Edward Preweda * OCENA DOKŁADNOŚCI WYZNACZANIA PRZESTRZENNEGO POŁOŻENIA PUNKTÓW METODĄ BIEGUNOWĄ

Transkrypt

1 GEODEZA TOM Edward Preweda * OCENA DOKŁADNOŚCI WYZNACZANIA PRZESTRZENNEGO POŁOŻENIA PUNKTÓW METODĄ BIEGUNOWĄ 1. Wprwadzenie Płżenie, wymiary czy też kształt wielu biektów przemysłwych kreśla się na pdstawie wyników pmiarów gedezyjnych. Kntrlwane biekty reprezentwane są przez zbiry punktów płżnych na ich pwierzchni, bserwwanych z punktów dniesienia. Prace terenwe, bejmujące wyknanie bserwacji, mgą być prwadzne przy zastswaniu różnych technik pmiaru i różnej klasy sprzętem pmiarwym. edną z metd kreślania współrzędnych przestrzennych punktów jest metda biegunwa. Pmiary dległści mgą być wyknywane d różneg typu reflektrów, mcwanych w punktach charakterystycznych biektu. Wraz z pjawieniem się dalmierzy bezzwierciadlanych typu DIOR, pwstała mżliwść bserwacji punktów praktycznie dwlnie rzmieszcznych na pwierzchni badaneg biektu, a zatem mżliwść uwzględniania w szerszym stpniu uwarunkwań knstrukcyjnych biektu. Zastswanie dalmierzy bezzwierciadlanych d różneg typu pmiarów gedezyjnych jest wprawdzie graniczne, ze względu na stsunkw niewielki zasięg i niezbyt wyskie dkładnści pmiaru dległści, niemniej jednak w craz większym stpniu dalmierze te wprwadzane są d praktyki gedezyjnej. Pniżej zamieszczn charakterystyki klejnych mdeli dalmierza DIOR, wskazujące na ciągłe dsknalenie knstrukcji tych dalmierzy (Tab. 1). * Akademia. Górnicz-Hutnicza., Wydział Gedezji Górniczej i Inżynierii Śrdwiska. ** Praca jest bezpśredni związana z badaniami własnymi nr , AGH Kraków This paper shuld be cited as: Preweda E.: Ocena dkładnści wyznaczenia przestrzenneg płżenia punktów metdą biegunwą. ZN AGH, Gedezja, T.3, ( ), 1997

2 118 E. Preweda Tabela 1 Typ Zasięg bez lustra [m] Błąd standardwy [mm] DIOR DIOR DIOR 3012 i DIOR ppm 2. Sieć punktów dniesienia Współrzędne punktów dniesienia wyznacza się w przestrzeni trójwymiarwej na pdstawie wyników pmiarów kątw-dlugściwych i wyskściwych, przy czym mdel bserwacyjny sieci przestrzennej rzkłada się częst na składwą pzimą i wyskściwą. Estymację punktwą, prwadzącą d znalezienia wektra niewiadmych (współrzędnych punktów dniesienia) przeprwadza się metdą najmniejszych kwadratów, realizując warunek F = vt Pv =(w - Ax)T P(w - Ax)--+ minimum gdzie: w - wektr wyrazów wlnych, A - macierz współczynników, x - wektr niewiadmych, P - macierz współczynników wagwych w sensie Markwa dla wielkści bserwwanych, czyli P = Cv(w)- 1. Przyjmując, że bserwacje nie są skrelwane ale zróżnicwanych wariancjach, macierz Cv (w) będzie macierzą diagnalną, stąd t I/a} <T; x tr Cv(w - I/a} 1 Pi = - 2 { ) 1 } (2) i=l gdzie <TF - wariancja bserwacji. Spełnienie warunku (1) prwadzi d wzru na estymatr wektra niewiadmych x=(atpa)- 1 ATPw (3) raz macierz wariancyjn-kwariancyjną teg estymatra Cv(x) = 0-2 (AT PA)-l Niebciążny estymatr wariancji 0-2 kreśla się z zależnści vtpv -2 = ---- n-u-1 Dkładnść płżenia pszczególnych punktów dniesienia kreślają elipsidy ufnści na pzimie ( 1 - a) półsiach a;(l-a) =.j>.; X (X~,1-a (6) i dpwiadających im wersrach kierunkwych r(>.);. (1) (4) (5)

3 Ocena dkładnści wyznaczania Wartści własne A; i przyprządkwane im wektry własne s; wynikają z rzkładu spektralneg pdmacierzy macierzy kwariancji Cv(:i:) dla współrzędnych wybraneg punktu P;, natmiast (xli-a) jest kwantylem rzędu (1 - a) rzkładu chikwadrat 3 stpniach swbdy. W analgiczny spsób mżna knstruwać elipsidy ufnści kreślające dkładnść wzajemneg płżenia wybranych par punktów P - ]{ sieci. W tym przypadku pdmacierz, na pdstawie której kreślać będziemy elipsidę ufnści, będzie pstaci Pszczególne pdmacierze wybierane są z macierzy Cv (:i:) (7) Cp Cv(:i:) = W przypadku wyknywania cyklicznych bserwacji biektu, snwa pwinna być pwiązana z punktami płżnymi w strefie wlnej d przemieszczeń, celem przeprwadzenia kntrli stałści jej punktów. 3. Estymacja macierzy kwariancji dla przestrzennych współrzędnych punktów bserwwanych metdą biegunwą Pdstawę ceny dkładnści wyznaczanych cech gemetrycznych biektów stanwi macierz kwariancji Cv(x, y, z) dla współrzędnych punktów reprezentujących dany biekt. Współrzędne te kreślane są z różną dkładnścią, a stpień zróżnicwania dkładnści pmiędzy pszczególnymi punktami uzależniny jest d klasy sprzętu pmiarweg i stswanej techniki pmiaru. W metdzie biegunwej zróżnicwanie t jest bardz isttne. Przyjęcie a priri jednakwej dkładnści wyznaczenia współrzędnych prwadzi nieuchrnnie d zniekształcenia wartści estymwanych parametrów. Pniżej kreśln macierz Cv ( x, y, z) dla metdy biegunwej. Zakładając, Że współrzędne pszczególnych punktów P; biektu kreślane są w spsób jednznaczny, ich wartści wyznaczymy z zależnści (patrz rys. 1) x; = Xj + d; sin 'Pi cs Aj; Yi = Yj + d; sin 'Pi sin Aji Z;= Zj + hj + d; COS<.p; Macierz kwariancji Cv(x, y, z) dla współrzędnych wyznaczanych punktów kreślamy zgdnie z prawem przenszenia się kwariancji. Mdel stchastyczny przyj- (8)

4 120 E. Preweda X P; - punkt na biekcie, Pj, Pk - punkty snwy dniesienia, d; - dległść ukśna d punktu P;, 'Pi - kąt zenitalny d punktu P;, hj - wyskść instrumentu, Aji - azymut kierunku -1. Rys. 1. Schemat wyznaczania współrzędnych punktu metdą biegunwą mierny przy załżeniu, że kwariancje bserwacji są równe zeru raz, Że współrzędne punktów snwy X i bserwacje L są niezależne, czyli X) [ Cv(X) ( Cv(X,L) = Cv L = - ~ - (9) przy czym macierz Cv(L) dla bserwacji zastąp~my macierzą diagnalną pstaci Cv(i) = diag{v(a), V(cp), V(d), V(h)} (10) Występującą w mdelu stchastycznym macierz kwariancji Cv(X, L) współrzędnych punktów dniesienia mżna aprksymwać według następujących mdeli: Mdel 1 Cv(X) =O (11) - c znacza przyjęcie współrzędnych punktów dniesienia za bezbłędne. Mdel 2 Cv(X) = i!t 2 E (12) - c znacza, Że współrzędne są jednakw dkładne i nieskrelwane ( u 2 - estymatr współczynnika wariancji, E - macierz jednstkwa).

5 Ocena dkładnści wyznaczania Mdel 3 (13) współrzędne są nieskrelwane, różndkładne (D - macierz diag c znacza, Że nalna). Mdel 4 mdel uwzględniający kwariancje pmiędzy współrzędnymi punktów dniesienia. Wybór mdelu stchastyczneg uzależniny jest d knkretnych warunków i wymaganych dkładnści. Zgdnie z prawem przenszenia się kwariancji zapiszemy Cv(x, y, z)= STCv(X, L)S (15) funkcji (8) względem dpwie gdzie S - macierz utwrzna z pchdnych cząstkwych dnich punktów snwy i bserwacji. Dla punktu Pi mżemy zapisać Si= [Sx, przy czym x:= - żslllipżslll ji 'k x; l d.. A si(/ik x; d.. A csaik 017:"" = ; sm 'Pism ji d.k OXi 8Zj - x; d.. A sidaik 0 X k = i sm 'Pi sm j i j k xi d.. A cdajk 8Yk = - ; sm t.p; sm j i j k OX; - azk - x d.. A OCY.; = i sm 'Pism ji x at.p'. = d; cs t.p; sin Aji aa; = sm t.p; cs OX; - OX;. A ji Oil: - (14)

6 122 1L. sin A-k X; = d; Slll<p; csaji~k E1h 1 d. A csajk Y; - - jslll<p;cos ji d k?z:= 2L d. A sid Ajk xk=;slll<pjcosji jk f.h d. A cs Aik 8Yk - i Sill 'Pi cs ji djk g2~ =!li_ d. A ODI; = - i Sill 'Pi cs ji ' E1h_ d 'A O'f'i = i cs 'Pi Sill j i fl]jj_.. A ad; =Sill 'Pi Sill ' ~=0 Wprwadzając znaczenia: ji OZ; - 8Xi - OZ; - 1 OZi - a<p: z = -d; sin 'Pi z at= COS<p; OZj - 1 E. Preweda K; = sin 'Pi sin Aji; v; = sin <p; cs Aj;; µi = cs <p; sin Aji sin Aji csa w / - ' - djk ' ' - djk trzymamy: O[: x = 1 - d;kjwj x Bi"= d;ki1/i OXi - azj - x ax~ = d;kiwi x. ayi = -d;k;1/; OXj - OZ; - av;- az;- <Xk- OZj - OYk- OZi 7Zk - gz~ =O an;- OZkx ~ = diki UCXj x 81.p~ = diµi x. at :::: Vj OXi Oli: - ~=d;vjwi } ~ = 1-div;1/l;?z:= ~ =-d;viwi gyk = d;v;1/i g2: = ~ = -d;v;!li_ = d; µ; <p; ~ = K; ~=O

7 Ocena dkładnści wyznaczania... z; - 8Xi - OZ; - OYj- OZ; 1 azj - z; axk - OZ; 8Yk - z; azk - z; 8a; - z i.p'; = -d; sin 'Pi z t;= cs 'Pi OZ; 1 art; (16) Dla i-teg punktu macierz kwariancji przyjmuje pstać Cv(X,L) = Cv(X 1, Y 1, Z 1, Xk, Yk, Zk, e>;, cp;, d;, hj) = V(Xj) cv(xj, Y 1 ) cv(x 1,Z 1 ) cv(xj, Xk) cv(x 1, Yk) cv(x 1,Zk) /-/ V(Y 1 ) cv(y 1,Zj) cv(yj,xk) cv(y 1,Yk) cv(y 1,Zk) /-/ /-/ V(Zj) cv(z 1,Xk) cv(zj,yk) cv(zj,zk) /-/ /-/ /-/ V(Xk) cv(xk,yk)cv(xk,zk) /-/ /-/ /-/ /-/ V(Yk) cv(yk,zk) /-/ /-/ /-/ /-/ /-/ V(Zk) V(e>;) 0 V(cp;) V(d;) 0 V(h1) Dla mdeli stchastycznych typu (11), (12) i (13) macierz Cv(x, y, z) mżna zapisać w frmie: Cv(x, y, z)= Cv(x1, Y1, z1)... Cv(x2, Y2, z2) Cv(xn,Yn,Zn) I Macierze Cv ( x;, Yi, z;) mgą być w tym przypadku liczne niezależnie (17)

8 124 E. Preweda eżeli występwać będą bserwacje nadliczbwe, wówczas mdel matematyczny w części stchastycznej będzie analgiczny d przedstawineg pwyżej, natmiast część funkcjnalna wyrażna będzie przez równania pprawek typu e Ai: +w (18) eżeli sieć dniesienia jest niezależna sytuacyjnie i wyskściw, c częst w praktyce ma miejsce, wówczas kwariancje typu cv(x, Z), cv(y, Z) będą zerwe. Literatura [1] Grafarend E.: Schatzung vn Varianz und Kwarianz der Bebachtungen in gediitischen Ausgleichungsmdellen. Allgemeine Vermessung-Nachrichten. Karlsruhe 1978 [2] Praca zbirwa pd redakcją S. Przewłckieg: Pmiary inżynierskie. Łódź, WNPL, 1993 [3] Preweda E.: System pmiaru, bliczeń i wizualizacji zmian gemetrycznych biektów pwłkwych pwierzchni stpnia drugieg. Rzprawa dktrska AGH, Kraków 1995 Recenzent: prf. dr hab. inż. ózef Czaja

9 References [1] Grafarend E. : Schätzung vn Varianz und Kwarianz der Bebachtungen in gedä tischen Ausgleichungsmdellen. Allgemeine Vermessung-Nachrichten. Karlsruhe 1978 [2] Praca zbirwa pd redakcją S. Przewłckieg: Pmiary inżynierskie, WNPŁ, Łódź 1993 [3] Preweda E.: System pmiaru, bliczeń i wizualizacji zmian gemetrycznych biektów pwłkwych pwierzchni stpnia drugieg. Rzprawa dktrska, AGH, Kraków, 1994