Streszczenie rozprawy doktorskiej. mgr Aleksandry Rutkowskiej. Optymalizacja portfela papierów wartościowych w świetle teorii wiarygodności Liu

Transkrypt

1 Streszczenie rozprawy doktorskiej mgr Aleksandry Rutkowskiej Optymalizacja portfela papierów wartościowych w świetle teorii wiarygodności Liu Rozprawa porusza zagadnienie optymalizacji portfela inwestycyjnego w ujęciu teorii wiarygodności Liu. Aksjomatyczna teoria wiarygodności, będąca rozwinięciem teorii możliwości 1, została opublikowana w roku Teoria ta opiera się na pojęciu miary wiarygodności (credibility measure), zaproponowanym w roku , jako miara szansy wystąpienia danego zdarzenia. Celem pracy jest synteza elementów teorii zmiennej rozmytej na potrzeby analizy portfelowej. Dotychczasowe publikacje z zakresu analizy portfelowej w tym ujęciu pomijają często istotne elementy z punktu widzenia nauki i inwestora. Powoduje to brak spójności w teorii i trudności w empirycznych zastosowaniach. Istotne dla zrealizowania celu głównego są następujące cele pomocnicze pracy: 1. Klasyfikacja niepewności w ujęciu konsensualnym. 2. Określenie metodyki wyznaczania funkcji przynależności i wiarygodności zmiennej rozmytej. 3. Zaproponowanie jednokryterialnego, rozumianego intuicyjnie, modelu optymalizacji. 4. Porównanie i analiza rozmytych zadań optymalizacji portfela. Cel pierwszy został zrealizowany za pomocą studiów literaturowych. Na ich podstawie sformułowana została odpowiedź na pytanie: czy na podstawie dostępnej literatury można uzyskać spójną typologię pojęcia niepewności i ryzyka? Dla realizacji celu drugiego postawiono sobie pomocnicze pytania badawcze: 1. Jak wyznaczyć funkcję przynależności rozmytej stopy zwrotu? 2. Czy kształt funkcji przynależności ma wpływ na wynik zadań optymalizacji portfela? 1 zaproponowanej przez Zadeha w 1978 roku ( Zadeh, L., 1978, Fuzzy Sets as the Basis for a Theory of Possibility, Fuzzy Sets and Systems 1:3 28, wznowiony w Fuzzy Sets and Systems 100 (Supplement): 9 34, Liu, B., 2004, Uncertainty Theory: An Introduction to Its Axiomatic Foundations, Studies in Fuzziness and Soft Computing, Springer, Berlin. 3 Liu, B., Liu, Y.-K., 2002, Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models, Fuzzy Systems, IEEE Transactions on, vol. 10, nr 4, s

2 3. Czy przybliżenie różnych kształtów kształtem liniowym wpływa istotnie na zmianę w doborze udziałów w wyznaczanym portfelu? Osiągnięcie celu trzeciego było możliwe po uzyskaniu odpowiedzi na pytania: 1. W jaki sposób inwestorzy wybierają akcje do portfela? 2. Czy można skonstruować jednokryterialne zadanie optymalizacji portfela akcji? 3. Jak odzwierciedlić w zadaniu optymalizacji preferencje inwestora? Cel czwarty został realizowany poprzez odpowiedzi na następujące pytania badawcze: 1. Które z zadań optymalizacji portfela są równoważne i przy jakich założeniach? 2. W jaki sposób określić skuteczność zadań optymalizacji i jakimi kryteriami ją oceniać? 3. Czy można określić, które z proponowanych zadań ma większą skuteczność? 4. Czy zadania optymalizacji uwzględniające preferencje inwestorów są równie skuteczne, co zadania oparte na miarach niepewności i zysku? W pierwszej części pracy zaprezentowano teoretyczne ramy koncepcji rozmytej stopy zwrotu zdefiniowanej na przestrzeni wiarygodności i omówiono własności zadań optymalizacji. Punktem wyjścia były sposoby modelowania niepewności oraz związane z nim różne podejścia w problemach optymalizacji portfela. Przedstawiono zagadnienia związane ze stopą zwrotu i niepewnością inwestycji kapitałowych. Omówiono typologię niepewności oraz podjęto próbę syntezy klasyfikacji prezentowanych w literaturze. Następnie scharakteryzowano koncepcję rozmytej stopy zwrotu w ujęciu teorii wiarygodności Liu. Przedstawiono podstawy teoretyczne zmiennej rozmytej oraz wprowadzono pojęcie rozmytej stopy zwrotu z uwzględnieniem miar niepewności. Zmienną rozmytą definiujemy następująco. Niech Θ będzie niepustym zbiorem, P(Θ) rodziną wszystkich podzbiorów Θ, a Cr miarą wiarygodności. Wtedy trojkę (Θ, P(Θ), Cr) nazywamy przestrzenią wiarygodności, a zmienną rozmytą ξ funkcją z przestrzeni wiarygodności w zbiór liczb rzeczywistych. Przez rozmytą stopę zwrotu będziemy rozumieć funkcję określoną na przestrzeni wiarygodności zwracającą wartość przyszłej stopy zwrotu. Funkcja przynależności zmiennej rozmytej określona jest na zbiorze wartości przyszłych stóp, przypisując każdej wartości możliwość zaistnienia. Funkcja wiarygodności Cr zmiennej rozmytej działa z podzbioru zdarzeń elementarnych, w zbiór liczb rzeczywistych, określając wiarygodność zaistnienia zdarzenia, że zmienna przyjmie wartość z danego przedziału. W tej części pracy przeprowadzono również dowód na niezależność rozmytych stóp zwrotu i omówiono problem wyznaczenia zmiennej rozmytej, sprowadzający się 2

3 do zagadnienia wyznaczania funkcji przynależności zbioru rozmytego. W niniejszej pracy skupiono uwagę i porównano trzy rodzaje transformacji w oparciu o dane statystyczne: 1. Metodę zaproponowaną przez Dubois i Prade 4 zwaną transformacją bijektywną, która zakłada, że stopnień konieczności zdarzenia A i jest dodatkową wielkością prawdopodobieństwa związanego ze zdarzeniami elementarnymi ze zbioru A i w porównaniu z wielkością prawdopodobieństwa przypisaną najczęściej występującemu zdarzeniu nie należącemu do zbioru A i.. 2. Koncepcję Klira 5, zwaną metodą zachowania niepewności, która zakłada, że przy transformacji miar z jednej teorii do drugiej wielkość niepewności powinna zostać zachowana, a każde odpowiednie wartości w jednej teorii muszą być przekształcone na odpowiedniki w drugiej teorii za pomocą pewnej skali. 3. Autorską metodę opartą na zasadzie maksymalnej entropii ważonej, zakładającej, że należy wziąć pod uwagę wszystkie dostępne informacje unikając jednocześnie nadmiarowych informacji. W następnej części omówione zostały zadania optymalizacji portfela akcji bazujące na pojęciu zmiennej rozmytej w ujęciu teorii wiarygodności. Wraz z rozwojem teorii wiarygodności, rozwijały się jej liczne zastosowania w finansach, szczególnie dynamicznie modele optymalizacji portfela inwestycyjnego. W 2005 roku zaproponowane zostały pierwsze modele w oparciu o miarę wiarygodności: model średnia-wariancja, model wartości optymistycznej, model maksymalnej wiarygodności 6. W 2006 roku Huang 7 rozwinęła zagadnienie maksymalizacji miary wiarygodności. W zaproponowane zostało w celu ograniczenia ryzyka wykorzystanie krzywej akceptowalności strat inwestora, a następnie entropia zmiennej rozmytej 9. Model średnia-wariancja ewoluował w model minmax średniawariancja 10 oraz model średnia-wariancja-skośność 11. W 2012 roku został zaprezentowany 4 D. Dubois, H. Prade. 1983, Unfair coins and necessity measures: Towards a possibilistic interpretation of histograms. Fuzzy Sets and Systems, 10(1 3):15 20,. 5 G.J. Klir. 1990, A principle of uncertainty and information invariance. International Journal of General Systems, 17: J. Peng, H. M. K. Mok, W.-M. Tse, 2005, Credibility programming approach to fuzzy portfolio selection problems, Proceedings of 2005 International Conference on Machine Learning and Cybernetics, X. Huang, 2006, Credibility Based Fuzzy Portfolio Selection. IEEE International Conference on Fuzzy Systems, X. Huang, 2006, Fuzzy chance-constrained portfolio selection. Applied Mathematics and Computation, 177(2): X. Huang, 2008, Risk curve and fuzzy portfolio selection. Computers & Mathematics with Applications, 55(6): , 9 X. Huang, 2008, Mean-Entropy Models for Fuzzy Portfolio Selection. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 16: , 10 X. Huang, 2010, Minimax mean-variance models for fuzzy portfolio selection. Soft Computing, 15(2): ,

4 model minimalizacji żalu 12. Zadania rozpatrzono w podziale na zadania wykorzystujące miary niepewności oraz te wykorzystujące miary stosunku do niepewności i preferencje inwestora. Zaprezentowane zostały również przykłady dla poszczególnych zadań. W drugiej grupie zaproponowano również autorski model optymalizacji w oparciu o miarę satysfakcji. Pod pojęciem satysfakcji rozumiemy w tym przypadku stopień podobieństwa uzyskanego wyniku z inwestycji do oczekiwań, przy czym ex ante będzie to podobieństwo oczekiwań inwestora, wyrażonych zbiorem rozmytym, do wiarygodności wystąpienia poszczególnych stóp zwrotu różnych portfeli. Wykorzystanie zbiorów rozmytych pozwoli na wyznaczenie preferencji, a skorzystanie z indeksu podobieństwa zaproponowanego przez Tverskiego 13 wprowadzenie parametru awersji do ryzyka i parametru żalu, określającego odpowiednio wagę bezpieczeństwa inwestycji lub skupienia uwagi na możliwości wysokich zysków. Zatem dla inwestora skupiającego uwagę jedynie na zyskach, o zerowej awersji do ryzyka, funkcja podobieństwa będzie sprawdzała jedynie stopień realizacji oczekiwań, uwzględniając część wspólną oraz niespełnione oczekiwania. W odwrotnym przypadku, dla inwestora o maksymalnej awersji do ryzyka, to zawieranie się oczekiwań w wybranym portfelu będzie brane pod uwagę wraz z niebezpieczeństwem wyniku poniżej oczekiwań. Na część badawczą pracy składają się 4 badania. Dwa z nich badane wrażliwości wyników optymalizacji na zmianę kształtu funkcji przynależności oraz badanie wpływu przyjętej metody wyznaczania funkcji przynależności na wyznaczone stopy zwrotu, są badaniem wstępnym. Celem pierwszego badania jest sprawdzenie czy kształt trójkątny funkcji przynależności zmiennej rozmytej jest wystarczającym przybliżeniem rozmytych stóp zwrotu. Badanie obejmuje 4 różne kształty funkcji przynależności: trójkątny, paraboliczny, normalny oraz kształt SZ. Kształty te zostaną zbadane w dwóch przypadkach: przy założeniu stałych parametrów funkcji oraz stałego pola pod wykresem. Drugie badanie miało na celu sprawdzenie, czy parametry wygenerowanej funkcji przynależności zmiennej rozmytej różnią się istotnie zależnie od przyjętej metody ich wyznaczania. Z wyników badań wstępnych wysunięto następujące wnioski. Przybliżenie funkcji przynależności kształtem trójkątnym jest uzasadnione w przypadku kształtu SZ. W przypadku innych kształtów błędy aproksymacji są uzależnione od rozważanego typu zadań i przyjętych założeń co do pola powierzchni lub parametrów zadania. Wyniki drugiej części badania wskazują, że wartości dyskretnych 11 X. Li, Z. Qin, S. Kar, 2010, Mean-variance-skewness model for portfolio selection with fuzzy returns. European Journal of Operational Research, 202(1): , 12 X. Li, B. Shou, Z. Qin. An expected regret minimization portfolio selection model. European Journal of Operational Research, 218(2): , A. Tversky, 1977, Features of similarity, Psychological Review, 84:

5 funkcji przynależności wyznaczonych metodami opartymi o dane historyczne są zbliżone, a aproksymacja liniowa ciągłych funkcji zmniejsza istniejące różnice. W oparciu o wyniki badań wstępnych zostało przeprowadzone badanie główne o charakterze empirycznym, polegające na wyznaczeniu i przetestowaniu portfeli wyznaczonych różnymi typami zadań w 22 okresach testowych o różnych długościach: miesięcznym (poprzedzony kwartalnym okresem obserwacji rynku), kwartalnym (poprzedzony półrocznym okresem obserwacji), półrocznym (poprzedzony rocznym okresem obserwacji), rocznym (poprzedzonym półtorarocznym okresem obserwacji danych). W badaniu zostały uwzględnione następujące zadania: zadanie średnia-wariancja: zadanie minimalizacji wariancji przy założonym poziomie wartości oczekiwanej i zadanie maksymalizacji wartości oczekiwanej przy założonym poziomie wariancji (EV), zadanie średnia-semiwariancja: zadanie minimalizacji semiwariancji przy założonym poziomie wartości oczekiwanej i zadanie maksymalizacji wartości oczekiwanej przy założonym poziomie semiwariancji, zadanie średnia-entropia: zadanie minimalizacji entropii przy założonym poziomie wartości oczekiwanej i zadanie maksymalizacji wartości oczekiwanej przy założonym poziomie entropii, zadanie średnia-var: zadanie minimalizacji wartości zagrożonej przy założonym poziomie wartości oczekiwanej i zadanie maksymalizacji wartości oczekiwanej przy założonym poziomie wartości zagrożonej, zadanie średnia-cvar: zadanie minimalizacji warunkowej wartości zagrożonej przy założonym poziomie wartości oczekiwanej i maksymalizacja wartości oczekiwanej przy założonym poziomie warunkowej wartości zagrożonej, zadanie maksymalizacji satysfakcji (S) dla trzech różnych poziomów awersji do ryzyka oraz parametrów żalu. Średnio stopy zwrotu portfeli wyznaczonych zadaniami optymalizacji nie odbiegały znacząco od poziomu benchmarku. Ponadto można zauważyć, że średnio stopy zwrotu portfeli wyznaczonych zadaniami maksymalizacji zysku uzyskiwały lepsze wyniki od portfeli uzyskanych drogą minimalizacji niepewności. Średnio również stopy zwrotu portfeli wyznaczonych zadaniami optymalizacji w krótszych okresach testowych były wyższe od stóp zwrotów portfeli wyznaczonych i testowanych na podstawie dłuższych okresów. 5

6 Czwarta część jest niezależna i obejmuje badanie ankietowe inwestorów indywidualnych, skupiające się na metodach doboru portfela inwestycyjnego, sposobach określania kryteriów i preferencji. Badanie ankietowe przeprowadzono wśród ponad 300 inwestorów indywidualnych za pośrednictwem Stowarzyszenia Inwestorów Indywidualnych. Jak wynika z ankiet, badani inwestorzy przy szacowaniu ryzyka portfela posługują się głównie intuicją oraz opiniami ekspertów, a co 7 osoba w ogóle nie szacuje ryzyka. Najmniej popularną z analiz, nawet wśród osób z wykształceniem wyższym ekonomicznym, jest analiza portfelowa blisko połowa nie używa jej nigdy, bądź rzadko. Może to sugerować słabe poznanie tej metody lub niską jej użyteczność. Badanie pokazało niski odsetek osób szacujących lub sprawdzających miary ryzyka wraz z niskimi ocenami ich interpretacji, szczególnie dotyczącymi miar semiwariancji i warunkowej wartości zagrożonej. Jakkolwiek ponad połowa inwestorów stara się wyznaczać zawsze lub często wartość oczekiwaną inwestycji. Badani uzyskane z inwestycji wyniki porównują najczęściej z założonymi przez siebie celami, nie biorą pod uwagę najlepszych ani najgorszych wyników z danego okresu na rynku. Oczekiwane przez nich rezultaty są natomiast określane przedziałowo i uzależnione od panujących warunków na rynku w momencie podejmowania decyzji o inwestycji. W ostatniej części pracy została dokonana ocena syntetyczna zadań optymalizacji na podstawie autorskiej miary, uwzgledniającej następujące kryteria: intuicyjność i przydatność kryteriów optymalizacji, wrażliwość zadań na kształt funkcji przynależności, złożoność obliczeniowa, uzyskane wyniki na danych rzeczywistych. Najwyższe oceny skuteczności uzyskały zadania maksymalizacji wartości oczekiwanej przy ograniczeniu wartości zagrożonej, semiwariancji i warunkowej wartości zagrożonej. Zadania wykorzystujące wartość zagrożoną zostały najlepiej ocenione ze względu na przydatność informacyjną miar niepewności oraz niską złożoność obliczeniową, wysoko ocenione zostały również niewielkie odchylenia poniżej indeksu WIG20 w sytuacjach strat. Zadanie maksymalizacji wartości oczekiwanej przy ograniczeniu niepewności miarą semiwariancji otrzymało wysokie oceny zarówno dzięki niskiej wrażliwości na zmianę kształtu funkcji przynależności, jak i przydatności informacyjnej, jednak przede wszystkim uzyskało najwyższe wyniki ze skuteczności empirycznej na podstawie uzyskanych stóp zwrotu z okresów testowych. Proponowane zadanie maksymalizacji satysfakcji zostało wysoko ocenione ze względu na zgodność kryterium optymalizacji z intuicją, jednak traci 6

7 na braku informacji o niepewności związanej z portfelem, złożoności obliczeniowej oraz nie uzyskało również zadowalających wyników empirycznych w sytuacji spadku notowań. Najgorszą ocenę, pomimo niskiej wrażliwości na zmianę kształtu funkcji przynależności i prostoty obliczeniowej, uzyskało zadanie minimalizacji entropii. W zakończeniu rozprawy przedstawiono najważniejsze jej rezultaty, wnioski oraz możliwe kierunki dalszego rozwoju przeprowadzonych badań. 7