- 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) Główne obliczenia

Transkrypt

1 - 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) Główne obliczenia Spis treści: Wstęp - uzasadnienie 1.Wykorzystanie rozkładu Dirichleta. 2.Testowanie koła ruletki. 3.Podstawowe paraetry statystyczne gry na uszkodzony kole. 4.Odchylenia standardowe podstawowych paraetrów statystycznych gry na uszkodzony kole. 5.Progra użytkowy. Wstęp - uzasadnienie Ruletka - od kilku stuleci znane narzędzie hazardu. Obecnie występuje praktycznie w każdy kasynie na świecie i w internecie online. Istnieją dwie odiany ruletki: europejska (37 przegródek, od 0 do 36) i aerykańska (38 przegródek, dodatkowa przegródka 00). Przy założeniu idealnych, nie uszkodzonych, kół przewaga kasyna na pierwszej wynosi 1/37 a na drugiej 2/38. W ostatnich latach, dzięki rozwojowi optoelektroniki i inforatyki, pojawiły się odpowiednio zaprograowane urządzenia pozwalające przewidzieć rejon upadku kulki na koło dzięki inforacji o synchronizacji wzajenej ruchu kulki i koła. Inforacja ta wprowadzana jest do urządzenia w początkowej fazie spinu. Urządzenia te są ukryte pod ubranie i dyskretnie obsługiwane. Oczywiście jest to działanie nielegalne. Działanie to jest ożliwe podczas klasycznej procedury gry która jest następująca: po wypłacie wygranych z poprzedniego spinu krupier zachęca grających do obstawień ówiąc "place your bets" i wykonuje spin. Kulka i koło są w ruchu, obstawianie jest jeszcze ożliwe, dopiero w końcowej fazie spinu krupier kończy czas obstawiania ówiąc "no ore bets". Czas spinu kiedy ożliwe jest jeszcze obstawianie jest wykorzystywany przez w/w urządzenia do wyliczenia rejonu upadku kulki oraz do odpowiedniego obstawienia. Skuteczną obroną kasyna przed tego typu procedurą jest ożliwość obstawiania tylko do oentu spinu, krupier ówi "no ore bets" i wykonuje spin. Procedura ta jest coraz powszechniejsza, już teraz prawie wszystkie ruletki autoatyczne i online działają w ten sposób a w kasynach ten krytyczny czas jest coraz bardziej skracany, dlatego: JEDYNYM LEGALNYM SPOSOBEM WYGRANIA NA RULETCE STAJE SIĘ ODPOWIEDNIA WIEDZA O KOLE A PRIORI CZYLI PRZED SPINEM, PRZED GRĄ. Każde koło ruletki jest obdarzone jakiiś wadai które ogą być rezultate wadliwego wykonania lub eksploatacji i czasu. Nas interesują tylko wady powodujące nierówny rozkład prawdopodobieństwa wpadnięcia kulki w poszczególne nuery ruletki. Dzięki analizie statystycznej zanotowanych wyników spinów na kole ożna ten nierównoierny rozkład wykryć i ocenić ożliwość wygrania. Jest to główny cel niniejszego opracowania oraz, opartego na ty, prograu użytkowego (pkt. 5).

2 - 2-1.Wykorzystanie rozkładu Dirichleta. Po pewny uporządkowaniu (ujednoliceniu) warunków podczas wykonywania spinów ("pooc" prograu użytkowego, pkt.2) każdy spin ożna traktować jako zdarzenie niezależne. Fakt ten pozwala zastosować, do analizy prawdopodobieństwa wyrzucenia poszczególnych nuerów ruletki, rozkład Dirichleta. Materiałe do tej analizy są notowane rezultaty spinów dla poszczególnych nuerów ruletki. Rozkład Dirichleta a postać: (1) f(x 1,, x k ; s 1,, s k ) = 1 B(s) x i k 1 > x1,..., xk > 0 ; s i > 0 ; i = 1... k x xk = 1 ; k > 1 gdzie: B (s) - czynnik norujący x i - gęstość prawdopodobieństwa i - tego zdarzenia (wyrzucenia nueru) k - ilość ożliwych zdarzeń (nuerów ruletki) Rozkład Dirichleta jest rozkłade a priori w statystyce bayesowskiej. Funkcja f określa gęstość prawdopodobieństwa grupy k ożliwych zdarzeń których ilość powtórzeń wynosi n i = s i - 1 ; i = 1... k. W przypadku ruletki podstawowe paraetry rozkładu gęstości prawdopodobieństwa dla poszczególnych nuerów ają postać: s i 1 (2) p i = n i+1 ; wp n+k i = p i(1 p i ) n+k+1 ; cov(x i, x j ) = p ip j n+k+1 ; i, j = 1...k ; i < j gdzie : p i - średnie prawdopodobieństwo wyrzucenia i - tego nueru wp i - wariancja średniego prawdopodobieństwa wyrzucenia i - tego nueru cov ( x i, x j ) - kowariancja prawdopodobieństw dwóch nuerów (ożliwych par) n i - ilość zanotowanych spinów dla i - tego nueru ruletki n - sua zanotowanych spinów dla wszystkich nuerów ruletki k = 37 - ruletka europejska k = 38 - ruletka aerykańska Ponieważ w dalszych rozważaniach interesujące będą dla nas tylko wartości p i > 1/36 i n > 200 ożna, z bardzo dobry przybliżenie, założyć, że rozkład gęstości prawdopodobieństwa dla rozważanych nuerów ruletki jest rozkłade noralny. 2.Testowanie koła ruletki. Główny cele testu jest sprawdzenie czy ożliwe jest wygrywanie na badany kole ruletki na pozioie ufności równy W ty celu należy zaprojektować obstawienie dające optyalną wartość potencjalnej przewagi całkowitej.

3 - 3- Jak nadieniono powyżej interesują nas tylko te nuery ruletki które są potencjalnie wygrane czyli te których p i > 1/36 (ruletka europejska i aerykańska). Potencjalna przewaga na taki nuerze wynosi: (3) Mi = 36 pi - 1 > 0 ; pi = (2) Załóży, że takich nuerów jest. Pojawia się proble jak obstawić te nuery najefektywniej tzn. jak rozłożyć całe obstawienie na poszczególne wybrane nuery by testowanie koła było efektywne. Więcej o ty na następnej stronie. Obstawienie ty jest: (4) M = y 1 M y M ; y i = M i M M ; i = 1... ; M i = (3) Ważne dla ruletki europejskiej i aerykańskiej. Przy projekcie tego obstawienia wykorzystano kryteriu Kelly. Jak nadieniono, rozkład gęstości prawdopodobieństwa dla rozważanych nuerów ruletki jest rozkłade noralny a całkowita, potencjalna, przewaga M jest funkcją liniową wartości średnich prawdopodobieństw (wzory 3 i 4) to rozkład gęstości prawdopodobieństwa tej przewagi jest też rozkłade noralny. Odchylenie standartowe całkowitej, potencjalnej, przewagi wynosi: (5) dm = 36 y i 2 wp i 2 n + k + 1 y ip i y j p j i<j Wszystkie wielkości są odpowiednio dla ruletki europejskiej i aerykańskiej (2)(4) oraz: - k = 37 - ruletka europejska - k = 38 - ruletka aerykańska Wartości i, j wybierają wszystkie ożliwe pary dla wygranych, potencjalnie, nuerów. Wartość potencjalnej przewagi całkowitej M jest określona z błęde dm ale pozio zerowy do którego odnosiy wartość M jest określony również z pewny błęde. W celu rzeczywistej oceny potencjalnej przewagi liczyy odchylenie standardowe dla tych saych nuerów ruletki zakładając p i = 1/36 oraz taki sa rozkład całkowitego obstawienia y i. Oczywiście, całkowita przewaga, przy takich założeniach, jest równa 0, ale odchylenie standardowe równe jest: (6) dm 0 = 35 n + k + 1 y i 2 2 n + k + 1 y iy j i<j Oznaczenia jak wyżej.

4 - 4 - Korzystając z własności odchylenia standardowego rozkładu noralnego oznaczay: (7) Z = dm0 ; dm0 = (6) Liczba określa przyjęty w tych rozważaniach pozio ufności równy 0.995, jest to przyjęty pozio zerowy dla potencjalnej przewagi. Efektywna, potencjalna, przewaga zate wynosi: (8) EM = M - Z ; M = (4) ; Z = (7) Można teraz, przy powyższy, założony, pozioie ufności, podać warunek który pozwala uznać, że przewaga nie jest potencjalna a rzeczywista, czyli koło jest uszkodzone i ożna na ni wygrywać. Warunek ten a postać: (9) dm EM < ; dm = (5) ; EM = (8) Poglądowo oznacza to, że powierzchnia wspólna rozkładów noralnych przewagi z wartością średnią równą 0 i z wartością średnią równą M jest niejsza niż Fakt ten gwarantuje (na pozioie ufności 0.995), że wartość przewagi EM jest > 0, czyli ożna wygrywać. Rozkład całkowitego, potencjalnie wygranego, obstawienia, na potencjalnie wygrane nuery y i (4) daje zawsze wartość (9) bardzo zbliżoną do inialnej ożliwej czyli pozwala na efektywne testowanie koła ruletki. Jeżeli spełniony jest warunek (9), czyli koło jest uszkodzone i ożna na ni wygrywać, ożna wyliczyć podstawowe paraetry statystyczne gry na ty kole. Przyjęcie poziou zerowego (7) powoduje wprowadzenie poprawki dla wartości średnich prawdopodobieństw wygranych nuerów p i. Średnie prawdopodobieństwo efektywne dla tych nuerów a postać: (10) pp i = p i Z ; i = 1... ; z = (7); pi = (2) 36 Należy nadienić, że wartości (10) będą użyte dla wyliczenia podstawowych paraetrów statystycznych gry na uszkodzony kole ale do wyliczania standartowych odchyleń tych paraetrów będą użyte wartości p i (2) (podobnie jak dla wartości EM zostało to zrobione). 3.Podstawowe paraetry statystyczne gry na uszkodzony kole.. Przedstawiona propozycja obstawienia w prograie użytkowy (pkt. 5) nosi nazwę "sugerowane obstawienie". Oczywiście jest ona tożsaa z optyalny obstawienie testujący (4). Ponieważ spełnione jest (9) ożna przystąpić do wyliczania podstawowych paraetrów statystycznych gry. a) całkowita przewaga (11) EM = (8)

5 - 5 - b) całkowite obstawienie Wiadoo jak rozdzielić obstawienie na wygrane nuery (4) ale nie jest jeszcze znana jego całkowita wartość. Wartość całkowitego obstawienia a następującą postać: (12) TB = kf EM DK BR ; DK = (12b) gdzie: EM - całkowita przewaga (8) BR - portfel (bankroll), pieniądze przeznaczone na grę (12a) kf = 0,5 0,562 dm EM ; dm = (5) Współczynnik kf zienia się od 0.3 do 0.5 w zależności od wartości dm/em czyli od (9), i niejsza jest (9) ty większy jest kf i całkowite obstawienie, ale aksyalna jego wartość sięga tylko do połowy wartości wynikającej z kryteriu Kelly. Współczynnik kf jest próbą uwzględnienia wpływu warunków atosferycznych na koło i kulkę. (12b) DK = (36y i 1)y i pp i y i pp i ; pp i = (10) ; y i = (4) Wzór (12) zawiera kryteriu Kelly Wartość DK jest oryginalny wkłade własny autora opracowania. Zwykle w ty iejscu używana jest wartość wariancji gry co jest tylko przybliżenie wartości dokładnej DK. Wartość DK jest średnią wygraną jakichkolwiek trafień w jednostkach całkowitego obstawienia TB. Wartość taka jest istotą ianownika kryteriu Kelly. c) obstawienie wybranych nuerów ruletki ("sugerowane obstawienie") (13) Bi = yi TB ; i = 1... ; TB = (12) ; yi = (4) d) wartość SCORE (wyjaśniona w "pooc" prograu użytkowego pkt.3) (14) SCORE = 10 6 (EM)2 DK e) ryzyko ruiny ; EM = (8) ; DK = (12b) (15) rr = exp( 2 kf ) ; kf = (12a) f) wygrana w 100 spinach (16) W100 = 100 EM TB ; TB = (12) ; EM = (8) g) odchylenie standardowe na 1 spin (17) SD 1 = TB W ; TB = (12)

6 gdzie: W - wariancja gry, jest równa: (17a) W = [(36y i 1) 2 1]pp i + 1 ( EM) 2 ; y i = (4) ; pp i = (10) h) odchylenie standardowe na 100 spinów (18) SD100 = 10 SD1 ; SD1 = (17) 4.Odchylenia standardowe podstawowych paraetrów statystycznych gry na uszkodzony kole. Wyliczone tu odchylenia standardowe występują w prograie użytkowy (pkt.5) jako "błąd statystyczny" ("Galeria"). W powyższych wyrażeniach w których występuje czynnik kryteriu Kelly, bezpośrednio lub pośrednio, traktowany jest jak czynnik stały nie będący źródłe odchylenia standardowego. To sao dotyczy współczynnika kf. a) odchylenie standardowe całkowitej przewagi (19) dm = (5) b) odchylenie standardowe całkowitego obstawienia (20) dtb = 0 c) odchylenie standardowe obstawienia wybranych nuerów ruletki (21) dbi = 0 ; i = 1... d) odchylenie standardowe wartości SCORE (22) dscore = 10 6 EM DK dm ; dm = (5) ; EM = (8) ; DK = (12b) e) odchylenie standardowe ryzyka ruiny (23) drr = 0 f) odchylenie standardowe wygranej w 100 spinach (24) dw100 = 100 TB dm ; dm = (5) ; TB = (12) g) odchylenie standardowe odchylenia standardowego na 1 spin (25) dsd 1 = TB 1 D d iwp i 2 n + k + 1 d ip i d j p j i<j

7 - 7 - gdzie: TB = (12) ; wp i = (2) ; n - sua zanotowanych spinów (25a) di = (36 yi - 1) 2-72 M yi - 1 ; M = (4) ; pi = (2) ; y i = (4) (25b) D = [(36y i 1) 2 1]p i + 1 M 2 Wszystkie wartości odpowiednio dla ruletki aerykańskiej (k=38) i europejskiej (k=37). Wartości i, j wybierają wszystkie ożliwe pary obstawionych nuerów ruletki. h) odchylenie standardowe odchylenia standardowego na 100 spinów (26) dsd100 = 10 dsd1 ; dsd 1 = (25) Oczywiście, jeśli ilość zanotowanych spinów n dąży do nieskończoności wszystkie odchylenia standartowe (błędy statystyczne) podstawowych paraetrów statystycznych dążą do 0. 5.Progra użytkowy. Przedstawione powyżej obliczenia stanowią najważniejszą część algorytu który stanowi podstawę prograu użytkowego. Oprócz, przedstawionego w pełni powyżej, "sugerowanego obstawienia" w prograie istnieją opcje jeszcze dwóch obstawień: "proste obstawienie" i "twoje obstawienie". Istota "prostego obstawienia" (jeżeli istnieje) jest wyjaśniona we wstępie zakładki "pooc". Nieco szerszego wyjaśnienia wyaga "twoje obstawienie". "Sugerowane obstawienie" jest pewną propozycją gry na uszkodzony kole przedstawioną przez autora prograu, jest to propozycja bezpieczna czyli z dość niski ryzykie ruiny. Nie każdy z użytkowników prograu usi się z nią zgadzać, np. niektórzy preferują grę bardziej agresywną, z wyższy obstawienie. Swoje propozycje użytkownik prograu oże realizować poprzez "twoje obstawienie". "Twoje obstawienie" oże służyć również do dostosowania obstawienia do obowiązujących na kole stawek i liitów obstawień. Warto przyponieć, że opcja "twoje obstawienie" jest dostępna w każdej chwili użytkowania prograu, w związku z ty pełni również pewną rolę dydaktyczną, pokazuje do czego oże prowadzić gra na nieznany kole lud nieprzeyślane obstawienie. Liczenie podstawowych paraetrów statystycznych i ich odchyleń standardowych dla "prostego obstawienia" i "twojego obstawienia" odbywa się tą saą etodą jak dla "sugerowanego obstawienia". Progra użytkowy rozpoczyna analizę zanotowanych spinów jeżeli ich sua przekroczy 200 (n > 200). Jest to zgodne z założenie uczyniony w powyższych obliczeniach (pkt.1). Biorąc pod uwagę przedstawione obliczenia ożna przedstawić szacunkowe wyliczenie inialnej wielkości całkowitej przewagi EM, jeśli koło ruletki jest uszkodzone, w zależności od liczby zanotowanych spinów n:

8 - 8 - dla n = 500 inialna wartość EM = 0.18 n = 3000 EM = n = 6000 EM = 0.05 n = EM = 0.04 n = EM = Oznacza to, że jeśli, dla danej liczby n zanotowanych spinów, progra nie wykazuje uszkodzenia koła to odpowiednia wartość EM wskazuje, szacunkowo, aksyalną wartość całkowitej przewagi jaka oże istnieć na ty kole jeśli progra wykaże jego uszkodzenie podczas dalszego notowania spinów. Autor prograu, biorąc pod uwagę duże doświadczenie, doradza, w przypadku gdy koło nie jest uszkodzone, zakończyć notowanie spinów dla n = 6000, ale użytkownik oże być innego zdania, oże notować i wprowadzać do prograu dowolną ilość spinów n.