G. Wybrane elementy teorii grafów

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "G. Wybrane elementy teorii grafów"

Transkrypt

1 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie modeluje się i rozwiązuje szeroki wachlarz złożonych problemów ekonomicznych, tak w skali mikro- jak i makro zarządzania. Teoria grafów jest bardzo ważnym narzędziem w zastosowaniu do pewnych zagadnień badań operacyjnych. Należy tutaj przede wszystkim wymienić takie zagadnienia jak: problem komiwojażera, problem przydziału, określenie najkrótszej drogi w grafie. Teorię grafów stosuje się najczęściej w sieciach transportowych i w sieciach czynności. W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i teorią macierzy. Krótki rys historyczny rozwoju teori grafów wygląda następująco: 1736 Leonard Euler (uważany za twórcę teorii grafów) 1847 G.R.Kirchhoff (teoria obwodów elektrycznych) 1857 A.Cayley (chemia: izomery węglowodorów nasyconych) 1859 W.R.Hamilton 1945 i dalsze - intensywny rozwój teorii grafów (N.Deo, F.Harary) i jej zastosowań G.1. Co to jest graf Figura przedstawiona na rysunku G.1. nazywa się grafem 1. Wyróżnione punkty nazywają się wierzchołkami grafu (ang. vertex), zaś linie noszą nazwę krawędzi grafu (ang. edge). Wymagane jest, aby każda krawędź i każdy wierzchołek miały swoją nazwę (etykietę). 1 Ściśle graf liniowy, ale ponieważ nie istnieją grafy nieliniowe to mówimy krótko graf.

2 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 2 Rys. G.1. Przykład grafu liniowego Wierzchołki grafu oznaczamy v, v,...,. Zbiór wierzchołków oznaczymy jako 1 2 V v 1, v 2,..., v m i musi to być zbór niepusty (V ). Krawędzie grafu oznaczamy e, e,...,. Zbiór krawędzi oznaczymy jako 1 2 E e 1, e 2,..., e n i może to być zbór pusty. Gdy nie zachodzi obawa pomyłki, etykiety wierzchołków i krawędzi mogą być V 12 m E 12,,..., n. liczbami naturalnymi, tj.,,..., oraz Dla oznaczenia grafu G możemy zapisać krótko G V E składa się ze zbioru wierzchołków V i zbioru krawędzi E. v m e n,, co oznacza, że graf G Dowolna krawędź e k utożsamia się z nieuporządkowaną parą wierzchołków v, v. Wierzchołki v i oraz v j związane z krawędzią e k nazywa się i j wierzchołkami końcowymi krawędzi e k. O krawędzi e k mówimy, że jest ona incydentna z wierzchołkami v i oraz v j. G.1.1. Definicja grafu V i i 12,,..., m będzie dowolnym zbiorem skończonym i Niech niech S oznacza zbiór wszystkich (różnych) nieuporządkowanych par (i,j) S i, j i V j V. Pary (i,j) oraz (j,i) elementów zbioru V, to znaczy oznaczają: ten sam element - dla grafu nieskierowanego lub różne elementy - dla grafu skierowanego. G V, E oraz E S nosi nazwę grafu (nieskierowanego lub Para skierowanego w zależności od definicji zbioru S).

3 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 3 G.1.2. Jak rysować grafy 1. kształt linii jest obojętny; graf musi tylko oddawać połączenia (incydencje) pomiędzy wierzchołkami za pomocą krawędzi 2. przecinanie się krawędzi nie jest wierzchołkiem Na przykład grafy na rysunku G.2. są identyczne (izomorficzne) choć na pierwszy rzut oka wydają się różne. Rys. G.2. Przykład grafu narysowanego na dwa sposoby Inny przykład to odwzorowanie za pomocą grafu problemu decyzyjnego postawionego przez L.Eulera tzw. problem mostów królewieckich (rysunek G.3.). "Królewiec położony po obu brzegach rzeki Pregoły i na dwóch wyspach jest połączony siecią siedmiu mostów. Należy wychodząc z dowolnego brzegu (A lub B) odwiedzić obie wyspy (C i D), niekoniecznie raz, i powrócić do punktu wyjścia przechodząc tylko raz przez każdy z 7 mostów." (L.Euler udowodnił, że problem ten nie ma rozwiązania). Rys. G.3. "Problem mostów królewieckich" G.2. Grafy - wybrane pojęcia G.2.1. Grafy nieskierowane pętla własna - krawędź grafu, której końce są incydentne (związane) z jednym wierzchołkiem (rys. G.1. - krawędź e 1 )

4 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 4 krawędzie równoległe - krawędzie incydentne do tej samej pary wierzchołków (rys. G.1. - krawędzie e 5 i e 4 ) graf prosty - graf bez pętli własnych i krawędzi równoległych. wierzchołek izolowany - nie posiada żadnej krawędzi incydentnej do niego (rys. G.1. - wierzchołek v 6 ) stopień wierzchołka (d) - liczba krawędzi incydentnych z nim (rys. G.1. - stopień wierzchołka v 4 jest równy 3; d=3) graf zerowy - graf bez krawędzi ( E ) grafy izomorficzne - grafy pokrywające się. Warunkiem koniecznym jest: 1. taka sama liczba wierzchołków 2. taka sama liczba krawędzi 3. taka liczba wierzchołków o danym stopniu Warunku wystarczającego brak w teorii. Przykład grafów, które nie są izomorficzne, a warunek konieczny jest spełniony pokazuje rysunek G.4.. Oba grafy nie są izomorficzne choć mają: po 6 wierzchołków, po 5 krawędzi, po 3 wierzchołki o stopniu 1, po 2 wierzchołki o stopniu 2 oraz po 1 wierzchołku o stopniu 3. Rys. G.4. Grafy pozornie izomorficzne - grafy spełniające tylko warunek konieczny izomorfizmu podgraf - graf g V', E' jest podgrafem grafu G V E, jeżeli V' V, E' E oraz każda krawędź grafu g ma te same wierzchołki końcowe jak w grafie G. droga (łańcuch) - ciąg (skończony) naprzemienny wierzchołków i krawędzi rozpoczynający się i kończący wierzchołkami, taki że krawędź jest incydentna do wierzchołków poprzedzających i następujących po niej (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 4, v 2, e 6, v 4, e 6, v 2, e 5, v 1 }) droga otwarta - droga rozpoczynająca się i kończąca różnymi wierzchołkami (rys. G.1. - ciąg {v 5, e 7, v 4, e 2, v 3, e 1, v 3, e 2, v 4 }) droga zamknięta - droga rozpoczynająca się i kończąca tym samym wierzchołkiem (rys. G.1. - ciąg {v 5, e 7, v 4, e 2, v 3, e 1, v 3, e 2, v 4, e 7, v 5 }) droga Eulera - droga przechodząca przez każdą krawędź grafu dokładnie jeden raz (patrz: problem mostów królewieckich) graf Eulera - graf G V E,, w którym wszystkie wierzchołki są stopnia parzystego (graf dla którego istnieje droga Eulera)

5 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 5 ścieżka - (droga ekstremalna) droga otwarta, w której jeden wierzchołek pojawia się tylko jeden raz; można powiedzieć, że ścieżka "nie przecina" samej siebie (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 5, v 2, e 6, v 4 }) obwód - droga zamknięta, w której tylko wierzchołek początkowy może pojawić się dwa razy (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 5, v 2, e 6, v 4, e 2, v 3 }) obwód Hamiltona - obwód przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (graf przykładowy z rys. G.1.. nie ma obwodu ponieważ wierzchołek v 6 jest izolowany) ścieżka Hamiltona - obwód Hamiltona z usuniętą krawędzią graf spójny - graf jest spójny jeżeli między każdą parą wierzchołków istnieje przynajmniej jedna ścieżka drzewo - graf spójny bez obwodów przekrój - każdy zbiór krawędzi grafu spójnego, którego usunięcie powoduje, że graf staje się niespójny. Graf z rys. G.1.. nie jest spójny ze względu na izolowany wierzchołek v 6. Usunięcie wierzchołka v 6 prowadzi do grafu spójnego. W takim nowym grafie przekrojem jest np. zbiór krawędzi {e 3, e 6 }. Usunięcie krawędzi e 3 oraz e 6 powoduje powstanie niespójności. Inne przekroje to: {e 2, e 6 } oraz {e 2, e 4, e 5 }. G.2.2. Macierzowy zapis grafu nieskierowanego macierz incydencji - grafu G V E macierz A mxn a ij gdzie, o m wierzchołkach i n krawędziach to 1 jeżeli krawędź e j jest incydentna z wierzchołkiem v i 0 w przeciwnym wypadku Własności macierzy incydencji: 1. liczba jedynek w każdej kolumnie = 2 2. liczba jedynek w wierszu = stopień wierzchołka 3. wiersz z zerami to wiersz wierzchołka izolowanego 4. krawędzie równoległe mają identyczne kolumny 5. jeżeli graf G jest niespójny to można podzielić macierz A na niezależne bloki diagonalne (po odpowiednim uporządkowaniu wierszy i kolumn) 6. rz A=m-1 macierz przyległości - grafu G V E macierz kwadratowa stopnia m A m a ij, o m wierzchołkach i n krawędziach to gdzie 1 jeżeli wierzchołki v i oraz v j łączy krawędź 0 w przeciwnym wypadku

6 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 6 Własności macierzy przyległości: 1. liczba jedynek w wierszu (kolumnie) = stopień wierzchołka 2. wiersz (kolumna) z samymi zerami = wierzchołek izolowany 3. a ii 0 ozacza pętlę własną wierzchołka v i Przykład Rys. G.5. Graf nieskierowany do ilustracji zapisu macierzowego Macierze incydencji i przyległości grafu z rysunku G.5. są następujące A 6x A 6x G.2.3. Grafy skierowane i sieci graf skierowany (zorientowany) - graf G V E,, w którym za pomocą odwzorowania przekształcić można każdą krawędź e k, związaną z wierzchołkami v i oraz v j, w uporządkowaną parę wierzchołków (v i,v j ). O wierzchołku v i mówimy, że krawędź e k jest incydentna z wierzchołka v i, natomiast o wierzchołku v j mówimy, że krawędź e k jest incydentna do wierzchołka v j. krawędź skierowana (łuk) - krawędź w grafie skierowanym wierzchołek początkowy krawędzi (źródło krawędzi) - wierzchołek dla którego krawędź e k = (v i,v j ) jest incydentna z wierzchołka (v i ) wierzchołek końcowy krawędzi (odpływ krawędzi) - wierzchołek dla którego krawędź e k = (v i,v j ) jest incydentna do wierzchołka (v j )

7 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 7 stopień wejściowy wierzchołka ( d v j wierzchołka v j stopień wyjściowy wierzchołka ( d v j wierzchołka v j ) - liczba krawędzi incydentnych do ) - liczba krawędzi incydentnych z wierzchołek izolowany - wierzchołek, dla którego stopień wejściowy i stopień wyjściowy są równe zero łuki równoległe (krawędzie skierowane równoległe) - krawędzie grafu skierowanego odwzorowane za pomocą tej samej uporządkowanej pary wierzchołków sieć - graf skierowany (zorientowany), bez pętli własnych i łuków równoległych (tj. graf prosty), bez wierzchołków izolowanych oraz obwodów skierowanych, w którym z każdym łukiem e k związana jest pewna nieujemna liczba zródło sieci - wierzchołek (v j ) o zerowym stopniu wejściowym ( d v j odpływ sieci - wierzchołek (v j ) o zerowym stopniu wyjściowym ( d v j sieć zredukowana - sieć o jednym źródle i jednym odpływie 0 ) 0 ) Pojęcia dróg, ścieżek, itd. są analogiczne jak w grafie nieskierowanym. Definiując te pojęcia należy pamiętać, że krawędzie grafu są skierowane, tj. para (v i,v j ) odpowiada zupełnie innej krawędzi niż para (v j,v i ) G.2.4. Macierzowy zapis grafu skierowanego G V, E o m wierzchołkach i n macierz incydencji - grafu skierowanego krawędziach (łukach) to macierz A mxn a ij gdzie 1 jeżeli krawędź e j jest incydentna z wierzchołka v i 1 jeżeli krawędź e j jest incydentna do wierzchołka v i 0 w pozostałych przypadkach Własności macierzy incydencji grafu skierowanego: 1. stopień wejściowy wierzchołka jest równy liczbie "-1" w wierszu 2. stopień wyjściowy wierzchołka jest równy liczbie "1" w wierszu 3. liczba jedynek w każdej kolumnie = 2 4. liczba jedynek w wierszu = stopień wierzchołka 5. wiersz z zerami to wiersz wierzchołka izolowanego 6. krawędzie równoległe mają identyczne kolumny

8 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 8 7. jeżeli graf G jest niespójny to można podzielić macierz A na niezależne bloki diagonalne (po odpowiednim uporządkowaniu wierszy i kolumn) 8. suma elementów w kolumnie jest równa zero 9. rz A=m-1 macierz przyległości - grafu G V E macierz kwadratowa stopnia m A m a ij, o m wierzchołkach i n krawędziach to gdzie 1 jeżeli wierzchołki v i oraz v j łączy łuk (v i, v j ) 0 w przeciwnym wypadku Własności macierzy przyległości: 1. liczba "1" w wierszu = stopień wyjściowy wierzchołka 2. liczba "1" w kolumnie = stopień wejściowy wierzchołka 3. wiersz z samymi zerami = wierzchołek typu odpływ 4. kolumna z samymi zerami = wierzchołek typu źródło 5. wiersz (kolumna) z samymi zerami = wierzchołek izolowany 6. a ii 0 ozacza pętlę własną wierzchołka v i 7. jeżeli numeracja wierzchołków sieci jest taka, że dla każdego łuku (v i,v j ) numer wierzchołka v i v j i jednocześnie macierz przyległości jest macierzą trójkątną dolną, to graf skierowany nie posiada obwodów skierowanych Przykład Rys. G.6. Graf skierowany do ilustracji zapisu macierzowego Macierze incydencji i przyległości grafu z rysunku G.6. są następujące A 6x A 6x

9 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 9 Literatura [1] Narshing DEO, "Teoria grafów oraz jej zastosowanie w technice i informatyce", PWN, Warszawa, 1980, Seria: Biblioteka Naukowa Inżyniera [2] Robert S.GARFINKEL, George L.NEMHAUSER, "Programowanie całkowitoliczbowe", PWN, Warszawa, 1978, Seria: Biblioteka Naukowa Inżyniera Spis treści dodatku G G. Wybrane elementy teorii grafów... 1 G.1. Co to jest graf... 1 G.1.1. Definicja grafu... 2 G.1.2. Jak rysować grafy... 3 G.2. Grafy - wybrane pojęcia... 3 G.2.1. Grafy nieskierowane... 3 G.2.2. Macierzowy zapis grafu nieskierowanego... 5 G.2.3. Grafy skierowane i sieci... 6 G.2.4. Macierzowy zapis grafu skierowanego... 7 Literatura... 9 Spis treści dodatku G... 9

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Algorytmy z powracaniem

Algorytmy z powracaniem Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Drzewa: Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node).

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ELEMENTY TEORII GRAFÓW Literatura: N.Deo Teoria grafów i e zastosowania... PWN (1980) Ross, Wright Matematyka yskretna PWN (199) R.Wilson Wprowazenie o teorii grafów PWN (1999) J.Kulikowski Zarys teorii

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe

WSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej WTĘP DO INFORMATYKI Adrian Horzyk Grafy i struktury grafowe www.agh.edu.pl DEFINICJA GRAFU Graf to

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Algorytm zachłanny pobiera po kolei elementy danych, za każdym razem wybierając taki, który wydaje się najlepszy w zakresie spełniania pewnych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ. Gramatyki grafowe Def. Nieskierowany NL-graf (etykietowane wierzchołki) jest czwórką g = (V, E, Σ, ϕ), gdzie: V niepusty zbiór wierzchołków, E V V zbiór krawędzi, Σ - skończony, niepusty alfabet etykiet

Bardziej szczegółowo

Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3}

Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3} Grafy Definicja grafu nieskierowanego. Grafem nieskierowanym nazywamy uporządkowaną trójkę: gdzie: V- niepusty zbiór wierzchołków grafu G E- zbiór wszystkich krawędzi grafu G - funkcja ze zbioru E w zbiór

Bardziej szczegółowo

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie 6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów

Teoria grafów dla małolatów Teoria grafów dla małolatów Andrzej P.Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka w szkole podstawowej kojarzy się przede wszystkim z arytmetyką, ale współcześni matematycy rzadko

Bardziej szczegółowo

Graf to nie tylko tytuł szlachecki

Graf to nie tylko tytuł szlachecki Kàcik olimpijski Grafy Graf to nie tylko tytuł szlachecki karta pracy Graf to nie tylko tytuł szlachecki Graf co to takiego? Pojęcie grafu wprowadził szwajcarski matematyk Leonhard Euler (707 783). Grafem

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii grafów. Dr inż. Krzysztof Lisiecki

Wprowadzenie do teorii grafów. Dr inż. Krzysztof Lisiecki 1 Reguły gry (1): Uczymy się systematycznie Nie używamy telefonów Zaliczamy w terminie 2 Kontakt: konsultacje poniedziałek 8.45 10.15 (pokój wykładowców) e-mail : krzysztof.lisiecki@p.lodz.pl lub krzysztof@lisiecki.org.pl

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 7 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 7 1 / 43 Grafy -

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Algorytmy grafowe

Wykład 7. Algorytmy grafowe Wykład Algorytmy grafowe Algorytmy grafowe i podstawowe algorytmy przeszukiwania Problem Definicje i własności Reprezentacja Przeszukiwanie wszerz (Breadthirst Search) Przeszukiwanie w głąb (Depthirst

Bardziej szczegółowo

1 Automaty niedeterministyczne

1 Automaty niedeterministyczne Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Analiza sieci Petriego

Analiza sieci Petriego Analiza sieci Petriego Przydatność formalnej analizy modelu procesów Szpital obsługa 272 pacjentów 29258 zdarzeń 264 różnych czynności Czy powyższy model jest poprawny? Tomasz Koszlajda Instytut Informatyki

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Literatura. 1) Pojęcia: złożoność czasowa, rząd funkcji. Aby wyznaczyć pesymistyczną złożoność czasową algorytmu należy:

Literatura. 1) Pojęcia: złożoność czasowa, rząd funkcji. Aby wyznaczyć pesymistyczną złożoność czasową algorytmu należy: Temat: Powtórzenie wiadomości z PODSTAW INFORMATYKI I: Pojęcia: złożoność czasowa algorytmu, rząd funkcji kosztu. Algorytmy. Metody programistyczne. Struktury danych. Literatura. A. V. Aho, J.E. Hopcroft,

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy

ALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy ALGORYTMY 1. Podstawowe definicje Algorytm (definicja nieformalna) to sposób postępowania (przepis) umożliwiający rozwiązanie określonego zadania (klasy zadań), podany w postaci skończonego zestawu czynności

Bardziej szczegółowo

Grafy i macierze. Tomasz LENARCIK, Kraków. Zacznijmy od przykładu. Załóżmy, że ξ jest liczbą algebraiczną spełniającą równanie postaci

Grafy i macierze. Tomasz LENARCIK, Kraków. Zacznijmy od przykładu. Załóżmy, że ξ jest liczbą algebraiczną spełniającą równanie postaci Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLVI Szkole Matematyki Poglądowej, Podejście niestandardowe, Warszawa Miedzeszyn, styczeń 0. Grafy i macierze Tomasz LENARCIK, Kraków Streszczenie Zdarza

Bardziej szczegółowo

5c. Sieci i przepływy

5c. Sieci i przepływy 5c. Sieci i przepływy Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5c. Sieci i przepływy zima 2016/2017 1 / 40 1 Definicje

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów

Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów Rozważmy rysunki 1. Schemat mostów na rzece Pregole w Królewcu 2. Drzewo prawdopodobieństwa przy rzucie moneta 3. Schemat

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów 17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Wykład 1. Wprowadzenie do teorii grafów Wykła 1. Wprowazenie o teorii grafów 1 / 111 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka la programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowazenie o algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright;

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

DWA ZDANIA O TEORII GRAFÓW. przepływ informacji tylko w kierunku

DWA ZDANIA O TEORII GRAFÓW. przepływ informacji tylko w kierunku DWA ZDANIA O TEORII GRAFÓW Krawędź skierowana Grafy a routing Każdą sieć przedstawić składającego przedstawiają E, inaczej węzłami). komunikacyjną można w postaci grafu G się z węzłów V (które węzły sieci)

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy

ALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy ALGORYTMY 1. Podstawowe definicje Algorytm (definicja nieformalna) to sposób postępowania (przepis) umożliwiający rozwiązanie określonego zadania (klasy zadań), podany w postaci skończonego zestawu czynności

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich. Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie metod opartych na teorii grafów do rozwiązywania wybranych problemów analizy sekwencji nukleotydowych i aminokwasowych

Zastosowanie metod opartych na teorii grafów do rozwiązywania wybranych problemów analizy sekwencji nukleotydowych i aminokwasowych POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Informatyki Instytut Informatyki Zastosowanie metod opartych na teorii grafów do rozwiązywania wybranych problemów analizy sekwencji nukleotydowych i aminokwasowych Tomasz

Bardziej szczegółowo