Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Transkrypt

1 Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat Klasyczny Zadanie. 1 Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) sumy oczek równej 6 b) iloczynu oczek równego 6 c) wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek równej 1. Rzucamy trzy razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) w każdym rzucie innej liczby oczek b) co najmniej raz nieparzystej liczby oczek c) co najmniej raz sześciu oczek d) co najmniej raz sześciu oczek i co najmniej raz nieparzystej liczby Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy jednocześnie dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) dwóch liczb parzystych b) dwóch liczb nieparzystych c) dwóch liczb, których suma jest parzysta d) dwóch liczb, których iloczyn jest parzysty

2 Zadanie. 4. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy jednocześnie trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) trzech liczb parzystych b) co najmniej jednej liczby parzystej c) dwóch liczb parzystych d) liczby 1 wśród wylosowanych liczb Zadanie. 5. Na loterii jest 100 losów w tym 5 wygrywających. Oblicz prawdopodobieństwa, że wśród kupionych pięciu losów będziemy mieli a) dwa losy wygrywające b) co najmniej jeden los wygrywający Zadanie. 6. Z talii 52-kartowej losujemy pięć kart. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) pięciu kierów b) dwóch kierów i trzech pików c) dwóch kierów d) dwóch asów e) trzech króli f) dwóch asów i trzech króli g) co najmniej jednego asa Zadanie. 7. Kupujemy jeden los w Dużego Lotka. Jakie jest prawdopodobieństwo: a) trafienia szóstki b) trafienia piątki c) trafienia czwórki d) trafienia trójki Los kosztuje 3 zł. Przy jakiej kumulacji i założeniu, że nikt inny nie trafi szóstki warto zagrać w Dużego Lotka?

3 Prawdopodobieństwo Warunkowe Zadanie. 1. Z talii 52-kartowej losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kiera, jeżeli wiadomo że otrzymana karta jest starsza od waleta. Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek większego od siedmiu, jeżeli wiadomo, że suma otrzymanych oczek jest równa sześć. Wiedząc, że P(A B) = 1/6, P(A B) = 1/3, P(B A) = 1/2, oblicz P(A B). Zadanie. 4. Wiedząc, że P(B) = P(B ), P(A B) + P(A B ) = 2/3, oblicz P(A). Niezależność zdarzeń Zadanie. 1. Z pojemnika, w którym znajduje się sześć kul białych oraz pięć czarnych losujemy dwie kule. Czy zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli: A otrzymamy co najmniej jedną kulę białą B otrzymamy co najmniej jedną kulę czarną Z talii 52-kartowej losujemy jedną kartę. Sprawdź czy zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli: a) A otrzymamy figurę, B otrzymamy pika b) A otrzymamy kartę młodsza od piątki, B otrzymamy kartę starszą od trójki. Zdarzenia A i B są niezależne, P(B ) = 1/4, P(A B) = 2/3. Oblicz P(A). Zadanie. 4. Zdarzenia A i B są niezależne, P(A) > 0, 2 P(A) = 5 P(A B). Oblicz P(B ).

4 Prawdopodobieństwo całkowite oraz wzór Bayesa Zadanie. 1. Strzelec A trafia do celu pojedynczym strzałem z prawdopodobieństwem 0.7, strzelec B z prawdopodobieństwem 0.6, strzelec C z prawdopodobieństwem 0.8. Oblicz prawdopodobieństwa: a) losowo wybrany strzelec trafi do celu b) wszyscy strzelcy oddadzą jeden celny strzał c) strzelał jeden strzelec i to dokładnie C, jeżeli okazało się, że cel został trafiony Stacja benzynowa obsługuje samochody osobowe i dostawcze. Stosunek liczby samochodów osobowych do dostawczych pobierających paliwo jest równy 7:3. Około 80 % samochodów osobowych tankuje etylinę zaś 20% olej napędowy. W przypadku samochodów dostawczych 90% tankuje olej napędowy zaś 10% etylinę. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) samochód, który podjedzie po paliwo, będzie tankował etylinę b) podjechał samochód dostawczy, jeżeli wiadomo, że tankował etylinę Mamy trzy fabryki produkujące ten sam produkt. Pierwsza wypuszcza p 1 % wadliwych towarów, druga p 2 % a trzecia p 3 %. W partii towaru znajduje się n 1, n 2, n 3 sztuk pochodzących odpowiednio z trzech fabryk. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) losowo wybrana sztuka towaru będzie wadliwa b) sztuka towaru pochodzi z pierwszej fabryki jeżeli wiadomo, że jest wadliwa Zadanie. 4. Z badań rynku ubezpieczeń na życie dla osób w wieku lat wynika, że kobiety dwa razy częściej ubezpieczają swoje życie niż mężczyźni. Dla tej samej grupy osób ryzyko zgonu mężczyzn w ciągu trwania ubezpieczenia wynosi 0,009 zaś dla kobiety 0,003. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród ubezpieczonych w wieku lat: a) losowo wybrana osoba umrze w czasie trwania polisy b) będzie to kobieta, jeżeli wiadomo, że nastąpił zgon. Zadanie. 5. W worku jest (1 p)m rzetelnych, symetrycznych monet i pm monet, które po obu stronach mają orła. Wybieramy losowo jedną monetę i rzucamy nią n razy. We wszystkich rzutach wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta jest nierzetelna.

5 ODP. Schemat Klasyczny Zad.1. a) 5/36 b) 1/9 c) 5/18 Zad.2. a) 5/9 b) 7/8 c) 91/216 d) 1/3 Zad.3. a) 1/7 b) 2/7 c) 3/7 d) 5/7 Zad.4. a) 1/21 b) 5/42 c) 5/14 d) 1/3 Zad.5. a) 0, b) 0, Zad.6. a) (13 ( 52 b) ( 13 2 ) (13 3 ) ( 52 c) ( 13 2 ) (39 3 ) ( 52 d) ( ODP. Prawdopodobieństwo warunkowe Zad.1. 1/4 Zad.2. 0,6 Zad.3. P(A B) = 2/3 Zad.4. P(A) = 1/3 ODP. Zdarzenia niezależne Zad.1. Nie Zad.2. a) Tak b) Nie Zad.3. P(A) = 8/9 Zad.4. P(B ) = 3/5 4 2 ) (48 3 ) ( 52 e) ( ODP. Prawdopodobieństwo całkowite oraz wzór Bayesa Zad.1. a) 0,7 b) 0,336 c) 8/21 Zad.2. a) 0,59 b) 3/ ) (48 2 ) ( 52 f) ( 4 2 ) (4 3 ) ( 52 g) 1 ( 48 ( 52 Zad.3. a) p 1n 1 +p 2 n 2 +p 3 n 3 100(n 1 +n 2 +n 3 ) b) p 1 n 1 p 1 n 1 +p 2 n 2 +p 3 n 3 Zad.4. a) 0,005 b) 0,4 Zad.5. 2 n p 1+(2 n 1)p

6 Schemat klasyczny prawdopodobieństwa (własności) Ω zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (równo prawdopodobnych) A Ω jest dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych P(A) = A Ω 0 P(A) 1 P(A) = 0 P(A) = 1 to zdarzenie A nazywamy zdarzeniem niemożliwym to zdarzenie A nazywamy zdarzeniem pewnym P(A ) = 1 P(A) gdzie A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Niezależność zdarzeń Zdarzenia A oraz B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy: P(A B) = P(A) P(B) Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem B określamy wzorem: o ile P(B) > 0. P(A B) = P(A B) P(B) Prawdopodobieństwo to implikuje następujące zależności: P(A B) = P(A B) P(B) P(A B) = P(B A) P(A) Zupełny układ zdarzeń Zdarzenia B 1, B 2,, B n tworzą zupełny układ zdarzeń jeżeli:

7 - B 1 B 2 B n = Ω - dla każdego i j zachodzi B i B j = - dla każdego i = 1,2,, n zachodzi P(B i ) > 0 Prawdopodobieństwo całkowite Niech B 1, B 2,, B n będzie zupełnym układem zdarzeń. Jeżeli A jest dowolnym zdarzeniem takim, że P(A) > 0, to dla dowolnego i = 1,2,, n: n P(A B i ) = P(A B i ) P(B i ) i=1 Twierdzenie Bayesa Niech B 1, B 2,, B n będzie zupełnym układem zdarzeń. Jeżeli A jest dowolnym zdarzeniem takim, że P(A) > 0, to dla dowolnego i = 1,2,, n: P(B i A) = P(A B i) P(A) = P(A B i) P(B i ) n P(A B i ) P(B i ) i=1 Przykład. (wzór Bayesa) Wśród szkód zgłaszanych przez ubezpieczonych będących mieszkańcami: miast 80% dotyczy wypadków w miastach, a 20% poza miastem wsi 40% dotyczy wypadków w miastach, a 60% poza miastem. Wiadomo ponadto, że 70% wszystkich ubezpieczonych to mieszkańcy miast. Zgłoszono roszczenie dotyczące wypadku poza miastem (na wsi). Jakie jest prawdopodobieństwo, że ubezpieczony jest mieszkańcem miasta?