Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych

Transkrypt

1 ZN AR, XIV, 324. Geodezja i Urządzenia Rolne, Wrocław, 1997 Stanisław Latoś Edward Preweda Katedra Informacji o Terenie Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska AGH Kraków Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych Dla różnych celów, przy rozważaniach zarówno teoretycznych jak i praktycznych, na różnych etapach projektowania i zakładania osnów geodezyjnych, niezbędna jest znajomość charakterystyki dokładnościowej i technologii realizacji projektowanej konstrukcji geometrycznej. Powszechnie wyznacznikiem decydującym o przydatności i możliwości zastosowania określonej konstrukcji i technologii realizacji poziomych osnów geodezyjnych jest możliwa do osiągnięcia dokładność realizacji tych osnów. Dlatego też wybór optymalnej konstrukcji i technologii zakładania osnów powinien być zawsze dokonany na podstawie analizy parametrów wybranych charakterystyk dokładnościowych, z uwzględnieniem możliwości jakie stwarza nowoczesny sprzęt pomiarowo-obliczeniowy. W efekcie finalnym nie bez znaczenia są również efekty ekonomiczne realizacji całego przedsięwzięcia oraz przydatność, łatwość i prostota korzystania z nich w praktyce. Na etapie projektowania osnów geodezyjnych oraz przy ocenie dokładności istniejących sieci korzysta się z różnych parametrów dokładnościowych. W pracy przeprowadzono rozważania na temat parametrów oceny dokładności poziomych osnów geodezyjnych, zwracając również uwagę na niektóre uwarunkowania numeryczne oraz potrzebę estymacji przedziałowej wyznaczanych parametrów. Dla oceny dokładności sieci geodezyjnych obecnie podaje się charakterystyki jedno oraz dwu lub trzypunktowe. W praktyce, najczęściej korzysta się z charakterystyki jednopunktowej w postaci wartości: błędów średnich m, m współrzędnych x, y poszczególnych punktów sieci, x y błędu wyznaczenia położenia poszczególnych punktów m = m + m 2 2 p x y, parametrów elips błędu średniego A, B i ϕ. Ostatnio proponuje się [3] dokonywać oceny dokładności za pomocą: wielkości promienia koła błędów wyznaczenia poszczególnych punktów sieci, wielkości promienia hiperkuli błędów. Czasem, szczególnie dla osnów wyższych klas, podaje się ich charakterystyki dwu lub trzypunktowe, za pomocą wartości parametrów elips błędu: względnego, określającego dokładność względnego wyznaczenia dwóch rozpatrywanych punktów, czyli długości i kierunku, a więc skali i orientacji sieci, Praca powstała w wyniku realizacji projektu badawczego nr 9 T12E finansowanego przez KBN

2 średniego, określającego dokładność wzajemnego położenia wierzchołka rozpatrywanego kąta w stosunku do punktów wyznaczających jego lewe i prawe ramię, czyli kształtu sieci - przy analizie błędów wzajemnego położenia trzech wybranych punktów sieci. Każda z wymienionych charakterystyk dokładnościowych posiada określone własności. W praktyce użytkownika sieci geodezyjnych najczęściej interesują parametry charakteryzujące dokładność wzajemnego położenia niewielkiej grupy punktów wzajemnie bliskich, tworzących określony fragment sieci, z których korzysta się przy nawiązywaniu osnów niższych klas czy rzędów, niezbędnych do prowadzenia pomiarów szczegółowych. Pewnej informacji w takim zakresie dostarczają parametry charakterystyki dwu lub trzypunktowej. Niektóre parametry charakterystyki jednopunktowej, głównie wartości błędów mx i my, są niepełne, a nawet mylące jeśli nie są uzupełnione informacją o ustaleniu układu współrzędnych. Nie uwzględniają one również zależności korelacyjnych pomiędzy współrzędnymi punktów sąsiadujących, co powoduje, że wartości wspomnianych charakterystyk wyznacza się często ze stosunkowo małą precyzją. Wspomniane powyżej parametry są jednak najprostszymi charakterystykami dokładności sieci określanymi powszechnie przy uzgadnianiu wyników obserwacji sieci geodezyjnych. Należy również podkreślić, że są one zgodne z dotychczasowymi normami i przyzwyczajeniami oraz, że pozwalają w prosty sposób na usystematyzowanie i klasyfikację poszczególnych punktów i całych sieci z nich utworzonych. Biorąc pod uwagę wady i zalety przedstawionej powyżej najprostszej jednopunktowej charakterystyki dokładnościowej sieci, zaproponowano do ich oceny stosować parametr który w znacznym stopniu ograniczy wspomniane powyżej niedoskonałości i wady [3]. Parametrem tym może być promień r koła błędów wyznaczenia położenia poszczególnych punktów sieci, liczony z zależności ( [ Q ii ]) r = det (1) gdzie Q ii jest macierzą wariancyjno-kowariancyjną o wymiarach 2 2 dla współrzędnych i- tego punktu sieci. Można wykazać, że parametr r nie zależy od zmiany układu współrzędnych, a w interpretacji geometrycznej jest to promień koła o powierzchni równej polu elipsy błędu wyznaczenia położenia punktu w sieci. 1/ 4 Rys. 1

3 Zależności geometryczne pomiędzy dotychczasowymi parametrami jednopunktowej charakterystyki sieci i proponowanym parametrem r pokazano graficznie na rysunku 1. Na rysunkach 2 i 3 przedstawiono graficzną ilustrację wyników analiz dokładności wybranych konstrukcji sieci za pomocą elips i kół błędów, przy określonych kryteriach dokładnościowych pomiaru elementów wyznaczających. Z zależności przedstawionych na rysunku 1 wynika, że mx + my = mp = A + B (2) Na podstawie rys.1 widać też, że w okręgu o promieniu m p mieści się zawsze elipsa błędu. Nie pozwala on jednak określić ekstremalnych kierunków występowania błędu, zaś różnica pola powierzchni tego koła i pola powierzchni elipsy może być dość znaczna, w zależności od stosunku długości półosi elipsy. Rys. 2 Analiza dokładności sieci typu T/3/3/1 za pomocą elips i kół błędów Rys. 3 Analiza dokładności sieci typu K/3/3/6 za pomocą elips i kół błędów

4 Promień koła błędu nie pozwala również określić ekstremalnych kierunków ich występowania, ale wyznacza obszar którego pole powierzchni jest zawsze równe polu powierzchni elipsy błędu. Z tego względu parametr r może być stosowany do oceny dokładności osnów zważywszy, że przy ocenie tej bierzemy pod uwagę stopień prawdopodobieństwa z jakim wyznaczany punkt znajdzie się w tym kole. Wymienione powyżej parametry jedno i wielopunktowej charakterystyki dokładności sieci geodezyjnych mają charakter lokalny. Odnoszą się bowiem do pojedynczych punktów lub małych zespołów stanowiących najczęściej fragment sieci. W rozważaniach teoretycznych o charakterze eksperymentalnym, najlepiej jest posługiwać się parametrem który mieć będzie charakter globalny, niezależny od orientacji sieci. Charakter taki posiada promień hiperkuli błędów liczony z zależności ( { }) R = det cov( X) 1 4 (3) gdzie n oznacza liczbę wyznaczanych punktów w sieci dla których jest określona macierz wariancyjno-kowariancyjna cov( X). Z wyznaczeniem tego parametru łączą się jednak pewne problemy numeryczne, zaś jego interpretacja wymaga pewnych wyjaśnień. Współrzędne punktów osnowy wyznacza się w przestrzeni dwuwymiarowej na podstawie wyników pomiarów kątowo-długościowych. Układ równań obserwacyjnych, sprowadzony do postaci liniowej, ma postać: Ax + ε = w (4) gdzie A - macierz współczynników układu równań obserwacyjnych, x - wektor niewiadomych (przyrostów do przybliżonych współrzędnych punktów), w - wektor wyrazów wolnych określony na podstawie obserwacji, ε - wektor losowy o wartości oczekiwanej E( ε ) = 0 i macierzy kowariancji Cov( w). Estymację punktową, prowadzącą do znalezienia nieobciążonego estymatora x wektora niewiadomych, przeprowadza się metodą najmniejszych kwadratów, realizując warunek T T F = ε P ε = ( w Ax) P ( w Ax) minimum (5) przy czym P = Cov( w) jest macierzą współczynników wagowych w sensie Markowa dla wielkości obserwowanych. Spełnienie warunku (5) prowadzi do wzoru na estymator wektora niewiadomych T 1 T x = ( A PA) A P w (6) oraz macierz wariancyjno-kowariancyjną tego estymatora: Cov( x ) = E (( x - x)( x - x) ) ( A = σ 2 1 PA) (7) Nieobciążony estymator wariancji σ 2 określa się z zależności σ 2 = 2 T w Ax ε P ε = n u n u (8) gdzie (n-u) - liczba spostrzeżeń nadliczbowych. Dla oceny dokładności osnowy geodezyjnej wyznacza się, na podstawie macierzy (7), najczęściej średnie błędy współrzędnych i średnie błędy położenia punktów. Niekiedy, określa się dokładność położenia wyznaczanych punktów sieci za pomocą elips stałej gęstości prawdopodobieństwa oraz elips określających dokładność względnego wyznaczenia dwóch czy trzech punktów. Dokładność całej sieci można wyrazić za pomocą półosi hiperelipsoidy lub promienia hiperkuli błędu. Parametry te mają charakter niezmienniczy i opisują moc konstrukcji całej sieci za pomocą jednej wartości. / n

5 Należy zauważyć, że wartości uzyskiwane na podstawie rozwiązania układu (5) są obarczone pewnym błędem, wynikającym z tytułu nieprecyzyjnego oszacowania błędów pomiarowych oraz z tytułu obliczeń numerycznych. Błędy te wpływają zarówno na estymowany wektor niewiadomych, jak i na ocenę dokładności wyznaczanych parametrów. Błędy numeryczne nie powinny przekraczać błędów wynikających z niezbyt dokładnego oszacowania błędów pomiaru. Przy obecnej technice komputerowej można spełnić powyższe wymagania, stosując odpowiednie, stabilne algorytmy obliczeniowe. Pewne problemy natury technicznej pojawiają się jednak podczas przekształcania macierzy wariancyjnokowariancyjnej w celu wyznaczenia dodatkowych parametrów charakteryzujących dokładność osnowy geodezyjnej, takich jak półosie hiperelipsoidy błędów czy promień hiperkuli błędów. Na podstawie rozważań teoretycznych popartych licznymi eksperymentami można stwierdzić, że problemy te są tym większe, im lepsza jest dokładność sieci geodezyjnej. W metodach numerycznych znane jest pojęcie uwarunkowania zadania, którym określa się wrażliwość poszukiwanego rozwiązania na zmiany parametrów. Pojęcie to wykorzystamy w celu określania własności różnych typów projektowanych sieci geodezyjnych. Dla oceny wpływu zaburzeń danych na zaburzenia rozwiązania układu można zastosować różne wskaźniki uwarunkowania [6], [8], [9]. W przypadku analizy macierzy kwadratowych można skorzystać ze wskaźników Turing'a M( A) i N( A ), Von Neuman'a-Goldstin'ea P( A ) czy na przykład z wyznacznika ze znormalizowanego układu równań W( A ). W niniejszej pracy stosuje się parametry: gdzie A = ( a ij ) - jest macierzą n n oraz A 1 = ( α ij ) - jest odwrotnością macierzy A 1 2. M( A ) = n max a max α (9) i j N( A) = n A A ij i j 1 1 przy czym A = 2 a ij ij Pomiędzy powyższymi wskaźnikami zachodzą relacje: M( A) N( A) M( A) ( dla n 10) (11) 2 n T Jeżeli powyższe parametry określimy dla macierzy A PA, wówczas dają nam one pogląd na zagadnienie uwarunkowania tej macierzy w sensie wyznaczenia jej odwrotności, a zatem w sensie oceny dokładności estymowanych parametrów. Z tego względu, wskaźniki uwarunkowania umieszczono w dalszej części pracy obok innych parametrów charakteryzujących moc sieci. Można wykazać, że dla dobrze uwarunkowanej macierzy, odpowiednie wskaźniki powinny być rzędu: M( A) = n log n N( A) = n Z powyższych zależności wynika, że dobre uwarunkowanie macierzy A jest pojęciem względnym, zależnym od stopnia n macierzy A. Ponieważ zależy nam na możliwości porównywania tych parametrów dla sieci o różnej liczbie punktów, autor [5] proponuje wprowadzić modyfikację zależności (12) w następujący sposób: ij (10) (12)

6 1 M( A) M ( A) = n log n (13) 1 N( A) N ( A) = n Dzięki temu zabiegowi, dobrze uwarunkowane macierze powinny mieć wskaźniki M 1 ( A) i N 1 ( A ) równe jedności. Problemy numeryczne sprawić może wyznaczenie wartości własnych i wyznacznika macierzy wariancyjno-kowariancyjnej. Przykładowo, dla sieci K/3/3/0.1/20/10 wyznacznik ten wynosi około 1.6E-892, zaś dla sieci K/3/3/0.1/10/5 - około 2.5E Na podstawie tych tylko przykładów można stwierdzić, że obliczenia muszą być prowadzone z bardo wysoką precyzją. W niniejszej pracy wykorzystano program [5] napisany w języku Borland Pascal. Aby zrealizować omawiane zadanie konieczne było zastosowanie typu Extended, co oznacza prowadzenie obliczeń na miejscach znaczących i możliwość przyjmowania przez zmienne wartości w zakresie od 3.4E-4932 do 1.1E4932. W przypadku zastosowania typu rzeczywistego Real, zmienne mogą przyjmować wartości z zakresu od 2.9E-39 do1.7e38, a na przykład zmienne typu Double - wartości od 5.0E-324 do 1.7E308. Na rysunkach 4 i 6 przedstawiono graficzną prezentację rozkładu wartości własnych dla sieci modelowej typu K/3/3/0.1, przy różnych projektowanych błędach pomiaru kątów i długości. Na rysunkach 5 i 7 zamieszczono dla tych konstrukcji rozkład półosi hiperelipsoidy błędów. Wartość własna 0,0080 0,0070 0,0060 0,0050 0,0040 0,0030 0,0020 0,0010 0,0000 Kolejne wartości własne zestawione od największej do najmniejszej Rys.4 Rozkład wartości własnych dla sieci typu K/3/3/0.1/20/10 Długość półosi w 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 Kolejne półosie zestawione od największej do najmniejszej Rys. 5 Rozkład półosi hiperelipsoidy dla sieci typu K/3/3/01/20/10

7 0,0020 Wartość własna 0,0015 0,0010 0,0005 0,0000 Kolejne wartości własne zestawione od największej do najmniejszej Rys.6 Rozkład wartości własnych dla sieci typu K/3/3/0.1/10/5 Długość półosi w 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 Kolejne półosie zestawione od największej do najmniejszej Rys. 7 Rozkład półosi hiperelipsoidy dla sieci typu K/3/3/01/10/5 W tabeli 1 zamieszczono podstawowe charakterystyki liczbowe analizowanych powyżej konstrukcji. Tabela 1 Typ sieci Charakterystyki liczbowe konstrukcji typu K/3/3/0.1/20/10 i K/3/3/0.1/10/5 Wartość własna Półoś hiperelipsoidy R hiperkuli max min max/min max min śr. aryt. K/3/3/0.1/20/ E E K/3/3/0.1/10/5 1.95E E Uwarunkowanie macierzy kowariancji w przypadku obydwu sieci jest takie samo, gdyż sieć druga ma w stosunku do pierwszej macierz kowariancji dla obserwacji Cov( w 2 ) = 05. Cov( w1), a jak wiadomo, skalowanie macierzy nie wpływa na zmianę jej uwarunkowania. Wszystkie parametry opisujące dokładność sieci geodezyjnych wyznaczane są na określonym poziomie prawdopodobieństwa. Wiadomo, że wartości błędów średnich współrzędnych poszczególnych punktów wyznaczone są na poziomie około 0.68, natomiast elipsy błędów i koła błędów wyznaczone są z prawdopodobieństwem P=0.39. W przypadku hiperelipsoidy ufności i hiperkuli błędów poziom prawdopodobieństwa uzależniony jest od liczby wyznaczanych punktów, a ściślej od stopnia macierzy wariancyjno-kowariancyjnej. Można wykazać (por. tabela 2), że prawdopodobieństwo to wraz ze wzrostem liczby niewiadomych maleje do zera. Tabela 2 Zależność poziomu prawdopodobieństwa od liczby stopni swobody Liczba stopni swobody Poziom prawdopodobieństwa <<0.001

8 Na podstawie powyższego stwierdza się, że globalne parametry oceny dokładności sieci geodezyjnych można porównywać tylko w przypadku jednakowej liczby punktów. Aby wykorzystać jednopunktowe charakterystyki sieci w celu porównywania różnych konstrukcji, proponuje się sprowadzenie tychże parametrów do jednej przestrzeni probablistycznej, wykorzystując do tego celu estymację przedziałową. Niektóre wyniki przeprowadzonych obliczeń i analiz rozpatrywanych sieci przedstawiono w tabelach 3 i 4. Wielkości proponowanych parametrów, promienia hiperkuli błędów oraz maksymalnych i minimalnych promieni kół błędów wyznaczonych na określonym poziomie prawdopodobieństwa, nie są dotychczas przyjmowane jako kryterium oceny dokładności realizowanych osnów. Do oceny tej używa się powszechnie wartości średnich błędów położenia punktów. Stąd obecnie, parametry R, rmax i rmin mogą być używane wprost tylko do oceny względnej dokładności sieci porównywanych ze sobą. Mogą też być parametrem oceny bezwzględnej dokładności analizownych osnów, po ustaleniu empirycznie współczynnika korelacji tych wielkości z wartościami m p, a szczególnie m p max, określonego dla danego typu osnowy w obowiązujących instrukcjach. Tabela 3 Wyniki badań modelowych sieci typu K/3 oraz T/3 Typ sieci m α [ " ] m [ mm d ] Liczba wyzn. punktów N 1 T ( A PA) M 1 T ( A PA) R hiperkuli r max r min R hiperkuli r max K/3/3/ K/3/3/ K/3/3/ K/3/3/ T/3/3/ T/3/3/ T/3/3/ T/3/3/ K/3/6/ K/3/6/ K/3/6/ K/3/6/ T/3/6/ T/3/6/ T/3/6/ T/3/6/ K/3/9/ K/3/9/ K/3/9/ K/3/9/ T/3/9/ T/3/9/ T/3/9/ T/3/9/ r min Z danych zawartych w tabelach 3 i 4 wynika jednoznacznie, że dokładność analizowanych sieci jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości parametru R wyznaczonego na poziomie ufności równym Z porównania wartości tego parametru z wielkościami maksymalnych błędów m p max w analizowanych sieciach wynika, że przy zastosowaniu konstrukcji

9 zbliżonych do rozpatrywanych, wielkość maksymalnego błędu położenia punktu nie przekroczy zasadniczo 25% wartości R. Tabela 4 Wyniki badań modelowych sieci typu K/5 oraz T/7 Typ sieci m α [ " ] m [ mm d ] Liczba wyzn. punktów 1 ( ) T N ( A PA) M T A PA hiperkuli R r max r min R hiperkuli r max K/5/3/ K/5/3/ K/5/3/ K/5/3/ T/7/3/ T/7/3/ T/7/3/ T/7/3/ K/5/6/ K/5/6/ K/5/6/ K/5/6/ T/7/6/ T/7/6/ T/7/6/ T/7/6/ K/5/9/ K/5/9/ K/5/9/ K/5/9/ T/7/9/ T/7/9/ T/7/9/ T/7/9/ r min Literatura [1] Czaja J.: Nowa propozycja oceny mocy konstrukcji geodezyjnych. Prace Komisji Górniczo-Geodezyjnej PAN, Oddział w Krakowie, z. Geodezja nr 28, Kraków 1980 [2] Grafarend E. : Schätzung von Varianz und Kowarianz der Beobachtungen in geodätischen Ausgleichungsmodellen. Allgemeine Vermessung-Nachrichten. Karlsruhe 1978 [3] Latoś S.: Propozycja nowej charakterystyki dokładności sieci geodezyjnych, Geodezja, AGH, Kraków 1997 [4] Latoś S., Preweda E.: Analiza dokładności poziomych osnów geodezyjnych zakładanych metodą poligonową z wykorzystaniem tachimetrów elektronicznych. Geodezja, 3, AGH, Kraków, [5] Preweda E.: Ocena dokładności wyznaczenie przestrzennego położenia punktów metodą biegunową. Geodezja, 3, AGH, Kraków, [6] Preweda E.: System pomiaru, obliczeń i wizualizacji zmian geometrycznych obiektów powłokowych o powierzchni stopnia drugiego. Rozprawa doktorska, AGH, Kraków, 1994 [7] Rao. C. R. : Modele liniowe statystyki matematycznej. PWN, Warszawa [8] Schwarz H.R., Rutishauser H., Stiefel E. : Numerical Analysis of Symmetric Matrices. Prentice-Hall, Inc.Englewood Cliffs, New Jersy [9] Wilkinson J.H. : The Algebraic Eigenvalue Problem. Clerendon Press. Oxford 1965.

10 Stanisław Latoś Edward Preweda Katedra Informacji o Terenie Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska AGH Kraków Streszczenie Geometryczna interpretacja i własności jednopunktowej oraz globalnej charakterystyki dokładności poziomych sieci geodezyjnych W pracy przeprowadzono rozważania dotyczące parametrów oceny dokładności poziomych osnów geodezyjnych, stosowanych na etapie projektowania konstrukcji oraz po wykonaniu pomiarów istniejących sieci. Przedstawiono zalety i wady stosowanych powszechnie jedno i kilku punktowych parametrów dokładnościowych oraz nowych parametrów, w postaci promienia koła i hiperkuli błędów. Szczególną uwagę zwrócono na problemy numeryczne pojawiające się podczas wyznaczania wielkości półosi hiperelipsoidy i promienia hiperkuli błędów oraz na potrzebę estymacji przedziałowej wyznaczanych parametrów. W załączonych tabelach przedstawiono wyniki badań modelowych.