Matematyka II - Organizacja zajęć. Egzamin w sesji letniej

Transkrypt

1 Matematyka II - Organizacja zajęć Wykład (45 godz.): 30 godzin - prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglarz poniedziałek godz godzin - środa godz (tygodnie nieparzyste) s. A Egzamin w sesji letniej 1

2 2? ( ) ( ) ( ) x f x f x f n n i Def i r K r r + + = = 1 1 ( ) ( ) ( ) x f x f x f n Def n i i r K r r = = 1 1

3 dr hab. inż. Joanna Józefowska dyżur: poniedziałek p. 436 czwartek p poznan.pl materiały do wykładów: hasło: mat03 3

4 Literatura Batóg T., Podstawy logiki, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań Błażewicz J., Złożoność obliczeniowa problemów kombinatorycznych, WNT, Warszawa Davis M., Czym jest obliczanie?, w: Matematyka współczesna - dwanaście esejów pod redakcją Lynna Arthura Steena, WNT, Warszawa Epstein R. L., Carnielli W. A., Computability, Wadsworth, Belmont Harel D., Rzecz o istocie informatyki, wyd. 2, WNT Warszawa Penrose R., Nowy umysł cesarza. O komputerach, umyśle i prawach fizyki, PWN, Warszawa

5 Paradoksy Kreteńczyk: Wszyscy mieszkańcy Krety są kłamcami. To zdanie jest fałszywe. Paradoks Russela Z = {X: X X}. Czy Z Z? 5

6 Paradoks Zenona Achilles i żółw ścigają się. Dla wyrównania szans przesunięto pozycje startowe. Ale jakkolwiek szybko biegłby Achilles, to nigdy nie dogoni żółwia. Zanim bowiem Achilles dobiegnie do miejsca, z którego startował żółw, ten drugi będzie już kawałek dalej. Zanim Achilles osiągnie tę pozycję, żółwia już tam nie będzie, itd. 6

7 Paradoks Zenona 7

8 Paradoks Zenona A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 8

9 Paradoks Zenona A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 9

10 10 Paradoks Zenona ( )( ) ( )( ) > + + = = m m m m m m m m m m m m ( ) > + = + m m m < < + < < < < < K K m m

11 Liczby liczenie a liczność (zbioru) porównywanie liczności dwóch zbiorów dodawanie 1 liczby naturalne 11

12 Wszystko jest liczbą... sprzeczność 2 Załóżmy, że 2 = p q p, q są względnie pierwsze 2 p = 2q zatem p 2 jest liczbą parzystą a stąd i p jest liczbą parzystą (p = 2r) p, q są względnie pierwsze, więc q jest nieparzyste z drugiej strony (2r) 2 = 2q 2 czyli 2r 2 = q 2 co oznacza, że q jest parzyste 2 12

13 Funkcje wejście Czarna skrzynka wyjście 13

14 Funkcje 2 Czarna skrzynka

15 Funkcje 4 Czarna skrzynka 2 2 wybierz 15

16 Dziedzina i zbiór wartości funkcji 4? 16

17 Dziedzina i zbiór wartości funkcji dziedzina zbiór wartości 17

18 Funkcja jako reguła Niech X i Y będą dwoma niepustymi zbiorami. Funkcją z X do Y nazywamy regułę, która każdemu elementowi x X przyporządkowuje element y Y. f(x) = x + 3 g(x) = x

19 Funkcja jako zbiór par Niech X i Y będą dwoma niepustymi zbiorami. Funkcją z X do Y nazywamy zbiór par (x,y) gdzie pierwszy element pary należy do zbioru X, a drugi do zbioru Y. Jeżeli (x,y) i (x,z) należą do tego samego zbioru par, to y=z. 19

20 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = g(2) = λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) =λxy(x + y) λx(x + 3) 20

21 Injekcja, surjekcja i bijekcja funkcja - ani injekcja ani bijekcja nie funkcja injekcja, ale nie bijekcja surjekcja nie injekcja 21

22 Złożenie funkcji zbiór wartości funkcji f zbiór wartości funkcji g f x dziedzina funkcji f f(x) dziedzina funkcji g g f(x) 22

23 Złożenie funkcji f(x) = 3x + 7 g(x) = 2x 2 x 3x + 7 g f(x)= 18x x (3x+7) 2 23

24 Dowody Co to jest dowód? Jak rozpoznać, że twierdzenie matematyczne zostało udowodnione? Jakie są kryteria? Czym różni się dowód w matematyce od dowodu np. sądowego? 24

25 Dowody Indukcja Dowód nie wprost Dowód konstrukcyjny Dowód przez kontrprzykład Dowody na istnienie 25

26 Zbiory nieskończone Jak duża jest nieskończoność? Czy wszystkie zbiory nieskończone mają tę samą liczbę elementów? 26

27 Zbiory przeliczalne Zbiór A nazywamy przeliczalnym jeżeli jest skończony lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli istnieje bijekcja A na N. A N 27

28 Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny /1 1/2 1/3 1/ /1 2/2 2/3 2/ /1 3/2 3/

29 Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny Udowodnimy, że zbiór wszystkich uporządkowanych par liczb naturalnych (m, n) jest przeliczalny. Zdefiniujmy: J(m, n) = 1/2 [(m + n)(m + n + 1)] + m Ta funkcja opisuje uporządkowanie z poprzedniego rysunku, przy założeniu, że dla równych J(m, n) para o mniejszym poprzedniku poprzedza parę o większym poprzedniku. 29

30 Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny J(0, 0) = 1/2 [(0 + 0)( )] + 0 = 0 J(0, 1) = 1/2 [(0 + 1)( )] + 0 = 1 J(1, 0) = 1/2 [(1 + 0)( )] + 1 = 2 J(0, 2) = 1/2 [(0 + 2)( )] + 0 = 3 J(1, 1) = 1/2 [(1 + 1)( )] + 1 = 4 J(2, 0) = 1/2 [(2 + 0)( )] + 2 = 5 J(0, 3) = 1/2 [(0 + 3)( )] + 0 = 6 J(1, 2) = 1/2 [(1 + 2)( )] + 1 =

31 Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny J(m, n) jest funkcją 1-1 Każdej parze odpowiada dokładnie jedna liczba naturalna: 1/2 [(m + n)(m + n + 1)] + m Każdej liczbie naturalnej k odpowiada dokładnie jedna para. Zauważmy, że J(m, n) określa liczbę par takich, że (x + y < m + n) lub (x + y = m + n i x < m) 31

32 Zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny Niech [0, 1) oznacza zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych od 0 i mniejszych od 1. Jest on równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, gdyż łatwo wykazać, że jest bijekcją. g x = 1 ( x) x 32

33 Zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny Liczby z przedziału [0, 1) możemy reprezentować jako rozwinięcia dziesiętne postaci: x = 0. x 0 x 1 x 2... x n... (Nie wprost) Przypuśćmy, że [0, 1) jest równoliczny z N. Wtedy można ponumerować wszystkie liczby z przedziału [0, 1): a 0 = 0. a 00 a 01 a a 1 = 0. a 10 a 11 a a n = 0. a n0 a n1 a n2... a nn... 33

34 a 0 = 0. a 00 a 01 a a 1 = 0. a 10 a 11 a a n = 0. a n0 a n1 a n2... a nn... Niech b = 0. b 0 b 1 b 2... b n..., gdzie Zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny 0 b 1 n a = a nn nn gdy gdy b na pewno nie występuje na liście, bo od każdej liczby na liście różni się co najmniej cyfrą leżącą na przekątnej. b sprzeczność a a nn nn <

35 Zbiór wszystkich zbiorów Oznaczmy przez P(A) zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A. Twierdzenie: P(A) i A nie są równoliczne. Dowód (Nie wprost) Przypuśćmy, że A i P(A) są równoliczne. Niech f: A P(A) będzie surjekcją. Oznaczmy f(a) = A a. Niech B będzie podzbiorem tych elementów x należących do A, że x A x. Wtedy B jest podzbiorem A, zatem istnieje b, takie, że B = A b. Ale wtedy: jeżeli b B, to z definicji b A b, więc b B jeżeli b B, to z definicji b A b, więc b B sprzeczność 35

36 Zadanie domowe W pewnej wsi mieszka fryzjer, który goli wszystkich i tylko tych mieszkańców wsi, którzy nie golą się sami. Czy ten fryzjer się goli? 36