Szczególna teoria względności

Transkrypt

1 Szczególna teoria względności Krzysztof Golec Biernat IFJ PAN i Uniwersytet Rzeszowski (27 maja 2017) Wersja robocza nie do dystrybucji Kraków/Rzeszów 2015

2

3 Spis treści 1 Szczególna teoria wzglȩdności Metoda radarowa Transformacja Lorentza Czterowektory Podział zdarzeń Wzglȩdność równoczesności Dylatacja czasu Relatywistyczny efekt Dopplera Skrócenie długości Transformacja prȩdkości Rapidity Zapis wektorowy transformacji prędkości Czterowektor prȩdkości Energia i pȩd Zasada zachowania energii-pędu Ruch ze stałym przyśpieszeniem Współrzędne Rindlera Zadania

4 Rozdział 1 Szczególna teoria wzglȩdności Szczególna teoria wzgle dności jest teoria relacji mie dzy czasem i przestrzenia, które w sposób naturalny wynikaja z dwóch fundamentalych założen: Zasada wzgle dności Galileusza jest słuszna także w odniesieniu do zjawisk elektromagnetycznych. Innymi słowy przy pomocy zjawisk elektromagnetycznych nie można wie c wyróżnić żadnego inercjalnego układu odniesienia. Pre dkość światła jest taka sama dla wszystkich obserwatorów inercjalnych. Opierając się na tych postulatach można wyprowadzić nowe w stosunku do transformacji Galileusza relacje pomiędzy pomiarami czasu i przestrzeni. 1.1 Metoda radarowa Zbadajmy jakie sa konsekwencje takich założeń. Dla uproszczenia przyjmijmy, że rozważane ruch sa jednowymiarowe, wzdłuż osi x. Niech obserwator inercjalny S wysyła sygnał świetlny w chwili t 1 w kierunku dodatnim osi x. Sygnał ten ulega odbiciu, powracaja c do obserwatora S w chwili t 2 - patrz rysunek 1.1 (po lewej). Obserwator S stwierdzi, iż odbicie sygnału nasta piło w chwili t takiej, że czas tam i czas z powrotem sa sobie równe t t 1 = t 2 t. (1.1) 4

5 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 5 t 2 t 2 t t t t 1 t 1 x Rys. 1.1: Metoda radarowa rekonstrukcji współrzȩdnych zdarzenia. Innymi słowy uzna, że odbicie jest równoczesne z chwila t = t 1 + t 2 2, (1.2) wskazywana przez jego zegar własny. Uzna on też, że odległość x w jakiej nasta piło odbicie jest równe połowie czasu tam i z powrotem pomnożonego przez pre dkość światła c, x = c t 2 t 1. (1.3) 2 Wyliczaja c t 1 oraz t 2 jako funkcje zmiennych (t,x) otrzymujemy t 1 = t x c, t 2 = t + x c. (1.4) Rozważmy drugiego obserwatora inercjalnego S, oddalaja cego sie od S ze stała pre dkościa wzdłuż osi x - patrz rysunek 1.1 (po prawej). Zakładamy, że obserwatorzy dysponuja identycznymi zegarami zsynchronizowanymi w taki sposób, że w chwili ich spotkania t = t = 0. (1.5) Wprowadziliśmy w ten sposób nowe oznaczenie czasu t dla obserwatora S, dopuszczaja c możliwość przypisania temu samemu zdarzeniu różnych wartości czasu przez obu obserwatorów. Jeżeli obserwator S wie, że sygnał odbił sie od poruszaja cego sie wzgle dem niego obserwatora S to przypisze temu obserwatorowi pre dkość V = x t. (1.6)

6 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 6 Wtedy równania (1.4) przyjmą postać t 1 = t(1 β), t 2 = t(1 + β). (1.7) gdzie β = V c. (1.8) Jaka chwile t zarejestruje S w momencie odbicia sygnału świetlnego? Posłużymy sie naste puja cym rozumowaniem. Odste p czasu w układzie S pomie dzy minie ciem sie obserwatorów a odbiciem sygnału, t, jest proporcjonalny do odste pu czasu w układzie S pomie dzy minie ciem sie obserwatorów, a chwila wysłania sygnału t 1, t = α( V )t 1, (1.9) gdzie współczynnik proporcjonalności α zależy od pre dkości V. Podobnie, z perspektywy obserwatora S czas odebrania powracaja cego sygnału t 2 jest proporcjonalny do czasu jego wysłania t przez obserwatora S, t 2 = α( V )t. (1.10) Odbicie sygnału przez obserwatora S jest bowiem tożsame z jego wysłaniem w kierunku obserwatora S. Zasada wzgle dności prowadzi do wniosku, że współczynnik proporcjonalności α jest w obu relacjach taki sam i zależy tylko od modułu wzgle dnej pre dkości obserwatorów, α = α( V ). (1.11) W przeciwnym przypadku, któryś z obserwatorów inercjalnych byłby wyróżniony. Eliminuja c z obu relacji t, otrzymujemy t 2 = α 2 t 1. (1.12) Podstawienie relacji (1.7), pozwala wyliczyć 1 + β α = 1 β. (1.13) 1.2 Transformacja Lorentza Rozważmy raz jeszcze odbicie sygnału świetlnego, tym razem w dowolnym miejscu, z punktu widzenia dwóch obserwatorów inercjalnych S i S oddalaja cych sie od siebie z pre dkościa V.

7 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 7 t 2 t t t 2 t 1 t 1 Rys. 1.2: Ilustracja transformacji Lorentza. Obserwator S wysyła promień świetlny w chwili t 1 = t x/c, a naste pnie odbiera go w chwili t 2 = t + x/c po odbiciu, przypisuja c zdarzeniu odbicia współrze dne (t,x) - patrz rysunek 1.2. Analogicznie, obserwator S przypisze temu samemu zdarzeniu swoje współrze dne (t,x ), rejestruja c chwile t 1 = t x /c minie cia go przez przez promień świetlny wysłany przez S jako swoja chwile pocza tkowa oraz chwile t 2 = t + x /c powrotu sygnału. Naszym celem jest znalezienie zwia zku pomie dzy przypisanymi zdarzeniu współrze dnymi. Zauważmy, że z relacji (1.9) i (1.10) wynika czyli t 1 = αt 1, t 2 = αt 2 (1.14) t x (t c = α x ), t + x (t c c = α + x ). (1.15) c W ten sposób otrzymujemy układ równań t x /c = α(t x/c) t + x /c = 1 (t + x/c). (1.16) α Mnoża c stronami równania (1.16) znajdujemy niezmienniczy interwał c 2 t 2 x 2 = c 2 t 2 x 2. (1.17)

8 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 8 Jest to niedodatnio określona odległość w czasoprzestrzeni pomie dzy dwoma zdarzeniami, w tym przypadku minie ciem sie obserwatorów i odbiciem sygnału. W uje ciu geometrycznym transformacje Lorentza definiuje sie jako transformację, która zachowuje postulowany interwał (1.17). Dodaja c i odejmuja c stronami równania (1.16), otrzymujemy t = 1 2 ( α + 1 ) t 1 ( α 1 ) x α 2 α c x c = 1 2 ( α + 1 ) x α c 1 ( α 1 ) t. (1.18) 2 α Podstawiaja c relacje (1.13), znajdujemy ( α + 1 ) α ( α 1 ) α = = 1 1 β 2 β 1 β 2, (1.19) co prowadzi to naste puja cych wzorów na transformacje Lorentza, t = t V x/c2 1 β 2 (1.20) x = x V t 1 β 2. (1.21) Zauważmy, że transformacje odwrotna otrzymujemy zamieniaja c V V, t = t + V x /c 2 1 β 2 (1.22) x = x + V t 1 β 2. (1.23) Transformacje Lorentza należy uzpełnić o prawo transformacyjne dla współrze dnych przestrzennych w kierunkach prostpadłych do kierunku ruchu. W omawianej konfiguracji, gdy pre dkość układu S jest skierowana wzdłuż osi x układu S i osie obu układów sa do siebie równoległe, mamy y = y z = z (1.24)

9 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI Czterowektory Transformację Lorentza dla ruchu wzdłuż osi x można zapisać w formie macierzowej ct γ βγ 0 0 ct x y = βγ γ 0 0 x (1.25) y z z gdzie β = V/c, natomiast γ = 1 1 β 2 (1.26) to czynnik Lorentza. Transformacja odwrotna to ct γ βγ 0 0 ct x y = βγ γ 0 0 x y z z (1.27) Każdy układ czterech wielkości transformuja cych sie tak jak powyżej nazywamy czterowektorem. W szczególności czterowektor położenia to x µ (x 0,x 1,x 2,x 3 ) = (ct,x,y,z). (1.28) Zapis transformacji Lorentza (1.27) w notacji tensorowej dla składowych czterowektora położenia to x µ = Λ µ ν x ν, µ,ν = 0,1,2,3, (1.29) gdzie sumujemy po górnym i dolnym wskaźniku po prawej stronie. Wprowadzając macierz tensora metrycznego η µν = (1.30) warunek (1.17), który spełnia transformacja Lorentza można zapisać w postaci tensorowej η µν x µ x ν = η αβ x α x β. (1.31) Podstawiając transformację (1.29) otrzymujemy warunek jaki musi spełniać każda transformacja Lorentza, η µν Λ µ αλ ν β = η αβ. (1.32)

10 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 10 Jak łatwo sprawdzić, transformacja Lorentza dla dowolnie skierowanej prędkości v = (v 1,v 2,v 3 ), Λ 0 0 = γ, Λ 0 i = Λ i 0 = γ v i c, Λi j = δ ij + v iv j (γ 1), (1.33) v2 gdzie γ = (1 v 2 /c 2 ) 1/2, spełnia powyższy warunek. 1.4 Podział zdarzeń Przy zmianie układu inercjalnego S, współrze dne (ct,x,y,z) czterowektora położenia zdarzenia P w układzie S podlegaja transformacji Lorentza. Wielkością, która nie zmienia się przy transformacji Lorentza, czyli jest jej niezmiennikiem, to interwał s 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2. (1.34) Wielkość ta jest kwadratem odległości pomie dzy zdarzeniem 0 = (0,0,0,0) i P = (ct,x,y,z) w przestrzeni Minkowskiego. W zwia zku z tym, że interwał (1.34) nie jest dodatnio określony, zdarzenia O i P sa powia zane jedna z trzech relacji - patrz rysunek 1.3: zdarzenia leża na stożku światła, gdy s 2 = 0, zdarzenia sa rozdzielone czasowo, gdy s 2 > 0, zdarzenia sa rozdzielone przestrzennie, gdy s 2 < 0. Zdarzenia leża ce na stożku światła można poła czyć sygnałem świetlnym. Podstawiaja c do równania (1.34) równanie sygnału świetlnego, x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2, (1.35) otrzymujemy znikający interwał, s 2 = c 2 t 2 c 2 t 2 = 0. Zdarzenia rozdzielone czasowo można poła czyć sygnałem o pre dkości v < c, gdyż wtedy x 2 + y 2 + z 2 = v 2 t 2 (1.36) i s 2 = c 2 t 2 v 2 t 2 > 0. Zdarzenia rozdzielone przestrzennie, dla których zachodzi s 2 < 0, nie moga być powia zane przyczynowo, gdyż musiałby je ła czyć sygnal o pre dkości v > c, co jest sprzeczne zzałożeniem, że c jest maksymalna pre dkościa przesyłania sygnału. Przedstawione podział jest absolutny, tzn. nie zależy od wyboru inercjalnego układu odniesienia.

11 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 11 s 2 = 0 ct s 2 = 0 s 2 > 0 s 2 < 0 2 s < 0 x s 2 > 0 Rys. 1.3: Stożek światła punktu O będącego początkiem układu współrzędnych i podział zdarzeń względem tego punktu. Ogólnie, interwałem lub pseudo-odległością pomiędzy dowolnymi zdarzeniami P 1 i P 2 jest wyrażenie s 2 12 = c 2 (t 2 t 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (z 2 z 1 ) 2, (1.37) gdzie (ct i,x i,y i,z i ) to współrzędne tych zdarzeń w danym inercjalnym układzie współrzędnych S. Jest ono niezmiennikiem transformacji Lorentza. 1.5 Wzglȩdność równoczesności Rozważmy dwa zdarzenia A i B, które w układzie S zachodza w tym samym czasie t, ale w różnych położeniach przestrzennych x 1 x 2. Sa wie c one równoczesne w tym układzie, a ich współrze dne czasoprzestrzenne to A = (t,x 1 ), B = (t,x 2 ). (1.38) Zgodnie ze wzorem (1.20), w układzie S zdarzenia zachodza chwilach czasu w różnych A = (t 1,x 1), B = (t 2,x 2). (1.39)

12 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 12 t t A B x Rys. 1.4: Płaszczyzny równoczesności zdarzenia A (linie przerywane) w układzie S oraz S. x Odste p czasu miedzy nimi to t = t 1 t 2 = V (x 1 x 2 )/c 2 1 β 2 0. (1.40) Dwa zdarzenia rozdzielone przestrzennie, które były równoczesne w układzie S przestaja być równoczesne w układzie S, patrz rysunek 1.4. Stąd wniosek Równoczesność zdarzeń jest poje ciem wzgle dnym, gdyż zależy od inercjalnego układu odniesienia. Analogicznie jak w układzie S, powierzchnie zdarzeń równoczesnych w układzie S sa zdefiniowane przez warunek t = const. W szczególności, kłada c t = 0 w równaniu (1.20) znajdujemy równanie osi x na wykresie Minkowskiego, ct = V x. (1.41) c Jest ona nachylona pod kątem φ do osi x na wykresie Minkowskiego, gdzie tgφ = V c. (1.42) Podobnie znajdujemy równanie osi t, kłada c x = 0 w równaniu (1.21), x = V ct. (1.43) c

13 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 13 Tym razem oś jest nachylona pod tym samym kątem φ do osi t, patrz rysunek 1.4. Zauważmy, że dla V c obie osie da ża do stożka światła x = ct. 1.6 Dylatacja czasu Rozważmy dwa zdarzenia zachodzące w układzie S w tym samym punkcie x, ale w różnych chwilach czasu t 1 and t 2. Odstęp czasu między nimi wynosi wynosi τ = t 2 t 1 (1.44) i nazywany jest czasem własnym. Zwróćmy uwagę, że czas własny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza, gdyż niezmienniczy kwadrat pseudoodległości pomiędzy dwoma zdarzeniami wynosi w układzie S s 2 12 = c 2 ( τ) 2 (1.45) Obserwator inercjalnych S, względem którego S porusza się się z prędkością v w dodatnim kierunku osi x stwierdzi, że zdarzenia te zachodzą w różnych punktach, x 1 i x 2, i w różnych chwilach czasu, t 1 i t 2. Odstęp czasu między tymi zdarzeniami mierzony w układzie S wynosi t = t 2 t 1 = (t 2 + βx /c) (t 1 + βx /)) 1 β 2 = t 2 t 1 1 β 2. (1.46) Stąd relacja między odstępami czasu między zdarzeniami z punktu widzenia obu obserwatorów t = τ. (1.47) 1 β 2 Obserwator S zmierzy dłuższy odstęp czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym punkcie w układzie poruszającym się S o czynnik Lorentza γ = 1/ 1 β 2 > 1. Stąd Odstępy czasu pomiędzy zdarzeniami zachodzącymi w tym samym punkcie w układzie poruszającym ulegają wydłużeniu z punktu widzenia obserwatora spoczynkowego.

14 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 14 3T 2T 3T 0 T T 0 2T 0 Rys. 1.5: Ilustracja relatywistycznego efektu Dopplera. 1.7 Relatywistyczny efekt Dopplera Rozważmy w ukladzie S zjawisko okresowe polegaja ce na emisji promieni świetlnych z okresem T 0, przykładowo w chwilach - patrz rysunek 1.5, t = T 0, 2T 0, 3T 0,... (1.48) Obserwator S odbiera je w naste puja cych chwilach mierzonych przez jego zegar t = T, 2T, 3T,.... (1.49) Zgodnie ze wzorem (1.10), zwia zek mie dzy okresami tego zjawiska jest dany relacja 1 + β T = αt 0 = 1 β T 0. (1.50) Stąd, ze wzoru na długość fali, λ = ct, otrzymujemy wzór na przesunie cie Dopplera 1 + β λ = 1 β λ 0. (1.51) Długość fali elektromagnetycznej emitowanej przez źródło oddalaja ce sie od obserwatora S ulega zwiększeniu ( przesunie ciu ku czerwieni"), gdyż λ > λ 0. Rozważaja c zbliżaja ce sie źródło należy zamienić β β we wzorze (1.51). Otrzymujemy wtedy zmniejszenie długości fali mierzonej przez obserwatora S ("przesunie cie do nadfioletu"), gdyż λ < λ 0.

15 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI Skrócenie długości Rozważmy pre t o długości L 0 spoczywaja cy w układzie S. Ponieważ pre t spoczywa, jego długość możemy określić podaja c współrze dne początku i końca w dowolnych chwilach w układzie S L 0 = x 2 x 1. (1.52) Przy określeniu długości w układzie S, w którym pre t sie porusza, ważne jest by podać współrze dne pocza tku i końca pre ta, x 1 oraz x 2, w tej samej chwili czasu t. W przeciwnym przypadku długość pre ta nie ma sensu, gdyż uwzgle dnia jego ruch. Wykorzystuja c zatem wzór (1.21), otrzymujemy L 0 = x 2 x 1 = (x 2 V t) (x 1 V t) 1 β 2 = x 2 x 1 1 β 2. (1.53) Wprowadzając długość pręta w układzie S, L = x 2 x 1, znajdujemy i stąd L = L 0 1 β 2. (1.54) Długość przedmiotu mierzona wzdłuż kierunku jego ruchu przez obserwatora spoczynkowego ulega skróceniu w stosunku do długości przedmiotu mierzonego w spoczynku 1.9 Transformacja prȩdkości Rozważmy ruch ciała w układzie S z chwilową pre dkościa v x = dx dt (1.55) wzdłuż osi x. Korzystaja c z praw transformacji Lorentza (1.22)-(1.23) dla różniczek współrzędnych, dt = dt + V dx /c 2 1 β 2 (1.56) dx = dx + V dt 1 β 2, (1.57)

16 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 16 otrzymujemy wartość pre dkości ciała wzdłuż osi x w układzie S, v x = dx dt = dx + V dt dt + V dx /c 2. (1.58) Dzieląc licznik i mianownik przez dt znajdujemy nowe prawo składania pre dkości podłużnych, v x = v x + V 1 + v x V /c 2. (1.59) Zauważmy, że podstawiaja c v x = c otrzymujemy v x = c. Graniczna wartość pre dkości c jest wie c wbudowana w relatywistyczne prawo składania pre dkości. W granicy gdy obie pre dkości sa małe, v x,v c, wzór (1.58) przechodzi w prawo dodawania prędkości wynikaja ce z transformacji Galileusza, v x = v x + V. (1.60) Niech cza stka porusza sie tak, że zmienia sie również jej współrze dna poprzeczna y w układzie S. Wtedy prędkość cząstki w tym kierunku to v y = dy dt. (1.61) Wymiary poprzeczne do kierunku względnego ruchu układów inercjalnych nie ulegają zmianie, dy = dy. Stąd otrzymujemy v y = dy dt = dy dt + dx V/c 2 1 V 2 /c 2. (1.62) Dzieląc licznik i mianownik przez dt otrzymujemy prawo transfomacji prędkości poprzecznych przy zmianie inercjalnego układu odniesienia v y = Podobnie, dla składowej pre dkości wzdłuż osi z, v z = v y 1 + v x V/c 2 1 V 2 /c 2. (1.63) v z 1 + v x V/c 2 1 V 2 /c 2. (1.64) Jako przykład rozważmy ruch promienia świetlnego w układzie S wzdłuż osi y. Jego wektor prędkości w układzie S to v = (0,c,0), (1.65)

17 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 17 natomiast prawa transformacyjne (1.59) i (1.63)-(1.64) prowadzą do następującego wektora prędkości w układzie S, v = (V,c 1 V 2 /c 2,0). (1.66) Łatwo sprawdzić, że v =c, tzn. prędkość światła nie ulega zmianie. Zmienia się natomiast kąt wektora prędkości liczony względem kierunku ruchu układu S. Jeżeli w ukłdzie S kąt α = π/2 to kąt α w układzie S jest zadany przez warunek sinα = v y c = 1 γ, (1.67) gdzie γ jest czynnikiem Lorenzta. W ogólności ze wzoru (1.63) otrzymujemy sinα = sinα γ(1 + β cosα ), (1.68) gdzie sinα = v y/c oraz cosα = v x/c. Zauważmy, że dla V c, czynnik 1/γ 0 i kąt α 0 w układzie S Rapidity Prawo (1.59) szczególnie prosta postać dla wielkości (kłada c c = 1) α(v x ) = 1 + vx 1 v x. (1.69) Podstawiaja c bowiem do powyższego relacje (1.58), znajdujemy α(v x ) = (1 + v x )(1 + V ) (1 v x)(1 V ) = α(v x)α(v ). (1.70) Prawo składania pre dkości (1.59) jest addytywne dla rapidity gdyż z równania (1.70) otrzymujemy Y (v x ) lnα(v x ) = 1 2 ln 1 + v x 1 v x, (1.71) Y (v x ) = Y (v x) + Y (V ). (1.72)

18 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 18 Parametry (1.19) transformacji Lorentza można wyrazić przy pomocy rapidity korzystajac z odwróconej relacji (1.71): α(v ) = e Y (V ). Otrzymujemy coshy = 1 2 (ey + e Y ) = sinhy = 1 2 (ey e Y ) = 1 1 V 2 V 1 V 2, (1.73) a wzór (1.25) dla transformacji Lorentza przyjmuja postać ct coshy sinhy 0 0 ct x y = sinhy coshy 0 0 x y z z (1.74) Zauważmy, że tghy = sinhy = V = tgφ, (1.75) coshy gdzie φ jest ka tem odchylenia osi x i t od osi x i t na wykresie Minkowskiego - patrz rozdział 1.5. Łatwo sprawdzić, mnoża c dwie macierze transformacji Lorentza wzdłuż osi x z rapidity Y 1 = Y (V 1 ) oraz Y 2 = Y (V 2 ), że w wyniku otrzymamy macierz transformacji Lorentza z rapidity Y = Y 1 + Y 2. (1.76) Sta d wynika, że zbiór transformacji Lorentza wzdłuż tej samej osi tworzy grupe z elementem jednostkowym odpowiadaja cym rapidity Y = 0 oraz elementem odwrotnym Y dla transformacji z rapidity Y Zapis wektorowy transformacji prędkości Wzory transformacyjne dla składowych prędkości można zapisać w zwarty sposób wprowadzaja c w każdym z układów składowe pre dkości podłużne i poprzeczne do kierunku prędkości względnej układów, V, na przykład v = v + v v V = 0. (1.77) Prawa transformacji składowej poprzecznej, (1.63) i (1.64), przyjmują wtedy postać v v = 1 + v V/c 2 1 V 2 /c 2, (1.78)

19 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 19 natomiast wzór (1.59) dla prędkości podłużnej to v = v + V 1 + v V/c 2. (1.79) Zauważmy, że jeśli w układzie S pre dkość v jest prostopadła do V to mamy v = 0 i v V = 0. (1.80) W układzie S pojawia sie składowa równoległa pre dkości zwia zana z unoszeniem cza stki przez układ S w kierunku pre dkości V, natomiast prędkość poprzeczna to v = v v = V, (1.81) 1 V 2 /c 2. (1.82) Czynnik Lorentza w tym wzorze to efekt dylatacji czasu w układzie S przy niezmieniaja cej sie odległości poprzecznej Czterowektor prȩdkości W krótkiej chwili czasu dt w układzie S prędkość chwilowa v poruszającej się cząstki jest stała. Można wtedy wprowadzić układ inercjalny S, w którym cząstka chwilowo spoczywa. Odstęp czasu własnego dτ, powiązany z odstępem czasu dt wzorem (1.47), dτ = dt 1 v 2 /c 2, (1.83) jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Możemy więc zdefiniować czterowektor prędkości chwilowej cząstki v µ = dxµ dτ, (1.84) gdzie dx µ = (cdt,dx,dy,dz) to czterowektor różniczek współrzędnych cząstki w układzie S. Tak więc, składowe czteroprędkości to v µ = dxµ dt ( dt dτ = c 1 v 2 /c 2, v 1 v 2 /c 2 ). (1.85)

20 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 20 Kwadrat wektora czteroprędkości, liczony w metryce Minkowskiego wynosi v 2 (v 0 ) 2 (v 1 ) 2 (v 2 ) 2 (v 3 ) 2 = c 2. (1.86) Jest to więc czterowektor czasopodobny. Udowodnimy, że składowe v µ czteroprędkości transformują się tak jak współrzędne czterowektora położenia - tworzą więc czterowektor. Jeżeli współrzędne cząstki w układzie S transformują się zgodnie z transformacją Lorenza (1.29) przy zmianie inercjalnego układu odniesienia, (x µ ) = Λ µ ν x ν, (1.87) to takie samo prawo jest słuszne dla różniczek współrzędnych (dx µ ) = Λ µ ν dx ν. (1.88) Dzieląc obie strony powyższej równości przez niezmiennik dτ, otrzymujemy prawo transformacyjne składowych czteroprędkości (v µ ) = Λ µ ν v ν. (1.89) Czteroprędkość (1.84) jest więc czterowektorem w przestrzeni Minkowskiego Energia i pȩd Energia i pe d cząstki masowej w szczególnej teorii wzgle dności tworzą czterowektor o składowych ( ) E p µ = c, p, (1.90) proporcjonalnych do składowych czterowektora prędkości gdzie m 0 jest masą spoczynkową cząstki. p µ = m 0 v µ, (1.91) Korzystając ze wzoru (1.85) dla składowych czteroprędkości, znajdujemy wzory na energię i pęd cząstki w szczególnej teorii względności E = p = m 0 c 2 1 v 2 /c 2 (1.92) m 0 v 1 v 2 /c 2. (1.93)

21 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 21 Kwadrat długości czterowektora energii-pędu to p 2 E2 c 2 p2 = m 2 0c 2. (1.94) Masa spoczynkowa cząstki jest więc niezmiennikiem transformacji Lorentza. Wzór (1.94) można też zapisać w często używanej formie E 2 = c 2 p 2 + m 2 0c 4. (1.95) Wyciągając pierwiastek, otrzymujemy E = ± c 2 p 2 + m 2 0 c4. (1.96) Całkowita energia może więc być dodatnia i ujemna. W teorii klasycznej (niekwantowej) odrzucamy możliwość występowania ujemnej energii. Nie można tego zrobić w relatywistycznej teorii kwantowej, co prowadzi do konieczności wprowadzenia antycząstki dla każdej cząstki. Natychmiastowym wnioskiem z definicji energii i pędu jest zwia zek p = E v. (1.97) c2 Tak wie c, relatywistyczna energia odgrywa role rosna cej z pre dkościa masy bezwładnej. Inaczej mówia c, z każda forma energia zwia zana jest bezwładność określona przez mase m = E c 2. (1.98) Wzór (1.97) wykorzystuje sie jako relacje podstawowowa dla cza stek bezmasowych (m 0 = 0), takich jak foton, poruszaja cych sie z pre dościa światla. Kłada c v = c, otrzymujemy relację między energią i pędem dla cząstki bezmasowej E = c p. (1.99) Interesuja ca jest również granica małych pre dkości dla relatywistycznej energii i pe du. Zachowuja c co najwyżej człony kwadratowe w (v/c) we wzorach (1.92) i (1.93), znajdujemy E m 0 c m 0v 2 (1.100) p m 0 v. (1.101) Nowym elementem w stosunku do teorii nierelatywistycznej jest energia spoczynkowa, m 0 c 2, zwia zana z masa spoczynowa ciała. Tak więc, energia ciała w spoczynku to nieusuwalna energia spoczynkowa E 0 = m 0 c 2. (1.102)

22 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI Zasada zachowania energii-pędu Relatywistyczne definicje energii pe du sa tak wybrane by E i p tworzyły czterowektor przy założeniu, że masa spoczynkowa m 0 jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (przyjęliśmy układ jednostek, w którym c = 1). Jest to niezbe dne by spełniona była zasada wzgle dności w odniesieniu do zachowania energii i pe du. Równość składowych dwóch czterowektorów energii-pędu w inercjalnym układzie odniesienia S, (E in,p in ) = (E out,p out ), (1.103) wyrażaja ca zasade zachowania energii i pe du w tym układzie, jest bowiem niezmiennicza wzgle dem transformacja Lorentza tych współrze dnych. Tym samym w układzie inercjalnym S, poruszającym się względem S, zasada zachowania energii-pędu też jest spełniona (E in,p in) = (E out,p out), (1.104) W zderzeniach cząstek, energia E in jest sumą energii cząstek wchodzących do reakcji, a p in jest wektorową sumą ich pędów. Podobnie dla cząstek będących produktem reakcji. Wzór (1.103) wyraża zatem zachowanie całkowitej energii oraz całkowitego pędu cząstek w rozważanej reakcji N k k=1 N k k=1 E (k) in N l = l=1 p (k) N l in = m=1 E (l) out (1.105) p (l) out, (1.106) gdzie wskaźniki k, l identyfikują cząstki. Zauważmy, że kwadrat całkowitej masy układu cząstek, M 2, jest niezmiennikiem reakcji, M 2 N k = = 2 E (k) in k=1 2 N l E (l) out l=1 N k 2 p (k) in k=1 2 N l p (l) out l=1, (1.107) i dlatego M 2 nazywamy masą niezmienniczą układu zderzających się cząstek.

23 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI Ruch ze stałym przyśpieszeniem Rozważmy trajektorię t = a 1 sinhσ, x = a 1 coshσ, (1.108) gdzie σ (, ) oraz położyliśmy c = 1. Policzmy ds 2 dτ 2 = dt 2 dx 2 = a 1 dσ 2, (1.109) i stąd czas własny cząstki, τ = a 1 σ + τ 0. Przyjmując τ 0 = 0 dostajemy trajektorię t = a 1 sinh(aτ), x = a 1 cosh(aτ), (1.110) dla której w chwili τ = t = 0 położenie x = a 1. Na wykresie Minkowskiego trajektoria ta jest prawą gałęzią hiperboli Policzmy jeszcze czteroprędkość u µ = dx µ /dτ x 2 t 2 = a 2. (1.111) u 0 = dt dτ = cosh(aτ), oraz czteroprzyśpieszenie a µ = du µ /dτ, u1 = dx dτ = sinh(aτ) (1.112) a 0 = asinh(aτ), a 1 = acosh(aτ). (1.113) Transformacja Lorentza prowadząca do chwilowego układu inercjalnego, w którym cząstka spoczywa, u µ = (1,0), to ( ) Λ µ cosh(aτ) sinh(aτ) ν = sinh(aτ) cos(aτ) (1.114) gdyż ( cosh(aτ) sinh(aτ) sinh(aτ) cos(aτ) )( cosh(aτ) sinh(aτ) ) = ( 1 0 ) (1.115) Dla czteroprzyśpieszenia w tym układzie znajdujemy ( )( ) cosh(aτ) sinh(aτ) asinh(aτ) = sinh(aτ) cos(aτ) acosh(aτ) ( 0 a ) (1.116)

24 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 24 Zatem w chwilowym układzie, w którym cząstka spoczywa przyśpieszenie jest stałe, a µ = (0,a). Policzmy zależność prędkości i przyśpieszenia od czasu t w inercjalnym układzie odniesienia S. Dla prędkości znajdujemy v = dx dt = sinh(aτ) cosh(aτ) = at (1.117) 1 + a 2 t 2 gdzie wykorzystaliśmy zależność (1.110) oraz relację cosh 2 ψ sinh 2 ψ = 1. Widzimy, że dla t ± prędkość v ±c. Stożek świetlny x = ±t jest horyzontem zdarzeń dla takich ruchów, gdyż każda trajektoria (1.110) dąży do niego asymptotycznie. Dla przyśpieszenia w układzie inercjalnym S otrzymamy po zróżniczkowaniu (1.117) po czasie t, a = dv dt = a [1 + a 2 t 2 ] 3/2 (1.118) Zgodnie z oczekiwanie przyśpieszenie w układzie S maleje do zera, a 0, gdy t ± Współrzędne Rindlera Trajektorię ruchów ze stałym przyśpieszeniem mogą posłużyć do sparametryzowania przestrzennopodobnego obszaru na zewnątrz stożka świetlnego x = ±t. Wprowadźmy bowiem współrzędne Rindlera (η,ξ) dla prawego klina, t = ξ sinhη, x = ξ coshη, (1.119) gdzie η (, ) oraz ξ (0, ). Linie stałego ξ to hiperbole x 2 t 2 = ξ (1.120) będące trajektoriami ruchów jednostajnie przyśpieszonych z przyśpieszeniem 1/ξ, natomiast linie stałego η to półproste nachylone do osi x pod kątem φ ( π/4,π/4). t = tghη x, (1.121) Metryka w nowych zmiennych przyjmuje postać ( ) ds 2 = dt 2 dx 2 = ξ 2 dη 2 dξ2 ξ 2. (1.122)

25 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI 25 Jest ona osobliwy dla ξ = 0 (tzn. dla x = y = 0), dla którego to punktu transformacja Rindlera jest osobliwa. Wprowadzając nową współrzędną gdzie ρ (, ), otrzymujemy metrykę w postaci ρ = lnξ, (1.123) ds 2 = e 2ρ ( dη 2 dρ 2), (1.124) która jest równoważna konforemnie metryce Minkowskiego. Definiując następnie nowe zmienne, gdzie u,v (, ), dostajemy u = η + ρ, v = η ρ, (1.125) ds 2 = e u v dudv. (1.126) Stąd linie u = const i v = const są liniami świata promieni świetlnych, dla których ds 2 = 0

26 ROZDZIAŁ 1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI Zadania 1. W reakcjach ja drowych promieni kosmicznych z atomami atmosfery na wysokości 10 km wytwarzane sa miuony o pre dkości bliskiej pre dkości światła. Można je też wytworzyć w akceleratorach i zmierzć średni czas życia τ = s (mierzony w układzie spoczynkowym cza stki). Zakładaja c, że pre dkość mionu v = c obliczyć: - jaki czas z punktu widzenia obserwatora na Ziemi potrzebuje miuon na dotarcie do jej powierzchni ( s), - ile wynosi ten czas z punktu widzenia miuonu ( s), - jaka droge może przebyć miuon w średnim czasie życia gdyby nie istniał efekt dylatacji czasu (659 m), - jaka odległosć od Ziemi widzi szybki miuon na wysokości 10 km (436 m). 2. Ile wynosi energia spoczynkowa ciała o masie 1g? ( J). Na jaką wysokość można by podnieść całą ludzkość (7 mld) przy użyciu takiej energii. 3. Ile musi wynieść energia kinetyczna dwóch zderzaja cych sie protonów by móc wyprodukować 3 protony i jeden antyproton. Rozważyć ten proces w układzie, w którym jeden z protonów spoczywa oraz w układzie środka masy zderzaja cych sie protonów.

27 Literatura [1] A. Trautman, W. Kopczyński, Czasoprzestrzeń i grawitacja, PWN, Warszawa, [2] Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa,