Praca dyplomowa inżynierska

Transkrypt

1 Wydział Matematyki kierunek studiów: Matematyka Stosowana specjalność: Praca dyplomowa inżynierska Modelowanie agentowe dynamiki opinii w kontekście badań społecznych Grzegorz Marcjasz słowa kluczowe: modelowanie agentowe układy społeczne dynamika opinii krótkie streszczenie: W pracy wprowadzono i przeanalizowano model dynamiki opinii w społeczeństwie podzielonym na dwie grupy: innowatorów i naśladowców. W modelu występuje rywalizacja pomiędzy reakcjami społecznymi: konformizmem i antykonformizmem, efektem której są cykle opinii społecznej wynikające wyłącznie z bezpośrednich interakcji pomiędzy agentami. Rozważone zostały dwie wersje modelu: z ustalonymi połączeniami pomiędzy grupami (graf zamrożony) oraz z połączeniami zmiennymi w czasie (graf wyżarzony). W przypadku obu wersji wyniki otrzymano w ramach symulacji Monte Carlo. Dodatkowo dla modelu na grafie wyżarzonym zapisano prawdopodobieństwa przejścia w postaci analitycznej, co pozwoliło na dokładniejszą analizę, w tym analityczne wyznaczenie punktów bifurkacji. Większość wyników zostało już opublikowanych w The Hunt Opinion Model An Agent Based Approach to Recurring Fashion Cycles, Apriasz et al, napisanym przy moim współudziale. opiekun pracy dyplomowej prof. dr hab. Katarzyna Weron Tytuł/stopień naukowy/imię i nazwisko ocena podpis Do celów archiwalnych pracę dyplomową zakwalifikowano do:* a) kategorii A (akta wieczyste) b) kategorii BE 50 (po 50 latach podlegające ekspertyzie) * niepotrzebne skreślić pieczątka wydziałowa Wrocław, rok 2018

2 Faculty of Pure and Applied Mathematics Field of study: Applied Mathematics Specialty: Engineering diploma thesis Agent based modeling of opinion dynamics in the context of social research Grzegorz Marcjasz keywords: agent-based modeling social systems opinion dynamics short summary: In this paper, a simple opinion dynamics model is presented and analyzed. The model describes the evolution of opinion in society divided into two groups: snobs and followers. The model shows interplay between two social responses: conformity and anticonformity, which results in endogenous opinion cycles, as their appearance is based solely on direct interactions between agents. Two variants of the model were introduced: with static links between two cliques (quenched) and with dynamic links (annealed). Monte Carlo simulations were conducted for both models. Additionally, analytical transition probabilities were obtained for the annealed model, which allowed more in-depth analysis, including analytical derivation of the bifurcation points. Most of the results were already published in The Hunt Opinion Model An Agent Based Approach to Recurring Fashion Cycles, Apriasz et al, the article I am the co-author of. Supervisor prof. dr hab. Katarzyna Weron Title/ degree/ name and surname grade signature For the purposes of archival thesis qualified to: * a) Category A (perpetual files) b) Category BE 50 (subject to expertise after 50 years) * Delete as appropriate Wrocław, 2018 stamp of the faculty

3 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Wstęp teoretyczny Modelowanie agentowe Model q-wyborcy Model Model ze stałą siatką połączeń pomiędzy klikami Model z dynamiczną siatką połączeń między klikami Wyniki Wartości krytyczne p (q) Przykładowe przebiegi czasowe Porównanie zaproponowanych modeli Wyniki z modelu opisanego analitycznie Trajektorie w przestrzeni fazowej Średnia opinia w czasie Bifurkacje Wnioski Różnice w wynikach

4 1 Wprowadzenie Teoria cykli społecznych jest jedną z pierwszych teorii socjologii, cykliczne wzorce w opisie społeczeństwa pojawiły się już na początku XX wieku w pracy Pareto [1]. W modzie można je zaobserwować w formie powracających motywów, krojów lub dominujących w ubiorze kolorów. Nie są one jednak dziełem przypadku, występują naturalnie jako reakcja na działania otoczenia. Wynikają z chęci wyróżnienia się i wyrażenia siebie. Paradoksalnie owe trendy są następstwem chęci ucieczki od trendów panujących w danym okresie. Początkowo jedynie niewielka część społeczeństwa różnicuje się od ogółu, w miarę upływu czasu ta grupa staje się wzorcem dla coraz szerszych kręgów, zamieniając się w rezultacie nową modę [2]. Chęć wyrażenie siebie ponownie kieruje częścią społeczeństwa innowatorami nowego trendu a cykl powtarza się. Oczywiście badanie trendów w ogólności jest wręcz niemożliwe z uwagi na wielopoziomowość tego zjawiska. W rzeczywistości występują także ograniczenia w rozprzestrzenianiu się trendów. Zawężenie rozważań do binarnej opinii na pewien temat, przykładowo preferencji produktów jednej marki ponad drugą, czy też opinii za lub przeciw, pozwala lepiej poznać mechanizm powstawania cykli oraz zbadać ich charakter. W badaniach dynamiki opinii społecznej ważne jest rozróżnienie postaw reprezentowanych w populacji. Najczęściej rozpatrywaną jest konformizm, czyli skłonność do asymilacji, gdzie osoba przyjmuje opinię panującą wśród jego kręgu znajomych, rówieśników czy współpracowników. Znaczący wpływ konformizmu na decyzje podejmowane przez ludzi został pokazany między innymi w eksperymencie Ascha [3]. Dużo rzadziej opisywanym w tego rodzaju badaniach typem reakcji jest antykonformizm chęć do buntu i działania na przekór otoczeniu. W badaniach dotyczących modelowania dynamiki opinii pierwsze wykorzystanie antykonformizmu miało prawdopodobnie miejsce dopiero w 2004 roku w pracy [4]. Jeszcze rzadziej obie przytoczone reakcje występują równolegle, zostało to po raz pierwszy pokazane niedawno w prostym modelu dwóch oddziałujących wzajemnie grup w [5]. Za pomocą symulacji metodą Monte Carlo zmodyfikowanego modelu q-wyborcy pokazano, że konformizm wewnątrz grupy i antykonformizm pomiędzy grupami prowadzi do dwubiegunowego ustalenia się układu tylko dla odpowiednio gęstej sieci połączeń między nimi. Dla rzadszej sieci możliwy był konsensus w całym układzie. Głównym celem tej pracy jest modyfikacja powyższego modelu poprzez zerwanie symetrii między grupami. Jest to zrealizowane przez przyporządkowanie agentom w jednej z nich cech innowatora bądź snoba, oraz cech naśladowcy agentom z drugiej. W celu analizy tak skonstruowanego modelu wykorzystane zostały symulacje metodą Monte Carlo oraz analityczny opis dynamiki opinii. Rozpatrzone zostały także dwa warianty stabilności połączeń między grupami. W niniejszej pracy odtwarzam wyniki badań nad tym zagadnieniem, które opu- 2

5 blikowane zostały w [6] jako badanie pierwotne przy moim współudziale. Praca ta rozszerza również opublikowane wyniki o symulacje metodą Monte Carlo (MC) modelu z dynamiczną siatką połączeń między klikami. Koryguje także błędne obliczenia wraz z idącymi za nimi wnioskami. 3

6 2 Wstęp teoretyczny 2.1 Modelowanie agentowe Modelowanie agentowe odgrywa ważną rolę w badaniach społecznych. Pozwala na zbadanie zachowań złożonych układów przy założeniach dotyczących jedynie bezpośrednich interakcji pomiędzy agentami [7]. W tego typu modelowaniu stan agenta (w przypadku układów społecznych agent zazwyczaj reprezentuje jedną osobę) opisany jest zestawem dynamicznych zmiennych przykładowo opinii. Agenci mogą również mieć przypisane indywidualne cechy wyrażające przykładowo ich przynależność do pewnej grupy, jak w [5]. Zmienne dynamiczne mogą zostać zmodyfikowane poprzez wpływ, jaki wywiera na agentów ich otoczenie, tak jak przykładowo uczeń może przełamać swoją początkową niechęć do opuszczenia zajęć za namową rówieśników. W modelu wpływ ten jest odzwierciedlany poprzez założenia dotyczące interakcji, które zwykle są wynikiem badań lub przeprowadzonych eksperymentów. Dobierając założenia do przykładu z uczniem, należy mieć na uwadze czynniki mające wpływ na jego decyzję: posłuszeństwo wobec autorytetu oraz konformizm względem kolegów. Siłę konformizmu w walce z własnymi przekonaniami pokazano między innymi w [3]. Zmiana nastawienia mogłaby zajść na przykład pod warunkiem jednomyślności całej grupy wpływu. Dla przykładowego ucznia jest to jego klasa; uczeń opuści lekcje tylko pod warunkiem, że cała klasa to zrobi. Konieczność jednomyślności grupy wpływu występuje między innymi w modelu q-wyborcy, opisanym w podrozdziale 2.2. O ile w przykładzie z klasą można założyć, że każdy oddziałuje z każdym (struktura tzw. grafu pełnego), to w ogólności oddziaływania zachodzą tylko w ramach pewnych sieci społecznych, na przykład pomiędzy członkami najbliższej rodziny czy grupy przyjaciół. Wygodną formą przedstawienia zależności między agentami takich sieci społecznych są grafy, w których węzły reprezentują pojedyncze osoby (agentów), a połączenia między nimi wskazują na możliwość wejścia w interakcję. Często przyjmuje się także, że wpływ na agenta w danym momencie wywiera tylko część z agentów z nim połączonych, jak między innymi w modelu q-wyborcy [7]. 2.2 Model q-wyborcy Model q-wyborcy jest modelem agentowym, w którym przyjmuje się, że i-ty agent w chwili t opisany jest binarną zmienną (spinem) S i = ±1, przykładowo opinią za lub przeciw, czy też preferencją marki A lub B [8]. Kolejnym założeniem modelu jest wartość parametru q N, czyli wielkość grupy wpływu oddziałującej przy każdej interakcji na agenta, jest ona odgórnie ustalona. W badaniach społecznych przeważnie rozpatruje się q pomiędzy 2 a 7, ponieważ takie rozmiary grup społecznych są najczęściej obserwowane [9, 10]. Każda interakcja agenta polega 4

7 Rysunek 1: Przykład układu dwuklikowego z parametrem L = 4/64. Kolorem zielonym oznaczono grupę naśladowców, czerwonym innowatorów, kierunek spinsona odpowiada jego opinii: spinson zwrócony w górę ma opinię za, w dół przeciw. Źródło: [6] na jego reakcji na wpływ pochodzący z otoczenia. Otoczeniem jest q innych agentów, z którymi badany agent ma połączenie (w przypadku reprezentacji na grafie jest to krawędź), może to być np. grupa agentów w bezpośrednim sąsiedztwie na sieci kwadratowej, zbiór agentów odległych o mniej niż zadaną odległość w przypadku układu jednowymiarowego, czy też q losowych agentów spośród wszystkich w układzie (w przypadku grafu pełnego). Wpływ na wylosowanego agenta przez jego sąsiadów równoważny jest ich opinii przy czym model q-wyborcy zakłada, że wpływ ma jakikolwiek efekt wyłącznie w przypadku jednomyślności sąsiedztwa; jeżeli każdy z wybranych sąsiadów ma taką samą opinię, to wylosowany agent ulegnie presji społecznej i również przyjmie taką opinię. Możliwym rozszerzeniem modelu q-wyborcy jest wprowadzenie antykonformizmu obok omawianego dotychczas konformizmu. Antykonformizm jest obok konformizmu psychologiczną podstawą dla teorii Simmela, według której do istnienia mody konieczny jest podział społeczeństwa na osoby warte i niewarte naśladowania [2]. W tym przypadku wpływ pochodzący od agenta poprzez antykonformistyczne połączenie jest odwracany. Przykładowo dla q = 1, jeśli wylosowany sąsiad ma opinię za, to agent przyjmuje opinię za gdy jest konformistą wobec sąsiada, oraz przeciw gdy jest antykonformistą. Dla dowolnej wartości q, gdy opinia i-tego sąsiada wyrażona jest przez S i = ±1, a konformizm i antykonformizm wobec i-tego sąsiada oznaczymy odpowiednio jako k i = ±1, to wpływ na 5

8 agenta wyrażony jest jako 1 q q i=1 S i k i. Jeżeli otrzymana wartość jest równa 1, to agent przyjmie opinię za, jeśli zaś jest równa -1 agent przyjmie opinię przeciw, poza tymi przypadkami agent pozostanie przy swojej dotychczasowej opinii. Ilustracja wszystkich możliwych kombinacji opinii q = 2 sąsiadów skutkujących zmianą nastawienia wraz z odpowiedzią na wpływ dla badanego układu dwuklikowego znajduje się na rysunku 2. Wykorzystany model i struktura użytych sieci zostały dokładnie opisane w kolejnym rozdziale. 6

9 3 Model Do przeprowadzonych analiz wykorzystany został model agentowy zaproponowany w [6], składający się z 2N węzłów podzielonych na 2 grupy, każda o rozmiarze N. Pojedynczy węzeł odpowiadał jednemu autonomicznemu agentowi, którego opinia opisana była w dowolnym czasie t przez zmienną binarną S i (t) = ±1. Agenta charakteryzowanego przez dwudzielną opinię określa się również mianem spinsona (z ang. spin + person). Termin ten został wprowadzony w [8] i podkreśla przedstawienie agenta jako osoby o binarnej opinii. Podobnie jak w literaturze, jako makroskopowa wartość opisująca stan układu w chwili czasu t, wybrana została średnia opinia. W różnych scenariuszach może odpowiadać ona części populacji, jaka zaadaptowała innowację [11], lub współczynnikowi penetracji rynku [12, 13]. Średnia opinia w układzie opisana jest wzorem: m(t) = 1 2N 2N i=1 S i (t). (1) Agenci oddziałują na siebie poprzez sieć połączeń. Grupy mają w tym modelu struktury grafów pełnych, zatem każdy agent ma połączenie ze wszystkimi pozostałymi agentami z jego grupy. Liczba połączeń pomiędzy grupami wynosi LN 2, gdzie parametr L [0,1] wyraża jaka część tych połączeń istnieje w układzie w stosunku do wszystkich możliwych (których jest N 2 ). Wprowadzona została także druga cecha, opisująca przynależność i-tego agenta do konkretnej grupy. Cecha σ i = ±1, w przeciwieństwie do opinii agenta S i (t), nie zmienia się w czasie (dla wszystkich agentów należących do pierwszej kliki σ i = 1, dla tych z drugiej σ i = 1). Korzystając z takiego oznaczenia, możliwe było wyrażenie średniej opinii w każdej grupie z osobna: m 1 (t) = 1 N 2N i=1 δ 1, σi S i (t), (2) m 2 (t) = 1 N 2N i=1 δ 1, σi S i (t), (3) gdzie δ j,k jest deltą Kroneckera, tzn. δ j,k = 1 dla k = j oraz 0 w przeciwnym razie. Pomimo, że w równaniach (2) i (3) sumowane są wartości spinów spośród wszystkich 2N agentów, maksymalne wartości tych sum są równe N. Wynika to z wykorzystania delty Kroneckera: dla m 1 (t) tylko opinie spinsonów z pierwszej kliki nie zostaną wyzerowane, podczas gdy dla m 2 (t) niezerowe będą wyłącznie opinie spinsonów z kliki drugiej. Zatem każdą z powyższych sum normujemy mnożąc przez czynnik 1/N. W [5] przyjęto, że każdy z agentów jest konformistą wobec spinsonów z jego kliki oraz antykonformistą wobec agentów z drugiej grupy. Oba te zachowania zostały 7

10 FOLLOWER SNOB Source of influence Target Source of influence Target Rysunek 2: Schemat zawierający wszystkie możliwe kombinacje ustawień w grupie wpływu na agenta należącego do grupy naśladowców (oznaczonego kolorem zielonym) i innowatorów (kolor czerwony). Ukazane zostały tylko kombinacje cechujące się zgodnością wpływu, czyli takie, które skutkują przyjęciem przez cel wpływu pewnej opinii. W tym przykładzie q = 2. Źródło: [6] przedstawione przy pomocy uogólnionego modelu q-wyborcy [8]. Oznacza to, że spinson reaguje na wpływ społeczny wyłącznie wtedy, gdy q-panel (składający się z q losowo wybranych sąsiadów, tj. agentów połączonych z danym spinsonem), jest jednomyślny. W przypadku konformizmu, spinson dąży do utożsamienia się z opinią jego q-panelu, podczas gdy w przypadku antykonformizmu przyjmuje opinię przeciwną. Zamysł ten można łatwo przybliżyć korzystając z wprowadzonego wcześniej oznaczenia σ i : przyjmijmy, że i-ty spinson jest tym, na którego oddziałujemy (jest tak zwanym celem wpływu w teoriach społecznych zgodnie z [14, 15]) oraz j-ty spinson jest jednym ze źródeł wpływu. Wtedy i-ty spinson jest konformistą wobec opinii σ i σ j S j (t), co jest równoznaczne z opinią S j (t), gdy agenci są z tej samej grupy (przypadek σ i σ j = 1), oraz z opinią S j (t), gdy należą do różnych grup (przypadek σ i σ j = 1). Spinson, mający w chwili t opinię S i (t), reaguje na wpływ pochodzący od grupy q jego sąsiadów o opiniach S 1 (t),...,s q (t) tylko wtedy, gdy 8

11 średnia opinia jego sąsiadów (średnia opinia w tym q-panelu): M i (t) = 1 q σ i σ j S j (t) = ±1. (4) q j=1 Jeśli M i (t) = 1, to S i (t + 1) = 1, z kolei jeśli M i (t) = 1, to S i (t + 1) = 1. W modelu zaproponowanym w [5] agenci z obu klik są sobie równoważni. W przeprowadzonych badaniach symetria między grupami została zerwana: przyjęte zostało, że agenci z grupy pierwszej (σ = 1) są konformistami wobec opinii S j (t), a nie σ i σ j S j (t). 3.1 Model ze stałą siatką połączeń pomiędzy klikami W modelu ze stałą siatką połączeń (z ang. quenched zamrożony) na początku każdej symulacji generowana była osobna sieć o zadanych własnościach statystycznych, tzn. losowane było LN 2 połączeń pomiędzy agentami z różnych klik, a kliki były grafami pełnymi o rozmiarze N każdy. Sieć ta nie zmieniała się w czasie, była zamrożona. Pojedyncze uaktualnienie opinii w tym modelu przebiegało według następującego algorytmu: 1. Wybierz losowo agenta spośród 2N spinsonów w układzie, niech jego indeks wynosi i; idź do Zbuduj grupę wpływu, losowo wybierając q agentów spośród tych, którzy są połączeni z i-tym spinsonem (zbuduj q-panel): S 1,..., S q ; idź do Jeśli i-ty spinson należy do pierwszej kliki (σ i = 1), przejdź do 4, w przeciwnym razie przejdź do Wylicz średnią opinię q-panelu mającego wpływ na i-tego spinsona korzystając ze wzoru: M i (t) = 1 q S j (t); q przejdź do Wylicz średnią opinię q-panelu mającego wpływ na i-tego spinsona korzystając ze wzoru: M i (t) = 1 q σ i σ j S j (t); q przejdź do Jeśli M i (t) = 1, ustaw S i (t + 1) = 1, jeśli M i (t) = 1, ustaw S i (t + 1) = 1, w przeciwnym razie nic się nie zmienia (S i (t + 1) = S i (t)); przejdź do 1. 9 j=1 j=1

12 Jeśli nie jest napisane inaczej, losowy wybór odnosi się do wyboru zgodnie z rozkładem jednostajnym. Pojedynczy krok Monte Carlo (MCS Monte Carlo step) składał się z 2N uaktualnień wartości opinii, tj. τ = 2N t. Oznacza to, że pojedynczy krok czasowy odpowiada uaktualnieniu opinii każdego agenta średnio jeden raz. Jak można zauważyć, w modelu każdy agent z kliki 1 stara się naśladować opinię innych, stąd określenie naśladowców. Z drugiej strony, agenci z kliki 2 naśladują tylko innych ze swojej grupy, podczas gdy są antykonformistami wobec agentów z grupy pierwszej, dlatego zostali nazwani snobami bądź innowatorami. W oryginalnym, symetrycznym sformułowaniu modelu w [5], polaryzacja została zaobserwowana powyżej pewnej krytycznej wartości gęstości połączeń między grupami L (q). Naturalnym jest więc pytanie o to, jak zmienią się wyniki po wprowadzonej w rozważaniach modyfikacji? 3.2 Model z dynamiczną siatką połączeń między klikami W przypadku modelu opisanego w punkcie 3.1 analizowane były jedynie wyniki z przeprowadzonej symulacji metodą Monte Carlo, ponieważ przeprowadzenie obliczeń analitycznych nie było możliwe. Opis analityczny można jednak znacząco uprościć, zastępując ustaloną sieć połączeń przez dynamiczną, określaną jako sieć wyżarzona (z ang. annealed, termin oznaczający powolne schładzanie szkła, w trakcie którego zmienia się jego struktura). W tym celu, zamiast ustalonych LN 2 połączeń pomiędzy klikami, wprowadzone zostało prawdopodobieństwo p, że wybrany sąsiad należy do przeciwnej kliki. Przyjmując taką zmianę, możliwe było zapisanie równań opisujących ewolucję opinii publicznej w czasie: równania (5) oraz (6). W modelu annealed, pojedyncze uaktualnienie opinii było przeprowadzane na podstawie poniższego algorytmu: 1. Wybierz losowo spinsona spośród 2N agentów w układzie, niech jego indeks wynosi i; idź do Zbuduj grupę wpływu, losowo wybierając q agentów spośród całej populacji (q-panel): S 1,..., S q. Każdy z tych spinsonów jest wybrany niezależnie, tzn. wielokrotny wybór jednego węzła jest dozwolony (należy jednak mieć na uwadze, że wyniki asymptotyczne nie zmieniłyby się, gdyby q-panel składał się z q różnych agentów). Węzły z kliki i-tego spinsona są wybierane z prawdopodobieństwem 1 p, natomiast z drugiej są wybierane z prawdopodobieństwem p; przejdź do Jeśli i-ty spinson należy do pierwszej kliki (σ i = 1), przejdź do 4, w przeciwnym razie przejdź do 5. 10

13 4. Wylicz średnią opinię q-panelu mającego wpływ na i-tego spinsona korzystając ze wzoru: M i (t) = 1 q S j (t); q przejdź do Wylicz średnią opinię q-panelu mającego wpływ na i-tego spinsona korzystając ze wzoru: M i (t) = 1 q σ i σ j S j (t); q przejdź do Jeśli M i (t) = 1, ustaw S i (t + 1) = 1, jeśli M i (t) = 1, ustaw S i (t + 1) = 1, w przeciwnym razie nic się nie zmienia (S i (t + 1) = S i (t)); przejdź do 1. Dla tak opisanego modelu możliwe było wyznaczenie granicznego układu dynamicznego dla N w przeskalowanym czasie t = τ. Najpierw wyliczone zostały prawdopodobieństwa przejścia (zmiany ilości spinów zwróconych ku górze), 2N następnie opisane zostały asymptotyczne własności układu. Niech N := 1 oraz 2N N i + (t) będzie ilością węzłów z opinią +1 w chwili t w grupie i = 1,2. Używając odpowiadających im koncentracji spinów zwróconych ku górze c i (t) = N i + (t)/n, można zapisać prawdopodobieństwa przejścia dla kliki 1: γ + = P {N + i (t + N ) = N + 1 (t) + 1} = 1 2 (1 c 1)((1 p)c 1 + pc 2 ) q, γ = P {N + 1 (t + N ) = N + 1 (t) 1} = 1 2 c 1((1 p)(1 c 1 ) + p(1 c 2 )) q, j=1 γ 0 = P {N + 1 (t + N ) = N + 1 (t)} = 1 (γ + + γ ), (5) oraz dla kliki 2: γ + = P {N + 2 (t + N ) = N + 2 (t) + 1} = 1 2 (1 c 2)((1 p)c 2 + p(1 c 1 )) q, γ = P {N + 2 (t + N ) = N + 2 (t) 1} = 1 2 c 2((1 p)(1 c 2 ) + pc 1 ) q, γ 0 = P {N + 2 (t + N ) = N + 2 (t)} = 1 (γ + + γ ). (6) Współczynnik 1 w powyższych równaniach wynika z tego, że obie kliki są równej wielkości, zatem prawdopodobieństwo wyboru węzła z danej kliki jest równe 2 1/2. Możliwe było także wprowadzenie dysproporcji w rozmiarach klik, lecz wymagałoby to kolejnego parametru, a analiza układu stałaby się bardziej techniczna. Używając prawdopodobieństw ze wzorów (5) oraz (6), można wysymulować trajektorie c 1 (t) oraz c 2 (t), które mogą zostać łatwo przekształcone na trajektorie opinii publicznej przy pomocy następującej zależności: j=1 m i (t) = 2c i (t) 1. (7) 11

14 Wszystkie rozważania do tej pory odnosiły się do zmiennych losowych c i (t), jednak można także zapisać równania opisujące ewolucję w czasie odpowiadających im wartości oczekiwanych. Dla N można bezpiecznie przyjąć, że zmienne losowe c i (t) zbiegają do wartości oczekiwanych: c 1 (t + N ) c 1 (t) N = (1 c 1 )( pc 1 + pc 2 ) q c 1 ( p(1 c 1 ) + p(1 c 2 )) q, c 2 (t + N ) c 2 (t) N = (1 c 2 )( pc 2 + p(1 c 1 )) q c 2 ( p(1 c 2 ) + pc 1 ) q, (8) gdzie p = 1 p. Przechodząc z granicą do nieskończoności, powstaje układ dynamiczny z czasem ciągłym, którego dynamika jest opisana następującymi równaniami różniczkowymi: dc 1 dt = (1 c 1)( pc 1 + pc 2 ) q c 1 ( p(1 c 1 ) + p(1 c 2 )) q, dc 2 dt = (1 c 2)( pc 2 + p(1 c 1 )) q c 2 ( p(1 c 2 ) + pc 1 ) q. (9) Rozwiązanie układu równań (9) można przybliżyć numerycznie. Z warunku dc 1 dt = dc 2 dt = 0, (10) można wyliczyć wartości stacjonarne c 1 oraz c 2, natomiast z równań (9) ewolucję wartości oczekiwanych c 1 i c 2 w czasie. 12

15 4 Wyniki W tej części znajdują się szczegółowe wyniki otrzymane przy pomocy symulacji metodą Monte Carlo modeli annealed i quenched oraz obliczeń analitycznych przeprowadzonych dla modelu annealed. Wszystkie zamieszczone tu wyniki korzystają z notacji gęstości połączeń między klikami wyrażonej poprzez parametr prawdopodobieństwa wyboru sąsiada z kliki przeciwnej p. Dla modelu z ustalonymi połączeniami został on wyliczony przy pomocy zależności p = LN LN + N = L L + 1. Wartym odnotowania jest fakt, że w przypadku modelu quenched, parametr L [0; 1], co przekłada się na zakres wartości dla parametru p wynoszący [0; 0,5]. Wynika to z modelowania układu przy pomocy dwóch grafów pełnych z pewną siatką połączeń między nimi, podczas gdy wartości parametru p powyżej wartości 0,5 odpowiadają sytuacji, w której częściej wybierany jest agent z kliki przeciwnej. Sytuacja ta jest nie do osiągnięcia w zaproponowanym modelu quenched, jednak mogłaby mieć miejsce przy wprowadzeniu dodatkowego parametru, jakim jest waga (lub inaczej częstość wyboru do grupy wpływu) połączeń. Wagę połączeń można w opisywanym przypadku przełożyć na znacząco większy wpływ agentów z drugiej kliki na przykład wskutek większej popularności innowatorów w społeczeństwie. Z uwagi na to, niektóre z zamieszczonych wyników uwzględniają także wartości parametru p większe od 0,5. W części tej znajduje się także opis występujących bifurkacji w podrozdziale oraz, w podrozdziale 4.3, empiryczne potwierdzenie równoważności trzech rozważanych wariantów połączeń między klikami: 1. annealed z symulacji MC algorytmu opisanego w podrozdziale 3.2, nazywanego w dalszej części pracy w skrócie: annealed MC, 2. annealed z bezpośrednim wykorzystaniem procesu stochastycznego opisanego przez równania (5) i (6), na podstawie których generowane są trajektorie koncentracji spinów zwróconych ku górze, nazywanego w dalszej części pracy w skrócie annealed z równań (5) i (6), 3. quenched z symulacji MC algorytmu opisanego w podrozdziale 3.1, nazywanego w dalszej części pracy w skrócie quenched MC. Model quenched występuje wyłącznie w wariancie opartym o symulacje MC, ponieważ nie udało się zapisać równań analitycznych opisujących prawdopodobieństwa zmian stany układu o ustalonych połączeniach między grupami. 13

16 4.1 Wartości krytyczne p (q) Jak zostało pokazane w [5], istnieje pewna krytyczna wartość parametru odpowiadającego gęstości sieci połączeń między klikami, dla której następuje jakościowa zmiana zachowania modelu. W przypadku symetrycznego modelu rozważanego w [5] w punkcie krytycznym p (q) obserwowano tzw. przemianę fazową porządeknieporządek. Oznacza to, że początkowy konsensus przechodził w polaryzację opinii dla gęstości połączeń między klikami p > p (q). W modelu niesymetrycznym, będącym przedmiotem tej pracy, powyżej krytycznej wartości p (q) pojawiają się cykliczne zmiany średniej opinii w klikach. W prezentowanych badaniach wartość ta została przybliżona empirycznie, okazała się też być tożsama dla wszystkich trzech rozpatrywanych wariantów, opisanych na stronie 13. W terminologii układów dynamicznych, punkt p (q) jest punktem bifurkacji układu, co zostało opisane w podrozdziale Przykładowe przebiegi czasowe Wyniki otrzymane każdym z trzech rozpatrywanych wariantów (annealed MC, annealed z równań (5) i (6), quenched MC) zostały wstępnie porównane wizualnie przy pomocy pojedynczych realizacji o określonej liczbie kroków MC dla różnych wartości parametrów p i q. Na rysunku 3 zobrazowane zostały trajektorie dla różnych wartości parametru p (w kolumnach) dla trzech wariantów modelu (w rzędach). Chociaż na rysunku zaprezentowano trajektorie dla średniej koncentracji agentów z opinią pozytywną, a nie trajektorie samych opinii, w dalszym ciągu pojęcie opinii i koncentracji występować będzie zamiennie, ze względu na łączącą te dwie wielkości relację (7). Jak łatwo wywnioskować, wszystkie warianty wskazują na wartość p (2) pomiędzy 0,16 oraz 0,17. Ponadto zauważyć można, że dla p > p występują cykle opinii, przy p bliskim p przeskoki c są mniej regularne, występują okresy ustalenia układu w jednym z dwóch stanów: klika snobów przyjmuje skrajną opinię, podczas gdy naśladowcy mają lekko zaburzoną opinię przeciwną, średnie opinie obu grup przyjmują ten sam znak, lecz klika naśladowców ma opinię skrajną, a klika innowatorów ma opinię lekko zaburzoną. Oba te stany wynikają z niewystarczającej liczby połączeń między grupami do tego, żeby zainicjować przeskok. W pierwszym przypadku konformizm wewnątrz grupy naśladowców jest na tyle silny, że równoważy konformizm wobec innowatorów o przeciwnej opinii. W drugim scenariuszu rywalizacja następuje zaś pomiędzy rodzajem odpowiedzi społecznej: konformizmem wewnątrz grupy snobów przeciwko antykonformizmowi wobec grupy naśladowców. Wraz ze wzrostem wartości parametru p cykle stają się częstsze i bardziej regularne, nie ma tak długich okresów 14

17 p = 0,16 p = 0,17 p = 0,18 c c c t [MCS] t [MCS] t [MCS] Rysunek 3: Przykładowe trajektorie dla q = 2 i różnych wartości parametru p. W górnym rzędzie zaprezentowane są trajektorie dla wariantu annealed MC, w środkowym dla annealed z równań (5) i (6), na dole dla quenched MC, zgodnie z opisem na stronie 13. Kolorem czerwonym oznaczone zostały wartości koncentracji agentów z opinią pozytywną w grupie elity, natomiast zielonym w grupie naśladowców. spowolnienia dynamiki, a krzywe koncentracji coraz bardziej przechodzą do powielania jednego okresu w miejsce spontanicznych przeskoków jak w przypadku p p. 15

18 <m1 > 0,10 0, ,30 0,35 0 p <m2 > q = 2 q = 3 q = 4 q = 5 0,10 0, ,30 0,35 0 p <m1 > <m2 > 0,10 0, ,30 0,35 0 p 0,10 0, ,30 0,35 0 p Rysunek 4: Zależność średniego modułu opinii w stanie stacjonarnym a prawdopodobieństwem połączeń między klikami. Panele po lewej stronie pokazują wartości odpowiadające grupie naśladowców, po prawej snobów; dla modelu quenched (na górze) oraz annealed wyprowadzonego analitycznie (na dole). Wyniki te nie wykazują zależności od rozmiaru badanego układu. 4.3 Porównanie zaproponowanych modeli Z wyników zamieszczonych w [6] wynika, że modele quenched oraz annealed opisany analitycznie nie są identyczne mają wprawdzie wspólne punkty krytyczne p, lecz szybkość oscylacji opinii w przypadku p > p jest znacząco różna. Ponowne przeprowadzenie analizy pozwoliło znaleźć błąd w przytoczonych wynikach i stwierdzić o równoważności modeli. Równoważność ta wydaje się być intuicyjna, opis modelu quenched z parametrem L określającym jaka część wszystkich możliwych połączeń między klikami istnieje daje się wprost wyrazić w języku prawdopodobieństw wyboru sąsiada z kliki przeciwnej p, a więc w języku wykorzystanym do sformułowania opisu annealed. Jako potwierdzenie powyższego wniosku, przeprowadzony został szereg eksperymentów numerycznych, odtwarzających wyniki zamieszczone w [6], a także rozszerzający to podejście o wyniki z symulacji Monte Carlo przeprowadzonych dodat- 16

19 kowo zgodnie z opisem modelu annealed. Wszystkie obliczenia zostały sprawdzone, a cały proces generowania trajektorii został wykonany niezależnie od poprzednich wyników. Pierwszym z wyników są przytoczone w podrozdziale 4.2 przykładowe przebiegi czasowe. Mimo naturalnej losowości, można na ich podstawie wysnuć dwa wnioski. Pierwszy z nich był poprawnie wyciągnięty także w oryginalnych badaniach, dotyczy on niezależności wartości p (q) od zastosowanego wariantu. Kolejnym dowodem na równość wartości p (q) w wariantach annealed i quenched są wyniki dotyczące zależności pomiędzy modułem opinii w stanie stacjonarnym a prawdopodobieństwem połączeń między klikami, przedstawione na rysunku 4. Porównując panele górne (odpowiednio opinia w klice naśladowców oraz snobów) pochodzące z modelu quenched, z tymi z modelu annealed opisanego analitycznie (na dole), można zaobserwować, że wartość p (q) jest bardzo zbliżona w obu modelach. Drugim wnioskiem jest natomiast znaczące podobieństwo okresu oscylacji opinii dla wszystkich trzech wariantów, dla każdej z zaprezentowanych wartości parametru p. Występująca w trajektoriach opinii losowość momentu skokowej zmiany nastawienia sprawia, że na podstawie zamieszczonych trajektorii można stwierdzić co najwyżej, że oscylacje mają podobną częstotliwość. Aby lepiej je porównać, zbadany został średni okres oscylacji dla trajektorii o długości 10 5 MCS długość ta zapewnia wystarczającą liczbę zmian opinii, aby wyliczony z nich średni okres dobrze oddawał charakter obserwowanego zjawiska. Na wykresie 5 zamieszczone są dwa panele, na górnym znajdują się wyliczenia średniej długości okresu dla modelu quenched (symbole), przyrównane do wyników z modelu annealed opisanego analitycznie (linie) dla czterech wartości parametru q. Na dolnym panelu znajduje się analogiczne porównanie wyniku analitycznego dla modelu annealed (linie) z wynikami symulacyjnymi (symbole) pochodzącymi z symulacji Monte Carlo modelu annealed. Łatwo zauważyć, że naniesione punkty z symulacji doskonale pokrywają się z tymi samymi liniami pochodzącymi z modelu opisanego analitycznie, można więc na tej podstawie potwierdzić błąd wyników z oryginalnych badań i uzasadnić wyciągnięty wniosek dotyczący równoważności trzech zastosowanych wariantów. Ten wynik jest oryginalnym wynikiem otrzymanym w ramach tej pracy inżynierskiej i koryguje błąd, który pojawił się w [6]. 4.4 Wyniki z modelu opisanego analitycznie Opis modelu annealed zamieszczony w podrozdziale 3.2 pozwolił na wyprowadzenie jawnych wzorów na prawdopodobieństwa zmiany opinii w każdej z grup w dowolnej chwili czasu t. Jest to o tyle wygodne, że obliczenia wykonane przy wykorzystaniu tych wzorów są znacząco szybsze od symulacji agentowej, pozwala też wygenerować średnie trajektorie procesu bez konieczności rzeczywistego uśredniania wielu 17

20 200 Średni okres q = 2 q = 3 q = 4 q = 5 0 0,10 0, ,30 0, ,50 Średni okres ,10 0, ,30 0, ,50 p Rysunek 5: Porównanie średnich okresów w trajektoriach koncentracji. Punkty z symulacji wykonanych przy pomocy obu modeli nałożone są na linie wyliczone z opisu analitycznego. 18

21 trajektorii Trajektorie w przestrzeni fazowej Wzory (5) oraz (6) opisujące prawdopodobieństwa zajścia zmian opinii dla każdego punktu (c 1 ; c 2 ) płaszczyzny fazowej zależą od dwóch parametrów: p oraz q. Są one zadane z góry w każdym przypadku, można więc w prosty sposób wygenerować pole wektorowe dla każdej pary parametrów p i q, które będzie opisywało kierunek i szybkość zmiany opinii w kolejnym kroku czasowym dla nieskończenie dużego układu. Można również, dla zadanego punktu startowego, wygenerować całą trajektorię procesu ewolucji opinii w obu grupach. Na rysunku 6 zamieszczone zostały trajektorie nałożone na pole wektorowe w przestrzeni fazowej. Takie ujęcie pozwala w sposób mogący dla niektórych być bardziej czytelny zobrazować obie jakościowe zmiany w zachowaniu układu zachodzące wraz ze zwiększaniem wartości parametru p. Ponadto, pole wektorowe pozwala ocenić zachowanie układu dla dowolnych warunków początkowych, w przeciwieństwie do pojedynczej trajektorii. Na wykresie niebieską linią zaznaczone są trajektorie dla różnych wartości parametru p, parametru q równego 2 i punktu startowego (c 1 ; c 2 ) = (0,51; 0,51). p = 0,10 p = 0,16 p = 0,18 c2 p = 0,30 p = 5 p = 0,55 c2 c 1 c 1 c 1 Rysunek 6: Portrety fazowe i przykładowe trajektorie koncentracji (oznaczone niebieskimi liniami) dla q = 2 i warunków początkowych c 1 (0) = c 2 (0) = 0,51. 19

22 Dla niskich wartości parametru p (a więc gdy p < p ), trajektoria zbiega do punktu stałego, który można wyznaczyć podstawiając warunek opisany równaniem (10) do układu równań (9), wartość ta zależy od wartości p. W miarę jak p się zwiększa, można zaobserwować, że wektory pola układają się coraz bardziej koncentrycznie wkoło punktu (0,5; 0,5), podczas gdy dla niższych p były ustawione w kierunku przeciwnym do punktu (0,5; 0,5). Zwiększanie wartości parametru p ponad wartość krytyczną skutkuje pojawieniem się stabilnego cyklu granicznego. Odległość cyklu od punktu (0,5; 0,5) jest tym mniejsza, im wartość parametru p jest bliższa do drugiego punktu bifurkacji p bif =, który jest scharakteryzowany i opisany w podrozdziale Dla wartości p > p bif punkt stały (0,5; 0,5) staje się atraktorem i układ zbiega do niego dla każdych warunków początkowych. q q+1 p = 0,10 p = 0,16 p = 0,18 c p = 0, p = p = 0,55 0,52 c 0,51 0, t [MCS] t [MCS] t [MCS] Rysunek 7: Średnie opinie dla modelu annealed wyprowadzonego analitycznie z parametrem q = 2. Widoczne jest na nich cykliczne zachowanie układu dla p > p = 1 (punkt bifurkacji dla q = 2), a także zmiana cyklicznych trajektorii 6 na wygasające cykle dla p > 1 (bifurkacja Hopfa). Kolorem czerwonym oznaczone 2 zostały wartości koncentracji pośród elity, natomiast zielonym naśladowców. 20

23 q = 2 q = 3 q = 4 c , , ,52 0,51 0,51 0,51 c 0,50 0,50 0, , , ,52 0,51 0,51 0,51 c 0,50 0,50 0, t [MCS] t [MCS] t [MCS] Rysunek 8: Średnie opinie dla modelu annealed wyprowadzonego analitycznie z różnymi wartościami parametru q (odpowiednio w kolumnach wynoszącymi 2, 3, 4). W rzędach kolejno są wartości p równe p bif ε, p bif oraz p bif +ε, gdzie p bif = q jest q+1 punktem bifurkacji Hopfa, a ε = 1. Dla p < p bif oscylacje stopniowo zwiększają się do osiągnięcia pewnej amplitudy (coraz mniejszej przy p p bif ), natomiast dla p > p bif, oscylacje wygasają po krótkim czasie. Kolorem czerwonym oznaczone zostały wartości koncentracji pośród elity, natomiast zielonym naśladowców Średnia opinia w czasie Obie opisane w poprzednim podrozdziale bifurkacje są również widoczne na przebiegach czasowych opinii w układzie. Na rysunku 7 przedstawione są średnie tra- 21

24 jektorie dla parametru q = 2 i kilku wartości parametru p. Wartość początkowa opinii wykorzystana do wygenerowania tych wykresów była identyczna jak w przypadku trajektorii na rysunku 6; wynosiła (c 1 ; c 2 ) = (0,51; 0,51). Na tym wykresie również można zaobserwować opisane w poprzednim podrozdziale dwie zmiany jakościowe ewolucji opinii. Ponadto widoczna jest znaczna różnica opinii w klikach dla p < p wraz ze stopniowym zbliżaniem się opinii naśladowców do poziomu, przy którym następuje rozburzenie porządku i opinia cyklicznie się zmienia. Różnica ta zależy jednak od warunków początkowych: spośród czterech punktów stacjonarnych tylko dwa z nich są równoważne tak różnym opiniom, w pozostałych dwóch występuje konsensus pomiędzy klikami. Można też zauważyć opisany wyżej efekt zmniejszania się amplitudy oscylacji, aż do kolejnej wartości krytycznej p bif, po przekroczeniu której oscylacje zanikają. Rysunek 8 przybliża natomiast zachowanie układu dla parametrów p w otoczeniu p bif. W kolumnach znajdują się wyniki dla wartości kolejno q = 2, 3, 4, natomiast w rzędach znajdują się wyniki dla wartości p kolejno wynoszących p bif ε, p bif, p bif + ε, gdzie ε = 1. Widać jakościowo identyczne zachowanie układu dla wszystkich wartości parametru q. Przy wartości p równej p bif ε układ długo dochodzi do ostatecznej amplitudy cyklu. Dla p > p bif cykl graniczny szybko zanika oscylacje wygasają, w efekcie czego układ zbiega do punktu stałego (c 1 ; c 2 ) = (0,5; 0,5) Bifurkacje Bifurkacja jest jakościową zmianą własności modelu przy niewielkiej zmianie warunków, na przykład warunków początkowych lub parametru zewnętrznego [16]. W przypadku opisywanych badań, dwie różne bifurkacje mają miejsce ze względu na zmieniający się parametr zewnętrzny układu gęstość siatki połączeń międzygrupowych. Efektem bifurkacji zachodzącej dla wartości parametru p wynoszącej p (q) jest pojawienie się oscylacji w układzie, cztery stabilne punkty stałe rozwiązania równania (9) łączą się z punktami siodłowymi. Efekt ten jest możliwy do zaobserwowania na wykresie 6, a jego schematyczna reprezentacja w przestrzeni fazowej zobrazowana została na rysunku 9, gdzie na lewym panelu, opisującym sytuację p < p (q), zaznaczone są 4 stabilne punkty stałe (czarne) oraz 4 punkty siodłowe (czerwone). Na prawym panelu (sytuacja p = p (q)) punkty stabilne i siodłowe łączą się, tworząc 4 punkty siodłowe, natomiast dla wyższych wartości parametru p punkty te znikają całkowicie. Dalsze zwiększanie wartości parametru p prowadzi do kolejnego punktu krytycznego, w którym miejsce ma bifurkacja Hopfa [16, 17]. Polega ona na przekształceniu niestabilnego punktu stałego (c 1 ; c 2 ) = (0,5; 0,5) w atraktor stabilny, powodując wygasanie oscylacji opinii w układzie. Cykl graniczny, obserwowany dla 22

25 (0;1) (1;1) (0;1) (1;1) A4 A4 A3 (0,5; 0,5) A1 A3 (0,5; 0,5) A1 A2 A2 (0;0) (1;0) (0;0) (1;0) Rysunek 9: Schematyczna reprezentacja zachowania układu w pobliżu punktu krytycznego na płaszczyźnie fazowej. Z lewej strony przedstawiona jest sytuacja p < p z 9 punktami stałymi: 4 stabilnymi (czarnymi) oraz 4 siodłowymi (czerwonymi), oraz jednym niestabilnym w punkcie (0,5; 0,5). Z prawej strony przedstawiony jest układ w punkcie krytycznym; punkty siodłowe i stabilne łączą się w wyniku czego powstają 4 punkty siodłowe. Dla p > p punkty stałe (oprócz (0,5; 0,5) zanikają i pozostaje tylko stabilny cykl graniczny. Źródło: [6] wartości p < p bif traci więc swoją stabilność, w efekcie czego układ zawsze zbiega do atraktora (0,5; 0,5). Zachowanie układu w otoczeniu punktu p bif zostało zwizualizowane na rysunku 8. W przypadku dwuwymiarowego układu, bifurkacja Hopfa ma miejsce gdy punkt stały, w tym przypadku punkt (c 1 ; c 2 ) = (0,5; 0,5), traci stabilność. Wartości własne macierzy Jakobiego muszą przyjmować sprzężone wartości zespolone takie, ze ich część rzeczywista przecina się z osią rzędnych w punkcie bifurkacji (zatem wartości własne są czysto urojone w punkcie bifurkacji). Należy więc wyliczyć macierz Jakobiego w punkcie stałym (c 1 ; c 2 ) = (0,5; 0,5). Korzystając z opisu dynamiki opinii zawartego w równaniach (9), macierz Jakobiego w punkcie (0,5; 0,5) przyjmuje postać: J = ( 1 2 ) q 1 ( q 1 (q(1 p) 1) qp 1 2) qp ( q 1 ( ) q 1, (11) 1 1 2) 2 (q(1 p) 1) co jest wyrażeniem postaci [ a b -b a ], (12) 23

26 z czego wynika, że wartości własne to a ib oraz a + ib. W punkcie krytycznym bifurkacji Hopfa wartości własne muszą być czysto urojone, zatem a = 0, co jest równoważne z q 1 qp = 0, wobec czego można wyznaczyć wartość p = p bif (q) spełniającą ten warunek: p = p bif (q) = q 1. (13) q Z powyższego wynika zatem, że założenia twierdzenia Hopfa są spełnione, więc utrata stabilności centralnego punktu stałego powoduje powstanie atraktora w postaci cyklu granicznego. 24

27 5 Wnioski Podczas przeprowadzania opisanych w niniejszej pracy badań, udało mi się nie tylko odtworzyć poprzednie wyniki, lecz także poprawić błąd zamieszczony w badaniach pierwotnych i sprostować wnioski z niego wynikające. Błąd polegał na otrzymaniu dwukrotnie mniejszej częstotliwości oscylacji dla modelu annealed z równań (5) i (6), wynikało to z niepoprawnego przeskalowania czasu dla trajektorii opinii w tym modelu. Rozszerzyłem rozumowanie o wyniki otrzymane kolejnym, niewykorzystanym w pierwotnych badaniach podejściem, tzn. symulacją modelu annealed zapisanego w postaci algorytmicznej na stronie 10 metodą Monte Carlo. Otrzymane tą drogą wyniki dodatkowo dowodzą wystąpienia opisywanego błędu i potwierdzają poprawność wyciągniętych w tej pracy wniosków. Głównym wnioskiem z tej pracy jest równoważność wyników ze wszystkich trzech rozważanych wariantów, opisanych na stronie 13. Cykle występujące w opisywanym modelu występują spontanicznie agenci nie mają żadnej wiedzy o trendach panujących w układzie ponad tę, jaką zdobywają podczas interakcji z niewielkim jego wycinkiem. Mimo to udaje się zaobserwować efekty działania dwóch rywalizujących ze sobą postaw społecznych. Jedyną rzeczą ważącą na wyniku rywalizacji konformizmu i antykonformizmu jest gęstość połączeń między dwiema grupami. W kontekście układów społecznych łatwo ją przedstawić jako wymieszanie (lub jego przeciwieństwo izolację) grup społecznych, a także siłę wpływu wywieranego przez członków zarówno swojej, jak i przeciwnej grupy na każdego agenta z osobna. Porównując wyniki z tymi opisanymi w [5], można zauważyć, że jedynym czynnikiem, jaki miał wpływ na obecność cykli była asymetria między grupami. Ma ona odzwierciedlenie w rzeczywistości, podział społeczeństwa na innowatorów i naśladowców jest zgodny z teoriami społecznymi [2]. Nie było wymagane wprowadzenie czynników zewnętrznych, które sztucznie wymuszałyby oscylacje opinii. Ponadto, model został rozpatrzony w dwóch wariantach siatki połączeń, z czego jeden z nich pozwolił, oprócz uzyskania wyników z symulacji metodą Monte Carlo, na wyprowadzenie równań różniczkowych opisujących ewolucję opinii w czasie. Przybliżone numerycznie rozwiązanie tych równań pokryło się z wynikami z symulacji z obu modeli, można zatem wyciągnąć wniosek, że stabilność połączeń między grupami nie ma wpływu na opisywane zjawisko. Z analizy rozwiązań wyprowadzonych równań różniczkowych płynie z kolei jeszcze jeden wniosek: przy odpowiednio dużym wymieszaniu grup (dla p > p bif (q)), wpływ agentów z kliki przeciwnej jest na tyle znaczący, że układ stabilizuje się w stanie bez mody, w którym opinie są losowe, a średnia opinia nie ewoluuje w kierunku żadnej z dwóch alternatyw. Zaprezentowane wyniki nie dają się wprawdzie bezpośrednio przełożyć na opis rzeczywistego zjawiska, jednak pomagają one zgłębić naturę cykliczności opinii społecznej i pokazują, że może ona występować zupełnie spontanicznie; bez wymu- 25

28 szenia siłą zewnętrzną. Można by również zaproponować wiele modyfikacji, które pomogłyby zbliżyć model do rzeczywistości, jak na przykład różne rozmiary klik, mogące oddawać naturalną dysproporcję w liczebnościach opisywanych grup, czy też różne wagi odpowiednich połączeń. Wymagałoby to jednak wprowadzenia dodatkowych parametrów. Sama analiza zjawiska miałaby wtedy bardziej techniczny charakter, a wyniki z przytoczonych modyfikacji wydają się być łatwe do przewidzenia. 5.1 Różnice w wynikach Względem wyników pierwotnych badań, których jestem współautorem, opublikowanych w [6], jedyną nowością jest zamieszczenie w niniejszej pracy wyników symulacji metodą Monte Carlo modelu z dynamiczną siatką połączeń. Zostały one uwzględnione w celu potwierdzenia wykazanej równoważności wariantów siatki połączeń między grupami (sieć stała oraz dynamiczna) i metod symulacji: przy wykorzystaniu analitycznego opisu dynamiki opinii oraz przy pomocy symulacji Monte Carlo. Przyczyną błędu w pierwotnych badaniach jest skalowanie czasu dla przebiegów czasowych pochodzących z modelu annealed, a w jego wyniku wyciągnięte zostały niepoprawne wnioski na temat stabilności sieci połączeń międzygrupowych. Okazuje się jednak, że nie ma ona żadnego wpływu na opisywany model, co zostało pokazane w podrozdziale 4.3. Zarówno wartości krytyczne parametru p, średni okres cyklu opinii, ani również rozpatrywana amplituda oscylacji nie zależą od wariantu stabilności sieci połączeń, co jest wynikiem zgodnym z intuicją model quenched jest prosty do wyrażenia w języku modelu annealed z użyciem prostej zależności między parametrami L oraz p. Pozostałe wyniki, powtórzone przeze mnie na potrzeby tej pracy, były zgodne z tymi pochodzącymi z badań pierwotnych. 26

29 Literatura [1] Pareto V. The Mind and Society, translated from Trattato di Sociologia Generale (1916) Arthur Livingston ed. Harcourt 1935 [2] Simmel G. Fashion International Quarterly 1904 Oct; 10(1): reprinted in American Journal of Sociology 1957 May; 62(6): [3] Asch S. Opinions and Social Pressure Scientific American 1955; 193 (5) [4] Galam S, Contrarian deterministic effects on opinion dynamics: the hung election scenario. Physica A 2004; 333: [5] Siedlecki P, Szwabiński J, Weron T. The interplay between conformity and anticonformity and its polarizing effect on society. arxiv: [physics.soc-ph]. [6] Apriasz R, Krueger T, Marcjasz G, Sznajd-Weron K The Hunt Opinion Model An Agent Based Approach to Recurring Fashion Cycles. PLoS ONE 2016; 11(11): e [7] Castellano C, Fortunato S, Loreto V, Statistical physics of social dynamics. Rev. Mod. Phys. 81, (2009) [8] Nyczka P, Sznajd-Weron K. Anticonformity or Independence? -Insights from Statistical Physics. Journal of Statistical Physics 2013;151: [9] Desportes JP, Lemaine JM. The sizes of human groups: An analysis of their distributions. In D. Canter, J. C. Jesuino, L Soczka, G. M. Stephenson (Eds.), Environmental social psychology (pp ). Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic (1988) [10] Ruback RB, Collins RT, Koon-Magnin S, Ge W, Bonkiewicz L, Lutz CE. People transitioning across places: a multimethod investigation of how people goto football games Environment and Behavior 2013; 45(2): [11] Kowalska-Pyzalska A, Maciejowska K, Suszczynski K, Sznajd-Weron K, Weron R. Turning green: Agent-based modeling of the adoption of dynamic electricity tariffs. Energy Policy 2014; 72: [12] Maciejowska K, Jedrzejewski A, Kowalska-Pyzalska A, Weron R Impact of social interactions on demand curves for innovative products Acta Physica Polonica A 2016; 129(5):

30 [13] Bouzdine-Chameeva T, Galam, S. Word-of-mouth versus experts and reputation in the individual dynamics of wine purchasing. Adv. Complex Syst. 2011; 14: [14] Nail PR, Di Domenico SI, MacDonald, G. Proposal of a double diamond model of social response. Review of General Psychology 2013; 17:1-19. [15] Nail PR, Sznajd-Weron K. The Diamond Model of Social Response within an Agent-Based Approach Acta Physica Polonica A 2016; 129(5): [16] Strogatz H. Nonlinear Dynamics and Chaos With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering Perseus Books Publishing, New York 1994 [17] Marsden J, McCracken M. Hopf Bifurcation and its Applications. Springer- Verlag, New York