RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

Transkrypt

1 Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana w ten sposób formuła również będzie tautologią. Semantyczne twierdzenie o zastępowaniu Jeżeli w danej formule zastąpimy pewną jej podformułę zdaniem logicznie równoważnym tej podformule, to otrzymana w ten sposób formuła będzie logicznie równoważna danej formule. W szczególności, jeśli dana formuła jest tautologią, to formuła wynikowa również będzie tautologią. Semantyczne twierdzenie o odrywaniu Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Jak widać, stosując trzy w.w. reguły, zarówno osobno jak i łącznie, będziemy zawsze przechodzić od tautologii do tautologii. Sformalizowany aksjomatyczny system rachunku zdań składa się z: 1. zbioru symboli zwanego alfabetem, 2. zbioru słów nad tym alfabetem, które nazywamy formułami, 3. wyróżnionego podzbioru formuł, które nazywamy aksjomatami, 4. zbioru reguł wnioskowania. Jako reguły wnioskowania przyjmuje się zwykle regułę podstawiania i regułę odrywania, ewentualnie regułę zastępowania. Pojęcie dowodu definiuje się analogicznie jak w systemach założeniowych: Dowodem formuły jest kończący się tą formułą ciąg formuł, w którym występują jedynie aksjomaty, wcześniej udowodnione twierdzenia oraz formuły otrzymane z formuł poprzedzających je w tym ciągu przez zastosowanie do nich reguł wnioskowania. Twierdzenia danego systemu to te formuły, dla których istnieje ich dowód; przy czym aksjomaty nazywa się też twierdzeniami pierwotnymi, zaś pozostałe dowodliwe formuły twierdzeniami pochodnymi (albo wtórnymi). Pierwszą aksjomatyką logiki klasycznej był układ aksjomatów zaproponowany przez Gottloba Fregego: (1) p (q p) (2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (3) (p (q r)) (q (p r)) (4) (p q) ( q p) (5) p p (6) p p 1

2 Jan Łukasiewicz zaproponował układ trzech aksjomatów: (A1) (p q) ((q r) (p r)) (A2) ( p p) p (A3) p ( p q) Natomiast system A. N. Whiteheada i B. Russella ze słynnej Principia mathematica nie jest implikacyjno-negacyjny (jak powyższe), lecz alternatywno-negacyjny: (1) (p p) p (2) p (p q) (3) (p q) (q p) (4) ( p q) ( (r p) (r q)) Terminy stałe występujące w aksjomatach (np. w systemie Łukasiewicza symbole implikacji i negacji) zwane są terminami pierwotnymi. Za ich pomocą możemy definiować nowe, zwane terminami pochodnymi lub wtórnymi. Definicje tworzymy w oparciu o prawa zastępowania (eliminacji), np.: (D1) (A B) = ( A B) (D2) (A B) = (A B) (D3) (A B) = [(A B) (B A)] Stosując wówczas regułę zastępowania, która pozwala zastąpić podformułę jej równoważnikiem definicyjnym, zyskujemy możliwość dowodzenia twierdzeń ze spójnikami, które nie występują w aksjomatach. Można to też uzyskać budując bogatszy system: przyjmując obszerniejszy alfabet oraz aksjomaty zawierające wszystkie interesujące nas terminy stałe. Rozbudowując aksjomatykę, unikniemy definicji i reguły zastępowania, upraszczając zarazem dowody. Oto przykład takiej aksjomatyki: (1) (p q) ((q r) (p r)) (2) (p (p q)) (p q) (3) p (q p) (4) p q p (5) p q q (6) (p q) ((p r) (p (q r))) (7) p (p q) (8) q (p q) (9) (p r) ((q r) ((p q) r))) (10) (p q) (p q) (11) (p q) (q p) (12) (p q) ((q p) (p q)) (13) ( q p) (p q) Metalogika, metamatematyka działy nauki, w ramach których bada się własności systemów dedukcyjnych, odpowiednio logicznych i matematycznych (bywa jednak, że określeń tych używa się wymiennie). 2

3 Mówimy, że formuła A jest wyprowadzalna (dowodliwa) ze zbioru formuł X, co oznaczamy symbolicznie: X A, witw, gdy istnieje skończony ciąg formuł, w którym ostatnią formułą jest formuła A, zaś wszystkie pozostałe są albo formułami ze zbioru X, albo aksjomatami, albo powstały z poprzedzających je formuł przez zastosowanie dopuszczalnych reguł wnioskowania. Zbiór X nazywamy zbiorem założeń. WNIOSEK Formuła A systemu aksjomatycznego rachunku zdań jest wyprowadzalna ze zbioru pustego witw, gdy jest twierdzeniem tego systemu: A A Załóżmy, że X jest dowolnym zbiorem formuł KRZ, zaś A i B to dowolne formuły KRZ. Zachodzi wówczas następujące metatwierdzenie, opisujące ważną własność relacji wyprowadzalności: Syntaktyczne twierdzenie o dedukcji Formuła B jest wyprowadzalna ze zbioru X i formuły A witw, gdy implikacja A B jest wyprowadzalna ze zbioru X: X {A} B witw, gdy X A B. Zauważmy pełną analogię tego syntaktycznego twierdzenia o dedukcji do semantycznego twierdzenia o dedukcji, opisującego własności relacji wynikania logicznego. Podstawowe własności (metalogiczne) systemów dedukcyjnych: System dedukcyjny nazywamy trafnym, jeśli wszystkie twierdzenia danego systemu są tautologiami, tj. gdy dla dowolnej formuły A zachodzi: A A System dedukcyjny nazywamy semantycznie pełnym, gdy można w nim udowodnić każdą tautologię, tj., gdy dla dowolnej formuły A zachodzi: A A Dla każdego (z osobna) z omawianych przez nas wcześniej systemów można udowodnić (metalogiczne) tzw. twierdzenie o pełności: Formuła A (z tego danego systemu dedukcyjnego rachunku zdań) jest twierdzeniem tego systemu witw, gdy jest tautologią: A A Zatem wszystkie te systemy są trafne i semantycznie pełne. 3

4 Jak widać, w przypadku rachunku zdań tautologiczność (jako własność semantyczna) i dedukowalność (jako własność syntaktyczna) pokrywają się. System dedukcyjny nazywamy systemem syntaktycznie niesprzecznym witw, gdy nie istnieje żadna formuła taka, że zarówno ją, jak i jej negację można udowodnić w ramach tego systemu czyli gdy dla żadnej formuły A nie może jednocześnie zachodzić, że: X A oraz X A. Łatwo jest udowodnić następujące metatwierdzenie: Każdy semantycznie pełny system rachunku zdań jest systemem niesprzecznym. WNIOSEK: omówione przez nas systemy, jako semantycznie pełne, są również niesprzeczne. Zbiór formuł X nazywamy zbiorem syntaktycznie sprzecznym witw, gdy istnieje taka formuła A, że zarówno ją, jak i jej negację można wyprowadzić z tego zbioru, czyli X A oraz X A Syntaktyczne twierdzenie o dedukcji nie wprost 1. Zbiór X {A} jest syntaktycznie sprzeczny witw, gdy X A. 2. Zbiór X { A} jest syntaktycznie sprzeczny witw, gdy X A. I znów można zauważyć pełną analogię tego twierdzenia do semantycznego twierdzenia o dedukcji nie wprost. System dedukcyjny nazywamy syntaktycznie zupełnym, gdy każda formuła niedowodliwa w tym systemie dołączona do niego jako aksjomat czyni go systemem sprzecznym. Własność ta, zwana też mocną zupełnością, albo zupełnością w sensie Posta, oznacza, że w pewnym sensie system jest maksymalny. Udowadnia się następujące twierdzenie: Każdy semantycznie pełny system rachunku zdań z regułą odrywania i regułą podstawiania jest zupełny. Wniosek: omówione przez nas systemy dedukcyjne są zupełne. Dwa systemy dedukcyjne nazywamy równoważnymi, gdy mają identyczne zbiory formuł i twierdzeń oraz dowolna reguła pierwotna każdego z systemów jest regułą (pierwotną lub wtórną) drugiego systemu. Systemy równoważne mają identyczne własności (pełność, niesprzeczność itd.). Można pokazać, że poznane przez nas systemy są równoważne. 4

5 Mówimy, że system dedukcyjny rachunku zdań jest funkcjonalnie zupełny (albo definicyjnie pełny), gdy za pomocą jego terminów pierwotnych może być zdefiniowany każdy funktor prawdziwościowy rachunku zdań (o dowolnej liczbie argumentów). Można udowodnić np., że system z koniunkcją i negacją jest funkcjonalnie zupełny, a system z koniunkcją i alternatywą (jako jedynymi terminami pierwotnymi) nie jest funkcjonalnie zupełny. Co więcej, z takich dowodów widać, że własność funkcjonalnej zupełności nie zależy wcale od aksjomatyki czy reguł wnioskowania, a jedynie od samych terminów pierwotnych. System dedukcyjny jest rozstrzygalny, jeżeli istnieje efektywna metoda pozwalająca w skończonej liczbie kroków rozstrzygnąć dla dowolnej formuły pytanie, czy ta formuła jest czy też nie jest twierdzeniem tego systemu. Systemy dedukcyjne rachunku zdań są rozstrzygalne, gdyż dysponujemy np. metodą zerojedynkową (a także innymi, jak sprowadzanie formuły do postaci normalnej czy metoda drzew semantycznych). Zbiór aksjomatów jest niezależny, jeżeli żaden z nich nie da się wywieść z pozostałych (według przyjętych w systemie reguł wnioskowania). Zbiór terminów pierwotnych jest niezależny, gdy żaden z tych terminów nie może być zdefiniowany przez pozostałe. Np. aksjomatyki systemów Łukasiewicza czy Whiteheada są niezależne. Systemy implikacyjno-negacyjne czy alternatywno-negacyjne mają terminy pierwotne niezależne. Dualność formuł rachunku zdań. Niech formuła F zawiera jedynie spójniki negacji, koniunkcji i alternatywy. Niech F d oznacza formułę powstającą z F przez zastąpienie w niej wszędzie symbolu koniunkcji przez symbol alternatywy i odwrotnie. Formułę F d nazywamy dualną względem formuły F. Niech F oznacza formułę otrzymaną z formuły F przez zastąpienie w niej każdej zmiennej przez jej negację. Prawo dualności mówi, że: Formuły F i F d są logicznie równoważne (tzn. formuła F d F jest tautologią). Inne użyteczne twierdzenia dotyczące formuł dualnych mówią, że: Jeżeli formuła F Q jest tautologią, to formuła Q d F d też jest tautologią. Jeżeli formuła F Q jest tautologią, to formuła F d Q d też jest tautologią. 5