Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne.

Transkrypt

1 Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

2 Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę. Może to być np. długość produkowanych prętów, grubość wytwarzanych płyt wiórowych, itp. Technik dokonuje pomiarów i zbiera dane w bazie danych.

3 Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę. Może to być np. długość produkowanych prętów, grubość wytwarzanych płyt wiórowych, itp. Technik dokonuje pomiarów i zbiera dane w bazie danych. Na typowej karcie kontrolnej widnieją trzy linie:

4 Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę. Może to być np. długość produkowanych prętów, grubość wytwarzanych płyt wiórowych, itp. Technik dokonuje pomiarów i zbiera dane w bazie danych. Na typowej karcie kontrolnej widnieją trzy linie: Górna Linia Kontrolna (Upper Control Limit UCL)

5 Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę. Może to być np. długość produkowanych prętów, grubość wytwarzanych płyt wiórowych, itp. Technik dokonuje pomiarów i zbiera dane w bazie danych. Na typowej karcie kontrolnej widnieją trzy linie: Górna Linia Kontrolna (Upper Control Limit UCL) Linia Centralne (Central Line CL)

6 Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę. Może to być np. długość produkowanych prętów, grubość wytwarzanych płyt wiórowych, itp. Technik dokonuje pomiarów i zbiera dane w bazie danych. Na typowej karcie kontrolnej widnieją trzy linie: Górna Linia Kontrolna (Upper Control Limit UCL) Linia Centralne (Central Line CL) Dolna Linia Kontrolna (Lower Control Limit LCL)

7 Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę. Może to być np. długość produkowanych prętów, grubość wytwarzanych płyt wiórowych, itp. Technik dokonuje pomiarów i zbiera dane w bazie danych. Na typowej karcie kontrolnej widnieją trzy linie: Górna Linia Kontrolna (Upper Control Limit UCL) Linia Centralne (Central Line CL) Dolna Linia Kontrolna (Lower Control Limit LCL)

8 Poznane karty kontrolne: x-karta Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu, np. chcemy kontrolować średnią długość ciętych prętów stalowych.

9 Poznane karty kontrolne: x-karta Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu, np. chcemy kontrolować średnią długość ciętych prętów stalowych. Po wykonaniu pierwszych cięć wybieramy losowo n próbek: x 1, x 2,..., x n i liczymy ich średnią: x 1 = 1 n x k. n k=1

10 Poznane karty kontrolne: x-karta Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu, np. chcemy kontrolować średnią długość ciętych prętów stalowych. Po wykonaniu pierwszych cięć wybieramy losowo n próbek: x 1, x 2,..., x n i liczymy ich średnią: x 1 = 1 n x k. n Powtarzamy schemat m-krotnie, tzn. po każdym cięciu po raz kolejny wybieramy próbki i liczymy średnią. W konsekwencji dostajemy m wartości średnich: x 1, x 2,..., x m. k=1

11 Poznane karty kontrolne: x-karta Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu, np. chcemy kontrolować średnią długość ciętych prętów stalowych. Po wykonaniu pierwszych cięć wybieramy losowo n próbek: x 1, x 2,..., x n i liczymy ich średnią: x 1 = 1 n x k. n Powtarzamy schemat m-krotnie, tzn. po każdym cięciu po raz kolejny wybieramy próbki i liczymy średnią. W konsekwencji dostajemy m wartości średnich: x 1, x 2,..., x m.liczymy średnią ze średnich: x = 1 m k=1 m x k. k=1

12 Poznane karty kontrolne: x-karta Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu, np. chcemy kontrolować średnią długość ciętych prętów stalowych. Po wykonaniu pierwszych cięć wybieramy losowo n próbek: x 1, x 2,..., x n i liczymy ich średnią: x 1 = 1 n x k. n Powtarzamy schemat m-krotnie, tzn. po każdym cięciu po raz kolejny wybieramy próbki i liczymy średnią. W konsekwencji dostajemy m wartości średnich: x 1, x 2,..., x m.liczymy średnią ze średnich: x = 1 m k=1 m x k. k=1 Ta wartość będzie stanowiła linię centralną.

13 x-karta Z każdej próbki oprócz średniej wartości x k, k = 1,..., m, wybieramy także wartości największą i najmniejszą i liczymy ich rozstęp: R 1 = x (1) max x (1) min.

14 x-karta Z każdej próbki oprócz średniej wartości x k, k = 1,..., m, wybieramy także wartości największą i najmniejszą i liczymy ich rozstęp: R 1 = x (1) max x (1) min. W ten sposób dostajemy m wartości rozstępów dla każdej z próbek: R 1,..., R m.

15 x-karta Z każdej próbki oprócz średniej wartości x k, k = 1,..., m, wybieramy także wartości największą i najmniejszą i liczymy ich rozstęp: R 1 = x (1) max x (1) min. W ten sposób dostajemy m wartości rozstępów dla każdej z próbek: R 1,..., R m.liczymy średni rozstęp: R = 1 m m R k. k=1

16 x-karta Ustalamy linie kontrolne: UCL = x + A 2 R, LCL = x A 2 R, gdzie A 2 = 3 d 2 n jest pewną stałą zależną od rozmiaru próby. Jest ona podana w specjalnych tablicach. Niemniej jednak dla prób n > 25 można ją uzyskać wprowadzając pojęcie relatywnej rangi: W = R σ. Wtedy okazuje się, że zachodzi zależność d 2 = R, gdzie s jest s odchyleniem standardowym z próby.

17 R-karta Wraz z kartą do średniej używana jest równolegle karta do kontroli rozstępu. Linię centralną stanowi tam wartość R.

18 R-karta Wraz z kartą do średniej używana jest równolegle karta do kontroli rozstępu. Linię centralną stanowi tam wartość R. W przypadku poszczególnych linii kontrolnych dostajemy: UCL = D 4 R, LCL = D 3 R, gdzie D 4, D 3 są stałymi podanymi w tablicach.

19 R-karta Wraz z kartą do średniej używana jest równolegle karta do kontroli rozstępu. Linię centralną stanowi tam wartość R. W przypadku poszczególnych linii kontrolnych dostajemy: UCL = D 4 R, LCL = D 3 R, gdzie D 4, D 3 są stałymi podanymi w tablicach. Powyższą zależność można też zapisać jako UCL = R + 3 d 3 d 2 R, LCL = R 3 d 3 d 2 R, gdzie d 2 jest stałą jak poprzednio, zaś d 3 uzyskuje się poprzez policzenie odchylenia standardowego z rozstępu: d 3 = s R d 2. R Zwróćmy uwagę, że karta dla badania rozstępu nie jest symetryczna!

20 Projektowanie kart kontrolnych dla odchylenia standardowego s Pomimo, że x-karty i R-karty są powszechnie stosowane, czasami lepiej jest zamiast rozstępu kontrolować odchylenie standardowe z próby.

21 Projektowanie kart kontrolnych dla odchylenia standardowego s Pomimo, że x-karty i R-karty są powszechnie stosowane, czasami lepiej jest zamiast rozstępu kontrolować odchylenie standardowe z próby. Przypomnijmy: wariancją z proby nazywamy wielkość s 2 = 1 n 1 n (x k x) 2, (1) k=1 gdzie x jest wcześniej wyznaczoną średnią z próby. Odchyleniem standardowym z próby nazywamy wielkość s = s 2. (2)

22 Projektowanie kart kontrolnych dla odchylenia standardowego s Karty kontroli dla odchylanie standardowego są preferowane w przypadkach gdy:

23 Projektowanie kart kontrolnych dla odchylenia standardowego s Karty kontroli dla odchylanie standardowego są preferowane w przypadkach gdy: Rozmiar próby jest duży. Liczenie rozstępu w takich przypadkach, aby wyznaczać wariancję traci wtedy znaczenie statystyczne.

24 Projektowanie kart kontrolnych dla odchylenia standardowego s Karty kontroli dla odchylanie standardowego są preferowane w przypadkach gdy: Rozmiar próby jest duży. Liczenie rozstępu w takich przypadkach, aby wyznaczać wariancję traci wtedy znaczenie statystyczne. Rozmiar próby n jest zmienny.

25 Projektowanie kart kontrolnych dla odchylenia standardowego s Karty kontroli dla odchylanie standardowego są preferowane w przypadkach gdy: Rozmiar próby jest duży. Liczenie rozstępu w takich przypadkach, aby wyznaczać wariancję traci wtedy znaczenie statystyczne. Rozmiar próby n jest zmienny. W takich wypadkach proces kontroluje się wykorzystując x-kartę oraz kartę odchylenia standardowego: s-kartę.

26 Projektowanie s-karty Cel: Chcemy kontrolować wariancję procesu.

27 Projektowanie s-karty Cel: Chcemy kontrolować wariancję procesu. Przypuśćmy, że znana jest wartość odchylania standardowego każdej z próbki (a nie całego procesu!) i ma ona wartość σ. Wtedy pokazuje się, że linią centralną s karty jest wartość CL = c 4 σ gdzie c 4 jest współczynnikiem zależnym od rozmiaru proby i jest podany w tablicach.

28 Projektowanie s-karty Cel: Chcemy kontrolować wariancję procesu. Przypuśćmy, że znana jest wartość odchylania standardowego każdej z próbki (a nie całego procesu!) i ma ona wartość σ. Wtedy pokazuje się, że linią centralną s karty jest wartość CL = c 4 σ gdzie c 4 jest współczynnikiem zależnym od rozmiaru proby i jest podany w tablicach. Pozostałe linie kontrolne to UCL = c 4 σ + 3σ 1 c4 2, LCL = c 4σ 3σ 1 c4 2.

29 Projektowanie s-karty Cel: Chcemy kontrolować wariancję procesu. Przypuśćmy, że znana jest wartość odchylania standardowego każdej z próbki (a nie całego procesu!) i ma ona wartość σ. Wtedy pokazuje się, że linią centralną s karty jest wartość CL = c 4 σ gdzie c 4 jest współczynnikiem zależnym od rozmiaru proby i jest podany w tablicach. Pozostałe linie kontrolne to UCL = c 4 σ + 3σ 1 c4 2, LCL = c 4σ 3σ 1 c4 2. Oznaczmy B 5 = c c 2 4, B 6 = c c 2 4. Wtedy UCL = B 6 σ, LCL = B 5 σ.

30 Projektowanie s-karty Problem pojawia się, gdy nie znamy wartości teoretycznej wariancji lub odchylenia standardowego. Należy wtedy je estymować, czlyli przybliżyć ich nieznaną wartość.

31 Projektowanie s-karty Problem pojawia się, gdy nie znamy wartości teoretycznej wariancji lub odchylenia standardowego. Należy wtedy je estymować, czlyli przybliżyć ich nieznaną wartość. Po pobraniu losowo n próbek: x 1, x 2,..., x n liczymy ich wariancję: s 2 1.

32 Projektowanie s-karty Problem pojawia się, gdy nie znamy wartości teoretycznej wariancji lub odchylenia standardowego. Należy wtedy je estymować, czlyli przybliżyć ich nieznaną wartość. Po pobraniu losowo n próbek: x 1, x 2,..., x n liczymy ich wariancję: s 2 1. Powtarzamy schemat m-krotnie. W konsekwencji dostajemy m wartości wariancji: s 2 1, s2 2,..., s2 m. Potem liczymy odchylenia standardowe z każdej próby: s 1, s 2,..., s m

33 Projektowanie s-karty Problem pojawia się, gdy nie znamy wartości teoretycznej wariancji lub odchylenia standardowego. Należy wtedy je estymować, czlyli przybliżyć ich nieznaną wartość. Po pobraniu losowo n próbek: x 1, x 2,..., x n liczymy ich wariancję: s 2 1. Powtarzamy schemat m-krotnie. W konsekwencji dostajemy m wartości wariancji: s1 2, s2 2,..., s2 m. Potem liczymy odchylenia standardowe z każdej próby: s 1, s 2,..., s m Linią centralną karty będzie średnie odchylenie standardowe CL = s = 1 m s i. m i=1

34 Projektowanie s-karty Aby ustalić linie UCL i LCL należy wpierw policzyć, w jaki sposób wahają się odchylenia standardowe, czyli policzyć odchylenie standardowe z odchyleń standardowych. Na szczęście dobrym przybliżeniem tej wielkości jest wielkość s c 4 1 c 2 4, gdzie c 4 jest współczynnikiem zależnym od rozmiaru proby i jest podany w tablicach.

35 Projektowanie s-karty Aby ustalić linie UCL i LCL należy wpierw policzyć, w jaki sposób wahają się odchylenia standardowe, czyli policzyć odchylenie standardowe z odchyleń standardowych. Na szczęście dobrym przybliżeniem tej wielkości jest wielkość s c 4 1 c 2 4, gdzie c 4 jest współczynnikiem zależnym od rozmiaru proby i jest podany w tablicach.. Dostajemy wtedy UCL = s + 3 s 1 c4 2 c, LCL = s 3 s 1 c4 2 4 c. 4

36 Projektowanie s-karty Aby ustalić linie UCL i LCL należy wpierw policzyć, w jaki sposób wahają się odchylenia standardowe, czyli policzyć odchylenie standardowe z odchyleń standardowych. Na szczęście dobrym przybliżeniem tej wielkości jest wielkość s c 4 1 c 2 4, gdzie c 4 jest współczynnikiem zależnym od rozmiaru proby i jest podany w tablicach.. Dostajemy wtedy UCL = s + 3 s 1 c4 2 c, LCL = s 3 s 1 c4 2 4 c. 4 Oznaczmy B 3 = 1 3 c 4 1 c 2 4, B 4 = c 4 1 c 2 4.

37 Projektowanie s-karty Aby ustalić linie UCL i LCL należy wpierw policzyć, w jaki sposób wahają się odchylenia standardowe, czyli policzyć odchylenie standardowe z odchyleń standardowych. Na szczęście dobrym przybliżeniem tej wielkości jest wielkość s c 4 1 c 2 4, gdzie c 4 jest współczynnikiem zależnym od rozmiaru proby i jest podany w tablicach.. Dostajemy wtedy UCL = s + 3 s 1 c4 2 c, LCL = s 3 s 1 c4 2 4 c. 4 Oznaczmy B 3 = 1 3 c 4 1 c 2 4, B 4 = c 4 1 c 2 4. Wtedy: UCL = B 4 s, LCL = B 3 s

38 Wpływ na x-kartę Po wyliczeniu linii dla s-karty, można zauważyć, że ma to wpływ na x-kartę. Można na niej wyznaczyć linie kontrolne korzystając z wyliczonego odchlenia standardowego: s s UCL = x + 3, LCL = x 3 c 4 n c 4 n

39 Wpływ na x-kartę Po wyliczeniu linii dla s-karty, można zauważyć, że ma to wpływ na x-kartę. Można na niej wyznaczyć linie kontrolne korzystając z wyliczonego odchlenia standardowego: s s UCL = x + 3, LCL = x 3 c 4 n c 4 n Oznaczmy. A 3 = 3 c 4 n

40 Wpływ na x-kartę Po wyliczeniu linii dla s-karty, można zauważyć, że ma to wpływ na x-kartę. Można na niej wyznaczyć linie kontrolne korzystając z wyliczonego odchlenia standardowego: s s UCL = x + 3, LCL = x 3 c 4 n c 4 n Oznaczmy.Wtedy: UCL = x + A 3 s, A 3 = 3 c 4 n LCL = x A 3 s

41 Właściwy dobór stałych Zauważmy, że do obliczania odchylenia standardowego wykorzystujemy wzór n i=1 s = (x i x) 2. n 1 Niektórzy wykorzystują jedank inny wzór: n i=1 s = (x i x) 2. n Powoduje to różnice w doborze stałych.

42 Właściwy dobór stałych Zauważmy, że do obliczania odchylenia standardowego wykorzystujemy wzór n i=1 s = (x i x) 2. n 1 Niektórzy wykorzystują jedank inny wzór: n i=1 s = (x i x) 2. n Powoduje to różnice w doborze stałych. Zamiast stałych c 4, B 3, B 4, A 3 bierze się z tablic odpowiednio stałe c 2, B 1, B 2, A 1.

43 Karta dla indywidualnych pomiarów W produkcji występuje wiele sytuacji, w których nie można pobrać więcej niż jednej próbki, czyli n = 1. W takich wypadkach wykorzystuje się kartę kontrolną dla indywidualnych pomiarów.

44 Ranga krocząca W konstrukcji kart dla indywidualnych pomiarów wykorzystuje się wielkość nazywaną rangą kroczącą (ang. moving range.)

45 Ranga krocząca W konstrukcji kart dla indywidualnych pomiarów wykorzystuje się wielkość nazywaną rangą kroczącą (ang. moving range.) MR i = x i x i 1. Można także skonstruować kartę dla rangi kroczącej (MR-kartę).

46 Projektowanie karty dla indywidualnych pomiarów Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu mając możliwość pobrania tylko jednej próbki w każdym podejściu.

47 Projektowanie karty dla indywidualnych pomiarów Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu mając możliwość pobrania tylko jednej próbki w każdym podejściu. Po wykonaniu m powtórzeń dysponujemy m próbkami: x 1, x 2,..., x m i liczymy ich średnią: x 1 = 1 m x k. m k=1

48 Projektowanie karty dla indywidualnych pomiarów Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu mając możliwość pobrania tylko jednej próbki w każdym podejściu. Po wykonaniu m powtórzeń dysponujemy m próbkami: x 1, x 2,..., x m i liczymy ich średnią: x 1 = 1 m x k. m k=1 Liczymy też rangi kroczące MR 2, MR 3,..., MR n oraz ich średnią: MR = 1 m m MR k. k=1

49 Projektowanie karty dla indywidualnych pomiarów Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu mając możliwość pobrania tylko jednej próbki w każdym podejściu. Po wykonaniu m powtórzeń dysponujemy m próbkami: x 1, x 2,..., x m i liczymy ich średnią: x 1 = 1 m x k. m k=1 Liczymy też rangi kroczące MR 2, MR 3,..., MR n oraz ich średnią: MR = 1 m m MR k. k=1 Linię centralną karty będzie stanowiła wartość CL = x.

50 Projektowanie karty dla indywidualnych pomiarów Ponieważ ranga krocząca wyliczana jest na podstawie dwóch pomiarów, więc dobieramy stałą dla n = 2. Ustalamy linie kontrolne: UCL = x + 3 d 2 MR, LCL = x 3 d 2 MR, gdzie d 2 = 1, 128.

51 Projektowanie MR-karty Linię centralną będzie tu stanowiła średnia z rang kroczących: CL = MR.

52 Projektowanie MR-karty Linię centralną będzie tu stanowiła średnia z rang kroczących: CL = MR. Dobieramy linie kontrolne: UCL = D 4 MR, LCL = D 3 MR, gdzie stałe dobieramy dla n = 2.

53 Projektowanie MR-karty Linię centralną będzie tu stanowiła średnia z rang kroczących: CL = MR. Dobieramy linie kontrolne: UCL = D 4 MR, LCL = D 3 MR, gdzie stałe dobieramy dla n = 2. Stąd D 3 = 0, D 4 = 3, 267 oraz UCL = D 4 MR, LCL = 0

54 Zmiana rozmiaru próbki Wielokrotnie w trakcie procesu produkcyjnego zdarza się, że technicy postanowili dokonać korekty pomiarów. Jedną z możliwości jest pobieranie innej ilości próbek w każdym badaniu.

55 Zmiana rozmiaru próbki Wielokrotnie w trakcie procesu produkcyjnego zdarza się, że technicy postanowili dokonać korekty pomiarów. Jedną z możliwości jest pobieranie innej ilości próbek w każdym badaniu. Jak już zauważyliśmy w tym wypadku technicy bardzie preferują x-karty i s-karty, które są jak najbardziej wskazane w takich sytuacjach.

56 Zmiana rozmiaru próbki Wielokrotnie w trakcie procesu produkcyjnego zdarza się, że technicy postanowili dokonać korekty pomiarów. Jedną z możliwości jest pobieranie innej ilości próbek w każdym badaniu. Jak już zauważyliśmy w tym wypadku technicy bardzie preferują x-karty i s-karty, które są jak najbardziej wskazane w takich sytuacjach. Załóżmy jednak, że mamy do czynienia ze stałą zmianą wywołaną np. cięciem kosztów kontroli jakości, ustabilizowaniem się procesu, zmniejszeniem podaży produktu itp.

57 Zmiana rozmiaru próbki Wprowadźmy oznaczenia: R stare - średni rozstęp dla starego rozmiaru

58 Zmiana rozmiaru próbki Wprowadźmy oznaczenia: R stare - średni rozstęp dla starego rozmiaru R nowe - średni rozstęp dla rowego rozmiaru

59 Zmiana rozmiaru próbki Wprowadźmy oznaczenia: R stare - średni rozstęp dla starego rozmiaru R nowe - średni rozstęp dla rowego rozmiaru n stare - stary rozmiar próbki

60 Zmiana rozmiaru próbki Wprowadźmy oznaczenia: R stare - średni rozstęp dla starego rozmiaru R nowe - średni rozstęp dla rowego rozmiaru n stare - stary rozmiar próbki n nowe - nowy rozmiar próbki

61 Zmiana rozmiaru próbki Wprowadźmy oznaczenia: R stare - średni rozstęp dla starego rozmiaru R nowe - średni rozstęp dla rowego rozmiaru n stare - stary rozmiar próbki n nowe - nowy rozmiar próbki d 2 (stare) - współczynnik d 2 dla starego rozmiaru

62 Zmiana rozmiaru próbki Wprowadźmy oznaczenia: R stare - średni rozstęp dla starego rozmiaru R nowe - średni rozstęp dla rowego rozmiaru n stare - stary rozmiar próbki n nowe - nowy rozmiar próbki d 2 (stare) - współczynnik d 2 dla starego rozmiaru d 2 (nowe) - współczynnik d 2 dla nowego rozmiaru.

63 Zmiana rozmiaru próbki Dla x-karty nowe linie kontrolne mają wtedy postać: UCL = x + A 2 d 2 (nowe) d 2 (stare) R stare, LCL = x A 2 d 2 (nowe) d 2 (stare) R stare, linia centralna się nie zmienia, a stała A 2 brana jest dla nowego rozmiaru próbki.

64 Zmiana rozmiaru próbki Dla x-karty nowe linie kontrolne mają wtedy postać: UCL = x + A 2 d 2 (nowe) d 2 (stare) R stare, LCL = x A 2 d 2 (nowe) d 2 (stare) R stare, linia centralna się nie zmienia, a stała A 2 brana jest dla nowego rozmiaru próbki. Dla R-karty nowe linie kontrolne mają wtedy postać: UCL = D 4 d 2 (nowe) d 2 (stare) R stare, LCL = max{0, D 3 d 2 (nowe) d 2 (stare) R stare}, gdzie D 4, D 3 są brane dla nowego rozmiaru próbki, zaś linia centralna również jest zmieniana na. CL = R nowe = d 2(nowe) d 2 (stare) R stare

65 Zmianny rozmiar próbek dla x-karty i s-karty x-karta i s-karta są relatywnie łatwe w użyciu w przypadku, gdy rozmiary próbki są zmienne w sposób dynamiczny.

66 Zmianny rozmiar próbek dla x-karty i s-karty x-karta i s-karta są relatywnie łatwe w użyciu w przypadku, gdy rozmiary próbki są zmienne w sposób dynamiczny. W takim wypadku używa się średniej ważonej przy liczeniu x oraz s.

67 Zmianny rozmiar próbek dla x-karty i s-karty x-karta i s-karta są relatywnie łatwe w użyciu w przypadku, gdy rozmiary próbki są zmienne w sposób dynamiczny. W takim wypadku używa się średniej ważonej przy liczeniu x oraz s. Niech n i będzie liczbą obserwacji w i-tej próbce. Wtedy:

68 Zmianny rozmiar próbek dla x-karty i s-karty x-karta i s-karta są relatywnie łatwe w użyciu w przypadku, gdy rozmiary próbki są zmienne w sposób dynamiczny. W takim wypadku używa się średniej ważonej przy liczeniu x oraz s. Niech n i będzie liczbą obserwacji w i-tej próbce. Wtedy: m i=1 x = n ix i m i=1 n i

69 Zmianny rozmiar próbek dla x-karty i s-karty x-karta i s-karta są relatywnie łatwe w użyciu w przypadku, gdy rozmiary próbki są zmienne w sposób dynamiczny. W takim wypadku używa się średniej ważonej przy liczeniu x oraz s. Niech n i będzie liczbą obserwacji w i-tej próbce. Wtedy: m i=1 x = n ix i m i=1 n i s 2 = m i=1 (n i 1)s 2 i m i=1 n i m.

70 Zmianny rozmiar próbek dla x-karty i s-karty x-karta i s-karta są relatywnie łatwe w użyciu w przypadku, gdy rozmiary próbki są zmienne w sposób dynamiczny. W takim wypadku używa się średniej ważonej przy liczeniu x oraz s. Niech n i będzie liczbą obserwacji w i-tej próbce. Wtedy: m i=1 x = n ix i m i=1 n i s 2 = m i=1 (n i 1)s 2 i m i=1 n i m. Tych wartości używa się jako linii centralnych na odpowiednich kartach.

71 Zmianny rozmiar próbek dla x-karty i s-karty x-karta i s-karta są relatywnie łatwe w użyciu w przypadku, gdy rozmiary próbki są zmienne w sposób dynamiczny. W takim wypadku używa się średniej ważonej przy liczeniu x oraz s. Niech n i będzie liczbą obserwacji w i-tej próbce. Wtedy: m i=1 x = n ix i m i=1 n i s 2 = m i=1 (n i 1)s 2 i m i=1 n i m. Tych wartości używa się jako linii centralnych na odpowiednich kartach. Do wyliczania UCL i LCL używamy odpowiednich stałych podanych wcześniej, ale dobranych dla rozmiaru każdej grupy z osobna.

72 Literatura Douglas C. Montgomery, Introduction to Statistical Quality Control, John Willey & Sons Inc., 6th edition, W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, cz. II, PWN, wyd. VIII, 2010.

73 Podziękowania Dziękuję za uwagę