Rachunek prawdopodobieństwa

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek prawdopodobieństwa"

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa W poniższym zadaniu wykorzystać następujące własności: P (A B = P (A + P (B P (A B, P (A \ B = P (A P (A B. 1. Przy podanych prawdopodobieństwach obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń: Dane prawdopodobieństwa: Prawdopodobieństwa do wyznaczenia: a P (A = 1 2, P (B = 2, P (A B = 4 5 P (A B, P (A \ B, P (B A b P (A = 2, P (B = 2 5, P (A B = 1 4 P (A B, P (B \ A, P (A B c P (A = 1 2, P (A B = 2, P (A B = 1 P (B, P (A B, P (A B d P (B = 4, P (A B = 1 5, P (A B = 1 P (A, P (A \ B, P (B \ (A B e P (A = 1 2, P (A B = 2 5, P (A B = 1 P (B, P (A \ (A B f P (B = 5, P (A B = 1 2, P (A B = 4 P (A, P (B \ (A B g P (A = 2 5, P (B = 4 7, P (A B = 1 P (B, P ((A B \ A, P ((A B \ B h P (A B = P (B = 1, P (A B = 1 4 P (A, P (A \ B i P (A B = P (A = 1, P (A B = 1 2 P (B, P (B \ A j P (A \ B = P (B \ A, P (A B = 4, P (B, P (A B P (A B = 1 4 k P (A \ (A B = P (B \ A, P (A B = 1 2 P (A, P (A B P (A B = 1 W poniższym zadaniu wykorzystać definicję zdarzeń niezależnych: P (A B = P (A P (B. 2. Zdarzenia A i B są niezależne. Przy podanych prawdopodobieństwach obliczyć pozostałę podane prawdopodobieństwa. Dane prawdopodobieństwa: a P (A = 1 2, P (A B = 1 P (B b P (B = 1 4, P (A B = 2 P (A c P (A > 0, 2P (A = 5P (A B P (B Prawdopodobieństwa do wyznaczenia:. Zdarzenia A i B sa niezależne i P (A > 0 oraz 4P (A = 7P (A B. Obliczyć P (B. 4. W skład zarządu pewnej firmy wchodzi 17 osób, w tym kobiet. Wśród kobiet dwie są w wieku 40+, pozostałe w wieku Wśród mężczyzn tylko jeden jest w wieku 40+. Wybieramy losowo jedną osobę z zarządu tej firmy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a Będzie to mężczyzna; b Będzie to kobieta w wieku 40+; c Będzie to osoba w wieku 0 40 lat; d Będzie to mężczyzna w wieku 0 40 lat. 1

2 O d p o w i e d ź. a 11/17; b 2/17; c 14/17; d 10/ Wśród grupy studentów, liczącej osób, 22 osoby uczą się języka angielskiego, a 19 hiszpańskiego. Zakładamy, że tylko studentów nie uczy się żadnego z tych języków obcych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo jednego studenta z tej grupy, trafimy na osobę, która : a Uczy się języka hiszpańskiego; b Uczy się obydwu tych języków obcych; c Nie uczy się żadnego z tych języków; d Uczy się przynajmniej jednego z nich; e Uczy się tylko języka hiszpańskiego. O d p o w i e d ź. a 19/; b 8/; c /; d /; e 11/.. Na trzydniowy wyjazd integracyjny wyjechało 87 pracowników pewnej firmy; w tym 19 kobiet. Spośród nich 10 musiało wrócić po jednym dniu. Wśród panów chętnych do wcześniejszego powrotu było tylko trzech. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba : a Wróci po jednym dniu; b Wróci w planowanym terminie; c Będzie mężczyzną i wróci po jednym dniu; d Będzie kobietą i wróci wcześniej; e Wróci z wyjazdu wcześniej, jeżeli wiadomo, że jest kobietą; f Wróci z wyjazdu w planowanym terminie, jeżeli wiadomo, że jest to mężczyzna. O d p o w i e d ź. a 1/87; b 1 1/87; c /87; d 10/87; e 10/19; f 5/8. 7. Spośród 145 pracowników pewnej firmy (w tym 7 na stanowiskach kierowniczych, z powodu redukcji etatów zostanie zwolnionych 1 osób (w tym zajmujących stanowisko kierownicze. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba: a Będzie osobą na kierowniczym stanowisku; b Zostanie zwolniona; c Zostanie zwolniona, jeśli wiadomo, że zajmuje kierownicze stanowisko; d Nie zostanie zwolniona, jeśli wiadomo, że nie zajmuje kierowniczego stanowiska. Jak zmienią się odpowiedzi, gdy liczbę osób na stanowiskach kierowniczych zmniejszymy do 10? O d p o w i e d ź. a 7/145; b 1/145; c 1/7; d 92/ Wykładowca przygotował na egzamin 5 pytań. Student jest przygotowany bardzo dobrze do odpowiedzi na 20 pytań, na kolejnych 17 - w stopniu dostatecznym, by zdać, ale nie bardzo dobrze. Do odpowiedzi na pozostałe pytania student nie jest w ogóle przygotowany. Na egzaminie student losuje jedno pytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a Odpowie na to pytanie bardzo dobrze; b Nie zda egzaminu; c Zda egzamin, ale nie dostanie oceny bardzo dobrej. O d p o w i e d ź. a 20/5; b 19/5; c 17/5. 9. W sytuacji takiej samej, jak opisana powyżej, student losuje pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: 2

3 a Odpowie bardzo dobrze na dwa pytania, a na jedno nie będzie znał odpowiedzi; b Odpowie w stopniu dostatecznym na dokładnie dwa z zadanych pytań (tzn. na pozostałe nie odpowie; c Nie odpowie na żadne z wylosowanych pytań; d Odpowie na każde z pytań bardzo dobrze; e Odpowie w stopniu dostatecznym na co najmniej dwa pytania, co umożliwi mu zdanie egzaminu, niezależnie od odpowiedzi na trzecie pytanie; f Uzyska inną ocenę z odpowiedzi na każde z wylosowanych pytań. O d p o w i e d ź. a 20/519/5519/54; b 17/51/5519/54; c 19/518/5517/54; d 20/5 19/55 18/54; e 17/5 1/55; f 1/20 1/17 1/ Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a Na drugiej monecie wypadnie orzeł; b Tylko na drugiej monecie wypadnie orzeł; c Na każdej monecie wypadnie reszka lub na każdej - orzeł; d Na (dokładnie dwóch monetach wypadnie orzeł. O d p o w i e d ź. a 1/2; b 1/2 1/2 1/2 = 1/8; c 1/4; d / Na pewnym odcinku drogi samochód przejeżdża przez trzy skrzyżowania z niezsynchronizowaną sygnalizacją świetlną. Prawdopodobieństwa, że nie zatrzyma się na poszczególnych skrzyżowaniach są równe odpowiednio 0, ; 0, 5; 0, 5. Oblicz prawdopodobieństwo: a Przejechania bez zatrzymania przez wszystkie trzy skrzyżowania; b Przejechania bez zatrzymania tylko przez dwa pierwsze skrzyżowania; c Zatrzymania się na pierwszym i drugim skrzyżowaniu, i przejechania bez zatrzymywania przez ostatnie. O d p o w i e d ź. a 0, 0, 5 0, 5 = 0, 195; b 0, 0, 5 (1 0, 5 = 0, 105; c (1 0, (1 0, 5 0, 5 = 0, Okrągła tarcza składa się z trzech stref. Prawdopodobieństwo trafienia do pierwszej strefy jest równe 0, 2; do drugiej - 0, ; do trzeciej - 0, 4. Oblicz prawdopodobieństwo: a Trafienia w tarczę; b Trafienia, ale nie do I strefy; c Nietrafienia do tarczy. O d p o w i e d ź. a 0, 2 + 0, + 0, 4 = 0, 9; b 0, + 0, 4 = 0, 7; c 1 0, 9 = 0, 1. Schemat Bernoullego 1. Prawdopodobieństwo przekazania sygnału przez przekaźnik jest równe 0, 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że z kolejnych 10 sygnałów, 8 zostanie przekazanych przez ten przekaźnik. O d p o w i e d ź. a ( 10 8 (0, 98 (0, 1 2 = 0, Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy przez pewnego strzelca jest równe 0, 85 w każdym ze strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie przez tego strzelca trafiona tylko razy w ciągu 8 strzałów. O d p o w i e d ź. ( 8 (0, 85 (1 0, 85 5 = 0, 002.

4 15. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez wykładowcę podczas jednego wykładu jest równe 1/7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wykładowca ten: a Popełni trzy błędy w ciągu semestru? Uwaga - jeden semestr to 15 wykładów. b Nie popełni ani jednego błędu w czasie semestru; c Popełni co najmniej dwa błędy w czasie semestru. O d p o w i e d ź. a ( ( 15 ( 12 ( ( 1 = 0, 208; b 15 0 ( = 0, 099; c 1 (( ( 15 0 ( 15 ( ( ( = 0, Siła kiełkowania pewnej rośliny (czyli prawdopodobieństwo wykiełkowania rośliny z jednego nasionka wynosi 0, 74. Oblicz prawdopodobieństwo, że spośród 1 zasianych nasion a Trzy wykiełkują; b Wszystkie wykiełkują; c Wykiełkuje co najmniej 1. O d p o w i e d ź. a ( 1 (0, 74(1 0, 74 1 = 0, ; b ( 1 (0, (1 0, 74 0 = 0, 0081; c ( 1 1 (0, 74 1 (0, 2 + ( 1 14 (0, (0, ( 1 15 (0, (0, ( 1 1 (0, 74 1 (0, 2 0 = 0, Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najwyżej pięciu orłów w serii 7 rzutów monetą. O d p o w i e d ź. 1 (( 7 (0, 5 (0, ( 7 (0, 57 (0, 5 0 = 0, Prawdopodobieństwo, że student będzie umiał odpowiedzieć na wylosowane na egzaminie pytanie, jest równe 5/8. Wiadomo, że student losuje trzy pytania i zdaje egzamin, jeśli odpowie na co najmniej dwa z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez tego studenta? O d p o w i e d ź. ( ( 2 ( 1 ( ( ( = Robotnik obsługuje cztery jednakowe warsztaty funkcjonujące automatycznie i niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny warsztat będzie wymagał interwencji robotnika jest równe 0, 8. Jakie jest Prawdopodobieństwo tego, że: a Żaden z warsztatów nie będzie wymagał interwencji robotnika; b Jeden (dokładnie warsztat będzie wymagał interwencji; c Więcej, niż dwa warsztaty będą wymagały interwencji. O d p o w i e d ź. a ( 4 (0, 0 (0, 2 4 = 0, 001; b ( 4 (0, 1 (0, 2 = 0, 025; c ( 4 0 (0, (0, ( 4 (0, 4 (0, 2 0 = 0, Prawdopodobieństwo warunkowe Urzędnik bankowy wie, że 12% kredytobiorców traci pracę i przestaje spłacać kredyt w ciągu 5 lat. Wie też, że 20% kredytobiorców traci pracę w ciągu 5 lat. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kredytobiorca przestanie spłacać kredyt, jeżeli straci pracę? O d p o w i e d ź. P (A B = P (A B/P (B = 12%/20% = 0,. 21. Student zdający egzamin na MBA musi napisać dwa testy - z matematyki (test A oraz z nauki o zarządzaniu (test B. Prawdopodobieństwo zdania testu A jest równe 0, 75, 4 7 1

5 zaś prawdopodobieństwo zdobycia minimum punktów z obu testów wynosi 0, 5. Jakie student ma szanse na zdanie testu z zarządzania, jeśli wiadomo, że pomyślnie przeszedł test z matematyki? O d p o w i e d ź. P (A B = P (A B/P (B = 0, 5/0, 75 = 0, % członków zarządu pewnej firmy otrzymuje najwyższe płace w firmie. 40% wszystkich członków zarządu to kobiety. Kobiety, pobierające najwyższe płace w firmie, stanowią, 4% wszystkich członków zarządu. Czy w tej firmie występuje dyskryminacja płci pod względem płacy? O d p o w i e d ź. P (A B = P (A B/P (B =, 4%/40% = 0, 1 = 1%. Jest to procent kobiet spośród wszystkich członków zarządu z najwyższymi dochodami. Ponieważ 1%<21%, to w firmie występuje dyskryminacja kobiet pod względem płacy. 2. Przedsiębiorstwo usług transportowych obiecuje dostarczenie dowolnej przesyłki następnego dnia rano, pod warunkiem, że zostanie ona nadana do godz poprzedniego dnia. Czasami jednak zdarzają się opóźnienia. Wiadomo, że jeżeli opóźni się wieczorny rejs do dużego miasta, z którego przesyłki są rozsyłane dalej, to istnieje prawdopodobieństwo 25%, że przesyłka nie zostanie w porę dostarczona. Wiadomo też, że 10% rejsów do dużego miasta ma opóźnienie. Jaki procent przesyłek dociera do klientów z opóźnieniem? O d p o w i e d ź. P (A B = 25%, P (B = 10%, stąd P (A B = P (A BP (B = 2, 5%. 24. Ankieter, przeprowadzający badanie w domach respondentów, uważa, że respondent odpowie na wszystkie pytania z prawdopodobieństwem 0, 94, jeśli będzie obecny w domu. Z kolei prawdopodobieństwo zastania w domu osoby, z którą chce przeprowadzić wywiad, jest równe 0, 5. Jaki procent zaplanowanych wywiadów dojdzie do skutku? O d p o w i e d ź. P (A B = 0, 94, P (B = 0, 5, stąd P (A B = P (A BP (B = 0, 11, czyli 1% wywiadów dojdzie do skutku. 25. Wytwórca pewnego gatunku perfum wie, że istnieje prawdopodobieństwo 0, 05, że konsument zaakceptuje nowy produkt i tylko 0, 02, że zaakceptuje nowy produkt i będzie mu wierny przez co najmniej miesięcy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany klient, który właśnie zaczął nabywać nowy produkt, wytrwa przy nim przez najbliższych miesięcy? O d p o w i e d ź. P (A B = 0, 02, P (B = 0, 05, stąd P (A B = P (A B/P (B = 0, 4. 5

Wydział Zarządzania - Rachunek prawdopodobieństwa - Ćwiczenia

Wydział Zarządzania - Rachunek prawdopodobieństwa - Ćwiczenia Arkusz 7 - ZADANIA ELEMENTARNE Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA. SCHEMAT BERNOULLIEGO. PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE Zadanie 1. W skład zarządu pewnej firmy wchodzi 17 osób, w tym 6 kobiet. Wśród kobiet dwie

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne. Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011

Bardziej szczegółowo

DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b

DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa (wygrana w pojedynczej grze): (1, 0.5), ( 1, 0.5)

Zmienna losowa (wygrana w pojedynczej grze): (1, 0.5), ( 1, 0.5) Przykład 0. Gra polega na jednokrotnym rzucie symetryczną monetą, przy czym wygrywamy 1 jeżeli wypadnie orzeł oraz przegrywamy 1 jeżeli wypadnie reszka. Nasz początkowy kapitał wynosi 5. Jakie jest prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne?

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne? Zad. Rzucamy 0 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 0 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 0 razy są zależne? Zad. Badania statystyczne przeprowadzone wśród studentów wykazały,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem; 05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..

Bardziej szczegółowo

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność

Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność przypomnienie pojęć ĆWICZENIA Piotr Ciskowski zdarzenie losowe ćwiczenie 1. zbiory Stanisz zilustruj następujące pojęcia: o A B o A B o A

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych w Siemiatyczach

Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych w Siemiatyczach WEWNĄTRZSZKOLNY SYSTEM OCENIANIA Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych w Siemiatyczach WEWNĄTRZSZKOLNE ZASADY OCENINIA I KLASYFIKOWANIA SŁUCHACZY ULO Podstawa prawna: Rozporządzenie MENiS

Bardziej szczegółowo

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B; Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 64130 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wielomian P(x)

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

PROCEDURA SZKOLNEGO EGZAMINU POPRAWKOWEGO

PROCEDURA SZKOLNEGO EGZAMINU POPRAWKOWEGO PROCEDURA SZKOLNEGO EGZAMINU POPRAWKOWEGO 65 1. Do egzaminu poprawkowego może przystąpić uczeń (również z klasy programowo najwyższej), który uzyskał ocenę niedostateczną z jednych albo dwóch obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska

Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant

Bardziej szczegółowo

04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,

04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, 04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. jest ilościową miarą niepewności

Prawdopodobieństwo. jest ilościową miarą niepewności Prawdopodobieństwo jest ilościową miarą niepewności Eksperyment - zdarzenie elementarne Eksperymentem nazywamy proces, który prowadzi do jednego z możliwych wyników. Nazywamy je wynikami obserwacji, zdarzeniami

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda 1. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr(cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3. Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne. gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie

Bardziej szczegółowo

Zasady wystawiania oceny z przedmiotu Statystyka i SKJ procesów.

Zasady wystawiania oceny z przedmiotu Statystyka i SKJ procesów. Statystyka i SKJ procesów. Ocena końcowa jest średnią arytmetyczną ważoną z ocen z ćwiczeń (waga 0,6) i egzaminu końcowego (waga 0,4). 1. Oceny ze 3 sprawdzianów kontrolnych: a. Rachunek prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

Matura Egzamin maturalny jest przeprowadzany z przedmiotów obowiązkowych i dodatkowych.

Matura Egzamin maturalny jest przeprowadzany z przedmiotów obowiązkowych i dodatkowych. Matura 2018 Egzamin maturalny jest przeprowadzany z przedmiotów obowiązkowych i dodatkowych. Które egzaminy są obowiązkowe? Musisz przystąpić do egzaminu pisemnego z trzech przedmiotów obowiązkowych na

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Rachunek prawdopodobieństwa MAP064 Wydział Elektroniki, rok akad. 08/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 7: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego dwumianowy), Pascala,

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 3 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 3 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 3 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny w 2015 roku. podstawowe informacje

Egzamin maturalny w 2015 roku. podstawowe informacje Egzamin maturalny w 2015 roku podstawowe informacje Podstawa prawna: Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 kwietnia 2007 roku w sprawie warunków i sposobu oceniania, klasyfikowania i promowania

Bardziej szczegółowo

Informacje o egzaminie maturalnym można uzyskać na stronach internetowych: oraz w szkole: od dyrektora, wychowawcy

Informacje o egzaminie maturalnym można uzyskać na stronach internetowych:   oraz w szkole: od dyrektora, wychowawcy Informacje o egzaminie maturalnym można uzyskać na stronach internetowych: www.oke.gda.pl www.cke.edu.pl oraz w szkole: od dyrektora, wychowawcy klasy, nauczycieli uczących, na tablicy ogłoszeń Egzaminy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)

Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16) Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 05/6, semestr letni, Grupy powtarzających (C5; C6) Lp Grupa C5 Grupa C6 Liczba godzin 0046 w godz 600-000 C03 0046 w godz 600-000 B05 4 6046 w godz

Bardziej szczegółowo

Harmonogram studiów pierwszego stopnia na kierunku FILMOZNAWSTWO I KULTURA MEDIÓW

Harmonogram studiów pierwszego stopnia na kierunku FILMOZNAWSTWO I KULTURA MEDIÓW Harmonogram studiów pierwszego stopnia na kierunku FILMOZNAWSTWO I KULTURA MEDIÓW L.p. Przedmiot Ogółem Wykład Ćwiczenia Seminarium Forma ECTS godzin zaliczenia Studia pierwszego stopnia 1950 - - - 11E

Bardziej szczegółowo

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( ) Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x

+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny

Bardziej szczegółowo

Zasady oceniania Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych

Zasady oceniania Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych Załącznik do Statutu Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych Zasady oceniania Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych 1 1. W ramach oceniania wewnątrzszkolnego ocenianiu podlegają osiągnięcia edukacyjne

Bardziej szczegółowo

Zasady studiów na specjalności nauczycielskiej

Zasady studiów na specjalności nauczycielskiej Zasady studiów na specjalności nauczycielskiej Studia licencjackie na specjalności nauczycielskiej obejmują: przedmioty specjalności nauczycielskiej głównej: fizyka, przedmioty specjalności nauczycielskiej

Bardziej szczegółowo

Po co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji

Po co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji ODSTWY STTYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. opulacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne 6.

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny 30 września 2015 r. wstępną pisemną deklarację 7 lutego 2016 r. ostatecznej deklaracji.

Egzamin maturalny 30 września 2015 r. wstępną pisemną deklarację 7 lutego 2016 r. ostatecznej deklaracji. Egzamin maturalny jest przeprowadzany jeden raz w ciągu roku szkolnego w okresie od maja do sierpnia. Przeprowadza się trzy sesje egzaminu: główną (w maju), dodatkową (w czerwcu) oraz poprawkową (w sierpniu).

Bardziej szczegółowo

Szkoły Ponadgimnazjalne. Co warto o nich wiedzieć?

Szkoły Ponadgimnazjalne. Co warto o nich wiedzieć? Szkoły Ponadgimnazjalne. Co warto o nich wiedzieć? Absolwent gimnazjum ma do wyboru trzy typy szkół ponadgimnazjalnych: Liceum Ogólnokształcące Technikum Zasadniczą Szkołę Zawodową TYPY SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY ROK SZKOLNY 2015/2016 PRZEDMIOTY OBOWIĄZKOWE

EGZAMIN MATURALNY ROK SZKOLNY 2015/2016 PRZEDMIOTY OBOWIĄZKOWE EGZAMIN MATURALNY ROK SZKOLNY 2015/2016 PRZEDMIOTY OBOWIĄZKOWE CZĘŚĆ USTNA - Bez określania poziomu * JĘZYK POLSKI * JĘZYK OBCY NOWOŻYTNY- wybrany spośród języków: angielskiego, francuskiego, hiszpańskiego,

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)

Bardziej szczegółowo

Nowa forma maturalnego egzaminu ustnego z języka obcego nowożytnego od 2012 roku

Nowa forma maturalnego egzaminu ustnego z języka obcego nowożytnego od 2012 roku Zespół Szkół Nr 9 im. R. Traugutta w Koszalinie Nowa forma maturalnego egzaminu ustnego z języka obcego nowożytnego od 2012 roku Opracowała: Alicja Żyburtowicz Zelig Konsultacja: Dorota Bierzyńska 2011/2012

Bardziej szczegółowo

Matura 2014. - czyli co każdy uczeń oraz rodzic wiedzieć powinni o zewnętrznym egzaminie maturalnym

Matura 2014. - czyli co każdy uczeń oraz rodzic wiedzieć powinni o zewnętrznym egzaminie maturalnym Matura 2014 - czyli co każdy uczeń oraz rodzic wiedzieć powinni o zewnętrznym egzaminie maturalnym Egzamin maturalny obejmuje Egzaminy obowiązkowe wymagane do uzyskania świadectwa dojrzałości Egzaminy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09 1 Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09 Wydział Elektroniki Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Listy zadań nr 4-6 Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Literatura: [1] A. Plucińska, E. Pluciński,

Bardziej szczegółowo

TABELE WYNIKÓW Z POSZCZEGÓLNYCH PRZEDMIOTÓW W SKALI STANINOWEJ

TABELE WYNIKÓW Z POSZCZEGÓLNYCH PRZEDMIOTÓW W SKALI STANINOWEJ TABELE WYNIKÓW Z POSZCZEGÓLNYCH PRZEDMIOTÓW W SKALI STANINOWEJ JĘZYK POLSKI JĘZYK POLSKI na poziomie podstawowym (egzamin zdawały 329 043 osoby) 1 najniższa 0% 24% 2 bardzo niska 25% 33% 3 niska 34% 41%

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z egzaminów eksternistycznych przeprowadzonych w Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej w Łodzi w roku szkolnym 2014/2015 1

Sprawozdanie z egzaminów eksternistycznych przeprowadzonych w Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej w Łodzi w roku szkolnym 2014/2015 1 Sprawozdanie z egzaminów eksternistycznych przeprowadzonych w Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej w Łodzi w roku szkolnym 2014/2015 1 Łódź wrzesień 2015 Spis treści 1 SESJA JESIENNA 2014 r.... 4 1.1 Podstawa

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie. z egzaminów eksternistycznych przeprowadzonych w Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej w Łodzi w roku szkolnym 2013/2014

Sprawozdanie. z egzaminów eksternistycznych przeprowadzonych w Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej w Łodzi w roku szkolnym 2013/2014 Sprawozdanie z egzaminów eksternistycznych przeprowadzonych w Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej w Łodzi w roku szkolnym 2013/2014 Łódź wrzesień 2014 1 Spis treści 1 SESJA JESIENNA 2013 r.... 4 1.1 Podstawa

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny od 2015 r.

Egzamin maturalny od 2015 r. Egzamin maturalny od 2015 r. Egzamin maturalny jest przeprowadzany z przedmiotów obowiązkowych oraz przedmiotów dodatkowych i składa się z części ustnej oraz z części pisemnej. Egzamin maturalny obejmuje

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY w 2017 roku

EGZAMIN MATURALNY w 2017 roku EGZAMIN MATURALNY w 2017 roku Egzamin maturalny w 2017 roku Egzamin maturalny obejmuje: egzaminy obowiązkowe wymagane do uzyskania świadectwa dojrzałości, egzaminy dodatkowe związane z kierunkiem dalszego

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Informacja o liczbie osób zgłoszonych do próbnego pisemnego egzaminu maturalnego z przedmiotów obowiązkowych

Informacja o liczbie osób zgłoszonych do próbnego pisemnego egzaminu maturalnego z przedmiotów obowiązkowych Informacja o liczbie osób zgłoszonych do próbnego pisemnego egzaminu maturalnego z przedmiotów obowiązkowych Do próbnego egzaminu maturalnego z a polskiego, który jest obowiązkowy dla wszystkich przystępujących

Bardziej szczegółowo

NIEZBĘDNIK WYBORU WYKŁADOWCÓW FINANSE INFORMATOR

NIEZBĘDNIK WYBORU WYKŁADOWCÓW FINANSE INFORMATOR NIEZBĘDNIK WYBORU WYKŁADOWCÓW FINANSE INFORMATOR SKN Statystyki przy Instytucie Statystyki i Demografii Szkoły Głównej Handlowej w Warszawie Autor: Olga Atemborska dr Bogdan Radomski Liczebność próby:

Bardziej szczegółowo

2. Studentom studiów stacjonarnych przysługuje następujący limit godzin: a. na studiach I stopnia 180 godzin, b. na studiach II stopnia 60 godzin,

2. Studentom studiów stacjonarnych przysługuje następujący limit godzin: a. na studiach I stopnia 180 godzin, b. na studiach II stopnia 60 godzin, LEKTORAT JĘZYKA OBCEGO STUDIA STACJONARNE filologia germańska Informacja dla studentów rozpoczynających studia I i II stopnia (licencjackie i magisterskie) w r. akad. 2013/14 i później w r. akad. 2015/16

Bardziej szczegółowo

Informacje dotyczące przygotowania i organizacji egzaminu maturalnego w 2016 roku. Zespół Szkół Budowlanych nr 1 w Płocku

Informacje dotyczące przygotowania i organizacji egzaminu maturalnego w 2016 roku. Zespół Szkół Budowlanych nr 1 w Płocku Informacje dotyczące przygotowania i organizacji egzaminu maturalnego w 2016 roku Deklaracje 1 Zdający składa przewodniczącemu SZE, w terminie do 30 września 2015 r., wstępną pisemną deklarację. Deklaracje

Bardziej szczegółowo

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Empik każdego inspiruje inaczej Aleksander Puszkin (1799 1837) Andrey (Andrei) Andreyevich Markov (1856 1922) Wśród 20 tysięcy początkowych

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa 01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 1. Kombinatoryka

Laboratorium nr 1. Kombinatoryka Laboratorium nr 1. Kombinatoryka 1. Spośród n różnych elementów wybieramy k elementów. Na ile sposobów możemy to uczynić? Wypisać wszystkie możliwe wybory w przypadku gdy n=3 i k=2. Wykonać obliczenia

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa lista zadań nr 6

Rachunek prawdopodobieństwa lista zadań nr 6 1) Klasa zorganizowała loterię fantową. Do sprzedaży przeznaczono 50 losów ponumerowanych od 1 do 50. Organizatorzy przyjęli zasadę, że każdy los, którego numer jest liczbą podzielną przez 3, wygrywa fant.

Bardziej szczegółowo

Wartość danej Liczebność

Wartość danej Liczebność ZADANIE 1 (5 PKT) Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY

MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY MATURA EUROPEJSKA 010 MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY DATA 4 czerwca 010 CZAS TRWANIA EGZAMINU : 3 godziny (180 minut) DOZWOLONE POMOCE Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez programowania) UWAGI:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY ROK SZKOLNY 2015/2016 PRZEDMIOTY OBOWIĄZKOWE

EGZAMIN MATURALNY ROK SZKOLNY 2015/2016 PRZEDMIOTY OBOWIĄZKOWE EGZAMIN MATURALNY ROK SZKOLNY 2015/2016 PRZEDMIOTY OBOWIĄZKOWE CZĘŚĆ USTNA - Bez określania poziomu * JĘZYK POLSKI * JĘZYK OBCY NOWOŻYTNY- wybrany spośród języków: angielskiego, francuskiego, hiszpańskiego,

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY w 2016 roku

EGZAMIN MATURALNY w 2016 roku EGZAMIN MATURALNY w 2016 roku Egzamin maturalny w 2016 roku Egzamin maturalny obejmuje: egzaminy obowiązkowe wymagane do uzyskania świadectwa dojrzałości, egzaminy dodatkowe związane z kierunkiem dalszego

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 3. Zmienne losowe 4. Populacje i próby danych 5. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN GIMNAZJALNY 2012

EGZAMIN GIMNAZJALNY 2012 EGZAMIN GIMNAZJALNY 2012 Od roku szkolnego 2011/2012 egzamin gimnazjalny będzie przeprowadzany na nowych zasadach. Egzamin będzie sprawdzał opanowanie przez uczniów wiadomości i umiejętności określonych

Bardziej szczegółowo