Statystyka podstawowe wzory i definicje

Transkrypt

1 1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią arytmetyczną tego zbioru. 5,83 Średnia ważona to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) pomnożonych przez swoje wagi (w 1, w 2,,w n) i podzielona przez sumę wszystkich wag (w 1+ w 2 + +w n) Przykład 2 Oblicz średnią ważoną dla danych z tabeli liczba waga Mediana to w uporządkowanym w kolejności niemalejącej zbiorze liczb wyraz środkowy, gdy ilość elementów (liczb) jest nieparzysta średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów, gdy ilość elementów (liczb) jest parzysta Przykład 3 Wyznacz medianę zbioru a) {6, 8, 11, 2, 5, } b) {4, 3, 7, 6, 1, 3, 5, 3} a) Porządkujemy liczby od najmniejszej do największej {2, 5, 6, 8, 11}, jest ich pięć (nieparzyście), czyli medianą będzie wyraz stojący po środku zestawu, czyli 6. m e 6 b) Porządkujemy liczby od najmniejszej do największej {1, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7}, jest ich osiem (parzyście), czyli medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch wyrazów stojących po środku zestawu, czyli 3,5 m e 3,5

2 2 Odchylenie standardowe obliczamy ze wzoru: a 1, a 2,,a n dane liczby - średnia arytmetyczna tych liczb n ilość wszystkich liczb σ ( ) ( ) ( ) Przykład 4 Oblicz odchylenie standardowe zbioru liczb {4, 6, 2, 8} Obliczamy średnią arytmetyczną tego zestawu liczb 5 podstawiamy dane do wzoru na odchylenie standardowe σ ( ) ( ) ( ) ( ) () () 5 2, 23 INNE PRZYKŁADY Z WYKORZYSTANIEM ŚREDNIEJ I MEDIANY Przykład 5 Średnia arytmetyczna zestawu danych 6, 2, x, 12, 15, 11 jest równa 9. Wyznacz medianę tego zestawu. Dane z zadania podstawiamy do wzoru na średnią arytmetyczną i otrzymujemy: x x x 8 (brakująca liczba w zestawie) Mając wszystkie liczby w zestawie porządkujemy je od najmniejszej do największej {2, 6, 8, 11, 12, 15} ponieważ mamy parzystą ilość liczb, to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch liczb stojących po środku, czyli: m e 9,5

3 3 Przykład 6 Na wycieczce średnia wieku wszystkich dzieci wynosi 10 lat. Średnia wieku dzieci i 3 wychowawców wynosi 13 lat. Wychowawcy mają odpowiednio 24, 29 i 40lat. Ile dzieci jest na wycieczce? Oznaczmy ilość dzieci przez x, wówczas, na podstawie wzoru na średnią arytmetyczną, utworzyć możemy równanie: 13 rozwiążmy go teraz: 13 (x+3) 10x (x + 3) 10x x x 13x x - 54 : (-3) x 18 Zatem na wycieczce było 18 dzieci. Kombinatoryka podstawowe 2 reguły Reguła mnożenia - jeśli zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów to możemy utworzyć m n różnych par (a, b), takich, że a A oraz b B. Zasada ta obowiązuje również dla większej niż dwa ilości zbiorów widać to na poniższych przykładach. Przykład 7 W szafie znajduje się 4 pary butów, 3 pary spodni oraz 6 bluz. Na ile różnych sposobów można ubrać się w zestaw buty, spodnie, bluza. Mamy 4 możliwości wyboru butów, do każdej z tych 4 możliwości dochodzą 3 możliwości na wybór spodni, czyli 4 3 ale do tych 4 3 możliwości dochodzi jeszcze 6 możliwości wyboru bluzy, w sumie zatem mamy możliwości ubrania się w zestaw buty, spodnie, bluza. Przykład 8 Kod składa się z 3 cyfr. Ile jest możliwości utworzenia kodu, tak aby na końcu stała cyfra nieparzysta, a pierwsza cyfra nie była zerem. Pierwszą cyfrą nie może być 0, zatem pozostaje mi do wyboru 9 pozostałych cyfr. Druga cyfra może być dowolna, zatem mam do wyboru 10 cyfr. Ostatnia cyfra musi być nieparzysta czyli ma być 1, 3, 5, 7, 9, zatem mam do wyboru 5 cyfr. Więc wszystkich możliwości utworzenia szyfru na tych warunkach będzie:

4 4 Reguła dodawania - jeśli zbiór A i zbiór B są rozłączne, to $ & ''''''' $ + &' Przykład 8 W klasie Ia jest 10 dziewcząt i 15 chłopców, a w klasie Ib jest 12 dziewcząt i 8 chłopców. Na ile sposobów można wybrać parę złożoną z jednej dziewczyny i jednego chłopca, którzy chodzą do tej samej klasy. W klasie Ia mamy możliwości wyboru pary, a w klasie Ib mamy możliwości wyboru pary zatem w obydwu klasach mamy możliwości wyboru pary złożonej z jednej dziewczyny i jednego chłopca, którzy chodzą do tej samej klasy. Rachunek prawdopodobieństwa podstawowe wzory i definicje Definicja klasyczna - jeśli w doświadczeniu losowym wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo danego zdarzenia A jest równe: B )*+,-,./,0ń 0)020 3/ 4+5 (4 *6ó) 89/,4::ą+4+5,./,0 *< P(A) )*+,- 8,4836*+5,./,0ń 0)02 3/ 4+5.). 0>?.?ś*.+,0 *)?8?0>? A AB Własności prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą z przedziału od 0 do 1 (0 P(A) 1) Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe 1, to zdarzenie A nazywamy pewnym. Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe 0, to zdarzenie A nazywamy niemożliwym. Jeśli A jest zdarzeniem przeciwnym do A to P(A ) 1 P(A) Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń obliczamy ze wzoru P(A B) P(A) P(B) P(A B) Jeśli zdarzenie A zawiera się w zdarzeniu B to P(A) P(B) Przykład 9 W urnie jest 4 kule białe, 2 czarne i 3 niebieskie. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: a) wylosowano kulę niebieską b) nie wylosowano kuli białej a) określamy zdarzenie A wylosowano kulę niebieską. kul niebieskich (zdarzeń sprzyjających) mamy 3 wszystkich kul (wszystkich zdarzeń) mamy 9 zatem P(A) b) określamy zdarzenie B nie wylosowano kuli białej stąd określimy zdarzenie przeciwne B wylosowano kule białą i obliczymy prawdopodobieństwo tego zdarzenia przeciwnego B kul białych (zdarzeń sprzyjających) mamy 4 wszystkich kul (wszystkich zdarzeń) mamy 9 zatem P(B ), wiemy, że P(B) 1 P(B ) stąd u nas P(B) 1 - D E

5 5 Przykład 10 W urnie jest 4 kule białe, 2 kule czarne i pewna ilość kul niebieskich. Oblicz ile jest kul niebieskich jeśli prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi D. Oznaczmy: x ilość kul niebieskich A wylosowano kulę białą P(A) Wiadomo, że kul białych jest 4, a wszystkich kul jest 4+2+x więc P(A) otrzymujemy równanie które rozwiążemy mnożąc na krzyż 2(6+x) x 20 2x x 8 x 4 tyle kul niebieskich jest w urnie Przykład 11 Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymano dokładnie dwie reszki. Wypisujemy wszystkie możliwe zdarzenia elementarne przy trzykrotnym rzucie monetą. Ω {(ooo), (oor), (oro), (roo), (rro), (ror), (orr), (rrr)} więc liczba wszystkich zdarzeń to: ΩB 8 A- reszka wypadła dokładnie dwa razy wybieramy zdarzenia sprzyjające (czyli te gdzie reszka wypadła dokładnie dwa razy) A {(rro), (ror), (orr)} więc liczba zdarzeń sprzyjających to: AB 3 Stąd P(A) H B IB

6 6 Przykład 12 Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo następującego zdarzenia: A suma otrzymanych liczb jest liczbą nieparzystą większą od 7 Wypisujemy wszystkie możliwe zdarzenia elementarne przy dwukrotnym rzucie kostką (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Powyższy zapis można zastąpić również diagramem możliwości, jak poniżej: czyli ΩB 36 zdarzenia sprzyjające to A {(3,6) (4,5) (5,6) (6,5)} stąd AB 4 więc P(A) H B IB Przykład 13 Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy dwukrotnie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma wylosowanych liczb większa od 15. Tworzymy diagram możliwości podobny ja przy rzucie kostką tylko z większą ilości możliwości, bo 9 na 9 i zaznaczamy te kratki, gdzie suma liczb jest parzysta: P(A) J K