Rok akademicki: 2016/2017 Kod: AMA s Punkty ECTS: 7. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Transkrypt

1 Nazwa modułu: Algebra Rok akademicki: 2016/2017 Kod: AMA s Punkty ECTS: 7 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: - Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Język wykładowy: Polski Profil kształcenia: Ogólnoakademicki (A) Semestr: 3 Strona www: Osoba odpowiedzialna: prof. zw. dr hab. Wojda Adam Paweł (wojda@agh.edu.pl) Osoby prowadzące: dr Dudek Aneta (aneta.dudek@agh.edu.pl) prof. zw. dr hab. Wojda Adam Paweł (wojda@agh.edu.pl) dr Cichacz-Przeniosło Sylwia (cichacz@agh.edu.pl) Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń) Wiedza M_W001 Zna najważniejsze pojęcia i twierdzenia algebry abstrakcyjnej oraz ich dowody MA1A_W02, MA1A_W04 Egzamin, Odpowiedź ustna M_W002 Zna niektóre zastosowania algebry w teorii kryptografii i informatyce MA1A_W06 Aktywność na zajęciach Umiejętności M_U001 Potrafi w sposób zrozumiały przedstawić poprawne rozumowanie matematyczne, formułować twierdzenia i definicje. MA1A_U01 M_U002 Potrafi stworzyć nowe obiekty drogą konstruowania struktur ilorazowych. MA1A_U05 M_U003 Umie operować pojęciem liczby rzeczywistej, zna przykłady liczb niewymiernych i przestępnych. MA1A_U08 M_U004 Rozpoznaje struktury algebraiczne w zagadnieniach innych działów matematyki i dziedzin nauki. MA1A_U17 Kompetencje społeczne 1 / 5

2 M_K001 Rozumie potrzebę popularnego przedstawiania laikom wybranych osiągnięć matematyki wyższej. MA1A_K05 Egzamin M_K002 Potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień matematycznych. MA1A_K07 Egzamin, Odpowiedź ustna Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć Wykład audytoryjne laboratoryjne projektowe Konwersatori um seminaryjne praktyczne terenowe warsztatowe Inne E-learning Wiedza M_W001 M_W002 Umiejętności M_U001 M_U002 M_U003 M_U004 Zna najważniejsze pojęcia i twierdzenia algebry abstrakcyjnej oraz ich dowody Zna niektóre zastosowania algebry w teorii kryptografii i informatyce Potrafi w sposób zrozumiały przedstawić poprawne rozumowanie matematyczne, formułować twierdzenia i definicje. Potrafi stworzyć nowe obiekty drogą konstruowania struktur ilorazowych. Umie operować pojęciem liczby rzeczywistej, zna przykłady liczb niewymiernych i przestępnych. Rozpoznaje struktury algebraiczne w zagadnieniach innych działów matematyki i dziedzin nauki. Kompetencje społeczne M_K001 M_K002 Rozumie potrzebę popularnego przedstawiania laikom wybranych osiągnięć matematyki wyższej. Potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień matematycznych. 2 / 5

3 Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć) Wykład Pojęcie grupy Arytmetyka liczb całkowitych twierdzenie o dzieleniu. Algorytm Euklidesa. Pojęcie grupy. 2. Grupy c.d. Homomorfizmy grup. Rząd elementu w grupie. Funkcja Eulera. Zasada włączania i wyłączania Formuła sita Eratostenesa. 3. Grupy cykliczne. Grupy permutacji i transformacji. Twierdzenia Cayleya i Lagrange a 4. Twierdzenia Eulera i Małe Twierdzenie Fermata. Równania modularne. Chińskie twierdzenie o resztach. 5. Kwadratowe residua modulo. Zasady kryptografii z kluczem publicznym. Metody Rabina i RSA 6. Grupy i metody zliczania. Grupy i metody zliczania. Grupy działające na zbiorach. Stabilizatory i orbity. Przykłady grup izometrii pięciokąta, sześcianu etc. 7. Lemat Burnside'a. Liczba różnych naszyjników z czarnych i białych pereł. Warstwy lewo- i prawostronne. 8. Podgrupy normalne. Grupy ilorazowe. Twierdzenie o izomorfizmie grup. Pierścienie. Przykłady. Podpierścienie i ideały 9. Pierścienie wielomianów. Podzielność w pierścieniach. Pierścienie Gaussa. Przykłady pierścieni Gaussa i przykłady pierścieni niegaussowskich pierścienie Dedekinda 10. Pierścienie główne. Pierścienie wielomianów nad ciałem jako przykład pierścieni głównych. Twierdzenie o ciągu wstępującym ideałów w pierścieniu głównym. Największy wspólny dzielnik dwóch elementów w pierścieniu postać w pierścieniu głównym. 11. Pierścienie euklidesowe. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. Ciało ułamków pierścienia całkowitego. Twierdzenie o pierwiastkach w ciele ułamków. 12. Wielomiany nieprzywiedlne. Kryterium Eisensteina nieprzywiedlności wielomianów nad pierścieniem Gaussa. Pierścienie ilorazowe. Homomorfizmy pierścieni. Podstawowe twierdzenie o izomorfizmie pierścieni. 13. Wielomiany wielu zmiennych. Wielomiany symetryczne. Wzory Viety. Twierdzenie Wilsona. 14. Podstawowe Twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Rozszerzenia ciał rozszerzenia algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia skończone. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie o istnieniu ciała rozkładu. Twierdzenie zasadnicze algebry. audytoryjne 3 / 5

4 Rozwiązywanie zadań i problemów teoretycznych ilustrujących tematykę wykładów Sposób obliczania oceny końcowej 1. Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest uzyskanie oceny pozytywnej z ćwiczeń. 2. Ocena z egzaminu jest średnią ocen egzaminu pisemnego i ustnego z tym, że przed przystąpieniem do egzaminu ustnego należy mieć zdany egzamin pisemny. 3. Ocena końcowa jest średnią arytmetyczną ocen z egzaminu i ćwiczeń. Wymagania wstępne i dodatkowe brak Zalecana literatura i pomoce naukowe 1. A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa W.J. Gilbert i W.K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa N. Koblitz, Algebraiczne aspekty kryptografii, WNT, Warszawa W.K. Nicholson, Introduction to Abstract Algebra, Wiley Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa E.R. Scheinerman, Mathematics Discrete Introduction, Brooks/Cole Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu 1. Gosselin, Shonda; Szymański, Artur; Wojda, Adam Pawel Cyclic partitions of complete nonuniform hypergraphs and complete multipartite hypergraphs; Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 15, No. 2, , electronic only (2013). 2. Fouquet, J.L.; Thuillier, H.; Vanherpe, J.M.; Wojda, A.P. 3. Fouquet, Jean-Luc; Thuillier, Henri; Vanherpe, Jean-Marie; Wojda, Adam Paweł On (K q,k) stable graphs with small k. Electron. J. Comb. 19, No. 2, Research Paper P50, 10 p., electronic only (2012). 4. Fouquet, J.-L.; Thuillier, H.; Vanherpe, J.-M.; Wojda, A.P. On (K q,k) vertex stable graphs with minimum size. Discrete Math. 312, No. 14, (2012). 5. Szymanski, Artur; Wojda, A.Paweł Cyclic partitions of complete uniform hypergraphs. (English) Zbl Electron. J. Comb. 17, No. 1, Research Paper R118, 12 p., electronic only (2010). 6. Adamus, Lech; Orchel, Beata; Szymański, Artur; Wojda, A.Paweł; Zwonek, Małgorzata A note on t-complementing permutations for graphs. Inf. Process. Lett. 110, No. 2, (2009). 7. Szymański, Artur; Wojda, Adam Paweł Self-complementing permutations of k-uniform hypergraphs; Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 11, No. 1, , electronic only (2009). Informacje dodatkowe Brak 4 / 5

5 Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS) Forma aktywności studenta Udział w wykładach Samodzielne studiowanie tematyki zajęć Udział w ćwiczeniach audytoryjnych Przygotowanie do zajęć Dodatkowe godziny kontaktowe z nauczycielem Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe Sumaryczne obciążenie pracą studenta Punkty ECTS za moduł Obciążenie studenta 28 godz 60 godz 28 godz 40 godz 14 godz 5 godz 175 godz 7 ECTS 5 / 5