Wyprowadzenie wzorów na impedancję w dwójniku RLC. ( ) Przez dwójnik przepływa przemienny prąd elektryczny sinusoidalnie zmienny opisany równaniem:

Transkrypt

1 Wyprowadzenie wzorów na impedancję w dwójniku RLC. Dwójnik zbudowany jest z rezystora, kondensatora i cewki. Do zacisków dwójnika przyłożone zostało napięcie sinusoidalnie zmienne. W wyniku przyłożonego napięcie przez obwód przepływa prąd sinusoidalnie zmienny. Przez dwójnik przepływa przemienny prąd elektryczny sinusoidalnie zmienny opisany równaniem: Gdzie: Wzory które będą używane do wyznaczenia napięć w obwodzie są następujące: Strona 1 z 6

2 Wszystkie elementy w dwójniku połączone są szeregowo. Cechą układu szeregowego jest ten sam prąd, który przepływa przez wszystkie elementy. Napięcia na poszczególnych elementach wyznaczymy za pomocą przedstawionych powyżej wzorów. Napięcie na rezystorze wyznaczone będzie w oparciu o prawo Ohma. Napięcie na rezystorze: Napięcie na cewce: Na początku wyznaczonej pochodnej pojawiło się wyrażenie indukcyjna., jest to reaktancja Uwzględniając wyrażenie na reaktancję indukcyjną Zauważyć może że napięcie na cewce wyprzedza w fazie prąd przepływający przez nią. Napięcie na cewce można zapisać w postaci: Napięcie na kondensatorze: Po obliczeniu całki z przodu wyrażenie otrzymaliśmy czynnik ; jest to reaktancja pojemnościowa. Jak można zauważyć przebieg napięcia na kondensatorze opisany jest funkcją przemnożoną przez wartości stałe. Z trygonometrii mamy zależność Strona 2 z 6

3 kondensatorze możemy zapisać w postaci: ; wobec tego wyrażenie opisujące przebieg napięcia na Zauważyć można że napięcie na kondensatorze opóźnia się w fazie względem prądu przepływającego przez kondensator. Wzory ogólne zostały już wyprowadzone, teraz przeprowadzona zostanie symulacja w programie MATLAB. Zakładamy że elementy składowe obwodu są elementami idealnymi, oznacza to że nie posiadają żadnych parametrów pasożytniczych. Przykładowo rzeczywisty rezystor posiada pasożytniczą pojemność oraz pasożytniczą indukcyjność, jednak do pewnej wartości częstotliwości możemy je zaniedbać. Symulacja przeprowadzona została dla następujących parametrów: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Strona 3 z 6

4 Rysunek 1. Przebieg prądu i napięcia na rezystorze R. Zamieszony powyżej wykres przedstawia prąd i napięcie na rezystorze prąd i napięcie rezystora są zgodne w fazie.. Zauważyć można że Rysunek 2. Przebieg prądu i napięcia na cewce L. Strona 4 z 6

5 Na rysunku 2 zamieszczony jest przebieg prądu i napięcia na cewce. Zauważyć można że napięcie na cewce wyprzedza w fazie prąd o kąt. Rysunek 3. Przebieg prądu i napięcia na kondensatorze C. Rysunek 3 przedstawia przebieg prądu i napięcia na kondensatorze. Zauważyć można że napięcie na kondensatorze opóźnia się w fazie względem prądu o kąt. Na zamieszczonych powyżej trzech wykresach zamieszczone są przebiegi prądu i napięcia na poszczególnych elementach rozważanego obwodu elektrycznego. Obwód elektryczny z tego przykładu jest obwodem szeregowym, oznacza to że poprzez wszystkie elementy przepływa ten sam prąd. Wartość i charakterystyka prądu elektrycznego jest taka sama dla wszystkich elementów. Strona 5 z 6

6 Impedancję w analizie obwodów przedstawiamy w postaci wektorowej z wykorzystaniem liczb zespolonych. Gdzie jest jednostką urojoną Ponieważ składowe impedancji sumują się geometrycznie więc jej wartość liczbowa jest opisana następującą zależnością: Rysunek 4. Wykres wektorowy składowych impedancji obwodu. Obwód rozpatrywany w przykładzie posiada dla częstotliwości [ ] równe wartości reaktancji indukcyjnej i reaktancji pojemnościowej. Obie dla [ ] mają wartość równą [ ]. Obwód elektryczny znajduje się w stanie rezonansu prądu, ponieważ reaktancja pojemnościowa i reaktancja indukcyjna się w kompensują. W tym szczególnym przypadku wartość prądu przepływającego przez obwód będzie największa. [ ] Strona 6 z 6