LOGIKA Dedukcja Naturalna

Transkrypt

1 LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

2 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów założeniowych Przykład dowodów założeniowego wprost Przykład dowodów założeniowego niewprost Najogólniejsza postać wyrażenia dowodzonego 2 Definicja założeniowego dowodu wprost 3 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Przykład założeniowego dowodu 4 Definicja założeniowego dowodu niewprost Sprzeczność syntaktyczna Przykłady założeniowego dowodu niewprost Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

3 PLAN WYKŁADU 5 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła opuszczania podwójnej negacji Roszerzona reguła opuszczania alternatywy Reguła modus tollendo tollens Reguła negowania alternatywy Reguła dołączania implikacji do dowodu Reguła obalania dodatkowych założeń Reguła rozgałęzionego dowodu wprost Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost 6 Pojęcie tezy 7 Metoda zerojedynkowa vs. dowód 8 Udowodnij! 9 Źródła Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

4 Przykład dowodów założeniowych Przykład dowodów założeniowego wprost Przykład dowodu założeniowego wprost Każda liczba podzielna przez 231 jest podzielna przez Weźmy dowolną liczbę n i załóżmy, że 231 n. 2 Z założenia, że 231 n i 3 231, bo jest podzielna przez , bo = 28 jest podzielna przez , bo różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na nieparzystych miejscach (licząc od prawej strony!) i sumą cyfr stojących na parzystych miejscach równa się 0 wynika, że: 3 n i 7 n i 11 n. 3 7 n i 11 n. 4 Zatem 77 n. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

5 Przykład dowodów założeniowych Przykład dowodów założeniowego niewprost Przykład dowodu założeniowego niewprost 2 nie jest liczbą wymierną. 1 Zakładamy przeciwnie: 2 jest liczbą wymierną. 2 Z definicji liczby wymiernej wynika, że istnieją takie liczby naturalne m i n (n 0), że 2 = m, przy czym m jest ułamkiem nieskracalnym. n n 3 Zatem, m 2 = 2n 2. 4 Stąd, m 2 jest liczbą parzystą. 5 m jest parzyste, tj. m = 2k. 6 Więc, 4k 2 = 2n 2. 7 Stąd, n 2 jest liczbą parzystą. 8 n jest parzyste. 9 Podsumowując: m i n są liczbami parzystymi, a zatem m jest ułamkiem n skracalnym, co jest sprzeczne z wierszem 2. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

6 Przykład dowodów założeniowych Najogólniejsza postać wyrażenia dowodzonego Jaka jest najogólniejsza postać wyrażenia dowodzonego? ϕ 1 ϕ 2 (1) ϕ 1 (ϕ 2 ϕ 3 ) (2) ϕ 1 (ϕ 2 (ϕ 3 ϕ 4 )) (3) ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n 1 ϕ n )... ) (4) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

7 Definicja założeniowego dowodu wprost Założeniowe dowody wprost Definicja ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n 1 ϕ n )... ) (5) Założeniowy dowód wprost wyrażenia o postaci (5) tworzymy w sposób następujący: 1 W n 1 pierwszych wierszach dowodu wypisujemy wyrażenia ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n 1 jako założenia twierdzenia. Każde założenie oznaczamy literą z. w części opisowej wiersza. 2 Do dowodu można dołączać jako nowe wiersze: 1 tezy uprzednio udowodnione, 2 wyrażenia uzyskane na podstawie dotychczasowych wierszy według pierwotnych reguł dołączania nowych wierszy do dowodu. 3 Dowód jest zakończony, jeśli w ostatnim jego wierszu występuje wyrażenie ϕ n. Zakończenie dowodu sygnalizujemy nie numerując ostatniego wiersza. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

8 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu I Reguła odrywania RO ϕ ψ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

9 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu II Reguła dołączania koniunkcji DK ϕ ψ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

10 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu III Reguła opuszczania koniunkcji (ta reguła ma dwa schematy) OK ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

11 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu IV Reguła dołączania alternatywy (ta reguła ma dwa schematy) DA ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

12 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu V Reguła opuszczania alternatywy OA ϕ ψ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

13 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu VI Reguła dołączania równoważności DE ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

14 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu VII Reguła opuszczania równoważności (ta reguła ma dwa schematy) OE ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

15 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Przykład założeniowego dowodu Założeniowe dowody wprost przykłady 1. (p q) (q r) z. 2. p z. 3. p q OK : 1 4. q r OK : 1 5. q RO : 3, 2 r RO : 4, 5 (p q) (q r) (p r). (6) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

16 Definicja założeniowego dowodu niewprost Założeniowe dowody niewprost Definicja ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n 1 ϕ n )... ). (7) Założeniowy dowód niewprost wyrażenia powyższej postaci tworzymy w sposób następujący: 1 W n 1 pierwszych wierszach dowodu wypisujemy wyrażenia ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n 1 jako założenia twierdzenia. Każde założenie oznaczamy literą z. w części opisowej wiersza. 2 W n-tym wierszu dowodu wpisujemy wyrażenie ϕ n jako założenie dowodu niewprost. Założenie to oznaczamy z.d.n. w części opisowej wiersza. 3 Do dowodu można dołączać jako nowe wiersze: 1 tezy uprzednio udowodnione, 2 wyrażenia uzyskane na podstawie dotychczasowych wierszy według pierwotnych reguł dołączania nowych wierszy do dowodu. 4 Dowód jest zakończony gdy uzyskaliśmy w nim dwa wiersze sprzeczne. Zakończenie dowodu sygnalizujemy pisząc sprz. i podając numery wierszy sprzecznych. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

17 Definicja założeniowego dowodu niewprost Sprzeczność syntaktyczna Sprzeczność syntaktyczna Wiersze sprzeczne są to wiersze o postaci ψ i ψ. Wyrażenie p q jest sprzeczne z wyrażeniem (p q). Wyrażenie p q nie jest sprzeczne z wyrażeniem p q. Wyrażenie p q nie jest sprzeczne z wyrażeniem (p q). Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

18 Definicja założeniowego dowodu niewprost Przykłady założeniowego dowodu niewprost Założeniowe dowody niewprost przykłady I Udowodnimy jedno z praw reductio ad absurdum. 1. p p z. 2. p z.d.n. 3. p RO : 1, 2 sprz. : 2, 3 ( p p) p. (8) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

19 Definicja założeniowego dowodu niewprost Przykłady założeniowego dowodu niewprost Założeniowe dowody niewprost przykłady II 1. ( p q) q z. 2. p z.d.n. 3. p q OK : 1 4. q OK : 1 5. q RO : 3, 2 sprz. : 4, 5 ( p q) q p. (9) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

20 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Definicja Reguła wtórna jest to reguła, której wniosek można wyprowadzić z przesłanek używając tylko reguł pierwotnych i tez systemu założeniowego. Wprowadzenie każdej reguły wtórnej powinien poprzedzić odpowiedni dowód. Reguła wnioskowania R: R ϕ 1... ϕ n ψ jest regułą wtórną jeżeli istnieje założeniowy dowód niewprost implikacji ϕ 1 ϕ n ψ, w którym posługujemy się tylko regułami pierwotnymi dołączania nowych wierszy do dowodu. W praktyce dowodząc reguł wtórnych posługujemy się regułami pierwotnymi oraz wszystkimi udowodnionymi do tej pory regułami wtórnymi. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

21 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła opuszczania podwójnej negacji Reguły wtórne przykłady I Reguła opuszczania podwójnej negacji ON ϕ ϕ Dowód tezy na której oparta jest powyższa reguła ma postać: 1. p z. 2. p z.d.n. sprz. : 1, 2 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

22 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Roszerzona reguła opuszczania alternatywy Reguły wtórne przykłady II Roszerzona reguła opuszczania alternatywy (ta reguła ma cztery schematy) OA ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ Rozszerzona reguła OA głosi, że z alternatywy i negacji jednego z jej składników możemy wyprowadzić drugi składnik. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

23 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła modus tollendo tollens Reguły wtórne przykłady III Reguła modus tollendo tollens (ta reguła ma cztery schematy) TOLL ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ψ ψ ψ ψ ϕ ϕ ϕ ϕ Reguła modus tollendo tollens głosi, że z implikacji i wyrażenia sprzecznego z jej następnikiem możemy wyprowadzić wyrażenie sprzeczne z jej poprzednikiem. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

24 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła negowania alternatywy Reguły wtórne przykłady IV Reguła negowania alternatywy (ta reguła ma dwa schematy) NA (ϕ ψ) (ϕ ψ) ϕ ψ Reguła negowania alternatywy głosi, że z negacji alternatywy można wyprowadzić negację każdego ze składników alternatywy. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

25 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła dołączania implikacji do dowodu Reguły wtórne przykłady V Definicja Reguła dołączania implikacji do dowodu głosi, że jeśli w dowodzie na podstawie założenia dodatkowego ϕ w wierszu o numerze podwójnym k.1 uzyskaliśmy wyrażenie ψ w wierszu o numerze k.n, to wolno nam dołączyć do dowodu jako wiersz o kolejnym numerze pojedynczym implikację ϕ ψ. W części opisowej tego wiersza piszemy k.1 k.n. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

26 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła dołączania implikacji do dowodu 1. p q r z p z.d p q DA : r RO : 1, p r q z.d p q DA : r RO : 1, q r (p r) (q r) DK : 2, 3 (p q r) (p r) (q r). (10) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

27 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła dołączania implikacji do dowodu Reguła dołączania implikacji do dowodu Wiersze o numerze podwójnym nie mogą kończyć dowodu założeniowego, gdyż zostały uzyskane na podstawie dowolnie wybranego założenia dodatkowego. Wyprowadzając nowe wiersze (o podwójnych numerach) na podstawie założenia k.1 możemy odwoływać się do wszystkich dotychczasowych wierszy o numerach pojedynczych oraz do wierszy o numerach podwójnych uzyskanych na podstawie k.1. Dowód reguły dołączania implikacji do dowodu jest bardziej skomplikowany od dowodów innych reguły ponieważ wymaga dowiedzenia tzw. twierdzenia o dedukcji. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

28 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła obalania dodatkowych założeń Reguła obalania dodatkowych założeń Jeżeli założenie dodatkowe prowadzi do sprzeczności, to można do dowodu dołączyć wyrażenie z nim sprzeczne jako wiersz dowodu o pojedynczym numerze. Reguła ta jest regułą wtórną. Jeżeli z założenia dodatkowego ψ wyprowadzimy wyrażenia sprzeczne χ i χ, to na mocy reguły DK oraz reguły dołączania implikacji do dowodu, nowym wierszem dowodu będzie wyrażenie ψ χ χ A następnie, na mocy prawa redukcji do absurdu: (ψ χ χ) ψ oraz RO otrzymamy jako wiersz dowodu ψ. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

29 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła obalania dodatkowych założeń 1. (p q) z p z.d p q DA : p 1.1 sprz.(1, 1.2) 2.1. q z.d p q DA : q 2.1 sprz.(1, 2.2) p q DK : 2, 3 (p q) p q (11) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

30 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu wprost Reguła rozgałęzionego dowodu wprost Zgodnie z regułą rozgałęzionego dowodu wprost dowód wyrażenia: ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n 1 ϕ n )... ) jest zakończony, jeżeli otrzymamy w nim wyrażenie ϕ n na podstawie każdego z dodatkowych założeń ψ 1,..., ψ k, których alternatywa należy do dowodu lub może być do niego dołączona jako podstawienie tezy logicznej. Reguła ta jest regułą wtórną. Na podstawie reguły dołączania implikacji do dowodu otrzymujemy implikacje: ψ 1 ϕ n,..., ψ k ϕ n. Z implikacji tych oraz alternatywy ψ 1 ψ k na mocy tezy: (ψ 1 ϕ n) (ψ k ϕ n) (ψ 1 ψ k ) ϕ n, wyprowadzamy ϕ n. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

31 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu wprost 1. p q z. 2. r s z. 3. p r z p z.d q RO : 1, q s DA : r z.d s RO : 2, q s DA : 2.2 q s , , 3 (p q) (r s) (p r q s) (12) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

32 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost Zgodnie z regułą rozgałęzionego dowodu nie wprost dowód wyrażenia: ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n 1 ϕ n )... ) jest zakończony, jeżeli otrzymamy w nim sprzeczności na podstawie każdego z dodatkowych założeń ψ 1,..., ψ k, których alternatywa należy do dowodu lub może być do niego dołączona jako podstawienie tezy logicznej. Reguła ta jest regułą wtórną. Na podstawie reguły obalania dodatkowych założeń można dołączyć do dowodu wyrażenia: ψ 1,..., ψ k. Z alternatywy ψ 1 ψ k i wyrażeń ψ 1,..., ψ k 1 wyprowadzamy za pomocą reguły OA wyrażenie ψ k, sprzeczne z wyprowadzonym uprzednio wyrażeniem ψ k. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

33 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost (p q) (r s) ( (q s) (p r)) (13) 1. p q z. 2. r s z. 3. (q s) z. 4. (p r) z.d.n. 5. p r ON : p z.d q RO : 1, q s DA : r z.d s RO : 2, q s DA : 2.2 sprz.1.1 sprz.(3, 1.3), 2.1 sprz.(3, 2.3) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

34 Pojęcie tezy Pojęcie tezy Teza Tezą (danego systemu) jest każde wyrażenie dla którego istnieje dowód (na gruncie tego systemu). Ponieważ pojęcie dowodu jest relatywne względem teorii logicznej, pojęcie tezy jest również relatywne względem teorii logicznej. Mamy zatem tezy KRZ, tezy WRP, tezy algebry zbiorów, tezy logiki modalnej S5, itd. Teza KRZ Tezą KRZ jest każde wyrażenie sensowne KRZ dla którego istnieje założeniowy dowód niewprost. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

35 Pojęcie tezy Pojęcie tezy w KRZ To, że ϕ jest tezą zapisujemy symbolicznie jako ϕ. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

36 Pojęcie tezy Indukcyjny charakter definicji tezy KRZ Definicja tezy KRZ ma charakter indukcyjny ze względu na budowę dowodu założeniowego niewprost: najpierw mówimy o tezach, dla których istnieją proste dowody, tj. dowody, które nie zakładają istnienia żadnych innych dowodów są to tezy pierwszego rzędu, potem mówimy o pozostałych tezach, dla których nie istnieją proste dowody są to tezy wyższych rzędów. Przysłówki najpierw i potem oznaczają w tym kontekście porządek definiowania: rozumienie tego, czym są tezy pierwszego rzędu, nie zakłada rozumienia tego, czym są tezy wyższych rzędów, rozumienie tego, czym są tezy jakiegoś wyższego rzędu, zakłada rozumienie tego, czym są tezy niższych rzędów. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

37 Metoda zerojedynkowa vs. dowód Metoda zerojedynkowa vs. dowód Metoda zerojedynkowa 1 Jeżeli wyrażenie KRZ jest tautologią, to metoda zerojedynkowa pozwala w skończonej liczbie ściśle określonych kroków stwierdzić, że jest to tautologia. 2 Jeżeli dowodzone wyrażenie nie jest tautologią, to metoda zerojedynkowa pozwala w skończonej liczbie ściśle określonych kroków stwierdzić, że nie jest to tautologia. Dowód 1 Jeżeli dowodzone wyrażenie jest tezą, to metoda założeniowa pozwala w skończonej liczbie ściśle określonych kroków skonstruować dowód założeniowy tego wyrażenia, czyli stwierdzić, że jest to teza. 2 Jeżeli jednak dowodzone wyrażenie nie jest tezą, to metoda założeniowa nie pozwala w skończonej liczbie ściśle określonych kroków stwierdzić, że nie jest to teza. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

38 Udowodnij! Udowodnij, że poniższe formuły są tezami KRZ (1) 1 p p 2 p p 3 p p p 4 p p p 5 p p 6 (p p) 7 (p q) ((q r) (p r)) 8 (p q) ( q p) 9 ( p p) 10 (p p) 11 (p p) 12 (p q) (r s) (p r q s) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

39 Udowodnij! Udowodnij, że poniższe formuły są tezami KRZ (2) 1 (p q r) (p q) (p r) 2 (p q r) (p r) (q r) 3 (p p) p 4 (p q q) p 5 (p q) p q 6 p p q 7 (p q) p q 8 (p q) (r s) (p r q s) 9 (p r) (q r) (p q) r 10 (p q) (r s) (p r) (q s) 11 (p q) (r s) (q s) (p r) 12 (p q) (p q) (q p) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

40 Udowodnij! Udowodnij, że poniższe formuły są tezami KRZ (3) 1 q (p q) 2 p q r p r q 3 (p q) q p 4 (p q) ( q p) 5 (p q) p q 6 p q p q 7 p q r p (q r) 8 (p q) p q 9 p q p q 10 p q r p (q r) 11 (p q) (q r) (p r) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

41 Źródła Źródła Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

42 Źródła Źródła 1 Ludwik Borkowski, Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, Lublin Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42