Podejmowanie decyzji

Transkrypt

1 , czyli skojarzenie matematyki z socjologia XLVIII Szkoła Matematyki Pogladowej 27 stycznia 2012

2 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób grupy ludzi podejmuja wspólne decyzje? Jakie sa cechy powszechnie stosowanych w tym celu procedur? Jakie własności powinny spełniać metody podejmowania decyzji? I jak je wyrazić formalnie? Czy istnieja metody o pożadanych własnościach? Historycznie: ekonomia, matematyka Laureaci Nagrody Nobla: Kenneth Arrow, James Buchanan, John Nash, Amartya Sen Obecnie: nauki polityczne

11 Paradoks Condorceta (XVIII w.) Paradoksy ujawniaja ułomności powszechnie stosowanych procedur podejmowania decyzji. Osoba I: Osoba II: Osoba III: x y z y z x z x y x y y z z x osoba I tak tak nie osoba II nie tak tak osoba III tak nie tak decyzja grupowa tak tak tak Otrzymujemy uporzadkowanie cykliczne. Niemożliwy jest wybór najlepszego rozwiazania.

16 Teoria Agregacji Preferencji Klasyczne sformułowanie problemu decyzji dotyczy preferencji: Jak podejmować decyzje społeczne na podstawie indywidualnych uporzadkowań zbioru możliwych rozwiazań?

17 Teoria Agregacji Preferencji Klasyczne sformułowanie problemu decyzji dotyczy preferencji: Jak podejmować decyzje społeczne na podstawie indywidualnych uporzadkowań zbioru możliwych rozwiazań?

18 Teoria Agregacji Preferencji Skończony, niepusty zbiór alternatyw społecznych K. Relacja preferencji R - dowolna relacja binarna na zbiorze K. xry - alternatywa x jest przynajmniej tak dobra, jak y Z relacja preferencji R wiażemy: relację mocnej preferencji P, gdzie xpy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry i nieprawda, że yrx, relację indyferencji I taka, że xiy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry oraz yrx. xpy - alternatywa x jest lepsza niż y xiy - alternatywa x jest równie dobra, jak y Jakie sa nasze relacje preferencji?

26 Teoria Agregacji Preferencji Jeśli relacja preferencji R jest spójna, zwrotna i przechodnia, to nazywamy ja racjonalna relacja preferencji. x 1 x 2 x 3 - x 4 - x 5 x 6 - x 7 x 8 x 9 - x 10 Zbiór wszystkich racjonalnych relacji preferencji R na zbiorze K oznaczamy przez R. Czy nasze preferencje sa spójne, zwrotne i przechodnie?

30 Teoria Agregacji Preferencji Zbiór osób N = {1, 2,..., n} podejmujacych społeczna decyzję. Jest on skończony i niepusty. Jeśli dla każdej spośród n osób podejmujacych zbiorowa decyzję mamy dana jej relację preferencji R i na zbiorze alternatyw społecznych K, to otrzymujemy profil preferencji indywidualnych (R 1, R 2,..., R n ). Funkcję F, która profilowi preferencji indywidualnych (R 1, R 2,..., R n ) przyporzadkowuje relację F(R 1, R 2,..., R n ) = R na zbiorze alternatyw społecznych K, interpretowana jako relacja preferencji społecznej, nazywamy metoda agregacji. Będziemy rozpatrywać funkcje F : R n R.

34 Teoria Agregacji Preferencji Metoda zwykłej większości. W relacji preferencji społecznej R uzyskanej przy pomocy metody zwykłej większości alternatywa x jest przedkładana nad alternatywę y, jeśli więcej członków grupy przedkłada x nad y niż y nad x, czyli xpy {i N : xp i y} > {i N : yp i x}. Metoda zwykłej większości może generować relacje preferencji społecznej, które nie sa racjonalne (paradoks Condorceta).

38 Teoria Agregacji Preferencji Funkcje F : R n R nazywane sa funkcjami społecznego dobrobytu. Kenneth J. Arrow (1951) Social Choice and Individual Values Podejście Arrowa zostało nazwane metoda aksjomatyczna: formułujemy zestaw postulatów, wyróżniamy klasę metod je spełniajacych.

43 Twierdzenie Arrowa Optymalność Pareto. Jeśli w sytuacji, gdy wszyscy przedkładaja alternatywę x nad alternatywę y, wyznaczona relacja preferencji społecznej również przedkłada x nad y, to powiemy, że spełnia ona warunek optymalności Pareto. Dla dowolnych alternatyw x, y K zachodzi ( i N xpi y ) xpy. Czym grozi naruszenie warunku optymalności Pareto? Wybraniem na podstawie wyznaczonej relacji preferencji społecznej rozwiazania nieoptymalnego Pareto, czyli takiego, że istnieje inne jednogłośnie uznawane przez członków grupy za lepsze. Bywa nazywane kryterium racjonalności społecznej.

49 Twierdzenie Arrowa Niezależność od alternatyw niezwiazanych. Metoda agregacji spełnia warunek niezależności od alternatyw niezwiazanych, jeśli dla dowolnych alternatyw x, y K i dowolnych profili (R 1, R 2,..., R n ) oraz (R1, R 2,..., R n) należacych do dziedziny zachodzi ) ( i N (xr i y xri y yr ix yri x) ( ) xry xr y yrx yr x. Społeczna preferencja między alternatywami x i y zależy wyłacznie od preferencji członków grupy względem tych alternatyw i nie maja na nia wpływu preferencje zwiazane z innymi alternatywami.

52 Twierdzenie Arrowa Dyktatura. Jeśli istnieje taka osoba i N, że dla każdego profilu preferencji jej mocna indywidualna preferencja między dowolna para alternatyw x, y wyznacza taka sama preferencję społeczna, czyli xp i y xpy, to mamy do czynienia z dyktatura. Dyktator i nie wyznacza jednoznacznie relacji preferencji społecznej R. Metoda dyktatorska nie musi być rzutowaniem na i-ta współrzędna: xi i y xiy.

55 Twierdzenie Arrowa Twierdzenie Arrowa (General Possibility Theorem) Niech n 2 i niech K będzie takim zbiorem alternatyw społecznych, że K 3. Każda metoda agregacji preferencji F : R n R spełniajaca warunki optymalności Pareto i niezależności od alternatyw niezwiazanych jest dyktatura.

56 Twierdzenie Arrowa Jak sobie poradzić z niemożliwościa? Rozszerzenie przeciwdziedziny. (nie specjalnie pomaga) Ograniczenie dziedziny Dla jakich profili preferencji indywidualnych metoda zwykłej większości generuje "dobre" uporzadkowania? Pozbycie się lub osłabienie warunków optymalności Pareto i niezależnośli od alternatyw niezwiazanych.

62 Twierdzenie Arrowa Ogromna popularność Arrowa oraz wpływ jaki on i jego następcy wywarli na teorię wyboru społecznego sprawiły, że teoria agregacji preferencji zajęła dominujac a pozycję w dziedzinie refleksji nad podejmowaniem decyzji zbiorowych. Nie każdy problem decyzji grupowej polega na wyznaczeniu relacji preferencji społecznej, która umożliwi wybór najlepszego spośród rozważanych rozwiazań... Często mamy do czynienia z sytuacja, gdy grupa osób ma zbiór kwestii do rozpatrzenia i musi wydać wspólna opinię, czy się z nimi zgadza czy też nie. decyzje ławy przysięgłych decyzje gron eksperckich

67 Paradoks doktryny (Kornhauser Sager 1986) Trzech sędziów ma podjać wspólna decyzję w sprawie winy podejrzanego. Musza w tym celu zajać stanowisko w czterech kwestiach: a : b : c : c a b Podejrzany popełnił zarzucany mu czyn. Czyn ten stanowi przestępstwo. Podejrzany jest winny. (doktryna prawa) a b c a b c sędzia I tak tak tak tak sędzia II tak nie tak nie sędzia III nie tak tak nie decyzja grupowa tak tak tak nie

70 Paradoks doktryny (Kornhauser Sager 1986) Paradoks doktryny wskazuje na konflikt pomiędzy podejmowaniem decyzji w oparciu o przesłanki a podejmowaniem decyzji w oparciu o wnioski. Zaobserwowano, że podobnie jak paradoks Condorceta, ujawnia on istotna wadę powszechnie stosowanej procedury decyzyjnej: Zastosowanie do zbioru logicznie powiazanych kwestii klasycznego sposobu podejmowania decyzji metody zwykłej większości, może dawać w rezultacie sprzeczny zbiór zdań. Paradoks ten został nazwany dylematem dyskursywnym (Pettit 2001).

74 Dylemat dyskursywny Zadaniem trzyosobowego grona ekspertów jest zajęcie wspólnego stanowiska w następujacych kwestiach: a : a b : b : Nastapi wzrost PKB. Jeśli nastapi wzrost PKB, to wzrośnie inflacja. Nastapi wzrost inflacji. a a b b osoba I tak tak tak osoba II nie tak nie osoba III tak nie nie decyzja grupowa tak tak nie

77 Dylemat dyskursywny a a b b osoba I tak tak tak osoba II nie tak nie osoba III tak nie nie decyzja grupowa tak tak nie Trzy niesprzeczne zbiory zdań: A 1 = {a, a b, b}, A 2 = { a, a b, b}, A 3 = {a, (a b), b}. F(A 1, A 2, A 2 ) = A, gdzie A = {a, a b, b} sprzeczny

78 Dylemat dyskursywny a a b b osoba I tak tak tak osoba II nie tak nie osoba III tak nie nie decyzja grupowa tak tak nie Trzy niesprzeczne zbiory zdań: A 1 = {a, a b, b}, A 2 = { a, a b, b}, A 3 = {a, (a b), b}. F (A 1, A 2, A 2 ) = A, gdzie A = {a, a b, b} sprzeczny

79 Teoria agregacji sadów Dietrich (2004) A generalised model of judgment aggregation Systemem logicznym nazwiemy niepusty zbiór zdań L zamknięty ze względu na negację (jeśli p L, to p L) z wyróżniona rodzina swoich podzbiorów, nazywanych niesprzecznymi. Rodzina zbiorów niesprzecznych ma następujace własności: każda para {p, p} L jest zbiorem sprzecznym, podzbiór każdego zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny, zbiór pusty L jest niesprzeczny oraz dla każdego niesprzecznego zbioru S L istnieje niesprzeczny nadzbiór T L taki, że dla każdej pary {p, p} L mamy p T lub p T.

87 Teoria agregacji sadów Przykład: Systemem logicznym jest rachunek zdań. Do zbioru L należa wszystkie poprawnie zbudowane formuły rachunku zdań (a, a, b, a b, a b,...). Do rodziny zbiorów niesprzecznych zaliczamy wszystkie zbiory S L, dla których istnieje takie wartościowanie, że wartość logiczna każdego zdania p S jest równa 1. Systemy logiczne w rozumieniu powyższej definicji stanowia ponadto między innymi języki rachunku predykatów i logiki modalnej.

91 Teoria agregacji sadów Pojęcie niesprzeczności określa logiczne powiazania między zdaniami. Powiemy, że ze zbioru zdań A L wynika zdanie p L (ozn. A p), gdy zbiór A { p} jest sprzeczny. Zbiór kwestii, co do których grupa ma podjać zbiorowa decyzję, nazywamy agenda. Jest to niepusty podzbiór X zbioru L taki, że X = {p, p : p X + }. (skończony) Przykład: system logiczny L - rachunek zdań agenda X = {a, a, a b, (a b), b, b}

98 Teoria agregacji sadów Zbiorem sadów nazywamy zbiór zdań A X. Wyraża on opinię jednostki badź grupy. Powiemy, że zbiór sadów A jest: niesprzeczny, jeśli jest niesprzeczny w sensie danego systemu logicznego L, zupełny, jeśli dla każdego p X mamy p A lub p A, całkowicie racjonalny, jeśli jest zupełny i niesprzeczny. Aby dany zbiór sadów nazwać całkowicie racjonalnym, deklarujaca go jednostka badź grupa musi wyrazić swoje zdanie na temat każdej kwestii należacej do agendy! Zbiór wszystkich całkowicie racjonalnych podzbiorów A agendy X oznaczamy przez C.

106 Teoria agregacji sadów Jeśli dla każdej spośród n osób podejmujacych zbiorowa decyzję mamy dany jej zbiór sadów, to otrzymujemy profil (A 1, A 2,..., A n ). Funkcję F, która profilowi indywidualnych zbiorów sadów (A 1, A 2,..., A n ) przyporzadkowuje zbiór F(A 1, A 2,..., A n ) = A X, interpretowany jako zbiór zdań akceptowanych przez grupę N, nazywamy metoda agregacji. Będziemy rozpatrywać funkcje F : C n C, dla których niemożliwe jest "wstrzymanie się od głosu".

110 Teoria agregacji sadów Metoda zwykłej większości. Zdanie p X jest społecznie akceptowane, jeśli więcej członków grupy akceptuje to zdanie niż jego zaprzeczenie, czyli F (A 1, A 2,..., A n ) = {p X : {i N : p A i } > {i N : p A i } }. Metoda zwykłej większości może generować sprzeczne zbiory sadów (dylemat dyskursywny).

Pokazać jeszcze