ZASTOSOWANIE EKONOMETRYCZNYCH MODELI PROGNOSTYCZNYCH W TRANSAKCJACH PROPRIETARY TRADING

Transkrypt

1 Mariusz KOZAKIEWICZ 1), Mare KWAS 1), Karolina MUCHA-KUŚ 2), Maciej SOŁTYSIK 2) 1) Szoła Główna Handlowa, 2) TAURON Polsa Energia SA ZASTOSOWANIE EKONOMETRYCZNYCH MODELI PROGNOSTYCZNYCH W TRANSAKCJACH PROPRIETARY TRADING Uczestnictwo w struturach wspólnotowych Unii Europejsiej nałada na raje stowarzyszone pewien wachlarz obowiązów, w szczególności onieczność zagwarantowania praw do swobody w przepływie towarów, przedsiębiorczości oraz świadczenia usług, tóre możliwe są do osiągnięcia jedynie przy otwartych rynach. Daleo idąca liberalizacja rynów, mająca swoją podstawę w dyretywach i rozporządzeniach wyonawczych, zapewnia wzrost bezpieczeństwa dostaw towarów i efetywności rynów impliując dążenie do ujednolicania schematów działań i stworzenia jednego, wspólnotowego rynu. Tai ujednolicony model ściśle wpływa na parametryzację produtową towarów giełdowych ograniczając możliwości speulacyjnej i arbitrażowej gry między rynami. Liwidacja rynów w wymiarze loalnym, sutująca wzrostem płynności z jednoczesnym ograniczeniem zmienności i stabilizacją poziomów cen na rynu globalnym, wymusza na graczach rynowych poszuiwanie nowych obszarów atywności. Działania te oncentrują się na poszuiwaniu nisz rynowych i produtowych oraz ich asymilacji w ramach zupełnie nowych domen handlowych. Przyładowo, spółi obrotu dotychczas atywne głównie na rynu energii eletrycznej, chcąc zapewnić istotną dla swoich acjonariuszy stabilność wzrostu wartości, angażują się w obrót różnego rodzaju towarami porewnymi. Komplementarność rynów energii eletrycznej i gazu oraz synergie występujące z produtami powiązanymi, ja ropa naftowa, czy węgiel, nadają atracyjności rozwojowi uierunowanemu w stronę rynów towarowych. Ryni tych produtów, dzięi ich globalnemu charaterowi, cechują się dużą płynnością, co powoduje że możliwa i biznesowo uzasadniona staje się próba sonstruowania modelu do prowadzenia gry speulacyjnej. W referacie zaprezentowane są wynii analiz modeli bazujących na notowaniach produtu ropa Brent w ramach rynów intraday i day ahead.

2 Zastosowanie eonometrycznych modeli prognostycznych Motywacja biznesowa Ropa Brent jest mieszaniną ropy wydobywanej z ilunastu pól na Morzu Północnym. Do głównych determinant wpływających na poziom jej cen należy zaliczyć przede wszystim relacje podażowo-popytowe, wahania ursu dolara, sezonowość oraz sytuację geopolityczną. Najważniejszymi instytucjami odpowiedzialnymi za globalny obrót ropą są giełdy New Yor Mercantile Exchange oraz Intercontinental Exchange, tórej domeną jest ropa Brent. Obrót ropą odbywa się zarówno w ramach ontratów terminowych z fizyczną dostawą, ja również w oparciu o instrumenty finansowe na rynu futures. Transacje realizowane są całodobowo, w ramach rynu OTC oraz na platformach obrotu zorganizowanych przy udziale giełdowych grup apitałowych. Rys. 1. Przebieg notowań ropy Brent w oresie Analiza notowań historycznych ropy Brent dla lat , por. rys. 1, wsazuje na występowanie sezonowości, trendów oraz statystycznie istotnej zmienności notowań, zarówno w ramach doby, ja i w oresach dłuższych. Dodatowo obserwuje się duży wolumen obrotu, dzięi czemu na ryne ten mniejsze przełożenie ma handel speulacyjny i arbitraż między rynami. Potencjalnie możliwe staje się zatem sonstruowanie modelu, tóry w oparciu o analizę zależności fundamentalnych między determinantami, ja również w oparciu o statystyczną analizę szeregów czasowych notowań, pozwoli w sposób automatyczny na badanie zależności między zmiennymi cenowymi i ich predycjami oraz wsaże reomendowane ieruni działań handlowych. Przebiegi notowań ciągłych towarów giełdowych sparametryzowane są co najmniej czterema wartościami cen: ceną otwarcia (open price), ceną zamnięcia (close price), ceną minimalną (low price) oraz ceną masymalną (high price).

3 76 M. Kozaiewicz, M. Kwas, K. Mucha-Kuś, M. Sołtysi Proponowany model bazuje na prognozach tych cen, w oparciu o tóre, w sposób automatyczny generowane są sygnały do otwarcia i zamnięcia pozycji masymalizujące spread między nimi, co w sposób schematyczny ilustruje rys. 2. Rys. 2. Mechanizm otwierania i zamyania pozycji Proponowany mechanizm załada otwarcie pozycji w momencie przecięcia się bieżących notowań produtu z linią prognozowanej ceny low price, dodatowo powięszonej o wartość niepewności wyniającej z analiz ex-post. Sygnał do zamnięcia pozycji jest tożsamy z momentem osiągnięcia przez bieżący poziom notowanych cen, prognozowanej ceny masymalnej dobowej high price pomniejszonej o wartość niepewności ex-post. Model celowo uwzględnia historyczne poziomy niepewności zawężając przestrzeń do realizacji wyniu, co jednocześnie przełada się na minimalizację ryzya wygenerowania straty. Analiza danych historycznych w onfrontacji z danymi z predycji prowadzi jedna do wniosu, że algorytm postępowania w zaprezentowanej formie nie przynosi załadanych efetów. Głównymi przyczynami taiego stanu rzeczy są: (i) niewiela amplituda zmian w ramach notowań dobowych, (ii) wielomodalność notowań, (iii) zmienny poziom niepewności ex-post, (iv) porywanie się obszarów niepewności dla zmiennych low price i high price, (v) bra uwzględniania w prognozach cen sygnałów z otwarcia notowań w dobie realizacyjnej. Różnorodność możliwych zachowań rynu i notowań ilustrują dwa srajne scenariusze przedstawione na rys. 3. Ze względu na fundamentalne trudności w predycji cen low price i high price oraz momentów ich osiągnięcia w tracie trwania notowań, modelowanie oparto na cenach open price i close price. Charater tych cen jest stabilniejszy niż zmiennych i silnie flutuujących notowań w ramach doby. Te odniesienia cenowe stanowią zatem pewien element analizy fundamentalnej i są puntem odniesienia w sładanych przez graczy rynowych zleceniach.

4 Zastosowanie eonometrycznych modeli prognostycznych Rys. 3. Scenariusze ształtowania się obszaru zysu/straty w ramach notowań dobowych Występujące różnice w cenach zamnięcia w dobie n i otwarcia w dobie n+1, a taże różnice między prognozowanym poziomem ceny otwarcia, a jej rzeczywistą wartością, są pochodnymi nastrojów rynowych i zmiennych zachowań graczy i powinny być uwzględniane w modelu. Ponadto, decyzje transacyjne oparte na predycji wartości open price i close price mają dobrze zdefiniowane momenty otwarcia/zamnięcia pozycji, przez co uniamy ich predycji, obarczonej zwyle dużym błędem. 2. Algorytm Rozważmy transacje na instrumencie BRENT polegające na otwarciu i zamnięciu pozycji w danym dniu po cenach open price i close price. Oczywiście transacja taa przynosi zys wyłącznie wtedy, gdy różnica między close price a open price jest dodatnia. Algorytm zaprezentowany w tym rozdziale generuje reomendacje realizacji taich transacji przez odpowiednią prognozę wspomnianej różnicy cen. Istotnym elementem algorytmu jest predycja cen instrumentu BRENT wyorzystująca historyczne wartości ursu EUR/USD. Wynii predycji są użyte do budowy decyzyjnego drzewa regresyjnego, tóre generuje ostateczne reomendacje. Zastosowanie tej technii umożliwiło istotne zmniejszenie strat w oresach spadu cen Oznaczenia W dalszej części referatu zostały przyjęte następujące oznaczenia i założenia. Przedział czasowy, na tórym operuje algorytm słada się z dni transacyjnych (bez uwzględnienia weeendów i świąt), oznaczanych liczbami naturalnymi. Jeżeli nie jest oreślone inaczej, dzień bieżący oznaczamy przez n. Jest to dzień, do tórego włącznie znamy historyczne wartości cen. Dzień n+1 rozpoczyna horyzont prognozy. Wartości szeregów czasowych dla instrumentu BRENT w dniu oznaczamy przez: BRENT O, BRENT L, BRENT H, BRENT C,

5 78 M. Kozaiewicz, M. Kwas, K. Mucha-Kuś, M. Sołtysi gdzie indesy O,L,H,C oznaczają odpowiednio ceny open price, low price, high price, close price. Wartości szeregów czasowych dla ursu EUR/USD w dniu oznaczamy przez: O L H C EUR/USD, EUR/USD, EUR/USD, EUR/USD, gdzie, ja wyżej, indesy O,L,H,C oznaczają odpowiednio poziomy open, low, high, close. Wartości prognozowane oznaczamy przez Strutura algorytmu Algorytm, por. tab. 1, generuje reomendację otwarcia/zamnięcia pozycji w dniu n+2 na podstawie cen historycznych do dnia n, i opartej na nich, rótoterminowej prognozy różnicy cen close price - open price C O n 2 BRENT n 2 BRENT. Do wyznaczenia tej prognozy zostały wyorzystane historyczne wartości ursu EUR/USD, por. roz. 3. Ponadto, alternatywna bardziej rozbudowana wersja algorytmu, por. tab. 1, ro (b*), używa dodatowo modeli ARIMA, por. [2], do poprawy wspomnianej prognozy. Istotnym elementem algorytmu jest użycie decyzyjnego drzewa regresyjnego do wygenerowania ostatecznych reomendacji. Zmienne objaśniające, na podstawie tórych jest budowane drzewo zostały dobrane ta aby wyczerpująco scharateryzować loalną monotoniczność, wlęsłość oraz zmienność wartości BRENT n oraz predycji BRENT n 1, BRENT n 2, BRENT n 3. Dodatowo, testy empiryczne wyazały istotną zależność wyniów strategii od typów dnia tygodnia i dnia miesiąca.

6 Zastosowanie eonometrycznych modeli prognostycznych Tabela 1 Algorytm generujący reomendację dla otwarcia/zamnięcia pozycji w dniu n+2 1. Prognozowanie BRENT z wyorzystaniem EUR/USD, { O, L, H, C}. a) dla ażdego wsaźnia { O, L, H, C} tworzony jest niezależny model regresji liniowej LM BRENT EUR/USD estymowany na wartościach różnic BRENT z dni n 5,..., n i odpowiednich, przesuniętych o 10 dni transacyjnych wstecz, wartościach różnic EUR/USD b) dla ażdego wsaźnia { O, L, H, C}, z modelu prognozy BRENTn 1, BRENTn 2, BRENTn 3. LM n, wyznaczane są b*) dla ażdego wsaźnia { O, L, H, C} do reszt regresji modelu dopasowany zostaje model ARIMA, tóry wraz z modelem wyorzystany do wyznaczenia prognoz: BRENTn 1, BRENTn 2, BRENTn Generowanie reomendacji otwarcia/zamnięcia pozycji w dniu n + 2. LMn LM n został a) sonstruowanie drzewa regresyjnego TREE n na danych z oresu n 35,..., n 1 dla: zmiennej objaśnianej Y przyjmującej wartość 1, gdy zachodzi: C O BRENT 2 BRENT 2 0 oraz 1, w przeciwnym przypadu, zmiennych objaśniających będących funcjami historycznych i prognozowanych wartości BRENT oraz typów dni tygodnia i miesiąca. b) wygenerowanie wartości zmiennych objaśniających dla n, a następnie, przy użyciu drzewa TREE n, predycji Yˆ n. Wartość 1 oznacza pozytywną reomendację dla otwarcia/zamnięcia pozycji w dniu n + 2, wartość 1 reomendację negatywną.

7 80 M. Kozaiewicz, M. Kwas, K. Mucha-Kuś, M. Sołtysi 3. Związe między BRENT a EUR/USD Algorytm z tab. 1 wyorzystuje rótoterminową prognozę cen instrumentu BRENT do generowania reomendacji. W prognozie tej wyorzystany został urs EUR/USD, wybrany z szeroiego atalogu dostępnych instrumentów. Charateryzuje się on wysoą płynnością oraz dużym wolumenem transacji, ponadto wartości EUR/USD są mocno sorelowane z wartościami BRENT. Dla ustalenia uwagi, zostały zaprezentowane statystyi absolutnych błędów względnych (absolute percentage error APE) prognoz dla cen close price z doby n+3, por. tab. 2. Wynii dla cen open price, high price i low price są porównywalne. Podreślmy, że przedstawione są tutaj błędy prognoz out-of-sample, czyli prognozy zostały wyznaczone dla wartości przyszłych względem danych, na tórych estymowano model a procedura została wyonana rocząco dla danych z oresu testowego Tabela 2 C Wartości APE (w procentach) dla prognoz BRENTn 3 z modelu regresyjnego, z dodatowym użyciem modeli ARIMA. Ores testowy Min. 1. w. Med. MAPE 3. w. Max. Model regresyjny 0,0015 0,8172 1,7120 2,6160 3, ,6800 Model regresyjny + ARIMA 0,0015 0,8190 1,6950 2,5690 3, ,6800 Testy empiryczne poazują, że stosunowo proste modele regresyjne oparte na wartościach instrumentu EUR/USD z odpowiednim przesunięciem dostarczają prognoz dobrej jaości. Ponadto dodatowe użycie modeli ARIMA wydaje się nie wpływać istotnie na poprawę jaości prognozy, por. średnie absolutne błędy względne (MAPE) w tab. 2 oraz rys. 4. Oazuje się jedna, że występuje istotne polepszenie reomendacji generowanych przez drzewo decyzyjne, por. roz. 4. Mimo, iż histogramy różnic BRENT C BRENT C, por. rys. 4, sugerują normalność rozładów, standardowe testy naazują taą hipotezę odrzucić. Właściwe dopasowania rozładów błędów jest luczowe dla westii oszacowania ryzya przyjętej strategii i będzie przedmiotem dalszych badań.

8 Zastosowanie eonometrycznych modeli prognostycznych a) model regresyjny b) model regresyjny + ARIMA C Rys. 4. Histogramy różnic BRENTn 3 BRENTn C 3 4. Analiza wyniów W celu uproszczenia omówienia analizy wyniów symulacji zostaną przyjęte następujące srócone oznaczenia AL10 to strategia oparta na reomendacjach algorytmu z tab. 1 używającego predycji dla 10-dniowego opóźnienia, ja w rou (b). AL10A to strategia oparta na reomendacjach algorytmu z tab. 1 używającego predycji dla 10-dniowego opóźnienia z dodatowym modelem ARIMA dla błędu opisanej w rou (b*). Naturalnym odniesieniem dla strategii opartych na reomendacjach jest strategia graj zawsze, w tórej otwieramy pozycję po cenie open price i zamyamy po cenie close price. Rys. 5 przedstawia porównanie sumulowanych zysów/strat strategii graj zawsze z AL10. Symulacja została przeprowadzona dla oresu Podreślmy, że uproszczone transacje polegające na zaupie i sprzedaży jednosti instrumentu BRENT w pratyce nie miałyby zastosowania, jedna są wystarczające do porównania wyniów różnych strategii opartych na reomendacjach. W celu urealnienia scenariusza należałoby prześledzić ewolucję portfela o ustalonym apitale początowym dla rzeczywistych parametrów rynowych, przede wszystim stóp procentowych, z możliwością odpowiedniej aloacji środów między różne instrumenty, np. BRENT i USD.

9 82 M. Kozaiewicz, M. Kwas, K. Mucha-Kuś, M. Sołtysi a) profile zysów/strat b) histogramy zysów/strat (usunięto zera) Rys. 5. Porównanie strategii AL10 ze strategią graj zawsze Porównanie zachowania obu strategii poazuje, że reomendacje AL10 w początowym oresie przegrywają z strategią graj zawsze, dość szybo jedna ujawniają swoją przewagę, gdyż pozwalają uninąć transacji w pewnych oresach spadów cen. Algorytm charateryzuje się jedna długą pamięcią i oresy, w tórych reomendowane jest wstrzymanie transacji, przedłużają się na czas odbudowy rynu po spadach, co znacznie ogranicza potencjalne zysi. a) profile zysów/strat b) histogramy zysów/strat (usunięto zera) Rys. 6. Porównanie strategii AL10A ze strategią graj zawsze Interesujące jest porównanie wyresu z rys. 5a z rys. 6a, na tórych przedstawiono profile zysów/strat dla AL10 i AL10A. Profil z rys. 6 wyazuje widoczną poprawę spowodowaną najprawdopodobniej pewnym wygładzeniem błędów predycji przez dodatowy ro modelowania. Efet ten sugeruje, że na profil

10 Zastosowanie eonometrycznych modeli prognostycznych zysów/strat ma wpływ nie tylo jaość prognozy (MAPE), por. roz. 3, ale również charater rozładu błędów. Podobne wniosi można wyciągnąć analizując statystyi oraz histogramy zysów/strat dla omawianych strategii. Tab. 3 i 4 uwidaczniają przewagę strategii AL10A nie tylo pod względem średniej zysów/strat ale przede wszystim pod względem odchylenia standardowego, co ściśle wiąże się z ryzyiem strategii. Ograniczenie zmienności strategii wydaje się zatem równie istotne ja optymalizacja doboru reguł decyzyjnych. Tabela 3 Liczby trafionych i chybionych reomendacji oraz odpowiadające im sumulowane zysi/straty dla strategii AL10, AL5 oraz AL10A w porównaniu ze strategią graj zawsze Strategia 2* gra Reomendacje Zysi/straty zys strata suma zys strata suma 2*AL10 graj nie graj *AL10A graj nie graj graj zawsze Tabela 4 Średnie oraz odchylenia standardowe zysów/strat dla strategii graj zawsze oraz strategii opartych na reomendacjach AL10, AL5 oraz AL10A Strategia graj zawsze AL10 AL10A Średnia -0,0024 0,0589 0,0752 Odchylenie standardowe 1,4263 1,0478 1,0070 Analiza histogramów z rys. 5b i 6b poazuje w jai sposób zostały osiągnięte wyżej opisane efety. Podreślmy, że wszystie wyresy zawierają wyłącznie niezerowe wartości. Widoczna jest eliminacja dużej części zarówno zysów, ja i strat, jedna istotnie więsza w przypadu strat, co spowodowało przesunięcie rozładów na prawo. Ponadto ujawnia się proporcjonalnie więszy ubyte dużych wartości (szczególnie strat), przez co istotnie zmniejszone zostało odchylenie standardowe.

11 84 M. Kozaiewicz, M. Kwas, K. Mucha-Kuś, M. Sołtysi 5. Podsumowanie W opracowaniu zaprezentowano suteczny algorytm generowania reomendacji transacyjnych na rynu ropy Brent. Algorytm wyorzystuje stosunowo proste modele eonometryczne do rótoterminowej predycji cen oraz regresyjne drzewa decyzyjne do generowania reomendacji. Analiza profili zysów/strat dla wybranych wersji algorytmu poazuje na dużą zależność jego suteczności od zastosowanych modeli predycyjnych, w tym ich strutury. Wynii zaprezentowane w opracowaniu dają podstawę do ontynuacji badań w tej tematyce. Istotna wydaje się analiza szerszego spetrum modeli i techni predycyjnych i zidentyfiowanie najwłaściwszych, dostarczających prognoz nie tylo wysoiej jaości ale również stanowiących podstawę do wygenerowania sutecznych strategii transacyjnych. Poprawę prognoz można również uzysać wyorzystując odpowiednio wybrane inne instrumenty rynu energii, w tym instrumenty pochodne. Wniliwej analizie należy również poddać proces generowania drzew regresyjnych, w szczególności dobór zmiennych objaśniających, zmieniając w razie potrzeby ich atalog. Do implementacji i przeprowadzenia obliczeń, tórych wynii zawiera opracowanie wyorzystano system obliczeń statystycznych R, por. [3], w szczególności paiety zoo, por. [5]; forecast, por. [1] i rpart, por. [4]. Literatura [1] Hyndman R. J.: forecast: Forecasting functions for time series, R pacage version [2] Maddala G. S.: Eonometria. PWN, [3] R Development Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, ISBN [4] Therneau T., Atinson B., Ripley B.: rpart: Recursive Partitioning and Regression Trees, R pacage version [5] Zeileis A., Grothendiec G.: zoo: S3 infrastructure for regular and irregular time series. Journal of Statistical Software, 14(6):1 27, 2005.