GRAFICZNA METODA PLANOWANIA ZAJĘĆ

Transkrypt

1 GRZEGORZ BOCEWICZ KRZYSZTOF BZDYRA GRAFICZNA METODA PLANOWANIA ZAJĘĆ Słowa kluczowe: planowanie zajęć, etoda graficzna szeregowania zadań Keywords: tietabling, graphical ethod of tasks scheduling. WSTĘP Probleatyka planowania zajęć (układania planów obciążeń sal, dyżurów, itp.) od wielu lat nie traci nic ze swojej wagi i aktualności. Mio wielu wysiłków, do chwili obecnej nie uzyskano etod w pełni zadowalający wszystkich zainteresowanych, w pełni rozwiązujący proble planowania zajęć. Planowanie zajęć jest problee niezwykle złożony, który wyaga dogłębnej analizy oraz wysiłku pracy naukowej. W ostatnich latach szybki rozwój koputerów pozwolił na powrót do technik, które niegdyś zostały porzucone ze względu na dużą złożoność obliczeniową. W ogólny przypadku, planowanie zajęć sprowadza się do wyznaczenia haronograu zajęć tak, by ożna było je zrealizować w określony (zwykle jak najkrótszy) czasie przy spełnionych ograniczeniach związanych z dostępnością zasobów (np. sal, wykładowców, itp.). Uiejętne rozplanowanie zajęć oraz odpowiednie przydzielenie zasobów decyduje o jakości działania całego systeu. Winno uożliwiać wyznaczenie haronograu dla wielu różnych ograniczeń, wynikających z indywidualnych potrzeb i specyfiki rozważanego probleu. W pracy przedstawiono etodę poszukiwania haronograu zajęć opartą na etodzie graficznej szeregowania zadań. Rozwiązywany proble sforułowany został jako proble decyzyjny. Zwrócono uwagę, na związane z ty, ożliwości zastosowania etodach prograowania w logice ograniczeń.. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Dany jest zbiór przediotów P={p,,, p LP }, gdzie LP liczba przediotów, prowadzonych w pewny zbiorze grup E={e, e,, e LE }, gdzie LE liczba grup. Zasoby obejują zbiór sal S={s,,, s LS }, gdzie LS liczba sal, oraz zbiór wykładowców W={w,,, w LW }, gdzie LW liczba wykładowców.

2 Znane są następujące paraetry systeu: Wyiary godzinowe poszczególnych przediotów zapisane pod postacią acierzy EP. Wiersze acierzy odpowiadają kolejno poszczególny grupo, natoiast koluny przedioto, np. t, oznacza liczbę godzin drugiego przediotu realizowanego w pierwszej grupie; Relacje iędzy przediotai, a wykładowcai zadane są acierzą PW. Wiersze acierzy odpowiadają przedioto, natoiast koluny wykładowco. Wartości ij acierzy są binarne, np., = oznacza, że pierwszy przediot oże być prowadzony przez trzeciego wykładowcę,, =0 oznacza, że wykładowca pierwszy nie oże prowadzić zajęć z przediotu pierwszego; Relacje iędzy przediotai, a salai wykładowyi zadane są acierzą SP. Wiersze acierzy odpowiadają kolejno salo, natoiast koluny przedioto. Wartości acierzy są binarne, np. n, = oznacza, że trzeci przediot oże być prowadzony w pierwszej sali, n, =0 oznacza, że pierwszy przediot nie odbywać się w drugiej sali; t t t n n n t, LE, t, LE, t, LP LE, LP n, LS, n, LS, n, LP t, t, t, LP n, n, n, LP EP, SP, PW LS, LP,, LP,,, LP,, LW, LW LP, LW horyzont czasowy określający ograniczenie czasowe realizacji wszystkich zadań (liczba jednostek lekcyjnych). Dla każdej pary (grupa, przediot), tzn. (e i, p j ), i=..le, j=..lp, poszukiwana jest trójka (s q, w v, h) gdzie q=..ls, v=..lw, h=.., określająca gdzie odbywają się zajęcia s q, kto je prowadzi w v i kiedy się rozpoczynają h. Inaczej ówiąc każdej parze (e i, p j ) odpowiada eleentowa wektorowa zienna decyzyjna. Poszukiwana jest odpowiedź na pytanie Czy ożliwe jest przeprowadzenie wszystkich zaplanowanych zajęć, w zadany horyzoncie czasu bez przekraczania ograniczeń zasobowych? Zakłada się, że: w danej sali oże przebywać tylko jedna grupa, wykładowca nie oże prowadzić zajęć w dwóch lub więcej grupach jednocześnie, zajęć raz rozpoczętych nie ożna przerywać, zajęcia kończą się najpóźniej w ostatniej jednostce czasu.. METODA GRAFICZNA Charakterystyka etody Przedstawiona etoda jest odyfikacją graficznej etody przeznaczonej do rozwiązywania zagadnień kolejnościowych z dwoa zadaniai i aszynai. Metoda polega na odwzorowaniu wzajenie jednoznaczny paraetrów systeu w postaci wielowyiarowej przestrzeni zwierającej figury geoetryczne. Liczba grup LE określa wyiarowość przestrzeni, każda z grup e i, i=..le jest reprezentowana przez określoną oś układu współrzędnych. Każdej parze (e i, p j ) odpowiada zienna decyzyjna oznaczona jako e i p j, określająca, jaki wykładowca, w jakiej sali i kiedy przeprowadzi zajęcia z j-tego przediotu w i-tej

3 grupie. Zienna decyzyjna jest -eleentowy wektore, którego kolejne eleenty określają: nuer sali, nuer wykładowcy, terin. Potencjalne dziedziny poszczególnych ziennych są następujące: e i p j () {..LS}, e i p j () {..LW}, e i p j () {..}. Przy czy w praktyce dziedziny te są ograniczone warunkai przedstawionyi w tablicach PW i SP. Reprezentacją graficzną ziennych decyzyjnych w przestrzeni są tzw. kontenery o oznaczeniu odpowiadający ziennej decyzyjnej. Są to prostokąty o długości określonej w tablicy EP. Ich położenie na osi e i deterinuje wartość e i p j (). W każdy rzucie przestrzeni rozwiązań na dwuwyiarową płaszczyznę e i e k z początku układu współrzędnych prowadzona jest prosta wyznaczająca rozwiązania pod kąte 45 do osi e i. Ideą etody graficznej jest takie rozieszczenie kontenerów e i p j i e k p l, oraz takie dobranie wartości e i p j (), e i p j (), e k p l (), e k p l (), aby tzw. obszary zabronione nie pokrywały prostej wyznaczającej rozwiązanie. Obszar zabroniony jest wyznaczany, w iejscu przestrzeni, w który odpowiadające kontenery spełniają warunek (e i p j ()=e k p l ()) (e i p j ()=e k p l ()). Obszar jest prostokąte w przypadku przestrzeni dwuwyiarowej lub prostopadłościane w dla przestrzeni trójwyiarowej. Operowanie obszarai zabronionyi wyusza odpowiedni rozstaw kontenerów, który uożliwi otrzyanie rozwiązania zapewniającego brak konfliktów zasobowych (np. jeden wykładowca przypisany do dwóch grup jednocześnie itp.) oraz spełniającego ograniczenia wynikające z tablic EP, PW i SP. Przykład zastosowania etody graficznej przedstawia rys. W skład systeu przedstawionego na rysunku wchodzą trzy grupy (e, e, e ), pięć przediotów (p,, p,, ), oraz trzy sale (s,, ) i trzech wykładowców (w,, ). Powstała przestrzeń jest przestrzenią trójwyiarową. Rozkład kontenerów wzdłuż osi e, e, e oraz odpowiednie dobranie ich wartości uożliwił utworzenie takiej przestrzeni, gdzie wszystkie obszary zabronione znajdują się po za iejsce prowadzenia prostej. aronogra zajęć dla każdego z zadań odczytuje się bezpośrednio z odpowiadających i osi. w p p p 0 p p e p s 0 0 EP e PW p 0 SP s 0 =0 e p p s 0

4 e e e Obszary zabronione Legenda: Nazwa kontenera. Kontener - e i p j w v s q Rys. Przykład przestrzeni trójwyiarowej Wybrany wykładowca i sala, wartości e ip j(), e ip j() ziennej e ip j. Strategia wyznaczania rozwiązania Przeszukiwanie przestrzeni poprzez analizę wszystkich perutacji kontenerów jest nieożliwe ze względu na ich olbrzyią liczbę. Wobec tego zastosowano heurystykę uożliwiającą otrzyanie wyniku w stosunkowo krótki czasie. W systeie opisany tablicai EP, PW i SP ożna zdefiniować zbiór kontenerów ep = {e i p j } gdzie i= LE, j= LP. Pierwszy kontener uieszczany jest przy odpowiedniej osi e i rozpoczynając od początku układu współrzędnych. Ze zbioru ep wybierany jest następny, którego wartość nie spowoduje powstania obszaru zabronionego w iejscu prowadzenia prostej (spełnia warunek (e i p j ()=e k p l ()) (e i p j ()=e k p l ())). Kontener przydzielany jest do kolejnej osi. Kontenery należy wybierać ze zbioru ep wg. następujących zasad: gdy istnieje ożliwość wyboru kilku kontenerów spełniających w obszarze prostej ograniczenie (e i p j ()=e k p l ()) (e i p j ()=e k p l ()), to w pierwszej kolejności należy wybrać ten, który charakteryzuje się największy roziare; gdy istnieje ożliwość wyboru kilku wartość kontenera, spełniających obszarze prostej ograniczenie (e i p j ()=e k p l ()) (e i p j ()=e k p l ())to należy wybrać salę (e i p j ()) o najniejszy obciążeniu i wykładowcę (e i p j ()) o najniejszej liczbie prowadzonych przediotów;

5 W przypadku, gdy kontener nie spełnia ograniczenia i nie da się go zastąpić inny kontenere ze zbioru ep, należy go przesunąć tak by obszar zabroniony znalazł się poza prostą. Konsekwencją przesunięcia kontenera jest powstanie okienka na odpowiadającej kontenerowi osi. Kontenery uieszczane są kolejno według powyższych zasad aż do wyczerpania zbioru ep, lub oentu, gdy którykolwiek z kontenerów przekroczy horyzont. Przekroczenie horyzontu jest jednoznaczne z brakie rozwiązania. Metoda nie dopuszcza ożliwości nawrotów raz ustawione kontenery nie ogą zienić swojego położenia. Ideę wyszukiwania rozwiązania na przykładzie przestrzeni dwuwyiarowej ilustruje rysunek. e krok ep ep e (ep()=ep()) (ep()=ep())=false ep=ep\{ep, ep} e krok ep ep ep ep e (ep()=ep()) (ep()=ep())=false ep=ep\{ep, ep, ep, ep} e krok ep4 ep Krok : Rysunek ilustruje pierwszy krok budowania przestrzeni. Ze zbioru ep wybrane zostały kontenery e p i e. Uieszczone zostały one na początku układu współrzędnych. Wartości kontenerów (sala,wykładowca) są tak dobrane by nie powstał obszar zabroniony w iejscu prowadzenia prostej. Zbiór ep został poniejszony o wykorzystane kontenery. Krok : Ze zbioru ep wybrane zostały kolejne kontenery e p, e p. Wartości kontenerów (sala, wykładowca) są tak dobrane by nie powstał obszar zabroniony w iejscu prowadzenia prostej. Zbiór ep został poniejszony o wykorzystane kontenery. Krok : Ze zbioru ep wybrany zostały kolejny kontener e. Przedstawiony rysunek przedstawia przypadek gdy dobrany kontener spowodował powstanie obszaru zabronionego w iejscu prowadzenia prostej. ep ep ep e (ep()=ep4()) (ep()=ep4())=true e ep4 ep ep ep ep krok 4 e Krok 4: Kontener e został przesunięty wzdłuż osi e, spowodowało to powstanie okienka, ale obszar zabroniony już nie przecina prostej. Nowe położenie kontenera e znajduje się poza granicai horyzontu. Przekroczenie horyzontu powoduje zatrzyanie dalszego poszukiwania - rozwiązania nie istnieje. STOP Ry. Poszukiwanie rozwiązania. Przedstawiona etoda została zaipleentowana w środowisku Matlab.

6 4. PROGRAMOWANIE W LOGICE OGRANICZEŃ Rozważane zagadnienie ożna przybliżyć w następujący sposób. Dany jest syste ziennych decyzyjnych e i p j. Znane są dziedziny ziennych -- zbiory wartości ziennych. Należy odpowiedzieć na pytanie czy istnieje zbiór wartości spełniający arbitralnie zadany zbiór ograniczeń []. Prograowanie w logice ograniczeń opiera się na podstawowych echanizach: propagacji ograniczeń i dystrybucji ziennych. Propagacja ograniczeń jest efektywny echanize wnioskowania opartego na równoległy działaniu propagatorów wyieniających i groadzących inforacje w tzw. Zbiorze wyiany ograniczeń. Dystrybucja ziennych dzieli proble na uzupełniające się wzajenie eleenty według założonej strategii przeszukiwania. Rozwiązanie probleu, jeśli istnieje, jest wyznaczane w kolejnych krokach propagacji i dystrybucji. Postępowanie przedstawione w pkt. ożna traktować jako przeszukiwanie drzewa rozwiązań (rysunek ). Zienne decyzyjne (kontenery) e p {s, w, h } {s, w, h } {, w, h } {s 5, w 5, h } e p {s, w, h } {s, w, h } {,, h } {, w 5, h 8 } e Rozwiązania niedopuszczalne {, w, h } {,, h } {,, h }{s 4,, h 4 } Alternatywne rozwiązania e p {s,, h } {s,, h } {, w, h } {, w, h } Rys.. Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań Przedstawione na rysunku drzewo jest odpowiednikie przestrzeni wielowyiarowej. Pozioy drzewa odpowiadają kolejny eleento ziennej decyzyjnej e i p j (kontenery), gałęzie reprezentują ożliwe wartości ziennych decyzyjnych (określają wartość kontenera oraz jego położenie). Przedstawioną w rozdziale strategię wyznaczania rozwiązania ożna zinterpretować jako wyszukiwanie takiej ścieżki spośród gałęzi drzewa, która spełniałaby ograniczenia systeu. Na każdy pozioie odbywa się proces wyszukiwania gałęzi dopuszczalnej. Wybór gałęzi ogranicza liczbę potencjalnych wariantów na niżach pozioach. Budowa ścieżki odbywa się w głąb drzewa bez ożliwości nawrotów. Postępowanie takie znacznie ogranicza liczbę kroków, które należy wykonać by otrzyać rozwiązanie (do liczby pozioów drzewa). Skuteczność etody uzależniona jest zate od heurystyk stosowanych przy wyborze gałęzi na każdy pozioie e i p j.

7 5. PRZYKŁAD ILUSTRACYJNY Czy ożliwe jest rozplanowanie zajęć dla grup, tak by była ożliwa ich realizacja w horyzoncie czasowy = 0 godzin. Liczba przediotów LP = 5, liczba sal LS = 4 liczba wykładowców LW = 5. Relacje iędzy grupai przediotai salai i wykładowcai, zapisane są w postaci tablic; EP PW 0 0 SP Rysunek 4 ilustruje otrzyane rozwiązanie etodą graficzną. Metoda została zaipleentowana w środowisku Matlab 6.5. Jak widać na rysunku 4d, dla przedstawionego przykładu, istnieje rozwiązanie dopuszczalne ieszczące się w horyzoncie 0 godzin. Zrealizowany progra uożliwia rozwiązywanie dużo większych probleów, w bardzo krótki czasie. Przeprowadzone eksperyenty dla danych LP =50, LS =50, LE =50, LW = 50, dawały rozwiązania w czasie poniżej 5 sekund (procesor Athlon 500 Mz, 5 MB RAM). a) e b) e p w p a) p w p s e p s s e Grupy e e p w 5 s p w s p s b) p p s w w 5 s p w 5 s p s p s s s e p p w w 5 s p e Rys. 4. Rozwiązanie dopuszczalne probleu: a) zrzuty przestrzeni, d) rozwiązań diagra Gantt a. e p w w 5 s p CZAS

8 6. PODSUMOWANIE Przedstawiona etoda graficzna odpowiada filozofii prograowania z ograniczeniai. Zastosowana strategia braku nawrotów wraz z odpowiednio dobraną heurystyką wyboru kolejnego kontenera zaowocowała realizacją prograu dającego rozwiązania w krótki czasie. Jednakże takie rozwiązanie probleu nie daje zawsze gwrancji otrzyania rozwiązania nawet jeśli ono istnieje. Istotną cechą przedstawionej etody jest trudność ipleentacji ograniczeń wynikających z indywidulanych potrzeb. Ze względu na szybkość otrzyywania rozwiązań etoda oże być poocna we wstępnej analizie haronograowania zadań oraz stanowić podstawę do rozwiązań opartych na prograowaniu w logice z ograniczeniai CLP. BIBLIOGRAFIA [] Bzdyra K., Banaszak Z.: Zastosowanie technik prograowania z ograniczeniai w zintegrowany planowaniu przepływu produkcji. Materiały Konferencji Polioptyalizacja i koputerowe wspoaganie projektowania Mielno 004, s.6. [] Bzdyra K., Banaszak Z.: Zastosowanie technik prograowania z ograniczeniai w probleach decyzyjnych systeów dystrybucji. Materiały konferencji Polioptyalizacja i koputerowe wspoaganie projektowania Mielno 00, s.7. [] Schulte C., Solka G., Wurtz J.: Finite Doain Constraint Progaring in Oz. DFKI OZ docuentaion series, Geran Research Center for Artificial Inteligence, Stuhlsaltzenhausweg, D-66 Saarbrucken, Gerany,998. [4] enz M., W urtz J.: Using Oz for College Tietabling, In: Burke, E, Ross, P. (Eds.): Practice and Theory of Autoated Tietabling I (PATAT 995, Edinburgh, Aug/Sept, selected papers). Lecture Notes in Coputer Science, Vol. 5. Springer-Verlag, Berlin eidelberg New York (996) pp 6 77 [5] Legierski W.: Search Strategy for Constraint-Based Class-Teacher Tietabling, 4th International Conference PATAT 00 on Practice and Theory of Autoated Tietabling IV Springer-Verlag, Lecture Notes in Coputer Science 740, p47-6, 00 Streszczenie Planowanie zajęć jest problee niezwykle złożony. Mio wieloletnich badań wciąż nie istnieją etody pozwalające na pełne rozwiązanie probleu. W artykule zaprezentowano graficzną etodę pozwalającą na rozwiązywanie probleów planowania zajęć. Oówiono heurystykę otrzyywania rozwiązań, oraz przedstawiono związek z etodai prograowania w logice z ograniczeniai. GRAPICAL METOD FOR TIMETABLING Suary Tietabling belongs to still open, NP-hard probles. A graphical odel of a tietabling is proposed. Ipleentation of an applied heuristic is provided on an illustrative exaple. The relationships with the constraints prograing are discussed.