Zastosowanie systemów pośrednich między S4 a S5 w kontekstach epistemicznych
|
|
- Józef Orzechowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zastosowanie systemów pośrednich między S4 a S5 w kontekstach epistemicznych Zastosowania logiki modalnej Lublin, 17 listopada 2009
2 Aksjomaty i semantyka
3 Uwagi historyczne W. T. Parry: system pośredni S4.5 między S4 a S5 S4 + { L(LMLp Lp) }; utożsamienie L i LML, pozostają modalności L, ML, LM, M oraz ich negacje;
4 Uwagi historyczne W. T. Parry: system pośredni S4.5 między S4 a S5 S4 + { L(LMLp Lp) }; utożsamienie L i LML, pozostają modalności L, ML, LM, M oraz ich negacje; poł. lat L-tych - A. Prior: poszukiwanie systemu dla modalności Diodorowskiej; najpierw S4, potem odkrycie potrzeby systemu pośredniego między S4 a S5;
5 Uwagi historyczne W. T. Parry: system pośredni S4.5 między S4 a S5 S4 + { L(LMLp Lp) }; utożsamienie L i LML, pozostają modalności L, ML, LM, M oraz ich negacje; poł. lat L-tych - A. Prior: poszukiwanie systemu dla modalności Diodorowskiej; najpierw S4, potem odkrycie potrzeby systemu pośredniego między S4 a S5; Dummett i Lemmon, Modal Logics between S4 and S5 : Systemy S4.2, S4.3, system modalności Diodorowskiej D (zwany przez Sobocińskiego S4.3.1);
6 Uwagi historyczne W. T. Parry: system pośredni S4.5 między S4 a S5 S4 + { L(LMLp Lp) }; utożsamienie L i LML, pozostają modalności L, ML, LM, M oraz ich negacje; poł. lat L-tych - A. Prior: poszukiwanie systemu dla modalności Diodorowskiej; najpierw S4, potem odkrycie potrzeby systemu pośredniego między S4 a S5; Dummett i Lemmon, Modal Logics between S4 and S5 : Systemy S4.2, S4.3, system modalności Diodorowskiej D (zwany przez Sobocińskiego S4.3.1); lata LX i LXX - B. Sobociński, J. Zeman: S4.4 i inne systemy pośrednie; rodzina systemów K; semantyki Kripke owskie dla systemów pośrednich;
7 Uwagi historyczne W. T. Parry: system pośredni S4.5 między S4 a S5 S4 + { L(LMLp Lp) }; utożsamienie L i LML, pozostają modalności L, ML, LM, M oraz ich negacje; poł. lat L-tych - A. Prior: poszukiwanie systemu dla modalności Diodorowskiej; najpierw S4, potem odkrycie potrzeby systemu pośredniego między S4 a S5; Dummett i Lemmon, Modal Logics between S4 and S5 : Systemy S4.2, S4.3, system modalności Diodorowskiej D (zwany przez Sobocińskiego S4.3.1); lata LX i LXX - B. Sobociński, J. Zeman: S4.4 i inne systemy pośrednie; rodzina systemów K; semantyki Kripke owskie dla systemów pośrednich; lata LXX - W. Lenzen: stosowanie systemów pośrednich w kontekstach epistemicznych
8 Aksjomaty systemów modalnych K. K(φ ψ) (Kφ Kψ) D. Kφ Mφ T. Kφ φ 4. Kφ KKφ 5. MKφ Kφ RG φ Kφ
9 Aksjomaty systemów modalnych K. K(φ ψ) (Kφ Kψ) D. Kφ Mφ T. Kφ φ 4. Kφ KKφ 5. MKφ Kφ RG φ Kφ 4.2 MKφ KMφ 4. 3 K(φ Mψ) K(ψ Mφ) K(K(φ Kφ) φ) (MKφ φ) K(Kφ ψ) (MKψ φ) F. Mφ MKψ K(Mφ ψ) 4.4. ((φ MKψ) K(φ ψ)
10 Inne sformułowania aksjomatów 4.3 (*) K(Kφ Kψ) K(Kψ Kφ) 4.3 (**) K(Kφ ψ) K(Kψ φ) MKψ φ K( ψ Mφ) F MKψ Mφ K( ψ Mφ) 4.4 MKψ φ K( ψ φ)
11 Lista systemów T (=KT): { K } + { T } + { RG } D: { K } + { D } + { RG } S4 (=KT4): T + { 4 } KD4: D + {4 }
12 Lista systemów T (=KT): { K } + { T } + { RG } D: { K } + { D } + { RG } S4 (=KT4): T + { 4 } KD4: D + {4 } S4.2: S4 + { 4.2 } S4.3: S4 + { 4.3 } S4D (=S4.3.1): S4.3 + { } S4F: S4 + { F } S4.3.2: S4 + { } S4.4: S4 + { 4.4 } S5 (=KT45): S4 + { 5 } KD45: KD4 + { 5 }
13 Własności relacji dostępności Ser Ser(R) x y(xry) Refl Refl(R) x(xrx) Sym Sym(R) x y(xry yrx) E Euclid(R) x y z(xry xrz yrz) Tr Trans(R) x y z(xry yrz xrz)
14 Własności relacji dostępności Ser Ser(R) x y(xry) Refl Refl(R) x(xrx) Sym Sym(R) x y(xry yrx) E Euclid(R) x y z(xry xrz yrz) Tr Trans(R) x y z(xry yrz xrz) Con Con(R) x y z(xry xrz (yrz zry) Conv Conv(R) x y t(xry xrt z(yrz trz)) SConv SConv(R) x z y(xry yrz) WCon WCon(R) x y z((xry xrz) (yrz zry)) F F(R) x y(xry ( z(xrz yrz) z(xrz zry))) F* F*(R) x y z((xry xrz (zry yrx)) TB TB(R) x y((xry x y) z(xrz zry)) RSym RSym (R) x y z(xry yrz zry x = y)
15 Relacje między systemami S5 S4.4 S4.3.1 S4.2.1 S4.3.2 S4.3 S.4.2 S4
16 System S4 i S4.3 Modalności Diodora: jest konieczne = jest prawdziwe teraz i w każdym momencie w przyszłości, a jest możliwe = jest prawdziwe teraz lub w pewnym momencie przyszłości
17 System S4 i S4.3 Modalności Diodora: jest konieczne = jest prawdziwe teraz i w każdym momencie w przyszłości, a jest możliwe = jest prawdziwe teraz lub w pewnym momencie przyszłości S4: relacja alternatywności (zwrotna, przechodnia) częściowo porządkuje światy w modelu - model rozgałęziony. Istnieją przyszłe stany rzeczy dostępne dla mnie teraz, które mogą wskutek pewnych zdarzeń pośrednich stać się dla mnie niedostępne w przyszłości.
18 System S4 i S4.3 Modalności Diodora: jest konieczne = jest prawdziwe teraz i w każdym momencie w przyszłości, a jest możliwe = jest prawdziwe teraz lub w pewnym momencie przyszłości S4: relacja alternatywności (zwrotna, przechodnia) częściowo porządkuje światy w modelu - model rozgałęziony. Istnieją przyszłe stany rzeczy dostępne dla mnie teraz, które mogą wskutek pewnych zdarzeń pośrednich stać się dla mnie niedostępne w przyszłości. S4.3: liniowe uporządkowanie momentów czasowych; dla dowolnych światów w 1, w 2, albo w 1 ma dostęp do w 2 albo w 2 ma dostęp do w 1 lub też w 1 = w 2 (relacja jest spójna)
19 S4.2, S (D) S4.2 - kompromis między S4 (czas rozgałęziony) a S4.3 (czas linearny); w S4.2 relacja R zbieżna (konwergentna): istnieje taki moment czasowy, w którym gałęzie są zbieżne;
20 S4.2, S (D) S4.2 - kompromis między S4 (czas rozgałęziony) a S4.3 (czas linearny); w S4.2 relacja R zbieżna (konwergentna): istnieje taki moment czasowy, w którym gałęzie są zbieżne; S4.3.1 właściwym systemem Diodorowskim; w S4.3 czas liniowy i ciągły (własc. gęsty); jeśli do S4.3 dodać np. formułę K(K((K Kp) Kp) (MKp Kp)) otrzyma się dyskretną sekwencję czasową (pomiędzy dwoma momentami istnieje nieskończenie wiele chwil).
21 S4.3.2 (S4F), S4.4, S5 S5: Jest konieczne, że p = p jest teraz prawdziwe i było zawsze i będzie zawsze prawdziwe ; jest możliwe, że p = Teraz jest prawdziwe lub kiedyś było prawdziwe lub kiedyś będzie prawdziwe
22 S4.3.2 (S4F), S4.4, S5 S5: Jest konieczne, że p = p jest teraz prawdziwe i było zawsze i będzie zawsze prawdziwe ; jest możliwe, że p = Teraz jest prawdziwe lub kiedyś było prawdziwe lub kiedyś będzie prawdziwe S4.4 słabszy od S5: logika końca świata aksjomat 4.4: MKφ φ K(φ φ), jeśli zdanie jest prawdziwe i możliwie konieczne, to jest konieczne; obecna chwila jest ostatnią chwilą, po której czas zamieni się w wieczność;
23 S4.3.2 (S4F), S4.4, S5 S5: Jest konieczne, że p = p jest teraz prawdziwe i było zawsze i będzie zawsze prawdziwe ; jest możliwe, że p = Teraz jest prawdziwe lub kiedyś było prawdziwe lub kiedyś będzie prawdziwe S4.4 słabszy od S5: logika końca świata aksjomat 4.4: MKφ φ K(φ φ), jeśli zdanie jest prawdziwe i możliwie konieczne, to jest konieczne; obecna chwila jest ostatnią chwilą, po której czas zamieni się w wieczność; S4.3.2 (4F): czas nie-rozgałęziony x y z((xry xrz (zry yrx))
24 Gdyby ktoś mniemał, że coś wie, to jeszcze nie wie, jak wiedzieć należy /1Kor 8, 2/
25 Hintikka o własnościach wiedzy Pojęcie wiedzy winno spełniać warunki klasycznej definicji: prawdziwość; przekonanie; coś jeszcze - konkluzywność, niepowątpiewalność.
26 Hintikka o własnościach wiedzy Pojęcie wiedzy winno spełniać warunki klasycznej definicji: prawdziwość; przekonanie; coś jeszcze - konkluzywność, niepowątpiewalność. Ważne: brak odwołania się do introspekcji.
27 Hintikka o własnościach wiedzy Pojęcie wiedzy winno spełniać warunki klasycznej definicji: prawdziwość; przekonanie; coś jeszcze - konkluzywność, niepowątpiewalność. Ważne: brak odwołania się do introspekcji. Stąd: relacja alternatywności winna być zwrotna i przechodnia. Przechodniość: wyraża warunek konkluzywności: w każdym możliwym świecie prawdziwe nie tylko p, ale i wie, że p
28 Hintikka o własnościach wiedzy Relacja dostępności nie może być symetryczna: Dwa argumenty: Jeśli sym(r) (czyli przyjmujemy aksjomat 5), to trzeba uznać wzór p K K p Można by dojść do wiedzy przez samą refleksję
29 Hintikka o własnościach wiedzy Relacja dostępności nie może być symetryczna: Dwa argumenty: Jeśli sym(r) (czyli przyjmujemy aksjomat 5), to trzeba uznać wzór p K K p Można by dojść do wiedzy przez samą refleksję Pewna przyszła wiedza możliwa do pogodzenia z tym, co wiem teraz, ale jeśli będę miał bogatszą wiedzę, niektóre ze zdań dziś znanych nie będą możliwe do pogodzenia z tą wiedzą
30 Hintikka o własnościach wiedzy Relacja dostępności nie może być symetryczna: Dwa argumenty: Jeśli sym(r) (czyli przyjmujemy aksjomat 5), to trzeba uznać wzór p K K p Można by dojść do wiedzy przez samą refleksję Pewna przyszła wiedza możliwa do pogodzenia z tym, co wiem teraz, ale jeśli będę miał bogatszą wiedzę, niektóre ze zdań dziś znanych nie będą możliwe do pogodzenia z tą wiedzą Stąd: prawdziwa logika wiedzy - S4
31 Własności przekonania W Knowledge and Belief mało rozważań dotyczących przekonań. Własności przekonań takie, jak własności wiedzy; jedyna różnica: przekonania nie muszą być prawdziwe
32 Własności przekonania W Knowledge and Belief mało rozważań dotyczących przekonań. Własności przekonań takie, jak własności wiedzy; jedyna różnica: przekonania nie muszą być prawdziwe Dlatego: doksastyczna alternatywność: przechodnia i seryjna Wniosek: przekonanie traktowane jest jako pewność
33 Własności przekonania W Knowledge and Belief mało rozważań dotyczących przekonań. Własności przekonań takie, jak własności wiedzy; jedyna różnica: przekonania nie muszą być prawdziwe Dlatego: doksastyczna alternatywność: przechodnia i seryjna Wniosek: przekonanie traktowane jest jako pewność Różnice wiedza - przekonanie widoczne lepiej dopiero przy iteracji tych pojęć
34 Lenzen o przekonaniach Przekonanie: mocne - pewność (überzeugt sein) p ma dla podmiotu absolutne prawdopodobieństwo słabe - mniemanie (glauben): dolna granica subiektywnego prawdopodobieństwa p może być określona jako 1/2
35 Lenzen o przekonaniach Przekonanie: mocne - pewność (überzeugt sein) p ma dla podmiotu absolutne prawdopodobieństwo słabe - mniemanie (glauben): dolna granica subiektywnego prawdopodobieństwa p może być określona jako 1/2
36 Mocne przekonanie C1 Cp Cq C(p q) C2 Cp C p (niesprzeczność przekonań) C3 P(p q) Pp Pq, gdzie Pp C p C4 C(p q) Cp Cq C5 Cp Cq C(p q) C6 (φ ψ) (Cφ Cψ) C9 φ Cφ
37 Mocne przekonanie C1 Cp Cq C(p q) C2 Cp C p (niesprzeczność przekonań) C3 P(p q) Pp Pq, gdzie Pp C p C4 C(p q) Cp Cq C5 Cp Cq C(p q) C6 (φ ψ) (Cφ Cψ) C9 φ Cφ E1 Cp KCp (pozytywna introspekcja) E2 Cp K Cp (negatywna introspekcja) E3 Kp Cp, a z tych zasad wynikają: C10 Cp CCp oraz C11 Cp C Cp
38 Mocne przekonanie C1 Cp Cq C(p q) C2 Cp C p (niesprzeczność przekonań) C3 P(p q) Pp Pq, gdzie Pp C p C4 C(p q) Cp Cq C5 Cp Cq C(p q) C6 (φ ψ) (Cφ Cψ) C9 φ Cφ E1 Cp KCp (pozytywna introspekcja) E2 Cp K Cp (negatywna introspekcja) E3 Kp Cp, a z tych zasad wynikają: C10 Cp CCp oraz C11 Cp C Cp Logika mocnego przekonania - KD45
39 Słabe przekonanie B1 B2 B3 B5 B6 Bp B p Bp BBp Bp B Bp (φ ψ) (Bφ Bψ) φ Bφ
40 Słabe przekonanie B1 Bp B p B2 Bp BBp B3 Bp B Bp B5 (φ ψ) (Bφ Bψ) B6 φ Bφ E4 Bp Cq B(p q) E5 Cp Bp E6 Bp KBp E7 Bp B Bp
41 Słabe pojęcie wiedzy Wiedza = prawdziwe mocne przekonanie: K p Cp p K*1 K p p K*2 K p K q K (p q) K*4 φ ψ (K φ K ψ) K*5 φ K p K*6 K p K K p (prosta konsekwencja (Def K*) oraz C10) E8 Cp K Cp
42 Słabe pojęcie wiedzy Wiedza = prawdziwe mocne przekonanie: K p Cp p K*1 K p p K*2 K p K q K (p q) K*4 φ ψ (K φ K ψ) K*5 φ K p K*6 K p K K p (prosta konsekwencja (Def K*) oraz C10) E8 Cp K Cp (5) K p K K p nie może być przyjęty bezwzględnie. Należy rozróżnić dwa przypadki: a) podmiot nie wie ponieważ nie jest dostatecznie przekonany, że p - zasada 5 obowiązuje (E8 obowiązuje); b) podmiot nie wie, że p, gdyż p jest fałszywe, choć podmiot jest silnie przekonany; nie wie, że nie wie, że p.
43 Słabe pojęcie wiedzy Wiedza = prawdziwe mocne przekonanie: K p Cp p K*1 K p p K*2 K p K q K (p q) K*4 φ ψ (K φ K ψ) K*5 φ K p K*6 K p K K p (prosta konsekwencja (Def K*) oraz C10) E8 Cp K Cp (5) K p K K p nie może być przyjęty bezwzględnie. Należy rozróżnić dwa przypadki: a) podmiot nie wie ponieważ nie jest dostatecznie przekonany, że p - zasada 5 obowiązuje (E8 obowiązuje); b) podmiot nie wie, że p, gdyż p jest fałszywe, choć podmiot jest silnie przekonany; nie wie, że nie wie, że p. Logika wiedzy (K*) jest zawarta pomiędzy systemami S4 a S5
44 Mocne pojęcie wiedzy K1 Kp p K2 Kp Kq K(p q) K4 (φ ψ) (Kφ Kψ) K5 φ Kψ K6 Kp KKp (KK teza)
45 Mocne pojęcie wiedzy K1 Kp p K2 Kp Kq K(p q) K4 (φ ψ) (Kφ Kψ) K5 φ Kψ K6 Kp KKp (KK teza) E9 Cp BKp E10 Cp CKp E11 CCp CKp
46 Mocne pojęcie wiedzy K1 Kp p K2 Kp Kq K(p q) K4 (φ ψ) (Kφ Kψ) K5 φ Kψ K6 Kp KKp (KK teza) E9 Cp BKp E10 Cp CKp E11 CCp CKp E9 -związek między przeświadczeniem, przekonaniem i wiedzą. E11 - wzmocnienie E9 i E10: wiedza i przeświadczenie są subiektywnie nierozróżnialne (osoba nie może rozstrzygnąć, czy jest tylko przeświadczona, że p czy też naprawdę wie, że p, choć obiektywnie taka różnica istnieje (tylko wiedza pociąga prawdziwość)
47 Przeświadczenie możliwą wiedzą Korzystając z zasad: E10 Cp CKp C2 CKp C Kp E3 Kp Cp E2 Cp K Cp
48 Przeświadczenie możliwą wiedzą Korzystając z zasad: E10 Cp CKp C2 CKp C Kp E3 Kp Cp E2 Cp K Cp łatwo udowodnić E12 Cp K Kp, które można traktować jako definicję przeświadczenia jako możliwej wiedzy.
49 Przeświadczenie możliwą wiedzą Korzystając z zasad: E10 Cp CKp C2 CKp C Kp E3 Kp Cp E2 Cp K Cp łatwo udowodnić E12 Cp K Kp, które można traktować jako definicję przeświadczenia jako możliwej wiedzy. Taka definicja możliwa w systemie S4.2; jego aksjomat 4.2 MKp KMp po zastosowaniu E12 przechodzi w zasadę E1 Cp KCp
50 Doksastyczna i epistemiczna alternatywność Relacja alternatywności epistemicznej w systemie S4.2: zwrotna, przechodnia i silnie (lub słabo) zbieżna;
51 Doksastyczna i epistemiczna alternatywność Relacja alternatywności epistemicznej w systemie S4.2: zwrotna, przechodnia i silnie (lub słabo) zbieżna; Relacja alternatywności doksastycznej w systemie KD45: seryjna, przechodnia i euklidesowa.
52 Doksastyczna i epistemiczna alternatywność Relacja alternatywności epistemicznej w systemie S4.2: zwrotna, przechodnia i silnie (lub słabo) zbieżna; Relacja alternatywności doksastycznej w systemie KD45: seryjna, przechodnia i euklidesowa. Definicja (D) xdy = df z(xrz zry) dołączona do własności alternatywności epistemicznej systemu S4.2 prowadzi do tego, że relacja D jest dostępnością doksastyczną określoną w KD45;
53 Doksastyczna i epistemiczna alternatywność Relacja alternatywności epistemicznej w systemie S4.2: zwrotna, przechodnia i silnie (lub słabo) zbieżna; Relacja alternatywności doksastycznej w systemie KD45: seryjna, przechodnia i euklidesowa. Definicja (D) xdy = df z(xrz zry) dołączona do własności alternatywności epistemicznej systemu S4.2 prowadzi do tego, że relacja D jest dostępnością doksastyczną określoną w KD45; Definicja (E) doksastycznej nierozróżnialności: idealny podmiot ma dokładnie te same przekonania w świecie możliwym x co w świecie y, czyli: (E) xey = df z(xdz ydz) ( E jest relacją równoważnościową)
54 Dla danego świata możliwego x można wyznaczyć trzy zbiory: E zbiór światów subiektywnie nierozróżnialnych od świata x (światy mające E-powiązanie z x) podzbiór R zbioru E światów możliwych do pogodzenia z tym, co podmiot wie (światy mające R-powiązanie z x) podzbiór D zbioru R światów możliwych do pogodzenia z tym, o czym podmiot jest przeświadczony (światy mające D-powiązanie z x).
55 Dla danego świata możliwego x można wyznaczyć trzy zbiory: E zbiór światów subiektywnie nierozróżnialnych od świata x (światy mające E-powiązanie z x) podzbiór R zbioru E światów możliwych do pogodzenia z tym, co podmiot wie (światy mające R-powiązanie z x) podzbiór D zbioru R światów możliwych do pogodzenia z tym, o czym podmiot jest przeświadczony (światy mające D-powiązanie z x). E-światy R-światy D-światy x
56 Minimalne rozszerzenie relacji D W jaki sposób rozszerzyć relację doksastycznej alternatywności, aby stała się ona alternatywnością epistemiczną?
57 Minimalne rozszerzenie relacji D W jaki sposób rozszerzyć relację doksastycznej alternatywności, aby stała się ona alternatywnością epistemiczną? Minimalne rozszerzenie łatwe: Założyć zwrotność relacji D; zbiór epistemicznie dostępnych światów = zbiór światów doksastycznie dostępnych plus świat aktualny.
58 Minimalne rozszerzenie relacji D W jaki sposób rozszerzyć relację doksastycznej alternatywności, aby stała się ona alternatywnością epistemiczną? Minimalne rozszerzenie łatwe: Założyć zwrotność relacji D; zbiór epistemicznie dostępnych światów = zbiór światów doksastycznie dostępnych plus świat aktualny. Wiedza to prawdziwe mocne przekonanie Kp = Cp p, czyli system S4.4.
59 Maksymalne rozszerzenie D Z pozytywnej i negatywnej introspekcji wynika, że wszystkie światy epistemicznie dostępne względem x są subiektywnie nierozróżnialne ze świata x ( x y(xry xey).
60 Maksymalne rozszerzenie D Z pozytywnej i negatywnej introspekcji wynika, że wszystkie światy epistemicznie dostępne względem x są subiektywnie nierozróżnialne ze świata x ( x y(xry xey). Utożsamiając R z maksymalnym rozszerzeniem D, otrzymamy definicję: xry = df (xdx xdy) ( xdx xey) To ujęcie wiedzy pozwala nam znać rzeczy, które wychodzą poza nasze stany wewnętrzne jedynie wtedy, gdy wszystkie nasze przekonania są prawdziwe. Logika tego pojęcia wiedzy S4F jest mocniejsza niż S4.2, ale słabsza niż logika minimalnego rozszerzenia, S4.4.
61 S4F jest badany w kontekstach niemonotonicznych w zastosowaniu do tzw. logik autoepistemicznych. W logikach tych zakłada się, że wszystkie zdania reprezentują wyłącznie przekonania podmiotu, a nie świat. Przekonania dzielone na: przekonania początkowe i rezultaty przekonań początkowych.
62 S4F jest badany w kontekstach niemonotonicznych w zastosowaniu do tzw. logik autoepistemicznych. W logikach tych zakłada się, że wszystkie zdania reprezentują wyłącznie przekonania podmiotu, a nie świat. Przekonania dzielone na: przekonania początkowe i rezultaty przekonań początkowych. Taka logika jest niemonotoniczna: Załóżmy, że początkowy zbiór przekonań jest pusty. Wówczas autoepistemiczną konsekwencją tego zbioru jest zdanie Kp (nie wiem, że p); czyli ae Kp. Teraz załóżmy, że zbiór początkowy wzbogacił się o p ({p}); mamy wówczas {p} ae Kp, a stąd ({p} ae Kp);
Logiczne a kognitywistyczne ujęcie przekonania
Marek Lechniak Wydział Filozofii KUL lechmar@kul.pl Odkrywanie umysłu: od percepcji do refleksji Jerzemu Perzanowskiemu in memoriam Kraków, 29.05.2013 r. Logika Przedmiot logiki: wynikanie logiczne (zasady
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do logiki epistemicznej. Przekonania i wiedza
Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Wprowadzenie do logiki epistemicznej. Przekonania i wiedza (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl wersja beta 1.1 (na podstawie:
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoKrystyna Misiuna O pewnej logice informacji. Filozofia Nauki 19/1, 57-70
O pewnej logice informacji Filozofia Nauki 19/1, 57-70 2011 Filozofia Nauki Rok XIX, 2011, Nr 1(73) O pewnej logice informacji Głównym celem tego artykułu jest przedstawienie intuicyjnie adekwatnego systemu
Bardziej szczegółowoRelacje. Relacje / strona 1 z 18
Relacje Relacje / strona 1 z 18 Relacje (para uporządkowana, iloczyn kartezjański) Definicja R.1. Parą uporządkowaną (x,y) nazywamy zbiór {{x},{x,y}}. Uwaga: (Ala, Ola) (Ola, Ala) Definicja R.2. (n-tka
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoParadoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania
Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl
Bardziej szczegółowoIVa. Relacje - abstrakcyjne własności
IVa. Relacje - abstrakcyjne własności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny wiva. Krakowie) Relacje - abstrakcyjne własności 1 / 22 1 Zwrotność
Bardziej szczegółowoZbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.
Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoLogika 2 Logiki temporalne
Logika 2 Logiki temporalne Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Dzisiejsze zajęcia wiele zawdzięczają wykładom A. Indrzejczaka z logik nieklasycznych Czym jest czas? św. Augustyn
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Jerzy Pogonowski. Własności relacji. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Matematyczna Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna Własności relacji 1 / 46 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Wprowadzenie Podobnie jak w przypadku
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 1. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 1 Marcin Szczuka Instytut Matematyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 28 Plan wykładu 1
Bardziej szczegółowoLogika. Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie.
Logika Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie. i) Wprowadźmy oznaczenie F (p, q) ((p q) = ( p q)). Funkcja zdaniowa F nie
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 3. Relacje i funkcje
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 3. Relacje i funkcje 1 Już było... Definicja 2.6. (para uporządkowana) Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{x},
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoNaukoznawstwo (Etnolingwistyka V)
Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 25 listopada 2006 Jerzy Pogonowski (MEG) Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) 25 listopada
Bardziej szczegółowoTeoria popytu. Popyt indywidualny konsumenta
Teoria popytu Popyt indywidualny konsumenta Koszyk towarów Definicja 1 Wektor x=(x 1,x 2,x 3,...,x n ) taki, że x i 0 dla każdego i,w którym i-ta współrzędna oznacza ilość towaru nr i, którą konsument
Bardziej szczegółowo5. Rozważania o pojęciu wiedzy. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016
5. Rozważania o pojęciu wiedzy Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 Wiedza przez znajomość [by acquaintance] i wiedza przez opis Na początek
Bardziej szczegółowoElementy teorii mnogości. Część I. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy teorii mnogości 1 Elementy teorii mnogości Część I Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości 2 1. Pojęcia
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoZagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc.
Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc. 3. Porządki liniowe. Porządki gęste, ciągłe i dobre. dradamkolany,mailto:ynalok64@wp.pl,http://kolany.pl,gg:1797933,tel.(+48)602804128...
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:
1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 8. Modalności i intensjonalność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 8. Modalności i intensjonalność 1 Coś na kształt ostrzeżenia Ta prezentacja jest nieco odmienna od poprzednich. To,
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoNOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?
S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE
Bardziej szczegółowoPodejmowanie decyzji
, czyli skojarzenie matematyki z socjologia XLVIII Szkoła Matematyki Pogladowej 27 stycznia 2012 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoBOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Bardziej szczegółowoSławomir Kost Semantyki pewnych logik wielomodalnych
Uniwersytet Śląski w Katowicach Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Instytut Matematyki Sławomir Kost Semantyki pewnych logik wielomodalnych Praca doktorska napisana pod kierunkiem dra hab. prof. UŚ Wojciecha
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoRodzaje argumentów za istnieniem Boga
Rodzaje argumentów za istnieniem Boga Podział argumentów argument ontologiczny - w tym argumencie twierdzi się, że z samego pojęcia bytu doskonałego możemy wywnioskować to, że Bóg musi istnieć. argumenty
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowo1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów
1 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 2 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach w sensie dystrybutywnym; rachunek zbiorów jest fragmentem teorii mnogości. Pojęcia
Bardziej szczegółowoSzymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
Bardziej szczegółowoAutomatyzacja wnioskowań z wykorzystaniem relacyjnych systemów dual tableaux
z wykorzystaniem relacyjnych systemów dual tableaux Instytut Filozofii, Uniwersytet Warszawski j.golinska@uw.edu.pl I Ogólnopolska Konferencja Filozofia w logice i informatyce Warszawa, 6 listopada 2015
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoLogiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk
Logiki modalne notatki z seminarium Piotr Polesiuk 1 Motywacja i historia Logika modalna rozszerza logikę klasyczną o modalności takie jak φ jest możliwe, φ jest konieczne, zawsze φ, itp. i jak wiele innych
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna w informatyce
Paweł Gładki Logika matematyczna w informatyce http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Piątek, 8:00-9:30 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoElementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoWeronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego
Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Bardziej szczegółowoLogika Temporalna i Automaty Czasowe
Modelowanie i Analiza Systemów Informatycznych Logika Temporalna i Automaty Czasowe (1) Wprowadzenie do logiki temporalnej Paweł Głuchowski, Politechnika Wrocławska wersja 2.2 Program wykładów 1. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoReguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do
Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Bardziej szczegółowoZasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Logiki temporalne Przykłady użycia Bibliografia. Logiki temporalne. Andrzej Oszer. Seminarium Protokoły Komunikacyjne
Seminarium Protokoły Komunikacyjne Spis treści 1 2 PLTL - Propositional Linear Temporal Logic CTL - Computation Tree Logic CTL* - uogólnienie 3 4 rozszerzaja logikę pierwszego rzędu o symbole określajace
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoFilozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei
Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei 2010-10-01 Tematyka wykładu 1 Metafora jaskini 2 Świat materialny - świat pozoru Świat idei - świat prawdziwy Relacja między światem idei i światem
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoRelacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji
Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoO pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego
O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego Jan Ligęza Instytut Matematyki Wisła Letnia Szkoła Instytutu Matematyki wrzesień 2010 r. [1] S. Łojasiewicz, J. Wloka, Z. Zieleżny; Über eine
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Pytania i odpowiedzi
Wstęp do logiki Pytania i odpowiedzi 1 Pojęcie pytania i odpowiedzi DEF. 1. Pytanie to wyrażenie, które wskazuje na pewien brak w wiedzy subiektywnej lub obiektywnej i wskazuje na dążenie do uzupełnienia
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowo