STATYSTYKA OPISOWA ZARZĄDZANIE

Transkrypt

1 STATYSTYKA OPISOWA ZARZĄDZAIE STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "1

2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD ĆWICZEIA Statystya wprowadzenie 3 Sale pomiarowe 4 Miary opisu statystycznego badanej zbiorowości jednowymiarowej 4 MIARY TEDECJI CETRALEJ 5 Miary zmienności 7 Inne miary 8 ZALEŻOŚĆ POMIĘDZY ZMIEYMI 10 Badanie zależności - zależność liniowa 13 Zależność liniowa - funcja regresji liniowej 14 Dla dwóch zmiennych 14 Dla więcej niż dwóch zmiennych 14 SZEREGI CZASOWE 16 Przeciętny poziom zjawisa 16 Opis zmian szeregu dynamicznego. 16 Wsaźnii dynamii indesy 17 Średnie tempo zmian zjawisa w czasie. 18 Indesy indywidualne i zespołowe. 18 Trend wyraża ogólną tendencję rozwojową zjawisa 19 Sezonowość 20 Lista zadań 22 TEORIA 28 STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "2

3 Statystya wprowadzenie Statystya łac. status państwo szeroo pojmowany zbiór informacji o państwie bądź metoda rozumowania na podstawie liczb polegająca wyrywaniu oreślonych prawidłowości wśród chaotycznych zjawis masowych. Statystya naua tratująca o ilościowych metodach badania zjawis procesów) masowych. Badanie statystyczne ogół prac mających na celu poznanie strutury oreślonej zbiorowości statystycznej. Zbiorowość statystyczna, populacja statystyczna zbiór dowolnych elementów osób, przedmiotów, fatów) podobnych pod względem oreślonych cech ale nie identycznych) poddanych badaniu statystycznemu. Jednosta statystyczna element sładowy zbiorowości statystycznej poddanej obserwacji lub pomiarowi. Zbiorowość populację) generalną stanowią wszystie elementy będące przedmiotem badania, co do tórych chcemy formułować wniosi ogólne. Zbiorowość próbna próba) podzbiór populacji generalnej, obejmujący część jej elementów. Badaniom podlega próba, wniosi są uogólniane na zbiorowość generalną. Próba mała n 30, próba duża n > 30. Odniesienie wyniów próby do zbiorowości generalnej jest możliwe, gdy próba jest reprezentatywna. Reprezentatywność zależy od: nieobciążoności losowy dobór elementów, strutura próby jest podobna do strutury populacji. liczności próba powinna mieć odpowiednią liczbę elementów. Obserwacja statystyczna proces zbierania informacji statystycznych całowite wszystie elementy zbiorowości generalnej częściowe obserwacji podlega tylo część zbiorowości generalnej Cechy statystyczne własności, tórymi charateryzują się jednosti statystyczne obiety). Cechy stałe wspólne wszystim jednostom danej zbiorowości i nie podlegają badaniu, ale decydują o przynależności: rzeczowe co lub ogo poddajemy badaniu, przestrzenne gdzie badamy, czasowym ores badania. Cechy zmienne własności, tóre różnią poszczególne jednosti statystyczne Cechy niemierzalne jaościowe, walitatywne oreślane słownie np. płeć, rozmieszczenie. Cechy mierzalne ilościowe, wantytatywne oreślane za pomocą jednoste fizycznych np. g, cm, szt. Cechy quasi mierzalne o charaterze porządowym np. oceny bardzo dobra 5.0, plus dobry 4.5, dobry 4.0, plus dostateczny 3.5, dostateczny 3.0, niedostateczny 2.0 Podział cech mierzalnych: Soowe dysretne) przyjmują sończony lub przeliczalny zbiór wartości np. liczba dzieci, liczba osób w grupie dzieańsiej. STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "3

4 Ciągłe przyjmują ażdą wartość z oreślonego przedziału liczbowego ilość miejsc po przecinu zależy od doładności pomiarowej. Stymulanty taie cechy, tórych wyższa wartość pozwala zawalifiować daną jednostę statystyczną jao lepszą z puntu widzenia badania. Destymulanty taie cechy, tórych wyższe wartości świadczą o niższej pozycji jednosti w zbiorowości. ominanty wszystie odchylenia nominant od normalnego poziomu są zjawisiem negatywnym. Sale pomiarowe Sala pomiarowa - system symboli odujący wynii pomiaru, dane. Symbole te charateryzują badane obiety pod względem oreślonej zmiennej. Sala nominalna - wartości na tej sali nie mają oczywistego uporządowania. Jedyną relacją jet relacja porównująca dwie wartości na sali jest równość. Wśród sal nominalnych wyróżnia się sale dychotomiczne przyjmujące tylo dwie wartości. W przypadu tej sali wartości zmiennej wyrażane są za pomocą symboli etyiet). Jeżeli symbole te będą liczbami należy pamiętać, że nie należy wyonywać na nich działań arytmetycznych. Przyłady zmiennych: płeć, ulubiony rodzaj napoju, województwo w jaim mieszamy. Sala porządowa - wartości mają jasno oreślony porząde, jedna nie są dane odległości pomiędzy nimi. Oprócz relacji równości jest oreślona relacja porządu. Dzięi czemu można porównywać ze sobą ategorie. Wartości zmiennej wyrażone są za pomocą symboli i nie należy, w przypadu iedy symbole są liczbami wyonywać na nich działań arytmetycznych. Przyłady zmiennych: wyształcenie, poziom zadowolenia, stadium choroby, odczyn OB, Sala ilościowa - interwałowa przedziałowa) - różnice pomiędzy wartościami można zinterpretować. ie można interpretować ilorazu dwóch wartości, gdyż punt zero jest wsazany umownie. Przyłady zmiennych: temperatura w wyrażona w C, F, data alendarzowa. Sala ilościowa - ilorazowa stosunowa) - poza różnicami również i iloraz ma swoją interpretację. Przyłady: czas rozwoju choroby, waga, wzrost, ciśnienie, liczba pacjentów obsłużonych w czasie jednej zmiany, temperatura w wyrażona w K. Dla sali ilościowej wartości cechy wyrażone są za pomocą wartości liczbowych i wszelie działania arytmetyczne są dopuszczalne pamiętać należy o brau interpretacji dla ilorazu w sali ilościowej). Miary opisu statystycznego badanej zbiorowości jednowymiarowej Grupowanie: typologiczne - wg. cech terytorialnych, rzeczowych, czasowych. Ma na celu wyodrębnienie grup różnych jaościowo, STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "4

5 wariancyjne - ma na celu uporządowanie zbiorowości i poznanie jej strutury. Polega na łączniu w lasy jednoste o odpowiednich wartościach cech statystycznych. Szeregi statystyczne: Szereg statystyczny ciąg wielości statystycznych uporządowanych według oreślonych ryteriów. Szereg szczegółowy uporządowany ciąg wartości badanej cechy statystycznej. Szereg rozdzielczy zbiorowość statystyczna podzielona na części lasy według oreślonej cechy jaościowej bądź ilościowej z podaniem liczebności ażdej z wyodrębnionych las. Szereg rozdzielczy puntowy buduje się jeśli liczba wariantów cechy jest niewiela. Szereg rozdzielczy przedziałowy buduje się jeśli liczba wariantów jest duża, bądź cecha jest ciągła. Szereg czasowy dynamiczny, chronologiczny) podstawą jest zmiana badanego zjawisa w czasie. szeregi czasowe oresów informują o poziomie zjawisa w oresach czasowych np. miesięczna producja szeregi czasowe momentów informują o wielości zjawisa w danym momencie np. liczba mieszańców na dzień 31 grudnia. Wsaźni strutury - liczebność względna, fracja, odsete, częstość występowania danego wariantu cechy - stosune liczby jednoste o dane wartości do liczebności próby ϖ i n i,, i 1,2,..., ϖ 1 i 0 ϖ i 1 Rozład empiryczny uzysany na podstawie badania statystycznego opis wartości przyjmowanych przez cechę statystyczną w próbie przy pomocy częstości ich występowania. Kolejnym wartością zmiennej przyporządowujemy częstości liczebności) ich występowania. n i Dystrybuanta empiryczna przyporządowanie olejnym wariantom cechy statystycznej odpowiadających im częstości sumulowanych. Rozstęp - liczba poazująca różnicę pomiędzy wartością masymalną i minimalną. R x max x min. Rozpiętość przedziału lasowego - różnica pomiędzy górną x 1i a dolną x 0i granicą i-tego przedziału lasowego h i x 1i x 0i. Histogram zbiór prostoątów, tórych podstawy wyznaczone na osi odciętych, stanowią rozpiętość poszczególnych przedziałów lasowych, natomiast wysoości są oreślone na osi rzędnych przez liczebności częstości) odpowiadające poszczególnym przedziałom lasowym. Wyznaczany dla szeregów rozdzielczych przedziałowych. MIARY TEDECJI CETRALEJ x i Średnia arytmetyczna - suma wartości cechy mierzalnej podzielona przez liczbę jednoste badania. STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "5

6 x x 1 + x x dla szeregów rozdzielczych puntowych oraz przedziałowych: x i n i!x i n i x x, gdzie!x i jest środiem przedziału!x i x + x 0i 1i. 2 n i Adam Sojda Dominanta - moda, modalna, wartość najczęstsza - wartość cechy statystycznej, tóra pojawia się najczęściej. Ozn.,. Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego wyznaczana ze wzoru: n D O x n n 0 n gdzie: - począte przedziału dominanty x 0 - rozpiętość przedziału dominanty h 0 - liczebność w przedziale dominanty n 0 x i n / n + - liczebność przed / za przedziałem dominanty bądź zero. Kwantyle Kwantylem rzędu p 0 p 1 ozn. nazywamy taą wartość cechy, że obserwacji w zbiorze ma wartości nie więsze od niej. Do najważniejszych wantyli należą: wartyle co 25%, decyle co 10%, percentyle co 1%). Kwartyl pierwszy - - dzieli zbiorowość uporządowaną na dwie części w ten sposób, że 25% jednoste zbiorowości na wartości cechy niższe bądź równe wartylowi pierwszemu, a 75% ma wartości równe bądź wyższe od tego wartyla. Kwartyl drugi - - mediana dzieli zbiorowość uporządowaną na dwie części w ten sposób, że 50% jednoste zbiorowości na wartości cechy niższe bądź równe wartylowi pierwszemu, a 50% ma wartości równe bądź wyższe od tego wartyla. Kwartyl trzeci - - dzieli zbiorowość uporządowaną na dwie części w ten sposób, że 75% jednoste zbiorowości na wartości cechy niższe bądź równe wartylowi pierwszemu, a 25% ma wartości równe bądź wyższe od tego wartyla. Dla szeregu szczegółowego oraz rozdzielczego puntowego: n i ) + n 0 n + ) h 0 Q 2 Q 3 Q 1 D O M O ) p p 100% p x p [ ]+1 p! 1 2 x + x p p+1) p! [x] oznacza całość z x np. [4,99]4 STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "6

7 Adam Sojda dla szeregu rozdzielczego przedziałowego p x 0 + p n h 0 n 0 gdzie: - począte przedziału wantyla x 0 - rozpiętość przedziału wantyla h 0 n 0 - liczebność w przedziale wantyla n - liczebność sumulowana w przedziale przed przedziałem wantyla. Miary zmienności Miary zmienności - rozproszenia, dyspersji - informują o stopniu zróżnicowania zbiorowości pod względem badanej cechy. Wariancja - średnia arytmetyczna wadratów odchyleń poszczególnych wartości od wartości średniej arytmetycznej badanej zbiorowości. Wzory dla całej populacji. szereg szczegółowy s 2 szereg rozdzielczy s 2 Wariancja może być też wyznaczona ze wzoru: s 2 x 2 x 2 2 x i x 2 i n i gdzie x 2, x 2. W przypadu, iedy badana zbiorowość jest podzielona na grup, dla ażdej z nich znane są: średnia arytmetyczna, wariancja, liczebność. Wówczas: średnia arytmetyczna: x gdzie: x i n i n i n i x i x ) 2 x i x ) 2 n i wariancja dla badanej zbiorowości wyraża się wzorem: s 2 s 2 i + s 2 x ) n i STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "7

8 Adam Sojda s 2 i n i wariancja wewnątrzgrupowa s 2 i s 2 w, x i x n i wariancja międzygrupowa s 2 x. Wariancja dla próby wariancja szacowana jest ze wzoru: ) 2 x i x!s 2. 1 Wariancja jest również momentem centralnym rzędu drugiego.ogólnie moment centralny x i x x i x rzędu wyznaczamy ze wzoru: m, m. n i ) 2 ) s 2 M n i ) 2 ) n i n i Typowy obszar zmienności x s < x typ < x + s Odchylenie ćwiartowe - jest połowa różnicy między trzecim a pierwszym wartylem: Q Q Q Typowy obszar zmienności M e Q < x typ < M e + Q Współczynni zmienności - jest ilorazem bezwzględnej miary zmienności i wartości miary przeciętnego poziomu. Jest to miara niemianowana wyrażona w procentach. Przyjmuje się, że jego wartość mniejsza niż 10 % wsazuje iż cech nie wyazuje zróżnicowania statystycznie istotnego. Klasyczny współczynni zmienności: V x s x Pozycyjny współczynni zmienności: V Q Q, V Q1 Q M 3 Q Q 3 1 e Q 3 + Q 1 Inne miary Współczynni asymetrii - sośności - informuje, czy przeważają wartości poniżej, czy też powyżej poziomu przeciętnego. rozład symetryczny - x D O M e asymetria prawostronna - przeważnie - x > M e > D O asymetria lewostronna - przeważnie - x < M e < D O Współczynnii asymetrii: STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "8

9 Adam Sojda lasyczny: lasyczno- pozycyjny A m3 s 3 A s x D O s pozycyjny A Q Q Q 3 2 Q 3 Q 2 ) Q 2 Q 1 ) ) + Q 2 Q 1 ) Kurtoza - miara oncentracji - miara supienia wartości zmiennej woół średniej. K m 4 s 4 Im więsza wartość K, tym więsza oncentracja wartości woół średniej. Dla rozładu normalnego K 3. Przyjmuje się, że K > 3 rozład jest wysmuły leptourtyczny) - więsze supienie woół średniej. K < 3 rozład spłaszczony platyurtyczny) mniejsze supienie woół średniej. Bardzo często podaje się za wartość urtozy jao K 3 i wtedy odnosi się wynii do wartości 0. Wielobo oncentracji Lorenza a osi odciętych odłada się sumulowane częstości względne w %, natomiast na osi rzędnych procentowe sumulowane częstości względne łącznego funduszu cechy. Łącząc punty o tych współrzędnych otrzymujemy tzw. Krzywą oncentracji Lorenza. Dla równomiernej oncentracji wszystie punty leżą na przeątnej wadratu o bou 100, przeątna ta nosi nazwę linii równomiernego rozdziału. Powierzchnia, tóra jest zawarta pomiędzy linią równomiernego podziału a rzywą oncentracji Lorenza nazywa się powierzchnią oncentracji. Im więsza oncentracja tym powierzchnia oncentracji więsza. Masymalna powierzchnia jest równa połowie pola wadratu. Stosune pola powierzchni oncentracji do połowy pola wadratu nazywamy współczynniiem oncentracji Lorenza. a 5000 gdzie a pole powierzchni oncentracji, przyjmując wadrat o bou 100. przy czym 0 bra oncentracji, a dla 1 oncentracja absolutna. STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "9

10 ZALEŻOŚĆ POMIĘDZY ZMIEYMI Zależność statystyczna zmiennych losowych związe pomiędzy dwoma zmiennymi losowymi X, Y. Pojmowany jao możliwość doładniejszego przewidywania wartości jednej zmiennej na podstawie znanych wartości drugiej zmiennej. W przypadu, iedy nie znamy wartości drugiej zmiennej przewidywanie nie jest już taie doładne. Zależność stochastyczna zachodzi, gdy zmiana wartości jednej zmiennej losowej powoduje zmianę rozładu prawdopodobieństwa drugie zmiennej. iezależność stochastyczna zmieniającym się wartościom jednej cechy towarzyszą taie same rozłady cechy drugiej. Związe stochastyczny istnieje wtedy, gdy zmieniającym się wartościom jednej cechy towarzyszą istotnie różne rozłady warunowe cechy drugiej. Związe orelacyjny zmieniającym się wartościom jednej cechy towarzyszą zmiany średnich warunowych drugiej. Korelacja dodatnia występuje wtedy, gdy wzrostowi wartości jednej cechy odpowiada wzrost wartości średnich drugiej cechy. Korelacja ujemna występuje wtedy, gry wzrostowi wartości jednej cechy odpowiada spade średnich wartości drugiej cechy. Tabele rzyżowe - inaczej tabele rozdzielcze, ontyngencji dla dwóch wsaźniów dwudzielcze) przedstawiają łączne rozłady dwóch lub więszej ilości zmiennych. Są prezentowane w postaci macierzowej. Każda omóra w tabeli poazuje ilość obietów, spełniającą oreśloną ombinację cech. X Y y1 yj y x1 n11 n1j n1 xi ni1 nij ni xw nw1 nwj nw Rozład warunowy poazuje rozłożenie liczebności przy wartościach jednej cechy, pod waruniem, że druga przyjmuje oreśloną wartość. Rozład brzegowy poazuje rozłożenie obserwacji oddzielnie dla ażdej z cech. Metoda graficzna oceny związu wyres puntowy u uładzie współrzędnych prostoątnych, tzw. diagram orelacyjny, diagram puntowy, orelacyjny wyres rozrzutu. Metoda analityczna oceny związu - dla cech wyrażonych w sali nominalnej, porządowej oraz ilościowej można wyorzystać współczynnii oparte na wartości statystyi chi-wadrat χ 2. Dla cechy w sali ilościowej mówimy o związach liniowych i do oceny taiego związu stosuje się: owariancję, współczynni orelacji liniowej Pearsona. W STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "10

11 Adam Sojda przypadu związu rzywoliniowego stosuje się wsaźnii orelacji Pearsona oraz współczynni rzywoliniowości. W przypadu cech ilościowych dane przeważnie są przedstawiane w postaci szeregu szczegółowego. Jednaże nietóre miernii wymagają przedstawienia danych w postaci tabeli rzyżowej wsaźnii orelacji Pearsona). Statystya chi-wadrat χ 2 - porównuje wartości obserwowane z oczeiwanymi. wartość statystyi wyznaczana jest zgodnie ze wzorem: χ 2 O E) 2 E 2.1) gdzie: O - wartość obserwowana, empiryczna E - wartość oczeiwana Dla tabeli rzyżowej wartość statystyi chi-wadrat wyznaczana jest jao ) 2 w n χ 2 ij ˆn ij 2.2) j1 ˆn ij gdzie: - wartości obserwowane z tabeli rzyżowej, n ij ˆn ij - wartości oczeiwane dla tabeli rzyżowej. Wartości te są wyznaczane przy założeniu, że zmienne są niezależne z następującego wzoru: ˆn ij n ii n i j n 2.3) gdzie: n ii n ij n i - suma liczebności w i-tym wierszu j1 n i j n ij n j - suma liczebności w j-tej olumnie w w n n i j1 n j a ta zdefiniowanej statystyce chi-wadrat bazują miary zależności pomiędzy zmiennymi jaościowymi. Poniżej przedstawiono najczęściej stosowane miary. Współczynni φ Yule a phi Yule a) - oreślony wzorem: ϕ χ 2 n STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "11

12 współczynni zbieżności T- Czuprowa - oreślony wzorem: T n χ 2 w 1) 1 ) współczynni V Cramera - oreślony wzorem: V χ 2 nmin{ w 1), 1) } Adam Sojda Uwagi: Współczynni V Cramera może być oparty bezpośrednio na statystyce chi-wadrat albo na współczynniu φ Yule a. Jeśli w wówczas T V. W przypadu tablic o wymiarach 2 2 wszystie współczynnii są sobie równe: ϕ T V. Dodatowo: przyjmują wartość zero, w przypadu iedy cechy, zmienne są niezależne, są symetryczne - nie ma znaczenia, tóra zmienna jest uznana za zależną, a tóra za niezależną, ja i również nie ma znaczenia, tóra zmienna jest reprezentowana przez wiersz, a tóra przez olumny, im więsza siła zależności, tym wartość liczbowa jest wyższa, są uniwersalne, ponieważ jeśli cecha mająca charater ilościowy jest podzielona na ategorie tworzone przez odpowiednie przedziały liczbowe można utworzyć tabele rzyżową i wyznaczyć te współczynnii. Inną miarą stosowaną przy badaniu zależności pomiędzy cechami o charaterze jaościowym jest współczynni ontyngencji C Pearsona wyznaczany ze wzoru: C χ 2 χ 2 + n współczynni ten przyjmuje wartości z przedziału od 0 do 1, przy czym do wartości 1 jest zbieżny wraz ze wzrostem liczby obserwacji. Do interpretacji stosuje się sorygowaną postać współczynnia, dzieląc wartość wyznaczoną ze wzoru powyżej przez wartość masymalną jaą może przyjąć ten współczynni dla tablicy o wymiarach w. C max 1 + w 1 w 2 wartość standaryzowana jest równa: C or C C max STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "12

13 Adam Sojda Badanie zależności - zależność liniowa W przypadu zmiennych wyrażonych w sali ilościowej na początu badana jest zależność liniowa pomiędzy zmiennymi. Co oceny związu orelacyjnego liniowego używa się współczynnia zwanego owariancją. owariancja - średnia z iloczynów odchyleń wartości zmiennych w stosunu do ich wartości średniej. wyrażana jest z następującego wzoru: cov X,Y ) n x i x ) y i y n ) Uwaga: owariancja może być wyznaczana również ze wzoru: cov X,Y ) xy x y jeżeli wartość owariancji jest równa zero, to pomiędzy zmiennymi nie ma związu orelacyjnego liniowego. Zna owariancji jest zgodny z ieruniem zależności. Jeśli zależność jest dodatnia, to owariancja przyjmuje wartości dodatnią, jeśli ujemna, to ujemną. Kowariancja może przyjmować następujące wartości liczbowe: s X s Y cov X,Y ) s X s Y Współczynni orelacji liniowej Pearsona - jest to współczynni oreślający ierune i siłę związu orelacyjnego linowego pomiędzy dwoma zmiennymi. Wyznacza się go ze wzoru: cov X,Y r XY ) s X s Y współczynni ten z uwagi na wartości ograniczające owariancję przyjmuje wartości z przedziały od -1 do 1. O sile zależności orelacyjnej pomiędzy zmiennymi świadczy wartość bezwzględna tego współczynnia. W przypadu, iedy współczynni ten przyjmuje wartości -1 albo 1, wtedy pomiędzy zmiennymi istnieje zależność liniowa funcyjna. Oznacza to, że zależność pomiędzy zmiennymi można opisać doładnie za pomocą funcji liniowej. Funcja ta jest rosnąca jeśli współczynni orelacji przyjmuje wartość 1, a malejąca w przypadu, gdy jest równy -1. Wartość równa zero wsazuje na bra zależności liniowej. STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "13

14 Adam Sojda Zależność liniowa - funcja regresji liniowej Regresja liniowa - metoda estymowania wartości oczeiwanej zmiennej Y, przy znanych wartościach zmiennej lub zmiennych X. Zmienna Y zwana jest zmienną objaśnianą, endogeniczną zmienną zależną, zmienna bądź zmienne X zwane są ziemnymi objaśniającymi, egzogenicznymi, zmiennymi niezależnymi. Regresja zwana jest linową, gdyż zależność pomiędzy zmiennymi w estymowanym modelu są liniowe. Załadamy, że znane są obserwacje na wszystich zmiennych. Dla dwóch zmiennych Budowany jest model postaci: ŷ a 0 + a 1 x wartości poszczególnych parametrów modelu można oszacować za pomocą wzoru: cov a 1 x, y ), s x 2 a 0 y a 1 x reszta to różnica pomiędzy wartości rzeczywistą zmiennej objaśnianej a wartością otrzymaną z modelu na podstawie wartości e i y i ŷ i. Paramenty modelu oszacowano załadając, że suma wadratów reszt jest najmniejsza inaczej Metoda ajmniejszych Kwadratów). Wariancja sładnia resztowego oraz odchylenie standardowe reszt ) y i ŷ i S 2 e 2, S e 2 S e. Błąd oszacowania poszczególnych parametrów modelu ) S e 2 x i 2 s a 0, s a 1. x i x x i x ) 2 ) x i S e 2 ) 2 Dla więcej niż dwóch zmiennych W przypadu więszej liczby zmiennych objaśniających model ma postać: ŷ a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a x Do oszacowania parametrów za pomocą MK dane zapisujemy za pomocą wetora i macierzy. Wetor zaobserwowanych wartości zmiennej objaśnianej, macierz obserwacji dla zmiennych objaśniających, wetor parametrów modelu: STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "14

15 y 1 1 x 11 x 21! x 1 a 0 y y 2, X 1 x 12 x 22! x 2, a a 1.!!!!!! y n 1 x 1n x 2n! x n a Parametry szasowane są ze wzoru: Wetor wartości zmiennej objaśnianej na podstawie modelu można wyznaczyć jao ŷ Xa. Wariancja sładnia resztowego wyznaczana jest ze wzoru: S 2 e Macierz wariancji i owariancji ocen parametrów struturalnych D 2 a. a głównej przeątnej znajdują się wariancje ocen parametrów struturalnych, po pierwiastowaniu otrzymujemy błędy standardowe ocen poszczególnych parametrów struturalnych. Współczynni zbieżności i determinacji Współczynnii zbieżności i determinacji służą do oceny dopasowania modelu do rzeczywistych wartości. Współczynni zbieżności ϕ 2 Współczynni determinacji R 2 a X T X) 1 X T y y i ŷ i ) 2 Dla modeli szacowanym MK zachodzi równość ϕ 2 + R 2 1. y i y ) 2 ŷ i y ) 2 y i y ) 2 yi ŷ i ) 2 1 ) 1 ) S e X T X Współczynni zbieżności informuje w jaim procencie model nie opisuje zmian zmiennej objaśnianej, a współczynni determinacji w jaim opisuje. STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "15

16 Adam Sojda SZEREGI CZASOWE Szeregiem czasowym nazywać będziemy ciąg wyniów obserwacji uporządowany w czasie tzn. { t, y t }, gdzie: t - numer olejnych jednoste czasu, zmienna niezależna yt - wielość badanego zjawisa, cechy w momencie t, zmienna zależna. Szeregi czasowe momentów odnoszą się do zjawisa zmieniające się wolno, stąd są ujmowane w ściśle oreślonych momentach np. dzień 31 XII. Szeregi czasowe oresów odnoszą się do rozmiaru całego zjawisa w badanym oresie. Przeciętny poziom zjawisa dla szeregów oresów oreśla się za pomocą średniej arytmetycznej. dla szeregów momentów wyznacza się na podstawie średniej chronologicznej: y ch y 1 + y y + y y + y n 1 n 2 2 n y 1 + y y n y n n 1 Porównywalność szeregów czasowych możliwa jest w przypadu: te same jednosti ten sam dzień badania ten sam obszar w szeregach dynamicznych przedziały powinny być jednaowe Opis zmian szeregu dynamicznego. Przyrosty absolutne Dwie liczby porównujemy na dwa sposoby: odejmowanie dzielenie Przyrosty bezwzględne. Przyrosty absolutne bezwzględne ) - odejmowanie. Informują o ile wzrósł, a o ile zmalał w porównaniu do oresu przyjętego za podstawę. Podstawa może być: stała przyrosty absolutne o podstawie stałej jednopodstawowych ) zmienna przyrosty absolutne o podstawie zmiennej łańcuchowych ) ciąg przyrostów o podstawie stałej przedstawia się następująco: STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "16

17 Δ 2/1 y 2 y 1, Δ 3/1 y 3 y 1,, Δ n/1 y n y 1 ciąg przyrostów o podstawie zmiennej, łańcuchowych przedstawia się następująco: Δ 2/1 y 2 y 1, Δ 3/2 y 3 y 2,, Δ n/n 1 y n y n 1 Adam Sojda Przyrosty względne. Przyrosty względne - dzielenie jednopodstawowe y łańcuchowe 2 y 1 y, 3 y 2,, y 1 y 2 y n y n 1 y n 1 Wyrażone w procentach. Informują o ile wyższy lub niższy jest poziom badanego zjawisa w danym oresie w stosunu do oresu: bezpośrednio poprzedzającego - przyrosty względne łańcuchowe przyjętego za podstawę - przyrosty względne jednopodstawowe. Przyrosty względne oreślane są nieiedy mianem wsaźniów tempa zmian tempa przyrostu lub obniżi). y Jednopodstawowe : 2 y 1 y, 3 y 1 y,, n y 1 Ogólnie d t/ y y t y 1 y 1 y 1 y y Łańcuchowe : 2 y 1 y, 3 y 2 y,, n y n 1 Ogólnie y 1 y 2 y n 1 d t/t 1 y t y t 1 y t 1 Wsaźnii dynamii indesy Indesem wsaźniiem dynamii ) nazywamy ażdą liczbę względną powstałą przez podzielenie wielości danego zjawisa w oresie badanym sprawozdawczym) przez wielość tego zjawisa w oresie podstawowym bazowym). Wzór na indes i y 1. W zależności od przyjętej postawy porównania możemy indesy podzielić na: jednopodstawowe łańcuchowe Pomiędzy indesami a przyrostami względnymi istnieje ścisły związe. i t/ y t y d t/ +1 i t/t 1 y t y t 1 d t/t 1 +1 y 0 Interpretując indesy zawsze są wyrażane w procentach. STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "17

18 Adam Sojda Jeśli dane są indesy łańcuchowe to można wyznaczyć indesy jednopodstawowe i odwrotnie, jeśli mamy dane indesy jednopodstawowe, to można wyznaczyć indesy łańcuchowe. Średnie tempo zmian zjawisa w czasie. Indesy i wsaźnii pozwalają na ocenę zmian pomiędzy dwoma wyróżnionymi oresami. Jeśli trzeba ocenić zmiany danego zjawisa w czasie, orzystamy ze średniej geometrycznej. Średnie tempo zmian zjawis oblicza się najczęściej z indesów łańcuchowych. Z n wielości możemy utworzyć indesów łańcuchowych otrzymujemy wzór: i g y 2 y n 3 y... n y n 1 t y n 1 n n 1 y 1 y 2 y n 1 t2 y t 1 y 1 średnie tempo zmian oreślane jest mianem stopy wzrostu i często oznaczane literą r, gdzie. r i g 1. Załadając stałe tempo wzrostu w oresach, wielość zjawisa w oresie n, przy znajomości wartości początowej można wyznaczyć ze wzoru: y n y 1 1+ r) n 1 Indesy indywidualne i zespołowe. Indes indywidualny stosune poziomów tego samego zjawisa w różnych oresach. Rozróżniamy trzy rodzaje indywidualnych wsaźniów dynamii: indes cen ilości wartości i p p 1, i q q 1, i w p q 1 1 i p i g. p 0 q 0 p 0 q 0 ip- indes cen, indes iq ilości iw indes wartości 1 ores badany, 0 ores podstawowy W pratyce stosuje się nie tylo obliczanie indesów dotyczących indywidualnych jednoste, ale i dla całego agregatu, zespołu zjawis. Konstrucja tych indesów opiera się na wyorzystaniu oreślonych współczynniów przeliczeniowych odgrywających rolę wag. Rolę wag spełniają najczęściej ceny i ilości. Agregatowy indes wartości zespołu artyułów jest ilorazem wartości badanych dóbr w oresie podstawowym i w oresie badanym STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "18

19 Adam Sojda I w p 1 q 1 p 0 q 0 Konstrucja agregatowych indesów ilości i indesów cen oparta jest na metodzie eliminacji, zwanej standaryzacją wsaźniów dynamii. Standaryzacja polega na ustaleniu stałego poziomu jednego z czynniów: cen lub ilości. Indes cen Indes ilości p Laspeyresa I L 1 q 0 p I L q p 0 q 0 p 0 q 1 p 0 q 0 p Paaschego I P 1 q 1 p I P q p 0 q 1 p 1 q 1 p 1 q 0 p. Agregatowe indesy cen odpowiadają na pytanie ja zmieniły się - przeciętnie rzecz biorąc - ceny danego zbioru artyułów w oresie badanym w stosunu do oresu podstawowego, zgodnie z przyjętą formułą standaryzującą. Uwaga. W przypadu niezbyt odległych oresów porównawczych obliczane są też agregatowe indesy typu Fishera wyrażające średnie zmiany. I F p I L P p I p, I F q I q L I q P Trend wyraża ogólną tendencję rozwojową zjawisa Wahania oresowe to zmiany powtarzające się w tych samych mniej więcej rozmiarach, co pewien ores. Odstęp czasu, w tórym występują fazy wahań nazywany cylem. Do najczęściej stosowanych metod eliminacji wahań należą: Metoda mechaniczna wyorzystująca średnie ruchome Metoda analityczna polega na dopasowaniu odpowiedniej funcji do danych. Średnie ruchome: Wyznacza się je ze wzorów: średnia -oresowa y t, y t + y t y t STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "19

20 Adam Sojda metoda analityczna: Istotnym elementem jest wybór odpowiedniej lasy funcji oraz prawidłowe oszacowanie jej parametrów. Do najczęściej stosowanych należy liniowa funcja trendu: ŷ t at + b wyznaczone metodą najmniejszych wadratów współczynnii są następujące: a y t t y t t t 2 t 2 b y t at a oznacza oresowe tempo wzrostu lub ubytu. b oznacza stan zjawisa w oresie wyjściowym tzn. dla wariancja sładnia resztowego: s 2 y t ŷ t ) 2 t1 ) z t n 2 Doładność oszacowania parametrów liniowej funcji trendu: Parametr a: D a Parametr b: D b n ) s z t ) s t n ) s z t ) t 2 s t n Sezonowość Wahania oresowe, sezonowe pewien cyl zmian, powtarzających się w tych samych mniej więcej rozmiarach co jaiś w przybliżeniu stały czas. Zjawiso znajduje się w tej samej fazie zmian w momentach i oresach odległych od siebie w przybliżeniu o ten sam stały odstęp czasu lub jego wielorotność. Ores, w tórym występują wszystie fazy wahań, nazywamy oresem wahań lub cylem. Metoda wsaźniów prognozowanie zmiennych charateryzujących się wahaniami sezonowymi występującymi wraz z tendencją rozwojową bądź ze stałym poziomem zmiennej. Prognoza estrapolacja dotychczasowej tendencji bądź stałego poziomu i jego oreta przez wsaźni sezonowości. Załadamy, że zaobserwowana tendencja utrzyma się a siła i rodzaj wahań sezonowych nie ulegnie zmianie czyste wsaźnii sezonowości nie zmienią się). i) Gdy amplitudy wahań w analogicznych fazach cylu są w przybliżeniu taie same to mówimy o wahaniach bezwzględnie stałych. ii) Gdy amplitudy wahań zmieniają się w mniej więcej tym samym stosunu, mówimy o wahaniach względnie stałych. STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "20

21 ! Adam Sojda W przypadu i) do opisu wahań można użyć modelu addytywnego: y ti ŷ t + c i + e t W przypadu ii) modelu multipliatywnego: y ti ŷ t c i e t yti rzeczywista wartość prognozowanej zmiennej w momencie lub oresie t w i-tej fazie. teoretyczna wartość prognozowanej zmiennej w momencie lub oresie t wyznaczona ŷ t z tendencji rozwojowej. ci wsaźni sezonowości dla i-tej fazy cylu et reszta w oresie t r liczba faz cylu Jao miarę dopasowania modelu do wartości rzeczywistych można używać współczynnia determinacji R 2 lub odchylenia standardowego reszt. Etapy prac: wyodrębnienie tendencji rozwojowej eliminacja tendencji z szeregu czasowego eliminacja wahań przypadowych obliczenie czystych wsaźniów sezonowości Dla modelu addytywnego eliminacja tendencji rozwojowej z ti y ti ŷ t surowe wsaźnii sezonowości z i 1 1 z i+ jr,i j0 czyste wsaźnii sezonowości ci q 1 r r z i c i z i q r c i 0 prognoza model trendu liniowego z wahaniami sezonowymi - addytywny) ) + c i y ti * y t * + c i at + b STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "21

22 Lista zadań Zadanie 1.1 Zabawno ja ształtuje)ą) się [cecha X] dane przedstawia szereg rozdzielczy puntowy. Wyznaczyć: a) średnią arytmetyczną, b) wariancję i odchylenie standardowe, c) medianę d) dominatę e) współczynni zmienności f) typowy obszar zmienności g) współczynni asymetrii h) urtozę i) rzywą oncentracji Lorenza xi ni Zadanie 1.2 Zebrano dane odnośnie czasu oczeiwania na udzielenie pierwszej pomocy czas oczeiwania przez oddział ratowniczy w dwóch szpitalach po otrzymaniu zgłoszenia. Dane przedstawia tabela poniżej. Wyznaczyć następujące miary: a) średnia b) wariancja i odchylenie standardowe c) wartyle d) dominanta e) współczynni zmienności f) współczynni asymetrii g) urtozę h) narysować rzywą oncentracji Lorezna i) oreślić: i)1. jai % pacjentów oczeiwał na obsługę rócej niż 10 minut i)2. jai % pacjentów oczeiwał na obsługę dłużej niż 13 minut i)3. jai % pacjentów oczeiwał na obsługę od 7 do 15 minut liczba pacjentów ni xi Szpital A Szpital B Zadanie 1.3 Wyznaczyć odpowiednie charaterystyi analogicznie ja w zadaniach 1.1 i 1.2 ) dla danych przedstawionych poniżej. STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "22

23 DAE_ DAE_ ,7 163,7 165,8 166,1 166,8 166,8 167,4 170,6 171,9 172,6 173,0 173,7 174,0 175,5 175,8 176,7 177,2 178,3 179,5 180,2 180,2 180,6 180,7 182,5 182,5 184,1 184,3 184,4 185,0 185,0 185,2 185,6 185,7 185,7 185,9 186,3 186,4 187,0 187,6 187,6 187,8 188,0 188,4 189,1 189,2 190,3 193,1 193,5 193,5 193,8 193,9 194,8 195,3 195,6 196,3 196,8 196,9 197,2 197,6 197,6 197,7 197,8 199,5 199,8 200,2 200,2 200,3 200,3 200,9 202,9 202,9 203,0 203,1 203,1 203,1 203,8 204,0 204,1 204,1 204,9 205,4 205,5 205,8 206,0 206,2 206,3 207,3 208,2 208,5 209,3 209,5 209,6 209,9 210,1 210,2 211,1 211,4 211,7 212,2 212,3 212,3 212,9 212,9 213,3 213,8 214,4 214,4 214,5 215,2 215,2 215,2 215,8 216,3 216,5 216,6 217,0 218,6 219,1 219,2 219,6 221,1 221,4 221,4 222,1 222,3 222,5 223,5 223,8 224,1 224,9 224,9 225,5 226,3 228,0 229,1 229,2 229,5 229,8 231,2 232,0 232,5 233,0 234,4 236,7 237,1 238,9 241,2 243,3 244,5 257,3 STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "23

24 Zadanie 1.4. Wśród 100 studentów zdających egzamin ze statystyi 45 otrzymało wynii od 45 do 60 puntów. 50% studentów otrzymało wynii poniżej 55 puntów. a podstawie powyższych wyniów oszacować ilu studentów zdało egzamin, jeżeli wiadomo, że zaliczenie było od 45 puntów wzwyż. Zadanie 1.5. W dwóch przedsiębiorstwach przeprowadzono badanie robotniów pod względem stażu pracy w załadzie. Otrzymano następujące dane: Przedsiębiorstwo I 14 lat V 20% Przedsiębiorstwo II 10 lat V 25% Obliczyć, s i V dla całej zbiorowości pracowniów wiedząc, że liczba robotniów w przedsiębiorstwie I wynosiła 120 osób a w drugim 80 osób. Zadanie 1.6. Stu pracowniów pewnego przedsiębiorstwa 70 mężczyzn i 30 obiet) zbadano pod względem wieu, otrzymując następujące informacje: mężczyźni: 40 lat, D35 lat AS obiety: 30 lat, D33 lata AS Obliczyć,s i V dla całej zbiorowości 100 pracowniów. Zadanie 1.7. Badano w załadzie staż zatrudnionych pracowniów. Całą społeczność podzielono na dwie grupy pracowniów: umysłowych i fizycznych. Pracowniów umysłowych było 50 a fizycznych 4 razy tyle, co umysłowych. Średni staż pracy pracowniów umysłowych wyniósł 20 lat, a fizycznych 10. Odchylenie standardowe dla staży pracowniów fizycznych wynosi 4 lata, a dla umysłowych 5 lat. Obliczyć średni staż pracy i odchylenie standardowe dla ogółu pracowniów. Zadanie 1.8. W przedsiębiorstwie A ma miejsce następujący rozład płac: W przedsiębiorstwie B płaca przeciętna wynosi 752 zł, bezwzględne zróżnicowanie płac wynosi 99,50 zł. ajliczniejsza grupa pracowniów ma płacę 728,50 zł. Współczynni asymetrii płac wynosi W tórym przedsiębiorstwie chciałbyś pracować w A czy B? wielość wpłaty fundusz wpłat w zł Zadanie 1.9. W STATA-Banu badano rozład zaciąganych redytów przedświątecznych. Kredytów od 100 do 300 zł zaciągnięto na wotę zł. Kredytów od 300 do 900 zł zaciągnięto na wotę zł. Kredytów od 900 do 2000 zł zaciągnięto na wotę zł. Jaa jest średnia wota zaciąganego redytu, czy przeważają redyty poniżej czy powyżej średniej? Jaa jest liczba udzielonych redytów? STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "24

25 Zadanie a wyresie ołowym poazano rozład załadanych loat w ostatnim oresie w pewnym Banu. a podstawie tych danych doonaj analizy statystycznej rozładu loat. 20% 20% 35% 25% zł zł zł zł Zadanie Zebrano dane odnośnie liczby dni przebywania na pacjentów na oddziałach A i B w przypadu wyonania pewnego zabiegu. Dane przedstawia tabela X A X B Wyznaczyć: średnią arytmetyczną, wariancję i odchylenie standardowe, dominantę, medianę, typowy obszar zmienności, współczynni zmienności. Doonać porównania otrzymanych wyniów. Zadanie 2.1. Zbadano dwie grupy studentów po względem predyspozycji do rozwiązywania różnego rodzajów testów. Każdy z badanych rozwiązał 2 testy test A i test B) dane podaje tabela. Doonać analizy wyniów ażdego z testów z osobna, czy można zauważyć zależność pomiędzy wyniami testów. Wyonać wyres rozrzutu, wyznaczyć parametry równania regresji liniowej, wyznaczyć współczynni orelacji liniowej Pearsona, współczynni zbieżności i determinacji, odchylenie standardowe reszt. GRUPA I - wynii z testu A i B Test A Test B GRUPA II - wynii z testu A i B Test A Test B Wyonać analizy dla ażdej z grup I i II) osobno. Wyonać dodatowo analizę dla połączonych grup wyorzystać arusz alulacyjny do obliczeń). STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "25

26 Zadanie 2.2. Zbadano zależność czasu pozostawiania na oddziale Y w h) od czasu udzielenia pierwszej specjalistycznej od wystąpienia pierwszych objawów do podania leu X w min) pomocy dla pewnej jednosti chorobowej. Dane przedstawia tabela. Wyznaczyć współczynni orelacji liniowej Pearsona, wyznaczyć równie regresji opisujące wspomnianą zależność, wyznaczyć błędy oceny parametrów struturalnych, wyznaczyć współczynni determinacji i współczynni zbieżności. Oreślić na podstawie równania regresji czas przebywani na oddziale dla osoby, tórej podano le po upływie 7,5 minuty od pierwszych objawów. Y X Zadanie 2.3. Zbadano zależność czasu pozostawiania na oddziale Y w h) od czasu udzielenia pierwszej specjalistycznej pomocy od wystąpienia pierwszych objawów do podania leu X 1 w min) oraz od płci pacjenta X 2 płeć odowana 0 - K i 1 - M) dla pewnej jednosti chorobowej. Dane przedstawia tabela. Y X X Wyznaczyć współczynnii orelacji liniowej Pearsona pomiędzy wszystimi zmiennymi, wyznaczyć model regresji opisujące wspomnianą zależność wzór macierzowy), wyznaczyć błędy oceny parametrów struturalnych, wyznaczyć współczynni determinacji i współczynni zbieżności. Oreślić na podstawie modelu regresji czas przebywania w na oddziale dla osoby, tórej podano le po upływie 7,5 od pierwszych objawów w zależności dla mężczyzny i dla obiety. Zadanie 2.4. Zbadać siłę zależności występowania pewnego schorzenia w zależności od płci Wyznaczyć współczynni χ 2,. C or Płeć WYSTĘPOWAIE SCHORZEIA BRAK ŚREDIE SILE KOBIETA MĘŻCZYZA Zadanie 2.4 Oreślić siłę i ierune orelacji pomiędzy czasem remontu a wieiem obrabiare, jeśli wiadomo, że średni wie remontowanych obrabiare wyniósł 16 lat, a jego względna dyspersja 30%. Wiadomo, że wydłużenie esploatacji o I ro powoduje przedłużenie czasu STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "26

27 Czas remontu w dniach Liczba obrabiare remontu przeciętnie o 2 dni. Jai jest czas remontu obrabiare 10-letnich? Rozład czasu remontu obrabiare w pewnym załadzie przedstawia się następująco: Zadanie 3.1. Wielość producja piwa w pewnym browarze ształtowała się następująco: Oszacuj parametry liniowej funcji trendu. Oblicz odchylenie standardowe reszt. Jai sładni szeregu czasowego charateryzuje ta wielość? Podaj przewidywaną producję piwa w rou 2014 oraz błąd standardowy tej prognozy. Producja piwa w browarze X ROK Y 10,2 10,8 12,2 15,3 11,1 13,3 14,5 16,3 17,2 19,1 Zadanie 3.2 Zbadano sprzedaż pewnego artyułu w poszczególnych oresach. Oszacuj parametry liniowej funcji trendu. Oblicz odchylenie standardowe reszt. Jai sładni szeregu czasowego charateryzuje ta wielość? Podaj przewidywaną sprzedaż na następne 4 wartały. Ja zmieni się prognoza, jeśli do analizy wyorzystamy model uwzględniający sezonowość. sprzedaż artyułu X ores Y Zadanie 3.3 Jaie jest średnie tempo zmian w spożyciu arpia w latach , jeśli spożycie arpia w porównaniu z roiem 2007 wynosiło odpowiednio: wzrost o 10%, spade o 15%, spade o 4%, wzrost o 15%, wzrost o 25%, spade o 10%, spade o 14%, wzrost o 10%? Oreślić poziom spożycia arpia w 2001 przy zachowaniu średniego tempa wzrostu oraz spożyciu w rou 2010 na poziomie 28 tyś ton. Wyznaczyć jaie było spożycie arpia w badanych latach w stosunu do rou STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "27

28 TEORIA W rozładzie asymetrycznym lewostronnie: a) więszość obserwacji przyjmuje wartości więsze od średniej arytmetycznej b) więszość obserwacji przyjmuje wartości mniejsze od średniej arytmetycznej c) obserwacji więszych od średniej jest tyle samo co mniejszych od średniej Mediana jest: a) wartością środową b) wartością najczęściej występującą w danej zbiorowości c) miarą pozycyjną Jeżeli współczynni orelacji liniowej dwóch zmiennych jest równy 1, to stwierdzamy, że: a) dwie zmienne nie są ze sobą sorelowane b) współczynni determinacji wynosi 100% c) istnieje dosonała orelacja ujemna Dla dwóch zmiennych obliczono współczynni orelacji liniowej -0,9, a zatem: a) zmienne te nie są sorelowane b) orelacja jest silna c) ieruni zmian wartości obu zmiennych są taie same Obroty w mln zł) pewnej firmy w olejnych latach od 1994 do 1998 wynosiły odpowiednio: 2, 3, 3, 4, 5. a) tempo zmian obrotów w tym oresie wynosi 0.97 b) przyrosty bezwzględne o podstawie stałej ores bazowy to ro 1994) są równe odpowiednio: 0, 1, 1, 2, 3. c) obroty w badanym oresie wzrastały z rou na ro przeciętnie o 25.74% Współczynni zmienności: a) pozwala porównać zmienność cech s wyrażonych w różnych jednostach miary. b) wsazuje na ierune i siłę asymetrii c) może być wyznaczony na podstawie średniej arytmetycznej i odchylenia standardowego. Odchylenie standardowe cechy X: a) jest względna miarą zmienności b) oreśla, o ile przeciętnie wartości cechy X różnią się od średniej arytmetycznej c) oreśla, o ile procent wartości cechy X różnią się od średniej arytmetycznej Jeżeli współczynni orelacji liniowej dwóch zmiennych jest równy 0, to stwierdzany, że: a) dwie zmienne nie są ze sobą sorelowane b) współczynni zbieżności wynosi 100% c) istnieje dosonała orelacja ujemna STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "28

29 Współczynni orelacji liniowej Pearsona r: a) wsazuje, jai procent zmian zmiennej X został wyjaśniony zmianami zmiennej Y b) może przyjmować tylo wartości dodatnie c) można stwierdzić, że przyjmuje tylo wartości z przedziału [-1, 1] Obroty w mln zł) pewnej firmy w olejnych latach od 1994 do 1998 wynosiły odpowiednio: 2, 3, 3, 4, 5. a) obroty w rou 1996 w porównaniu z roiem 1994 wzrosły o 50% b) obroty w 1996 r. stanowiły 150% obrotów z 1995 r. c) obroty w badanym oresie wzrastały z rou na ro przeciętnie o % W rozładzie asymetrycznym prawostronnie: a) wartość modalnej jest mniejsza od średniej arytmetycznej b) więszość obserwacji przyjmuje wartości więsze od średniej arytmetycznej c) więszość obserwacji przyjmuje wartości mniejsze od średniej arytmetycznej Jeżeli współczynni orelacji liniowej dwóch zmiennych jest równy 1, to stwierdzamy, że: a) dwie zmienne nie są ze sobą sorelowane b) współczynni zbieżności wynosi 100% c) istnieje dosonała orelacja ujemna Zużycie środów do prania w g/osobę) w olejnych latach od 1994 do 1998 wynosiło odpowiednio: 6, 7, 8, 9, 9. a) zużycie w 1998 r. wzrosło o 50% w porównaniu z roiem 1994 b) zużycie w 1998 r. stanowiło 100% zużycia z rou 1995 c) przyrosty bezwzględne o podstawie stałej ores bazowy to ro 1994) są równe odpowiednio: 0, 1, 1, 2, 3. W rozładzie asymetrycznym prawostronnie: a) wartość modalnej jest mniejsza od średniej arytmetycznej b) więszość obserwacji przyjmuje wartości więsze od średniej arytmetycznej c) więszość obserwacji przyjmuje wartości mniejsze od średniej arytmetycznej Współczynni zmienności jest: a) bezwzględną miarą zmienności b) względną miarą zmienności c) przyjmuje wartości z przedziału [-1,1] Jeżeli dla dwóch zmiennych obliczono współczynni orelacji liniowej oraz wyznaczono prostą regresji, to: a) znai współczynniów orelacji i regresji są taie same b) znai współczynniów orelacji i regresji są przeciwne c) współczynni regresji jest równy współczynniowi orelacji liniowej STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "29

30 Dla cechy statystycznej X: a) r XX 1 ) s x 2 b) cov X, X c) cecha X nie jest sorelowana ze sobą Współczynni ierunowy prostej regresji wsazuje: a) o ile przeciętnie zmieni się wartość zmiennej objaśnianej, jeżeli wartość zmiennej objaśniającej wzrośnie i jedną jednostę b) w ilu procentach zmienność zmiennej objaśnianej została wyjaśniona zmiennością zmiennej objaśniającej c) w ilu procentach zmienność zmiennej objaśnianej nie została wyjaśniona zmiennością zmiennej objaśniającej Dla cechy statystycznej X: a) cov X, X ) s x 2 b) r XX 1 c) cecha X nie jest sorelowana ze sobą Zużycie środów do prania w g/osobę) w olejnych latach od 1994 do 1998 wynosiło odpowiednio: 6, 7, 8, 9, 9. a) zużycie w 1998 r. wzrosło o 50% w porównaniu z roiem 1994 b) przyrosty bezwzględne łańcuchowe są równe odpowiednio:, 1, 1, 1, 0 c) przyrosty bezwzględne łańcuchowe są równe odpowiednio:, 1, 2, 3, 3 STATYSTYKA OPISOWA materiały dla studentów, Str. "30