Jednostajna słaba podatność zadań wielowymiarowych
|
|
- Kornelia Kaczmarek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Jednostajna słaba podatność zadań wielowymiarowych (Uniform Weak Tractability of Multivariate Problems) Autoreferat rozprawy doktorskiej Paweł Siedlecki Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Wstęp Modelowanie zjawisk świata rzeczywistego, takich jak procesy fizyczne, zachowanie rynków finansowych lub komórek organizmów żywych, jest nieodłącznie związane z numerycznym rozwiązywaniem zadań matematyki ciągłej. Przykładami takich zadań są wielowymiarowe całkowanie, zadanie aproksymacji funkcji czy rozwiązywanie równań różniczkowych. Mając do czynienia z problemem obliczeniowym dobrze jest wiedzieć, jak szybko może być on rozwiązany przy użyciu dostępnych środków, czyli jaka jest jego złożoność oraz który spośród rozwiązujących zagadnienie algorytmów jest optymalny. Komputer jest tworem dyskretnym, jest zatem jasne, że zadania obliczeniowe matematyki ciągłej nie są wiernie reprezentowane w maszynach cyfrowych i na ogół nie mogą być przy ich użyciu bezbłędnie rozwiązane. Każdy algorytm wykonywany na komputerze wykorzystuje jedynie częściową informację o zadaniu i na ogół jest w stanie dać jedynie rozwiązanie przybliżone. Analityczna złożoność obliczeniowa (ang. information-based complexity - IBC) [19] to teoria zajmująca się złożonością zadań matematyki ciągłej, mierzoną minimalną ilością środków potrzebnych do rozwiązania danego zadania z zadaną dokładnością ε. Wśród zadań matematyki ciągłej szczególnie istotne z punktu widzenia zastosowań są zadania wielowymiarowe. Są to zadania zdefiniowane na przestrzeniach funkcji o dużej liczbie d argumentów. Zadania wielowymiarowe 1
2 są często bardzo trudne do rozwiązania z powodu występowania przekleństwa wymiaru (ang. curse of dimensionality). Przykładem jest zadanie całkowania wielowymiarowego, gdzie w różnych problemach fizyki, chemii czy matematyki finansowej zachodzi konieczność całkowana funkcji o liczbie argumentów rzędu setek, tysięcy, a nawet milionów. Ze względu na powszechność zadań wielowymiarowych, niezwykle istotne jest zrozumienie, co wpływa na ich złożoność oraz jak konstruować skuteczne algorytmy dające przybliżone rozwiązania w rozsądnym czasie. Podatność zadań wielowymiarowych (ang. tractability of multivariate problems) [9, 10, 11] jest gałęzią IBC zajmującą sie badaniem relacji pomiędzy złożonością informacyjną a liczbą zmiennych d występujących w zadaniu wielowymiarowym. W szczególności, dziedzina ta bada metody przezwyciężania przekleństwa wymiaru. Analityczna złożoność obliczeniowa i podatność zadań wielowymiarowych Analityczna złożoność obliczeniowa (IBC) jest działem matematyki obliczeniowej którego przedmiotem zainteresowania są te zadania obliczeniowe, dla których dostępna informacja o problemie jest niekompletna, zaburzona i/lub kosztowna. IBC rozwijała się stopniowo w ciągu ostatnich dziesięcioleci dostarczając wielu istotnych wyników teoretycznych na temat złożoności zadań matematyki ciągłej, jak również praktycznych algorytmów które okazały się odpowiednie dla wielu zastosowań. W IBC, zadania obliczeniowe interpretujemy jako odwzorowania pomiędzy odpowiednimi przestrzeniami. Zadanie jest reprezentowane przez operator rozwiązania S : F G, gdzie F jest przestrzenią unormowaną z normą F (być może wyposażoną w pewną dodatkową strukturę, jak iloczyn skalarny lub miara), a G jest przestrzenią unormowaną z normą G. Zadanie polega na znalezieniu przybliżenia S(f) dla każdego f F. Przybliżenie jest konstruowane w następujący sposób: uzyskujemy informację N(f) IR n o elemencie f F (jest to skończony ciąg liczb rzeczywistych), 2
3 obliczamy φ(n(f)) G, gdzie φ jest odwzorowaniem przyporządkowującym skończonemu ciągowi liczb rzeczywistych N(f) element przestrzeni G. Element φ(n(f)) jest przybliżeniem S(f). Para (N, φ) to, z formalnego punktu widzenia, algorytm dający przybliżenie φ(n(f)) elementu S(f) dla każdego f F. Operator informacji N : F IR n składa się z dozwolonych funkcjonałów informacji, to znaczy, dla każdego f F mamy N(f) = [L 1 f,..., L n f], gdzie L j jest funkcjonałem należącym do pewnego zbioru Λ F. Funkcja φ : IR n G może być wybrana dowolnie, chociaż dla wielu operatorów rozwiązania wystarczy rozważać φ liniowe. Rozważmy na przykład zadanie całkowania wielowymiarowego. Wtedy F jest pewną przestrzenią unormowaną funkcji d-zmiennych f : D IR, gdzie D IR d, oraz S(f) = f(t) dt. Informacja o funkcji f może składać się z obliczeń jej wartości w punktach dziedziny: N(f) = [f(t 1 ), f(t 2 ),..., f(t n )] dla pewnych t i D, 1 i n. Typowym algorytmem w tym przypadku jest kwadratura, będąca pewną kombinacją liniową składowych wektora N(f). D Istnieją różne sposoby definiowania błędu algorytmu (N, φ). Wybór konkretnego z nich zależy na ogół od naszych potrzeb, dodatkowych struktur w jakie wyposażone są zbiory F i G, oraz prowadzi do ustalenia przypadku (ang. setting) w jakim rozważamy nasze zadanie obliczeniowe. Najczęściej badanymi i używanymi w praktyce są przypadek najgorszy (ang. worst case setting) oraz przypadek średni (ang. average case setting), gdzie błędy są zdefiniowane następująco: błąd najgorszy: błąd średni: e wor (N, φ) = ( e avg (N, φ) = F sup S(f) φ(n(f)) G, f F 1 S(f) φ(n(f)) 2 G µ(df)) 1/2, 3
4 przy założeniu, że F jest dodatkowo wyposażona w miarę probabilistyczną µ. Powyżej zostały opisane przypadki deterministyczne. W przypadku niedeterministycznym (zrandomizowanym) (ang. nondeterministic (randomized) setting) algorytm generujący przybliżenie rozwiązania jest wybierany w sposób losowy. Typowym przykładem takiego algorytmu jest klasyczne Monte Carlo dla całkowania wielowymiarowego, gdzie przybliżona wartość całki jest liczona jako średnia z n obliczeń funkcji w losowo wybranych punktach jej dziedziny. Formalnie, algorytm w przypadku zrandomizowanym to rodzina {(N ω, φ ω )} ω Ω wraz z miarą probabilistyczną ν na Ω. Uśredniając wszystkie możliwe wyniki tej losowej procedury definiujemy błąd w przypadku zrandomizowanym: ( ) e ran ({(N ω, φ ω )} ω Ω ) = sup Eν S(f) φ ω (N ω (f)) 2 1/2 G. f F Mając już pojęcie błędu algorytmu (N, φ), możemy zdefiniować złożoność informacyjną zadania S jako funkcję (0, 1) IN : ε n(ε), gdzie n(ε) jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że istnieją operator informacji N korzystający z co najwyżej n(ε) funkcjonałów informacji z klasy Λ oraz funkcja φ takie, że błąd algorytmu (N, φ) wynosi, w zadanym przypadku, co najwyżej ε. Podatność zadań wielowymiarowych jest działem IBC zajmującym się złożonością informacyjną zadań wielowymiarowych. Jest to stosunkowo nowa dziedzina, została zapoczątkowana pracą H. Woźniakowskiego [21] z roku Niech S będzie ciągiem operatorów rozwiązania: S = {S d : F d G d } d IN. W praktyce, F d jest na ogół podzbiorem pewnej przestrzeni funkcji d zmiennych, a operatory S d dla d > 1 są, w pewnym sensie, powiązane z S 1 i trudność ich aproksymacji rośnie wraz z d. 4
5 Definiujemy złożoność informacyjną zadania wielowymiarowego S jako funkcję (0, 1) IN IN : (ε, d) n(ε, d), gdzie n(ε, d) jest równe złożoności informacyjnej n(ε) operatora rozwiązania S d. Podatność zadań wielowymiarowych bada zachowanie złożoności informacyjnej nie tylko względem wymaganej dokładności rozwiązania ε, lecz również względem liczby zmiennych d. Z reguły im więcej zmiennych, tym trudniejszy problem, a w wielu praktycznych zadaniach liczba występujących zmiennych jest duża lub bardzo duża (wiele takich zadań pojawiło się w ostatnich 20 latach, na przykład w matematyce finansowej), zatem zależność złożoności informacyjnej problemu nie tylko od zadanej dokładności rozwiązania ε, lecz również od liczby występujących zmiennych d jest kluczowym czynnikiem w zrozumieniu wewnętrznej trudności zadania wielowymiarowego i poszukiwaniu efektywnych algorytmów jego rozwiązania. Mówimy, że zadanie S jest niepodatne, jeśli jego złożoność informacyjna n(ε, d) jest funkcją wykładniczą ε 1 i/lub d. Jeśli złożoność informacyjna zadania S jest funkcją wykładniczą liczby d występujących zmiennych, to mówimy, że zadanie S jest dotknięte przekleństwem wymiaru (ang. curse of dimensionality); terminologia ta pochodzi od R.E. Bellmana z roku 1957 [1]. Takie zadania nie mają praktycznych rozwiązań, przynajmniej nie dla dużych d. Podatne zadania wielowymiarowe są klasyfikowane na podstawie zachowania ich złożoności informacyjnej. Do najbardziej znanych rodzajów podatności należą silnie wielomianowa podatność, wielomianowa podatność, quasi-wielomianowa podatność, i słaba podatność. Dokładniej, zadanie wielowymiarowe jest: silnie wielomianowo podatne wtw wielomianowo podatne wtw n(ε, d) Cε p dla pewnych C, p > 0, n(ε, d) Cε p d q dla pewnych C, p, q > 0, quasi-wielomianowo podatne wtw n(ε, d) C exp ( t(1 + ln ε 1 )(1 + ln d) ) dla pewnych C, t, p, q > 0, 5
6 słabo podatne wtw ln n(ε, d) lim ε 1 +d ε 1 + d = 0. Wraz z rozwojem dyscypliny stało się jasne, że bardzo ważnym czynnikiem mającym wpływ na podatność zadania wielowymiarowego jest poziom istotności kolejnych zmiennych zadania. Jeśli wszystkie zmienne są jednakowo istotne, to wtedy najczęściej problem okazuje się niepodatny. Z drugiej strony, jeśli rola poszczególnych zmiennych nie jest jednorodna, to podatność problemu może zależeć od tego, jak istotną rolę odgrywają poszczególne zmienne. Inne czynniki zaburzające jednorodność problemu również mogą mieć wpływ na jego podatność. Na przykład, wpływ regularności problemu ze względu na kolejne zmienne na jego podatność był już badany, lecz uzyskano jedynie warunki na (silną) wielomianową podatność, quasi-wielomianową podatność i słabą podatność. W przypadku problemów z wagami przypisanymi zmiennym sytuacja jest analogiczna; znane są jedynie warunki wiążące wagi z (silną) wielomianową podatnością, quasi-wielomianową podatnością i słabą podatnością. Wyniki rozprawy W prezentowanej rozprawie doktorskiej wprowadzamy nowy rodzaj podatności zadań wielowymiarowych: jednostajną słabą podatność (ang. uniform weak tractability). Zadanie wielowymiarowe jest jednostajnie słabo podatne wtw n(ε, d) nie jest wykładnicza w żadnej dodatniej potędze ε 1 i d, to znaczy dla każdych α, β > 0 zachodzi ln n(ε, d) lim ε 1 +d ε α + d = 0. β W Rozdziale 2 rozprawy badamy jednorodne liniowe zadania tensorowe dla klasy Λ all złożonej ze wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych. W przypadku najgorszym (worst case setting) uzyskujemy twierdzenia charakteryzujące jednostajną słabą podatność zadania S = {S d } d IN dla bezwzględnego i znormalizowanego kryterium błędu. Warunek konieczny i dostateczny na jednostają słabą podatność jest podany przy użyciu ciągu {λ k } k IN wartości własnych operatora W 1 = S1S 1. Zakładamy przy tym, że: 6
7 jeśli rozważamy kryterium błedu bezwzględnego, to λ 1 = 1 > λ 2 lub 1 > λ 1 λ 1, jeśli rozważamy kryterium błędu znormalizowanego, to λ 1 > λ 2 > 0. Wtedy dla obu kryteriów błędu zachodzi następujące twierdzenie. Twierdzenie. λ k Zadanie S jest jednostajnie słabo podatne p > 0 lim = 0. k [ln k] p W przypadku średnim (average case setting) uzyskujemy twierdzenie charakteryzujące jednostajną słabą podatność zadania S = {S d } d IN dla bezwzględnego kryterium błędu. Warunek konieczny i dostateczny na jednostajną słabą podatność podany jest przy użyciu ciągu {t k } k IN, gdzie t k = j=k+1 λ k, a {λ j } j IN jest ciągiem wartości własnych operatora kowariancji C ν1 miary Gaussowskiej ν 1 indukowanej na przestrzeni G 1 przez operator rozwiązania S 1 : F 1 G 1 oraz miarę gaussowską µ 1 na przestrzeni F 1. Zakładamy, że j=1 λ j < 1. Zachodzi następujące twierdzenie. Twierdzenie. t k Zadanie S jest jednostajnie słabo podatne p > 0 lim = 0. k [ln k] p Ostatnia część Rozdziału 2 poświęcona jest problemom aproksymacyjnym oraz relacji pomiędzy ich jednostajną słabą podatnością dla klas informacji Λ all oraz Λ std, gdzie Λ std jest klasą złożoną ze wszystkich ciągłych ewaluacji. Pokazujemy, że przy odpowiednich założeniach jednostajna słaba podatność problemu aproksymacyjnego dla klasy Λ all jest równoważna jego jednostajnej słabej podatności dla klasy Λ std. Wyniki tego typu uzyskujemy dla przypadku najgorszego, średniego i zrandomizowanego. W Rozdziale 3 rozprawy badamy wielowymiarowe zadania liniowe określone na przestrzeniach funkcji o rosnącej regularności względem kolejnych zmiennych. Dla każdego z tych zadań niemalejący ciąg liczb rzeczywistych r 1 r 2 r 3... zadaje regularność problemu. W przypadku najgorszym badamy trzy zadania aproksymacyjne dla klasy Λ all. Pierwsze zadanie polega na aproksymacji funkcji z przestrzeni Korobova. Otrzymujemy następujące twierdzenie. 7
8 Twierdzenie. Rozważmy zadanie aproksymacji APP określone na przestrzeniach Korobova. Wtedy quasi-wielomianowa podatność jest równoważna jednostajnej słabej podatności oraz słabej podatności i zachodzi wtw r 1 > 0. Ponadto wykładnikiem quasi-wielomianowej podatności jest t = r1 1. Kolejne dwa zadania aproksymacyjne określone są na przestrzeniach Soboleva. Rozważamy dwie klasy przestrzeni Soboleva. Odpowiednie przestrzenie obu klas określone są na tych samych zbiorach, a różnią się jedynie wyborem iloczynu skalarnego: dla zadanego parametru regularności r IN iloczyn skalarny przestrzeni należących do pierwszej klasy wykorzystuje jedynie zerowe i r-te pochodne, natomiast iloczyn skalarny przestrzeni należących do drugiej klasy wykorzystuje wszystkie pochodne od zerowej do r-tej włącznie. Dla pierwszej klasy przestrzeni Soboleva otrzymujemy następujące twierdzenie. Twierdzenie. Rozważmy zadanie aproksymacji APP 1 określone na przestrzeniach Soboleva pierwszego rodzaju. Wtedy quasi-wielomianowa podatność jest równoważna jednostajnej słabej podatności oraz słabej podatności i zachodzi wtw r k = 1 dla każdej liczby k IN. Ponadto wykładnikiem quasiwielomianowej podatności jest t 1 = 1. Dla drugiej klasy przestrzeni Soboleva otrzymujemy następujące twierdzenie. Twierdzenie. Rozważmy zadanie aproksymacji APP 2 określone na przestrzeniach Soboleva drugiego rodzaju. Wtedy quasi-wielomianowa podatność jest równoważna jednostajnej słabej podatności oraz słabej podatności i zachodzi wtw r 1 1. Ponadto wykładnik quasi-wielomianowej podatności t 2 spełnia t 2 [ 2, ln 13 1]. W ostatniej części Rozdziału 3 badamy dwa zadania aproksymacyjne w przypadku średnim dla klasy Λ all. Oba zadania polegają na aproksymacji funkcji z przestrzeni C([0, 1] d ) wyposażonej w odpowiednią miarę gaussowską skupioną na podprzestrzeni tych funkcji ciągłych, które są r k -krotnie różniczkowalne względem k-tej zmiennej. Dla pierwszego zadania przestrzeń funkcji ciągłych wyposażona jest w miarę gaussowską o średniej zero, której operator kowariancji zadany jest przez jądro kowariancji będące produktem funkcji kowariancji scałkowanego procesu Eulera. Dla drugiego zadania przestrzeń funkcji ciągłych wyposażona jest w miarę gaussowską o średniej zero, której 8
9 operator kowariancji zadany jest przez jądro kowariancji będące produktem funkcji kowariancji scałkowanego procesu Wienera. Dla zadania aproksymacji APP zadanego przez scałkowany proces Eulera otrzymujemy następujące twierdzenie. Twierdzenie. Rozważmy zadanie aproksymacji APP określone przez scałkowany proces Eulera. Zadanie APP jest jednostajnie słabo podatne wtw r lim inf k k 1. ln k 2 ln 3 Odpowiedni wynik dla zadania aproksymacji APP zadanego przez scałkowany proces Wienera wygląda następująco. Twierdzenie. Rozważmy zadanie aproksymacji APP określone przez scałkowany proces Wienera. Zadanie APP jest jednostajnie słabo podatne wtw lim inf k ln r k ln k 1 2. Literatura [1] R. E. Bellman, Dynamic programming, Princeton University Press, Princeton NJ, 1957 [2] F. Gao, J. Hanning, F. Torcaso, Integrated Brownian motions and exact L 2 -small balls, Ann. Probab. 31, pp , [3] M. Gnewuch, H. Woźniakowski, Quasi-polynomial tractability, J. Complexity 27, pp , [4] F. J. Hickernell, G. W. Wasilkowski, H. Woźniakowski, Tractability of linear multivariate problems in the average case setting, in: Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2006, A. Keller, S. Heinrich, H. Niederreiter (Eds.), Springer, Berlin 2008, pp [5] F. J. Hickernell, H. Woźniakowski, Tractability of multivariate integration for periodic functions, J. Complexity 17, pp , [6] M.A. Lifshits, A. Papageorgiou, H. Woźniakowski, Average case tractability of non-homogeneous tensor product problems, J. Complexity 28, pp ,
10 [7] M.A. Lifshits, A. Papageorgiou, H. Woźniakowski, Tractability of multiparametric Euler and Wiener integrated processes, Prob. and Math. Stat. 32, pp , [8] E. Novak and H. Woźniakowski, Intractability results for integration and discrepancy, J. Complexity 17, pp , [9] E. Novak and H. Woźniakowski, Tractability of Multivariate Problems, Volume I: Linear Information, European Mathematical Society, Zürich, [10] E. Novak and H. Woźniakowski, Tractability of Multivariate Problems, Volume II: Standard Information for Functionals, European Mathematical Society, Zürich, [11] E. Novak and H. Woźniakowski, Tractability of Multivariate Problems, Volume III: Standard Information for Operators, European Mathematical Society, Zürich, [12] A. Papageorgiou and I. Petras, On the tractability of linear tensor product problems in the worst case, J. Complexity 25, pp , [13] A. Papageorgiou and I. Petras, Tractability of tensor product problems in the average case setting, J. Complexity 27, pp , [14] A. Papageorgiou, H. Woźniakowski, Tractability through increasing smoothness, J. Complexity 26, pp , [15] S. H. Paskov, J. F. Traub, Faster evaluation of financial derivatives, J. Portfolio Management, 22(1), , [16] L. Plaskota, Noisy Information and Computational Complexity, Cambridge University Press, Cambridge, [17] P. Siedlecki, Uniform Weak Tractability, J. Complexity (2013), to appear. [18] P. Siedlecki, Uniform Weak Tractability of Multivariate Problems with Increasing Smoothness, submitted for publication. [19] J. F. Traub, G. W. Wasilkowski and H. Woźniakowski, Information- Based Complexity, Academic Press, New York,
11 [20] A.G. Wershulz, H. Woźniakowski, Tractability of Multivariate Approximation over a Weighted Unanchored Sobolev Spaces, Constr. Approx. 30, pp , [21] H. Woźniakowski, Tractability and strong tractability of multivariate tensor product problems, J. of Computing and Information 4, pp. 1-19,
Jak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych)
Jak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych) Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki leszekp@mimuw.edu.pl Horyzonty 2014 17-03-2014 Będlewo Zadania numeryczne
Bardziej szczegółowoZastosowania metod analitycznej złożoności obliczeniowej do przetwarzania sygnałów cyfrowych oraz w metodach numerycznych teorii aproksymacji
Zastosowania metod analitycznej złożoności obliczeniowej do przetwarzania sygnałów cyfrowych oraz w metodach numerycznych teorii aproksymacji Marek A. Kowalski Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowo1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo
1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1.1 Rodzaje zbieżności ciagów zmiennych losowych Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna na której określony jest ciag {X
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe
14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 14a. wanaliza Krakowie) zmiennych dyskretnych: ciągi
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoPorównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie
Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoUkłady stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Bardziej szczegółowoInformacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia
Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowo9. Schematy aproksymacyjne
9. Schematy aproksymacyjne T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, WNT (2004) O.H. Ibarra, C.E. Kim Fast approximation algorithms for the knapsack and sum of subset
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowokomputery? Andrzej Skowron, Hung Son Nguyen Instytut Matematyki, Wydział MIM, UW
Czego moga się nauczyć komputery? Andrzej Skowron, Hung Son Nguyen son@mimuw.edu.pl; skowron@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Wydział MIM, UW colt.tex Czego mogą się nauczyć komputery? Andrzej Skowron,
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoRedukcja wariancji w metodach Monte-Carlo
14.02.2006 Seminarium szkoleniowe 14 lutego 2006 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe
Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 1. Teoria błędów, notacja O
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 1. Teoria błędów, notacja O 1.1. Błąd bezwzględny, błąd względny 1.2. Ogólna postać błędu 1.3. Problem odwrotny teorii błędów - zasada równego wpływu
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoZasady analizy algorytmów
Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoMaksymalne powtórzenia w tekstach i zerowa intensywność entropii
Maksymalne powtórzenia w tekstach i zerowa intensywność entropii Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl i Instytut Podstaw Informatyki PAN Warszawa 1 Wprowadzenie 2 Ograniczenia górne i dolne 3 Przykłady
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoChaotyczne generatory liczb pseudolosowych
Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych Michał Krzemiński michalkrzeminski@wp.pl Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych -
Bardziej szczegółowoWykład 9: Markov Chain Monte Carlo
RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.
OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoAnaliza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sp. ze stałymi kosztami za transakcje
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sprzedaży ze stałymi kosztami za transakcje Instytut Matematyczny PAN Problem bez stałych kosztów za transakcje (Ω, F, (F t ), P) przestrzeń
Bardziej szczegółowoAnaliza składowych głównych
Analiza składowych głównych Wprowadzenie (1) W przypadku regresji naszym celem jest predykcja wartości zmiennej wyjściowej za pomocą zmiennych wejściowych, wykrycie związku między wielkościami wejściowymi
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO
ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowoRozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoŁagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych
Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -
Bardziej szczegółowo