THE ROLE OF STATISTICAL METHODS IN ASSESSING THE EVIDENTIAL VALUE OF PHYSICO-CHEMICAL DATA

Transkrypt

1 by the Institute of Forensic Research ISSN THE ROLE OF STATISTIAL METHOS IN ASSESSING THE EVIENTIAL VALUE OF PHYSIO-HEMIAL ATA Grzegorz ZAORA In sti tute of Fo ren sic Re search, Krakow, Po lan Abstract The use ful ness of sta tis ti cal ap proaches, es pe cially those re late to the like li hoo ra tio, in eval u at ing glass frag ments is pre sente in this pa per. The glass frag ments were ana lyse an char ac ter ise ac cor ing to their el e men tal con tent as e ter mine by the SEM-EX metho. Key wors Glass; las si fi ca tion; om par i son; Fo ren sic sta tis tics; SEM-EX. Re ceive 16 April 2006; ac cepte 15 May In tro uc tion It is uni ver sally known that var i ous types of ma te ri - als can be sub jecte to physico-chem i cal ex am i na tions by fo ren sic sci en tists, e.g. glass frag ments, paints, fibres, plas tics, pe tro leum pro ucts, or ganic sol vents, gun shot res i ues. Var i ous an a lyt i cal meth os have been use for these ex am i na tions an var i ous kins of in for ma tion have been ob taine. These in clue: mor pho log i cal ata e.g. the ap pear ance of a crosssec tion of fibres, the num ber an thick ness of lay - ers in a cross-sec tion of au to mo tive paint; qual i ta tive ata e.g. gas chromatograms of accel - erants e tecte in a sam ple col lecte from a sus pi - cious fire scene; chromatograms of py rol y sis pro - ucts of a sam ple of paint or fibres; in fra re spec - trum of an un known sub stance; quan ti ta tive ata e.g. the re frac tive in ex of a glass frag ment, the con cen tra tion of el e ments in a glass frag ment e ter mine by a scan ning elec tron mi cro scope with an X-ray e tec tor (SEM-EX), ar eas un er the peaks of a chromatogram of gas o - line e tecte in fire e bris. Ques tions raise by the po lice, pros e cu tors an the courts con cern ien ti fi ca tion of ev i ence ma te rial an/or an as so ci a tion be tween two or more ev i ence ma te ri als. There fore, ata ob taine ur ing case work shoul be re li able. ata can be con firme to be re li able when the par tic u lar an a lyt i cal metho is fully val i - ate. One of the ef i ni tions of val i a tion states that it is a pro cess by which ob jec tive ata are ob taine through car ry ing out mea sure ments, with the aim of achiev ing par tic u lar aims an meet ing cer tain an a lyt i - cal re quire ments (i.e. solv ing spe cific an a lyt i cal prob - lems) [7]. Pa ram e ters such as re peat abil ity, inter mei - ate pre ci sion, reproucibility, an ac cu racy shoul be re core ur ing the val i a tion pro cess for a par tic u lar quan ti ta tive tech nique. By the same to ken, sta tis ti cal pa ram e ters such as stan ar e vi a tions an rel a tive stan ar e vi a tion shoul be e ter mine an re gres - sion-cor re la tion anal y sis as well as an anal y sis of vari - ance shoul be car rie out ur ing e ter mi na tions of the above-men tione pa ram e ters. The use of sta tis ti cal

2 92 G. Zaora tools in physico-chem i cal anal y sis of ev i ences shoul not be viewe as a pass ing fa, but a con tem po rary ne - ces sity for the val i a tion of results. The ne ces sity an use ful ness of ap pli ca tion of sta - tis ti cal meth os in the fo ren sic sphere is not only as so - ci ate with val i a tion. Suc cess ful ap pli ca tion of sta - tistical meth os in the ien ti fi ca tion-clas si fi ca tion an com par i son of glass frag ments ana lyse by SEM-EX is an ex am ple [1, 4, 12, 18, 20, 21]. This metho has been ap plie to glass in the In sti tute of Fo ren sic Re - search (IFR) since when their lin ear i men sions are less than 0.2 mm. There fore, it is nec es sary to ien tify glass frag ments among other par ti cles col lecte on an SEM stub. This can be ac com plishe by means of the an a lyt i cal re sults ob taine by SEM-EX anal y sis. The ien ti fi ca tion is mae on the ba sis of qual i ta tive re sults reaily is cern - ible in the spec tra. The if fer en ti a tion be tween true glass an glass-like par ti cles such as quartz grains can be ac com plishe very quickly ue to the ob vi ous an sig nif i cant if fer ences in el e men tal con tent (com pare spec tra in Fig ure 1 an 2). 2. Glass re cov ery an el e men tal anal y sis cps Si Any glass frag ments in cloth ing are re move by brush ing the sub mit te gar ments. The col lecte e bris is stu ie un er an SMXX arl Zeiss op ti cal mi cro - scope at 100 mag ni fi ca tion with the aim of iso lat ing any glass-like frag ments. Frag ments re cov ere for anal y sis typ i cally have lin ear i men sions of about mm. Se lecte glass-like frag ments are place on a 12 mm alu minium SEM stub cov ere with self-a he - sive car bon tape. Once mounte, they are car bon coate us ing a Swiss Bal-Tech S sputterer. The pre pare stub is mounte in the sam ple cham ber of a Jeol JSM-5800 scan ning elec tron mi cro scope equippe with a Link ISIS 300 en ergy ispersive X-ray spec trom e ter. A min i mum of three mea sure ments is taken for each glass frag ment. The fol low ing mea sure ments con i - tions were ap plie: ac cel er at ing volt ages 20 kv, count time 50 sec ons, mag ni fi ca tion times, cal - i bra tion el e ment, o. The SEMQuant op tion was use to cal cu late the per cent ages by weight of se lecte el e - ments in each sam ple. This is a part of the LINK ISIS soft ware from Ox for In stru ments Lt, of the Unite King om. This op tion ap plie the ZAF cor rec tion pro - ce ure, which makes cor rec tions for the ef fects of if - fer ences in the atomic num ber (Z), ab sorp tion (A) an X-ray flu o res cence (F). The se lecte an a lyt i cal con i - tions al lowe all el e ments to be e ter mine ex cept Li an B. The tar get el e ments an their con cen tra tions con si ere in the re search pre sente in this pa per were ox y gen, so ium, mag ne sium, alu minium, sil i con, po - tas sium, cal cium an iron. 3. Ien ti fi ca tion of glass frag ments The SEM-EX metho is a use ful tool for ien ti fi - ca tion of glass par ti cles among other glassy micro - traces re cov ere from e bris. Oc ca sion ally, cer tain san grains can look like a glass par ti cle, es pe cially O Energy (kev) Fig. 1. A SEM-EX spec trum of a san par ti cle (SiO 2 ). cps O Na Al Si a Energy (kev) Fig. 2. A SEM-EX spec trum of a glass frag ment (from a colour less pane of float glass SiO 2 ao Na 2 O Al 2 O 3 ). 4. las si fi ca tion of glass frag ments When a glass microtrace is e tecte among micro - traces re cov ere from e bris an mounte on an SEMstub, a clas si fi ca tion shoul be mae as to the type of glass pres ent (e.g., win ows, con tain ers, hea lamps). This pro cess is es pe cially im por tant when there is

3 The role of statistical methos in assessing the eviential value a lack of a com par i son sam ple. e ter mi na tion of the type of glass coul help in ves ti ga tors fo cus their search for the ap pro pri ate com par i son ma te ri als. The pre lim i nary clas si fi ca tion scheme worke out an ap plie at the In sti tute of Fo ren sic Re search [18, 21] was mae on the ba sis of an a lyt i cal re sults from 210 sam ples. In spec tion of re sults from these sam ples al lowe ien ti fi ca tion of spe cific el e ments whose ranges of con cen tra tion in the con si ere groups i not over lap. This non-sta tis ti cal ap proach only per mit - te a cor rect clas si fi ca tion of glass sam ples orig i nat ing from gen eral types or cat e go ries hav ing spe cial physico-chem i cal fea tures an there fore a spe cial el e - men tal con tent (See sets 2 5 in Fig ure 3). An ex am ple woul be op ti cal glass that con tains rel a tively high con cen tra tions of po tas sium an bar ium, pres ent to im prove its op ti cal prop er ties. It shoul be pointe out that the SEM-EX metho only pro vies in for ma tion about ma jor an mi nor el e - ments pres ent in a glass sam ple. Trace el e ments are be - low the e tec tion lim its of this metho. It is a com mon be lief that in for ma tion about trace el e ments pres ent in a sam ple is in is pens able for ef fec tively com par ing an iniviualising glass eviences. onsequently, the fol low ing ques tion is pose: is it pos si ble to solve prob lems of clas si fi ca tion an com par i son, on the ba - sis of re sult of anal y ses per forme by the SEM-EX metho in the ab sence of in for ma tion re gar ing trace el e ments? The an swer is no when a vi sual in spec tion of the quan ti ta tive ata is the only ap proach. From such an in spec tion of Fig ure 3, it can be seen that most sam ples are lo cate in sets 6 an 7. The clas si fi ca tion prob lem can be solve, how ever, when clus ter anal y sis (a chemometrics metho) is use. This is a com mon INITIAL SET c(73), ecb(6), eob(7), h(19), icb(8), iob(6), o(6), p(37), t(12), w(36) Zn > 0.1 wt.% SET 1: h (1), t (1) Pb or Ba > 5.0 wt.% SET 2: iob (6); icb (8) Al > 1.0 wt.% SET 4: iob (6) Ba> 0.1 wt.% K > 3.0 wt.% SET 5: o (6) SET 3: icb (8) Fe > 0.1 wt.% SET 6: c (29), p (14), w (22) SET 7: c (41), ecb (2), eob (6), h (18) Fig. 3. A clas si fi ca tion scheme of glass frag ments on the ba sis of re sults of SEM-EX el e men tal e ter mi na tion (c car win ows, ecb, eob, icb an iob bulbs, h healamps, o op ti cal glass, p con tain ers, t ta ble glass, w buil ing win ows). In brack ets the num ber of ob jects orig i nat ing from a par tic u lar class.

4 94 G. Zaora tech nique for ata visu ali sa tion an clas si fi ca tion of ma te ri als when sam ples are e scribe by more than one physico-chem i cal fea ture. This metho al lows us to cre ate clus ters out of sim i lar ob jects. It re lies upon a sim ple rule; the mea sure of sim i lar ity of stu ie ob - jects is the is tance be tween them. The smaller the is - tance be tween ob jects the more sim i lar they are to each other. The is tances be tween sam ples were cal cu late as the square Eu cli ean is tance an the small est vari ance metho was ap plie as a clus ter ing tech nique. Re sults of clus ter anal y sis can be pre sente in the form of enrograms. A enrogram re sult ing from clus ter anal y sis within a set of sam ples of con tainer glass an glass from au to mo bile an buil ing win ows is pre - sente in Fig ure 4. Two sep a rate clus ters are ob serve for these ata. istance ontainers ar an builing winows Fig. 4. A enrogram re sult ing from clus ter anal y sis within set 6 of con tainer glass, au to mo bile win ows an or i nary win ow panes (sim i lar ity mea sure: square Eu cli ean is - tance, clus ter ing metho: the small est vari ance; War s metho). Sim i lar re sults were ob taine when glass sam ples originating from healamps, bulbs an containers were ana lyse (Fig ure 5). The clus ters ob taine i not con tain glass ob jects orig i nat ing from the same type-use class of glass, i.e. they were not ho mog e nous. There fore, the re sults for the clas si fi ca tion of un known glass frag ments coul not be e fin i tive. It was men tione that the clus ter anal y sis metho is a metho of anal y sis of multivariate ata struc ture. The task of clas si fi ca tion of glass frag ments for fo ren - sic pur poses, where glass frag ments are ana lyse by the SEM-EX metho, coul be solve by ap pli ca tion of meth os such as Sup port Vec tor Ma chines or Na ive Bayes las si fi ers. The ap pli ca tion of SVM can be es - pe cially suc cess ful in the case of clas si fi ca tion of glass ob jects into one of the fol low ing glass cat e go ries: car win ows or buil ing win ows [20]. istance om par i son of glass ev i ence The sta tis ti cal meth os were eval u ate in a clas sic com par i son prob lem; coul two sam ples (ev i ence an con trol) have orig i nate from the same ob ject? With the aim of solv ing this prob lem, the fol low ing moel was pro pose [18]. It was as sume that mi crotraces coul be treate as points in mul ti i men sional space be cause each sam ple is e scribe by some el e - ments e ter mine by SEM-EX. It was also as sume that microtraces orig i nat ing from sep a rate ob jects such as two win ow panes shoul cre ate two sep a rate sets in mul ti i men sional space; oth er wise, they shoul cre - ate one set. The fol low ing null hy poth e sis was con si - ere: H : 0 i {1} e where, i the mean of is tances cal cu late be tween microtraces orig i nat ing from the same ob ject (Fig - ure 6), e the mean of is tances cal cu late be tween micro traces orig i nat ing from if fer ent ob jects (Fig - ure 7). The fol low ing for mula was use for is tance cal cu - la tion: AB Healamps Bulbs ontainer glass Fig. 5. A enrogram re sult ing from clus ter anal y sis within set 7 of car hea lamps, bulbs an con tainer glass (sim i lar ity mea sure: zebyszew is tance, clus ter ing metho: the small - est vari ance; War s metho). n ca c k Bk k n n ca c k k1 k1 2 2 Bk {2} where AB the is tance be tween ob jects A an B, c Ak, c Bk con cen tra tion (wt. %) of the k-th el e ment in com - pare microtraces A an B, n num ber of con si ere el e ments.

5 The role of statistical methos in assessing the eviential value Variable 2 Variable 2 i e A2 A1 A2 A1 A3 6 A1 A 2 A1 A 3 A 2 A 3 B1 B 2 B1 B 3 B 2 B 3 A3 9 A1 B1 A2 B A1 B3 A2 B1 A2 B A2 B3 A3 B1 A3 B A3 B The null hy poth e sis was teste by the t-stu ent test (Welch mo i fi ca tion). This moel worke suf fi ciently well in that the level of false an swers was low when the sig nif i cance prob a bil ity p was set as equal to 0.3. This ap proach was teste through many col lab o ra tive tests or gan ise by the Paint an Glass Ex perts Work ing Group of the Eu ro pean Net work of Fo ren sic Sci ences In sti tutes in which com par i sons were cor rectly an - swere. Nev er the less, there is a crit i cal is sue as so ci - ate with this ap proach. This ap proach con trols type I (false neg a tive) er ror. But it is type II (false pos i tive) er rors that must be thor oughly con trolle in the fo ren - sic fiel. This crit i cal point re lates to all sit u a tions where sig nif i cance tests are use for com par i son of ev - i ence an con trol items. More over, the ap pli ca tion of sig nif i cance tests only al lows the an a lyst to take into ac count in for ma tion B3 B2 B1 Variable 1 Fig. 7. Il lus tra tion of the con cept of cal cu la tion of mean is - tance be tween microtraces orig i nat ing from if fer ent ob - jects; A1B1, A1B2,..., A3B3 is tances cal cu late accor - ing to equa tion {2}. B3 B2 B1 Variable 1 Fig. 6. Il lus tra tion of the con cept of cal cu la tion of mean is - tance be tween microtraces orig i nat ing from the same ob ject; AA2, A1A3,..., B2B3 istances calculate accoring to equa tion {2}. about the sim i lar ity of com pare ob jects (e.g., if fer - ences in the mea sure el e men tal con tent of com pare sam ples) an within-source vari a tion (i.e., vari a tions within the same glass ob ject). There fore, the an swer to the fol low ing ques tion coul be ob taine by the ap pli - ca tion of a sig nif i cance test: o the com pare sam ples have the same physico-chem i cal fea tures? How ever, an af fir ma tive an swer to this ques tion oes not an swer the ques tions: oul the ev i ence an con trol sam ple orig i - nate from the same ob ject/what is the strength of the ev - i ence that the com pare sam ples have the same or i gin? The an swer to these ques tions re quires in for ma tion re gar ing sources of er ror re late to be tween-ob jects vari abil ity of the e ter mine physico-chem i cal prop - er ties as well as in for ma tion about the com mon ness or rar ity of the e ter mine for the con trol an ev i ence sam ples in the rel e vant pop u la tion. In tu ition woul sug gest that it is more prob a ble that the ev i ence glass sam ples orig i nate from the same ob ject as the con trol sam ple when the match ing physico-chem i cal val ues are rare in the rel e vant pop u la tion than when they are com mon. This in for ma tion is not taken into ac count in sig nif i cance tests, but it can be through the ap pli ca tion of mo els con structe within like li hoo the ory, namely the like li hoo ra tio () ap proach. com - pares the prob a bil ity of the mea sure ments on the ev i - ence as sum ing a com mon source for the ev i ence an con trol glass sam ples with the prob a bil ity of the mea - sure ments on the ev i ence as sum ing if fer ent sources for the ev i ence an con trol sam ples. The law of like li - hoo states that [14]: If A im plies that the prob a bil ity that a ran om vari able X takes the value x is p A (x), while hy poth e sis B im plies that the prob a bil ity is p B (x), then the ob ser va tion X = x is ev i ence sup port ing A over B if an only if p A (x) > p B (x), an the like li hoo ra tio, p A (x)/p B (x), mea sures the strength of that ev i - ence. The let ter E e scribes all ata re late to ev i - ence, e.g. the el e men tal con tent of glass frag ments. The like li hoo ra tio can be ex presse in the form: Pr Pr E H E H p {3} In the case where the com par i son con cerns glass frag ments for which physico-chem i cal prop er ties have been e ter mine, the fol low ing hy poth e ses coul be con si ere: H p glass frag ments re cov ere from the sus pect s clothes are from the same source as the con trol sam ple; i.e. the pros e cu tion hy poth e sis. H glass frag ments re cov ere from the sus pect s clothes are not from the same source as the con trol sam ple; i.e., the e fence hy poth e sis.

6 96 G. Zaora The value of the like li hoo ra tio is easy to in ter pret. Val ues of above 1 sup port the hy poth e sis con si - ere in the nu mer a tor {3} an val ues of be low 1 sup port the op po site hy poth e sis, con si ere in the e - nom i na tor {3}. equal to 1 oes not sup port ei ther. Also, a sim ple rule is ap pli ca ble: the larger the value, the stron ger the sup port for H p, an vice versa for H. In 1977 Linley [11] pro pose a for mula for cal cu la tions in the case of univariant ata when the as - sump tion is that be tween-source vari abil ity is nor - mally is trib ute. It is, how ever, un wise from a foren - sic stan point to as sume a nor mal is tri bu tion of ata in rel e vant pop u la tions such as float glass. In the ab - sence of a proven nor mal is tri bu tion of prop er ties, the as sump tion must be is misse an in its place, a ker nel en sity es ti mate for the be tween-group is tri bu tion em ploye [6]. This univariant approach coul be theoretically ap plie to eval u a tion of glass frag ments e scribe by sev eral fea tures. In this ap proach, shoul be cal cu - late for each vari able sep a rately an then all ob taine i shoul be mul ti plie to ob tain a to tal like li hoo ra - tio t ( t n i1, n num ber of con si ere vari - i ables). This woul be ap pro pri ate when the as sump tion that all con si ere vari ables are in e pen ent is true. This was a crit i cal point in the ap pli ca tion of the univariant ap proach to multi-i men sional ata ob taine uring SEM-EX analysis because this assumption was not true. In 2004, the ap pro pri ate moel for multi-variate ata was pub lishe [12]. This metho take into ac - count two sources of er rors (vari abil ity); within- an be tween-source vari abil ity. This ap proach was ap - Fig. 8. A graph i cal moel of ata struc ture e scribe by vari - ables a) A, B, an b) all five vari ables ac cor ing to ma trix {4} when r > Fig. 9. A i rect acy clic graph of ata struc ture ac cor ing to ma trix {4} when r > plie to ata [12] where glass frag ments were e - scribe by three vari ables. Glass frag ments en tere in the In sti tute of Fo ren sic Re search s glass a ta base are escribe by seven vari ables. The coul be cal cu la - te by us ing all vari ables but this re quire an as sump - tion that all vari ables were cor re late. This as sump tion coul be ac cepte, but it must be re mem bere that ur - ing any cal cu la tions of, an es ti ma tion of pa ram e ters such as means, vari ances an covariance shoul car - rie out. These es ti ma tions re quire a lot of an a lyt i cal ata, i.e. a large num ber of ana lyse glass sam ples; far more than were ac ces si ble in the IFR glass a ta base. There fore, it was pro pose to use graph i cal mo els for a re uc tion in the num ber of vari ables con si ere for cal cu la tion. The graph i cal moel is e rive from a con si er ation of a nor mal ise in verse co vari - ance ma trix. As an il lus tra tion of graph i cal mo els, the fol low ing the o ret i cal ma trix for five vari ables is pre - sente {4}. A B E A B E {4} This ma trix in clues the neg a tives of the par tial cor re la tion co ef fi cients be tween the cor re spon ing pairs of vari ables, given the re main ing vari ables. The e ci sion has to be mae that a pair of vari ables may be con si ere con i tion ally e pen ent when the cor re - spon ing value of a par tial cor re la tion co ef fi cient r is less than cer tain in ab so lute value, e.g. r > The vari ables are rep re sente by noes. Pairs of vari ables (noes) in which the mo ule of par tial cor re la tion ma - trix is greater than r are joine by a straight line. For ex am ple, it can be seen in ma trix {4} that vari able A is par tially cor re late to vari ables B an. Vari able B is also cor re late to vari able as r = The graph i - cal rep re sen ta tion of this is pre sente in Fig ure 8 a. The vari able is also par tially cor re late to vari - able ( r = 0.97) an vari able is also par tially cor re - late to vari able E ( r = 0.26) (see Fig ure 8 b). In the

7 The role of statistical methos in assessing the eviential value next step ar rows are ae in such a way that the re - sult ing graph is acy clic (Fig ure 9). How can the in for ma tion pre sente in the acy clic graph be use to cal cu late? It is nec es sary to ex - press a prob a bil ity en sity func tion. This is pos si ble by ana lys ing the e pen ence of each vari able on other vari ables, i.e. ob ser va tion of ar rows point ing to a par - tic u lar noe. For ex am ple, two ar rows point to noe B (Fig ure 9). This means that vari able B is con i tion ally e pen ent on vari ables A an. This coul be rep re - sente by the fol low ing prob a bil ity en sity func tion: f B A, f f A, B, {5} A, The joint prob a bil ity func tion pres ent in the nom i - na tor an e nom i na tor coul be eval u ate by the ap proach for multivariate ata: f B A, A, B, {6} A, In a sim i lar way for other noes (Fig ure 9), the fol - low ing epenences coul be foun: f A f f E A,,, E E ; {7} ; {8} ; {9} f E E. {10} The mul ti ply ing of ex pres sions {6}{10} gives an ex pres sion for the cal cu la tion of to tal value of like li - hoo ra tio ( t ): t A, B,,, E {11} One coul eas ily ob serve that a max i mum of three vari ables are use in the cal cu la tion of each par tial i, (i = A, B, ;, ;, E; ; ), but at the same time in - for ma tion about each of five vari ables is taken into ac - count for t cal cu la tions. There fore, the use of a gra phical moel al lows cor rect es ti ma tion of pa ram - e ters such as mean, vari ance an covariance. This ap proach was first teste on a set of 130 sam - ples of glass (mainly float glass) e scribe by five vari ables that ha a multivariate nor mal is tri bu tion [1]. More over, a thir source of vari abil ity was also con si ere in this pa per, i.e. mea sure ment er ror the vari a tion of ata ob taine ur ing anal y sis of the same glass fragment. It was pre vi ously men tione that it is nearly im pos - si ble to as sume a multivariate nor mal is tri bu tion for be tween-source ata. There fore, a ker nel en sity es ti - mate for be tween-source ata shoul be ap plie. A suitable moel was worke out. More over, a two-level moel, after application of a unirecte graphical moel, was teste on a set of 200 sam ples ana lyse by the SEM-EX metho. e tails of this can be foun in [4]. It shoul be men tione that these ap proaches [1, 2, 4, 12], base on the cal cu la tion of a like li hoo ra tio an the ap pli ca tion of graph i cal mo els to the eval u a - tion of glass ev i ence in the form of univariant an multi- variate ata, can also be ap plie to the eval u a - tion of other types of ev i ence when: a) they are cha ract eri se by con tin uous va riab les; b) po pul ati on ata are ava ilab le that make it po ssib le to es ti ma te so urc es of va riab ili ty an provi e an es - ti ma te of the ra rity of se lect e phy sico-che mic al pro pert ies. 6. on clu sions The application of statistical methos to the solving of various forensic problems relate to glass evience pre sente here pro vies an ex am ple of their po ten tial use ful ness in fo ren sic sci ence [2]. Meth os base on likelihoo theory an the calculation of likelihoo ratios are very suit able for solv ing the prob lem of com par - isons between evience an control samples. Math e mat i cal e scrip tions of these mo els are gen - er ally quite com pli cate an so phis ti cate. The com - plex ity of these mo els is prob a bly one of the limitations on their com mon us age by fo ren sic sci en tists. It is also es sen tial that mo els ap plie to solv ing fo ren sic prob lems shoul be com pre hen si ble to non-stat is ti - cians juges, pros e cu tors an mem bers of a jury. Re cently an in creas ing num ber of pa pers have been ob serve e scrib ing ap proaches base on ap pli ca tion of graph i cal mo els (e.g. Bayesian net works) for fo - ren sic pur poses [3, 5, 8, 9, 13, 15, 16]. These mo els al low non-stat is ti cians to see re la tion ships be tween vari ables that e scribe ev i en tiary ma te ri als with out the con cur rent loss of their mathematical content. References 1. Aitken. G. G., Lucy., Zaora G. [et al.], Eval u a tion of trace ev i ence for three-level multivariate ata with the

8 98 G. Zaora use of graph i cal mo els, om pu ta tional Sta tistics an ata Anal y sis 2006; 50, Aitken. G. G., Taroni F., Sta tis tics an the eval u a tion of ev i ence for fo ren sic sci en tists, John Wiley an Sons, hichester Aitken. G. G., Taroni F., Garbolino P., A graph i cal mo el ling for the eval u a tion of cross-trans fer evience in NA pro files, The o ret i cal Pop u la tion Bi ol ogy, 2003, 63, Aitken. G. G., Zaora G., Lucy., A two-level moel for ev i ence eval u a tion, Jour nal of Fo ren sic Sciences 2007, 52, han K. P. S., Aitken. G. G., Es ti ma tion of the Bayes fac tor in a fo ren sic sci ence prob lem, Jour nal of Statistical om pu ta tion an So lu tion 1989, 33, urran J. M., Hicks T. N., Buckleton J. S., Fo ren sic in ter - pre ta tion of glass ev i ence, R Press, Boca Ratton awi P., Mortera J., Pascali V. L. [et al.], Probabilistics ex pert sys tems for fo ren sic in fer ence from ge netic mark - ers, Scan i na vian Jour nal of Sta tis tics 2002, 29, Evett W., A Bayesian ap proach to the prob lem of in ter - pret ing glass ev i ence in fo ren sic sci ence case work, Jour - nal of the Fo ren sic Sci ence So ci ety, 1986, 26, Evett W., Gill P.., Jack son G. [et al.], In ter pret ing small quan ti ties of NA; the hi er ar chy of prop o si tion an the use of Bayesian net works, Jour nal of Fo ren sic Sciences 2002, 47, Garbolino P., Eval u a tion of ev i ence us ing Bayesian net - works, Fo ren sic Sci ence In ter na tional 2002, 125, Linley. V., A prob lem in fo ren sic sci ences, Bio - metrica 1977, 64, Lucy., The eval u a tion of trace ev i ence in the form of multivariate ata, Ap plie Sta tis tics 2004, 53, Mortera J., awi A. P., Lauritzen S. L., Proba bil is tic ex - perts sys tem for NA mix ture pro fil ing, The o retical Pop - u la tion Bi ol ogy 2003, 63, Rylan R., Sta tis ti cal ev i ence, hap man an Hall, Lon - on Taroni F., Bieermann A., Garbolino P. [et al.], A gen eral ap proach to Bayesian net works for the in ter pre ta tion of evience, Forensic Science International 2004, 139, Taroni F., Garbolino P., Bayesian Net works an the eval - uation of scientific evience: a theoretical approach, Problems of Fo ren sic Sci ences 2001, 46, Zaora G., Bro ek-mucha Z., Parczewski A., A clas si fi - ca tion of glass microtraces, Prob lems of Fo rensic Sci - ences 2001, 47, Zaora G., Bro ek-mucha Z., Parczewski A., A if fer en - ti a tion of glass microtraces of the same qual i ta tive com - po si tion, Prob lems of Fo ren sic Sci ences 2001, 47, Zaora G., Glass anal y sis for fo ren sic pur poses a com - parison of classification methos, Jour nal of hemo - metrics 2007, 20, Zaora G., Piekoszewski W., Parczewski A., An ap pli ca - tion of cho sen sim i lar ity mea sure ments of ob jects for fo - rensic purposes, Bul le tin of the In ter na tional Sta tis ti cal In sti tute, 54 th ses sion, 2003, vol ume LX, book 2, or re spon ing au thor Grzegorz Zaora Institute of Forensic Research ul. Westerplatte Krakow, Po lan gzaora@ies.krakow.pl

9 ROLA METO STATYSTYZNYH W OSZAOWANIU WARTOŒI OWOOWEJ ANYH FIZYKOHEMIZNYH 1. Wstêp Powszechnie wiaomo, e przemiotem baañ fizyko chemicznych wy kon ywa nych przez bieg³ego s¹o we - go mog¹ byæ ró ne go ro zaju ma ter ia³y, ta kie jak okru - chy szk³a, la kier, w³ókna, two rzywo sztucz ne, pro ukty ro pop och one, roz puszc zalni ki or gan iczne lub œl ay po - wystrza³owe. latego te poczas wspomnianych baañ sto suje siê ta kie me toy, kt óre um o l iwiaj¹ uzys kanie rze teln ych wyn ików la obi ektów os têpn ych o anal izy w bar zo ma³ych ilo œciach. W trak cie baañ uzys kuje siê liczne informacje o analizowanych obiektach, które mo - na pozie liæ na: cechy morfologiczne np. wygl¹ przekroju po przecz - nego w³ókna; liczba i gruboœæ pow³ok lakierowych pochoz¹cych z pojazu, które ustalono na postawie obserwacji przy u yciu mikroskopu optycznego; ane jakoœciowe chromatogramy uzyskane w trak - cie analizy chromatograficznej próbki pobranej z miej - sca po aru na obecnoœæ lotnych ³atwopalnych prouk tów ropopochonych; chromatogramy uzyskane w trakcie analizy prouktów pirolizy próbki lakieru lub w³ókna; wimo w poczerwieni uzyskane la nieznanej substancji; ane iloœciowe np. wartoœæ wspó³czynnika za ³a - mania œwiat³a wyznaczona la okruchu szk³a; za - wartoœæ pierwiastków w analizowanym fragmencie szk³a wyznaczona na postawie analizy meto¹ SEM-EX; pola powierzchni pików zwi¹zków obec - nych na chromatogramie uzyskanym w trakcie ana - lizy próbek zabezpieczonych na miejscu po aru. Py tan ia za aw ane przez zlecenioawców, tj. policjê, prokuraturê lub s¹y, o tycz¹ pro blemu ient yfi kac ji (kla syf ika cji) ma ter ia³u o wo owe go lub te ustal enia powi¹zañ pomiê zy ma ter ia³em o wo owym a po rów - naw czym. la tego te ane uzys kane w trak cie anal iz ma ter ia³u o wo owe go po winny rze telne, a ta kie ane mog¹ byæ uzys kane wówc zas, gy sto sow ana me toa analityczna jest w pe³ni zwaliowana. Jena z efinicji wa li acji mówi, e jest to pro ces, w któ rym po przez wy - kon anie po mia rów uzys kiwa ne s¹ obiekt ywne ane ma - j¹ce na celu osi¹gniêcie kon kretn ych cel ów i za spoko - jenie wymagañ analitycznych (tj. rozwi¹zanie konkret - nych problemów analitycznych) [7]. Parametry takie, jak po wtarzalnoœæ, o twarzalnoœæ, pre cyz ja i ok³an oœæ, po winny byæ uok ume ntow ane w pro ces ie wa li acji a - nej metoy iloœciowej. Tym samym parametry statystyczne, np. o chyl enie stan ar owe, wzgl êne o chylenie stanarowe, jak te analiza regresji i korelacji oraz anal iza wa rianc ji, musz¹ byæ wy kon ane w celu spe³nie nia pow y szych cech me toy, kt óre s¹ wy mag ane w pro ces ie waliacji. Nale y oaæ, e zastosowanie meto statystyczny ch po winno byæ obecn ie trak tow ane nie jak prze - mijaj¹ca moa, ale koniecznoœæ, zapewniaj¹ca procesowi waliacji rzetelnoœæ. Koniecznoœæ i u ytecznoœæ zastosowania tych meto w na ukach s¹o wych nie jest zwi¹zana wy³¹cznie z pro - ces em wa li acji. Na przyk³a u ycie ich w celu roz wi¹za - nia pr oblemów kla syf ika cji i por ówn ania okr uch ów szk³a la potrzeb wymiaru sprawieliwoœci mo na znaleÿæ w licz nych pu blik acj ach [1, 4, 12, 18, 20, 21]. Opis ane tam me toy sto sow ane s¹ w anal izie okru chów szk³a w In s tyt ucie Eks pert yz S¹o wych w Kra kow ie. 2. Ozyskiwanie okruchów szk³a Okruc hy szk³a obecne na ozie y o starc zonej o ba - añ mog¹ byæ o zys kane po przez za stos owa nie pro cesu szczotkowania. Uzyskane wówczas otrzepiny s¹ analizo - wane przy stu krotn ym pow iêksz eniu za po moc¹ mikro - skopu optycz nego SMXX arl Ze iss w celu wy izol owania ok ruch ów szk³a. Wi êksz oœæ o zys kany ch ok ruc hów szk³a ma roz miar li niowy po miê zy 0,1 a 0,2 mm. Wyse - lekcjonowane okruc hy szk³a s¹ umieszc zane na samo - przylepnych kr¹ kach wêglowy ch, które z ko lei na kle - jane s¹ na 12 mm alum ini owe sto liki sto sow ane w ska - ning owym mi kros kopie elekt rono wym (SEM). Nastê p - nie po wierzchn ia ok ruchów szk³a po kryw ane jest cienk¹ warstw¹ wêgla za po moc¹ pro cesu na pyl ania z za stos o - waniem napylarki firmy Bal-Tech S (Lichtenstein). Tak przy got owa na prób ka mon tow ana jest w ko mor ze mi kros kopu ska ning owe go Jeol JSM-5800 (Ja pon ia) sprzê onego ze spek trom etr em pro mien iowa nia rentge - nowskiego Link ISIS 300 (Wiel ka Bry tan ia). Wy kon y - wane s¹ minimum trzy pomiary ka ego z analizowanych frag men tów szk³a w nast êpuj¹cych wa runk ach po - miarowych: napiêcie przyspieszaj¹ce 20 kv, czas pomiaru (o kon ywa nie zl icz eñ) 50 se kun, po wiêkszenie razy, pier wias tek ka lib racy jny o. Opcja SEMQu ant, która jest czêœci¹ pro gramu LINK ISIS (Oxfor In strum ents Lt, Wiel ka Bry tan ia), za stos owa na zo sta³a w celu ok reœlenia za wartoœci pi erwiastków obec - n ych w wi mie anal izo wan ej prób ki, a wyra on ej w pro - cent ach wa gow ych. Opcja ta sto suje pro ce urê ko rek - cyjn¹ ZAF, kt óra uw zglênia po prawki licz by atom owej (Z), ab sorpc ji (A) i flu ores cencji pro mien iowa nia rent - gen owsk iego (F). Sto sow ane wa runki po miar owe po z - wal aj¹ na oznac zenie wszyst kich pierwi astków za wy - j¹tkiem Li i B. Klu czow ymi pier wiastk ami w przy paku

10 100 G. Zaora anal izy okru chów szk³a s¹ je nak tlen, só, ma gnez, alum ini um, krzem, po tas, wapñ i e lazo. 3. Ientyfikacja szk³a wœró innych próbek Metoa SEM-EX jest u ytecznym narzêziem ient yfi kac ji okruc hów szk³a spoœr ó in nych ok ruchów wygl¹aj¹cych jak szk³o. Za rza siê bo wiem, e ziar na pia sku mog¹ prz ypominaæ okruc hy szk³a, szcze gólnie, gy ich roz miar li niowy jest mniej szy ni 0,2 mm. la - tego te ko nieczne jest, aby o ró niæ okruc hy szk³a o ziaren pia sku. Ient yfi kac ja taka jest o kon ywa na na postawie rezultatów analizy jakoœciowej, tj. analizy wi ma SEM-EX. Na py tan ie, czy anal izo wany okruch to frag ment szk³a, czy te okruch wygl¹aj¹cy jak szk³o, mo na opowiezieæ bar zo szyb ko, poni ewa wi mo szk³a znacz¹co ró ni siê o wi ma pia sku (por ównaj wi - ma na ry cin ach 1 i 2). 4. Klasyfikacja okruchów szk³a W przy paku, gy okruc hy szk³a znaj uj¹ siê wœró tych okru chów, które ujawn iono w otrzep ina ch i nastêp - nie umieszc zono na sto liku SEM, to wów czas czê sto ko - nieczne jest przeprowazenie ich klasyfikacji, tj. przypi san ie ich o jaki ejœ ka teg orii u ytk owej szk³a (np. szk³o okienne, po choz¹ce z opak owa nia, klosz re flekt ora sa - moc hoo wego). Ten pro ces jest szc zególnie istotny w przy paku bra ku ma ter ia³u po rów nawczego, po nie wa ok reœ lenie ro zaju szk³a mo e po móc osob ie pro wa z¹ - cej o cho zenie w ustal eniu, ja kiego ma ter ia³u po rów - nawczego po winna sz ukaæ. Pierwszy schemat klasyfikacji szk³a opracowany w In styt ucie Eks pert yz S¹o wych [18, 21] po wsta³ na po staw ie rez ulta tów anal izy prób ek szk³a z 210 ró n ych obie któw. Anal iza wi zua lna a nych po zwoli³a wy ró n iæ te pier wiastki, któr ych prze zia³y zawa rtoœci w roz pat ry - wa nych ka teg ori ach u ytk owy ch szk³a nie po krywa³y siê. Takie niestatystyczne poejœcie pozwoli³o na po - prawn¹ kl asyfikacjê pr óbek szk³a po choz¹cych z tych kategorii szk³a, które posiaaj¹ specjalne w³aœciwoœci fi - zyk och emic zne i z tego po wou spe cjalny sk³a che - miczny (zbio ry 25 na ry cin ie 3). Jako przyk³a mo na poaæ szk³o optycz ne za wier aj¹ce re lat ywnie u ¹ za - war toœæ po tasu i baru, czy li pie rwiastków po praw ia j¹ - cych w³aœciwoœci optyczne szk³a. Nale y nami eniæ, e me toa SEM-EX o starc za in form acji tyl ko o pier wiastk ach wyst êpuj¹cych w sto - sunk owo u ej ilo œci w szkle (tzw. g³ówne i œrenie sk³a niki). Pier wiastki obecne w iloœc iach œlao wych znaj uj¹ siê poni ej po ziomu e tekc ji tej me toy. Ist nieje powszechne przekonanie, e informacja o zawartoœci pierwiastków œl aow ych w pr óbce szk³a jest ni ezbê na w celu efektywnego rozwi¹zania wspomnianych wczeœniej pro bl emów anal izy szk³a la po trzeb wy miaru spraw ie - liwoœci. zy jest je nak mo liwe roz wi¹za nie pro blemu kla syf ika cji i por ówn ania pró bek szk³a na po staw ie re - zul tatów anal izy SEM-EX, gy brak jest in form acji o pier wiastk ach œla owych? Opo wieÿ jest ne gat ywna, gy przeprowazana jest tylko wizualna analiza anych. Ta kie po stêpowanie po zwala wy³¹cznie ulokowaæ wiêkszoœæ próbek w zbio rach 6 i 7. W roz wi¹za niu pro - blemu kla syf ika cji po mocne okaza³o siê za stos owa nie metoy chemometrycznej, jak¹ jest analiza skupieñ. Metoa ta jest cz êsto sto sow an¹ me to¹ o wi zua liza cji a - nych i kla syf ika cji obi ekt ów w przy paku, gy opis ane s¹ przez wiêcej ni jen¹ cechê fi zyk och emic zn¹. Me toa ta po zwala gr upow aæ pr óbki szk³a w zbio ry obie któw po - obn ych. Opiera siê ona na pro stej za sa zie, e miar¹ po - ob ieñstwa w óch pr óbek jest o leg³oœæ po miêzy nimi. Im mniej sza o leg³oœæ, tym wa obiekty bar ziej s¹ o sie bie po obne. W przy paku prze prow az onych baañ o leg³oœæ po miêzy nimi wy ra ona by³a jako kwa rat o leg³oœci eu kli eso wej, a jako me toê bu ow ania sku - pieñ zastosowano metoê najmniejszej wariancji. Rezul - taty analizy skupieñ najczêœciej prezentowane s¹ w formie en rogramów. Na ry cin ie 4 pre zent owa ny jest en - rog ram uzys kany w trak cie wy kon anej anal izy skup ieñ la prób ek po choz¹cych z op akowañ szkla nych, szyb sa moc hoo wych i szyb okienn ych, na którym wi oczne s¹ wa o zielne sku pien ia. Po obne re zult aty uzys kano, kie y anal izo wano prób ki po choz¹ce z klo szy ref lek - torów sa moc hoo wych, a rów ek i op ako wañ szkla nych. Jak ³atwo zauwa yæ, poszczególne skupienia nie zawier aj¹, tyl ko i wy³¹cznie, obiektów z je nej kla sy u y - tkowej szk³a, tzn. nie s¹ one je nor one. la tego te za klas yfi kow anie nie znan ej pró bki szk³a na po staw ie tej me toy nie mo e byæ ka teg ory czne. Jak wspo mniano, me toa anal izy skup ieñ jest me to¹ chemometryczn¹ s³u ¹c¹ analizie struktury zbiorów a - nych ustal ony ch la obiek tów opis any ch przez wiêcej ni jen¹ zmienn¹. W celu roz wi¹za nia pro blemu kla syf ika - cji okr uch ów szk³a na po staw ie a nych uzys kany ch za po moc¹ me toy SEM-EX, mo na za sto sowaæ me toy kla syf ika cji obi ekt ów, ta kie jak kla syf ika tory maksy mal - nooleg³oœc iowe lub te na iwne kla syf ika tory baye sow - skie. Zastosowanie szczególnie tej pierwszej metoy w przy paku kla syf iko wan ia obi ekt ów o ka teg orii szy - by sa moc hoo we lub szy by okienne jest bar zo sku - teczne [20]. 5. Por ówn ywa nie okr uchów szk³a Metoy statystyczne s¹ barzo u yteczne w procesie por ówn ywania pró bek szk³a i ustal enia, czy wie próbki (o wo owa i kon trol na) mog¹ poc hoz iæ z tego sa mego obiektu. W celu uziel enia o pow iezi na to py tan ie,

11 Rola meto statystycznych w oszacowaniu wartoœci owoowej zaproponowany zosta³ opisany ni ej tok postêpowania [18]. Jak ju wspo mniano, okruc hy szk³a mo na trakt owaæ jako punk ty w prze strzeni wie low ymi arow ej, pon iew a ka a z pró bek mo e byæ opis ana przez zawartoœæ kil ku pie rwiastków, któ re oznac zono tech nik¹ SEM-EX. Po - nato mi kroœ lay po choz¹ce z w óch ró nych ob iektów szk³a po winny tw orzyæ wa o zielne zbio ry w prze - strzeni wielowymiarowej, zaœ w przeciwnym przypaku je en zb iór. la tego te zo sta³a ro zwa ona na stêpuj¹ca hipoteza zerowa: H : 0 i, {1} e gzie i to ob lic zona œr en ia o leg³oœæ w prze strzeni wie - lowymiarowej pomiêzy próbkami pochoz¹cymi z tego sa mego obiektu (ry cina 6), a e to œr en ia o leg³oœæ w przestrzeni wielowymiarowej obliczona pomiêzy próbkami po choz¹cymi z ró nych ob iektów (ry cina 7). W celu obliczania oleg³oœci zosta³a zastosowana nastê - puj¹ca zale noœæ: AB 2 1 n k1 n k1 c c Ak c B k n 2 2 A c k B k k1, {2} gzie AB to o leg³oœæ po miêzy obiekt ami A i B, c Ak, c B k zawa rtoœæ (% wag.) k-tego pier wiastka w porów - nywanych prób kach szk³a A i B, n licz ba rozw a anych pierwiastków. Hipotezê zerow¹ testowano za pomoc¹ testu t-stu - enta (mo yf ika cja Wel cha). Mo el ten zia³a³ wystar - czaj¹co po prawn ie, tzn. uzys kano w nim nie wielki pro - cent opowiezi fa³szywie pozytywnych i fa³szywie ne - gat ywny ch przy za³o onym po ziom ie is totn oœci = 0,3. Po praw noœæ mo elu te stow ano i po twier zono w oparc iu o ró ne go ro zaju te sty prze prow az one przez Grupê Ro bocz¹ s. Ba an ia La kie rów i Szk³a, kt óra zia³a w ra - mach Eu rop ejsk iej Sie ci Ins tytutów Nauk S¹o wych. Nie mniej je nak mo el ten ma przy najmn iej jen¹ waê. Poe jœcie to kon trol uje bo wiem po ziom b³êów I ro zaju (o pow iezi fa³szy wie ne gat ywne), a jak wia omo, w na - ukach s¹o wych bar ziej istotne jest to, aby by³ kon trol o - wa ny po ziom b³êów II ro zaju (o pow iezi fa³szy wie po zyt ywny ch). Ta ni eo gon oœæ o tyc zy za stos owa nia wszyst kich testów istotn oœci la po trzeb wy miaru spr a - wieliwoœci. Ponato zastosowanie testu istotnoœci pozwala jeynie na uwzglênienie informacji o poobieñstwie porównywanych obiektów poprzez okreœlenie ró nic zawartoœci poszczególnych pi erwiastków w pr óbkach oraz zmien noœci analizowanych cech fizykochemicznych w obrêbie pojeynczego obiektu szkla ne go. la tego te wy³¹cznie o - pow ieÿ na nastêpuj¹ce py tan ie: czy pr óbki maj¹ ta kie same w³aœciwoœci fizykochemiczne? mo e byæ uzie - lona po za stos owa niu te stów is totn oœci. Nie mniej je nak na wet o powieÿ po zyt ywna nie jest roz wi¹za niem pro - ble mu z punk tu wi ze nia wy miaru sp rawi eliwoœci naj - wa niejszego, tj. jaka jest si³a o wou, e po rów nywane pr óbki maj¹ to samo po cho zenie? O powi eÿ wy maga uw zgl ênienia in form acji o no - sz¹cych siê o Ÿró³a b³êów zwi¹za nych ze zm iennoœci¹ wartoœci fizykochemicznych w ró nych obiektach szkla - nych, jak te in form acji o noœn ie o rz ako œci ozna - czanych w³aœ ciwo œci fi zyk och emic znych la pr óbki porównawczej i kon trol nej w po pul acji o nies ienia. In tui cja su ger uje, e jest bar ziej wia ryg one, e pró bki o wo o - we szk³a po choz¹ z tego sa mego obiektu co próbka kon - trol na w przy paku, gy w³aœci woœci fi zyk och emic zne oznac zone la porów nywa nych obiek tów s¹ rza kie w po pul acji ge ner alnej ni wte y, gy s¹ one czê sto spo - tykane. Takie informacje nie s¹ uwzglêniane w testach is totnoœci, ale mog¹ byæ wzi ête po uwagê w mo elu opar tym na iea ch po choz¹cych z teo rii wia rygonoœci, a kon kretn ie w oparc iu o ilor az wiar ygonoœci (). Ilo - raz wiar ygonoœci poró wnuje praw opoobieñstwo wa runk owe, e za obs erwo wane po ob ieñs two wa rto œci cech fi zyk och emic znych oznac zane la próbki o wo o - wej i pr óbki po rów naw czej szk³a po wsta³o w przy paku, gy prób ki te po choz¹ z tego sa mego obiektu (tzw. hi - pot eza pro kur atu ry) oraz pra wo po obi eñstwo, e taka sy tua cja mia³a miej sce w przy paku, gy prób ki te po - choz¹ z w óch ró nych ob iektów (tzw. hi pot eza obro - ny). efinicja ilorazu wiarygonoœci jest nastêpuj¹ca: Je e li praw op oobieñstwo, e zmien na lo sowa X przyj - mie warto œæ x wy nosi p A (x) przy za³o onej hi pot ezie A, a p B (x) przy za³o onej hi pot ezie B, to za obs erwo wana wa rto œæ X = x wspiera zarzenie A w prz eciw ieñstwie o zarzenia B tyl ko i tyl ko wte y, gy p A (x) > p B (x), a ilor az wiar ygonoœci p A (x)/p B (x) jest miar¹ si³y ta kiego o wo - u. Ilor az wiar ygonoœci mo na wyra ziæ w po staci: Pr Pr E H E H p. {3} W przy paku, gy pro blem por ównawczy o tyc zy frag mentów szk³a, la kt óry ch oznac zono ich w³aœ ciw oœ - ci fizykochemiczne, to rozwa ane s¹ nastêpuj¹ce hipo - tezy: H p frag menty szk³a ujawn ione na ozie y poej - rzanego i pr óbka kon trol na po choz¹ z tego sa mego obiektu; tzw. hi pot eza pro kur ato ra; H frag menty szk³a ujawn ione na ozie y poej - rzanego i pr óbka kon trol na po choz¹ z ró nych obiek - tów; tzw. hi pot eza obrony; E owó; in form acje o stêp ne o ma ter iale o wo o - wym, np. sk³a pier wiastk owy szk³a. Wa rto œæ ilor azu wiar ygo noœci jest ³atwa o inter - pretacji, poni ewa wart oœæ wiêk sza ni 1 wspie ra hi - po t ezê rozwa an¹ w licz niku {3}, a wart oœæ mniej sza ni 1 wspie ra hipot ezê rozwa an¹ w mia nown iku {3}.

12 102 G. Zaora rów ny 1 nie wspie ra anej z nich. Ma tu taj ró wnie zastosowanie inna prosta zasaa: im wiêksza wartoœæ, tym silniejsze wsparcie la H p i vice ver sa la H. W 1977 roku Lin ley [11] za prop ono wa³ mo el o obliczania wartoœci w przy paku, gy poró wnyw ane prób ki opis ane s¹ przez jen¹ zmienn¹ i gy mo na za³o yæ, e rozk³a tej ce chy w po pul acji ge ner alnej (np. w ró ny ch obiekt ach szkla nych) jest rozk³aem normal - nym, choci a, jak wia omo, za³o e nie to nie jest po - prawne w przy paku obie któw szkla nych. la tego te barziej wskazane jest zastosowanie innego moelu. o mo el owa nia rozk³au a nej ce chy w po pul acji gene - ralnej zastosowaæ mo na bowiem poejœcie, w którym rozk³a prawopoobieñstwa analizowanej cechy wyznaczany jest poprzez zastosowanie metoy estymacji j¹ro - wej [5]. Taki je now ymi arowy mo el o ob lic zania wa rto œci teo ret ycznie mo e zos taæ za stos owa ny w celu osza - co wania wa rtoœ ci o wo owej ok ruc hów szk³a opis any ch przez kil ka cech. W ta kim przy paku nale y obli czyæ o zieln ie la ka ej zmien nej, a nastê pnie tak uzys kane wart oœci i pomn o yæ w celu uzys kania ostat ecznej warto œci ilor azu wiar ygo noœci ( t ) ( t n i1, n licz ba rozw a anych zmien nych). Ta kie po ejœcie mo - liwe jest o za stos owa nia wó wczas, gy wszyst kie roz - wa ane zmien ne s¹ o sie bie nie zale ne. To za³o e nie nie jest z regu³y praw ziwe w przy paku oszac owy wan ia warto œci o wo owej pr óbek szk³a opis any ch przez wie le zmiennych oznaczonych za pomoc¹ metoy SEM-EX. W 2004 roku opub liko wana zo sta³a in form acja o mo - elu s³u ¹cym o anal izy a nych wielowymiaro - wych [12]. Mo el ten uw zglênia wa Ÿró³a zm iennoœci, tj. zm iennoœæ wewn¹trz- i po miêzyobiektow¹ i pier - wotn ie by³ sto sow any w przy paku, gy prób ki szk³a opis ywa³y 3 zmien ne [12]. Próbki szk³a znaj uj¹ce siê w ba zie a nych In styt utu Eks pert yz S¹o wych s¹ opis ane przez sie em zmien nych. Wspo mniany mo el mo e zo staæ za stos owa ny i w tym przy paku, ale gy za³o y siê, e wszyst kie zmien ne s¹ zale ne. Za³o enie to mo na zaakceptowaæ, jakkolwiek nale y pamiêtaæ, e poczas obliczania wartoœci w któ rymkolwiek ze wspomnia - nych mo eli ko nieczne jest rze telne oszac owa nie para - metrów wystêpuj¹cych w moelu, tzn. œrenich, wariancji i ko war iancji. Pra wi³owe okr eœlenie tych war toœci wy - maga u ej licz by a nych anal ity cznych, wiêc ej, ni ze - brano w ba zie a nych In styt utu Eks pert yz S¹o wych. la tego te za prop ono wano za stos owa nie mo el o - wania graficznego w celu reukcji liczby zmiennych w sto sow anym mo elu. Mo el gra ficzny (graf) uzys - kiwany jest na postawie analizy znormalizowanej o - wrotn ej ma cier zy ko war iancji. W celu ilus tracji tego po - ejœcia rozwa my nastêpuj¹c¹ teoretyczn¹ macierz o - nosz¹c¹ siê o 5 zmien nych {4}. i A B E A B E {4} Ma cierz ta za wiera ujemne warto œci wspó³czynn ików korelacji cz¹stkowej. Na postawie analizy nale y poj¹æ ecy zjê, powy ej ja kiej wa rtoœci wspó³czyn nika ko - relacji cz¹stkowej r mo emy uw a aæ, e wie zmien ne s¹ ze sob¹ istotn ie sko rel owa ne, np. r > W mo elu graficznym zmienne s¹ reprezentowane przez wêz³y. Pary zmien nych (wêz³ów), la który ch warto œæ ab sol utna wspó³czynnika korelacji cz¹stkowej jest wiêksza ni r, s¹ ze sob¹ ³¹czo ne lini¹ prost¹. Na przyk³a w ma cier zy {4} mo na zaobserwowaæ, e zmienna A jest powi¹zana ze zmiennymi B i. Zmien na B jest równi e powi¹zana ze zmienn¹, poniewa la tej pary r = 0,75. Graf uzys - kany na po staw ie tak po czyn iony ch ob serw acji jest pre - zentowany na rycinie 8 a. Zmien na jest równi e sko rel owa na ze zmienn¹ ( r = 0,97) a zmien na jest natomiast skorelowana ze zmienn¹ E ( r = 0,26) (patrz ry cina 8 b). W ko lejn ym etap ie anal izy strza³ki s¹ o aw ane w taki sp osób, aby ostat eczny graf nie za wiera³ cy kli, a zmien ne (wêz³y) powi¹zane by³y co najwy ej w trójk¹ty (ry cina 9). Jak zastosowaæ informacjê zawart¹ w acyklicznym grafie o obliczenia wartoœci? W tym celu na po - stawie analizy uzyskanego grafu konieczne jest wyra e - nie o pow ieni ch funk cji gêst oœci praw opoobieñstwa. Jest to mo l iwe ziê ki anal izie zale no œci wyst êpuj¹cych pomi êzy zmien nymi, tj. ob serw acji strza³ek ma gra fie. Na przyk³a wie strza³ki wska zuj¹ wêze³ B (ry cina 9). Oznac za to, e zmien na B jest wa runk owo za le na o zmiennej A i, co za po moc¹ funk cji gêst oœci praw - opoobieñstwa mo na wyra ziæ w nast êpuj¹cy spos ób: f B A, f A, B,. {5} f A, Funk cje gêst oœci praw opoobieñstwa obecne w mia - nowniku i licz niku mog¹ byæ z ko lei ok reœ lone przez o - pow ienie wy ra enia sto sow ane o ob lic zania : f B A, A, B,. {6} A, Po obn ie mo na post¹piæ w przy paku in nych wêz³ów (ry cina 9): f A A, ; {7}

13 Rola meto statystycznych w oszacowaniu wartoœci owoowej f f E fe,, E E ; {8} ; {9} E. {10} Mno ¹c wyra enia {6}{10}, uzys kamy wyra enie pozwalaj¹ce na obliczenie koñcowej wartoœci oszac o - wuj¹cej warto œæ o wo ow¹ po rów nywanych ok ruc hów szk³a ( t ): t A, B,,, E. {11} Jak ³atwo zaobserwowaæ, w celu obliczenia ka ego z cz¹stkowych i s¹ sto sow ane mak sym alnie trzy zmien - ne (i = A, B, ;, ;, E; ; ), ale jeno czeœnie w ob - liczaniu t jest uwzglêniania informacja o ka ej z piêciu zmiennych. Tym samym, zastosowanie moeli graficznych pozwala na rzetelne oszacowanie parametrów ta kich jak œr enia, wa rianc ja oraz ko war iancja. Me toa ta to zo sta³a naj pierw prze tes towa na na zbio - rze 130 prób ek szk³a (g³ównie typu flo at ) opis any ch przez piêæ zmien nych, la który ch za³o ono, e maj¹ wie - low ymi arowy rozk³a nor malny [1] i w któ rym by³y roz - wa a ne trzy Ÿró³a zmi enno œci, tj. b³¹ po miaru poje - yncze go okruc hu szk³a, zmien noœæ piêciu cech fi zyk o - ch emic znych wewn¹trz po je ynczego obiektu szkla ne - go, a tak e pomiê zy obiekt ami szkla nymi zgro ma zonymi w bazie anych. Jak ju wczeœ niej wspo mniano, jest pra wie niemo - liwe, aby za³o e nie, e zmi ennoœæ miê zyobiektowa po - siaa wie low ymi arowy rozk³a nor malny, by³a praw - zi wa. la tego te me toa es tym acji j¹ro wej o moe - lowania wie low ymi arow ego rozk³au gês toœ ci pra wo - po obie ñst wa zo sta³a za stos owa na w in nym mo elu uw zgl êniaj¹cym tyl ko wa ostatn ie Ÿró³a zmienn oœci. W tym przy paku mo el zo sta³ oprac owa ny równi e w oparc iu o anali zê gra ficzn¹ zal e noœci pom iêzy zmien nymi, ale z za stos owa niem nie ukier unko wan ych mo eli gra ficzn ych. By³ on z po wo zeni em te stow any na zbio rze 200 prób ek szk³a ba an ych przy po mocy me toy SEM-EX [4]. Na le y na mi eniæ, e pro pon owa ne po ejœ cia [1, 2, 4, 12] oprac owa ne o ob lic zania ilor azu wiar ygo noœci i w oparc iu o za stos owa nie mo eli gra ficzn ych, a s³u ¹ce o oszac owa nia owo ów w po staci ok ruch ów szkla - nych, które opis ane s¹ przez jen¹ b¹ÿ wiêcej zmien - nych, mog¹ byæ równi e za stos owa ne o in nego ro zaju ma ter ia³u o wo owe go w przy paku, gy: a) s¹ one charakteryzowane przez zmienne ci¹g³e; b) ostêpne s¹ ane po pul acy jne, kt óre um o l iwi aj¹ oszac owa nie zmien noœ ci wewn¹trz- i po miêzy - obiektowej, jak te oszac owa nie rzak oœci wybra - nych o analizy cech fizykochemicznych. 6. Po sum owa nie Przestawione tutaj zastosowania ró nych meto statystycznych o rozwi¹zania problemów analizy szk³a la potrzeb wymiaru sprawieliwoœci ostarczaj¹ przyk³a - ów ich przyatnoœci w na ukach s¹o wych [2]. Me toy oparte na ob lic zaniu ilor azu wiar ygo noœci s¹ bar zo u yteczne w rozwi¹zywaniu problemów zwi¹zanych z po równywaniem pr óbek o wo owy ch i kon trol ny ch. Formalizm matematyczny tych moeli jest raczej skomplikowany i jest to za pewne na jwiê kszym ograni cze niem spra wiaj¹cym, e nie s¹ one po wszechn ie sto sow a ne przez bieg³ych s¹o wych. Na le y za znaczyæ, e wska - zane jest, by mo el sto sow any w celu roz wi¹zy wan ia pro blemów w na ukach s¹o wych by³ sto sunk owo ³atwo zro zum ia³y la osób nie bê¹cych sta tys tyka mi, a wiêc sê ziów, pro kur ator ów i ³awn ików. Obecn ie mo na zaobs erwowaæ wzra staj¹c¹ licz bê pu - blik acji opis uj¹cych za stos owa nie w na ukach s¹o wych tech nik anal izy a nych wie low ymi arow ych w oparc iu o me toy gra ficzne (np. sie ci bay esows kie) [3, 5, 8, 9, 13, 15, 16]. Mo ele te po zwal aj¹ osob om nie bê¹cym sta - tystykami zaobserwowaæ zale noœci wystêpuj¹ce pomiêzy zmien nymi opis uj¹cymi prób ki o wo owe bez je - no czes nej utraty kontekstu matematycznego opra c o wa - nego mo elu.