Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych"

Transkrypt

1 ZN AR, XIV, 324. Geodezja i Urządzenia Rolne, Wrocław, 1997 Stanisław Latoś Edward Preweda Katedra Informacji o Terenie Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska AGH Kraków Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych Dla różnych celów, przy rozważaniach zarówno teoretycznych jak i praktycznych, na różnych etapach projektowania i zakładania osnów geodezyjnych, niezbędna jest znajomość charakterystyki dokładnościowej i technologii realizacji projektowanej konstrukcji geometrycznej. Powszechnie wyznacznikiem decydującym o przydatności i możliwości zastosowania określonej konstrukcji i technologii realizacji poziomych osnów geodezyjnych jest możliwa do osiągnięcia dokładność realizacji tych osnów. Dlatego też wybór optymalnej konstrukcji i technologii zakładania osnów powinien być zawsze dokonany na podstawie analizy parametrów wybranych charakterystyk dokładnościowych, z uwzględnieniem możliwości jakie stwarza nowoczesny sprzęt pomiarowo-obliczeniowy. W efekcie finalnym nie bez znaczenia są również efekty ekonomiczne realizacji całego przedsięwzięcia oraz przydatność, łatwość i prostota korzystania z nich w praktyce. Na etapie projektowania osnów geodezyjnych oraz przy ocenie dokładności istniejących sieci korzysta się z różnych parametrów dokładnościowych. W pracy przeprowadzono rozważania na temat parametrów oceny dokładności poziomych osnów geodezyjnych, zwracając również uwagę na niektóre uwarunkowania numeryczne oraz potrzebę estymacji przedziałowej wyznaczanych parametrów. Dla oceny dokładności sieci geodezyjnych obecnie podaje się charakterystyki jedno oraz dwu lub trzypunktowe. W praktyce, najczęściej korzysta się z charakterystyki jednopunktowej w postaci wartości: błędów średnich m, m współrzędnych x, y poszczególnych punktów sieci, x y błędu wyznaczenia położenia poszczególnych punktów m = m + m 2 2 p x y, parametrów elips błędu średniego A, B i ϕ. Ostatnio proponuje się [3] dokonywać oceny dokładności za pomocą: wielkości promienia koła błędów wyznaczenia poszczególnych punktów sieci, wielkości promienia hiperkuli błędów. Czasem, szczególnie dla osnów wyższych klas, podaje się ich charakterystyki dwu lub trzypunktowe, za pomocą wartości parametrów elips błędu: względnego, określającego dokładność względnego wyznaczenia dwóch rozpatrywanych punktów, czyli długości i kierunku, a więc skali i orientacji sieci, Praca powstała w wyniku realizacji projektu badawczego nr 9 T12E finansowanego przez KBN

2 średniego, określającego dokładność wzajemnego położenia wierzchołka rozpatrywanego kąta w stosunku do punktów wyznaczających jego lewe i prawe ramię, czyli kształtu sieci - przy analizie błędów wzajemnego położenia trzech wybranych punktów sieci. Każda z wymienionych charakterystyk dokładnościowych posiada określone własności. W praktyce użytkownika sieci geodezyjnych najczęściej interesują parametry charakteryzujące dokładność wzajemnego położenia niewielkiej grupy punktów wzajemnie bliskich, tworzących określony fragment sieci, z których korzysta się przy nawiązywaniu osnów niższych klas czy rzędów, niezbędnych do prowadzenia pomiarów szczegółowych. Pewnej informacji w takim zakresie dostarczają parametry charakterystyki dwu lub trzypunktowej. Niektóre parametry charakterystyki jednopunktowej, głównie wartości błędów mx i my, są niepełne, a nawet mylące jeśli nie są uzupełnione informacją o ustaleniu układu współrzędnych. Nie uwzględniają one również zależności korelacyjnych pomiędzy współrzędnymi punktów sąsiadujących, co powoduje, że wartości wspomnianych charakterystyk wyznacza się często ze stosunkowo małą precyzją. Wspomniane powyżej parametry są jednak najprostszymi charakterystykami dokładności sieci określanymi powszechnie przy uzgadnianiu wyników obserwacji sieci geodezyjnych. Należy również podkreślić, że są one zgodne z dotychczasowymi normami i przyzwyczajeniami oraz, że pozwalają w prosty sposób na usystematyzowanie i klasyfikację poszczególnych punktów i całych sieci z nich utworzonych. Biorąc pod uwagę wady i zalety przedstawionej powyżej najprostszej jednopunktowej charakterystyki dokładnościowej sieci, zaproponowano do ich oceny stosować parametr który w znacznym stopniu ograniczy wspomniane powyżej niedoskonałości i wady [3]. Parametrem tym może być promień r koła błędów wyznaczenia położenia poszczególnych punktów sieci, liczony z zależności ( [ Q ii ]) r = det (1) gdzie Q ii jest macierzą wariancyjno-kowariancyjną o wymiarach 2 2 dla współrzędnych i- tego punktu sieci. Można wykazać, że parametr r nie zależy od zmiany układu współrzędnych, a w interpretacji geometrycznej jest to promień koła o powierzchni równej polu elipsy błędu wyznaczenia położenia punktu w sieci. 1/ 4 Rys. 1

3 Zależności geometryczne pomiędzy dotychczasowymi parametrami jednopunktowej charakterystyki sieci i proponowanym parametrem r pokazano graficznie na rysunku 1. Na rysunkach 2 i 3 przedstawiono graficzną ilustrację wyników analiz dokładności wybranych konstrukcji sieci za pomocą elips i kół błędów, przy określonych kryteriach dokładnościowych pomiaru elementów wyznaczających. Z zależności przedstawionych na rysunku 1 wynika, że mx + my = mp = A + B (2) Na podstawie rys.1 widać też, że w okręgu o promieniu m p mieści się zawsze elipsa błędu. Nie pozwala on jednak określić ekstremalnych kierunków występowania błędu, zaś różnica pola powierzchni tego koła i pola powierzchni elipsy może być dość znaczna, w zależności od stosunku długości półosi elipsy. Rys. 2 Analiza dokładności sieci typu T/3/3/1 za pomocą elips i kół błędów Rys. 3 Analiza dokładności sieci typu K/3/3/6 za pomocą elips i kół błędów

4 Promień koła błędu nie pozwala również określić ekstremalnych kierunków ich występowania, ale wyznacza obszar którego pole powierzchni jest zawsze równe polu powierzchni elipsy błędu. Z tego względu parametr r może być stosowany do oceny dokładności osnów zważywszy, że przy ocenie tej bierzemy pod uwagę stopień prawdopodobieństwa z jakim wyznaczany punkt znajdzie się w tym kole. Wymienione powyżej parametry jedno i wielopunktowej charakterystyki dokładności sieci geodezyjnych mają charakter lokalny. Odnoszą się bowiem do pojedynczych punktów lub małych zespołów stanowiących najczęściej fragment sieci. W rozważaniach teoretycznych o charakterze eksperymentalnym, najlepiej jest posługiwać się parametrem który mieć będzie charakter globalny, niezależny od orientacji sieci. Charakter taki posiada promień hiperkuli błędów liczony z zależności ( { }) R = det cov( X) 1 4 (3) gdzie n oznacza liczbę wyznaczanych punktów w sieci dla których jest określona macierz wariancyjno-kowariancyjna cov( X). Z wyznaczeniem tego parametru łączą się jednak pewne problemy numeryczne, zaś jego interpretacja wymaga pewnych wyjaśnień. Współrzędne punktów osnowy wyznacza się w przestrzeni dwuwymiarowej na podstawie wyników pomiarów kątowo-długościowych. Układ równań obserwacyjnych, sprowadzony do postaci liniowej, ma postać: Ax + ε = w (4) gdzie A - macierz współczynników układu równań obserwacyjnych, x - wektor niewiadomych (przyrostów do przybliżonych współrzędnych punktów), w - wektor wyrazów wolnych określony na podstawie obserwacji, ε - wektor losowy o wartości oczekiwanej E( ε ) = 0 i macierzy kowariancji Cov( w). Estymację punktową, prowadzącą do znalezienia nieobciążonego estymatora x wektora niewiadomych, przeprowadza się metodą najmniejszych kwadratów, realizując warunek T T F = ε P ε = ( w Ax) P ( w Ax) minimum (5) przy czym P = Cov( w) jest macierzą współczynników wagowych w sensie Markowa dla wielkości obserwowanych. Spełnienie warunku (5) prowadzi do wzoru na estymator wektora niewiadomych T 1 T x = ( A PA) A P w (6) oraz macierz wariancyjno-kowariancyjną tego estymatora: Cov( x ) = E (( x - x)( x - x) ) ( A = σ 2 1 PA) (7) Nieobciążony estymator wariancji σ 2 określa się z zależności σ 2 = 2 T w Ax ε P ε = n u n u (8) gdzie (n-u) - liczba spostrzeżeń nadliczbowych. Dla oceny dokładności osnowy geodezyjnej wyznacza się, na podstawie macierzy (7), najczęściej średnie błędy współrzędnych i średnie błędy położenia punktów. Niekiedy, określa się dokładność położenia wyznaczanych punktów sieci za pomocą elips stałej gęstości prawdopodobieństwa oraz elips określających dokładność względnego wyznaczenia dwóch czy trzech punktów. Dokładność całej sieci można wyrazić za pomocą półosi hiperelipsoidy lub promienia hiperkuli błędu. Parametry te mają charakter niezmienniczy i opisują moc konstrukcji całej sieci za pomocą jednej wartości. / n

5 Należy zauważyć, że wartości uzyskiwane na podstawie rozwiązania układu (5) są obarczone pewnym błędem, wynikającym z tytułu nieprecyzyjnego oszacowania błędów pomiarowych oraz z tytułu obliczeń numerycznych. Błędy te wpływają zarówno na estymowany wektor niewiadomych, jak i na ocenę dokładności wyznaczanych parametrów. Błędy numeryczne nie powinny przekraczać błędów wynikających z niezbyt dokładnego oszacowania błędów pomiaru. Przy obecnej technice komputerowej można spełnić powyższe wymagania, stosując odpowiednie, stabilne algorytmy obliczeniowe. Pewne problemy natury technicznej pojawiają się jednak podczas przekształcania macierzy wariancyjnokowariancyjnej w celu wyznaczenia dodatkowych parametrów charakteryzujących dokładność osnowy geodezyjnej, takich jak półosie hiperelipsoidy błędów czy promień hiperkuli błędów. Na podstawie rozważań teoretycznych popartych licznymi eksperymentami można stwierdzić, że problemy te są tym większe, im lepsza jest dokładność sieci geodezyjnej. W metodach numerycznych znane jest pojęcie uwarunkowania zadania, którym określa się wrażliwość poszukiwanego rozwiązania na zmiany parametrów. Pojęcie to wykorzystamy w celu określania własności różnych typów projektowanych sieci geodezyjnych. Dla oceny wpływu zaburzeń danych na zaburzenia rozwiązania układu można zastosować różne wskaźniki uwarunkowania [6], [8], [9]. W przypadku analizy macierzy kwadratowych można skorzystać ze wskaźników Turing'a M( A) i N( A ), Von Neuman'a-Goldstin'ea P( A ) czy na przykład z wyznacznika ze znormalizowanego układu równań W( A ). W niniejszej pracy stosuje się parametry: gdzie A = ( a ij ) - jest macierzą n n oraz A 1 = ( α ij ) - jest odwrotnością macierzy A 1 2. M( A ) = n max a max α (9) i j N( A) = n A A ij i j 1 1 przy czym A = 2 a ij ij Pomiędzy powyższymi wskaźnikami zachodzą relacje: M( A) N( A) M( A) ( dla n 10) (11) 2 n T Jeżeli powyższe parametry określimy dla macierzy A PA, wówczas dają nam one pogląd na zagadnienie uwarunkowania tej macierzy w sensie wyznaczenia jej odwrotności, a zatem w sensie oceny dokładności estymowanych parametrów. Z tego względu, wskaźniki uwarunkowania umieszczono w dalszej części pracy obok innych parametrów charakteryzujących moc sieci. Można wykazać, że dla dobrze uwarunkowanej macierzy, odpowiednie wskaźniki powinny być rzędu: M( A) = n log n N( A) = n Z powyższych zależności wynika, że dobre uwarunkowanie macierzy A jest pojęciem względnym, zależnym od stopnia n macierzy A. Ponieważ zależy nam na możliwości porównywania tych parametrów dla sieci o różnej liczbie punktów, autor [5] proponuje wprowadzić modyfikację zależności (12) w następujący sposób: ij (10) (12)

6 1 M( A) M ( A) = n log n (13) 1 N( A) N ( A) = n Dzięki temu zabiegowi, dobrze uwarunkowane macierze powinny mieć wskaźniki M 1 ( A) i N 1 ( A ) równe jedności. Problemy numeryczne sprawić może wyznaczenie wartości własnych i wyznacznika macierzy wariancyjno-kowariancyjnej. Przykładowo, dla sieci K/3/3/0.1/20/10 wyznacznik ten wynosi około 1.6E-892, zaś dla sieci K/3/3/0.1/10/5 - około 2.5E Na podstawie tych tylko przykładów można stwierdzić, że obliczenia muszą być prowadzone z bardo wysoką precyzją. W niniejszej pracy wykorzystano program [5] napisany w języku Borland Pascal. Aby zrealizować omawiane zadanie konieczne było zastosowanie typu Extended, co oznacza prowadzenie obliczeń na miejscach znaczących i możliwość przyjmowania przez zmienne wartości w zakresie od 3.4E-4932 do 1.1E4932. W przypadku zastosowania typu rzeczywistego Real, zmienne mogą przyjmować wartości z zakresu od 2.9E-39 do1.7e38, a na przykład zmienne typu Double - wartości od 5.0E-324 do 1.7E308. Na rysunkach 4 i 6 przedstawiono graficzną prezentację rozkładu wartości własnych dla sieci modelowej typu K/3/3/0.1, przy różnych projektowanych błędach pomiaru kątów i długości. Na rysunkach 5 i 7 zamieszczono dla tych konstrukcji rozkład półosi hiperelipsoidy błędów. Wartość własna 0,0080 0,0070 0,0060 0,0050 0,0040 0,0030 0,0020 0,0010 0,0000 Kolejne wartości własne zestawione od największej do najmniejszej Rys.4 Rozkład wartości własnych dla sieci typu K/3/3/0.1/20/10 Długość półosi w 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 Kolejne półosie zestawione od największej do najmniejszej Rys. 5 Rozkład półosi hiperelipsoidy dla sieci typu K/3/3/01/20/10

7 0,0020 Wartość własna 0,0015 0,0010 0,0005 0,0000 Kolejne wartości własne zestawione od największej do najmniejszej Rys.6 Rozkład wartości własnych dla sieci typu K/3/3/0.1/10/5 Długość półosi w 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 Kolejne półosie zestawione od największej do najmniejszej Rys. 7 Rozkład półosi hiperelipsoidy dla sieci typu K/3/3/01/10/5 W tabeli 1 zamieszczono podstawowe charakterystyki liczbowe analizowanych powyżej konstrukcji. Tabela 1 Typ sieci Charakterystyki liczbowe konstrukcji typu K/3/3/0.1/20/10 i K/3/3/0.1/10/5 Wartość własna Półoś hiperelipsoidy R hiperkuli max min max/min max min śr. aryt. K/3/3/0.1/20/ E E K/3/3/0.1/10/5 1.95E E Uwarunkowanie macierzy kowariancji w przypadku obydwu sieci jest takie samo, gdyż sieć druga ma w stosunku do pierwszej macierz kowariancji dla obserwacji Cov( w 2 ) = 05. Cov( w1), a jak wiadomo, skalowanie macierzy nie wpływa na zmianę jej uwarunkowania. Wszystkie parametry opisujące dokładność sieci geodezyjnych wyznaczane są na określonym poziomie prawdopodobieństwa. Wiadomo, że wartości błędów średnich współrzędnych poszczególnych punktów wyznaczone są na poziomie około 0.68, natomiast elipsy błędów i koła błędów wyznaczone są z prawdopodobieństwem P=0.39. W przypadku hiperelipsoidy ufności i hiperkuli błędów poziom prawdopodobieństwa uzależniony jest od liczby wyznaczanych punktów, a ściślej od stopnia macierzy wariancyjno-kowariancyjnej. Można wykazać (por. tabela 2), że prawdopodobieństwo to wraz ze wzrostem liczby niewiadomych maleje do zera. Tabela 2 Zależność poziomu prawdopodobieństwa od liczby stopni swobody Liczba stopni swobody Poziom prawdopodobieństwa <<0.001

8 Na podstawie powyższego stwierdza się, że globalne parametry oceny dokładności sieci geodezyjnych można porównywać tylko w przypadku jednakowej liczby punktów. Aby wykorzystać jednopunktowe charakterystyki sieci w celu porównywania różnych konstrukcji, proponuje się sprowadzenie tychże parametrów do jednej przestrzeni probablistycznej, wykorzystując do tego celu estymację przedziałową. Niektóre wyniki przeprowadzonych obliczeń i analiz rozpatrywanych sieci przedstawiono w tabelach 3 i 4. Wielkości proponowanych parametrów, promienia hiperkuli błędów oraz maksymalnych i minimalnych promieni kół błędów wyznaczonych na określonym poziomie prawdopodobieństwa, nie są dotychczas przyjmowane jako kryterium oceny dokładności realizowanych osnów. Do oceny tej używa się powszechnie wartości średnich błędów położenia punktów. Stąd obecnie, parametry R, rmax i rmin mogą być używane wprost tylko do oceny względnej dokładności sieci porównywanych ze sobą. Mogą też być parametrem oceny bezwzględnej dokładności analizownych osnów, po ustaleniu empirycznie współczynnika korelacji tych wielkości z wartościami m p, a szczególnie m p max, określonego dla danego typu osnowy w obowiązujących instrukcjach. Tabela 3 Wyniki badań modelowych sieci typu K/3 oraz T/3 Typ sieci m α [ " ] m [ mm d ] Liczba wyzn. punktów N 1 T ( A PA) M 1 T ( A PA) R hiperkuli r max r min R hiperkuli r max K/3/3/ K/3/3/ K/3/3/ K/3/3/ T/3/3/ T/3/3/ T/3/3/ T/3/3/ K/3/6/ K/3/6/ K/3/6/ K/3/6/ T/3/6/ T/3/6/ T/3/6/ T/3/6/ K/3/9/ K/3/9/ K/3/9/ K/3/9/ T/3/9/ T/3/9/ T/3/9/ T/3/9/ r min Z danych zawartych w tabelach 3 i 4 wynika jednoznacznie, że dokładność analizowanych sieci jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości parametru R wyznaczonego na poziomie ufności równym Z porównania wartości tego parametru z wielkościami maksymalnych błędów m p max w analizowanych sieciach wynika, że przy zastosowaniu konstrukcji

9 zbliżonych do rozpatrywanych, wielkość maksymalnego błędu położenia punktu nie przekroczy zasadniczo 25% wartości R. Tabela 4 Wyniki badań modelowych sieci typu K/5 oraz T/7 Typ sieci m α [ " ] m [ mm d ] Liczba wyzn. punktów 1 ( ) T N ( A PA) M T A PA hiperkuli R r max r min R hiperkuli r max K/5/3/ K/5/3/ K/5/3/ K/5/3/ T/7/3/ T/7/3/ T/7/3/ T/7/3/ K/5/6/ K/5/6/ K/5/6/ K/5/6/ T/7/6/ T/7/6/ T/7/6/ T/7/6/ K/5/9/ K/5/9/ K/5/9/ K/5/9/ T/7/9/ T/7/9/ T/7/9/ T/7/9/ r min Literatura [1] Czaja J.: Nowa propozycja oceny mocy konstrukcji geodezyjnych. Prace Komisji Górniczo-Geodezyjnej PAN, Oddział w Krakowie, z. Geodezja nr 28, Kraków 1980 [2] Grafarend E. : Schätzung von Varianz und Kowarianz der Beobachtungen in geodätischen Ausgleichungsmodellen. Allgemeine Vermessung-Nachrichten. Karlsruhe 1978 [3] Latoś S.: Propozycja nowej charakterystyki dokładności sieci geodezyjnych, Geodezja, AGH, Kraków 1997 [4] Latoś S., Preweda E.: Analiza dokładności poziomych osnów geodezyjnych zakładanych metodą poligonową z wykorzystaniem tachimetrów elektronicznych. Geodezja, 3, AGH, Kraków, [5] Preweda E.: Ocena dokładności wyznaczenie przestrzennego położenia punktów metodą biegunową. Geodezja, 3, AGH, Kraków, [6] Preweda E.: System pomiaru, obliczeń i wizualizacji zmian geometrycznych obiektów powłokowych o powierzchni stopnia drugiego. Rozprawa doktorska, AGH, Kraków, 1994 [7] Rao. C. R. : Modele liniowe statystyki matematycznej. PWN, Warszawa [8] Schwarz H.R., Rutishauser H., Stiefel E. : Numerical Analysis of Symmetric Matrices. Prentice-Hall, Inc.Englewood Cliffs, New Jersy [9] Wilkinson J.H. : The Algebraic Eigenvalue Problem. Clerendon Press. Oxford 1965.

10 Stanisław Latoś Edward Preweda Katedra Informacji o Terenie Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska AGH Kraków Streszczenie Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych W pracy przeprowadzono rozważania dotyczące parametrów oceny dokładności poziomych osnów geodezyjnych, stosowanych na etapie projektowania konstrukcji oraz po wykonaniu pomiarów istniejących sieci. Przedstawiono zalety i wady stosowanych powszechnie jedno i kilku punktowych parametrów dokładnościowych oraz nowych parametrów, w postaci promienia koła i hiperkuli błędów. Szczególną uwagę zwrócono na problemy numeryczne pojawiające się podczas wyznaczania wielkości półosi hiperelipsoidy i promienia hiperkuli błędów oraz na potrzebę estymacji przedziałowej wyznaczanych parametrów. W załączonych tabelach przedstawiono wyniki badań modelowych.

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów, przedziały ufności etc

Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Liniowa MNK przypomnienie Wariancja parametrów Postulat Bayesa: rozkłady p-stwa dla parametrów Przypadek nieliniowy Przedziały ufności Rozkłady chi-kwadrat,

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Inteligentna analiza danych

Inteligentna analiza danych Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki

Bardziej szczegółowo

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem. Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie ciągu poligonowego dwustronnie nawiązanego metodą przybliżoną.

Wyrównanie ciągu poligonowego dwustronnie nawiązanego metodą przybliżoną. Wyrównanie ciągu poligonowego dwustronnie nawiązanego metodą przybliżoną. Uwagi wstępne należy przeczytać przed przystąpieniem do obliczeń W pierwszej kolejności należy wpisać do dostarczonego formularza

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Uwagi do badań stałości punktów odniesienia w wysokościowych sieciach obserwacyjnych na obszarach górniczych

Uwagi do badań stałości punktów odniesienia w wysokościowych sieciach obserwacyjnych na obszarach górniczych Aktualne problemy naukowe i techniczne prac geodezyjnych. VIII Sesja Naukowo-Techniczna, Olsztyn 1995, s. 35-46 Uwagi do badań stałości punktów odniesienia w wysokościowych sieciach obserwacyjnych na obszarach

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Metody opracowania obserwacji 2 Kod modułu 04-A-MOO-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE POZIOME OSNOWY GEODEZYJNE - PRZESZŁOŚĆ, STAN AKTUALNY I PRZYSZŁOŚĆ W ZAKRESIE ICH ZAKŁADANIA I FUNKCJONOWANIA

SZCZEGÓŁOWE POZIOME OSNOWY GEODEZYJNE - PRZESZŁOŚĆ, STAN AKTUALNY I PRZYSZŁOŚĆ W ZAKRESIE ICH ZAKŁADANIA I FUNKCJONOWANIA GEODEZJA TOM 9 ZESZYT 2/3 2003 Stanisław Latoś* SZCZEGÓŁOWE POZIOME OSNOWY GEODEZYJNE - PRZESZŁOŚĆ, STAN AKTUALNY I PRZYSZŁOŚĆ W ZAKRESIE ICH ZAKŁADANIA I FUNKCJONOWANIA 1. Słowo wstępne Osnowa, rozumiana

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006 , transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pcibis@o2.pl 23 marca 2006 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności 2 3 Etapy transformacji

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność

Bardziej szczegółowo

Regresja i Korelacja

Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja W przyrodzie często obserwujemy związek między kilkoma cechami, np.: drzewa grubsze są z reguły wyższe, drewno iglaste o węższych słojach ma większą gęstość, impregnowane

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Rozdział Metoda największej wiarygodności Ogólnie w procesie estymacji na podstawie prób x i (każde x i może być wektorem) wyznaczamy parametr λ (w ogólnym przypadku również wektor) opisujący domniemany

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a, b] [a, b].

Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a, b] [a, b]. Rachunek Prawdopodobienstwa MAEW104 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni wykład: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Temat projektu: Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego

Bardziej szczegółowo

Możliwości i efekty stosowania tachimetrów elektronicznych do zakładania osnów realizacyjnych dla specjalnych celów

Możliwości i efekty stosowania tachimetrów elektronicznych do zakładania osnów realizacyjnych dla specjalnych celów Konferencja Techniczno-Naukowa IV Międzynarodowych Targów Geodezji GEA'98 Nowoczesna technika i technologia geodezyjna w praktyce Katowice 15-17 październik 1998. Możliwości i efekty stosowania tachimetrów

Bardziej szczegółowo

Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki?

Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? 1 Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? Sprawozdania należny oddać na kolejnych zajęciach laboratoryjnych. Każde opóźnienie powoduje obniżenie oceny za sprawozdanie o 0,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO

POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO SPOSTRZEŻENIA JEDNAKOWO DOKŁADNE. Spostrzeżenia jednakowo dokładne to takie, które wykonane są: tym samym przyrządem, tą samą metodą

Bardziej szczegółowo

Punkty geodezyjne Wykład 9 "Poziome sieci geodezyjne - od triangulacji do poligonizacji" 4

Punkty geodezyjne Wykład 9 Poziome sieci geodezyjne - od triangulacji do poligonizacji 4 Punkty geodezyjne Jeśli znaczne obszary Ziemi są mierzone, to pierwszą czynnością jest umieszczenie w terenie (stabilizacja) punktów geodezyjnych Punkty te są stabilizowane w terenie lub wybierane na budowlach

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi

Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi technicznej. 1. Wstęp Celem ćwiczenia jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej 1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

F = e(v B) (2) F = evb (3)

F = e(v B) (2) F = evb (3) Sprawozdanie z fizyki współczesnej 1 1 Część teoretyczna Umieśćmy płytkę o szerokości a, grubości d i długości l, przez którą płynie prąd o natężeniu I, w poprzecznym polu magnetycznym o indukcji B. Wówczas

Bardziej szczegółowo

1. Charakterystyka analizowanej próby zmiennej losowej

1. Charakterystyka analizowanej próby zmiennej losowej GEODEZJA TOM 6 ZESZYT 2 2000 519.2 Józef Czaja *, Edward Preweda * ANALIZA ILOŚCIOWA RÓŻNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI NA PRZYKLADZIE SZEŚCIOWYMIAROWEJ ZMIENNEJ LOSOWEJ ** 1. Charakterystyka analizowanej

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji

Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Małgorzata Jakubowska Katedra Chemii Analitycznej WIMiC AGH Walidacja metod analitycznych (według ISO) to proces ustalania parametrów charakteryzujących

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

Badania wpływu charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na poprawne wyznaczenie nieoznaczoności w pozycjonowaniu GNSS-RTK

Badania wpływu charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na poprawne wyznaczenie nieoznaczoności w pozycjonowaniu GNSS-RTK Badania wpływu charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na poprawne wyznaczenie nieoznaczoności w pozycjonowaniu GNSS-RTK Rozprawa doktorska Warszawa, 15 maja 214 r. Dominik Próchniewicz Politechnika

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów: Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego,

Bardziej szczegółowo

Temat ćwiczenia: Opracowanie stereogramu zdjęć naziemnych na VSD.

Temat ćwiczenia: Opracowanie stereogramu zdjęć naziemnych na VSD. Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczenia: Opracowanie stereogramu zdjęć naziemnych na VSD. Instrukcja do ćwiczeń dla

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

Sympozjum Trwałość Budowli

Sympozjum Trwałość Budowli Sympozjum Trwałość Budowli Andrzej ownuk ROJEKTOWANIE UKŁADÓW Z NIEEWNYMI ARAMETRAMI Zakład Mechaniki Teoretycznej olitechnika Śląska pownuk@zeus.polsl.gliwice.pl URL: http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Cel wykładu Model statystyczny W pewnej zbiorowości (populacji generalnej) obserwowana jest pewna cecha

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium Zadanie nr 3 Osada autor: A Gonczarek Celem poniższego zadania jest zrealizowanie fragmentu komputerowego przeciwnika w grze strategiczno-ekonomicznej

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge Rok szkolny 2014/2015r.

Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge Rok szkolny 2014/2015r. Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge - Definicja geodezji, jej podział i zadania. - Miary stopniowe. - Miary długości. - Miary powierzchni pola. - Miary gradowe.

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

ZAJĘCIA IX. Granice dokładności identyfikacji

ZAJĘCIA IX. Granice dokładności identyfikacji ZAJĘCIA IX Granice dokładności identyfikacji Macierz informacyjna Fishera Ograniczenie Rao-Craméra Dokładność funkcją parametrów Elipsoida niepewności estymatora (ufności estymat) Katedra Metrologii AGH

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo