Podróże po Imperium Liczb

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część 05. Funkcje Arytmetyczne Rozdział 4 4. Liczba dzielników naturalnych Andrzej Nowicki 10 maja 2012, Spis treści 4 Liczba dzielników naturalnych Podstawowe fakty o funkcji τ Przykłady i własności Funkcja τ i splot Dirichleta Liczby τ(n 2 ) Liczby τ(n s ) Liczby τ(n) s Kolejne liczby naturalne Nierówności i funkcja τ Iteracje funkcji τ Ciągi rekurencyjne z funkcją τ Suma sześcianów i kwadrat sumy Liczba dzielników i szeregi Różne fakty i zadania dotyczące funkcji τ Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora:

2

3 4 Liczba dzielników naturalnych Przez τ(n) oznaczamy liczbę wszystkich naturalnych dzielników liczby naturalnej n. Liczbę tę oznacza się też często przez d(n). Tablica przedstawia liczby τ(n) dla n

4 60 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych 4.1 Podstawowe fakty o funkcji τ Jeśli n = p a 1 1 pas s Funkcja τ jest multyplikatywna. jest kanonicznym rozkładem liczby naturalnej n 2, to τ(n) = (a 1 + 1) (a s + 1) Liczba τ(n) jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą kwadratową Jeśli τ(n) jest liczbą pierwszą, to n jest potęgą liczby pierwszej (Lerch 1887). Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość n 1 τ(n) = n t(n k, k), gdzie t(n k, k) oznacza liczbę dzielników liczby n k większych od k. ([Mon] 72(1965) , 75(5)(1968) ). L. E. Dickson, Formula for the number of the divisors, [Dic1] Przykłady i własności (Maple). τ(10!) = 270 = τ(20!) = = τ(30!) = = τ(40!) = = τ(50!) = = τ(60!) = = τ(70!) = = τ(80!) = = τ(90!) = = τ(100!) = = Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez n oznaczamy liczbę naturalną mającą wszystkie cyfry liczby n zapisane w odwrotnej kolejności. Przykłady: (12345) = 54321, (335661) = (Maple). Zachodzą równości: τ(576) = 21, τ(675) = 12. Jeśli więc n = 576 i m = 21, to τ(n) = m oraz τ(n ) = m. Tę własność posiada też para (n, m) = (12753, 12) : τ(12753) = 12, τ(35721) = 21. Inne pary (n, m) z tą własnością: (20412, 42), (52416, 84), (408636, 18), ( , 27), ( , 36), ( , 72), ( , 63), ( , 22), ( , 27), ( , 63), ( , 44), ( , 81), ( , 81), ( , 44), ( , 63).

5 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych Największe liczby zbiorów postaci A n = {τ(k); k = 1, 2,..., n} dla pewnych liczb naturalnych n : (n = 100), max(a n ) = 12 = = τ(60) = τ(72) = τ(84) = τ(90) = τ(86); (n = 1 000), max(a n ) = 32 = 2 5 = τ(840); (n = 2 000), max(a n ) = 40 = = τ(1680); (n = ), max(a n ) = 64 = 2 6 = τ(7560) = τ(9240); (n = ), max(a n ) = 128 = 2 7 = τ(83160) = τ(98280); (n = ), max(a n ) = 160 = = τ(166320) = τ(196560). (Maple) Liczby dwucyfrowe mają co najwyżej 12 dzielników naturalnych. Liczby 60, 72, 84, 90 i 96 są jedynymi liczbami dwucyfrowymi mającymi dokładnie 12 dzielników. ([S59] 220) Jeśli n 1000, to τ(n) 32. Jeśli n , to τ(n) 64. Jeśli n , to τ(n) 128. ([S59] 220) Która z liczb k {1, 2, 3,..., 1983} ma największą liczbę τ(k)? Odp. k = 1680 = , τ(k) = 40. ([IMO] Longlist 1983) Jedyną liczbą naturalną podzielną przez 5 i mającą dokładnie 5 dzielników naturalnych jest liczba 625. ([ZurJ] z.113) Jedyną liczbą naturalną podzielną przez 12 i mającą dokładnie 14 dzielników naturalnych jest liczba 192 = ([Szn] 7.134) Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że 18 n oraz τ(n) = Znaleźć wszystkie czterocyfrowe liczby n takie, że τ(n) = 15. ([Szn] 7.132) Najmniejszą liczbę naturalną n taką, że τ(n) = 30 jest n = 720. ([S50] 114) Jedyną liczbą pierwszą p taką, że τ(p ) = 6 jest p = 3. ([Kw] 5/95) Jeśli p jest liczbą pierwszą, to najmniejszą liczbą naturalną n taką, że τ(n) = p jest n = 2 p 1. ([S59] 224) Jeśli q > p są liczbami pierwszymi, to najmniejszą liczbą naturalną n taką, że τ(n) = pq jest n = 2 q 1 3 p 1. ([S59] 224) Najmniejszą nieparzystą liczbą n taką, że τ(n) = τ(360) jest n = 3465 = ([Balt] 2002) Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że liczby τ(n) i τ(n+100) są nieparzyste. ([OM] Białoruś 1995) Znaleźć wszystkie liczby naturalne n spełniające równość n = 100τ(n). ([Balt] 2000).

6 62 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych Niech τ(n) = 16 i niech 1 = d 1 < d 2 < < d 16 = n. Jeśli d 6 = 18 i d 9 d 8 = 17, to n = lub n = ([OM] Rosja 1998) Niech a = Wiadomo, że τ(a) = 48. Wiadomo również, że jednym z naturalnych dzielników liczby a jest 25. Znaleźć największy dzielnik liczby a mniejszy od Odp ([Crux] 1998 s.222 H221) Dla każdej liczby naturalnej m > 1 równanie τ(x) = m ma nieskończenie wiele naturalnych rozwiązań Jeśli τ(n) = n, to n = 1 lub b = 9. ([OM] Polska 2003/2004) Dla danej liczby naturalnej n oznaczmy przez a(n) liczbę wszystkich naturalnych rozwiązań równania τ(xn) = n. Mamy wtedy: a(n) = 1 jeśli n = 1 lub 4, a(n) = s! gdy n jest iloczynem s parami różnych liczb pierwszych oraz a(n) = w pozostałych przypadkach. ([Mon] 94(6)(1987) E3101). M. G. Beumer, The arithmetical function τ k (N), [Mon] 69(8)(1962) M. E. Grost, The smallest number with a given number of divisors, [Mon] 75(7)(1968) N. C. Scholomiti, A property of the τ-function, [Mon] 72(1965) Funkcja τ i splot Dirichleta τ = I I µ τ = I, tzn. k n µ(k)τ(n/k) = 1 dla n N. ([DoC] 383) Funkcją odwrotną do funkcji τ (względem splotu Dirichleta) jest µ µ. D. (µ µ) τ = µ (µ τ) = µ I = e dla p P, α N. ([Berb]). 0, gdy k 3, τ 1 (p k ) = 1, gdy k = 3, 2, gdy k = 1, D. τ 1 (p k ) = (µ µ)(p k ) = k µ(p i )µ(p k i ) = µ(p 0 )µ(p k ) + µ(p 1 )µ(p k 1 ). Jeśli k 3, to i=0 µ(p k 1 = µ(p k ) = 0, więc τ 1 (p k ) = 0. Dla k = 2 mamy: τ 1 (p 2 ) = µ(p)µ(p) = ( 1) 2 = 1, a dla k = 1 mamy: τ 1 (p) = µ(p) + µ(p) = ( 1) + ( 1) = 2.

7 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych Jeśli n = p α 1 1 pαs s jest rozkładem kanonicznym liczby naturalnej n 2, to liczba τ 1 (n) jest niezerowa tylko wtedy, gdy wszystkie liczby α 1,..., α s są mniejsze od 3 i wtedy τ 1 (n) = ( 2) r, gdzie r jest liczbą tych wszystkich liczb w ciągu (α 1,..., α s ), które są równe 1. ([Berb]). D. Wynika to z oraz z multyplikatywności funkcji τ k n µ(k)τ(k) = ( 1) ω(n), gdzie ω(n) jest liczbą liczb pierwszych dzielących n. ([DoC] 379) τ(k) = [ n k ]. ([Nagl] 26, [S65] 66, [DoC] 335). D. Wiemy (patrz ), że jeśli f jest funkcją arytmetyczną, to Wiemy również, że I I = τ. Zatem, zatem: (f I)(i) = [ n ] = k [ n i ] f(i). (I I)(k) = 2 [ ] 2n τ(k) = n. ([Mon] 75(1)(1968) E1906). k D. Zauważmy, że jeśli k {n + 1, n + 2,..., n + n}, to 2 τ(k) [ ] 2n = k 2 [ ] 2n k [ ] 2n = k τ(k). [ ] 2n = 1. Z faktu otrzymujemy k 2 k=n+1 [ ] 2n = k 2 k=n+1 1 = n k n τ(k) = n n = 1, 3, 18, 36. ([Mon] 10(1981) E2780) k n τ(k) jest liczbą wszystkich rozwiązań naturalnych równania ([S50] 114). xyz = n. D. Rozważana liczba jest równa I (3) (n) = (I I I)(n); patrz L. E. Dickson, Sum and number of divisors, [Dic1]

8 64 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych 4.4 Liczby τ(n 2 ) Liczba τ(n 2 ) pokrywa się z liczbą wszystkich par (a, b) N 2 takich, że nww(a, b) = n. ([Kurs] 184(1962), [K-Me] z.482) Dla danej liczby naturalnej n rozważmy równanie 1 x + 1 y = 1 n. (1) Liczba wszystkich naturalnych rozwiązań (x, y) tego równania jest równa τ(n 2 ). (2) Liczba wszystkich naturalnych rozwiązań (x, y) takich, że x y, jest równa τ(n2 ) (Patrz [N-1]) τ(k 2 ) = τ 2 (n). ([Ko02]). k n τ 2 (n) = µ 2 (a). ([Mon] 78(4)(1971) E2235). c n b c a b ω(k) = µ(k)τ 2 (n/k). ([Crux] 2000 s.247). k n k n Jeśli τ(n 2 ) = 3τ(n), to τ(n) = 15. ([RaP]). D. Niech n = p α1 1 pα k k będzie rozkładem kanonicznym liczby n. Należy rozważyć równość: (2α 1 + 1) (2α k + 1) = 3(α 1 + 1) (α k + 1). Dla k = 1 równość taka jest niemożliwa. Załóżmy, że k > 2. Z nierówności 2(1 + 2a) 3(1 + a) (prawdziwej dla a > 1) otrzymujemy: (2α 1 + 1) (2α k + 1) 3 k /2 k (α 1 + 1) (α k + 1) > 3(α 1 + 1) (α k + 1), czyli (dla k > 2): (2α 1 + 1) (2α k + 1) > 3(α 1 + 1) (α k + 1). Zatem jedynie k = 2. W tym przypadku łatwo wykazać, że α 1 = 2, α 2 = 4 (lub α 1 = 4, α 2 = 2), czyli τ(n) = Najmniejszą liczbą naturalną n spełniającą równość τ(n 2 ) = 3τ(n) jest n = 144 = 12 2 = Najmniejszą taką liczbą nieparzystą jest n = 45 2 = Znaleźć największą czterocyfrową liczbę naturalną n spełniającą równość τ(n 2 ) = 3τ(n). Odp. n = ([OM] Czechy-Słowacja 1991/92).

9 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych Jeśli τ(n 2 ) = 5τ(n), to τ(n) = 45. Najmniejszą taką liczbą n jest 3600 = Najmniejszą taką liczbą nieparzystą jest n = = ([Mat] 6/1995 z.1336) Niech p 1, p 2, p 3 będą parami różnymi liczbami pierwszymi. Niech n = p i 1 pj 2 pk 3, gdzie i j k są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Jeśli (i, j, k) jest jedną z trójek (8, 10, 16), (6, 12, 24), (6, 10, 38), (4, 32, 38), (4, 26, 52), (4, 24, 62), (4, 22, 80), (4, 20, 122), to τ(n 2 ) = 7τ(n) Jeśli τ(n 2 ) = 9τ(n), to τ(n) = Niech a N. Jeśli istnieje liczba naturalna n taka, że τ(n 2 ) = aτ(n), to a jest liczbą nieparzystą i n jest liczbą kwadratową. D. Wykorzystamy fakt Załóżmy, że τ(n 2 ) = aτ(n). Liczba τ(n 2 ) jest (na mocy 4.1.3) nieparzysta. Stąd wynika, że aτ(n) jest liczbą nieparzystą. Zatem liczby a i τ(n) są nieparzyste i (znowu na mocy 4.1.3) liczba n jest kwadratowa Niech a N. Następujące dwa warunki są równoważne: (1) istnieje liczba naturalna n taka, że τ(n2 ) τ(n) = a; (2) liczba a jest nieparzysta. ([IMO] Shortlist 1998, [Kw] 4/1999 M1672, [Djmp] 299(640), [AnAF] 184) τ(n 2 ) = 3τ(n) n P Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną n taką, że 83 n i τ(n 2 ) = 63. ([OM] Hiszpania 1992) Wiadomo, że τ(2n 2 ) = 28 i τ(3n 2 ) = 30. Znaleźć τ(6n 2 ). ([OM] Mołdawia 1999) Jeśli τ(n) + 33 = τ(n 2 ), to n = p 33 lub n = p 3 q 3 lub n = p 8 q lub n = p 2 qr, gdzie p, q, r są różnymi liczbami pierwszymi. ([OM] Czechy-Słowacja 1991/92). J. Sandor, The equation 2τ(n 2 ) = 3τ(n), [Sand] 109.

10 66 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych 4.5 Liczby τ(n s ) (Farkas 2004). Zbiór liczb wymiernych postaci τ(n 3 ) τ(n) zawiera wszystkie liczby naturalne niepodzielne przez 3. ([Gy04] 112) τ(n k ) kτ(n) dla n, k N, k > Liczby τ(n) s Jeśli τ(n) 2 = n, to n = 1 lub 9. ([OM] Kanada 1999) τ(n) 2 = k n 2 ω(k) τ(n/k). ([Crux] 2000 s.247) τ(k) 2 = [n/k] 2 ω(k) j=1 [ [n/k] j ]. ([Crux] 2000 s.247 z.2479) Jeśli τ(n) 3 = 4n, to n = 2, 128 lub ([IMO] Shortlist 2000, [Djmp] 310( )) Jeśli τ(n) 4 = n, to n = 1, 5 4, 3 8 lub ([OM] Irlandia 1999). 4.7 Kolejne liczby naturalne Jeśli τ(n) = 2 i τ(n + 1) = 3, to n = 3. ([S59] 219) Jeśli τ(n) = 2 i τ(n 1) = 3, to n = 5. ([S59] 219) Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że 1) τ(n) = 2, τ(n + 1) = 4; 2) τ(n) = 2, τ(n 1) = 4. ([S59] 220) Jeśli τ(n 1) = 4, τ(n) = 2 i τ(n + 1) = 4, to n = 7. ([S59] 220) Nie ma liczby naturalnej n takiej, że τ(n) = τ(n + 1) = τ(n + 2) = τ(n + 3) = 4. ([S59] 220) τ(242) = τ(243) = τ(244) = τ(245) = 6. ([S59a] s.18).

11 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych τ(40311) = τ(40312) = τ(40313) = τ(40314) = τ(40315) = 8. ([S59] 218, 223, [S59a] s.18) Najmniejszą liczbą naturalną n taką, że jest ([Gy04] 111). τ(n) = τ(n + 1) = τ(n + 2) = τ(n + 3) = τ(n + 4) Najmniejszą liczbą naturalną n taką, że jest ([Gy04] 111) (Vandemergel 1987). Równość τ(n) = τ(n + 1) = = τ(n + 5) τ(n) = τ(n + 1) = = τ(n + 6) zachodzi dla n = Każda z liczb τ(n + i) jest równa 8. ([Gy04] 111) (McCranie 2002). Równość τ(n) = τ(n + 1) = = τ(n + 7) zachodzi dla n = Każda z liczb τ(n + i) jest równa 8. ([Gy04] 111) Nie jest znana odpowiedź na pytanie czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że τ(n) = τ(n + 1). ([S59a] s.18) Jeśli m jest liczbą nieparzystą, to nie istnieje liczba naturalna n taka, że ([S59] 220). τ(n) = τ(n + 1) = m Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że najmniejsza liczba naturalna mająca n naturalnych dzielników jest mniejsza od najmniejszej liczby naturalnej mającej n + 1 naturalnych dzielników. ([Mat] 1-2/55 66) Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna m taka, że τ(n+1) τ(n) > m oraz τ(n 1) τ(n) > m. ([S59] 221). R. K. Guy, Solutions of τ(n) = τ(n + 1), [Gy04]

12 68 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych 4.8 Nierówności i funkcja τ Jeśli n 3, to 2 τ(n) < n τ(n) 3 n, dla n > 2. 4 D. Wszystkie dzielniki naturalne liczby n, oprócz n, są mniejsze lub równe n 2. Zatem τ(n) 1+ n 2. Dla n > 3 mamy 1 + n 2 3 n. Dla n = 3 sprawdzamy oddzielnie τ(n) 2 n. ([S50] 114). D. ([S50]). Wynika to z tego, że z dwóch wzajemnie dopełniających się dzielników liczby n co najmniej jeden jest niewiększy od n τ(n) 3n i równość zachodzi tylko dla n = 12. ([San2] 85) Jeśli n 4 jest liczbą parzystą, to τ(n 2 + 1) < n. ([OM] St Petersburg 1998) τ(2 n 1) τ(n). ([San2] 85) τ(ab) τ(a) + τ(b) 1, dla a, b N. ([OM] St Petersburg 1996) Jeśli a > 1, n N i a n + 1 jest liczbą pierwszą, to τ(a n 1) n. ([Balt] 1996) Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p taka, że τ(p 1) > n. ([S68] 146) Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p taka, że τ(p 1) > n oraz τ(p + 1) > n. ([S64] 96) Niech f będzie wielomianem o nieujemnych współczynnikach całkowitych. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna k taka, że τ(f(k)) > n. ([Mat] 3/94 179) Jeśli a 1, a 2,..., a 200 są parami różnymi liczbami naturalnymi, to τ(a 1 a 2 a 200 ) ([OM] St Petersburg 2000) τ(2 p 1p 2 p n + 1) 4 n, gdzie p 1,..., p n są parami różnymi liczbami pierwszymi większymi od 3. ([IMO] Shortlist 2002) ϕ(n) > τ(n), dla n > 30. ([S50] 143) ϕ(n)τ(n) n, dla n N. ([Mon] 74(2)(1967) E1962) ϕ(n)τ(n) 2 n 2, dla n N, n 4. Równość zachodzi tylko dla n = 1, 2, 8, 12. ([Mon] 74(2)(1967) E1962).

13 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych Iteracje funkcji τ Dla dowolnej liczby naturalnej n 2 wszystkie wyrazy ciągu τ(n), ττ(n), τττ(n),..., poczynając od pewnego miejsca są równe 2. ([S50] 114). D. Wynika to z nierówności 2 τ(n) < n, zachodzącej dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 2. Z powyższego faktu wynika, że dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje liczba naturalna k taka, że τ k (n) = 2. Najmniejszą taką liczbę k oznaczać będziemy przez γ(n). Dla przykładu γ(8) = 3, gdyż τ(8) = 4, τ(4) = 3, τ(3) = 2, czyli τ 3 (8) = τ 2 (4) = τ(3) = 2. Podobnie γ(150) = 5, gdyż τ 5 (150) = τ 4 (12) = τ 3 (6) = τ 2 (4) = τ(3) = 2. Liczba γ(n) jest równa 1 wtedy i tylko wtedy, gdy n jest nieparzystą liczbą pierwszą (Maple). Liczby γ(n) dla pewnych liczb naturalnych n. γ(10) = 3, γ(20) = 4, γ(30) = 4, γ(40) = 4, γ(50) = 4, γ(60) = 5, γ(70) = 4, γ(80) = 4, γ(90) = 5, γ(100) = 3, γ(200) = 5, γ(300) = 5, γ(400) = 4, γ(500) = 5, γ(600) = 5, γ(700) = 5, γ(800) = 5, γ(900) = 4, γ(1000) = 3, γ(2000) = 5, γ(3000) = 5, γ(4000) = 5, γ(5000) = 5, γ(6000) = 5, γ(7000) = 5, γ(8000) = 5, γ(9000) = Najmniejszymi liczbami naturalnymi n takimi, że γ(n) = 1, 2, 3, 4, 5 są liczby równe odpowiednio 3, 4, 6, 12, 60. Najmniejszą liczbą naturalną n taką, że γ(n) = 6 jest n = 5040 = Sprawdzono, że jeśli n , to γ(n) 6. (Maple) Dla dowolnej liczby naturalnej k istnieje liczba naturalna n taka, że k = γ(n). D. Dla k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 przykłady odpowiednich liczb n zostały już podane. Dla następnych liczb k liczby n można skonstruować indukcyjnie, w na stępujący sposób. Niech k = γ(m), gdzie k, m N. Wtedy k + 1 = γ(n) dla n = 2 m 1. Mamy bowiem: τ k+1 = τ k (τ(2 m 1 )) = τ k (m) = Niech 2 a N. Definiujemy ciąg (a n ) przyjmując a 1 = a, a n+1 = τ(a n ) dla n 1. Mamy więc: a 1 = a, a 2 = τ(a), a 3 = ττ(a), a 4 = τττ(a),. Ciąg (a n ) nie posiada żadnej liczby kwadratowej wtedy i tylko wtedy, gdy a jest liczbą pierwszą. ([Dlt] 6/2004).

14 70 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych 4.10 Ciągi rekurencyjne z funkcją τ Niech c będzie ustaloną liczbą naturalną. Ciąg (a n ) określony jest przez warunki a 1 = 1, a n+1 = τ(a n ) + c, dla n = 1, 2,. Wykazać, że ciąg ten jest od pewnego miejsca okresowy. ([OM] Polska 2005/2006). D. ([SPom] 57, s.58). Skorzystamy z nierówności τ(m) m 2 naturalnej m. Z tej nierówności wynika, że + 1, zachodzącej dla każdej liczby a n 2c + 2, dla n N. Istotnie, dla n = 1 jest to oczywiste i jeśli a n 2c + 2, to a n+1 = τ(a n ) + c a n c 2c c = 2c + 2. Ciąg (a n ) jest więc ograniczony. Istnieją zatem dwie liczby naturalne u < v takie, że a u = a v. Każdy wyraz a n wyznacza wyraz następny a n+1. Stąd wynika, że (a u, a u+1,..., a v 1 ) jest okresem danego ciągu Przykłady ciągów a = (a n ), określonych równościami a 1 = 1, a n+1 = τ(a n ) + c, dla n = 1, 2,, dla pewnych liczb naturalnych c. Wiadomo (patrz ), że każdy taki ciąg jest od pewnego miejsca okresowy. (1) c = 1; a = (1, 2, 3, 3, 3,... ). (2) c = 2; a = (1, 3, 4, 5, 4, 5, 4, 5,... ). (3) c = 3; a = (1, 4, 6, 7, 5, 5, 5, 5,... ). (4) c = 7; a = (1, 8, 11, 9, 10, 11, 9, 10, 11, 9, 10,... ). (5) c = 15; a = (1, 16, 20, 21, 19, 17, 17, 17, 17,... ) Niech b będzie ustaloną liczbą naturalną. Ciąg (a n ) określony jest przez warunki Ciąg ten jest od pewnego miejsca okresowy. a 1 = 1, a n+1 = bτ(a n ), dla n = 1, 2,. D. Skorzystamy z nierówności τ(m) 3m, dla m N. Wykażemy, że a n 3b 2, dla n N. Dla n = 1 jest to oczywiste. Załóżmy, że n 1 i a n 3b 2. Wtedy a n+1 = bτ(a n ) b 3a n b 3 3b 2 = 3b 2. Ciąg (a n ) jest więc ograniczony. Istnieją zatem dwie liczby naturalne u < v takie, że a u = a v. Każdy wyraz a n wyznacza wyraz następny a n+1. Stąd wynika, że (a u, a u+1,..., a v 1 ) jest okresem danego ciągu.

15 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych (Maple). Przykłady ciągów a = (a n ), określonych równościami a 1 = 1, a n+1 = bτ(a n ), dla n = 1, 2,, dla pewnych liczb naturalnych b. Wiadomo (patrz ), że każdy taki ciąg jest od pewnego miejsca okresowy. (1) b = 2; a = (1, 2, 4, 6, 8, 8, 8, 8,... ). (2) b = 3; a = (1, 3, 6, 12, 18, 18, 18, 18,... ). (3) b = 4; a = (1, 4, 12, 24, 32, 24, 32, 24, 32,... ). (4) b = 9; a = (1, 9, 27, 36, 81, 45, 54, 72, 108, 108, 108, 108,... ). (5) b = 15; a = (1, 15, 60, 180, 270, 240, 300, 270, 240, 300, 270, 240, 300,... ) Niech b, c będą ustalonymi liczbami naturalnymi. Rozważmy ciąg (a n ) zdefiniowany równościami: a 1 = 1, a n+1 = bτ(a n ) + c, dla n = 1, 2,. Ciąg ten jest od pewnego miejsca okresowy. D. Skorzystamy z nierówności τ(m) 3m, dla m N. Wykażemy, że a n 3b 2 + bc + c, dla n N. Dla n = 1 jest to oczywiste. Niech d = 3b 2 + bc + c. Załóżmy, że n 1 i a n d. Wtedy a n+1 = bτ(a n ) + c b 3a n + c b 3d + c. Łatwo sparwdzić, że b 3d + c d. Ciąg (a n ) jest więc ograniczony. Istnieją zatem dwie liczby naturalne u < v takie, że a u = a v. Każdy wyraz a n wyznacza wyraz następny a n+1. Stąd wynika, że (a u, a u+1,..., a v 1 ) jest okresem danego ciągu (Maple). Przykłady ciągów a = (a n ), określonych równościami a 1 = 1, a n+1 = bτ(a n ) + c, dla n = 1, 2,, dla pewnych liczb naturalnych b, c. Wiadomo (patrz ), że każdy taki ciąg jest od pewnego miejsca okresowy. (1) (b, c) = (2, 1); a = (1, 3, 5, 5, 5, 5,... ). (2) (b, c) = (2, 2); a = (1, 4, 8, 10, 10, 10, 10,... ). (3) (b, c) = (3, 1); a = (1, 4, 10, 13, 7, 7, 7, 7,... ). (4) (b, c) = (3, 2); a = (1, 5, 8, 14, 14, 14, 14,... ). (5) (b, c) = (4, 1); a = (1, 5, 9, 13, 9, 13, 9, 13, 9, 13,... ). (6) (b, c) = (4, 2); a = (1, 6, 18, 26, 18, 26, 18, 26, 18, 26,... ). (7) (b, c) = (5, 4); a = (1, 9, 19, 14, 24, 44, 34, 24, 44, 34, 24, 44, 34,... ).

16 72 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych 4.11 Suma sześcianów i kwadrat sumy Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość n 3 = ( n) 2. Ciąg (1, 2,..., n) jest zatem rozwiązaniem w zbiorze liczb naturalnych równania ( ) x x x 3 n = (x 1 + x x n ) 2. Naturalnym rozwiązaniem tego równania jest również (n, n,..., n). Inne rozwiązania otrzymać można przy pomocy następującego twierdzenia (Liouville 1857). Jeśli n N, to ([Dic1] 286, [S59] 223, [Kw] 1/80 34, [MG] 494(1998) 271). τ(k) 3 = 2 τ(k). k n k n U. Dla n = 2 mamy = (1 + 2) 2 ; dla n = 4, = ( ) 2 ; dla n = 12, = ( ) 2. D. Niech f(n) = ( ) 2 k n τ(k)3, g(n) = k n τ(k) dla n N. Należy pokazać, że funkcje f i g są równe. Zauważmy, że f = I τ 3, g = (I τ)(i τ), gdzie oznacza splot Dirichleta oraz I(n) = 1 dla n N. Stąd wynika, że funkcje f i g są multyplikatywne. Wystarczy zatem pokazać, że f(p n ) = g(p n ) dla p P, n N. Przypadek ten, to dobrze znana równość: (n + 1) 3 = ( (n + 1)) 2. U. Twierdzenie podobnego typu zachodzi dla dzielników unitarnych. Wspomnimy o tym w rozdziale dziewiątym. Spójrzmy na inne naturalne rozwiązania równiania ( ) Wszystkie rozwiązania naturalne (x 1,..., x n ) równiania ( ) dla n = 1, 2,..., 5. Zakładamy, że x 1 x 2 x n. (1) n = 1 : (1); (2) n = 2 : (1, 2), (2, 2); (3) n = 3 : (1, 2, 3), (3, 3, 3); (4) n = 4 : (1, 2, 2, 4), (1, 2, 3, 4), (2, 2, 4, 4), (4, 4, 4, 4); (5) n = 5 : (1, 2, 2, 3, 5), (1, 2, 3, 4, 5), (3, 3, 3, 3, 6), (3, 3, 3, 4, 6), (5, 5, 5, 5, 5); (Maple) (Maple). Równanie ( ) dla n = 6 ma dokładnie 18 rozwiązań naturalnych (x 1,..., x 6 ) takich, że x 1 x 2 x 6 : (1, 1, 1, 2, 2, 5), (1, 2, 3, 4, 5, 6), (3, 3, 3, 3, 5, 7), (1, 1, 1, 4, 4, 5), (1, 4, 4, 4, 6, 6), (3, 3, 3, 6, 6, 6), (1, 1, 2, 4, 5, 5), (2, 2, 2, 2, 2, 6), (3, 4, 5, 5, 6, 7), (1, 1, 4, 5, 5, 5), (2, 2, 4, 4, 6, 6), (3, 5, 5, 5, 6, 7), (1, 2, 2, 3, 4, 6), (2, 4, 4, 5, 5, 7), (4, 5, 5, 6, 6, 7), (1, 2, 2, 4, 4, 6), (2, 4, 4, 6, 6, 6), (6, 6, 6, 6, 6, 6).

17 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych (Maple). Równanie ( ) dla n = 7 ma dokładnie 30 rozwiązań naturalnych (x 1,..., x 7 ) takich, że x 1 x 2 x 7 : (1, 1, 2, 2, 5, 5, 6), (1, 2, 6, 6, 6, 6, 6), (2, 4, 4, 6, 6, 6, 8), (1, 1, 3, 4, 4, 5, 7), (1, 3, 5, 5, 5, 7, 7), (2, 6, 6, 6, 6, 6, 8), (1, 1, 4, 5, 5, 5, 7), (1, 4, 4, 5, 6, 7, 7), (3, 3, 3, 3, 4, 6, 8), (1, 1, 5, 5, 6, 6, 6), (1, 5, 5, 6, 6, 7, 7), (3, 3, 3, 3, 5, 6, 8), (1, 2, 2, 2, 3, 6, 6), (2, 2, 2, 2, 5, 5, 7), (3, 3, 3, 4, 6, 6, 8), (1, 2, 2, 3, 3, 3, 7), (2, 2, 4, 4, 4, 4, 8), (3, 5, 5, 5, 7, 7, 8), (1, 2, 2, 3, 4, 5, 7), (2, 3, 3, 3, 4, 4, 8), (4, 4, 4, 5, 5, 5, 9), (1, 2, 2, 4, 6, 6, 6), (2, 3, 3, 3, 5, 7, 7), (4, 5, 5, 5, 6, 6, 9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), (2, 3, 3, 5, 6, 7, 7), (6, 6, 6, 6, 6, 6, 9), (1, 2, 3, 6, 6, 6, 6), (2, 3, 6, 6, 6, 7, 7), (7, 7, 7, 7, 7, 7, 7) (Maple). Równanie ( ) dla n = 8 ma dokładnie 94 rozwiązania naturalne (x 1,..., x 8 ) takich, że x 1 x 2 x 8 : (1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5), (1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 6), (1, 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6), (1, 1, 1, 1, 4, 5, 6, 6), (1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 6), (1, 1, 1, 2, 5, 5, 5, 7), (1, 1, 1, 2, 5, 6, 6, 6), (1, 1, 2, 2, 2, 2, 4, 7), (1, 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7), (1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 8), (1, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 8), (1, 1, 3, 3, 3, 4, 5, 8), (1, 1, 4, 5, 5, 5, 7, 8), (1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 8), (1, 2, 2, 2, 4, 5, 7, 7), (1, 2, 2, 2, 5, 5, 7, 7), (1, 2, 2, 3, 3, 3, 7, 7), (1, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 8), (1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8), (1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8), (1, 2, 2, 5, 5, 7, 7, 7), (1, 2, 3, 3, 4, 7, 7, 7), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), (1, 2, 4, 5, 5, 7, 7, 8), (1, 2, 5, 6, 6, 7, 7, 8), (1, 2, 5, 7, 7, 7, 7, 7), (1, 3, 3, 3, 3, 5, 7, 8), (1, 3, 3, 3, 6, 6, 7, 8), (1, 3, 4, 4, 4, 5, 8, 8), (1, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8), (1, 3, 4, 6, 6, 6, 8, 8), (1, 3, 4, 6, 7, 7, 7, 8), (1, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 9), (1, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 9), (1, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 8), (1, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8), (1, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 8), (1, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8), (2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 8), (2, 2, 2, 2, 3, 6, 7, 7), (2, 2, 2, 3, 5, 5, 7, 8), (2, 2, 2, 3, 6, 7, 7, 7), (2, 2, 2, 5, 7, 7, 7, 7), (2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 9), (2, 2, 3, 4, 4, 7, 7, 8), (2, 2, 3, 4, 6, 7, 7, 8), (2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8), (2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 9), (2, 2, 4, 4, 6, 6, 6, 9), (2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8), (2, 2, 5, 5, 6, 7, 8, 8), (2, 2, 5, 7, 7, 7, 7, 8), (2, 2, 6, 7, 7, 7, 7, 8), (2, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 9), (2, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 9), (2, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 8), (2, 3, 6, 7, 7, 7, 8, 8), (2, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 9), (2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 9), (2, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 10), (2, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9), (2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 10), (2, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8), (2, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8), (3, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 9), (3, 3, 3, 3, 4, 5, 7, 9), (3, 3, 3, 3, 5, 6, 7, 9), (3, 3, 3, 3, 5, 7, 8, 8), (3, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 9), (3, 3, 5, 7, 7, 8, 8, 8), (3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 10), (3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 10), (3, 4, 5, 6, 6, 8, 8, 9), (3, 4, 7, 7, 7, 7, 8, 9), (3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 10), (3, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9), (3, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 10), (3, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9), (4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 10), (4, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 10), (4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8), (4, 4, 4, 5, 5, 5, 9, 9), (4, 4, 4, 5, 5, 6, 9, 9), (4, 4, 5, 5, 5, 7, 9, 9), (4, 4, 6, 6, 7, 7, 9, 9), (4, 5, 5, 5, 8, 8, 8, 9), (4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 10), (4, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9), (5, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 10), (5, 5, 7, 7, 7, 8, 9, 9), (6, 6, 6, 6, 6, 6, 9, 10), (6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9), (6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 9), (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8) (Maple). Równanie ( ) dla n = 9 ma dokładnie 226 rozwiązań naturalnych (x 1,..., x 9 ) takich, że x 1 x 2 x Jeśli (x 1,..., x n ) jest naturalnym rozwiązaniem równania ( ) takim, że x 1 x 2 x n, to x n < n 2 D. x 3 n < x x 3 n = (x x n ) 2 (nx n ) 2 = n 2 x 2 n Niech (x 1,..., x n ) będzie naturalnym rozwiązaniem równania ( ) takim, że x 1 x 2 x n. Wtedy x 1 n. D. Przypuśćmy, że x 1 > n. Wtedy x 1 = n + a 1, x 2 = n + a 2,..., x n = n + a n, gdzie a 1,..., a n są pewnymi dodatnimi liczbami całkowitymi. Mamy wówczas równość: ( ) 2 (n + a i ) 3 = n 2 + a i,

18 74 Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych z której kolejno otrzymujemy równości: i konsekwentnie (1) ( gdzie A = n ( (n 3 + 3n 2 a i + 3na 2 i + a3 i ) = n4 + 2n 2 ( ) ( ) + ( ) n 4 + 3n 2 a i + 3n a 2 i ( n ) ( a 3 i a 2 i a 3 i ) ( n ) ( n + n 2 a i + 2n ) ( ) 2 a i + a i, ( ) = n 4 + 2n 2 a i + a 2 i ) + A = 0, ( ) 2 a i ) 2 a i. Łatwo wykazać, że A 0. Równość (1) jest zatem sprzecznością; liczba występująca po jej lewej stronie jest ostro większa od zera Niech s N i niech x 1,..., x s będą takimi liczbami rzeczywistymi, że x x x 3 n = (x x x n ) 2 dla n = 1, 2,..., s. Wykazać, że x 1,..., x s są liczbami całkowitymi. ([OM] Rosja 2000, [Crux] 2005 s.94). J. Mason, Generalizing sums of cubes equal to squares of sums, [MG] 85(502)(2001) D. Pagni, An interesting number fact, [MG] 494(1998) K. R. S. Sastry, More unitary divisor problems, [Crux] Liczba dzielników i szeregi n=1 τ(n) n 2 = π4 36. ([HW4], [Crux] s.319 z.2248) Jeśli 2 a N, to ([Mon] NT-214). n=1 τ(k) a n = 1 a n (Erdös). Liczba n=1 τ(n) 2 n = 1 2 n 1 n=1 jest niewymierna. ([Gy04] 104) (J. H. Lambert 1771). n=1 x n 1 x n = τ(n)x n. ([Dic1] 280, dowód patrz ). n=1

19 Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych Różne fakty i zadania dotyczące funkcji τ Dla danej liczby naturalnej n rozpatrzmy zbiór wszystkich liczb postaci τ(k), gdzie k n. Wykazać, że elementy tego zbioru można ustawić w ciąg (a n ) w ten sposób, że a 2 1 a a ( 1) s+1 a 2 s = a 1 + a 2 + a a s. ([Kw] 1/80 35). U. Dla n = 12 mamy liczby 1, 2, 2, 3, 4, 6. Jeśli a 1 = 6, a 2 = 4, a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 2, a 6 = 1, to a 2 1 a a 2 3 a a 2 5 a 2 6 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6. W przypadku n = p m 1 (gdzie p P, m N) otrzymujemy równość postaci ±( ) = ( m) Dla każdej liczby naturalnej n istnieją liczby naturalne a 1,..., a n takie, że τ(a 1 + a a s ) = a s, dla wszystkich s = 1,..., n. ([OM] St Petersburg 1995). D. Definiujemy najpierw liczby naturalne s n, s n 1,..., s 1. Przyjmujemy, że s n jest dowolną liczbą naturalną większą od 4 n+1. Następnie: s n 1 = s n τ(s n ), s n 2 = s n 1 τ(s n 1 ),..., s 1 = s 2 τ(s 2 ). Tezę spełniają liczby a 1,..., a n określone tak: a 1 = s 1, a 2 = s 2 s 1,..., a n = s n s n Średnia geometryczna wszystkich naturalnych dzielników liczby n jest równa n. ([Mat] 2/51 61) Iloczyn średniej arytmetycznej wszystkich naturalnych dzielników liczby n przez ich średnią harmoniczną jest równy n. ([Mat] 1/52 64) Dla każdej liczby naturalnej k zbiór wszystkich liczb naturalnych n takich, że k τ(n), zawiera nieskończony postęp arytmetyczny. ([S64] 45). R. Wszystkie liczby postaci 2 k t + 2 k 1, gdzie t N, mają tę własność Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że liczba n τ(n) Dowód. Tak jest na przykład dla n = p p 1, gdzie p P. ([Balt] 1992). jest całkowita ([S64] 198) ϕ(1) = τ(1) = 1, ϕ(3) = τ(3) = 2, ϕ(8) = τ(8) = 4, ϕ(10) = τ(10) = 4, ϕ(18) = τ(18) = 6, ϕ(24) = τ(24) = 8, ϕ(30) = τ(30) = τ(n) + ϕ(n) = n, gdy n = 6, 8, 9; τ(n) + ϕ(n) = n + 1, gdy n = 1, 4 lub n jest liczbą pierwszą; w pozostałych przypadkach τ(n) + ϕ(n) < n. ([Crux] 1994 s.51 z.1817). J. Sandor, The equation ϕ(n) = τ(n), [Sand]

20 76 Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych Literatura [AnAF] T. Andreescu, D. Andrica, Z. Feng, 104 Number Theory Problems. From the training of the USA IMO team, Birkhäuser, Boston - Basel - Berlin, [Balt] Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich. [Berb] S. K. Berberian, Number-theoretic functions via convolution rings, Mathematics Magazine, 65(2)(1992) [Crux] Crux Mathematicorum, Canadian Mathematical Society, popolarne matematyczne czasopismo kanadyjskie. [Dic1] L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I. Divisibility and primality, Carnegie Institute of Washington, Reprinted by AMS Chelsea Publishing, New York, [Djmp] D. Djukić, V. Janković, I. Matić, N. Petrović, The IMO Compendium. A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads: , Problem Books in Mathematics, Springer, [Dlt] Delta, popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczno-astronomiczny. [DoC] S. Doduniekow, K. Czakyrjan, Zadania z Teorii Liczb (po rosyjsku), Narodna Poswieta, Sofia, [Gy04] R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Third edition, Springer-Verlag, New York, [HW4] G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Fourth edition, Oxford at the Clarendon Press, [IMO] Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna. [K-Me] J.-M. De Koninck, A. Mercier, 1001 Problems in Classical Number Theory, AMS, [Ko02] L. Kourliandtchik, Impresje Liczbowe, Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń, [Kurs] J. Kürschak, Węgierskie Olimpiady Matematyczne (po rosyjsku), MIR, Moskwa, [Kw] [Mat] [MG] Kwant, popularne czasopismo rosyjskie. Matematyka, polskie czasopismo dla nauczycieli. The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne. [Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America. [N-1] A. Nowicki, Liczby Wymierne, Podróże po Imperium Liczb, cz.1, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, [Nagl] T. Nagell, Introduction to Number Theory, Chelsea Publishing Company, New York, [OM] Olimpiada Matematyczna. [RaP] Z. Ramowicz, E. Piegat, Sto Zadań z Błyskiem, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, [S50] W. Sierpiński, Teoria Liczb, Warszawa - Wrocław, [S59] W. Sierpiński, Teoria Liczb II, PWN, Warszawa, [S59a] W. Sierpiński, O Stu Prostych, ale Trudnych Zagadnieniach Arytmetyki. Z Pogranicza Geometrii i Arytmetyki, Biblioteczka Matematyczna 6, PZWS, Warszawa, [S64] W. Sierpiński, 200 Zadań z Elementarnej Teorii Liczb, Biblioteczka Matematyczna 17, PZWS, Warszawa, 1964.

21 Funkcje arytmetyczne. 4. Liczba dzielników naturalnych 77 [S65] [S68] W. Sierpiński, Wstęp do Teorii Liczb, (wydanie 2), Biblioteczka Matematyczna 25, PZWS, Warszawa, W. Sierpiński, Arytmetyka Teoretyczna, (wydanie 4), Biblioteka Matematyczna 7, PWN, Warszawa, [San2] D. A. Santos, Elementary Number Theory Notes, Preprint, Internet [Sand] J. Sándor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Press, Rehoboth, [SPom] Sprwozdanie Komitetu Głównego Polskiej Olimpiady Matematycznej. [Szn] L. B. Szneperman, Zbiór Zadań z Algebry i Teorii Liczb (po rosyjsku), Minsk, [ZurJ] A. Żurek, P. Jędrzejewicz, Zbiór Zadań dla Kółek Matematycznych w Szkole Podstawowej, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe 2004.