie O B E B oznacza relatywn ±miertelnno± w grupie B. Iloraz ryzyka deniujemy jako: HR = O A E A O B E B = O AE B E A O B. Interpretacja: HR = 1 - nie ma ró»nic pomi dzy grupami A i B, HR > 1 - ryzyko w grupie A jest wi ksze ni» w grupie B, HR < 1 - ryzyko w grupie B jest wi ksze ni» w grupie A. Przykªad: Je±li HR = 3 to znaczy,»e ryzyko ±mierci w grupie A jest trzykrotnie wy»sze ni» w grupie B. Je±li HR = 0.5 to znaczy,»e ryzyko ±mierci w grupie A jest dwukrotnie ni»sze ni» w grupie B. 15 / 49

18 Ryzyko wzgl dne (Relative risk) Azbest zdiagnozowany niezdiagnozowany ª cznie mi dzybªoniak mi dzybªoniak Typ I a c a+c Typ II b d b+d ª cznie r s n Tablica 3: Zestawienie robotników nara»onych na dwa rodzaje azbestu oraz informacja, czy zachorowali na mi dzybªoniaka czy nie. Na podstawie powy»szej tabeli ryzyko wzgl dne deniujemy jako: RR = a a+c b b+d = a(b + d) (a + c)b, czyli ryzyko wyst pienia mi dzybªoniaka u robotników nara»onych na azbest typu I dzielimy przez ryzyko wyst pienia mi dzybªoniaka u robotników nara»onych na azbest typu II. Interpretacja RR jest analogiczna jak w przypadku HR. 16 / 49

19 Ryzyko wzgl dne - Przykªad Na podstawie danych z Tablicy (2) mamy: RR = = Oznacza to,»e pacjenci leczeni trithiozin maj okoªo dwa razy wi ksze ryzyko, i» nie zostan wyleczeni z wrzodów ni» ci, którzy byli leczeni pirenzepin. 17 / 49

20 Iloraz szans (Odds ratio) U»ywaj c danych z powy»szej tabeli (Tablica 3) iloraz szans jest deniowany jako: OR = = ad bc Na podstawie danych z Tablicy (2) mamy: a c b d OR = = Oznacza to,»e pacjenci leczeni trithiozin maj okoªo 2.4 razy wi ksze szanse na niewyleczenie, ni» pacjenci, którzy byli leczeni pirenzepin. 18 / 49

21 Zale»no± mi dzy RR i OR Zakªadaj c,»e w Tablicy (3) zdarzenie pojawia si z bardzo maªym prawdopodobie«stwem tzn. z du»ej liczby robotników tylko kilku zachoruje na mi dzybªoniaka. Wtedy a (a + c) a c i b (b + d) b d. Na podstawie powy»szych przybli»e«mamy zale»no± : OR RR. 19 / 49

22 Testy istotno±ci Nale»y przypomnie sobie nast puj ce testy: z test χ 2 test test oparty na ilorazie wiarygodno±ci 20 / 49

23 KRZYWE PRZE YCIA 21 / 49

24 Czas prze»ycia Czas prze»ycia jest mierzony od jednego zdarzenia (np. start leczenia) do innego zdarzenia (np. ±mier ). Pacjentów, dla których nie zaobserwowali±my danego zdarzenia nazywamy zmiennymi cenzorowanymi. Wszystko co wiemy to,»e taki pacjent do»yª do danego punktu czasu. Przyczyn cenzorowania mo»e by równie» przerwanie leczenia przez pacjenta. 22 / 49

25 Czas prze»ycia Rysunek 8: Pacjenci wª czeni do bada«w ró»nym czasie ze znanym ( ) lub cenzorowanym ( ) czasem prze»ycia. 23 / 49

26 Czas prze»ycia Rysunek 9: Tabela z czasem prze»ycia dla pacjentów z Rysunku (8). 24 / 49

27 Czas prze»ycia Rysunek 10: Dane z Rysunku (8) uszeregowane ze wzgl du na czas prze»ycia. 25 / 49

28 Czas prze»ycia Niech T b dzie (nieujemn ) zmienn losow oznaczaj c czas do interesuj cego nas zdarzenia (survival time). Wtedy dystrybuanta F (t) = P(T t), t > 0 oznacza prawdopodobie«stwo,»e nasze zdarzenie wydarzy si przed czasem t. W bioinformatyce (oraz biomedycynie) u»ywa si funkcji prze»ycia (survival function) S(t) = P(T t) = 1 F (t ) wtedy S(t) oznacza,»e obiekt prze»yje do czasu t. 26 / 49

29 Czas prze»ycia Wªasno±ci S(t) = P(T t) = 1 F (t ): w t = 0 mamy S(t) = 1, czyli nikt jeszcze nie umarª w t = + mamy S(t) = 0, czyli ka»dy musi kiedy± umrze 27 / 49

30 Estymator Kaplana-Meiera Rysunek 11: Czas do transplantacji serca oraz czas prze»ycia dla 82 pacjentów wybranych z Programu Transplantacji Serca Stanford (Turnbull et al., 1974). 28 / 49

31 Metoda Kaplana-Meiera Zaªo»enie: czas prze»ycia jest niezale»ny od czynnika powoduj cego cenzorowanie danych. Estymator Kaplana-Meiera funkcji prze»ycia: gdzie Ŝ(t) = j:t j t r j d j r j, dla0 t t + {t j : j = 1, 2,..., n} - zbiór wszystkich momentów wyst pienia zdarzenia d j - liczba wyst pie«zdarzenia w chwili t j r j = n j w j - liczba obserwowanych obiektów zagro»onych w chwili t j n j - liczba obserwowanych obiektów w chwili t j w j - liczba obiektów uci tych w okresie (t j 1, t j ) - np. pacjent wypisany ze szpitala t + - moment zako«czenia badania 29 / 49

32 Krzywe prze»ycia Rysunek 12: Estymator krzywej prze»ycia Kaplana-Meiera dla 24 pacjentów chorych na raka jelita grubego (McIllmurray and Turkie, 1987). 30 / 49

33 Mediana czasu prze»ycia W zbiorze danych nie ma obserwacji cenzorowanych { t ([n+1]/2) n jest nieparzyste M = 0.5 (t ) (n/2) + t (n/2+1) n jest parzyste W zbiorze danych wyst puj obserwacje cenzorowane Wyznaczy krzyw prze»ycia S(t) Kaplana-Meiera Znale¹ warto± M dla której S(M) = / 49

34 Mediana czasu prze»ycia - przykªad Rysunek 13: rozsiane. Mediana prze»ycia (M=6) dla pacjentów chorych na stwardnienie 32 / 49

35 Przedziaªy ufno±ci dla S(t) Metoda Greenwooda t 1 SE GR [S(t)] = S(t) d j r j (r j d j ) j=0 1 2 Przykªad dla danych z Rysunek (11) w punkcie czasu t = 12: [ ] 1 4 SE GR [S(12)] = (23 4) = (19 2) CI (95%)=(S(t) 1.96 SE GR [S(t)]; S(t) SE GR [S(t)]) = =(0.4938; ) 33 / 49

36 Przedziaªy ufno±ci dla S(t) Metoda Peto ( ) 1 S(t)[1 S(t)] 2 SE P [S(t)] =, R(t) gdzie R(t) = n c t, c t jest ilo±ci cenzorowanych danych do chwili t. Przykªad dla danych z Rysunek (11) w punkcie czasu t = 12: ( ) [ ] 2 SE P [S(12)] = = CI (95%)=(S(t) 1.96 SE P [S(t)]; S(t) SE P [S(t)]) = =(0.4575; ) 34 / 49

37 Przedziaªy ufno±ci dla S(t) Metoda transformacyjna SE Tr [S(t)] = ( t 1 j=0 ) 1 d j 2 r j (r j d j ) ( t 1 j=0 log ( rj d j r j )) Przykªad dla danych z Rysunek (11) w punkcie czasu t = 12: 4 23(23 4) (19 2) SE GR [S(12)] = log ( ) ( 23 4 log ) = ( ) CI (95%)= S(t) exp(+1.96se Tr ) ; S(t) exp( 1.96SE Tr ) = =(0.3851; ) 35 / 49

38 Przedziaªy ufno±ci dla M Bª d standardowy dla mediany prze»ycia wyznacza si z poni»szego wzoru: SE M = SE GR [S(M)] (t small t large ) S(t large ) S(t small ), gdzie t small jest najmniejszym czasem prze»ycia z krzywej Kaplana-Meiera dla której S(t) jest mniejsze b d¹ równe 0.45, natomiast t large jest najwi kszym czasem prze»ycia z krzywej Kaplana-Meiera dla której S(t) jest mniejsze b d¹ równe / 49

39 Przedziaªy ufno±ci dla M - Przykªad Na podstawie Rysunków (11) i (12) mamy M = 30, t small = 30 i t large = 20. Nast pnie nale»y wyestymowa bª d standardowy metod Greenwooda dla S(30). [ ] 1 4 SE GR [S(30)]=0.5 23(23 4) = 8(8 1) = = SE M = (30 20) ( = 5.92 CI (95%)=(S(t) 1.96 SE M [S(t)]; S(t) SE M [S(t)]) = =(18.40; 41.60) 37 / 49

40 Hazard rate Podstawowe poj cia: mortality rate - procent populacji, dla której b dzie miaªo miejsce oczekiwane zdarzenie (np. ±mier ) w okresie mi dzy t oraz t + 1, dla których zdarzenie nie zaszªo do czasu t. hazard rate m(t) = P(t T < t + 1 T t) P(t T < t + t T t) λ(t) = lim t 0 t 38 / 49

41 Hazard rate Wzór: mo»na zapisa jako λ(t) = P(t T < t + t T t) λ(t) = lim t 0 t P(t T < t + t) lim t 0 t P(T t) = f (t) S(t) = S (t) S(t) = = d log[s(t)] dt Caªkuj c obie strony otrzymujemy skumulowan funkcj hazardu Λ(t) = t 0 λ(u)du = log[s(0)] log[s(t)] = log[s(t)] 39 / 49

42 Hazard rate Ze wzoru: mo»na wyliczy S(t) Λ(t) = log[s(t)] ( t S(t) = exp ( Λ(t)) = exp 0 ) λ(u)du Zale»no± wariancji funkcji prze»ycia od wariancji hazardu skumulowanego: var(ŝ(t)) = Ŝ 2 (t)var( Λ(t)) UWAGA!!! hazard rate nie jest prawdopodobie«stwem, mo»e by wi kszy od / 49

43 Hazard rate - przykªad Na podstawie Rysunku (11) wyznaczymy roczn funkcj hazardu dla pacjentów: 1. Sze±cioro pacjentów zmarªo (czworo w 6 i dwoje w 8 miesi cu), czyli prze»yli ª cznie f 1 = = 40 miesi cy. Z pacjentów, którzy prze»yli jeden byª cenzorowany w trzecim miesi cu, a siedemna±cioro do»yªo do ko«ca roku, czyli prze»yli ª cznie F 1 = = 207 miesi cy. Wszyscy pacjenci prze»yli f 1 + F 1 = 247 miesi cy. Funkcja hazardu dla pierwszego roku wynosi h 1 = d1 f 1+F 1 = 6 = na 247 miesi c lub = 0.29 na rok. 2. h 2 = na miesi c lub 0.24 na rok. 3. h 2 = na miesi c lub 0.73 na rok. 4. h 2 = na miesi c lub 2.00 na rok. Co zrobi ze zdarzeniami na brzegach przedziaªów (np. zgon nast piª w 12 miesi cu)? 41 / 49

44 Metoda Flemingtona-Harringtona Zale»no± mi dzy funkcj prze»ycia, a skumulowanym hazardem ma posta : S(t) = exp ( Λ(t)) Estymator Nelsona-Aalena skumulowanego hazardu ma posta : Λ(t) = j:t j t d j r j, 0 t t + gdzie t j, r j, d j - jak w przypadku estymatora Kaplana-Meiera. Estymator Flemingtona-Harringtona funkcji prze»ycia otrzymamy przez podstawienie estymatora Nelsona-Aalena do funkcji skumulowanego hazardu Š(t) = exp ( Λ(t)) 42 / 49

45 Porównanie estymatorów KM i FH Dla dowolnego t mamy oszacowanie Š(t)=exp ( Λ(t)) = exp = j:t j t ( exp d ) j r j j:t j t j:t j t d j r j = ( 1 d j r j ) = Ŝ(t) 43 / 49

46 Pakiet R 44 / 49

47 Pakiet R 1 library(survival) 2 data(stanford2) 3 attach(stanford2) 4 head(stanford2) Rysunek 14: Dane Stanford2 zaimportowane do pakietu R. 45 / 49

48 Pakiet R 1 Surv(time,status) 2 survt(surv(time,status)~1) Rysunek 15: Prezentacja funkcji Surv() i survt w pakiecie R. 46 / 49

49 Pakiet R 1 summary(survt(surv(time,status)~1)) Rysunek 16: Podstawowe statystyki dla funkcji survt w pakiecie R. 47 / 49

50 Pakiet R 1 plot(survt(surv(time,status)~1),col='red') 2 lines(survt(surv(time,status)~1,type="eming harrington"),col='blue') Rysunek 17: Krzywe prze»ycia Kaplana-Meiera (czerwony) i Flemingtona- Harringtona (niebieski). 48 / 49

51 Bibliograa Wykªad opracowany na podstawie ksi»ki: Mahesh K. B. Parmer and David Machin Survival Analysis - A Practical Approach 49 / 49

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia Survival Analysis

Analiza przeżycia Survival Analysis Analiza przeżycia Survival Analysis 2013 Analiza przeżycia Doświadczenie dynamiczne - zwierzęta znikają lub pojawiają się w czasie doświadczenia Obserwowane zdarzenia: zachorowanie, wyzdrowienie, zejście,

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia Survival Analysis

Analiza przeżycia Survival Analysis Analiza przeżycia Survival Analysis 2016 Analiza przeżycia Analiza takich zdarzeń jak zachorowanie, wyzdrowienie, zejście, ciąża, Ważne jest nie tylko wystąpienie zdarzenia, ale również czas do momentu

Bardziej szczegółowo

Metody analizy funkcji przeżycia

Metody analizy funkcji przeżycia Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA

LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA Za zadanie do±wiadczalne mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Rozgrzane wolframowe wªókno»arówki o temperaturze bezwzgl dnej T emituje

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Czym zajmuje się analiza przeżycia?

Analiza przeżycia. Czym zajmuje się analiza przeżycia? ANALIZA PRZEŻYCIA Analiza przeżycia Czym zajmuje się analiza przeżycia? http://www.analyticsvidhya.com/blog/2014/04/survival-analysis-model-you/ Analiza przeżycia Jest to inaczej analiza czasu trwania

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Teoria masowej obsªugi,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r. Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście

Bardziej szczegółowo

Analiza danych ilościowych i jakościowych

Analiza danych ilościowych i jakościowych Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego 8 kwietnia 2010 Plan prezentacji 1 Zbiory danych do analiz 2 3 4 5 6 Implementacja w R Badanie depresji Depression trial data Porównanie

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 259, 2011. Anna Szymańska *

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 259, 2011. Anna Szymańska * A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 59, * WPŁYW TYPU ROZKŁADU WIELKOŚCI SZKÓD NA WARTOŚĆ SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC. TEORETYCZNE ZASADY KALKULACJI

Bardziej szczegółowo

Model Cox a. Testowanie założeń o proporcjonalnym hazardzie.

Model Cox a. Testowanie założeń o proporcjonalnym hazardzie. Model Cox a. Testowanie założeń o proporcjonalnym hazardzie. Seminarium - Statystyka w medycynie Model Cox a.. Plan 1 Wstęp Model Cox a - przypomnienie 2 Założenie proporcjonalnego hazardu 3 Metoda wizualna

Bardziej szczegółowo

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami). 1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna

Bardziej szczegółowo

Zapadalność (epidemiologia)

Zapadalność (epidemiologia) Chorobowość Chorobowość (ang. prevalence rate) liczba chorych w danej chwili na konkretną chorobę w określonej grupie mieszkańców (np. na 100 tys. mieszkańców). Współczynnik ten obejmuje zarówno osoby

Bardziej szczegółowo

statystyka badania epidemiologiczne

statystyka badania epidemiologiczne statystyka badania epidemiologiczne Epidemiologia Epi = wśród Demos = lud Logos = nauka Epidemiologia to nauka zajmująca się badaniem rozprzestrzenienia i uwarunkowań chorób u ludzi, wykorzystująca tą

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia. Tomasz Suchocki

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia. Tomasz Suchocki Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate 3. Cenzurowanie danych 4. Metoda Kaplana-Meiera i Flemingtona-Harringtona 5. Krzywe

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1 E k o n o m e t r i a S t r o n a Liniowy model ekonometryczny Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny (model regresji wielorakiej) można zapisać w postaci: y = α + α x + α x +... + α x + ε, t =,,...,

Bardziej szczegółowo

AUTOR MAGDALENA LACH

AUTOR MAGDALENA LACH PRZEMYSŁY KREATYWNE W POLSCE ANALIZA LICZEBNOŚCI AUTOR MAGDALENA LACH WARSZAWA, 2014 Wstęp Celem raportu jest przedstawienie zmian liczby podmiotów sektora kreatywnego na obszarze Polski w latach 2009

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Porównywanie wielowymiarowych ±rednich. Analiza wariancji

Porównywanie wielowymiarowych ±rednich. Analiza wariancji Porównywanie wielowymiarowych ±rednich. Analiza wariancji Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Kozdemba Adam Pierko FTiMS, Matematyka Finansowa, 8 semestr 23 marca 2014 Paulina Grabowska Magdalena Kloc

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Szkolenie Regresja logistyczna

Szkolenie Regresja logistyczna Szkolenie Regresja logistyczna program i cennik Łukasz Deryło Analizy statystyczne, szkolenia www.statystyka.c0.pl Szkolenie Regresja logistyczna Co to jest regresja logistyczna? Regresja logistyczna pozwala

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 2.06.2001 r.

Matematyka finansowa 2.06.2001 r. Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 3. Inwe 2!%3'(!!%3 $'!%4&!! &,'! * "! &,-' ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak *!&! $!%3$! %4 A.,. B. spadnie o 5% C. spadnie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

Testowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010

Testowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010 szeregu czasowego Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1 19 lutego 2010 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci 2 3 4 5 6 7 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci

Bardziej szczegółowo

Epidemiologia weterynaryjna

Epidemiologia weterynaryjna Jarosław Kaba Epidemiologia weterynaryjna Testy diagnostyczne I i II i III Zadania 04, 05, 06 Warszawa 2009 Testy diagnostyczne Wzory Parametry testów diagnostycznych Rzeczywisty stan zdrowia chore zdrowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 Dane kategoryczne

Wykład 8 Dane kategoryczne Wykład 8 Dane kategoryczne Wrocław, 19.04.2017r Zmienne kategoryczne 1 Przykłady zmiennych kategorycznych 2 Zmienne nominalne, zmienne ordynalne (porządkowe) 3 Zmienne dychotomiczne kodowanie zmiennych

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

1 Analizy zmiennych jakościowych

1 Analizy zmiennych jakościowych 1 Analizy zmiennych jakościowych Przedmiotem analizy są zmienne jakościowe. Dokładniej wyniki pomiarów jakościowych. Pomiary tego typu spotykamy w praktyce badawczej znacznie częściej niż pomiary typu

Bardziej szczegółowo

Krzywe przeżycia - testowanie różnic

Krzywe przeżycia - testowanie różnic 5 listopada 2008 Podstawowe pojęcia Przypomnienie Cel testowania Badamy np.: przeżywalność pacjentów po operacji; długość trwania małżeństwa. T zmienna losowa oznaczająca czas do interesującego nas zdarzenia

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

HTA (Health Technology Assessment)

HTA (Health Technology Assessment) Krzysztof Łanda 1 z 5 HTA (Health Technology Assessment) Ocena leków stosowanych w okre lonych wskazaniach podlega tym samym generalnym regu om, co inne technologie terapeutyczne, jednak specyfika interwencji

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 1 grudnia 2007 Komentarze s pisane kursyw. 1. Doktoranci s dzieleni na kategorie pod wzgl

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY

Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY PB 2 PB 1 Projekt z wyznaczania reduktów zbioru Liczba osób realizuj cych projekt: 1-2 osoby 1. Wczytanie danych w formatach arf,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2

MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS X OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA AKTUARIALNA ZAGADNIENIA AKTUARIALNE TEORIA I PRAKTYKA WARSZAWA,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623

Twierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Twierdzenie Bayesa Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Niniejszy skrypt ma na celu usystematyzowanie i uporządkowanie podstawowej wiedzy na temat twierdzenia Bayesa i jego zastosowaniu

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest

Bardziej szczegółowo

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r

Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r Statystyka matematyczna Test χ 2 Wrocław, 18.03.2016r Zakres stosowalności Testowanie zgodności Testowanie niezależności Test McNemara Test ilorazu szans Copyright 2014, Joanna Szyda ZAKRES STOSOWALNOŚCI

Bardziej szczegółowo

KWALIFIKACJA I WERYFIKACJA LECZENIA DOUSTNEGO STANÓW NADMIARU ŻELAZA W ORGANIZMIE

KWALIFIKACJA I WERYFIKACJA LECZENIA DOUSTNEGO STANÓW NADMIARU ŻELAZA W ORGANIZMIE Opis świadczenia KWALIFIKACJA I WERYFIKACJA LECZENIA DOUSTNEGO STANÓW NADMIARU ŻELAZA W ORGANIZMIE 1. Charakterystyka świadczenia 1.1 nazwa świadczenia Kwalifikacja i weryfikacja leczenia doustnego stanów

Bardziej szczegółowo

Koszty obciążenia społeczeństwa. Ewa Oćwieja Marta Ryczko Koło Naukowe Ekonomiki Zdrowia IZP UJ CM 2012

Koszty obciążenia społeczeństwa. Ewa Oćwieja Marta Ryczko Koło Naukowe Ekonomiki Zdrowia IZP UJ CM 2012 Koszty obciążenia społeczeństwa chorobami układu krążenia. Ewa Oćwieja Marta Ryczko Koło Naukowe Ekonomiki Zdrowia IZP UJ CM 2012 Badania kosztów chorób (COI Costof illnessstudies) Ekonomiczny ciężar choroby;

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej

IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej dr inż. Bartosz Krysta Członek Zarządu ds. Zarządzania Portfelem Enea Trading Sp. z o.o. Kraków, 18.04.2015 r. Agenda Wycena ryzyka - istota Zniżkowy trend

Bardziej szczegółowo

DZISIAJ PRZEDSZKOLAKI JUTRO JUŻ PIERWSZAKI

DZISIAJ PRZEDSZKOLAKI JUTRO JUŻ PIERWSZAKI Publiczna Szkoła Podstawowa nr 14 im. A. Mickiewicza 45 720 Opole ul. Sz. Koszyka 21 tel./fax.: (077) 4743191 DZISIAJ PRZEDSZKOLAKI JUTRO JUŻ PIERWSZAKI program współpracy szkolno - przedszkolnej Magdalena

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

LECZENIE NIEDOKRWISTOŚCI W PRZEBIEGU PRZEWLEKŁEJ NIEWYDOLNOŚCI

LECZENIE NIEDOKRWISTOŚCI W PRZEBIEGU PRZEWLEKŁEJ NIEWYDOLNOŚCI Załącznik nr 14 do Zarządzenia Nr 41/2009 Prezesa NFZ z dnia 15 września 2009 roku Nazwa programu: LECZENIE NIEDOKRWISTOŚCI W PRZEBIEGU PRZEWLEKŁEJ NIEWYDOLNOŚCI NEREK ICD-10 N 18 przewlekła niewydolność

Bardziej szczegółowo

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i

Bardziej szczegółowo

Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji

Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Dane są obserwacje x 1, x 2,..., x n. Czy można założyć, że x 1, x 2,...,

Bardziej szczegółowo

Studenckie Koło Naukowe Drogowiec

Studenckie Koło Naukowe Drogowiec Pomiary natężenia ruchu drogowego na ulicy Warszawskiej w Białymstoku Członkowie Studenckiego Koła Naukowego Drogowiec przeprowadzili pomiary natężenia ruchu drogowego na ulicy Warszawskiej w Białymstoku,

Bardziej szczegółowo

Nadciśnienie tętnicze 2013: Polska na tle świata

Nadciśnienie tętnicze 2013: Polska na tle świata Nadciśnienie tętnicze 2013: Polska na tle świata Krzysztof Narkiewicz Katedra Nadciśnienia Tętniczego i Diabetologii Gdański Uniwersytet Medyczny Nadciśnienie tętnicze 2013 1. Jaka jest skala problemu?

Bardziej szczegółowo

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

Rozdzia 5. Uog lniona metoda najmniejszych kwadrat w : ::::::::::::: Podstawy uog lnionej metody najmniejszych kwadrat w :::::: Zastos

Rozdzia 5. Uog lniona metoda najmniejszych kwadrat w : ::::::::::::: Podstawy uog lnionej metody najmniejszych kwadrat w :::::: Zastos Spis tre ci PRZEDMOWA :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 11 CZ I. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ::::::::::: 13 Rozdzia 1. Modelowanie ekonometryczne ::::::::::::::::::::::::::::::

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 3. Zmienne losowe 4. Populacje i próby danych 5. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test

Bardziej szczegółowo

Zapobiec rakowi szyjki macicy

Zapobiec rakowi szyjki macicy Zapobiec rakowi szyjki macicy http:// Iechyd Cyhoeddus Cymru Public Health Wales Celem tej broszury jest przekazanie informacji, które mogą zapobiec zachorowaniu na raka szyjki macicy. Regularne poddawanie

Bardziej szczegółowo

Badania skuteczności działania filtrów piaskowych o przepływie pionowym z dodatkiem węgla aktywowanego w przydomowych oczyszczalniach ścieków

Badania skuteczności działania filtrów piaskowych o przepływie pionowym z dodatkiem węgla aktywowanego w przydomowych oczyszczalniach ścieków Uniwersytet Rolniczy im. Hugona Kołł łłątaja w Krakowie, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Inżynierii Sanitarnej i Gospodarki Wodnej K r z y s z t o f C h m i e l o w s k i Badania skuteczności

Bardziej szczegółowo

Wyklad 1. Analiza danych za pomocą pakietu SAS. Obiekty i zmienne. Rodzaje zmiennych

Wyklad 1. Analiza danych za pomocą pakietu SAS. Obiekty i zmienne. Rodzaje zmiennych Bioinformatyka - rozwój oferty edukacyjnej Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu

Bardziej szczegółowo

PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO. w Urzędzie Gminy Mściwojów

PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO. w Urzędzie Gminy Mściwojów I. Postanowienia ogólne 1.Cel PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO w Urzędzie Gminy Mściwojów Przeprowadzenie oceny ryzyka zawodowego ma na celu: Załącznik A Zarządzenia oceny ryzyka zawodowego monitorowanie

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Pakiety statystyczne - Wykªad 8

Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

ŻYCIE W HOLANDII: Ubezpieczenie zdrowotne (zorgverzekering)

ŻYCIE W HOLANDII: Ubezpieczenie zdrowotne (zorgverzekering) Wszyscy mieszkańcy Holandii są prawnie zobowiązani do ubezpieczenia się na pokrycie kosztów opieki medycznej, w tym lekarza domowego, szpitala jak również lekarstw. Obowiązek przyjęcia Ubezpieczyciele

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

2. Generatory liczb (pseudo)losowych

2. Generatory liczb (pseudo)losowych http://www.kaims.pl/~robert/miss/ Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Niech X będzie zmienną losową, tj. funkcją odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω w zbiór liczb

Bardziej szczegółowo

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca

Bardziej szczegółowo

Wyniki badania PISA 2009

Wyniki badania PISA 2009 Wyniki badania PISA 2009 Matematyka Warszawa, 7 grudnia 2010 r. Badanie OECD PISA 2009 w liczbach Próba 475.460 uczniów z 17.145 szkół z 65 krajów, reprezentująca populację ponad 26 milionów piętnastolatków

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany

Bardziej szczegółowo

Uogólniony model liniowy

Uogólniony model liniowy Uogólniony model liniowy Ogólny model liniowy y = Xb + e Każda obserwacja ma rozkład normalny Każda obserwacja ma tą samą wariancję Dane nienormalne Rozkład binomialny np. liczba chorych krów w stadzie

Bardziej szczegółowo

Test F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ

Test F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ Test F- nedecora W praktyce często mamy do czynienia z kilkoma niezaleŝnymi testami, słuŝącymi do weryfikacji tej samej hipotezy, prowadzącymi do odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej na róŝnych poziomach

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna 2015/2016

Statystyka matematyczna 2015/2016 Statystyka matematyczna 2015/2016 nazwa przedmiotu SYLABUS B. Informacje szczegółowe Elementy składowe Opis sylabusu Nazwa przedmiotu Statystyka matematyczna Kod przedmiotu 0600-FS2-2SM Nazwa jednostki

Bardziej szczegółowo

INSTRUMEWNTY FINANSOWE umożliwiające pomoc rolnikom w usuwaniu skutków niekorzystnych zjawisk atmosferycznych

INSTRUMEWNTY FINANSOWE umożliwiające pomoc rolnikom w usuwaniu skutków niekorzystnych zjawisk atmosferycznych INSTRUMEWNTY FINANSOWE umożliwiające pomoc rolnikom w usuwaniu skutków niekorzystnych zjawisk atmosferycznych Aleksandra Szelągowska Ministerstwo Rolnictwa i Rozwoju Wsi Rozporządzenie Rady Ministrów z

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ. KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych)

ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ. KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych) ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych) Zadanie 1 Zapytano 180 osób (w tym 120 mężczyzn) o to czy rozpoczynają dzień od wypicia kawy czy też może preferują herbatę.

Bardziej szczegółowo

Techniki korekcyjne wykorzystywane w metodzie kinesiotapingu

Techniki korekcyjne wykorzystywane w metodzie kinesiotapingu Techniki korekcyjne wykorzystywane w metodzie kinesiotapingu Jak ju wspomniano, kinesiotaping mo e byç stosowany jako osobna metoda terapeutyczna, jak równie mo e stanowiç uzupe nienie innych metod fizjoterapeutycznych.

Bardziej szczegółowo

Migotanie przedsionków problemem wieku podeszłego. Umiarawiać czy nie w tej populacji? Zbigniew Kalarus

Migotanie przedsionków problemem wieku podeszłego. Umiarawiać czy nie w tej populacji? Zbigniew Kalarus Migotanie przedsionków problemem wieku podeszłego. Umiarawiać czy nie w tej populacji? Zbigniew Kalarus Katedra Kardiologii, Wrodzonych Wad Serca i Elektroterapii Śląskie Centrum Chorób Serca w Zabrzu

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów

Analiza niepewności pomiarów Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej

Bardziej szczegółowo