Automatyzacja wnioskowań z wykorzystaniem relacyjnych systemów dual tableaux
|
|
|
- Władysław Szydłowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 z wykorzystaniem relacyjnych systemów dual tableaux Instytut Filozofii, Uniwersytet Warszawski I Ogólnopolska Konferencja Filozofia w logice i informatyce Warszawa, 6 listopada 2015
2 Plan 1 Systemy dedukcyjne 2 Dual tableaux 3 Logika relacyjna 4 Relacyjne dual tableaux 5 Relacyjne procedury decyzyjne
3 Motywacje Jedno z najważniejszych zadań projektu AI (Artificial Intelligence) i KR (Knowledge Representation): wypracowanie metod reprezentacji wiedzy i wnioskowań za pomoca środków zrozumiałych dla komputerów.
4 Motywacje Jedno z najważniejszych zadań projektu AI (Artificial Intelligence) i KR (Knowledge Representation): wypracowanie metod reprezentacji wiedzy i wnioskowań za pomoca środków zrozumiałych dla komputerów. Logiki nieklasyczne i formalne systemy dowodowe oferowane przez logikę maja ogromny potencjał aplikacyjny. Metody logiczne znalazły zastosowanie w różnych dziedzinach, w szczególności w sztucznej inteligencji i technologiach informacyjnych.
5 Motywacje Jedno z najważniejszych zadań projektu AI (Artificial Intelligence) i KR (Knowledge Representation): wypracowanie metod reprezentacji wiedzy i wnioskowań za pomoca środków zrozumiałych dla komputerów. Logiki nieklasyczne i formalne systemy dowodowe oferowane przez logikę maja ogromny potencjał aplikacyjny. Metody logiczne znalazły zastosowanie w różnych dziedzinach, w szczególności w sztucznej inteligencji i technologiach informacyjnych. Relacyjne systemy dedukcyjne w stylu dual tableaux stanowia ważny nurt badań w teorii automatycznej dedukcji i logicznej reprezentacji wiedzy.
6 Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł
7 Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł Systemy nie-hilbertowskie
8 Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł Systemy nie-hilbertowskie rachunek sekwentów Gentzena
9 Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł Systemy nie-hilbertowskie rachunek sekwentów Gentzena tablice analityczne Beth 1955, Hintikka 1955
10 Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł Systemy nie-hilbertowskie rachunek sekwentów Gentzena tablice analityczne Beth 1955, Hintikka 1955 Diagramy Rasiowa-Sikorski 1960
11 Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł Systemy nie-hilbertowskie rachunek sekwentów Gentzena tablice analityczne Beth 1955, Hintikka 1955 Diagramy Rasiowa-Sikorski 1960 Tableaux Smullyan 1968, Fitting 1990
12 Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego
13 Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker
14 Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n
15 Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja
16 Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja X jest TAUT meta-alternatywa formuł z X jest TAUT
17 Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja X jest TAUT meta-alternatywa formuł z X jest TAUT Reguły zachowuja tautologiczność formuł
18 Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja X jest TAUT meta-alternatywa formuł z X jest TAUT Reguły zachowuja tautologiczność formuł aksjomaty wyróżnione zbiory formuł
19 Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja X jest TAUT meta-alternatywa formuł z X jest TAUT Reguły zachowuja tautologiczność formuł aksjomaty wyróżnione zbiory formuł Dowód: drzewo dekompozycji
20 Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja X jest TAUT meta-alternatywa formuł z X jest TAUT Reguły zachowuja tautologiczność formuł aksjomaty wyróżnione zbiory formuł Dowód: drzewo dekompozycji Dowód formuły: istnienie odpowiedniego drzewa
21 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Reguły dekompozycji dla spójników: (RS ) (RS ) ϕ ψ ϕ, ψ ϕ ϕ (RS ) (ϕ ψ) ϕ ψ Reguły dekompozycji dla kwantyfikatorów: (RS ) xϕ(x) ϕ(z) (RS ) xϕ(x) ϕ(z), xϕ(x) z jest nowa zmienna z jest dowolna zmienna
22 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Reguły specyficzne: (RS=) ϕ(x) x = y, ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x) ϕ jest formuła atomowa, y jest dowolna zmienna
23 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Reguły specyficzne: (RS=) ϕ(x) x = y, ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x) ϕ jest formuła atomowa, y jest dowolna zmienna Aksjomaty: Dowolny nadzbiór: {ϕ, ϕ} lub {x = x}
24 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Reguły specyficzne: (RS=) ϕ(x) x = y, ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x) ϕ jest formuła atomowa, y jest dowolna zmienna Aksjomaty: Dowolny nadzbiór: {ϕ, ϕ} lub {x = x} Twierdzenie Φ Niech będzie RS-reguła. Wówczas Φ jest RS-zbiorem Φ 1 Φ 2 wtedy i tylko wtedy, gdy Φ 1, Φ 2 sa RS-zbiorami.
25 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ
26 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ Korzeń drzewa = {ϕ}
27 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ Korzeń drzewa = {ϕ} Każdy wierzchołek, z wyjatkiem korzenia, powstaje przez zastosowanie jednej z reguł do jego poprzednika.
28 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ Korzeń drzewa = {ϕ} Każdy wierzchołek, z wyjatkiem korzenia, powstaje przez zastosowanie jednej z reguł do jego poprzednika. Wierzchołek nie ma następnika wtedy i tylko wtedy, gdy jest aksjomatyczny lub nie stosuje się do niego żadna z reguł.
29 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ Korzeń drzewa = {ϕ} Każdy wierzchołek, z wyjatkiem korzenia, powstaje przez zastosowanie jednej z reguł do jego poprzednika. Wierzchołek nie ma następnika wtedy i tylko wtedy, gdy jest aksjomatyczny lub nie stosuje się do niego żadna z reguł. Gałaź domknięta Gałaź zawierajaca zbiór aksjomatyczny.
30 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ Korzeń drzewa = {ϕ} Każdy wierzchołek, z wyjatkiem korzenia, powstaje przez zastosowanie jednej z reguł do jego poprzednika. Wierzchołek nie ma następnika wtedy i tylko wtedy, gdy jest aksjomatyczny lub nie stosuje się do niego żadna z reguł. Gałaź domknięta Gałaź zawierajaca zbiór aksjomatyczny. Drzewo domknięte Drzewo, w którym wszystkie gałęzie sa domknięte.
31 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Dowodliwość Formuła jest dowodliwa w systemie RS, gdy istnieje dla niej domknięte drzewo dowodowe.
32 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Dowodliwość Formuła jest dowodliwa w systemie RS, gdy istnieje dla niej domknięte drzewo dowodowe. Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej formuły ϕ logiki 1-go rzędu z identycznościa następujace warunki sa równoważne:
33 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Dowodliwość Formuła jest dowodliwa w systemie RS, gdy istnieje dla niej domknięte drzewo dowodowe. Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej formuły ϕ logiki 1-go rzędu z identycznościa następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia logiki 1-go rzędu z identycznościa. 2 ϕ jest dowodliwa w systemie RS.
34 Przykład x(ϕ ψ(x)) (ϕ xψ(x)) x(ϕ ψ(x)) (ϕ xψ(x)) (RS 2) x(ϕ ψ(x)), ϕ, xψ(x) (RS ) z now a zmienna z x(ϕ ψ(x)), ϕ, ψ(z) (RS ) ze zmienn a z (ϕ ψ(z)), ϕ, ψ(z),... ϕ, ϕ,... domknięta (RS ) ψ(z), ψ(z),... domknięta
35 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa System RS można sformułować w wersji negatywnej.
36 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa System RS można sformułować w wersji negatywnej. System RS jest dualna wersja systemu w stylu tableau, tzn. istnieje funkcja przekładu drzew dowodowych w systemie RS na drzewa w systemie tablicowym (i odwrotnie).
37 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa System RS można sformułować w wersji negatywnej. System RS jest dualna wersja systemu w stylu tableau, tzn. istnieje funkcja przekładu drzew dowodowych w systemie RS na drzewa w systemie tablicowym (i odwrotnie). Dowód w systemie RS jest łatwo przekładalny na dowód w systemie Hilbertowskim, dowód w rachunku sekwentów Gentzena, dowód w systemie rezolucji.
38 System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa System RS można sformułować w wersji negatywnej. System RS jest dualna wersja systemu w stylu tableau, tzn. istnieje funkcja przekładu drzew dowodowych w systemie RS na drzewa w systemie tablicowym (i odwrotnie). Dowód w systemie RS jest łatwo przekładalny na dowód w systemie Hilbertowskim, dowód w rachunku sekwentów Gentzena, dowód w systemie rezolucji. Kwestie te sa szczegółowo dyskutowane w ksiażce: E. Orłowska, J. Golińska-Pilarek, Dual Tableaux: Foundations, Methodology, Case Studies, Springer 2011.
39 Relacyjne systemy dual tableaux Klasyczna i najbardziej użyteczna logika relacyjna jest LOGIKA RL RELACJI DWUARGUMENTOWYCH
40 Relacyjne systemy dual tableaux Klasyczna i najbardziej użyteczna logika relacyjna jest Logika RL LOGIKA RL RELACJI DWUARGUMENTOWYCH Logiczny odpowiednik reprezentowalnych algebr relacyjnych Tarskiego.
41 Relacyjne systemy dual tableaux Klasyczna i najbardziej użyteczna logika relacyjna jest Logika RL LOGIKA RL RELACJI DWUARGUMENTOWYCH Logiczny odpowiednik reprezentowalnych algebr relacyjnych Tarskiego. Wspólne jadro wielu logik nieklasycznych.
42 Relacyjne systemy dual tableaux Klasyczna i najbardziej użyteczna logika relacyjna jest Logika RL LOGIKA RL RELACJI DWUARGUMENTOWYCH Logiczny odpowiednik reprezentowalnych algebr relacyjnych Tarskiego. Wspólne jadro wielu logik nieklasycznych. Wiele logik, różniacych się językiem, aksjomatyka i/lub semantyka, można wyrazić jako teorie logiki relacyjnej:
43 Relacyjne systemy dual tableaux Klasyczna i najbardziej użyteczna logika relacyjna jest Logika RL LOGIKA RL RELACJI DWUARGUMENTOWYCH Logiczny odpowiednik reprezentowalnych algebr relacyjnych Tarskiego. Wspólne jadro wielu logik nieklasycznych. Wiele logik, różniacych się językiem, aksjomatyka i/lub semantyka, można wyrazić jako teorie logiki relacyjnej: (wielo) modalne intuicjonistyczne wielowartościowe temporalne dynamiczne relewantne logiki do wnioskowań o przestrzeni logiki informacyjne logiki rozmyte
44 Logiki relacyjne dlaczego? Szeroka stosowalność.
45 Logiki relacyjne dlaczego? Szeroka stosowalność. Elementy struktur relacyjnych moga być interpretowane jako możliwe światy, punkty czasowe (interwały), stany maszyny Turinga, etc.
46 Logiki relacyjne dlaczego? Szeroka stosowalność. Elementy struktur relacyjnych moga być interpretowane jako możliwe światy, punkty czasowe (interwały), stany maszyny Turinga, etc. Zyskujemy kompozycyjność: operatory intensjonalne interpretowane sa w logice relacyjne jako obiekty kompozycyjne.
47 Logiki relacyjne dlaczego? Szeroka stosowalność. Elementy struktur relacyjnych moga być interpretowane jako możliwe światy, punkty czasowe (interwały), stany maszyny Turinga, etc. Zyskujemy kompozycyjność: operatory intensjonalne interpretowane sa w logice relacyjne jako obiekty kompozycyjne. Umożliwiaja reprezentację interakcji pomiędzy informacja o statycznych i dynamicznych własnościach badanych obiektów w jednym formalizmie logicznym.
48 Relacyjne systemy dual tableaux dlaczego? Świetne narzędzie do reprezentacji w zunifikowanym formalizmie podstawowych składników systemu formalnego: języka, semantyki, dedukcji.
49 Relacyjne systemy dual tableaux dlaczego? Świetne narzędzie do reprezentacji w zunifikowanym formalizmie podstawowych składników systemu formalnego: języka, semantyki, dedukcji. Ogólna baza do reprezentacji, porównywania i implementowania teorii różniacych się językiem/semantyka/dedukcj a.
50 Relacyjne systemy dual tableaux dlaczego? Świetne narzędzie do reprezentacji w zunifikowanym formalizmie podstawowych składników systemu formalnego: języka, semantyki, dedukcji. Ogólna baza do reprezentacji, porównywania i implementowania teorii różniacych się językiem/semantyka/dedukcj a. Modularność: relacyjny system dual tableaux dla logiki RL stanowi jadro większości systemów typu dual tableau dla logik nieklasycznych.
51 Relacyjne systemy dual tableaux dlaczego? Świetne narzędzie do reprezentacji w zunifikowanym formalizmie podstawowych składników systemu formalnego: języka, semantyki, dedukcji. Ogólna baza do reprezentacji, porównywania i implementowania teorii różniacych się językiem/semantyka/dedukcj a. Modularność: relacyjny system dual tableaux dla logiki RL stanowi jadro większości systemów typu dual tableau dla logik nieklasycznych. Umożliwiaja nie tylko weryfikację tautologiczności formuł danej logiki, ale również weryfikację wynikania (entailment), prawdziwości i spełniania w konkretnym modelu.
52 Ogólna metodologia tworzenia relacyjnych systemów dual tableaux Reprezentacja logiki L w logice relacyjnej.
53 Ogólna metodologia tworzenia relacyjnych systemów dual tableaux Reprezentacja logiki L w logice relacyjnej. Konstrukcja systemu dla relacyjnej wersji logiki L.
54 Ogólna metodologia tworzenia relacyjnych systemów dual tableaux Zaleta: Reprezentacja logiki L w logice relacyjnej. Konstrukcja systemu dla relacyjnej wersji logiki L. Nie musimy budować systemu od poczatku; rozszerzamy tylko system RL o moduł odzwierciedlajacy warunki specyficzne.
55 Ogólna metodologia tworzenia relacyjnych systemów dual tableaux Zaleta: Reprezentacja logiki L w logice relacyjnej. Konstrukcja systemu dla relacyjnej wersji logiki L. Nie musimy budować systemu od poczatku; rozszerzamy tylko system RL o moduł odzwierciedlajacy warunki specyficzne. Istniejace implementacje Translacja formuł logik modalnych na formuły RL: [FOO06] System dual tableau dla RL: [FNA06] Relacyjne systemy dual tableaux dla pewnych logik nieklasycznych: [FNA06] i [MMG11] (logiki modalne), [GMM08] i [BMOO09] (logiki dla wnioskowań z dokładnościa do rzędu wielkości).
56 Logika relacyjna RL Język
57 Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,...
58 Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,...
59 Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1
60 Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1 operacje:,,, 1, ;
61 Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1 operacje:,,, 1, ; Termy i formuły
62 Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1 operacje:,,, 1, ; Termy i formuły Termy atomowe: zmienne i stałe relacyjne
63 Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1 operacje:,,, 1, ; Termy i formuły Termy atomowe: zmienne i stałe relacyjne Termy złożone: P, P Q, P Q, P 1, P ; Q
64 Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1 operacje:,,, 1, ; Termy i formuły Termy atomowe: zmienne i stałe relacyjne Termy złożone: P, P Q, P Q, P 1, P ; Q Formuły: xt y
65 Logika relacyjna RL Model: M = (U, m)
66 Logika relacyjna RL Model: M = (U, m) U niepusty zbiór
67 Logika relacyjna RL Model: M = (U, m) U niepusty zbiór m(p ) relacja dwuargumentowa na U
68 Logika relacyjna RL Model: M = (U, m) U niepusty zbiór m(p ) relacja dwuargumentowa na U m(1) = U U, m(1 ) = Id U
69 Logika relacyjna RL Model: M = (U, m) U niepusty zbiór m(p ) relacja dwuargumentowa na U m(1) = U U, m(1 ) = Id U m( Q) = (U U) \ m(q) m(q T ) = m(q) m(t ) m(q T ) = m(q) m(t ) m(q 1 ) = m(q) 1
70 Logika relacyjna RL Model: M = (U, m) U niepusty zbiór m(p ) relacja dwuargumentowa na U m(1) = U U, m(1 ) = Id U m( Q) = (U U) \ m(q) m(q T ) = m(q) m(t ) m(q T ) = m(q) m(t ) m(q 1 ) = m(q) 1 m(q; T ) = m(q); m(t ) = {(x, y) U U : z U((x, z) m(q) (z, y) m(t ))}.
71 Logika relacyjna RL Wartościowanie Dowolna funkcja v : zmienne nazwowe U.
72 Logika relacyjna RL Wartościowanie Dowolna funkcja v : zmienne nazwowe U. Semantyka Spełnianie, M, v = xt y: (v(x), v(y)) m(t )
73 Logika relacyjna RL Wartościowanie Dowolna funkcja v : zmienne nazwowe U. Semantyka Spełnianie, M, v = xt y: (v(x), v(y)) m(t ) Prawdziwość, M = xt y: wszystkie wartościowania spełnianie w M przez
74 Logika relacyjna RL Wartościowanie Dowolna funkcja v : zmienne nazwowe U. Semantyka Spełnianie, M, v = xt y: (v(x), v(y)) m(t ) Prawdziwość, M = xt y: wszystkie wartościowania spełnianie w M przez Tautologiczność: prawdziwość we wszystkich modelach.
75 Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ).
76 Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m):
77 Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m): W niepusty zbiór światów możliwych oraz R W W
78 Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m): W niepusty zbiór światów możliwych oraz R W W m(p) W, dla dowolnej zmiennej p.
79 Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m): W niepusty zbiór światów możliwych oraz R W W m(p) W, dla dowolnej zmiennej p. R może spełniać dodatkowe warunki.
80 Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m): W niepusty zbiór światów możliwych oraz R W W m(p) W, dla dowolnej zmiennej p. R może spełniać dodatkowe warunki. Spełnianie zdefiniowane indukcyjnie, w szczególności: M, w = ϕ dla każdego w U, jeśli wrw, to M, w = ϕ.
81 Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m): W niepusty zbiór światów możliwych oraz R W W m(p) W, dla dowolnej zmiennej p. R może spełniać dodatkowe warunki. Spełnianie zdefiniowane indukcyjnie, w szczególności: M, w = ϕ dla każdego w U, jeśli wrw, to M, w = ϕ. Prawdziwość i tautologiczność zdefiniowane standardowo.
82 Relacyjna reprezentacja logiki modalnej L Język RL L Język logiki RL + stała relacyjna R
83 Relacyjna reprezentacja logiki modalnej L Język RL L Język logiki RL + stała relacyjna R Modele RL L Modele logiki relacyjnej (U, m) takie, że relacja m(r) U U spełnia te same własności co w modelach logiki L.
84 Relacyjna reprezentacja logiki modalnej L Język RL L Język logiki RL + stała relacyjna R Modele RL L Modele logiki relacyjnej (U, m) takie, że relacja m(r) U U spełnia te same własności co w modelach logiki L. Niech τ : zmienne zdaniowe 1-1 zmienne relacyjne
85 Relacyjna reprezentacja logiki modalnej L Język RL L Język logiki RL + stała relacyjna R Modele RL L Modele logiki relacyjnej (U, m) takie, że relacja m(r) U U spełnia te same własności co w modelach logiki L. Niech τ : zmienne zdaniowe 1-1 zmienne relacyjne Translacja τ(p) = τ (p) ; 1 τ(ϕ ψ) = τ(ϕ) τ(ψ) τ( ϕ) = (R ; τ(ϕ)) τ( ϕ) = τ(ϕ) τ(ϕ ψ) = τ(ϕ) τ(ψ) τ( ϕ) = R ; τ(ϕ)
86 Relacyjna reprezentacja logiki modalnej L Język RL L Język logiki RL + stała relacyjna R Modele RL L Modele logiki relacyjnej (U, m) takie, że relacja m(r) U U spełnia te same własności co w modelach logiki L. Niech τ : zmienne zdaniowe 1-1 zmienne relacyjne Translacja τ(p) = τ (p) ; 1 τ(ϕ ψ) = τ(ϕ) τ(ψ) τ( ϕ) = (R ; τ(ϕ)) τ( ϕ) = τ(ϕ) τ(ϕ ψ) = τ(ϕ) τ(ψ) τ( ϕ) = R ; τ(ϕ) Twierdzenie ϕ jest tautologia L xτ(ϕ)y jest tautologia RL L.
87 Relacyjne systemy dla L Reguły dekompozycji: ( ) x T y xt y ( ) x(t T )y xt y, xt y ( ) x (T T )y x T y x T y ( ) x(t T )y xt y xt y ( ) x (T T )y x T y, x T y (; ) x(t ; T )y xt z, x(t ; T )y zt y, x(t ; T )y z dowolna zmienna ( ; ) x (T ; T )y x T z, z T y z nowa zmienna (1 1) xt y xt z, xt y y1 z, xt y T atomowy term (1 2) xt y x1 z, xt y zt y, xt y z dowolna zmienna
88 Relacyjne systemy dla L Przykładowe reguły specyficzne: (refr) xry x1 y, xry (symr) xry yrx (tranr) xry xrz, xry zry, xry z dowolna zmienna
89 Relacyjne systemy dla L Przykładowe reguły specyficzne: (refr) xry x1 y, xry (symr) xry yrx (tranr) xry xrz, xry zry, xry z dowolna zmienna Zbiory aksjomatyczne Nadzbiory następujacych zbiorów: {xt y, x T y} {x1 x} x1y
90 Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne:
91 Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia L. 2 xτ(ϕ)y jest dowodliwa w systemie dla logiki RL L.
92 Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia L. 2 xτ(ϕ)y jest dowodliwa w systemie dla logiki RL L. Wynikanie
93 Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia L. 2 xτ(ϕ)y jest dowodliwa w systemie dla logiki RL L. Wynikanie ϕ wynika z ϕ 1,..., ϕ n wtedy i tylko wtedy, gdy formuła:
94 Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia L. 2 xτ(ϕ)y jest dowodliwa w systemie dla logiki RL L. Wynikanie ϕ wynika z ϕ 1,..., ϕ n wtedy i tylko wtedy, gdy formuła: x(1; (τ(ϕ 1 )... τ(ϕ n )); 1) τ(ϕ))y jest RL L -dowodliwa.
95 Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia L. 2 xτ(ϕ)y jest dowodliwa w systemie dla logiki RL L. Wynikanie ϕ wynika z ϕ 1,..., ϕ n wtedy i tylko wtedy, gdy formuła: x(1; (τ(ϕ 1 )... τ(ϕ n )); 1) τ(ϕ))y jest RL L -dowodliwa. System dla RL L można łatwo rozszerzyć do systemu umożliwiajacego weryfikację prawdziwości i spełniania w konkretnym modelu.
96 Relacyjny dowód formuły p p System: dual tableau dla RL + reguła dla symetrii (symr)
97 Relacyjny dowód formuły p p System: dual tableau dla RL + reguła dla symetrii (symr) x( (P ; 1) (R ; (R ; (P ; 1))))y ( ) x (P ; 1)y, x (R ; (R ; (P ; 1)))y ( ; ), nowa z i ( ) x (P ; 1)y, x Rz, z(r ; (P ; 1))y (; ) ze zmienna x x Rz, zrx,... x(p ; 1)y, x (P ; 1)y,... (sym R) x Rz, xrz,... domknięta domknięta
98 Systemy dual tableaux W podobny sposób można skonstruować systemy typu dual tableaux dla następujacych logik:
99 Systemy dual tableaux W podobny sposób można skonstruować systemy typu dual tableaux dla następujacych logik: (prawie) wszystkich (wielo) modalnych (temporalnych, interwałowych, informacyjnych, dynamicznych, epistemicznych, etc.) wielowartościowych intuicjonistycznych relewantnych rozmytych
100 Relacyjne procedury decyzyjne Metodologia tworzenia relacyjnych systemów w stylu dual tableaux nie gwarantuje, że uzyskany system będzie optymalny.
101 Relacyjne procedury decyzyjne Metodologia tworzenia relacyjnych systemów w stylu dual tableaux nie gwarantuje, że uzyskany system będzie optymalny. Reguły systemu dla RL dopuszczaja możliwość nieskończonego ich stosowania.
102 Relacyjne procedury decyzyjne Metodologia tworzenia relacyjnych systemów w stylu dual tableaux nie gwarantuje, że uzyskany system będzie optymalny. Reguły systemu dla RL dopuszczaja możliwość nieskończonego ich stosowania. W szczególności systemy dla rozstrzygalnych standardowych logik modalnych nie sa procedurami decyzyjnymi.
103 Relacyjne procedury decyzyjne Metodologia tworzenia relacyjnych systemów w stylu dual tableaux nie gwarantuje, że uzyskany system będzie optymalny. Reguły systemu dla RL dopuszczaja możliwość nieskończonego ich stosowania. W szczególności systemy dla rozstrzygalnych standardowych logik modalnych nie sa procedurami decyzyjnymi. Problem Jak skonstruować relacyjna procedurę decyzyjna?
104 Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa.
105 Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł.
106 Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications.
107 Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications. Dowolna kombinacja powyższych.
108 Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications. Dowolna kombinacja powyższych. Skonstruowano relacyjne procedury decyzyjne dla: pewnych rozstrzygalnych fragmentów RL
109 Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications. Dowolna kombinacja powyższych. Skonstruowano relacyjne procedury decyzyjne dla: pewnych rozstrzygalnych fragmentów RL standardowych logik modalnych K, T, D, K4, KD4, S4
110 Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications. Dowolna kombinacja powyższych. Skonstruowano relacyjne procedury decyzyjne dla: pewnych rozstrzygalnych fragmentów RL standardowych logik modalnych K, T, D, K4, KD4, S4 pewnych logik intuicjonistycznych
111 Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications. Dowolna kombinacja powyższych. Skonstruowano relacyjne procedury decyzyjne dla: pewnych rozstrzygalnych fragmentów RL standardowych logik modalnych K, T, D, K4, KD4, S4 pewnych logik intuicjonistycznych pewnych logik deskrypcyjnych, w tym ALC
112 Dziękuję za uwagę! Badania prowadzone w ramach projektu Logiki dla wnioskowań jakościowych, nr DEC- 2011/02/A/HS1/00395, program MAESTRO 1, Narodowe Centrum Nauki.
113 References [BMOO09] A. Burrieza, A. Mora, M. Ojeda-Aciego, and E. Orłowska. An implementation of a dual tableaux system for order-of-magnitude qualitative reasoning, International Journal of Computer Mathematics 86(10-11), , [CAO11] D. Cantone, M. N. Asmundo, and E. Orłowska. Dual tableau-based decision procedures for relational logics with restricted composition operator, Journal of Applied Non-Classical Logics 21(2) , [FNA06] A. Formisano and M. Nicolosi-Asmundo. An efficient relational deductive system for propositional non-classical logics, Journal of Applied Non-Classical Logics 16(3-4), , 2006.
114 References [FOO06] A. Formisano, E. G. Omodeo, and E. Orłowska. An environment for specifying properties of dyadic relations and reasoning about them II: Relational presentation of non-classical logics, In H. C. M. de Swart, E. Orłowska, G. Schmidt, and M. Roubens, (eds.), Theory and Applications of Relational Structures as Knowledge Instruments II, International Workshops of COST Action 274, TARSKI, , Selected Revised Papers, volume 4342 of Lecture Notes in Computer Science, , [GMM08] J. Golinska-Pilarek, A. Mora Bonilla, and E. Munoz Velasco. An ATP of a relational proof system for order of magnitude reasoning with negligibility, non-closeness and distance, In T. B. Ho and Z. H. Zhou (eds.), PRICAI 2008, volume 5351 of Lecture Notes in Artificial Intelligence, , 2008.
115 References [GMM12] J. Golinska-Pilarek, E. Munoz-Velasco, and A. Mora-Bonilla. Relational dual tableau decision procedure for modal logic K, Logic Journal of IGPL 20(4), , [GHM13] J. Golinska-Pilarek, T. Huuskonen, and E. Munoz-Velasco. Relational Dual Tableau Decision Procedures and their Applications to Modal and Intuitionistic Logics, Annals of Pure and Applied Logics 165(2), 2014, , DOI: /j.apal [Kon02] B. Konikowska. Rasiowa-Sikorski deduction systems in computer science applications, Theoretical Computer Science 286(2), , 2002.
116 References [MMG11] A. Mora, E. Munoz-Velasco, and J. Golinska-Pilarek. Implementing a relational theorem prover for modal logic K, International Journal of Computer Mathematics 88(9), , [Orl88] E. Orłowska. Relational interpretation of modal logics, In H. Andreka, D. Monk, and I. Nemeti (eds.), Algebraic Logic, Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai 54, , [Orl97] E. Orłowska. Relational formalisation of non-classical logics, In C. Brink, W. Kahl, and G. Schmidt (eds), Relational Methods in Computer Science, Springer 1997,
117 References [OGP11] E. Orłowska, J. Golinska-Pilarek. Dual Tableaux: Foundations, Methodology, Case Studies, Springer, [RAS60] H. Rasiowa and R. Sikorski. On Gentzen theorem, Fundamenta Mathematicae 48, 57-69, [Tar41] A. Tarski, On the calculus of relations, Journal of Symbolic Logic 6, 73-89, 1941.
Techniki informacyjne dla wnioskowania oraz generowania, reprezentacji i zarządzania wiedzą
Zakład Zaawansowanych Technik Informacyjnych (Z-6) Techniki informacyjne dla wnioskowania oraz generowania, reprezentacji i zarządzania wiedzą Zadanie nr 2 Relacyjne systemy dedukcyjne: teoria i zastosowania
Wybrane problemy zarządzania wiedzą
Zakład Zaawansowanych Technik Informacyjnych (Z-6) Wybrane problemy zarządzania wiedzą Zadanie nr 2 Metody wnioskowania na użytek zarządzania wiedzą z uwzględnieniem aspektów temporalnych Praca nr 06300017
Logiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk
Logiki modalne notatki z seminarium Piotr Polesiuk 1 Motywacja i historia Logika modalna rozszerza logikę klasyczną o modalności takie jak φ jest możliwe, φ jest konieczne, zawsze φ, itp. i jak wiele innych
RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Paradygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Logika Matematyczna (I JiIN UAM)
Logika Matematyczna (I JiIN UAM) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 31V-1VI 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (I JiIN UAM) 31V-1VI 2007 1
Techniki informacyjne dla wnioskowania oraz generowania, reprezentacji i zarządzania wiedzą
Zakład Zaawansowanych Technik Informacyjnych (Z-6) Techniki informacyjne dla wnioskowania oraz generowania, reprezentacji i zarządzania wiedzą Zadanie nr 2 Relacyjne systemy dedukcyjne: teoria i zastosowania
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Adam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Metoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Wstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Definicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Logika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Rozstrzygalność logiki modalnej
, a FO, a Guarded fragment Rozstrzygalność logiki modalnej, a logika pierwszego rzędu 13.05.2009 / , a FO, a Guarded fragment Spis treści 1 Definicja Model Checking Spełnialność 2, a FO Zamiana na FO Złożoność
Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Metalogika (11) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (11) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (11) Uniwersytet Opolski 1 / 80 Wstęp Plan wykładu
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Logika matematyczna Mathematical Logic Poziom przedmiotu: II
ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Elementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Logika rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza Wprowadzenie
TABLICE ANALITYCZNE KLASYCZNY RACHUNEK LOGICZNY: (PRELIMINARIA MATEMATYCZNE I LOGICZNE) (DRZEWA, INFORMACJE O KRZ I KRP) JERZY POGONOWSKI
KLASYCZNY RACHUNEK LOGICZNY: TABLICE ANALITYCZNE (PRELIMINARIA MATEMATYCZNE I LOGICZNE) (DRZEWA, INFORMACJE O KRZ I KRP) JERZY POGONOWSKI ZAKŁAD LOGIKI STOSOWANEJ UAM http://www.logic.amu.edu.pl Niniejsza
Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki rok akademicki 2007/2008 Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne 1 Język aletycznych modalnych
Logika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
Matematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Logika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Drzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania
Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go
Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go Definicja 1 Strukturą częściowo uporządkowaną (ang. partially ordered set, w skrócie poset) nazywamy układ (W, ), gdzie W to dowolny zbiór niepusty, zaś jest
Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
RACHUNEK PREDYKATÓW 7
PODSTAWOWE WŁASNOŚCI METAMATEMATYCZNE KRP Oczywiście systemy dedukcyjne dla KRP budowane są w taki sposób, żeby wszystkie ich twierdzenia były tautologiami; można więc pokazać, że dla KRP zachodzi: A A
Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego
Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Logika matematyczna w informatyce
Paweł Gładki Logika matematyczna w informatyce http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Piątek, 8:00-9:30 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go
Schematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Logika relacyjna a formalna analiza pojȩć
Logika relacyjna a formalna analiza pojȩć Joanna Golińska-Pilarek Seminarium Profesora J. Pelca Jȩzyk naturalny - wybrane zagadnienia z zakresu filozofii oraz logiki ogólnej Instytut Filozofii UW Warszawa
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut
Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIA 2015/2016 V rok kognitywistyki UAM 1 Uwagi organizacyjne Zajęcia 1 8: Jerzy Pogonowski (obie grupy) Zajęcia 9-15: Szymon Chlebowski (obie
Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów
Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Logika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych
Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Wprowadzenie Podobnie jak w przypadku
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Zasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
SID Wykład 7 Zbiory rozmyte
SID Wykład 7 Zbiory rozmyte Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW slezak@mimuw.edu.pl Wstęp Language Ontological Commitment Epistemological Commitment (What exists in the world) (What an agent
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Szymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Logika dla informatyków
Logika dla informatyków Notatki do wykładów 21 kwietnia 2002 Niniejszy dokument zawiera listę najważniejszych definicji i twierdzeń omawianych na wykładzie z Logiki dla Informatyków i określa zakres materiału,
ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Dowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
LOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź
Logika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
INSTYTUT AUTOMATYKI I INŻYNIERII INFORMATYCZNEJ POLITECHNIKI POZNAŃSKIEJ. Adam Meissner. Elementy logik deskrypcyjych
INSTYTUT AUTOMATYKI I INŻYNIERII INFORMATYCZNEJ POLITECHNIKI POZNAŃSKIEJ Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy logik deskrypcyjych Literatura [1] Baader F.
Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I. Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator modułu Tomasz