Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych"

Transkrypt

1 ZN AR, XIV, 324. Geodezja i Urządzenia Rolne, Wrocław, 1997 Stanisław Latoś Edward Preweda Katedra Informacji o Terenie Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska AGH Kraków Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych Dla różnych celów, przy rozważaniach zarówno teoretycznych jak i praktycznych, na różnych etapach projektowania i zakładania osnów geodezyjnych, niezbędna jest znajomość charakterystyki dokładnościowej i technologii realizacji projektowanej konstrukcji geometrycznej. Powszechnie wyznacznikiem decydującym o przydatności i możliwości zastosowania określonej konstrukcji i technologii realizacji poziomych osnów geodezyjnych jest możliwa do osiągnięcia dokładność realizacji tych osnów. Dlatego też wybór optymalnej konstrukcji i technologii zakładania osnów powinien być zawsze dokonany na podstawie analizy parametrów wybranych charakterystyk dokładnościowych, z uwzględnieniem możliwości jakie stwarza nowoczesny sprzęt pomiarowo-obliczeniowy. W efekcie finalnym nie bez znaczenia są również efekty ekonomiczne realizacji całego przedsięwzięcia oraz przydatność, łatwość i prostota korzystania z nich w praktyce. Na etapie projektowania osnów geodezyjnych oraz przy ocenie dokładności istniejących sieci korzysta się z różnych parametrów dokładnościowych. W pracy przeprowadzono rozważania na temat parametrów oceny dokładności poziomych osnów geodezyjnych, zwracając również uwagę na niektóre uwarunkowania numeryczne oraz potrzebę estymacji przedziałowej wyznaczanych parametrów. Dla oceny dokładności sieci geodezyjnych obecnie podaje się charakterystyki jedno oraz dwu lub trzypunktowe. W praktyce, najczęściej korzysta się z charakterystyki jednopunktowej w postaci wartości: błędów średnich m, m współrzędnych x, y poszczególnych punktów sieci, x y błędu wyznaczenia położenia poszczególnych punktów m = m + m 2 2 p x y, parametrów elips błędu średniego A, B i ϕ. Ostatnio proponuje się [3] dokonywać oceny dokładności za pomocą: wielkości promienia koła błędów wyznaczenia poszczególnych punktów sieci, wielkości promienia hiperkuli błędów. Czasem, szczególnie dla osnów wyższych klas, podaje się ich charakterystyki dwu lub trzypunktowe, za pomocą wartości parametrów elips błędu: względnego, określającego dokładność względnego wyznaczenia dwóch rozpatrywanych punktów, czyli długości i kierunku, a więc skali i orientacji sieci, Praca powstała w wyniku realizacji projektu badawczego nr 9 T12E finansowanego przez KBN

2 średniego, określającego dokładność wzajemnego położenia wierzchołka rozpatrywanego kąta w stosunku do punktów wyznaczających jego lewe i prawe ramię, czyli kształtu sieci - przy analizie błędów wzajemnego położenia trzech wybranych punktów sieci. Każda z wymienionych charakterystyk dokładnościowych posiada określone własności. W praktyce użytkownika sieci geodezyjnych najczęściej interesują parametry charakteryzujące dokładność wzajemnego położenia niewielkiej grupy punktów wzajemnie bliskich, tworzących określony fragment sieci, z których korzysta się przy nawiązywaniu osnów niższych klas czy rzędów, niezbędnych do prowadzenia pomiarów szczegółowych. Pewnej informacji w takim zakresie dostarczają parametry charakterystyki dwu lub trzypunktowej. Niektóre parametry charakterystyki jednopunktowej, głównie wartości błędów mx i my, są niepełne, a nawet mylące jeśli nie są uzupełnione informacją o ustaleniu układu współrzędnych. Nie uwzględniają one również zależności korelacyjnych pomiędzy współrzędnymi punktów sąsiadujących, co powoduje, że wartości wspomnianych charakterystyk wyznacza się często ze stosunkowo małą precyzją. Wspomniane powyżej parametry są jednak najprostszymi charakterystykami dokładności sieci określanymi powszechnie przy uzgadnianiu wyników obserwacji sieci geodezyjnych. Należy również podkreślić, że są one zgodne z dotychczasowymi normami i przyzwyczajeniami oraz, że pozwalają w prosty sposób na usystematyzowanie i klasyfikację poszczególnych punktów i całych sieci z nich utworzonych. Biorąc pod uwagę wady i zalety przedstawionej powyżej najprostszej jednopunktowej charakterystyki dokładnościowej sieci, zaproponowano do ich oceny stosować parametr który w znacznym stopniu ograniczy wspomniane powyżej niedoskonałości i wady [3]. Parametrem tym może być promień r koła błędów wyznaczenia położenia poszczególnych punktów sieci, liczony z zależności ( [ Q ii ]) r = det (1) gdzie Q ii jest macierzą wariancyjno-kowariancyjną o wymiarach 2 2 dla współrzędnych i- tego punktu sieci. Można wykazać, że parametr r nie zależy od zmiany układu współrzędnych, a w interpretacji geometrycznej jest to promień koła o powierzchni równej polu elipsy błędu wyznaczenia położenia punktu w sieci. 1/ 4 Rys. 1

3 Zależności geometryczne pomiędzy dotychczasowymi parametrami jednopunktowej charakterystyki sieci i proponowanym parametrem r pokazano graficznie na rysunku 1. Na rysunkach 2 i 3 przedstawiono graficzną ilustrację wyników analiz dokładności wybranych konstrukcji sieci za pomocą elips i kół błędów, przy określonych kryteriach dokładnościowych pomiaru elementów wyznaczających. Z zależności przedstawionych na rysunku 1 wynika, że mx + my = mp = A + B (2) Na podstawie rys.1 widać też, że w okręgu o promieniu m p mieści się zawsze elipsa błędu. Nie pozwala on jednak określić ekstremalnych kierunków występowania błędu, zaś różnica pola powierzchni tego koła i pola powierzchni elipsy może być dość znaczna, w zależności od stosunku długości półosi elipsy. Rys. 2 Analiza dokładności sieci typu T/3/3/1 za pomocą elips i kół błędów Rys. 3 Analiza dokładności sieci typu K/3/3/6 za pomocą elips i kół błędów

4 Promień koła błędu nie pozwala również określić ekstremalnych kierunków ich występowania, ale wyznacza obszar którego pole powierzchni jest zawsze równe polu powierzchni elipsy błędu. Z tego względu parametr r może być stosowany do oceny dokładności osnów zważywszy, że przy ocenie tej bierzemy pod uwagę stopień prawdopodobieństwa z jakim wyznaczany punkt znajdzie się w tym kole. Wymienione powyżej parametry jedno i wielopunktowej charakterystyki dokładności sieci geodezyjnych mają charakter lokalny. Odnoszą się bowiem do pojedynczych punktów lub małych zespołów stanowiących najczęściej fragment sieci. W rozważaniach teoretycznych o charakterze eksperymentalnym, najlepiej jest posługiwać się parametrem który mieć będzie charakter globalny, niezależny od orientacji sieci. Charakter taki posiada promień hiperkuli błędów liczony z zależności ( { }) R = det cov( X) 1 4 (3) gdzie n oznacza liczbę wyznaczanych punktów w sieci dla których jest określona macierz wariancyjno-kowariancyjna cov( X). Z wyznaczeniem tego parametru łączą się jednak pewne problemy numeryczne, zaś jego interpretacja wymaga pewnych wyjaśnień. Współrzędne punktów osnowy wyznacza się w przestrzeni dwuwymiarowej na podstawie wyników pomiarów kątowo-długościowych. Układ równań obserwacyjnych, sprowadzony do postaci liniowej, ma postać: Ax + ε = w (4) gdzie A - macierz współczynników układu równań obserwacyjnych, x - wektor niewiadomych (przyrostów do przybliżonych współrzędnych punktów), w - wektor wyrazów wolnych określony na podstawie obserwacji, ε - wektor losowy o wartości oczekiwanej E( ε ) = 0 i macierzy kowariancji Cov( w). Estymację punktową, prowadzącą do znalezienia nieobciążonego estymatora x wektora niewiadomych, przeprowadza się metodą najmniejszych kwadratów, realizując warunek T T F = ε P ε = ( w Ax) P ( w Ax) minimum (5) przy czym P = Cov( w) jest macierzą współczynników wagowych w sensie Markowa dla wielkości obserwowanych. Spełnienie warunku (5) prowadzi do wzoru na estymator wektora niewiadomych T 1 T x = ( A PA) A P w (6) oraz macierz wariancyjno-kowariancyjną tego estymatora: Cov( x ) = E (( x - x)( x - x) ) ( A = σ 2 1 PA) (7) Nieobciążony estymator wariancji σ 2 określa się z zależności σ 2 = 2 T w Ax ε P ε = n u n u (8) gdzie (n-u) - liczba spostrzeżeń nadliczbowych. Dla oceny dokładności osnowy geodezyjnej wyznacza się, na podstawie macierzy (7), najczęściej średnie błędy współrzędnych i średnie błędy położenia punktów. Niekiedy, określa się dokładność położenia wyznaczanych punktów sieci za pomocą elips stałej gęstości prawdopodobieństwa oraz elips określających dokładność względnego wyznaczenia dwóch czy trzech punktów. Dokładność całej sieci można wyrazić za pomocą półosi hiperelipsoidy lub promienia hiperkuli błędu. Parametry te mają charakter niezmienniczy i opisują moc konstrukcji całej sieci za pomocą jednej wartości. / n

5 Należy zauważyć, że wartości uzyskiwane na podstawie rozwiązania układu (5) są obarczone pewnym błędem, wynikającym z tytułu nieprecyzyjnego oszacowania błędów pomiarowych oraz z tytułu obliczeń numerycznych. Błędy te wpływają zarówno na estymowany wektor niewiadomych, jak i na ocenę dokładności wyznaczanych parametrów. Błędy numeryczne nie powinny przekraczać błędów wynikających z niezbyt dokładnego oszacowania błędów pomiaru. Przy obecnej technice komputerowej można spełnić powyższe wymagania, stosując odpowiednie, stabilne algorytmy obliczeniowe. Pewne problemy natury technicznej pojawiają się jednak podczas przekształcania macierzy wariancyjnokowariancyjnej w celu wyznaczenia dodatkowych parametrów charakteryzujących dokładność osnowy geodezyjnej, takich jak półosie hiperelipsoidy błędów czy promień hiperkuli błędów. Na podstawie rozważań teoretycznych popartych licznymi eksperymentami można stwierdzić, że problemy te są tym większe, im lepsza jest dokładność sieci geodezyjnej. W metodach numerycznych znane jest pojęcie uwarunkowania zadania, którym określa się wrażliwość poszukiwanego rozwiązania na zmiany parametrów. Pojęcie to wykorzystamy w celu określania własności różnych typów projektowanych sieci geodezyjnych. Dla oceny wpływu zaburzeń danych na zaburzenia rozwiązania układu można zastosować różne wskaźniki uwarunkowania [6], [8], [9]. W przypadku analizy macierzy kwadratowych można skorzystać ze wskaźników Turing'a M( A) i N( A ), Von Neuman'a-Goldstin'ea P( A ) czy na przykład z wyznacznika ze znormalizowanego układu równań W( A ). W niniejszej pracy stosuje się parametry: gdzie A = ( a ij ) - jest macierzą n n oraz A 1 = ( α ij ) - jest odwrotnością macierzy A 1 2. M( A ) = n max a max α (9) i j N( A) = n A A ij i j 1 1 przy czym A = 2 a ij ij Pomiędzy powyższymi wskaźnikami zachodzą relacje: M( A) N( A) M( A) ( dla n 10) (11) 2 n T Jeżeli powyższe parametry określimy dla macierzy A PA, wówczas dają nam one pogląd na zagadnienie uwarunkowania tej macierzy w sensie wyznaczenia jej odwrotności, a zatem w sensie oceny dokładności estymowanych parametrów. Z tego względu, wskaźniki uwarunkowania umieszczono w dalszej części pracy obok innych parametrów charakteryzujących moc sieci. Można wykazać, że dla dobrze uwarunkowanej macierzy, odpowiednie wskaźniki powinny być rzędu: M( A) = n log n N( A) = n Z powyższych zależności wynika, że dobre uwarunkowanie macierzy A jest pojęciem względnym, zależnym od stopnia n macierzy A. Ponieważ zależy nam na możliwości porównywania tych parametrów dla sieci o różnej liczbie punktów, autor [5] proponuje wprowadzić modyfikację zależności (12) w następujący sposób: ij (10) (12)

6 1 M( A) M ( A) = n log n (13) 1 N( A) N ( A) = n Dzięki temu zabiegowi, dobrze uwarunkowane macierze powinny mieć wskaźniki M 1 ( A) i N 1 ( A ) równe jedności. Problemy numeryczne sprawić może wyznaczenie wartości własnych i wyznacznika macierzy wariancyjno-kowariancyjnej. Przykładowo, dla sieci K/3/3/0.1/20/10 wyznacznik ten wynosi około 1.6E-892, zaś dla sieci K/3/3/0.1/10/5 - około 2.5E Na podstawie tych tylko przykładów można stwierdzić, że obliczenia muszą być prowadzone z bardo wysoką precyzją. W niniejszej pracy wykorzystano program [5] napisany w języku Borland Pascal. Aby zrealizować omawiane zadanie konieczne było zastosowanie typu Extended, co oznacza prowadzenie obliczeń na miejscach znaczących i możliwość przyjmowania przez zmienne wartości w zakresie od 3.4E-4932 do 1.1E4932. W przypadku zastosowania typu rzeczywistego Real, zmienne mogą przyjmować wartości z zakresu od 2.9E-39 do1.7e38, a na przykład zmienne typu Double - wartości od 5.0E-324 do 1.7E308. Na rysunkach 4 i 6 przedstawiono graficzną prezentację rozkładu wartości własnych dla sieci modelowej typu K/3/3/0.1, przy różnych projektowanych błędach pomiaru kątów i długości. Na rysunkach 5 i 7 zamieszczono dla tych konstrukcji rozkład półosi hiperelipsoidy błędów. Wartość własna 0,0080 0,0070 0,0060 0,0050 0,0040 0,0030 0,0020 0,0010 0,0000 Kolejne wartości własne zestawione od największej do najmniejszej Rys.4 Rozkład wartości własnych dla sieci typu K/3/3/0.1/20/10 Długość półosi w 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 Kolejne półosie zestawione od największej do najmniejszej Rys. 5 Rozkład półosi hiperelipsoidy dla sieci typu K/3/3/01/20/10

7 0,0020 Wartość własna 0,0015 0,0010 0,0005 0,0000 Kolejne wartości własne zestawione od największej do najmniejszej Rys.6 Rozkład wartości własnych dla sieci typu K/3/3/0.1/10/5 Długość półosi w 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 Kolejne półosie zestawione od największej do najmniejszej Rys. 7 Rozkład półosi hiperelipsoidy dla sieci typu K/3/3/01/10/5 W tabeli 1 zamieszczono podstawowe charakterystyki liczbowe analizowanych powyżej konstrukcji. Tabela 1 Typ sieci Charakterystyki liczbowe konstrukcji typu K/3/3/0.1/20/10 i K/3/3/0.1/10/5 Wartość własna Półoś hiperelipsoidy R hiperkuli max min max/min max min śr. aryt. K/3/3/0.1/20/ E E K/3/3/0.1/10/5 1.95E E Uwarunkowanie macierzy kowariancji w przypadku obydwu sieci jest takie samo, gdyż sieć druga ma w stosunku do pierwszej macierz kowariancji dla obserwacji Cov( w 2 ) = 05. Cov( w1), a jak wiadomo, skalowanie macierzy nie wpływa na zmianę jej uwarunkowania. Wszystkie parametry opisujące dokładność sieci geodezyjnych wyznaczane są na określonym poziomie prawdopodobieństwa. Wiadomo, że wartości błędów średnich współrzędnych poszczególnych punktów wyznaczone są na poziomie około 0.68, natomiast elipsy błędów i koła błędów wyznaczone są z prawdopodobieństwem P=0.39. W przypadku hiperelipsoidy ufności i hiperkuli błędów poziom prawdopodobieństwa uzależniony jest od liczby wyznaczanych punktów, a ściślej od stopnia macierzy wariancyjno-kowariancyjnej. Można wykazać (por. tabela 2), że prawdopodobieństwo to wraz ze wzrostem liczby niewiadomych maleje do zera. Tabela 2 Zależność poziomu prawdopodobieństwa od liczby stopni swobody Liczba stopni swobody Poziom prawdopodobieństwa <<0.001

8 Na podstawie powyższego stwierdza się, że globalne parametry oceny dokładności sieci geodezyjnych można porównywać tylko w przypadku jednakowej liczby punktów. Aby wykorzystać jednopunktowe charakterystyki sieci w celu porównywania różnych konstrukcji, proponuje się sprowadzenie tychże parametrów do jednej przestrzeni probablistycznej, wykorzystując do tego celu estymację przedziałową. Niektóre wyniki przeprowadzonych obliczeń i analiz rozpatrywanych sieci przedstawiono w tabelach 3 i 4. Wielkości proponowanych parametrów, promienia hiperkuli błędów oraz maksymalnych i minimalnych promieni kół błędów wyznaczonych na określonym poziomie prawdopodobieństwa, nie są dotychczas przyjmowane jako kryterium oceny dokładności realizowanych osnów. Do oceny tej używa się powszechnie wartości średnich błędów położenia punktów. Stąd obecnie, parametry R, rmax i rmin mogą być używane wprost tylko do oceny względnej dokładności sieci porównywanych ze sobą. Mogą też być parametrem oceny bezwzględnej dokładności analizownych osnów, po ustaleniu empirycznie współczynnika korelacji tych wielkości z wartościami m p, a szczególnie m p max, określonego dla danego typu osnowy w obowiązujących instrukcjach. Tabela 3 Wyniki badań modelowych sieci typu K/3 oraz T/3 Typ sieci m α [ " ] m [ mm d ] Liczba wyzn. punktów N 1 T ( A PA) M 1 T ( A PA) R hiperkuli r max r min R hiperkuli r max K/3/3/ K/3/3/ K/3/3/ K/3/3/ T/3/3/ T/3/3/ T/3/3/ T/3/3/ K/3/6/ K/3/6/ K/3/6/ K/3/6/ T/3/6/ T/3/6/ T/3/6/ T/3/6/ K/3/9/ K/3/9/ K/3/9/ K/3/9/ T/3/9/ T/3/9/ T/3/9/ T/3/9/ r min Z danych zawartych w tabelach 3 i 4 wynika jednoznacznie, że dokładność analizowanych sieci jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości parametru R wyznaczonego na poziomie ufności równym Z porównania wartości tego parametru z wielkościami maksymalnych błędów m p max w analizowanych sieciach wynika, że przy zastosowaniu konstrukcji

9 zbliżonych do rozpatrywanych, wielkość maksymalnego błędu położenia punktu nie przekroczy zasadniczo 25% wartości R. Tabela 4 Wyniki badań modelowych sieci typu K/5 oraz T/7 Typ sieci m α [ " ] m [ mm d ] Liczba wyzn. punktów 1 ( ) T N ( A PA) M T A PA hiperkuli R r max r min R hiperkuli r max K/5/3/ K/5/3/ K/5/3/ K/5/3/ T/7/3/ T/7/3/ T/7/3/ T/7/3/ K/5/6/ K/5/6/ K/5/6/ K/5/6/ T/7/6/ T/7/6/ T/7/6/ T/7/6/ K/5/9/ K/5/9/ K/5/9/ K/5/9/ T/7/9/ T/7/9/ T/7/9/ T/7/9/ r min Literatura [1] Czaja J.: Nowa propozycja oceny mocy konstrukcji geodezyjnych. Prace Komisji Górniczo-Geodezyjnej PAN, Oddział w Krakowie, z. Geodezja nr 28, Kraków 1980 [2] Grafarend E. : Schätzung von Varianz und Kowarianz der Beobachtungen in geodätischen Ausgleichungsmodellen. Allgemeine Vermessung-Nachrichten. Karlsruhe 1978 [3] Latoś S.: Propozycja nowej charakterystyki dokładności sieci geodezyjnych, Geodezja, AGH, Kraków 1997 [4] Latoś S., Preweda E.: Analiza dokładności poziomych osnów geodezyjnych zakładanych metodą poligonową z wykorzystaniem tachimetrów elektronicznych. Geodezja, 3, AGH, Kraków, [5] Preweda E.: Ocena dokładności wyznaczenie przestrzennego położenia punktów metodą biegunową. Geodezja, 3, AGH, Kraków, [6] Preweda E.: System pomiaru, obliczeń i wizualizacji zmian geometrycznych obiektów powłokowych o powierzchni stopnia drugiego. Rozprawa doktorska, AGH, Kraków, 1994 [7] Rao. C. R. : Modele liniowe statystyki matematycznej. PWN, Warszawa [8] Schwarz H.R., Rutishauser H., Stiefel E. : Numerical Analysis of Symmetric Matrices. Prentice-Hall, Inc.Englewood Cliffs, New Jersy [9] Wilkinson J.H. : The Algebraic Eigenvalue Problem. Clerendon Press. Oxford 1965.

10 Stanisław Latoś Edward Preweda Katedra Informacji o Terenie Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska AGH Kraków Streszczenie Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych W pracy przeprowadzono rozważania dotyczące parametrów oceny dokładności poziomych osnów geodezyjnych, stosowanych na etapie projektowania konstrukcji oraz po wykonaniu pomiarów istniejących sieci. Przedstawiono zalety i wady stosowanych powszechnie jedno i kilku punktowych parametrów dokładnościowych oraz nowych parametrów, w postaci promienia koła i hiperkuli błędów. Szczególną uwagę zwrócono na problemy numeryczne pojawiające się podczas wyznaczania wielkości półosi hiperelipsoidy i promienia hiperkuli błędów oraz na potrzebę estymacji przedziałowej wyznaczanych parametrów. W załączonych tabelach przedstawiono wyniki badań modelowych.

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów, przedziały ufności etc

Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Liniowa MNK przypomnienie Wariancja parametrów Postulat Bayesa: rozkłady p-stwa dla parametrów Przypadek nieliniowy Przedziały ufności Rozkłady chi-kwadrat,

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE POZIOME OSNOWY GEODEZYJNE - PRZESZŁOŚĆ, STAN AKTUALNY I PRZYSZŁOŚĆ W ZAKRESIE ICH ZAKŁADANIA I FUNKCJONOWANIA

SZCZEGÓŁOWE POZIOME OSNOWY GEODEZYJNE - PRZESZŁOŚĆ, STAN AKTUALNY I PRZYSZŁOŚĆ W ZAKRESIE ICH ZAKŁADANIA I FUNKCJONOWANIA GEODEZJA TOM 9 ZESZYT 2/3 2003 Stanisław Latoś* SZCZEGÓŁOWE POZIOME OSNOWY GEODEZYJNE - PRZESZŁOŚĆ, STAN AKTUALNY I PRZYSZŁOŚĆ W ZAKRESIE ICH ZAKŁADANIA I FUNKCJONOWANIA 1. Słowo wstępne Osnowa, rozumiana

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006 , transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pcibis@o2.pl 23 marca 2006 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności 2 3 Etapy transformacji

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki?

Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? 1 Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? Sprawozdania należny oddać na kolejnych zajęciach laboratoryjnych. Każde opóźnienie powoduje obniżenie oceny za sprawozdanie o 0,

Bardziej szczegółowo

F = e(v B) (2) F = evb (3)

F = e(v B) (2) F = evb (3) Sprawozdanie z fizyki współczesnej 1 1 Część teoretyczna Umieśćmy płytkę o szerokości a, grubości d i długości l, przez którą płynie prąd o natężeniu I, w poprzecznym polu magnetycznym o indukcji B. Wówczas

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO

POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO SPOSTRZEŻENIA JEDNAKOWO DOKŁADNE. Spostrzeżenia jednakowo dokładne to takie, które wykonane są: tym samym przyrządem, tą samą metodą

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q

Bardziej szczegółowo

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej 1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między

Bardziej szczegółowo

Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji

Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Małgorzata Jakubowska Katedra Chemii Analitycznej WIMiC AGH Walidacja metod analitycznych (według ISO) to proces ustalania parametrów charakteryzujących

Bardziej szczegółowo

Badania wpływu charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na poprawne wyznaczenie nieoznaczoności w pozycjonowaniu GNSS-RTK

Badania wpływu charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na poprawne wyznaczenie nieoznaczoności w pozycjonowaniu GNSS-RTK Badania wpływu charakterystyki dokładnościowej korekt różnicowych na poprawne wyznaczenie nieoznaczoności w pozycjonowaniu GNSS-RTK Rozprawa doktorska Warszawa, 15 maja 214 r. Dominik Próchniewicz Politechnika

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

Sympozjum Trwałość Budowli

Sympozjum Trwałość Budowli Sympozjum Trwałość Budowli Andrzej ownuk ROJEKTOWANIE UKŁADÓW Z NIEEWNYMI ARAMETRAMI Zakład Mechaniki Teoretycznej olitechnika Śląska pownuk@zeus.polsl.gliwice.pl URL: http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium Zadanie nr 3 Osada autor: A Gonczarek Celem poniższego zadania jest zrealizowanie fragmentu komputerowego przeciwnika w grze strategiczno-ekonomicznej

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge Rok szkolny 2014/2015r.

Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge Rok szkolny 2014/2015r. Zakres wiadomości i umiejętności z przedmiotu GEODEZJA OGÓLNA dla klasy 1ge - Definicja geodezji, jej podział i zadania. - Miary stopniowe. - Miary długości. - Miary powierzchni pola. - Miary gradowe.

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA MIARA DOPASOWANIA W MODELU LINIOWYM

UOGÓLNIONA MIARA DOPASOWANIA W MODELU LINIOWYM UOGÓLNIONA MIARA DOPASOWANIA W MODELU LINIOWYM Wojciech Zieliński Katedra Ekonoetrii i Statystyki, SGGW Nowoursynowska 159, PL-0-767 Warszawa wojtekzielinski@statystykainfo Streszczenie: W odelu regresji

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -

Bardziej szczegółowo

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Krzysztof Karsznia Leica Geosystems Polska XX Jesienna Szkoła Geodezji im Jacka Rejmana, Polanica

Bardziej szczegółowo

Aerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli

Aerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Aerotriangulacja 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Definicja: Cel: Kameralne zagęszczenie osnowy fotogrametrycznej + wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej

Bardziej szczegółowo

Konieczne Podstawowe Rozszerzające Dopełniające Wykraczające

Konieczne Podstawowe Rozszerzające Dopełniające Wykraczające 12 OSIĄGNIĘCIA PONADPRZEDMIOTOWE W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 2 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu tworzyć teksty w stylu wykorzystywać

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU Uniwersytet Rzeszowski WYDZIAŁ KIERUNEK Matematyczno-Przyrodniczy Fizyka techniczna SPECJALNOŚĆ RODZAJ STUDIÓW stacjonarne, studia pierwszego stopnia KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU NAZWA PRZEDMIOTU WG PLANU

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

WYKRESY SPORZĄDZANE W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH:

WYKRESY SPORZĄDZANE W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH: WYKRESY SPORZĄDZANE W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH: Zasada podstawowa: Wykorzystujemy możliwie najmniej skomplikowaną formę wykresu, jeżeli to możliwe unikamy wykresów 3D (zaciemnianie treści), uwaga na kolory

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa

Bardziej szczegółowo

KILKA UWAG DO ANALZY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA INFORMACJI RYNKOWYCH **

KILKA UWAG DO ANALZY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA INFORMACJI RYNKOWYCH ** GEODEZJA TOM 6 ZESZYT 2 2000 332.852:519.2 Józef Czaja *, Edward Preweda * KILKA UWAG DO ANALZY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA INFORMACJI RYNKOWYCH ** 1. Studium pojęć W ostatnim okresie środowisko rzeczoznawców

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014 I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie zależności współczynnika załamania światła od długości fali światła

Wyznaczanie zależności współczynnika załamania światła od długości fali światła Ćwiczenie O3 Wyznaczanie zależności współczynnika załamania światła od długości fali światła O3.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zbadanie zależności współczynnika załamania światła od długości fali

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA*KARTOGRAFIA*GEOINFORMATYKA

GEODEZJA*KARTOGRAFIA*GEOINFORMATYKA www.geonet.net.pl GEODEZJA*KARTOGRAFIA*GEOINFORMATYKA Roman J. Kadaj Przykład wyrównania fragmentu sieci III klasy w układach 1965, 1992, 2000/18 [ Publikacja internetowa, www.geonet.net.pl, ALGORES-SOFT,

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 2 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym tworzyć teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Ć W I C Z E N I E N R M-2 INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

SINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION

SINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION SINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION MOŻLIWOŚCI WYDOBYCIA INFORMACJI 3D Z POJEDYNCZYCH WYSOKOROZDZIELCZYCH OBRAZÓW SATELITARNYCH J. Willneff, J. Poon, C. Fraser Przygotował:

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Studia na sekcji przygotowują do praktycznego posługiwania się narzędziami informatycznymi począwszy od systemów operacyjnych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 7 23 listopada 2009 Wykład 6 (16.XI.2009) zakończył się zdefiniowaniem współczynnika korelacji: E X µ x σ x Y µ y σ y = T WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI ρ X,Y = ρ Y,X (!) WSPÓŁCZYNNIK

Bardziej szczegółowo

Generacja liczb pseudolosowych

Generacja liczb pseudolosowych Generacja liczb pseudolosowych Zapis liczb w komputerze Generatory liczb pseudolosowych Liniowe kongruentne Liniowe mutiplikatywne kongruentne Jakość generatorów Test widmowy Generowanie liczb losowych

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

7. Wyznaczanie poziomu ekspozycji

7. Wyznaczanie poziomu ekspozycji 7. Wyznaczanie poziomu ekspozycji Wyznaczanie poziomu ekspozycji w przypadku promieniowania nielaserowego jest bardziej złożone niż w przypadku promieniowania laserowego. Wynika to z faktu, że pracownik

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ TRANSPORTU KATEDRA LOGISTYKI I TRANSPORTU PRZEMYSŁOWEGO NR 1 POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO Katowice, październik 5r. CEL ĆWICZENIA Poznanie zjawiska przesunięcia fazowego. ZESTAW

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

EDWARD PREWEDA RACHUNEK WYRÓWNAWCZY MODELE STATYSTYCZNE. i:::::>

EDWARD PREWEDA RACHUNEK WYRÓWNAWCZY MODELE STATYSTYCZNE. i:::::> EDWARD PREWEDA RACHUNEK WYRÓWNAWCZY i:::::> MODELE STATYSTYCZNE Kraków 2013 Recenzenci: prof. dr hab. inż. Józef Czaja prof. dr hab. inż. Karol Noga Afiliacja autora AGH Akademia Górniczo - Hutnicza Copyright

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 41 POMIARY PRZY UŻYCIU GONIOMETRU KOŁOWEGO. Wprowadzenie teoretyczne

ĆWICZENIE 41 POMIARY PRZY UŻYCIU GONIOMETRU KOŁOWEGO. Wprowadzenie teoretyczne ĆWICZENIE 4 POMIARY PRZY UŻYCIU GONIOMETRU KOŁOWEGO Wprowadzenie teoretyczne Rys. Promień przechodzący przez pryzmat ulega dwukrotnemu załamaniu na jego powierzchniach bocznych i odchyleniu o kąt δ. Jeżeli

Bardziej szczegółowo

metoda momentów, Wartość oczekiwana (pierwszy moment) dla zmiennej o rozkładzie γ(α, λ) to E(X) = αλ, drugi moment (wariancja) to

metoda momentów, Wartość oczekiwana (pierwszy moment) dla zmiennej o rozkładzie γ(α, λ) to E(X) = αλ, drugi moment (wariancja) to 3.1 Wprowadzenie do estymacji Ile mamy czerwonych krwinek w krwi? Ile karpi żyje w odrze? Ile ton trzody chlewnej będzie wyprodukowane w przyszłym roku? Ile białych samochodów jeździ ulicami Warszawy?

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Zjawisko Halla Referujący: Tomasz Winiarski

Zjawisko Halla Referujący: Tomasz Winiarski Plan referatu Zjawisko Halla Referujący: Tomasz Winiarski 1. Podstawowe definicje ffl wektory: E, B, ffl nośniki ładunku: elektrony i dziury, ffl podział ciał stałych ze względu na własności elektryczne:

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo