Twierdzenie Cantora-Bernsteina dowody znane-nieznane

Transkrypt

1 ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria II: WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XXXIX(2003) Zdzisław Skupień(Kraków) Twierdzenie Cantora-Bernsteina dowody znane-nieznane 1. Wstęp. Matematyka jest niewątpliwie procesem społecznym społecznym procesem gromadzenia zobiektywizowanej informacji. Niezawodnym polem jej zastosowań jest więc dydaktyka. Tej zaś ma służyć poniższe zestawienie inspirujących krótkich dowodów i przypomnienie oraz skorygowanie kilku informacji historycznych. Chociaż twierdzenie Cantora-Bernsteina nie zależy od pewnika wyboru, żaden z dowodów nie jest konstrukcyjny w sensie algorytmicznym, bo skończona liczba kroków nie musi wystarczyć dla uzyskania bijekcji. Kontrowersje wokół służebności rozważanego twierdzenia o bijekcji względem pojęcia liczby są celowo przypomniane. Artykuł niniejszy jest również odpowiedzią na matematyczno-merytoryczne uwagi w liście prof. J. Mioduszewskiego[23]. 2. Dowody iteracyjne. Przechodząc do matematyki, dla dowolnych zbiorówaibzałóżmy,żeistniejąiniekcje:a BorazB A.Twierdzenie Cantora-Bernsteina orzeka, że: (α)istniejebijekcjaodjednegozezbiorówa,bnadrugi. DowódD1.Wystarczyzałożyć,żeżadnaztychiniekcjiniejestbijekcją. Załóżmy więc, że zbiór B jest podzbiorem właściwym zbioru A, gdyż zamiast wyjściowego zbioru B możemy rozważyć jego iniektywny obraz zawartywa.niechf:a Bbędziedanąiniekcją(gdyB A).NiechC oznaczazbiórtychy A,dlaktórychistniejąx A\Binieujemnaliczba n,takieżey=f n (x),gdzief n oznaczan-tąiteracjęiniekcjif,przyczym f 0 jestidentycznością.zatema\b Cidlakażdegoy Cjednoznaczniewyznaczonesąin,ix,anadtof[C] C(cowięcej,f[C]=B C oraza\c =B\f[C]).Stąduniainiekcjif zacieśnionejdozbioruc orazidentycznościnaa\cjestbijekcją,powiedzmyh,odzbioruana B,h=f C id A\C. W powyższym dowodzie(i poniżej) dla odwzorowania ϕ, ϕ = ϕ( ), symbolϕ[ ]oznaczaprzedłużenieϕnazbiory,np.f[c]jestobrazemzbioruc poprzezf.

2 86 Z. Skupień Analogiczny dowód wykorzystujący dodatkowo podział zbioru A na orbity odwzorowania f podaje Mioduszewski w swoim artykule[22] z r. 1998, cytując tylko Papy ego(1964) jako autora analogicznego dowodu. Dowód D1 można zaś wywieść z artykułu[29] Reichbacha(z Wrocławia) opublikowanego w Colloquium Mathematicum w roku Reichbach późniejmeirreichaw(p.notawzestawiezżałobnejkarty w[39](2000); Reichaw-Reichbach u Leetcha w[12]) nie cytując żadnych źródeł, podaje dowód(którego skrótem jest D2 poniżej) w istocie następującej wersji(β) twierdzenia-hipotezy sformułowanej przez Cantora w 13 prac[6, 7] już wroku1883(powtórzonejw[8, 2](1895),gdziejestteżwersja standardowa równoważnie sformułowana powyżej jako(α)): (β)jeżelim M MizbioryM,M sąrównoliczne,tosąonerównolicznezdowolnymzbiorempośrednimm. Dowód D2.Dladanejbijekcjif:M f[m],gdzie(m :=)f[m] M,rozważmydowolnyzbiórE M\f[M]anastępnieS:=E f[e] f[f[e]]...zauważmy,żes=e f[s],skądf[m]\s=f[m]\f[s]= f[m\s],ponieważfjestiniekcją.wtedyf :=id S f (M\S)jestbijekcją M E f[m]. WoznaczeniachdowoduD1:M=A,E f[m]=b A.Nadtozbiory C i S z tych dowodów są identycznie konstruowane poprzez rekursję, wychodzącodrozłącznychzbiorówodpowiednioa\bie =B\f[A]. JednakżezbioryCiSniemusząsiędopełniaćdoAidlategobijekcjef, h:a Bmogąbyćróżne.Różnebowiemmogąbyćteżbijekcjewpełni wyznaczone przez dane dwie iniekcje.(w D1 jedną z danych iniekcji jest po prostu tożsamość na zbiorze B). Ciekawszezaś,żedowódD1jestwywiedzionyzpracyCoxa[10]zr Dowód D1 jest ulepszoną adaptacją(z zachowaniem i metody, i standardowych oznaczeńa,b,f,h)dowodulematu,wktórymzakładasiębezpośrednio,żeb A.DodowoduD1włączonazostałaistotnauwaga,że f[c]=b C.Reichbach(iniktinny)niejestjednakcytowanyprzezCoxa. W komentarzu[12, s. 1104] przytoczono tekst J. F. Leetcha(pomijający nazwisko Cox), że dowód Coxa jest bardzo podobny do podanego przez M. Reichawa-Reichbacha. Dopiero poprzez ten komentarz dotarłem niedawno i do Coxa, i do Reichbacha-Reichawa(tu nazwisko nowe, Reichaw, po łączniku za starym jest napisane wg polskiej tradycji). Przedstawmy zatem bardzo krótką wersję dowodu, która jest ulepszonym(ale i zbyt sformalizowanym) skrótem dowodu Coxa. Cox unika iteracji złożenia g f dzięki wspomnianemu lematowi. Dowód D3.Załóżmy,żezdanychiniekcjif:A Borazg:B A żadnaniejestbijekcją,irozważmyiniekcjęg f:a Aorazpodzbiór

3 zbioru A: Twierdzenie Cantora-Bernsteina dowody znane-nieznane 87 A A :=A\g[B] (g f)[a\g[b]]...= (g f) i [A\g[B]]. Wtedyodwzorowanieh:=f A A g 1 (A\A A ):A Bjestbijekcją, ponieważ(g f)[a A ]=g[b] A A istądf[a A ]=g 1 [A A ],nadtoa\a A = g[b]\a A,azatemg 1 [A\A A ]=B\f[A A ]. Dowód ten pokazuje, w jakim sensie bijekcja h jest w pełni wyznaczona przez dane iniekcje. Równoliczność danych zbiorów jest wynikiem ich dwupodziałównaczęściparamirównoliczne(jednąztychdwuparjesta A i f[a A ]).Analizującwcześniejopublikowanedowody,awszczególnościdowódJ.Königa[19],fakttenzauważyłiuogólniłBanach[1],anastępnie wykorzystał wraz z Tarskim w ich paradoksalnej konstrukcji skończonego podziału kuli, z którego izometrie o rozłącznych dziedzinach wytwarzają dwie kopie tej kuli. Następny dowód wykorzystujący równolegle rekursje z dowodów D1 i D2 zainspirowany jest dowodem z monografii Jecha[15](1973), w którym na każdymkrokuiteracjitylkozacieśnieniah=fsąkonstruowane,zaśh= iddlapozostałychx.korzystasięzfaktu,żedladowolnejiniekcjifzachodzirównośćf[m\s]=f[m]\f[s],por.dowódd2.dowódpokazuje,że rekursywna konstrukcja jest niealgorytmiczna wymaga nawet nadskończeniewielu(tzn.ω+1)kroków,abywyznaczyćpozostałex.dowódujecha jest prostszy, ale poniższy dowód sugeruje równie prostą wersję, na każdym krokuktórejmogąbyćokreślanetylkozacieśnieniah=id,adopierona końcu h = f dla pozostałych x. Zaletą poniższego dowodu jest wskazanie, że bijekcja h może mieć dwie definicje. DowódD4.Wystarczyzałożyć,żef:A BjestiniekcjąorazB A. Konstruujemydwaciągizbiorów(A n )i(b n )wgschematua 0 :=A,B 0 :=B orazs n :=f[s n 1 ],gdzies=a,b.jeśliprzyjmiemy f(x) dlax A n \B n,ndowolne, h(x)= x dlax B n \A n+1,ndowolne, x(albo f(x)) dla wszystkich pozostałych x, toh:a Bjestbijekcją(ewentualniejednązdwumożliwych). 3. Dowody grafowo-relacyjne. Warto podać spostrzeżenie, że(wbrew stwierdzeniu Bernsteina w[3, s. 121]) bijekcja h na ogół nie jest jednoznacznie wyznaczona przez iniekcje f i g. Spostrzeżenie to(bez odsyłacza do Bernsteina) znajduje się w słynnej teoriografowej monografii[18] z r węgierskiego matematyka D. Königa w dowodzie twierdzenia I 12 o pokojarzeniach(de facto 1-faktorach) w drogach nieskończonych i cyklach parzystych. Twierdzenie to wykorzystane jest w multigrafowym dowodzie i=0

4 88 Z. Skupień twierdzenia Cantora-Bernsteina w części VI 3 monografii, p. analogiczny grafowy dowód u Bertranda i Horáka[4]. Wyżej wspomniany podział na orbity jest tam podziałem na reprezentujące je nieskierowane drogi i cykle. Jednakże warto i należy zauważyć, że te podziały uzyskuje się, stosując pewnik wyboru. Mój dowód w nocie [34](aletakżeidowódPapy ego)wterminachstrzałekidróg(tj.relacji reprezentujących iteracje iniekcji) można interpretować jako analogiczny dowód digrafowy. Równoliczność danych zbiorów A, B uzyskuję(podobnie jak Halmos[13]) dzięki ich trójpodziałom, które da się skonstruować bez użycia pewnika wyboru. Można uznać, że dowodami w ogólności grafowymi są te, w których rozważa się poszczególne elementy i ciągi albo raczej drogi, czyli specjalne relacje, tworzone z kolejnych obrazów tych elementów. Już w r pierwszy taki dowód opublikował Jules König[19](Julius König w niemieckiej publikacji swego syna[18]). Dowód ten lakonicznie skomentowany w artykule przeglądowym[21, s. 194] jako oryginalny, raczej długi, prowadzony metodą tam i z powrotem wart jest przypomnienia. Przecież zainspirował on ibanacha,isierpińskiego[33],i oczywiście D.Königa(którynadto wswoimartykule[17,s.130]wfund.math.(iwmonografii)pisze,że wynik Banacha jest implicite, a dowód Banacha w zasadzie, taki sam jak u ojca). J. König świeżo pod wrażeniem opublikowanych zarzutów Poincarégo[27] odnośnie ówczesnych podstaw logiki, arytmetyki i teorii mnogości (jest tam zarzut stosowania liczb zanim zostały zdefiniowane, w szczególności stosowania(nieweryfikowalnej?) indukcji zupełnej, i zarzut błędnego koła w definicjach liczby naturalnej, por.[28]: Księga 2, Rozdz. IV.V oraz III.VI) stara się unikać zarówno liczenia jak i(zresztą bezskutecznie) rekursji. Oto twierdzenie i(nieznacznie skrócony) dowód Königa, gdzie jest ówczesnym oznaczeniem(też u Sierpińskiego) relacji równoliczności zbiorów: (α )JeśliX Y 1 i Y X 1,gdzieX 1 Xi Y 1 Y,toX Y. DowódD5.ZdanieX Y 1 oznaczaregułę(i),żekażdyelementx X wyznaczajedyney Y 1,inaodwrót:temuyodpowiadatox[przyczym wszystkiey Y 1 sąużyte Z.S.].PodobnieY X 1 oznaczaanalogiczną regułę(ii).weźmywięcdowolnyelementx 1 X.Wg(I)zx 1 otrzymujemy następniky 1 Y,temuy 1 zgodniez(ii)odpowiadanastępnikx 2 X 1 itd.jeślix 1 X 1,towg(II)istniejey 0 Ybezpośredniopoprzedzającex 1 wciągu,iciągprzedłużamywlewo,aleniejesttomożliwe,gdyx 1 X\X 1. Ostatecznie są trzy możliwości: (i)ciągmapoczątekwx,(ii) początekwy,(iii)ciągniemapoczątku, czyli jest stale przedłużalny w lewo. Nadto dla różnych x X odpowiadające ciągialbomajątensamelementjakowyrazwobuciągachiwtedyciągi są identyczne, albo nie(czyli są rozłączne). Wśród ciągów może być ciąg

5 Twierdzenie Cantora-Bernsteina dowody znane-nieznane 89 okresowyiniemaonpoczątku.dlaustanowienia,żex Y,mającdowolny x 1 Xiodpowiadającyciąg,wprzypadku(i)lub(iii)elementowix 1 przyporządkowujemyjegonastępniky 1 wciągu,zaśwprzypadku(ii) jegopoprzedniky 0. Zatem dowód ten nie jest długi, ale podobnie jak zupełnie analogiczne dowody: Papy ego(w terminach relacji, tj. następstw strzałek) i Mioduszewskiego zależy on od pewnika wyboru, który gwarantuje konstrukcję podziałuuniix Ynarozważaneciągi.Halmos,któryteżniecytujeJ.Königa, konstruuje te same ciągi co König, a następnie trójpodziały i dwupodziały, Banach uzyskuje zbiory wyrazów tych ciągów za pomocą przecięć zbiorów, Sierpiński zaś rozważa ciągi utworzone tylko z poprzedników u Königa. Dowód Papy ego zasługuje na uwagę jako dowód czysto relacyjny. Nadto książka Papy ego rzetelnie napisana i znakomicie kolorowo ilustrowana jest zadziwiającym dowodem optymizmu dydaktycznego zarówno autora jak i belgijskiego ministerstwa edukacji. Przeznaczona dla uczniów letnich ale z programem eksperymentalnym, wypracowanym pod auspicjami UNESCO i już wcześniej realizowanym przez kilka lat, książka ta zgrabnie i precyzyjnie omawia teorię mnogości, grupy permutacji i przekształceń geometrycznych, pierścień liczb całkowitych, system dwójkowy, algebrę wektorów, kończąc na grupach abstrakcyjnych. Zawiera wkładki z portretami i życiorysami kilku matematyków, w tym Cantora, ale twierdzenie Cantora- Bernsteina(jako stwierdzenie, proposition) przypisuje tylko Bernsteinowi (podobnie czyni Poincaré w[27]). 4. Dowód nieiteracyjny. Wszystkie dowody wyżej omawiane lub wzmiankowane wykorzystują rekursje. Z rekursji korzysta oryginalny dowód A. Zelevinsky ego[35] opublikowany jako jeden z dowodów doskonałych w książce Dowody z Księgi Aignera i Zieglera(1998, 2001). Nierekursywny dowód podaje monografia[16, ss ]. Poniżej podaję nierekursywną wersję swojego dowodu z[34] korzystającą z pewnego ogólnego lematu(w którym odwzorowanie jest dowolne, niekoniecznie iniektywne). Sam lemat i jego dowód sugerują uproszczenia dowodu z monografii[16]. Lemat. Jeśli X jest dowolnym zbiorem, Z dowolnym podzbiorem, Z X, oraz ϕ: X X dowolnym odwzorowaniem, to istnieje najmniejszy zmożliwychpodzbiórc Z Xtaki,żeC Z =ϕ[c Z ] Z. Dowód. Zauważmy,żeC Z =,dokładniegdyz=.niech S Z ={C X: ϕ[c] CorazZ C}. StąddlakażdegoelementuC S Z zbiórc :=ϕ[c] Zjestoczywiście podzbioremzbioruc.dlategoϕ[c ] ϕ[c] C,azatemC S Z.PonieważzaśS Z jestrodzinąpodzbiorów(alerównieżs Z,boX S Z ),więc

6 90 Z. Skupień zbiórc Z := S Z jestjednoznacznieokreślony.udowodnimy,żec Z S Z. MianowicieC Z jestnadzbioremdlazoraz [ ] ϕ[c Z ]=ϕ C ϕ[c] C=C Z, C S Z C S Z C S Z gdzieobierównościwynikajązdefinicjic Z,inkluzjezaśzsubmultyplikatywnościϕ[ ]izmonotonicznościoperacjiprzecinania.stądc Z jestnajmniejszymelementem(wsensieinkluzji)ws Z,azatemC Z =(C Z ) =ϕ[c Z ] Z. Powyższy lemat i jego dowód prosto i nieco ogólniej ujmują DedekindowąideęnierekusywnegookreśleniazbioruC Z,nazwanegoprzezDedekinda łańcuchem podzbioru Z. Idea ta jest wykorzystana w klasycznych dowodach Dedekinda[9, s. 449](1932, w nieopublikowanym wcześniej liście (1899) do Cantora) i Zermela[38](1908, p. też eleganckie sformułowanie tegodowoduuhausdorffa[14,s.50](1914)),aupeana(1906,bezcytowania Dedekinda) jest metodą przedstawiania unii iterowanych obrazów jako przecięcia podzbiorów. Zatem lemat niezależnie od aksjomatu wyboru dowodziistnieniauniic Z = i=0 ϕi [Z]. Uwaga. ModyfikującdefinicjęrodzinyS Z wpowyższymdowodzie, możemy uzyskać istnienie najmniejszych podzbiorów: C Z =ϕ [C Z ] Z, C± Z =ϕ[c± Z ] ϕ [C ± Z ] Z, gdzieϕ [ ]oznaczaprzejściedoprzeciwobrazupoprzezϕ,zaśc ± Z jestunią orbit elementów zbioru Z. Dowód D6.Wystarczyokreślićbijekcjęh:A Bzapomocądanych iniekcjif:a Big:B A,tylkogdyanif,anigniesąbijekcjami.Dla ułatwienia prezentacji(i umożliwienia wizualizacji) załóżmy, że zbiory A, B są rozłączne(bo rozłączne są równoważne zbiory A { }, B {{ }}). Zatem napewnychpodzbiorachzbiorua,powiedzmya A ia B owłasnościach A A A\g[B]ig 1 [A B ] B\f[A],musibyćodpowiednioh=fnaA A ih= g 1 naa B.Powyższylematumożliwiaznalezienienajmniejszychtakich podzbiorów, a to może prowadzić do dwóch wersji bijekcji h. Stosujemy bowiemlemat,przyjmującϕ=g f XorazC Z =:A A dlaz=a\g[b] ix=a,awtedybijekcjahmożebyćnastępującąuniązacieśnień:h= f A A g 1 A\A A. JeślizaśC Z =:A B dlaz=g[b\f[a]]ix=a\a A,tohmożemieć następującądrugąwersję:h=g 1 A B f A\A B. ZatemjeślizbiórA C :=A\(A A A B )jestniepusty,tonaa C albo h=f A C alboh=g 1 A C,p.rys.

7 Twierdzenie Cantora-Bernsteina dowody znane-nieznane 91 RozważanezbioryA A ia B uzyskujesięrekursywnie: A A = (g f) i [A\g[B]],A B = (g f) i [g[b\f[a]]]. i=0 Tezbiorymożnaokreślićteżzapomocąistnieniadrógwrelacjiφ:=f g, która jest zbiorem strzałek między elementami zbioru A B. Drogą, powiedzmya z,czylidrogąodelementuadoelementuz,nazywamy(skończony) zbiór strzałek(podzbiór relacji φ) tworzących następstwo strzałek: a b,b c,...,x y,y z;ewentualnietylkoa zalbo dlaz=a. Mówimy, że dwa elementy są połączalne, jeśli istnieje droga od jednego z nich dodrugiego.zatema A ia B tozbioryelementówwa,któresąpołączalne odpowiednioza\g[b]izb\f[a];a C zaś toresztaelementówwa.stąd, ponieważkażdyelementjestkońcemconajwyżejjednejstrzałki,zbiorya A ia B sąrozłączne. 5. Jeszcze trochę historii. Ponieważ literaturowe odwołania i do Bernsteina, i do nieco późniejszych prac bywają błędne, podkreślmy, że Bernstein nieopublikowałswojegodowoduzr.1897nawetwswojejrozprawiezlat 1901, Podaje w niej jedynie, że jego dowód opublikował Borel(1898) oraz Schönflies(1900), i że inny dowód podał Zermelo(1901)(przy czym sam Zermelo nie cytuje później swego dowodu). Bernstein cytuje tylko anons [31](1896)(zresztą błędnego) dowodu Schrödera. 29 sierpnia 1899 Dedekind przesłał Cantorowi swój ww. dowód, a w odpowiedzi już następnego dnia Cantor napisał, że Schröder przedstawił swój dowód jesienią 1896 na konferencjiwefrankfurcienadmenemiżeopublikowałgow[32,ods.337] oraz że młody Bernstein przedstawił swój dowód około Wielkanocy 1897 na seminarium w Halle. Wszystko wskazuje, że Bernstein przygotowując przedruk[3](1905) swojej dysertacji nie wiedział, że dowód Schrödera nie jest poprawny. Błąd wykrył Korselt, który w maju 1902 przesłał kontrprzykład oraz swój dowód twierdzenia(β) najpierw Schröderowi, potem po otrzymaniu od niego szybkiej odpowiedzi do Mathematische Annalen również jeszcze tegoż maja. Redakcja Math. Ann. opublikowała drugą i=0

8 92 Z. Skupień wersję[20]tejpracy(zroku1910),wktórejkorseltstwierdza,żebłądnie jest znany, oraz cytuje dawną odpowiedź Schrödera. Schröder już wcześniej wykrył swój błąd, latem lub jesienią roku 1901 powiedział o nim Maxowi Dehnowi, przyjacielowi Bernsteina, i obiecał zawiadomić Cantora, ale listu zaczętego1.ix.1901 nieukończył...schröderbyłautoremznanego podręcznika z algebry i logiki, p. cytat u Zermela w[38]. A opublikowany dowód Korselta to dowód Mioduszewskiego, tyle tylko że zamiast o orbitach Korselt mówi o cyklach i łańcuchach(tj. drogach). Korselt też nie cytuje Königa, ale twierdzi, że podobne(?) dowody znaleźli później Zermelo ipeano,iżejegodowódteżniewykorzystujeliczbiindukcjizupełnej. Na koniec uwag historycznych podkreślmy, że dowody Zermela[38](1908) i Peana[25](1906) są niezależne. W styczniu 1906 Zermelo wysłał swój dowódpoincarému,któryw[27]jużwmaju1906przytoczyłidowódbernsteina, i Zermela, dyskwalifikując oba Bernsteina za rekurencję, Zermela za rzekome błędne koło. W swoim artykule[37] Zermelo nie zarzuca Peanowi plagiatu, lecz wyraża żal, że ten, polemizując w[26] z artykułem Poincarégo, przytacza swój dowód, nawet nie wspominając o analogicznym dowodzie Zermela u Poincarégo jakby dlatego, aby następnie zwalczanie aksjomatu wyboru tym dobitniej kierować ku Zermelowi. Dopiero w komentarzu przy swoim dowodzie w[38](1908) Zermelo stwierdza, że wykorzystał metodę łańcuchów Dedekinda[11], zaś w komentarzu[9, s. 451] do ww. listu do Cantora z dowodem Dedekinda słusznie podkreśla, że te dowody różnią się nieistotnie. Faktycznie tylko oznaczeniami(!). Reasumując, o nierekurencyjnym dowodzie twierdzenia Cantora-Bernsteina, wykorzystującym analogonpowyższegolematu,możnawięcmówić,żeto Dowód DPZ (Dedekinda-Peana-Zermela). Nie twierdzę, że ten ostatni dowód(niewątpliwie najlepszy w sensie logiki) należy wykładać adeptom matematyki. Teoria mnogości w ramach wstępu do matematyki ma poszerzyć i ugruntować znajomość języka struktur matematycznych. Subtelności warto jednak przynajmniej wzmiankować. Przecież ambicją matematyków-mnogościowców jest skonstruowanie prawie całego bogactwa matematyki, np. bogactwa struktur liczbowych, w ramach teorii mnogości. Jeśli więc dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina, które ma posłużyć do zdefiniowania i uporządkowania liczb kardynalnych, skażony jest użyciem liczb(np. ciągów), to warto wspomnieć o remedium. Przy okazji owym adeptom znającym ciągi uzasadni się celowość korowodów z definicją par itp. niby-ciągów.

9 Twierdzenie Cantora-Bernsteina dowody znane-nieznane 93 Bibliografia [1]S. Banach, Unthéorèmesurlestransformations biunivoques,fund.math.6 (1924), [2]F.Bernstein,Inaugural-Dissertation,Göttingen,1901(p.niecozmienionyprzedrukw[3]). [3]F.Bernstein,UntersuchungenausderMengenlehre,Math.Ann.61(1905), [4]E. Bertram, P. Horák, Someapplicationsofgraphtheorytootherpartsof mathematics, Math. Intellig. 21(1999), [5]E. Borel, Leçonssurlathéoriedesfonctions,Gauthier-Villars,Paris,1898. [6] G. C a n t o r, Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, Math. Ann. 21 (1883), (przedruk w[7, 9]). [7] G. C a n t o r, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen, Leipzig, [8]G. Cantor, BeiträgezurBegründungdertransfinitenMengenlehre,Math.Ann. 46(1895), (przedruk w[9]; tł. na ang. i red. Ph.E.B. Jourdain: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Dover, New York, 1915). [9]G. Cantor, GesammelteAbhandlungen,red.E.Zermelo,Springer,Berlin,1932. [10]R.H. Cox, AproofoftheSchroeder-Bernsteintheorem,Amer.Math.Monthly76 (1968), 508. [11]R. Dedekind, WassindundwassollendieZahlen,Braunschweig,1888. [12]D.Drasin,R.Gilmer,Complementsandcomments,Amer.Math.Monthly79 (1971), [13]P.R. Halmos, NaiveSetTheory,VanNostrandReinholdCo.,NewYorketal., [14]F.Hausdorff,GrundzügederMengenlehre,VerlagvonVeit&Co.,Leipzig,1914. [15]T.J. Jech, TheAxiomofChoice,North-Holland,Amsterdam;Amer.Elsevier, New York, [16]W. Just, M. Weese, DiscoveringModernSetTheory.I:TheBasics,Amer. Math. Soc., [17]D. König, Surlescorrespondances multivoquesdesensembles,fund.math.8 (1926), [18]D.König,TheoriederendlichenundunendlichenGraphen,Akad.Verlag.,Leipzig, 1936(przedruk: Teubner Verlag., Leipzig, 1986). [19]Jules König (cyt.jakojuliusw[18]),surlathéoriedesensembles,c.r.acad. Sci. Paris 143(1906), [20]A.Korselt,ÜbereinenBeweisdesÄquivalenzsatzes,Math.Ann.70(1911), [21]R. Mańka, A. Wojciechowska, OdwóchtwierdzeniachCantora,Wiadom. Mat. 25(1984), [22]J. Mioduszewski, TwierdzenieCantora-Bernsteina znanydowódzapisany inaczej, Matematyka 4 98(272), rok 51(1998), [23]J. Mioduszewski, WsprawieartykułuZ.Skupienia(ListdoRedakcji),Wiadom. Mat. 37(2001), [24] Papy(avecF.Papy),Mathématiquemoderne,Wyd.M.Didier,Bruxelles Paris, [25]G. Peano, SupertheoremadeCantor-Bernstein,Rend.delCircoloMatematicodi Palermo 21(1906),

10 94 Z. Skupień [26]G. Peano, SupertheoremadeCantor-Bernstein,RivistadiMatematica8(no.5), [27]H.Poincaré,Lesmathématiquesetlalogique,Rev.deMetaphysiqueetdeMorale 14(1906) [28]H. Poincaré (tł.m.h.horwitz),naukaimetoda,nakładj.mortkowicza,warszawa, 1911, G. Centnerszwer; Lwów, Księgarnia H. Altenberga. [29]M. Reichbach (późniejreichaw),unesimpledémonstrationduthéorèmede Cantor-Bernstein, Colloq. Math. 3(1955), 163. [30]A. Schoenflies, DieEntwicklungderLehrevondenPunktmanningfaltigkeiten, Jahresber. Deutschen Math.-Verein. 8(1900), Heft 2. [31]E. Schröder, ÜberG.CantorscheSätze,Jahresber.DeutschenMath.-Verein.5 (1896), Heft 1, [32]E. Schröder, ÜberzweiDefinitionenderEndlichkeitundG.CantorscheSätze, Nova Acta Leop. 71(1898), [33]W. Sierpiński, CardinalandOrdinalNumbers,PWN,Warszawa,1958. [34]Z. Skupień, ProstydowódtwierdzeniaCantora-Bernsteina,Wiadom.Mat.35 (1999), [35]A. Zelevinsky, w:m. Aigner, G.M. Ziegler, ProofsfromTHEBOOK, Springer, 2001(Dowody z Księgi, Wyd. Nauk. PWN, Warszawa, 2002, ss ). [36]E. Zermelo, GöttingerNachr.10(1901),1 5(p.Bernstein[3,s.121]). [37]E. Zermelo, NeuerBeweisfürdieMöglichkeiteinerWohlordnung,Math.Ann. 65(1908), [38]E.Zermelo,UntersuchungenüberdieGrundlagenderMengenlehreI,Math.Ann. 65(1908), [39](Z żałobnej karty) Meir Reichaw( ), Wiadom. Mat. 36(2000),