STATYKA STANU BEZMOMENTOWEGO POWŁOKI HIPERBOLOIDALNEJ
|
|
- Witold Kalinowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 W. Baran, Br. Jedraszak, J. Żmuda Opole University of Technoloy Faculty of Civil Enineerin oland, 45-6 Opole, 48 Katowicka St. STATYKA STAU BEZMOMETOWEGO OWŁOKI HIERBOLOIDALEJ Baran W., Jędraszak Br., Żmuda J., 7 Interdependences between descriptions of state of stress, based on various parametrizations introduced for middle surface of shell are discussed in the paper. Complete analitic solutions for symmetric and antisymmetric load, obtained usin various parametrizations are presented. ractical simplifications for obtained results of system of balance equations that result from utilization of particular parametrizations are discussed. Темой статьи является оболочка типа гиперболоид вращения подвергнутый нагрузке от собственного веса. В работе учтены взаимосвязи между разными видами параметризации введенными на серединной поверхности. Этот подход дает возможность получить аналитическое решение в замкнутом виде на этапе частного интеграла для симметрического и асимметрического вида нагрузки. Показаны упращения разрешающих уравнений равновесия, полученные после использования зависимостей между рассмотренными видами параметризаций. Показаны практические примеры использования полученного решения. Wprowadzenie Dźwiary powierzchniowe są to cienkościenne ustroje nośne ukształtowane wedłu określonej powierzchni. Jeżeli powierzchnia środkowa dźwiara powierzchnioweo jest zakrzywiona pojedynczo lub podwójnie, to nazywana jest powłoką []. odstawy teorii oraz analizę pracy statycznej w ujęciu analitycznym i numerycznym cienkościennych konstrukcji powłokowych zostały przedstawione w oromnej liczbie publikacji, których obszerne zestawienie, w liczbie ponad sześciuset pozycji, podano w pracy [4]. odjęto tam również próbę całościoweo przedstawienia teorii i analizy numerycznej zadań statyki, stateczności i dynamiki wielopłatowych konstrukcji powłokowych. Z rupy powłok obrotowych do analizy statycznej w niniejszym referacie przyjęto hiperboloidę jednopowłokową. Założono w analizie statyki tej powłoki obciążenie jej dwoma podstawowymi zbiorami obciążeń: symetrycznym i antysymetrycznym po obwodzie. Zastosowany sposób obliczania sił wewnętrznych takiej powłoki polea na sformułowaniu i rozwiązaniu równania różniczkoweo w ramach różnych przybliżonych teorii powłok [, 5]. Zasadniczą trudnością na jaką natrafia się w klasycznym rozwiązaniu, jest skomplikowana postać równania rozwiązująceo układ równań równowai. Dla większości powierzchni środkowych i sposobów obciążenia, jest to równanie różniczkowe cząstkowe druieo rzędu o współczynnikach funkcyjnych. Rozwiązanie teo typu równania jest poszukiwane także metodami numerycznymi []. W pracy pokazano korzyści wynikające z uwzlędnienia różnych parametryzacji przy rozwiązywaniu równań powłok. odano funkcje przejścia i wzajemne relacje pomiędzy parametrami krzywoliniowymi występującymi w różnych parametryzacjach wprowadzonych na powierzchni środkowej hiperboloidy jednopowłokowej. Dla przyjętych opisów powierzchni środkowej oraz dla obciążenia symetryczneo i antysymetryczneo przedstawiono rozwiązanie w postaci analitycznej, opisujące siły przekrojowe. rzybliżony charakter rozwiązania wynika z uproszczeń stosowanych w teorii powłok [], opartych na założeniach Kirhchoffa Love a, a także ze wzlędu na wykorzystanie pojęcia uśrednienia. Opis parametryzacji powierzchni środkowej W celu rozwiązania układu równań równowai dla parametryzacji krzywiznowej, w naszym postępowaniu wprowadzono na powierzchni środkowej jeszcze dwie parametryzacje: prostokreślną
2 i symetryczną. Równania wektorowe opisujące powierzchnię środkową dla poszczeólnych parametryzacji (rys. ) mają postać: r a cos(u ) i sin(u ) j b sinh(u k r a cosh(u ) o ), (a) cos(u ) i sin(u ) j u cos(u ) i sin(u ) jcos u sin k, (b) a cos a sin r i j boct k. (c) sin sin a) arametryzacja krzywiznowa (a) b) arametryzacja prostokreślna (b) Opis oznaczeń występujących w równaniach wektorowych (a) do (c) i na rys.: u, u - współrzędne krzywoliniowe, u R; u, ; a promień w przewężeniu, a - promień podstawy, b o parametr,, - parametry kątowe,, - współczynniki dla parametryzacji symetrycznej wyrażone zależnościami: c) arametryzacja symetryczna (c) ( s) u u ( s) u u,. () Rys.. Opis powierzchni środkowej w różnych parametryzacjach Dla tak przyjętych parametryzacji określono wzajemne związki pomiędzy parametrami i współrzędnymi krzywoliniowymi [] i wyrażono je poprzez parametr przejścia: cos( ) sin( ), () (k) cosh(u ) cos( ) dzie: indeksy órne określają wielkości w odpowiednich parametryzacjach. W dalszych rozważaniach przyjęto oznaczenia: - u, u - współrzędne krzywoliniowe występujące w parametryzacji krzywiznowej; - - kąt występujący w parametryzacji symetrycznej,
3 -,, 9 - kąty występujące w parametryzacji prostokreślnej. Funkcje tryonometryczne kąta w następujący sposób: p cos, określono po wykorzystaniu powiązań kątowych iloczynu skalarneo: p r r cos, p sin, ct p, dzie: to składowe tensora pierwszej formy różniczkowej [, ]. Wtedy zależność tryonometryczną wiążącą wielkości kątowe w parametryzacji symetrycznej i prostokreślnej, po przekształceniu zależności () zapisano w postaci: sin sin cos. (4) Rozwiązanie oólne układu równań równowai W ramach teorii uproszczonej uoólnione siły przekrojowe błonoweo i wyznacza się je z układu równań [, ]: i b j są rozwiązaniem umowneo stanu, (5), dzie: b to składowe tensora druiej formy różniczkowej, a, to składowe wektora obciążenia (8). Dla parametryzacji krzywiznowej, po podstawieniu symboli Christoffela, oraz stosownych przekształceniach dokonanych przy przejściu wzorami transformacyjnymi do wielkości fizycznych [], układ równań (5) zapisano w postaci: dzie:,, to krzywizny łówne.,,, j,, (5a) Otrzymano układ równań różniczkowych cząstkowych. astępnie wprowadzono do trzecieo równania układu równań (5a) związek między krzywiznami łównymi: i uzyskano opis sił przekrojowych w postaci: t (6) t. ( 7) Dalej podstawiono (7) do pierwszeo równania układu (5a), co dało po przekształceniach zapis kanoniczny najprostszy z możliwych: dzie:, F,,, (8) F. (9)
4 astępnie wyruowano z dwóch ostatnich równań układu (5a) wielkości (7) otrzymano równanie: dzie funkcję F określono w następujący sposób: o przemnożeniu przez i równania () po z wyrażenia, w następującej postaci: F,, F,, a po wykorzystaniu wzoru. (). () u równania (8) wykonano obustronne zróżniczkowanie równania (8) po u. astępnie z przekształconych równań (8) i () wyruowano druą pochodną i uzyskano poszukiwane równanie rozwiązujące układ równań równowai F,,,, F. () Otrzymano równanie różniczkowe cząstkowym druieo rzędu. Wykorzystując wzajemne powiązania z różnych parametryzacji, pokażemy teraz możliwość dalszeo uproszczenia teo równania. rzyjmując więc zależności () i (4) oraz podstawowe wzory eometrii różniczkowej [, ], określono dla parametryzacji krzywiznowej wielkości pomocnicze opisujące pierwiastki ze współczynników pierwszej formy różniczkowej: act a a cosh u. (), sin Tak przyotowane związki oraz ich zależności zapisane w różnych konfiuracjach, umożliwiły w dalszym rozwiązywaniu zmianę zmiennej z u na. o wykonaniu stosownych podstawień i przekształceń, otrzymano równanie: dzie funkcję f określono w następujący sposób: f, (4) ct F,, f, t F a, f. (5) t Założono rozwiązanie o rozdzielonych zmiennych i otrzymano równanie różniczkowe zwyczajne druieo rzędu, o stałych współczynnikach: f. (6) ct F,, f t F a, Uzyskane równanie umożliwi w dalszej części przedstawić rozwiązanie analityczne zamknięte dla dowolnych obciążeń. orównanie o z równaniem (), daje wyobrażenie o korzyściach uzyskanych po wprowadzeniu powiązań pomiędzy różnymi parametryzacjami. rzypadek dowolneo obciążenia Jeżeli wektor w układzie odniesienia ma składowe X, Y, Z i są to odpowiednie funkcje obciążenia, to z równości: wyznacza się składowe otrzymano: Xi Y j Zk r r m, (7),, w bazach lokalnych. o rozwiązaniu odpowiednich układów równań, u cosu Yasinhu sin u Zb coshu Xasinh,
5 u Ycosu Xsin, (8) b Y sinu Ztanhu b X cos u. a a Rozwiązanie dla obciążenia symetryczneo Symetryczny sposób obciążenia płaszcza powłoki przy uwzlędnieniu np. oddziaływaniem ciężarem własnym, będzie występował przy ustawieniu powłoki równolele do kierunku rawitacji. Wtedy dla X, Y, Z składowe wektora obciążenia: cosh u Zb,,,, określone są wyrażeniami: tanhu ct Z. (9) cos o podstawieniu opisów (9) do (9) i do (), dla symetryczneo sposobu obciążenia otrzymano równanie rozwiązujące (4) w postaci: Z ct. (), Rozwiązanie równania () jest rozwiązaniem na etapie całki szczeólnej dla przypadku obciążenia symetryczneo. Wykonując proste całkowania i przekształcenia wyprowadzonych równań, uzyskano opis sił przekrojowe w następującej formie:,, tan, () dzie: - jest funkcją określoną w następujący sposób: u coshu u sin tanhu C ct 4 Za cos sinh sin cosh u 4 natomiast C jest stałą wyznaczoną z warunku na brzeu swobodnym z zależności: k (k) u u (). () Rozwiązanie dla obciążenia antysymetryczneo Rozwiązanie dla antysymetryczneo sposobu obciążenia płaszcza powłoki przy uwzlędnieniu np. wpływu ciężaru własneo otrzymuje się obliczając powłokę jako wspornik. Wtedy dla X, Y, Z składowe wektora obciążenia:,, określone są wyrażeniami: Ya sinhu sin, Ya coshu cos u u, Równanie rozwiązujące (6) zapisano teraz w następującej postaci: sin sin u sin Y. (4) cos f, f Y ct u. (5) Funkcja f, jako rozwiązanie równania (5) określona została wzorem: f * sin * f sinu a f Y, (6) cos cos hd cos sin hd Ccos Csin dzie: * - oznacza rozwiązanie będące funkcją jednej zmiennej; C, C to stałe całkowania spełniające warunki na brzeu, natomiast funkcję h określa wzór: h sin cos. (7) 4 sin oniżej podano zależności opisujące siły przekrojowe dla antysymetryczneo sposobu obciążenia:
6 f f, du ct, sin, t a. (8) Momenty przekrojowe i siły tnące Momenty zinające i skręcające towarzyszące stanowi błonowemu [, ] wyznacza się z zależności: M, (9) którą w wersji uproszczonej można zapisać w postaci: M, (9a), n 4 dzie:,,n,,, H H K. h W stanie podstawowym występują także siły tnące i wyznacza się je z równania: j M i Q. () o podstawieniu zależności (9) i wykorzystaniu pierwszeo równania układu równań (5) przekształconeo do postaci: i, otrzymano równanie () opisujące siły poprzeczne: j j Q. i () rzykład zastosowania Dla otrzymaneo rozwiązania, wykonano przykładowe obliczenia. rzyjęto żelbetową powłokę hiperboloidalną o wysokości: z = m, kształtowaną z przeznaczeniem na płaszcz chłodni kominowej (rys. ). Cechy eometryczne: Cechy materiałowe: - L =. [m], - E = 7. [Ga], - L = 9. [m], - = 6.4 [k/m ], - a = 47.5 [m], - =.667 [ - ]. - a = 6. [m], - h =. [m]. j ołudnik powłoki opisany jest równaniem: f u Rys.. Geometria powłoki i dane przyjęte do obliczeń u a, dzie: b b 6. 8 [m]. rzyjęto: beton klasy B5, rubość ścianki h =, m. Obliczenia wykonano przy użyciu własnych proramów napisanych w języku Fortran oraz wykorzystując system obliczeniowy Mathematica. W obliczeniach dokonano podziału po wysokości co 5 [m], natomiast po obwodzie co 7,5 [ ]. Taki podział dał 5 punkty obliczeniowe dla pojedynczej wielkości. Graficzną interpretację rozwiązania podano na podstawie otrzymanych wyników w zadanych punktach. a załączonych wykresach przedstawiono wartości fizyczne sił przekrojowych. Ze wzlędu na charakter rozwiązania, dla stanu symetryczneo S przedstawiono wykresy dla pojedynczych południków (rys. ), natomiast dla stanu antysymetryczneo przedstawiono wykresy przestrzenne (rys. 4a, 4b, 4c).
7 ozostałe siły uoólnione M i Q i, jako funkcje, i i (9), (9a) i (). Są to wielkości małe [] i przyjmują maksymalne wartości: można wyznaczyć z podanych zależności, - dla obciążenia symetryczneo: maxm M,[km/ m], maxqj Q,[k/ m] - dla obciążenia antysymetryczneo: maxm M,66[km/ m], maxqj Q,[k/ m]. [k/m] u [ ] Rys.. Siły przekrojowe dla symetryczneo stanu obciążenia Max ( [m], 9[ ]) = 97.7 [k/m] Min ( [m], 7[ ]) = -97,7 [k/m] Rys. 4a [k/m] [k/m] Max ( [m], 8[ ]) = 5.9 [k/m] Min ( [m], [ ]) = [k/m] 9 8 u [ ] Rys. 4c Rys. 4b Rys.4. Siły przekrojowe dla antysymetryczneo stanu obciążenia: 4a. Siły, 4b. Siły Max ( [m], 9[ ]) = 96. [k/m] Min ( [m], 7[ ]) = [k/m] 9 8, 4c. Siły 7 u [ ] 6 W celu porównania wyników otrzymanych w rozwiązaniu analitycznym w zaproponowaneo rozwiązania z wynikami jakie można uzyskać z rozwiązania numeryczneo, zamodelowano powłokę w systemie Robot, który wykorzystuje MES. odział na elementy skończone pokazano na rys. 5. odczas enerowania siatki wybrano czworokątne, 4-węzłowe, powierzchniowe elementy skończone. Dokonano podziału na 4 elementów po wysokości i elementów po obwodzie. Dało to 48 elementów skończonych. Wykorzystując otrzymane wyniki obliczeń zapisane w plikach znakowych, wyenerowano po odpowiedniej konwersji raficzny obraz w systemie Mathematica. odane na przykładowych wykresach wartości sił przekrojowych (rys. 6, 7) odnoszą się do poszczeólnych elementów skończonych. orównując otrzymane wyniki (rys. 6, 7) z wynikami z rozwiązania analityczneo (rys., 4) można stwierdzić, że istnieje bardzo dobra zodność zarówno co do jakościoweo jak i ilościoweo przebieu wykresów sił przekrojowych. Dlateo dla antysymetryczneo sposobu obciążenia w niniejszej pracy podano jedynie wykres sił. Różnice wyników otrzymane z rozwiązania analityczneo zaproponowaneo w pracy i rozwiązania numeryczneo uzyskaneo w systemie Robot są mniejsze niż %, co może świadczyć o poprawności otrzymaneo rozwiązania.
8 5 [k/m] Rys.6. Siły przekrojowe dla symetryczneo stanu obciążenia z rozwiązania numeryczneo Rys.5. Model powłoki w systemie Robot Max ( [m], 9 [ o ]) = 9. k/m Min ( [m], 7 [ o ]) = -9. k/m 6 u [ o ] Rys.7. Siły przekrojowe dla antysymetryczneo stanu obciążenia z rozwiązania numeryczneo odsumowanie Wybór na powierzchni środkowej odpowiedniej parametryzacji umożliwia uproszczenia rachunkowe na różnym etapie rozwiązywania powłoki. Wynikają one z opisu eometrii powierzchni środkowej. Znajomość funkcji przejścia () i wzajemnych relacji pomiędzy poszczeólnymi współrzędnymi w wykorzystywanych parametryzacjach umożliwiła uproszczenie rozwiązania układu równań równowai. Dla hiperboloidy jednopowłokowej uzyskano równanie rozwiązujące () jako równanie różniczkowe cząstkowe druieo rzędu. Dokonując rozdzielenia zmiennych otrzymano równanie różniczkowe zwyczajne druieo rzędu o stałych współczynnikach - równanie (6). Rozwiązanie zapisane w oólnej postaci zostało przedstawione dla dowolneo sposobu obciążenia. Dla obciążenia symetryczneo i antysymetryczneo po obwodzie podano rozwiązanie w postaci zamkniętej opisujące siły przekrojowe - wzory () i (8). rosta forma opisu sił przekrojowych przedstawiona w sposób analityczny i zawarta w zbiorze funkcji elementarnych ułatwia obliczenia inżynierskie. Otrzymane rozwiązania analityczne moą służyć jako narzędzie do testowania rozwiązań numerycznych i budowania niezależnych proramów na elektronicznych maszynach cyfrowych.. Baran W., Analiza statyczna powłoki hiperboloidalnej ujęcie nieliniowości eometrycznej, olitechnika Opolska, Rozprawa doktorska, Opole 998 (In olish).. Bielak S., ieliniowa teoria powłok, cz. II, Wyższa Szkoła Inżynierska w Opolu, Studia i Monorafie, zeszyt 8, Opole 995 (In olish).. Konderla., Mechanika ciała odkształcalneo o narastającej masie, olitechnika Wrocławska, seria: Monorafie, zeszyt, Wrocław 986 (In olish). 4. Chróścielewski J., Makowski J., ietraszkiewicz W., Statyka i dynamika powłok wielopłatowych. ieliniowa teoria i metoda elementów skończonych, IT A, Warszawa 4 (In olish). 5. Woźniak Cz., ieliniowa teoria powłok, aństwowe Wydawnictwo aukowe, Warszawa 966 (In olish).
Geometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran
Geometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran Gładką i regularną powierzchnię środkową S powłoki można opisać za pomocą funkcji wektorowej (rys. 2.1) dwóch współrzędnych krzywoliniowych u 1 i
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoSTATYKA STANU BEZMOMENTOWEGO POWŁOKI HIPERBOLOIDALNEJ
Wiesłw BARA Bronisłw JĘDRASZAK STATYKA STAU BEZMOMETOWEGO OWŁOKI HIERBOLOIDALEJ. Wstęp Dźwiry powierzchniowe są to cienkościenne ustroje nośne uksztłtowne wedłu określonej powierzchni. Jeżeli powierzchni
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MODELOWANIE UKŁADÓW MECHANICZNYCH Badania analityczne układu mechanicznego
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoSpis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
Bardziej szczegółowo1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz
1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych Anna Stankiewicz e-mail: astankiewicz@l5.pk.edu.pl Tematyka zajęć Przykłady konstrukcji inżynierskich Klasyfikacja ustrojów powierzchniowych Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE PRZEDMIOT : FIZYKA ROZSZERZONA
WYMAGANIA EDUKACYJNE PRZEDMIOT : FIZYKA ROZSZERZONA ROK SZKOLNY: 2018/2019 KLASY: 2mT OPRACOWAŁ: JOANNA NALEPA OCENA CELUJĄCY OCENA BARDZO DOBRY - w pełnym zakresie - w pełnym opanował zakresie opanował
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoAnaliza nośności pionowej i osiadania grupy pali
Poradnik Inżyniera Nr 17 Aktualizacja: 09/2016 Analiza nośności pionowej i osiadania rupy pali Proram: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_17.sp Celem niniejszeo przewodnika jest przedstawienie wykorzystania
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie
Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie materiały pomocnicze do zajęć audytoryjnych i projektowych opracowanie: dr inż. Piotr Dębski, dr inż. Dariusz Zaręba
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowoWzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2)
Przykłady rozkładu naprężenia stycznego w przekrojach belki zginanej nierównomiernie (materiał uzupełniający do wykładu z wytrzymałości materiałów I, opr. Z. Więckowski, 11.2018) Wzór Żurawskiego τ xy
Bardziej szczegółowoZbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania
Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Prof. dr hab. inż. Janusz Frączek Instytut
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoMetoda Różnic Skończonych (MRS)
Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek () Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie Wprowadzenie Metoda Elementów Skończonych (MES) należy do numerycznych metod otrzymywania przybliżonych rozwiązań
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoManipulatory i roboty mobilne AR S1 semestr 5
Manipulatory i roboty mobilne AR S semestr 5 Konrad Słodowicz MN: Zadanie proste kinematyki manipulatora szeregowego - DOF Położenie manipulatora opisać można dwojako w przestrzeni kartezjańskiej lub zmiennych
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoα k = σ max /σ nom (1)
Badanie koncentracji naprężeń - doświadczalne wyznaczanie współczynnika kształtu oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski 1. Wstęp Występowaniu skokowych zmian kształtu obciążonego elementu, obecności otworów,
Bardziej szczegółowoIII TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Mechanika Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu: IM 1 S 0 2 24-0_1 Rok: I Semestr: 2 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Matematyka 2 Rok akademicki: 2012/2013 Kod: JFM-1-201-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Fizyka Medyczna Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia Forma
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki dr inż. Marek Wojtyra Instytut Techniki Lotniczej
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji
Bardziej szczegółowo3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia drugiego stopnia
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia drugiego stopnia Przedmiot: Mechanika analityczna Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu: MBM 2 S 0 1 02-0_1 Rok: 1 Semestr: 1
Bardziej szczegółowoProszę z rysunkami i wytłumaczeniem. Najlepiej w załączniku.
http://zadane.pl/zadanie/8735189 Proszę z rysunkami i wytłumaczeniem. Najlepiej w załączniku. Zad.1 Prędkość wody w rzece V1 jest stała na całej szerokości rzeki (L) i równoleła do brzeów. Prędkość łodzi
Bardziej szczegółowoTeoria maszyn mechanizmów
Adam Morecki - Jan Oderfel Teoria maszyn mechanizmów Państwowe Wydawnictwo Naukowe SPIS RZECZY Przedmowa 9 Część pierwsza. MECHANIKA MASZYN I MECHANIZMÓW Z CZŁONAMI SZTYWNYMI 13 1. Pojęcia wstępne do teorii
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień
Bardziej szczegółowoZakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych
Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoMathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje
Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POLITECHNICZNEJ KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POLITECHNICZNEJ KLASA 2 I. GEOMETRIA ANALITYCZNA: Wektor w układzie współrzędnych.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY TRZECIEJ M. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY TRZECIEJ M. zakres rozszerzony Trygonometria. wie, co to jest miara łukowa kąta; potrafi stosować miarę łukową i stopniową kąta
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowo8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoŁagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych
Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -
Bardziej szczegółowow najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych
MATEMATYKA - klasa 3 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczania (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.) Dział programu
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 10. WYMAGANIA WSTĘPNE: wiadomości i umiejętności z zakresu matematyki z semestru 1
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Matematyka 2. KIERUNEK: Mechanika i budowa maszyn 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/2 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 4 6. LICZBA GODZIN: 30 WY + 30
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA STOSOWANA II Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Bielsku-Białej
WYMAGANIA EDUKACYJNE FIZYKA STOSOWANA II Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Bielsku-Białej OSIĄGNIĘCIA UCZNIÓW Z ZAKRESIE KSZTAŁCENIA W kolumnie "wymagania na poziom podstawowy" opisano wymagania
Bardziej szczegółowoPoradnik encyklopedyczny
I.N.Bronsztejn K.A.Siemiendiajew Poradnik encyklopedyczny Tłumaczyli Stefan Czarnecki, Robert Bartoszyński Wydanie dziesiąte Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1995 SPIS RZECZY Przedmowa 5 Oznaczenia matematyczne
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Mechanika i Budowa Maszyn I stopień ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie Katedra Matematyki dr Beata Maciejewska
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje od roku akademickiego
Bardziej szczegółowoANALIZA OBCIĄŻEŃ JEDNOSTEK NAPĘDOWYCH DLA PRZESTRZENNYCH RUCHÓW AGROROBOTA
Inżynieria Rolnicza 7(105)/2008 ANALIZA OBCIĄŻEŃ JEDNOSTEK NAPĘDOWYCH DLA PRZESTRZENNYCH RUCHÓW AGROROBOTA Katedra Podstaw Techniki, Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Streszczenie. W pracy przedstawiono
Bardziej szczegółowoOsiadanie kołowego fundamentu zbiornika
Przewodnik Inżyniera Nr 22 Aktualizacja: 01/2017 Osiadanie kołowego fundamentu zbiornika Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_22.gmk Celem przedmiotowego przewodnika jest przedstawienie analizy osiadania
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych
Bardziej szczegółowoTemat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna statyka
Mechanika ogóna statyka kierunek Budownictwo, sem. II materiały pomocnicze do ćwiczeń opracowanie: dr inż. iotr Dębski, dr inż. Irena Wagner TREŚĆ WYKŁADU ojęcia podstawowe, działy mechaniki. ojęcie punktu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowo