Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd."

Transkrypt

1 # # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna Katowice www: Krzywa rozkładu normalnego krzywa rozkładu Gaussa lub krzywą rozkładu normalnego pomiar pomiar ( x) = exp σ π ( x µ ) Φ σ chemików

2 Rozkład normalny Kiedy mówimy o rozkładzie normalnym to: 68% pomiarów znajduje się w przedziale µ ± σ 95% pomiarów znajduje się w przedziale µ ± σ 99,7% pomiarów znajduje się w przedziale µ ± 3σ Standardyzowana zmienna Dla rozkładu normalnego, dokładną proporcję próbek, o które są w określonym interwale można odszukać w tablicach statystycznych. Tablice zakładają, że zmienna jest standardyzowana: z = x µ σ z N(0,) chemików

3 Rozkład standardyzowanej zmiennej Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego (postać unormowana, standardyzowana). ϕ ( x) ( z) = exp σ π ( x µ ) Φ σ z = exp π Całka Laplace a prawdopodobieństwo wystąpienia wartości zmiennej w przedziale od 0 do z i µ 0 z i z z ( ) = exp dz Φ z i π z i 0 chemików 3

4 Przykład Podczas miareczkowania uzyskano normalny rozkład wyników, ze średnią 0,5 ml oraz odchyleniem standardowym 0,0 ml. Jaka część pomiarów będzie w przedziale od 0, ml do 0,0 ml? z = (0,-0,5)/0,0 = -,5 Φ(z ) = 0,0668 z = (0,0-0,5)/0,0 =,5 Φ(z ) = 0,9938 Przykład Z tablic statystycznych proporcja obiektów, o wartości poniżej z i z z µ 0,0668 0,9938 z p = 0,9938 0,0668 = 0,970 9,70% pomiarów znajduje się w przedziale od 0, ml do 0,0 ml chemików 4

5 Przedział ufności Pewna wartość leży w przedziale, którego zakres determinuje: precyzja danej metody (σ), liczba pomiarów (z liczbą powtórzeń rośnie nasza pewność co do wyniku). Załóżmy, że robimy po 5 powtórzeń 5 pomiarów rozkład indywidualnych średnich rozkład próbkowania średniej błąd standardowy średniej: informuje o stopniu rozproszenia średnich z próbki względem średniej dla populacji: σ/ n Przedział ufności Zakres wartości, których z określoną ufnością możemy być pewni. O przedziale ufności decyduje stopień ufności im większy tym przedział jest szerszy. Dla dużej liczby pomiarów przedział ufności ma postać: µ ± zα/ ( σ/ n ) wartość tablicowa odczytana dla danego poziomu ufności chemików 5

6 Przedział ufności 90% 95% 98% 99% ( σ / n ) < x < µ +,64( / n ) µ,64 σ ( σ / n ) < x < µ +,96( / n ) µ,96 σ ( σ / n ) < x < µ +,33( / n ) µ,33 σ ( σ / n ) < x < µ +,58( / n ) µ,58 σ Przedział ufności dla małej liczby próbek Im mniej próbek, tym σ jest mniej dokładnie wyznaczone, zatem przedział ufności ma postać: µ ± t ( α/, n )( σ/ n ) Wprowadza się pojęcie liczby stopni swobody (n-): liczba niezależnych różnic (x i -µ). Wartość t zależy od przyjętego poziomu ufności i liczby stopni swobody. chemików 6

7 Przedział ufności dla małej liczby próbek 0,05 0,05 0,0 0,005 6,34,706 3,8 63,657,90 4,303 6,965 9,95 3,353 3,8 4,54 5,84 4,3,776 3,747 4,604 5,05,57 3,365 4,03 6,943,447 3,43 3,707 7,895,365,998 3,499 8,860,306,896 3,355 9,833,6,8 3,50 0,8,8,764 3,69 µ ± t ( α/, n )( σ/ n ) Przykład Zawartość sodu w moczu wyznaczono stosując elektrodę selektywną. Uzyskano następujące wyniki: 0, 97, 99, 98, 0 i 06 mm. Ustal 95% i 99% przedziały ufności dla tychże pomiarów. µ = 00,5 mm σ = 3,7 mm df = 6 - µ ± t ( α/, n )( σ/ n ) ( 6) = 00,5 3,4 mm ( 6) = 00,5 5,4 mm 00,5 ±,57 3,7 / ± 00,5 ± 4,03 3,7 / ± chemików 7

8 Dokładność oszacowanej wielkości ε = t ( α/, n )( σ/ n ) n = t ( α/,n ) ε σ Przykład Dla poziomu ufności 95% określ liczbę próbek jaka jest potrzebna do oszacowania grubości powłoki chromu, jeśli dokładność pomiaru wynosi ±0,0 mm, a σ obliczone dla 6 pierwszych pomiarów wynosi 0,0 mm.,57 0,0 = 0,0 n = 7 chemików 8

9 Testowanie hipotez - wprowadzenie Testowanie hipotez Cel: ustalenie w sposób obiektywny na podstawie zgromadzonych wyników pomiarów słuszności postulowanej hipotezy chemików 9

10 Porównanie średniej z daną wartością Przygotowujemy lek, który zawiera wszystkie składniki oraz czynny komponent w ilości 00,0 mg. Przykład : 4 razy oznaczono składnik aktywny; średnia wynosi 98, mg, a odchylenie standardowe jest znane a priori (0,8). Przykład : 6 razy oznaczono aktywny składnik i uzyskano następujące wartości: 98,9 00,3 99,7 99,0 00,6 98,6 Porównanie średniej z daną wartością Średnia pomiarów wynosi: 99,5 Odchylenie standardowe wynosi: 0,8 Czy wartość średnia jest naprawdę różna niż faktyczna masa substancji aktywnej (µ 0 = 00 mg)? Aby sprawdzić czy powyższe jest prawdą, konieczny jest test hipotezy. chemików 0

11 Porównanie średniej z daną wartością Zarówno średnia jak i odchylenie standardowe są przybliżeniem wartości prawdziwych. Estymatory Czy możemy przyjąć, że te dwa estymatory są równe odpowiednio µ oraz σ??? Hipoteza zerowa i alternatywna Hipoteza 0 (H 0 ): średnia µ zbioru pomiarów jest równa wartości µ 0 H 0 : µ = µ 0 Hipoteza alternatywna (H ): średnia µ zbioru pomiarów jest różna od wartości µ 0 H : µ µ 0 chemików

12 Hipoteza Czasem hipotezę alternatywną formułuje się jako: H > H < Przedział ufności Dla przykładu, przyjmując 95% przedział ufności: ( σ / n ) < x < µ +,96( / n ) µ,96 σ ( σ / ) = 98, ±,96 0,4 = 98, 0, 78 98, ±,96 n ± odrzucamy hipotezę H 0 bo 00 mg jest poza przedziałem ufności, a przyjmujemy hipotezę H chemików

13 Przedział ufności φ(x) z µ ± z α/ ( )( σ/ n ) Przedział ufności Dla przykładu, odchylenie standardowe nie jest a priori znane, lecz oszacowane na podstawie ograniczonej liczby pomiarów Dlatego, stosujemy test t (przyjmując 95% przedział ufności) µ ± t ( α/, n )( σ/ n ) 0,8 ( n ) = 99,5±,57 = 99,5 0,85 99,5 ±,57 σ/ ± 6 00 mg jest w przedziale ufności dlatego przyjmujemy hipotezę H 0 chemików 3

14 Kroki testowania hipotez Ustal hipotezy H 0 i H Ustal poziom α, np. α = 5% Ustal przedział ufności Sprawdź, czy µ 0 znajduje się w przedziale ufności Przyjmij, lub odrzuć hipotezę H 0 Porównanie wartości testu z wartością krytyczną Możemy powiedzieć, że 95% wszystkich pomiarów znajduje się w przedziale: ( n ) < x < µ,96( σ/ n ) µ,96 σ/ + Jeśli przyjmiemy, że H 0 : µ = µ 0 jest prawdą, wówczas H 0 jest także spełniona dla wszystkich pomiarów z tego interwału chemików 4

15 Porównanie wartości testu z wartością krytyczną Dla oryginalnych i z-transformowanych wartości Porównanie wartości testu z wartością krytyczną w jednostkach z µ µ z = σ/ n 0 < crit Gdy crit =,96 to przyjmujemy 95% chemików 5

16 Porównanie wartości testu z wartością krytyczną Ustal hipotezy H 0 i H Ustal poziom α, np. α = 5% Jaka jest krytyczna z-wartość? Jaką wartość przyjmuje z dla µ Jeśli z <crit to przyjmujemy H 0 Porównanie wartości testu z wartością krytyczną Przykład : µ µ 0 z = σ/ n = 98, 00 0,8/ 4 = 4,50 >,96 Zatem, odrzucamy H 0 chemików 6

17 Porównanie wartości testu z wartością krytyczną Przykład : t µ µ 0 99,5 00 = = =,5 t σ/ n 0,83/ 6 ( 0,05,5 ) =,57 Poziom ufności i błąd α Przyjmując, że przedział ufności obejmuje 95% rozkładu, 5% znajduje się poza przedziałem (poziom ufności p = 95%). Te 5% zwane jest poziomem istotności BŁĄD I rodzaju, zwany także błędem α. Jest to prawdopodobieństwo popełnienia błędu związanego z odrzuceniem hipotezy H 0, podczas gdy jest ona prawdziwa. chemików 7

18 Błąd β Przyjmijmy, że nasza metoda jest obciążona błędem systematycznym, tzn. zamiast 00 mg mamy 98,0 mg. błąd systematyczny bez błędu systematycznego Błąd β Błąd β jest to prawdopodobieństwo popełnienia błędu związanego z przyjęciem hipotezy H 0, podczas gdy jest ona nieprawdziwa błąd systematyczny - (z>=,55) = - 0,994 = 0,006 chemików 8

19 Testowanie hipotez Tablice statystyczne dwustronny jednostronny chemików 9

20 Tablice statystyczne α - poziom istotności - α: poziom ufności t vs. rozkład normalny rozkład t, n=5 rozkład t, n= rozkład normalny 0.35 rozkład normalny dla nieskończenie dużej liczby pomiarów t 0,05 = z 0,05 chemików 0

21 Testowanie hipotez Poprzednio, rozważaliśmy czy średnia jest statystycznie różna niż deklarowana wartość? Testowaliśmy następującą hipotezę zerową: H 0 : µ = µ 0 Wartości krytyczne dla rozkładu normalnego lub t, w zależności od sytuacji. Testowanie hipotez Kiedy hipoteza może zawierać nierówność? H : µ µ 0 H : µ µ 0 Wyobraźmy sobie, że kupujemy rudę pewnego metalu, a sprzedawca gwarantuje jego zawartość na poziomie co najmniej równym 0g/kg. Dla nas im więcej tym lepiej Kupujący testuje zatem ryzyko związane z mniejszą zawartością metalu. Sprzedający testuje ryzyko sprzedaży większej niż deklarowana zawartości metalu. chemików

22 Porównanie średnich dwóch populacji Mamy dwa zbiory zawierające n i n wyników. Czy średnie dwóch zbiorów są takie same? H 0 : µ = µ Porównanie średnich dwóch populacji Dla zbiorów, w których n > 30 możemy przyjąć normalny rozkład średniej, nawet jeśli nie mamy do końca do czynienia z rozkładem normalnym samych pomiarów, a wariancja wynosi: σ /n. Wówczas, różnice µ -µ też śledzą rozkład normalny, a wariancja tego rozkładu wynosi: (σ /n + σ /n ). z = ( σ /n ) + ( σ /n ) µ µ chemików

23 Porównanie średnich dwóch populacji Jeśli: H 0 : µ = µ H : µ µ H 0 jest przyjęta, gdy z < z crit (test dwustronny). Porównanie średnich dwóch populacji Jeśli H 0 : µ = µ H : µ > µ H 0 jest przyjęta, gdy z < z crit (test jednostronny). chemików 3

24 Porównanie średnich dwóch populacji Jeśli H 0 : µ = µ H : µ < µ H 0 jest przyjęta, gdy z > -z crit (test jednostronny). Porównanie średnich dwóch populacji Przyjmujemy H 0 jeśli 0 jest w przedziale ufności: ( µ µ ) ± z ( σ /n ) + ( σ ) α/ /n test dwustronny ( µ µ ) ±,95 ( σ /n ) + ( σ ) α = 5% /n chemików 4

25 Porównanie średnich dwóch populacji H 0 : µ = µ H : µ > µ Test jednostronny ( µ ) +,95 ( σ / n ) + ( σ n ) µ / α =,5% Jeśli 0 jest mniejsze niż wartość krytyczna to hipoteza H 0 jest spełniona Przykład Porównujemy dwie procedury, które mają wpływ na zawartość azotu w próbkach Procedurę podejrzewamy, że wpływa na obniżenie zawartości azotu H 0 : µ = µ H : µ < µ Procedura : µ =,05 g/00g, σ = 0,050 (n = 30) Procedura : µ =, g/00g, σ = 0,040 (n = 3) chemików 5

26 Porównanie średnich dwóch populacji H 0 : µ = µ µ - µ = 0 H : µ < µ µ - µ < 0 Test jednostronny ( µ µ ),95 ( σ / n ) + ( σ n ) / Porównanie średnich dwóch populacji H 0 : µ = µ H : µ < µ Test jednostronny ( µ µ ),95 ( σ / n ) + ( σ n ) / Jeśli 0 jest większe niż wartość krytyczna H 0 jest spełniona chemików 6

27 Przykład z = ( σ /n ) + ( σ /n ) µ µ z =,05, ( 0,050/30) + ( 0,040/3) =,96 Porównanie średnich dwóch populacji Dla małej liczby próbek: test t opiera się o następujące założenia: próbki o średniej µ i µ oraz wariancjach σ i σ mają rozkład normalny wariancje są równe Gdy ostatni warunek jest pełniony możemy obliczyć łączną wariancję jako: σ = ( n σ ) + ( n ) n + n σ chemików 7

28 Porównanie średnich dwóch populacji Test t dla porównania dwóch średnich o małej liczbie próbek przyjmuje postać: t ( α/,n + n ) = σ µ µ ( /n + /n ) Porównanie średnich dwóch populacji Dla testu dwustronnego H 0 jest przyjęta jeśli t < t crit Dla testu jednostronnego, gdy H : µ > µ, H 0 jest przyjęta dla t < t crit Dla testu jednostronnego, gdy H : µ < µ, H 0 jest przyjęta dla t > -t crit chemików 8

29 Przykład Procedura : µ =,05 g/00g, σ = 0,050 (n = 8) Procedura : µ =, g/00g, σ = 0,040 (n = 7) H 0 : µ = µ H : µ < µ 7 0, ,040 σ = = 0, ,6 t = =,46 0,045(/7 + /8) t crit (3 st. swobody, 95%) =,77 Test Cochrana Jeśli wariancje nie są statystycznie porównywalne, wówczas aby porównać dwie średnie stosujemy test Cochrana µ µ t = t ( σ /n ) + ( σ/n ) dla n - stopni swobody t dla n - stopni swobody t t' = ( σ /n ) + t ( σ/n ) ( σ /n + ( σ /n ) chemików 9

30 Przykład Procedura : µ =,05 g/00g, σ = 0,050 (n = 9) Procedura : µ =, g/00g, σ = 0,00 (n = 8) H 0 : µ = µ H : µ < µ t =,860 t' = 0,6 =,8 ( 0,050/8) + ( 0,0/7) ( 0,050/8) +,895( 0,00/7) ( 0,050/8) + ( 0,00/7) =,86 Jeśli t < -t' to przyjmujemy hipotezę H Porównanie średnich - parowanie Próbki są parowane jeśli istnienie pomiędzy nimi odpowiedniość :, np.: zmierzono zawartość azotu w próbkach dwiema technikami analitycznymi, których wyniki przedstawiono poniżej: Procedura Procedura chemików 30

31 Porównanie średnich - parowanie Pod uwagę bierzemy różnice odpowiednich próbek d = d i = x i -x i n d i H 0 : H : d = 0 d 0 Porównanie średnich - parowanie Tak sformułowana hipoteza zerowa sprowadza problem do testowania, czy różnica pomiędzy wartością średnia, a zerem jest statystycznie istotna. Możemy stosować ten sam test co wcześniej, kiedy rozmawialiśmy o tabletkach. W zależności od liczby pomiarów w rachubę wchodzą wartości krytyczne rozkładu normalnego lub rozkładu t. chemików 3

32 Porównanie średnich - parowanie Dla dużej liczby próbek (co najmniej), możemy przyjąć rozkład normalny. Wówczas statystyka ma postać: z = d 0 σ/ n odchylenie standardowe różnic Zakładając dany poziom α, wówczas w tablicach odczytujemy wartość krytyczną dla tego poziomu (np. 0,05) Porównanie średnich - parowanie Zakładając dany poziom α, wówczas w tablicach odczytujemy wartość krytyczną dla tego poziomu (np. 0,05) zakładając H 0 : H : d = 0 d 0 wartość krytyczna wynosi,96 dla testu dwustronnego z < crit chemików 3

33 Porównanie średnich - parowanie Zakładając dany poziom α, wówczas w tablicach odczytujemy wartość krytyczną dla tego poziomu (np. 0,05) zakładając H 0 : H : d d = 0 > 0 t < crit H 0 : H : d d = 0 < 0 t > -crit Przykład Procedura Procedura di 0. -0, -0, 0, 0, 0, 0, -0, z d 0 = di d = = 0,05 n σ/ n σ = n ( di d) i= n = 0,6 chemików 33

34 Rozwiązanie n d ( di d) i i= d = = 0,05 σ = n n = 0,6 d 0,05 t = = = 0,88 σ/ n 0,6/ 8 Porównanie wariancji Do porównania dwóch wariancji stosujemy test F Wyraża on stosunek dwóch wariancji σ F = > σ, σ σ df = n df = n chemików 34

35 Wartości krytyczne dla testu F α = 0,05 dla testu jednostronnego lub α = 0,05 dla testu dwustronnego Liczba stopni swobody n ,79 799,50 864,6 899,58 9,85 937, 948, 956,66 963,8 968,63 Liczba stopni swobody n 38,5 39,00 39,7 39,5 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 3 7,44 6,04 5,44 5,0 4,88 4,73 4,6 4,54 4,47 4,4 4, 0,65 9,98 9,60 9,36 9,0 9,07 8,98 8,90 8,84 5 0,0 8,43 7,76 7,39 7,5 6,98 6,85 6,76 6,68 6,6 6 8,8 7,6 6,60 6,3 5,99 5,8 5,70 5,60 5,5 5,46 7 8,07 6,54 5,89 5,5 5,9 5, 4,99 4,90 4,8 4,76 8 7,57 6,06 5,4 5,05 4,8 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 9 7, 5,7 5,08 4,7 4,48 4,3 4,0 4,0 4,03 3,96 0 6,94 5,46 4,83 4,47 4,4 4,07 3,95 3,85 3,78 3,7 Test F Formułowanie hipotez H 0 : H : σ σ = σ σ test dwustronny H 0 : H : σ σ = σ > σ test jednostronny α dla testu jednostronnego odpowiada α testu dwustronnego chemików 35

36 Przykład σ σ = 0,05 = 0,04 (n= 8) (n = 7) 0,05 F = =,5 0,04 Przykład Czy różnice pomiędzy wariancjami dwóch metod są statystycznie istotne? F < crit -> H 0 F 0,05,7,6 = 5,70 chemików 36

Wprowadzenie do statystyki dla. chemików testowanie hipotez

Wprowadzenie do statystyki dla. chemików testowanie hipotez chemików testowanie hipotez Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl http://www.sites.google.com/site/chemomlab/

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

SMOP - wykład. Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów. Ewa Pawelec

SMOP - wykład. Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów. Ewa Pawelec SMOP - wykład Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów Ewa Pawelec 1 iepewność dla rozkładu norm. Zamiast dodawania całych zakresów uwzględniamy prawdopodobieństwo trafienia dwóch wartości: P x 1, x

Bardziej szczegółowo

Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów

Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Zawartość. Zawartość

Zawartość. Zawartość Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 Testowanie hipotez Estymacja parametrów WSTĘP 1. Testowanie hipotez Błędy związane z testowaniem hipotez Etapy testowana hipotez Testowanie wielokrotne 2. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych testy dla dwóch zbiorowości

Weryfikacja hipotez statystycznych testy dla dwóch zbiorowości Weryfikacja hipotez statystycznych testy dla dwóch zbiorowości Informatyka 007 009 aktualizacja dla 00 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu. Przypomnienie testu dla

Bardziej szczegółowo

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) www.zmisp.mt.put.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne Czyli jak bardzo jesteśmy pewni że parametr oceniony na podstawie próbki jest

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Testy post-hoc. Wrocław, 6 czerwca 2016

Testy post-hoc. Wrocław, 6 czerwca 2016 Testy post-hoc Wrocław, 6 czerwca 2016 Testy post-hoc 1 metoda LSD 2 metoda Duncana 3 metoda Dunneta 4 metoda kontrastów 5 matoda Newman-Keuls 6 metoda Tukeya Metoda LSD Metoda Least Significant Difference

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności: Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7

2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7 Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów

STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Statystyka matematyczna - część matematyki

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.

LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii. Zadanie 1.

Zadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii. Zadanie 1. Zadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii Zadanie 1. W potocznej opinii pokutuje przekonanie, że lepsi z matematyki są chłopcy niż dziewczęta. Chcąc zweryfikować tę opinię, przeprowadzono badanie w

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich.

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. EXCEL Do weryfikacji różnic między dwiema grupami jednostek doświadczalnych w Excelu wykorzystujemy funkcję o nazwie T.TEST. Zastosowana

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne. #8 Błąd I i II rodzaju powtórzenie. Dwuczynnikowa analiza wariancji

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne. #8 Błąd I i II rodzaju powtórzenie. Dwuczynnikowa analiza wariancji gkrol@mail.wz.uw.edu.pl #8 Błąd I i II rodzaju powtórzenie. Dwuczynnikowa analiza wariancji 1 Ryzyko błędu - powtórzenie Statystyka niczego nie dowodzi, czyni tylko wszystko mniej lub bardziej prawdopodobnym

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Dane dotyczące wartości zmiennej (cechy) wprowadzamy w jednej kolumnie. W przypadku większej liczby zmiennych wprowadzamy każdą w oddzielnej kolumnie.

Dane dotyczące wartości zmiennej (cechy) wprowadzamy w jednej kolumnie. W przypadku większej liczby zmiennych wprowadzamy każdą w oddzielnej kolumnie. STATISTICA INSTRUKCJA - 1 I. Wprowadzanie danych Podstawowe / Nowy / Arkusz Dane dotyczące wartości zmiennej (cechy) wprowadzamy w jednej kolumnie. W przypadku większej liczby zmiennych wprowadzamy każdą

Bardziej szczegółowo

Autor: Dariusz Piwczyński 1 Ćwiczenie: Doświadczenia 2-grupowe w układzie niezależnym i zależnym.

Autor: Dariusz Piwczyński 1 Ćwiczenie: Doświadczenia 2-grupowe w układzie niezależnym i zależnym. Autor: Dariusz Piwczyński 1 Ćwiczenie: Doświadczenia 2-grupowe w układzie niezależnym i zależnym. Zadania: Arkusz kalkulacyjny Excel Do weryfikacji różnic między dwiema grupami obiektów w Excelu wykorzystujemy

Bardziej szczegółowo

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ budynek Centrum Mechatroniki, iomechaniki i Nanoinżynierii) wwwzmispmtputpoznanpl tel +48

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

SKRYPT DLA STUDENTÓW KIERUNKU CHEMIA. Opracowanie wyników pomiarów eksperymentalnych

SKRYPT DLA STUDENTÓW KIERUNKU CHEMIA. Opracowanie wyników pomiarów eksperymentalnych Projekt Zwiększenie liczby absolwentów kierunku chemia ZLAB realizowany w ramach Priorytetu IV Szkolnictwo wyższe i nauka, Poddziałanie 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki SKRYPT DLA STUDENTÓW KIERUNKU

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne. gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych 9 października 2008 ...czyli definicje na rozgrzewkę n-elementowa próba losowa - wektor n zmiennych losowych (X 1,..., X n ); intuicyjnie: wynik n eksperymentów realizacja próby (X 1,..., X n ) w ω Ω :

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów

Analiza niepewności pomiarów Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1.

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Wykonano pewien eksperyment skuteczności działania pewnej reklamy na zmianę postawy. Wylosowano 10 osobową próbę studentów, których poproszono o ocenę pewnego produktu,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 9 i 10 Magdalena Alama-Bućko 14 i 21 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 14 i 21 maja 2018 1 / 25 Hipotezy statystyczne Hipoteza statystyczna nazywamy

Bardziej szczegółowo

Analiza i monitoring środowiska

Analiza i monitoring środowiska Analiza i monitoring środowiska CHC 017003L (opracował W. Zierkiewicz) Ćwiczenie 1: Analiza statystyczna wyników pomiarów. 1. WSTĘP Otrzymany w wyniku przeprowadzonej analizy ilościowej wynik pomiaru zawartości

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo