Implikacje rozmyte. Zbigniew Suraj. Instytut Informatyki Uniwersytet Rzeszowski. Seminarium naukowe Grupy badawczej RSPN, 8 kwietnia 2013, Rzeszów
|
|
- Beata Aleksandra Kowalska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 mlikacje rozmyte Zbigniew uraj nstytut nformatyki Uniwersytet Rzeszowski eminarium naukowe Gruy badawczej RPN, 8 kwietnia 2013, Rzeszów
2 Logika klasyczna arystotelesowska) 1. twierdzenia są albo rawdziwe albo fałszywe. 2. Oarta jest na trzech rawach, zwanych zasadami logiki klasycznej: Prawo tożsamości: Prawo srzeczności: Prawo wyłączonego środka:
3 Logiki nieklasyczne 1. Nie obowiązuje zasada dwuwartościowości rawda, fałsz). 2. Nie obowiązuje co najmniej jedno z trzech raw logiki klasycznej.
4 Podział logik logika klasyczna nieklasyczne rachunek zdań rachunek redykatów rachunek rezolucyjny intuicjonistyczna modalne RZ Floyda-Hoare a rozmyta
5 Klasyfikacja rozumowania rozumowanie ewne nieewne dedukcyjne redukcyjne rzez analogię statystyczne rozmyte logiczne funkcyjne wnioskowanie dowodzenie srawdzanie wyjaśnienie estymacja weryfikacja
6 Podstawy teoretyczne
7 Normy trójkątne Funkcję t: [0,1] 2 [0,1] nazywamy t-normą wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b, c ϵ [0,1]: 1) 1 jest elementem neutralnym, tzn. ta,1) = a 2) t jest monotoniczna, tzn. jeśli a b to ta, c) tb, c) 3) t jest rzemienna, tzn. ta, b) = tb, a) 4) t jest łączna, tzn. tta, b), c) = ta, tb, c)) Przykłady t-norm: M a, b) = mina, b) t-norma Gödla), P a, b) = a * b, L a, b) = max0, a + b - 1)
8 Normy trójkątne cd.) Funkcję s: [0,1] 2 [0,1] nazywamy s-normą lub t-conormą) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b, c ϵ [0,1]: 1) 0 jest elementem neutralnym, tzn. sa,0) = a 2) s jest monotoniczna, tzn. jeśli a b to sa, c) sb, c) 3) s jest rzemienna, tzn. sa, b) = sb, a) 4) s jest łączna, tzn. ssa, b), c) = sa, sb, c)) Przykłady s-norm: M a, b) = maxa, b), P a, b) = a + b - a * b, L a, b) = mina + b, 1)
9 Relacje między wybranymi t- i s- normami Własność. Niech D, M, L, P będą t-normami, a D, M, L, P - s-normami zdefiniowanymi jak wyżej. Wtedy: gdzie: D L P M M P L D D a,b) = 0, jeśli a,b) ϵ [0,1) 2 D a,b) = 1, jeśli a,b) ϵ 0,1] 2 D a,b) = mina,b) w.. D a,b) = maxa,b) w.. D L P M M P L D E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pa: riangular norms, Kluwer, 2000,
10 Parametryczne rodziny t- i s-norm
11 ABLCA. Wykaz wybranych arametrycznych rodzin t- i s-norm i a,b,) i a,b,) i Zakres a b 2 ) ab 1 1 ) ab ab 1 ) a b ab) H 0, ) 1[max 0,1 a) 1 b) 1)] 1/ max 0, a b 1)] 1/, ) a b ab min a, b,1 ) max1 a,1 b, ) ab max a, b, ) DP 0,1) 1 log 1 1a 1) 1 1b 1) log 1 a 1) 1 b 1) F 0, ) min[1, a b ) 1/ ] 1 min[1, 1 a) 1 b) ) 1/ ] Y 0, ) a 1) 1 1 b 1) 1/ 1 1 a 1) 1 1 b 1) 1/ D 0, )
12 Własności: H a,b,1) = P a,b) a,b,1) = L a,b) DP a,b,?) =? a,b) F a,b,0) = M a,b) Y a,b,1) = L a,b) D a,b,1) = H a,b,0) H a,b,1) = P a,b) a,b,1) = L a,b) DP a,b,?) =? a,b) F a,b,0) = M a,b) Y a,b,1) = L a,b) D a,b,1) = H a,b,0) H - Hamacher, chweizer-klar, DP Dubois i Prade, F Frank, Y Yager, D Dombi
13 Własności: D L P M 1 0 D L P M 1 0 D M D D D 0 F L F M F 0 D M D D D 0 Y M Y L Y D Y 1 0 Y M Y L Y D Y 1 0 F L F M F 0 H D H P H 1 H D H P H E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pa: riangular norms, Kluwer, 2000,
14 w H = 0 D = w = 0 Y D L = 1 = 1 Y = w F H D 1 H = 0 = P Y F M = w D = -w = w Y = 0 F w D = -w = w Y= 0 F = M 1 H = 0 = P Y F D H L 1 = 1 Y = w F w H = 0 D = w = 0 Y = D
15 Klasyczny rachunek zdań
16 ablica rawdy. Negacja, alternatywa, koniunkcja
17 Definicja imlikacji binarnej Funkcję B : {0,1} 2 {0,1} nazywamy imlikacją binarną wtedy i tylko wtedy, gdy: 1) B 0,0) = 1, 2) B 0,1) = 1. 3) B 1,0) = 0, 4) B 1,1) = 1. W logice klasycznej B może być definiowana na wiele różnych sosobów.
18 Różne sosoby definiowania B B,) ablica rawdy: Formuły: x x B B B B ) ), ) ), } {0,1}: max{ ), ), Uwaga: Można łatwo okazać, że imlikacje te są równoważne.
19 mlikacje rozmyte M. Baczyński, B. Jayaram: Fuzzy imlications, tudies in Fuzziness and oft Comuting, Vol. 231, ringer, Berlin 2008.
20 Definicja imlikacji rozmytej Funkcję : [0,1] 2 [0,1] nazywamy imlikacją rozmytą wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, x 1, x 2, y, y 1, y 2 sełnione są nastęujące warunki: 1) 2) Jeśli x 1 x 2, to x 1, x 2,, tzn., jest słabo malejąca, Jeśli y 1 y 2, to x, y 1 ) x, y 2 ), tzn. x, ) jest słabo rosnąca, 3) 0,0) = 1, 4) 1,1) = 1, 5) 1,0) = 0. Zbiór wszystkich imlikacji rozmytych będziemy oznaczać rzez F. Uwaga: Z definicji imlikacji rozmytej wynika, że: 0, = 1 dla y ϵ[0,1], x,1) = 1 dla x ϵ[0,1]. Ponadto x,1) 1,1) = 1, czyli 0,1) = 1.
21 Wzajemna niezależność aksjomatów Funkcja z [0,1] 2 w [0,1] x, max1 x,min x, ) 2 x, max y,min1 x,1 ) 0, gdy y 1 3 1, gdy y 1 1, gdy x 0 4 0, gdy x 0 5 x,
22 Przykłady imlikacji rozmytych Nazwisko Rok Wzór Łukasiewicz 1923 Gödel 1932 Reichenbach 1935 Kleene-Dienes 1938, 1949 Goguen 1969 LK min1,1 x 1, gdy x y GD y, gdy x y RC KD 1 x xy max1 x, 1, gdy x y GG y, gdy x y x
23 Przykłady imlikacji rozmytych Nazwisko Rok Wzór Rescher 1969 Yager 1980 Weber 1983 Fodor , gdy x y R 0, gdy x y YG WB 1, gdy x 0 i y 0 x y, gdy x 0 lub y 0 1, gdy x 1 y, gdy x 1 1, gdy x y FD max1 x, y ), gdy x y
24 zczególne imlikacje rozmyte Rodzina imlikacji rozmytych F ma najmniejszą imlikację rozmytą: 0 x, 1, gdy x 0 lub 0, gdy x 0 i y y 1 1 i największą imlikację rozmytą: 1 x, 1, gdy x 1lub 0, gdy x 1i y y 0 0
25 Częściowy orządek imlikacji rozmytych WB LK RC KD WB LK GG GD R WB LK RC YG WB LK FD KD WB LK FD GD R
26 wierdzenie Rodzina F, ) jest kratą zuełną i rozdzielną z oeracjami: J) x, max x,, J x, ), J) x, min x,, J x,, dla dowolnych x, y ϵ [0,1], gdzie, J ϵ F. Przykład: H1 x, 1, gdy x y y max,1 x x x, gdy x y H 2 GG RC 1 x xy, gdy x y H 2 y min,1 x x, gdy x x y
27 WB LK H 1 H 3 H 5 RC H 12 GG YG H 8 H 10 FD H 9 H 2 H 11 KD H 13 GD H 6 H 4 R H 7 H 14 H 15
28 Definicja negacji rozmytej Funkcję N: [0,1] [0,1] nazywamy negacją rozmytą wtedy i tylko wtedy, gdy sełnione są nastęujące warunki: 1) N0) = 1, 2) N1) = 0, 3) N jest funkcją malejącą. Przykłady negacji rozmytych: N x) 1 x N x) 1 x 2 N x) 1 x
29 nne negacje rozmyte Najmniejsza negacja rozmyta negacja Gödla) N GD 1 x) 1, gdy x 0 0, gdy x0,1] Największa negacja rozmyta dualna negacja Gödla) N GD 2 x) 0, gdy x 1 1, gdy x[0,1)
30 Rodziny imlikacji rozmytych Rozmyte odowiedniki imlikacji binarnych: mlikacje te nie są równoważne. W rzyadku ogólnym, rawo wyłączonego środka i rawo srzeczności nie są rawdziwe w logice rozmytej. ) )), ), ), )), ), ), } ), [0,1]: su{ ), ) ), ), N N N x x N
31 Rodziny imlikacji rozmytych e cztery ogólne imlikacje określają różne rodziny imlikacji rozmytych. Warianty dla każdej rodziny uzyskuje się rzez dobór różnych, i N oeratorów. Każda klasa imlikacji rozmytych ma różne własności. Pewne imlikacje rozmyte mogą należeć do więcej niż jednej rodziny.
32 -imlikacje Oarte na,) = N),) oraz standardowej negacji rozmytej, tzn. Nx) = 1-x. Różne ostacie imlikacji otrzymuje się orzez wybór różnych oeratorów. mlikacja Łukasiewicz Reichenbach LK P min1, x min1,1 x LK x y xy RC 1 x xy Kleene-Dienes M max max1 x, KD Największa - imlikacja L x, gdy y y, gdy x 1 w. 0 0 L 1 x, gdy y 0 y, gdy x 1 1 w. Uorządkowanie -imlikacji: L LK RC KD
33 R-imlikacje Oarte na standardowej negacji rozmytej, różnych -normach oraz, ) su{ x[0,1]:, x) } Różne ostacie imlikacji otrzymuje się orzez wybór różnych oeratorów. mlikacja Łukasiewicz Goguen LK max 0, x y 1) P xy LK su{ z : max 0, x z 1 min1,1 x y} Godel M min Największa R - imlikacja Nie można określić analitycznie. LR y, gdy x 1 1 w. Uorządkowanie -imlikacji: LR LK GG GD
34 QL-imlikacje Oarte na dualnych - oeratorach, standardowej negacji rozmytej oraz, ) N a), a, b)) Różne ostacie imlikacji otrzymuje się orzez wybór różnych - oeratorów. mlikacja Dualne Zadeh M min, max M ZD max1 x,min x, ) Klir i Yuan 1 P xy, P x y xy KY 1 1 x xxy Kleene-Dienes LK LK max 0, x y 1), min1, x KD max1 x,
35 nne imlikacje Porzednie imlikacje są najczęściej używane nne imlikacje są także możliwe stosując schemat Nx), N),
Słabe spójniki logiczne
Słabe spójniki logiczne Anna Król Instytut Matematyki, Uniwersytet Rzeszowski Plan prezentacji Cel pracy Uwagi historyczne Rodzaje spójników Generowanie nowych spójników Literatura Cel pracy Badanie słabych
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 5 - Zbiory i logiki rozmyte Część 1. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 5 - Zbiory i logiki rozmyte Część 1 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 36 Plan
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Prawa logiczne (tautologie) Tautologią nazywamy taką funkcję logiczną, która przy dowolnym podstawieniu wartości
Prawa logiczne (tautologie) Tautologią nazywamy taką funkcję logiczną, która rzy dowolnym odstawieniu wartości zmiennych jest zawsze rawdziwa. Zadaniem logiki jest m.in. oisanie tych schematów za omocą
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoKurs logiki rozmytej. Wojciech Szybisty
Kurs logiki rozmytej Wojciech Szybisty 2009 Spis treści 1 Co to jest logika rozmyta 3 1.1 Podstawy teorii zbiorów rozmytych........................ 3 1.2 Historia.......................................
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Bardziej szczegółowoTechnologie i systemy oparte na logice rozmytej
Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 10. WNIOSKOWANIE W LOGICE ROZMYTEJ Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska WNIOSKOWANIE W LOGICE DWUWARTOŚCIOWEJ W logice
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoWanda Niemyska. O równaniach funkcyjnych związanych z rozdzielnością implikacji rozmytych
Uniwersytet Śląski w Katowicach Instytut Matematyki Wanda Niemyska O równaniach funkcyjnych związanych z rozdzielnością implikacji rozmytych Praca doktorska Promotor Dr hab. Michał Baczyński Katowice 2015
Bardziej szczegółowoSTANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI. METODY HEURYSTYCZNE wykład 6. (alternatywa dla s) (zdef. poprzez klasę s) GAUSSOWSKA F.
METODY HEURYSTYCZNE wykład 6 STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI 2 GAUSSOWSKA F. PRZYNALEŻNOŚCI F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s środek; a określa szerokość krzywej 3 4 F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π F. PRZYNALEŻNOŚCI
Bardziej szczegółowoLogiki wielowartościowe
Logiki wielowartościowe Bartosz Piotrowski IV 05 Logika wielowartościowa logika nieklasyczna więcej niż dwie wartości logiczne podobna do klasycznego rachunku zdań Rys historyczny już Arystoteles nie akceptował
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowon := {n} n. Istnienie liczb naturalnych gwarantują: Aksjomat zbioru pustego, Aksjomat pary nieuporządkowanej oraz Aksjomat sumy.
Konsekt wykładu ELiTM 6 Konstrukcje liczbowe Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 0 - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to nastęną o niej jest liczba n {n} n. Istnienie
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoLetnia Szkoła Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach września 2010 Wisła, Polska. Przekroje różnych klas implikacji rozmytych
M. Baczyński, Wisła 2010 First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Page 1 Letnia Szkoła Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach 20 23 września 2010 Wisła, Polska Przekroje różnych
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoRachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoSID Wykład 7 Zbiory rozmyte
SID Wykład 7 Zbiory rozmyte Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW slezak@mimuw.edu.pl Wstęp Language Ontological Commitment Epistemological Commitment (What exists in the world) (What an agent
Bardziej szczegółowoZasada rozszerzania. A U A jest zbiorem rozmytym, B jest obrazem zbioru A Przeniesienie rozmytości A w odwzorowaniu f na zbiór B. sup.
Zasada rozszerzania f U V U jest zbiorem rozmytym V = f( ), jest obrazem zbioru Przeniesienie rozmytości w odwzorowaniu f na zbiór v) = ( v)? ( f ( ) = sup ( u) gdy ( v) 0 1 = 1 u f ( v) f( ) ( v) 1 0
Bardziej szczegółowoLogika rozmyta typu 2. mgr inż. Maciej Świechowski promotor: prof. dr hab. Jacek Mańdziuk
Logika rozmyta typu 2 mgr inż. Maciej Świechowski promotor: prof. dr hab. Jacek Mańdziuk Wybrane zagadnienia Plan prezentacji Wstęp logika klasyczna Niepewność w logice Teoria logiki rozmytej Warianty
Bardziej szczegółowoFunkcje arytmetyczne
Funkcje arytmetyczne wersja robocza Jacek Cichoń Politechnika Wrocławska Wydział Podstawowych Problemów Techniki Liczbami naturalnymi nazywany tutaj zbiór N = {1, 2, 3...}. Zbiór liczb ierwszych oznaczamy
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 15 zaliczenie z oceną
Wydział: Prawo i Administracja Nazwa kierunku kształcenia: Prawo Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. dr hab. Kazimierz Pawłowski Poziom studiów (I lub II stopnia): Jednolite magisterskie Tryb
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoćwiczenia 15 zaliczenie z oceną
Wydział: Prawo i Administracja Nazwa kierunku kształcenia: Prawo Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. dr hab. Kazimierz Pawłowski Poziom studiów (I lub II stopnia): Jednolite magisterskie Tryb
Bardziej szczegółowoINŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE
Temat: Podstawowe pojęcia z logiki rozmytej Instrukcja do ćwiczeń przedmiotu INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE Dr inż. Barbara Mrzygłód KISiM, WIMiIP, AGH mrzyglod@ agh.edu.pl 1 Wprowadzenie Sterowanie
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w
Bardziej szczegółowoSystemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009
Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoInternet Semantyczny i Logika II
Internet Semantyczny i Logika II Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym językiem
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy
Bardziej szczegółowoUkłady logiki rozmytej. Co to jest?
PUAV Wykład 14 Co to jest? Co to jest? Logika rozmyta (fuzzy logic) jest to dział matematyki precyzyjnie formalizujący nieprecyzyjne, nieformalne ludzkie rozumowanie. Co to jest? Logika rozmyta (fuzzy
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoLekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/10 funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/14 Funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 10 Rozmyta reprezentacja danych (modelowanie i wnioskowanie rozmyte)
WYKŁAD 10 Rozmyta reprezentacja danych (modelowanie i wnioskowanie rozmyte) Motywacje:! przezwyciężenie wad tradycyjnych algorytmów komputerowych, które zawodzą zwłaszcza w sytuacjach, w których człowiek
Bardziej szczegółowozmienne zdaniowe zdania spójniki zdaniowe funktory zdaniotwórcze od jednego (negacja) lub dwóch argumentów zdaniowych (pozostałe spójniki)
Odowiedzi (KRZ) 1. kategorie syntaktyczne zmienne zdaniowe zdania sójniki zdaniowe funktory zdaniotwórcze od jednego (negacja) lub dwóch argumentów zdaniowych (ozostałe sójniki) 2. a) Jeżeli to q i r.
Bardziej szczegółowo10. Kolorowanie wierzchołków grafu
p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.
Bardziej szczegółowoInternet Semantyczny. Logika opisowa
Internet Semantyczny Logika opisowa Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym
Bardziej szczegółowoBudowa modeli klasyfikacyjnych w oparciu o funkcję odległości w przestrzeni zdarzeń i uogólnienie pojęć probabilistycznych na przestrzenie metryczne
Budowa modeli klasyfikacyjnych w oparciu o funkcję odległości w przestrzeni zdarzeń i uogólnienie pojęć probabilistycznych na przestrzenie metryczne C. Dendek prof nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoZastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania
Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Bardziej szczegółowoSprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Bardziej szczegółowoLogika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne
Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Rodzaj przedmiotu Rok studiów /semestr Wymagania wstępne Liczba godzin zajęć Założenia i cele przedmiotu
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoZagadnienia AI wykład 1
Zagadnienia AI wykład Podręcznik do wykładu: Leszek Rutkowski Metody i techniki sztucznej inteligencji Wydawnictwo Naukowe PWN Prezentacje do wykładu będą sukcesywnie umieszczane na stronie: http://merlin.fic.uni.lodz.pl/mskulimowski/
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoReguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do
Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie
Bardziej szczegółowoMETODY INTELIGENCJI OBLICZENIOWEJ wykład 6
METODY INTELIGENCJI OBLICZENIOWEJ wykład 6 2 ZBIORY ROZMYTE I WNIOSKOWANIE PRZYBLIŻONE 965 Lotfi A. Zadeh: : Fuzzy sets In almost every case you can build the same product without fuzzy logic, but fuzzy
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoPoczątki informatyki teoretycznej. Paweł Cieśla
Początki informatyki teoretycznej Paweł Cieśla Wstęp Przykładowe zastosowanie dzisiejszych komputerów: edytowanie tekstów, dźwięku, grafiki odbiór telewizji gromadzenie informacji komunikacja Komputery
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoZasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoZ-LOG-1003 Logika Logics
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Z-LOG-100 Logika Logics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/201 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018
Bardziej szczegółowoInterwałowe zbiory rozmyte
Interwałowe zbiory rozmyte 1. Wprowadzenie. Od momentu przedstawienia koncepcji klasycznych zbiorów rozmytych (typu 1), były one krytykowane za postać jaką przybiera funkcja przynależności. W przypadku
Bardziej szczegółowo