MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 38, s , Gliwice 2009

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 38, s , Gliwice 9 ZASOSOWANIE MEODY HYBRYDOWEJ DO ROZWIĄZANIA ZAGADNIENIA ODWRONEGO WYKORZYSANEGO W WYZNACZANIU KIERUNKOWCH WŁAŚCIWOŚCI CIEPLNYCH CIAŁ OROROPOWYCH OPYMALIZACJA EKSPERYMENU SANISŁAW KUCYPERA Instytut echniki Cieplnej, Politechnika Śląska kucypera@itc.polsl.pl Strescenie. Współceśnie produkowane materiały aniotropowe są najcęściej kompoytami wielowarstwowymi o periodycnie powtaalnej struktue, która powala traktować je jako jednorodne materiały ortotropowe o średnich parametrach termofiycnych. Wartości tych parametrów ależą od wielu cynników, np.: właściwości cieplnych włókien nośnych i lepiscy użytych do ich połącenia, co uniemożliwia wynacanie ich metodami teoretycnymi. Dlatego w pracy do wynacania wielu parametrów termofiycnych w trakcie wykonywania jednego eksperymentu aproponowano rowiąanie odwrotnego agadnienia pewodenia ciepła metodą hybrydową. Pedstawiono wybrane wyniki badań. 1. WSĘP Współcesna inżynieria materiałowa wymusa sybki rowój nowych, bardiej dokładnych i uniwersalnych metod identyfikacji parametrów cieplnych produkowanych materiałów. Dużą cęść tych materiałów stanowią materiały aniotropowe (kompoyty) o właściwościach cieplnych nacnie różniących się od właściwości cieplnych materiałów składowych. Jednak ich cechą charakterystycną jest to, że posiadają one periodycnie powtaalną strukturę i można je traktować jako jednorodne materiały ortotropowe o średnich parametrach termofiycnych, które ależą od wielu cynników, np.: właściwości cieplnych włókien nośnych, ich orientacji i kstałtu w materiale ora właściwości cieplnych i udiału lepiscy (maciey) użytych do ich połącenia. Nie jest więc możliwe wynacenie ich metodami cysto teoretycnymi. Dlatego w pracy do wynacenia tych parametrów połącono metodę eksperymentalną metodą odwrotną pewodenia ciepła. Połącenie takie umożliwia wynacanie wielu parametrów termofiycnych w trakcie wykonywania jednego eksperymentu. Ogólnie metody odwrotne pewodenia ciepła wykoystują pomiar temperatury w wybranych punktach badanej próbki w funkcji casu ora model matematycny opisujący nieustalony pepływ ciepła w badanej próbce. Model taki łący wielkości wynacane wielkościami mieonymi. W pracy dwuwymiarowy model matematycny sformułowano dla geometrii cylindrycnej stosując metodę bilansów elementarnych. Natomiast, odwrotne agadnienie pewodenia ciepła rowiąano metodą hybrydową. Dokładność i efektywność

2 11 S. KUCYPERA aproponowanej metody ora wrażliwość jej na dane wejściowe petestowano a pomocą eksperymentu numerycnego. W wyniku eksperymentu numerycnego wybrano optymalne wartości promienia strumienia ciepła ora licbę i położenie węłów pomiarowych temperatury. Następnie optymalne parametry eksperymentu ora aproponowany algorytm rowiąania agadnienia odwrotnego wykoystano do identyfikacji następujących parametrów termofiycnych: licby Fouriera Fo, ilorau składowej kierunkowej do osiowej współcynnika pewodenia ciepła k r /k, licby Biota Bi i strumienia ciepła Q. Pedstawiono wybrane wyniki badań.. SCHEMA GEOMERII PRÓBKI POMIAROWEJ ORAZ SFORMUŁOWANIE MODELU MAEMAYCZNEGO Na rys.1 pedstawiono kstałt analiowanej próbki pomiarowej ora sposób jej gania i chłodenia. źródło ciepła Q o (r,t) źr cujniki temperatury Rys. 1 Schemat analiowanej próbki pomiarowej wra warunkami begowym W casie t powiechnia górna próbki o wysokości H i promieniu r s była poddana osiowemu nagewaniu płaskim źródłem ciepła o promieniu r źr (r źr < r s ). Próbka wymieniała ciepło otoceniem pe powiechnię cylindrycną i powiechnie cołowe e współcynnikami wnikania ciepła odpowiednio (h r, h H, h ). Wprowadając mienne bewymiarowe: + + ' ' r = r / H; = / H; τ = t / t ; = ( ) / (1) ' gdie temperatura pocątkowa, a m fikcyjna temperatura obejmująca strumień ciepła Q. : Q t / c H 3 m = & ρ. () Dwuwymiarowy rokład temperatury w próbce opisuje nane równanie postaci [1]: 1 K = r + (3a) Fo τ r r r warunkami begowymi: Φ ( r, t) = + Bi dla = (3b) π rźr Fo = dla r = (3c) r = Bi dla = 1 (3d) m

3 ZASOSOWANIE MEODY HYBRYDOWEJ DO ROZWIĄZANIA ZAGADNIENIA = Bir dla r = r s (3e) r i warunkiem pocątkowym: = dla τ= (3f) gdie Fo jest osiową licbą Fouriera określoną następująco: a t Fo = (4) H K jest iloraem promieniowej do osiowej pewodności cieplnej: kr K =. (5) k Licby Biota odpowiadające powiechniom cylindrycnej r =r s i cołowym = i = H, są odpowiednio określone: α r H α H α h H Bir = ; Bi = ; BiH = ; (6) kr k k W badaniach pyjęto, że współcynniki ciepła hr = h H = h ora wprowadono licbę Biota Bi, która odpowiada powiechniom cołowym: Bi = BiH = Bi. (7) Stąd promieniowa licba Biota może być apisana następująco: Bi Bi r =. (8) K Strumień ciepła w formie normaliowanej na powiechni = jest określony ależnością: 1 gdy τ < 1 i < r < rźr Φ ( r, t) =. (9) gdy τ > 1 i r rźr Dyskretyacja próbki i astosowanie metody bilansów elementarnych umożliwiło apisanie modelu w postaci układu równań algebraicnych. 3. SFORMUŁOWANIE ODWRONEGO ZAGADNIENIA HYBRYDOWEGO Zagadnienie odwrotne sformułowano jako agadnienie optymaliacyjne, które rowiąano modyfikowanym algorytmem hybrydowym. Modyfikacja polegała na krokowym łąceniu metody miennej metryki metodą dynamicnej estymacji sekwencyjnej. W tym celu każdą długość kroku casowego międy krokiem k i k+1 pyjętą dla metody dynamicnej estymacji sekwencyjnej podielono na krótse kroki casowe i temperaturę mieono krótsymi krokami. Wyniki tych pomiarów wykoystano w metodie miennej metryki, a otymane wyniki obliceń ora wyniki pomiaru temperatury kroku k+1 astosowano w metodie dynamicnej estymacji sekwencyjnej dla poprawy identyfikowanych parametrów. Funkcję celu dla metody dynamicnej estymacji sekwencyjnej apisano w postaci: ~ 1 ~ 1 S y ) = F k yˆ Y V F yˆ Y + y yˆ G y y (11) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )) ( + 1/ k k k + 1 k + 1 k + 1/ k k k+ 1 k+ 1/ k k + 1/ k ˆ k + 1/ k gdie Y ~ wektor mieonych temperatur, F( y ˆ k ) wektor predykcji dla mieonych temperatur, G macie kowariancji błędów ocen wielkości estymowanych, V macie kowariancji błędów wielkości mieonych, a wektor stanu y awiera wsystkie identyfikowane wielkości, tn. N temperatur w węłach podiału różnicowego ora identyfikowane parametry: [,..., y = 1 N, K, Bi, Fo, m ]. (1) Natomiast funkcję celu dla metody miennej metryki apisano w postaci:

4 11 S. KUCYPERA kk MP obl mie obll mie obl mie ( t k ( p) t ) = [ t ( p) t ] [ t ( p) t ] min, f ( p ) =, i k, i k, i k, i k, i k, i (13) k= 1i= 1 gdie: MP licba punktów pomiarowych w układie pestennym próbki, kk licba obl mie kroków casowych, t,, t, oblicone i mieone temperatury w k tym kroku k i k i casowym ora i tym punkcie próbki W ropatrywanym pypadku wektor p obejmuje tylko identyfikowane parametry i ma postać: p = p p, p, p K, Bi, Fo, (14) [ ] [ ] 1, 3 4 = Sposób rowiąania agadnienia odwrotnego metodami dynamicnej estymacji sekwencyjnej i miennej metryki podano w [, 3]. Natomiast celem mniejsenia błędów wielkości pomiarowych, w pierwsej kolejności peprowadono optymaliację eksperymentu w oparciu o analię wrażliwości. Wględne współcynniki wrażliwości określa ależność [4]: i J i, j = p j. (15) p Z obliconych współcynników wrażliwości budowana jest macie informacyjna postaci: J J. (16) Warunek dużej wartości wynacnika maciey informacyjnej gwarantowany jest dla dużych wartości współcynników wrażliwości, a to gwarantuje brak korelacji międy parametrami. 4. PRZYKŁADOWE WYNIKI BADAŃ Pykładowe wyniki ależności współcynników wrażliwości w funkcji casu pedstawiono na rys. -3. relatived sensitivities (K),,1 dt/dfo dt/dbi dt/drm -,1 dt/dk -, reduced time j dt/dm Rys.. Wględne współcynniki wrażliwości dla: r źr /r s =. i r m /r s =.3 r s /H =.5 Fo =.1 K =.1 m =. Bi =.1 τ g = 3sek.,15 m relatived sensitivities (K),1,5 -,5 -,1 dt/dbi dt/drm dt/dm dt/dfo dt/dk -,15 redused time Rys. 3 Wględne współcynniki wrażliwości: r żr /r s =.5 i r m /r s =.7, r s / H =.5, Fo =.1, K =.1, m =., Bi =.1, τ g = 3 s.

5 ZASOSOWANIE MEODY HYBRYDOWEJ DO ROZWIĄZANIA ZAGADNIENIA Na rys. widać, że odpowiednie współcynniki wrażliwości mieniają się w różny sposób i nie osiągają maksimum w tym samym casie, więc parametry nie są międy sobą skorelowane. Natomiast na rys 3. widać, że parametry są skorelowane ponieważ wartości maksimów współcynników wrażliwości są różnego ędu (. -.) i wajemnie bliżone. Stąd trudniejsa identyfikacja i bardo wrażliwa na błędy pomiarowe. W celu porównania wyników identyfikacji wymienionych wyżej parametrów peprowadono eksperyment numerycny. Symulowane pomiary temperatury m otymano pe dodanie do wartości dokładnej w sensie modelu obl, wyrażenia akłócającegoω σ, cyli: m = obl + ω σ (17) Zakłócenie ma rokład normalny, a σ jest odchyleniem standardowym błędów pomiarowych. Zakładając poiom ufności 99% dla danych pomiarowych, ω oblicane jest generatorem licb losowym i najduje się w pediale.576 ω.576. Dane dla eksperymentu numerycnego: d =71.6 mm, wysokość próbki H = mm ora gęstość materiału ρ=131 kg/m 3 i gęstość strumienia ciepła q& = 36 W/m. emperatury mieono co τ =1 s, i taki krok casowy pyjęto w metodie miennej metryki, natomiast dla metody dynamicnej estymacji sekwencyjnej τ = 5 s. Wyniki identyfikacji dla optymalnych parametrów eksperymentu i różnych wartości odchyleń standardowych ora n =1 punktów pomiarowych w casie pokaano w tabeli 1. Pocątkowe wartości parametrów estymowanych pyjęto o 5% różne od wartości dokładnych. abela 1. Wyniki identyfikacji dla r s /H =.5, r źr /r s =. r m /r s =.3 τ g = 4 s. Wartości pocątkowe σ =. K σ =.1 K σ =.5 K Wartości dokładne K Fo m Bi abela. Wyniki identyfikacji py r s /H=.5 Fo =.1 K =.1 m =.5 Bi =.1 τ g =4 s Wartości pocątkowe σ =. K σ =.1 K σ =.1 K Wartości dokładne r m /r s m Bi Fo K abela 3. Wyniki identyfikacji py r s /H=.5 Fo =.1 K =.1 m =.5 Bi =.1 τ g =4 s Wartości pocątkowe σ =. K σ =.1 K σ =.1 K Wartości dokładne r m /r s m Bi Fo K

6 114 S. KUCYPERA 5. PODSAWOWE SPOSRZEŻENIA I WNIOSKI KOŃCOWE Sposteżenia: W pierwsym pypadku (tabela 1) parametry termofiycne są identyfikowane błędem mniejsym niż 8% py akłóconych pomiarach. W drugim pypadku (tabela ) gdy pyjmiemy, że wartości pocątkowe różnią się o (+1%) od ecywistych, parametry są identyfikowane dobrą dokładnością (błąd mniejsy niż 7%). W tecim pypadku (tabela 3) gdy wartości pocątkowe różnią się od ecywistych o 5% to otymane wyniki identyfikacji posiadają błąd 8%. Wnioski końcowe: Rowiąanie odwrotnego agadnienia pewodenia ciepła a pomocą połącenia metod: dynamicnej estymacji sekwencyjnej i miennej metryki staje się bardo efektywnym naędiem do identyfikacji parametrów termofiycnych różnych materiałów stałych. Zaproponowane podejście powala nacnie skrócić cas eksperymentu co jest bardo dużą aletą metody eksperyment może trwać tylko ok. 5 s. Pokaano, że optymalnymi parametrami pomiaru można identyfikować w jednym eksperymencie 5 parametrów i unika się lokalnych minimów. Wyniki identyfikacji wykaały, że osiową i promieniową pewodność cieplna można identyfikować dokonując pomiaru temperatury w jednym optymalnym punkcie próbki. LIERAURA 1. Modelowanie numerycne pól temperatury. Praca biorowa pod red. J. Sarguta. Warsawa: WN, Kucypera S.: Simultaneous determination of the thermal characteristics of the specific heat and thermal conductivity of solids using the inverse heat conduction method, Proc. of 13 ISP, Victoria Kanada, pp Kucypera S.: Zastosowanie metody hybrydowej do rowiąania odwrotnych agadnień współcynnikowych pewodenia ciepła. Materiały konferencyjne XVIII Zjadu ermodynamików,. 4. Oficyna wydawnica Politechniki Warsawskiej. Warsawa, s SAWAF B., ÖZIŞIK M. N., JARNY Y.: An inverse analysis to estimate thermal conductivity components and heat capacity of an orthotropic medium. International Journal of Heat and Mass ransfer. vol. 35, no 16, 1998,, pp APPLYING HYBRID MEHOD O SOLUION OF INVERSE PROBLEM USED O IN DEERMINING OF HE DERECIONAL HERMAL PROPERIES OF OROROPIC SOLIDS OPIMZAION OF EXPERIMEN Summary. Contemporarily produced anisotropic materials are the most often multi-layered composites with a periodical repeatable structure, which permits to treat it as homogeneous orthotropic materials with average thermophysical parameters. he value of those parameters depend on many factors, for example: the property of thermal bearing fibres and the part of adhesives used to their connection. In described situation it is not possible to determine those parameters by theoretical methods. herefore in the paper for determination many thermophysical parameters during executing one experiment was proposed the solution of inverse heat conduction problem by the hybrid method. he selected results of described analysis have been presented