Metody numeryczne. materiały do ćwiczeń dla studentów. 1. Teoria błędów, notacja O

Transkrypt

1 Metody nueryczne ateriały do ćwiczeń dla studentów 1. Teoria błędów, notacja O 1.1. Błąd bezwzględny, błąd względny 1.2. Ogólna postać błędu 1.3. Proble odwrotny teorii błędów - zasada równego wpływu - etoda równych kresów górnych błędów bezwzględnych - etoda jednakowego poiaru 1.4. Notacja O Materiały przygotowane w raach projektu Uruchoienie unikatowego kierunku studiów Inforatyka Stosowana odpowiedzią na zapotrzebowanie rynku pracy ze środków Prograu Operacyjnego Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego nr uowy UDA POKL /09-

2 I. Wiadoości wstępne Wyagana jest znajoość następujących pojęć: pochodna funkcji; pochodna cząstkowa funkcji wielu ziennych; różniczka funkcji wielu ziennych; rozwinięcie Taylora funkcji wielu ziennych; oraz uiejętności: obliczania pochodnych; obliczania pochodnych cząstkowych. Obliczenia prowadziy z dokładnością do (co najniej) czterech iejsc po przecinku, o ile treść zadania nie podaje innej dokładności. II. Zadania zad. 1) Wyznaczyć błąd bezwzględny Δ oraz błąd względny, gdy liczba jest przybliżana przez jej obcięcie do czterech iejsc po przecinku. Jakie są kres górny błędu bezwzględnego Δ oraz kres górny błędu względnego (z dokładnością do pięciu iejsc po przecinku)? a) = 0,321947, b) = 2, , zad. 2) Dysk twardy w pewny koputerze a pojeność MB. Użytkownik tego koputera oszacował, że dysk poieści około 120 GB danych. Wiedząc, że 1 GB = 1024 MB, oblicz rzeczywistą pojeność dysku w GB, a pote błąd bezwzględny i względny szacowania pojeności dysku w GB. zad. 3) Obliczyć kresy górne błędów bezwzględnego i względnego wartości zagregowanego popytu obliczanych przy zaokrąglonych cenach, gdy popyt jest opisany forułą,, = , a ceny towarów wynoszą = 2 ± 0,01, = 3 ± 0,12, = 2 ± 0,1. zad. 4) Objętość 1 kilograa pewnego gazu w zależności od (wyrażonej w olach) liczby cząsteczek trzech jego składowych:, i wyraża sie wzore Uniwersytet Ekonoiczny w Krakowie 2

3 ,, = +. Obliczyć kresy górne błędów bezwzględnego i względnego popełnianych przy obliczaniu objętości kilograa gazu, jeśli liczby cząsteczek składowych tego gazu wynoszą = 4 ± 0,04, = 1 ± 0,02, = 2 ± 0,01, zad. 5) Pole powierzchni działki trójkątnej ożna obliczyć przy poocy wzoru Herona!, ", # = 1 4 $4 " + " #, gdzie, ", # to długości krawędzi działki. Z jaką dokładnością należy znać wartości 3&, " 4&, # 5&, by pole powierzchni działki było obliczone z dokładnością 0,1? Wyniki podać w oparciu o etody: jednakowo dokładnego poiaru, równych kresów górnych błędu bezwzględnego i równego wpływu. zad. 6) Proień podstawy walca wynosi ( 2#&, a wysokość walca h 3#&. Z jaką dokładnością należy określić (, h oraz *, aby objętość walca obliczyć z dokładnością do 0,1#& (Za przybliżenie początkowe * przyjij wartość 3,14)? zad. 7) W związku ze zbliżający się końce okresu wsparcia dla systeu operacyjnego Okna XL, adinistrator sieci uniwersyteckiej planuje aktualizację oprograowania na podległych u aszynach. W ty celu przygotowuje on listę + systeów operacyjnych, wraz z ożliwością posortowania listy ze względu na różne kryteria. Adinistrator rozważa ipleentację jednego z następujących algorytów sortujących: a Sortowanie przez wstawianie: w : ty kroku 1 : + ay posortowane pierwsze : 1 eleentów listy. Wybieray : ty eleent listy i wstawiay go we właściwe iejsce poprzez porównanie go z eleentai już posortowanyi. b Sortowanie przez wybieranie: w : ty kroku 1 : + ay posortowane : 1 najniejszych eleentów listy. Spośród pozostałych eleentów wybieray najniejszy i zaieniay go w liście z eleente na pozycji : tej. Wyznacz złożoność obliczeniową tych algorytów (oblicz liczbę wykonywanych operacji porównywania) i wskaż lepszy z nich (pod względe złożoności. zad. 8) Wyznacz liczbę operacji nożenia oraz liczbę operacji dodawania wykonywanych podczas rozwiązywania układu + równań liniowych o + niewiadoych etodą eliinacji Gaussa-Jordana i na tej podstawie podaj złożoność obliczeniową algorytu. Uniwersytet Ekonoiczny w Krakowie 3

4 III. Zadania do saodzielnego rozwiązania zad. 1) Wyznaczyć błąd bezwzględny Δ oraz błąd względny, gdy liczba jest przybliżana przez liczbę. Jakie są kres górny błędu bezwzględnego Δ oraz kres górny błędu względnego (z dokładnością do czterech iejsc po przecinku)? a) = 1,129124, = 1,12; b) = 1,129124, = 1,13; c) = *, = 3,14 zad. 2) Obliczyć błędy bezwzględny i względny wartości podanych funkcji obliczanych dla wskazanych wartości arguentów. a) L, = ln + ln, = 10 ± 0,001, = ± 0,0001; M b) L,, = , = 1 ± 0,02, = 1 ± 0,03, = 3 ± 0,02. zad. 3) Zgodnie z prawe powszechnego ciążenia dwa ciała o asach N :O i & :O odległe od siebie o ( etrów przyciągają się wzajenie z siłą gdzie przyjujey, że Q = M PN, &, ( = QN& (, R S TU V przyciągania ciał o asach N = 4 ± MMM &. W. Oblicz błąd bezwzględny i względny siły X MM :O, & = 2 ± MM :O i odległych o ( = 2 ± zad. 4) Dana jest funkcja L i przybliżone wartości arguentów. Z jaką dokładnością należy określić wartości, oraz, aby obliczyć wartość L z dokładnością 0,03? Zadanie rozwiązać trzea etodai i porównać otrzyane wyniki. a) L,, =, 2, 5, 1; b) L,, = YZ[Z\ + +, 1, 0, 1. zad. 5) Z Centru Lotów Kosicznych w Krakowie przyszło polecenie, aby skorygować położenie stacji kosicznej Miś, znajdującej się na orbicie okołozieskiej. W celu ziany położenia stacji należy posłużyć się trzea silnikai anewrowyi. Czas działania każdego z silników powinien wynieść 2 inuty, 4 inuty, 3 inuty. Zianę położenia stacji (w etrach), powstałą w wyniku działania silników, opisuje funkcja: L,, = +. Oblicz z jaką dokładnością należy określić wielkości, i tak, aby korekta położenia stacji nie spowodowała błędu położenia przekraczającego 0,3 etra. Zadanie rozwiąż etodai równego wpływu, równych kresów i poiaru jednakowo dokładnego, a wynik podaj w sekundach. Uniwersytet Ekonoiczny w Krakowie 4

5 zad. 6) Wyznacz liczbę operacji nożenia oraz liczbę operacji dodawania wykonywanych podczas wyznaczania: a) acierzy odwrotnej do acierzy + + etodą eliinacji Gaussa-Jordana; b) rzędu acierzy + + etodą eliinacji Gaussa; i na tej podstawie podaj złożoność obliczeniową algorytu. Uniwersytet Ekonoiczny w Krakowie 5

6 IV. Odpowiedzi zad. 1) zad. 2) zad. 3 zad. 4) a) Δ = 0,009124, Δ = 0,0092 0,00808, = 0,0081 b) Δ = 0,000876, Δ = 0,0009 0,000776, = 0,0008 c) Δ = * 3,14 0, , Δ = 0,0016 = _`,a 0, , _ = 0,0006 a) ΔL = 0,0011, L, = 0 ± 0,0011, L nie ożna zastosować b) ΔL = 0,36, L,, = 12 ± 0,36, L = 0,03 ΔP = Odpowiedź: zasada równego wpływu: :O & c, P = = 4,95% a) Δ Y = 0,002, Δ [ = 0,01, Δ \ = 0,001 b) nie ożna zastosować (L \ e 1,0, 1 = 0) etoda równych kresów górnych błędów bezwzględnych a) Δ Y = Δ [ = Δ \ = 0,001875; b) Δ Y = Δ [ = Δ \ = 0,005 etoda poiaru jednakowo dokładnego a) Δ Y = 0,0024, Δ [ = 0,006, Δ \ = 0,0012 b) Δ Y = 0,0075, Δ [ = 0, Δ \ = 0,0075 zad. 5) zad. 6) etoda równego wpływu: Δ Y = 6 sekund, Δ [ = f g sekundy, Δ \ = 3 sekundy etoda równych kresów górnych: Δ Y = Δ [ = Δ \ = X a sekundy poiar jednakowo dokładny: Δ Y = X h sekundy, Δ [ = i h sekundy, Δ \ = h a sekundy Uniwersytet Ekonoiczny w Krakowie 6

7 a) liczba operacji nożenia: jk+ : : 1+ 1l + jk l = , liczba operacji dodawania: j+ : j ++ 1 łączna liczba operacji: , złożoność obliczeniowa: o+. b) liczba operacji nożenia: jp+ : 1q+ 1 : 1 liczba operacji dodawania: jp+ : 1q+ 1 : 1 łączna liczba operacji: , złożoność obliczeniowa: o+. = , 2 = , 3 = , 3 Uniwersytet Ekonoiczny w Krakowie 7