1 Funkcje uniwersalne
|
|
- Kazimierz Rogowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich, że 0 < k n, 3) 0, n, 4, k P dla wszystkich n > 0 oraz k, 4) jeżeli (p) 0 = 1, ((p) 2 ) = lh(p), (p) 1 = ((p) 3 ) 1 oraz ((p) 3 ) 1 = ((p) i ) 1 i (p) i P dla wszystkich 2 < i < lh(p), a także (p) 2 P, to p P, 5) jeżeli (p) 0 = 2, ((p) 2 ) 1 = (p) oraz (p) 2 P, to p P. Lemat 1.1 Zbior P jest rekurencyjny. Każdy element p P spełnia nierówności p > (p) 1 > 0. Teraz każdemu elementowi p P przyporządkujemy pewną funkcję częściową ϕ p : N (p) 1 N. Przyjmijmy, że 1) ϕ 0,2,0 (x, y) = x + y, 2) ϕ 0,2,1 (x, y) = x y, 3) ϕ 0,2,2 (x, y) = K < (x, y), 4) ϕ 0,n,3,k = I n,k, 5) ϕ 0,n,4,k ( x) = k dla wszystkich x N n, 6) jeżeli (p) 0 = 1, to ϕ p ( x) = ϕ (p)2 (ϕ (p)3 ( x),..., ϕ (p)lhp 1 ( x)) dla wszystkich x N (p) 1, 7) jeżeli (p) 0 = 2, to ϕ p ( x) = µy(ϕ (p)2 (y, x) = 0) dla wszystkich x N (p) 1. Przypomnijmy sobie, że posługujemy się kodowaniem za pomocą liczb naturalnych skończonych ciągów liczb naturalnych, które ma następujące własności: dla każda liczba p > 0 koduje ciąg o długości lh(p) < p o wyrazach (p) i < p. Te własności kodowania gwarantują poprawność definicji funkcji ϕ p. Zbiór P możemy interpretować jako pewnien język programowania: za pomocą liczb naturalnych zostały opisane definicje pewnych funkcji, funkcja ϕ p to funkcja opisywana za pomocą liczby (programu) p. Lemat 1.2 Zbiór {ϕ p : p P } jest równy klasie wszystkich funkcji rekurencyjnych. Twierdzenie 1.3 Istnieje funkcja rekurencyjna U : N 2 N taka, że 1) dla każdej (częściowej) funkcji rekurencyjnej f : N k N istnieje liczba p N taka, że dla wszystkich x N zachodzi równość (wartości funkcji częściowych) U (p, x) = f((x) 0,..., (x) (p)1 1), 2) dla każdej (częściowej) funkcji rekurencyjnej f : N k N istnieje całkowita funkcja s : N N taka, że dla wszystkich i, x N zachodzi równość f(i, (x) 0,..., (x) k 1 ) = U (s(i), x).
2 2 Dowód. Będziemy kodować obliczenia wartości funkcji ϕ m używając liczb a N, które są numerami ciągów liczb, które z kolei są numerami trójek p, x i y takich, że ϕ p (x) = y. Zdefiniujemy pomocniczą relację K(a, p, x), która, mówiąc intuicyjnie, stwierdza, że a koduje dostatecznie dużo informacji o obliczeniach, aby mając a można było ustalić wartość ϕ p ((x) 0,..., (x) lh(x) 1 ) i zweryfikować przeprowadzone obliczenia. Relacja K ma następujące własności: Fakt 1.4 Relacja K jest rekurencyjna. Fakt 1.5 Dla każdych p P i x N, jeżeli lh(x) = (p) 1 oraz wartość ϕ p ((x) 0,..., (x) lh(x) 1 ) jest określona, to istnieje a takie, że K(a, p, x). Fakt 1.6 Jeżeli K(a, p, x) oraz ((a) i ) 0 = p i ((a) i ) 1 = x dla jakiegoś i < lh(a), to ((a) i ) 2 = ϕ p ((x) 0,..., (x) lh(x) 1 ). Przyjmijmy, że U (p, x) = (µt(k((t) 0, p, x) (((t) 0 ) (t)1 ) 0 = p (((t) 0 ) (t)1 ) 1 = x (((t) 0 ) (t)1 ) 2 = (t) 2 (t) 1 < lh((t) 0 ))) 2. Zdefiniowana funkcja U jest rekurencyjna. Z przytoczonych faktów wynika, że ma własności podane w pierwszej części tezy twierdzenia. Aby dowieść drugą część tezy, weźmy (dla ustalonego k) funkcję s(i) = 1, k, p, 0, k, 3, 1,..., 0, k, 3, k, gdzie p P jest taki, że U (p, x) = f((x) 0,..., (x) k ). Przyjmijmy, że dla x N symbol x oznacza ciąg (x) 0,..., (x) k 1. Zauważmy, że U (s(i), x) = ϕ s(i) ( x) = ϕ p (ϕ 0,k,4,i ( x), ϕ 0,k,3,1 ( x),..., ϕ 0,k,3,k ( x)) = f(i, (x) 0,..., (x) k 1 ). 1.2 Funkcje uniwesalne Funkcję U : N k+1 U nazywamy uniwesalną dla klasy funkcji rekurencyjnych k zmiennych, jeżeli funkcja U jest rekurencyjna oraz dla dowolnej funkcji rekurencyjnej f : N k N istnieje n N taka, że dla wszystkich x 1,..., x k zachodzi równość f(x 1,..., x k ) = U(n, x 1,..., x k ). Lemat 1.7 Niech U spełnia tezę twierdzenia 1.3. Funkcja U : N k+1 N zdefiniowana wzorem U(n, x 1,..., x k )) = U (n, x 1,..., x k ) jest funkcją uniwersalną dla klasy funkcji rekurencyjnych k zmiennych. Dowód. Oczywiście, U jest rekurencyjna. Niech f : N k N będzie rekurencyjna. Wtedy, dla p z tezy twierdzenia 1.3, mamy U(p, x) = U (p, x 1,..., x k ) = f(( x 1,..., x k ) 0,..., ( x 1,..., x k ) k 1 ) = f(x 1,..., x k ). Dla funkcji uniwersalnej U : N 2 N i n > 1 przyjmijmy, że U n : N n+1 N oraz U n (p, x 1,..., x n ) = U(p, x 1,..., x n ).
3 3 Lemat 1.8 Jeżeli U jest funkcją uniwersalną dla klasy jednoargumentowych funkcji rekurencyjnych i n > 1, to U n jest funkcją uniwesalną dla klasy n-argumentowych funkcji rekurencyjnych. Dowód. Niech f : N n N będzie funkcją rekurencyjną. Zdefiniujmy funkcję g : N N taką, że g(x) = f((x) 0,..., (x) n 1 ). Weźmy p takie, że U(p, x) = g(x) dla wszystkich x N. Zauważmy, że U n (p, x 1,..., x n ) = U(p, x 1,..., x n ) = g( x 1,..., x n ) = f(x 1,..., x n ). Zwykle będziemy mieć danę funkcję uniwersalną dla klasy jednoargumentowych funkcji rekurencyjnych i w razie potrzeby będziemy ją standardowo rozszerzać w podany sposób do funkcji uniwersalnej dla funkcji k argumentowych. Możemy dodatkowo przyjąć, że U 1 (n, x) = U(n, x). Wadą takiego podejścia jest niejednorodna definicja ciągu U 1, U 2, U 3,..., zaletą wygodne operowanie nimi w sytuacji, gdy najważniejsze są i najczęściej są wykorzystywane funkcje jednoargumentowe. 1.3 Akceptowalne systemy programowania Ciąg funkcji uniwersalnych U 1, U 2, U 3,... spełnia s m n-twierdzenie, jeżeli zachodzi następujące Twierdzenie 1.9 (s-m-n-twierdzenie) Dla dowolnych dodatnich liczb naturalnych n, m istnieje całkowita funkcja rekurencyjna s : N n+1 N taka, że dla wszystkich argumentów zachodzi równość U n+m (p, x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = U m (s(p, x 1,..., x n ), y 1,..., y m ). Ciąg funkcji jedej zmiennej ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2,... nazywamy nazywamy systemem programowania, jeżeli funkcja U(n, x) = ϕ n (x) jest funkcją uniwersalną dla klasy funkcji rekurencyjnych jednoargumentowych. Ciąg funkcji ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2,... jest akceptowalnym systemem programowania, jeżeli jest systemem programowania i ciąg funkcji uniwersalnych U 1, U 2, U 3,... wyznaczony przez w standardowy sposób przez funkcję U (zdefiniowaną jak wyżej) spełnia s m n-twierdzenie. Wadą tej definicji jest uzależnienie jej od ciągu funkcji U 1, U 2, U 3,..., zaletą to, że wyraża istotne własności akceptowalnego systemu programowania. Ładniej akceptowalne systemy można zdefiniować zgodnie z następującą charakteryzacją: Twierdzenie 1.10 System programowania ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2,... jest akceptowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całkowita i rekurencyjna funkcja C : 2 N taka, że dla wszystkich n, m, x N. ϕ n (ϕ m (x)) = ϕ c(n,m) (x) Być może istnieją systemy programowania, które nie są akceptowalne. Wszystkie znane mi konstrukcje funkcji uniwersalnych prowadzą do akceptowalnych systemów programowania Twierdzenie 1.11 Jeżeli U spełnia tezę twierdzenia 1.3 i U(p, x) = U (p, x ) jest funkcją uniwersalną (zdefiniowaną zgodnie z lematem 1.7), to ciąg funkcji U 1, U 2, U 3,... spełnia s m n-twierdzenie.
4 4 Dowód. s m n-twierdzenie dowodzimy przez indukcję ze względu na n, a fragmenty tego dowodu przez indukcję ze względu na m. Teraz pokażę tylko, jak przy założeniu m > 1 dowieść wzór U 1+m (p, x, y 1,..., y m ) = U m (s(p, x), y 1,..., y m ). Niech k : N 2 N oznacza funkcję rekurencyjną, która ma następującą własność: Przyjmijmy, że c(x, y 1,..., y m ) = x, y 1,..., y m. f(i, y) = U ((i) 0, c((i) 1, y). Dla funkcji f korzystamy z twierdzenia 1.3 i znajdujemy całkowitą funkcję s taką, że f(i, (x) 0 ) = U (s(i), x). Zauwazmy, że dla tej funkcji zachodzą następujące wzory: oraz f(i, x) = U (s(i), x ) f(i, y 1,..., y m ) = U (s(i), y 1,..., y m ) = U 1 (s(i), y 1,..., y m ) = U m (s(i), y 1,..., y m ). Z drugiej strony, f( p, x, y 1,..., y m ) = U (p, c(x, y 1,..., y m ) ) = U (p, x, y 1,..., y m ) = Z dowiedzionych równości wynika, że = U 1 (p, x, y 1,..., y m ) = U 1+m (p, x, y 1,..., y m ). U 1+m (p, x, y 1,..., y m ) = U m (s( p, x ), y 1,..., y m ). 1.4 Własności systemów programowania Twierdzenie 1.12 Niech ψ 0, ψ 1,... będzie systemem programowania, a ϕ 0, ϕ 1,... akceptowalnym systemem programowania. Wtedy istnieje całkowita rekurencyjna funkcja t : N N taka, że ψ i = ϕ t(i) dla wszystkich i N. Twierdzenie 1.13 (o rekursji) Dla dowolnego akceptowalnego systemu programowania ϕ 0, ϕ 1,... i dowolnej całkowitej funkcji f : N N istnieje n N taka, że Dowód. Niech Przyjmijmy, że Wtedy ϕ n = ϕ f(n). F (x, y) = ϕ ϕx(x)(y). F (x, y) = ϕ g(x) (y) f(g(x)) = ϕ m (x) oraz n = g(m). ϕ f(n) (y) = ϕ f(g(m)) (y) = ϕ ϕm(m)(y) = F (m, y) = ϕ g(m) (y) = ϕ n (y). Twierdzenie 1.14 (jednostajne twierdzenie o rekursji) Dla dowolnego akceptowalnego systemu programowania ϕ 0, ϕ 1,... istnieje całkowita rekurencyjna funkcja n : N N taka, że ϕ n(x) = ϕ ϕx(n(x)). Twierdzenie 1.15 (Twierdzenie Rogersa o izomorfizmie) Niech ψ 0, ψ 1,... oraz ϕ 0, ϕ 1,... będą akceptowalnymi systemami programowania. Wtedy istnieje rekurencyjna bijekcja t : N N taka, że ψ i = ϕ t(i) dla wszystkich i N.
5 5 2 Twierdzenie o przyśpieszaniu Twierdzenie 2.1 (Ograniczone twierdzenie o przyśpieszaniu) Dla miary złożoności Φ 0, Φ 1,... takiej, że Φ s(i,x) (y) Φ i (x, y) dla wszystkich x, y N (s to funkcja z s n m twierdzenia) i dowolnej całkowitej, rekurencyjnej funkcji g : N 2 N spełniającej dla wszystkich argunentów nierówności g(x, y) g(x, y + 1) istnieje całkowita i rekurencyjna funkcja f : N N taka, że dla dowolnego (programu) i obliczającego f (a więc spełnijącego ϕ i = f) istnieje (program) j taki, że dla prawie wszystkich x zachodzą równość ϕ j (x) = f(x) oraz nierówność g(x, Φ j (x)) Φ i (x). Dowód. Krok 1. Będziemy definiować całkowitą funkcję rekurencyjną f : N 2 N, a właściwie ciąg funkcji f w określonych wzorami f w (x) = f(w, x) i program n obliczający f (taki, że f(w, x) = ϕ n (w, x)) spełniający równości oraz implikacje f w (x) = f w+1 (x) ϕ w = f g(x, Φ n (w + 1, x)) Φ w (x) dla prawie wszystkich x. Mając taki ciąg funkcji otrzymamy tezę twierdzenie. Wystarczy bowiem przyjąć, że f(x) = f(0, x). Jeżeli wtedy w będzie programem obliczającym f (czyli ϕ w (x) = f(x)), to funkcja f w+1 będzie prawie równa f i naturalny program obliczający f w+1, czyli s(n, w + 1), będzie mieć złożoność spełniającą nierówności g(x, Φ s(n,w+1) (x)) g(x, Φ n (w + 1, x)) Φ w (x) dla prawie wszystkich x. Krok 2. Przypuśćmy, że funkcję f(w, x) udało się nam zdefiniować dla w > 0. Wtedy wartość f(x) = f(0, x) możemy definiować tak, aby funkcja f( ) przyjmowała wartości różne od wartości złych funkcji, czyli takich funkcji ϕ i, które nie spełniają żądanej nierówności. Znając f w dla w > 0 łatwo powiedzieć, jakie funkcje ϕ i są złe. Są to funkcje spełniające nierówności Φ i (x) < g(x, Φ n (i + 1, x)). Tak więc funkcję f, stosując techniki znane z wcześniejszych twierdzeń, możemy definiować wzorem f(x) = f(0, x) = µy( i < x (Φ i (x) < g(x, Φ n (i + 1, x)) y ϕ i (x))). Pokaże teraz, że jest to dobry sposób definiowania funkcji f. Funkcja ta ma następującą włsność: x i < x (Φ i (x) < g(x, Φ n (i + 1, x)) f(x) ϕ i (x)). Niech i 0 będzie programem obliczającym f. Wtedy ϕ i0 (x) = f(x) dla wszystkich x oraz x (i 0 < x (Φ i0 (x) < g(x, Φ n (i 0 + 1, x)) f(x) f(x))).
6 6 Stąd otrzymujemy, że x (i 0 < x g(x, Φ n (i 0 + 1, x)) Φ i0 (x)), czyli żądaną nierówność. Krok 3. Aby obliczyć funkcję f 0 powinniśmy znać f w dla w > 0, a właściwie powinniśmy umieć wyliczyć złożoności obliczeń tych funkcji. Spróbujmy teraz znaleźć sposób obliczania funkcji f 1. Funkcja f 1 jest prawie równa funkcji f 0, może więc być obliczana w ten sam sposób na podstawie znajomości funkcji f w dla w > 1. Taki sposób myślenia prowadzi do następującej definicji funkcji f: f(w, x) = µy( i < x (w i Φ i (x) < g(x, Φ n (i + 1, x)) y ϕ i (x))). Ta definicja ma charakter indukcyjny, ale nie wygląda na poprawną definicję indukcyjną. Można ją jednak poprawić. Krok 4. Przytoczoną ideę można jednak poprawić. Funkcje f w dla w > 0 nie muszą być równe funkcji f 0, wystarczy, aby były jej prawie równe. To pozwala każdą z tych funkcji określić arbitralnie na zbiorze skończonym, np. definiując f w robimy to na zbiorze tych argumentów x, które nie przekraczają w. Możemy więc przyjąć, że { 0 jeżeli x w, f(w, x) = µy( i < x (w i Φ i (x) < g(x, Φ n (i + 1, x)) y ϕ i (x))) gdy x > w. Zauważmy też, że przy okazji, po wprowadzeniu tej zmiany zastosowany schemat indukcyjny staje się poprawny: dla ustalonego x są określone wszystkie funkcje f w o indeksach w x (mamy 0 = f x (x) = f x+1 (x) = f x+2 (x),...) i możemy indukcyjnie obliczać kolejno wartości f x 1 (x), f x 2 (x), f x 3 (x),..., f 0 (x). Mamy jednak jeszcze jeden kłopot. Krok 5. Można spodziewać się, że dla pewnego k nierówności Φ k (x) < g(x, Φ n (k + 1, x)) zachodzą dla wszystkich x. Wtedy definiując f k (x) musi uwzględnić, że jest to wartość ϕ k (x). Ponieważ zachodzą oczywiste nierówności f w (x) f w+1 (x), ta sytuacja może spowodować, że f 0 (x) f k (x) > f k+1 (x) dla niektórych x. Tych x może być jednak nieskończenie wiele. W takim przypadku, funkcje f 0 i f k+1 różniłyby się dla nieskończenie wielu argumentów. Zauważmy jednak, że jeżeli zachodzi nierówność Φ k (x) < g(x, Φ n (k + 1, x)), to naszą intencją jest spowodowanie, że f(x) ϕ k (x) i zapewnienie prawdziwości tezy twierdzenia przez spowodowanie, że poprzednik występującej w niej implikacji stanie się fałszywy dla i = k. Aby to jednak zrobić, wystarczy spowodować, że f(x) ϕ k (x) dla jednego x. Nie musimy tego gwarantować dla wszystkich x spełniających nierówność Φ k (x) < g(x, Φ n (k +1, x)): wystarczy, że zrobimy to dla pierwszego takiego x. Krok 6. Przedstawiony sposób myślenia prowadzi więc do definicji funkcji f o własnościach i o postaci opisanej w niżej podanym lemacie. Zgodnie z tym lematem, ten sposób definiowania gwarantuje, że zdefiniujemy ciąg f 0, f 1, f 2,... prawie równych funkcji. Lemat 2.2 Przypuśćmy, że C(w, x) oznacza rodzinę zbiorów skończonych takich, że oraz Niech x y C(w, x) C(w, y) = i C(w, x) i C(0, x) i w. f(w, x) = µy ( i (i C(w, x) ϕ i (x) y)). Wtedy dla wszystkich w równość f(w, x) = f(0, x) zachodzi dla prawie wszystkich x.
7 7 Dowód. Ustalmy w. Zbiory C(0, x) i C(w, x) nie różnią się elementami i w. Jeżeli są różne, to element i, który je różni, należy do C(0, x) \ C(w, x) i jest mniejszy od w. Ponieważ zbiory C(0, x) są parami rozłączne, to elementy i < w należą do skończenie wielu takich zbiorów. Przyjmijmy, że należą do zbiorów C(0, x) dla x < m w. Wobec tego i < w x m w i C(0, x). Stąd, dla x m w zachodzą równości C(0, x) = C(w, x). Nietrudno zauważyć, że równość tych zbiorów implikuje równość f(0, x) = f(w, x). Ta ostatnia równość zachodzi więc dla wszystkich x m w. Krok 7. Możemy już przystąpić do realizacji opisanego planu definiowania f. Funkcja ta ma być definiowana przez indukcję. Tak więc najpierw zdefiniujemy z parametrem n, jako funkcję trzech zmiennych f(n, w, x) (zamiast f(w, x)), a następnie dobierzemy n tak, aby f(n, w, x) = ϕ t(n) (w, x) = ϕ n (w, x) = f(w, x) (a więc, aby n użyty w definicji stał się programem obliczającym f). Istnienie takiego n wyniknie z twierdzenia o rekursji. Początek konstrukcji f. Krok 8. Będziemy kodować skończone zbiory liczb naturalne za pomocą liczb naturalnych. Każda liczba koduje skończony ciąg liczb naturalnych. Umawiamy się, że liczba c będzie też kodować zbiór wyrazów ciągu kodowanego przez c. W szczególności przyjmujemy, że i c t < lh(c) i = (c) t. Niech f 0 (x, a, c) = µy ( i < x (i c y (a) i )). Jest oczywiste, że funkcja f 0 jest rekurencyjna. Łatwo dowodzi się, że jest to funkcja całkowita: warunku podanego w definicji funkcji nie spełnia najwyżej skończenie wiele liczb naturalnych y. Będzie nam jeszcze potrzebna funkcja F : N 3 N taka, że { jeżeli w x, F (n, w, x) = Φ n (w + 1, x), Φ n (w + 2, x),..., Φ n (x, x) w przeciwnym razie. Aby formalnie zdefiniować taką funkcję F zdefiniujmy funkcję pomocniczą { jeżeli w x, F 0 (k, n, w, x) = konkatenacja( Φ n (w + 1, x), ϕ k (n, w + 1, x)) w przeciwnym razie. Jest to częściowa funkcja rekurencyjna. Dalej przyjmujemy, że F (n, w, x) = F 0 (k, n, w, x) dla k takiego, że F 0 (k, n, w, x) = ϕ k (n, w, x). Fakt 2.3 Zdefiniowana wyżej funkcja F : N 3 N jest rekurencyjna i ma następujące własności: 1) jeżeli w x, to F (n, w, x) =, 2) jeżeli w < x, to F (n, w, x) = konkatenacja( Φ n (w + 1, x), F (n, w + 1, x)), 3) jeżeli w < x, to wartość F (n, w, x) jest określona wtedy i tylko wtedy, gdy są określone wartości Φ n (i, x) dla wszystkich i takich, że w < i x.
8 8 Krok 9. Niech teraz C 0 : N 5 N będzie funkcją taką, że C 0 (n, w, x, c, f) = kod({i < x : w i i c Φ i (x) < g(x, (f) w i )}). Bardziej formalna definicja stwierdza, że C 0 (n, w, x, c, f) jest najmniejszą liczbą kodującą ciąg, którego wyrazami są dokładnie liczby należące do zbioru podanego w powyższej definicji. Fakt 2.4 Funkcja C 0 : N 5 N jest całkowita i rekurencyjna. Ponadto, oraz 1) jeżeli i C 0 (n, w, x, c, f), to wartość ϕ i (x) jest określona, 2) i C 0 (n, w, x, c, f) wtedy i tylko wtedy, gdy i C 0 (n, 0, x, c, f) oraz i w. Dowód tego faktu wymaga skorzystania z własności miary złożości Φ 0, Φ 1,... Krok 10. Przez indukcję definiujemy teraz funkcję C 1 : N 3 N przyjmując C 1 (n, w, 0) = C 1 (n, w, x + 1) = konkatenacja(c 0 (n, w, x, C 1 (n, w, x), F (n, w, x)), C 1 (n, w, x)). Przyjmijmy, że Zauważmy, że C(n, w, x) = C 0 (n, w, x, C 1 (n, w, x), F (n, w, x)). Fakt 2.5 Funkcja C 1 : N 3 N jest rekurencyjna oraz 1) wartość C 1 (n, w, x) jest określona wtedy i tylko wtedy, gdy wartości F (n, w, y) są określone dla wszystkich y < x, 2) jeżeli wartość C 1 (n, w, x) jest określona, to określone są wartości C 1 (n, w, y) dla wszystkich y < x oraz C 1 (n, w, x) = C(n, w, y). Lemat 2.6 Jeżeli wartości C 1 (n, w, x) oraz F (n, w, x) są określone i y < x, to każde i takie, że i C(n, w, x) spełnia warunek i C(n, w, y). Dowód. Z założeń wynika, że liczba C(n, w, x) jest określona. Weźmy i C(n, w, x). Wtedy i C 0 (n, w, x, C 1 (n, w, x), F (n, w, x)). Z definicji C 0 otrzymujemy, że i C 1 (n, w, x). Na mocy poprzedniego lematu, i C(n, w, y). Lemat 2.7 Jeżeli wartości C 1 (n, 0, x) oraz F (n, 0, x) są określone, to 1) wartości C 1 (n, w, y) oraz F (n, w, y) są określone dla wszystkich y x oraz w, 2) dla wszystkich y x oraz wszystkich w warunek i C 1 (n, w, y) jest równoważny warunkowi i w i C 1 (n, w, y). 3) dla wszystkich y x oraz wszystkich w warunek i C(n, w, y) jest równoważny warunkowi i w i C(n, 0, y). y<x
9 9 Dowód. Część 2 i 3 dowodzimy przez jednoczesną indukcję ze względu na y. Zauważmy, że i C 1 (n, w, 0) i w i C 1 (n, 0, 0). Dalej, jeżeli to także oraz Stąd i C 1 (n, w, y) i w i C 1 (n, 0, y), i C 1 (n, w, y) i < w i C 1 (n, 0, y) i w i C 1 (n, w, y) i w i C 1 (n, 0, y). i C 0 (n, w, y, C 1 (n, w, y), F (n, w, y)) i w i C 0 (n, 0, y, C 1 (n, 0, y), F (n, 0, w)), Ostatecznie otrzymujemy Z własności C 1 otrzymujemy także i C(n, w, y) i w i C(n, 0, y). i C 1 (n, w, y + 1) i w i C 1 (n, 0, y + 1). Lemat 2.8 Jeżeli i C(n, w, x), to wartość ϕ i (x) jest określona. Dowód. Jeżeli i C(n, w, x), to w szczególności zachodzi pewna nierówność postaci Φ i (x) < a. Ta nierówność implikuje, że zarówno Φ i (x), jak i ϕ i (x) są określone. Krok 11. Definiujemy przez rekursję prostą funkcję v 0 : N 3 N: v 0 (0, a, x) = oraz v 0 (j + 1, a, x) = konkatenacja(v 0 (j, a, x), ϕ (a)j (x) oraz v(a, x) = v 0 (lh(a), a, x). Fakt 2.9 Funkcja v jest rekurencyjna. Jeżeli wartości ϕ i (x) są określone dla wszystkich i a, to wartość v(a, x) jest określona i dla takich i zachodzi równość (v(a, x)) i = ϕ i (x). Krok 12. W końcu możemy zdefiniować f(n, w, x) = f 0 (x, v(c(n, w, x), x), C(n, w, x)). Od tego miejsca liczba n będzie miała następującą własność: f(n, w, x) = ϕ n (w, x) = f(w, x). Lemat 2.10 Funkcja f : N 2 N jest rekurencyjna i całkowita.
10 Dowód. Jeżeli w x, to C 0 (n, w, x, c, f) jest kodem zbioru pustego, więc to samo jest prawdą dla C(n, w, x). Stąd v(c(n, w, x)) jest określone i f(w, x) = 0. Teraz pokażemy, że jeżeli określone są wartości f(w + 1, x) oraz f(w, x 1), to także jest określona wartość f(w, x). f(w, x) jest określona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona C(n, w, x) (jeżeli C(n, w, x) jest określona, to także v(c(n, w, x)) jest określona na mocy lematów. C(n, w, x) jest określona wtedy i tylko wtedy, gdy są określone wartości C 1 (n, w, x) oraz F (n, w, x). Z założeń więc mamy, że są określone wartości C 1 (n, w+1, x), F (n, w+1, x), C 1 (n, w, x 1) oraz F (n, w, x 1). Teza zostanie zaś wykazana, jeżeli dowiedziemy, że są określone wartości C 1 (n, w, x) oraz F (n, w, x). Z definicji C 1, funkcja ta jest określona dla argumentów n, w, x jeżeli są określone C 1 (n, w, x 1) oraz F (n, w, x 1). Tak więc C 1 (n, w, x) jest określona. Z definicji F, aby była określana wartość F (n, w, x) muszą być określone wartości Φ n (w + 1, x) oraz F (n, w + 1, x). Druga z tych wartości jest określona na mocy założenia, a pierwsza ponieważ jest określona wartość f(w + 1, x) = ϕ n (w + 1, x). 10
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoSchemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej
Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoTrzy razy o indukcji
Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Wykład 14
Teoria rekursji Teoria rekursji to dział logiki matematycznej zapoczątkowany w latach trzydziestych XX w. Inicjatorzy tej dziedziny to: Alan Turing i Stephen Kleene. Teoria rekursji bada obiekty (np. funkcje,
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoAlgebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoPoprawność semantyczna
Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoCiągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Bardziej szczegółowoFunkcje rekurencyjne
Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Funkcje rekurencyjne Funkcje rekurencyjne 1 / 34 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi
Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3a/15 Indukcja matematyczna Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Zasada
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Matematyka dyskretna
Indukcja matematyczna Matematyka dyskretna Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna będzie przez nas używana jako metoda dowodzenia twierdzeń. Zazwyczaj są to twierdzenia dotyczące liczb naturalnych,
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski, 015-1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach, które
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowo