Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne"

Transkrypt

1 Spis treści 1 Podstawowe definicje Grafy Przykłady grafów Grafy puste i pełne Grafy dwudzielne Ścieżki i cykle Grafy krawędziowe Wielomian charakterystyczny grafu Podstawowe definicje Spektra wybranych grafów Wartości własne macierzy symetrycznych Interpretacja współczynników wielomianu charakterystycznego Wielomiany charakterystyczne drzew Promień spektralny grafu nieskierowanego Przeplatanie Ograniczenia Grafy o promieniu spektralnym nie większym niż Grafy silnie regularne Parametry Wartości własne Inne własności grafów silnie regularnych Grafy pochodzące od kwadratów łacińskich Małe grafy silnie regularne Lokalne wartości własne Jedyność małych grafów silnie regularnych Ograniczenia Kreina Czworokąty uogólnione

2 Oznaczenia Jeśli K jest niepustym zbiorem, to elementy przestrzeni C K traktujemy jako wektory kolumnowe, tzn. traktujemy je jako K { }-macierze, gdzie jest ustalonym obiektem (w szczególności, skalary utożsamiamy z { } { }- macierzami). Ponadto, jeśli K i L są niepustymi podzbiorami takimi, że K L, to przestrzeni C K utożsamiamy z podzbiorem przestrzeni C L, gdzie wektor v C K utożsamiamy z wektorem w C L danym wzorem { v(l) jeśli l K, w(l) := (l L). 0 jeśli l K, Z drugiej strony, jeśli v C L, to definiujemy wektor v K C K wzorem v K (k) := v(k) (k K) (innymi słowy, wektor v K jest ograniczeniem wektora v do zbioru K). Jeśli K jest niepustym zbiorem i v C K, to definiujemy wektor v C K wzorem v(k) := v(k) (k K). Jeśli K jest niepustym zbiorem skończonym, to: przez 0 K oznaczamy wektor w przestrzeni C K dany wzorem 0 K (k) := 0 (k K); przez 1 K oznaczamy wektor w przestrzeni C K dany wzorem 1 K (k) := 1 (k K); w szczególności, jeśli k K, to 1 k := 1 {k} oznacza k-ty wektor standardowej bazy przestrzeni C K ; przez I K oznaczamy K K-macierz daną wzorem { 1 jeśli k = l, I K (k, l) := (k, l K). 0 jeśli k l, 2

3 SPIS TREŚCI 3 Jeśli K i L są niepustymi zbiorami skończonymi, to przez 0 K L oznaczamy K L-macierz daną wzorem 0 K (k, l) := 0 (k K, l L); przez J K L oznaczamy K L-macierz daną wzorem J K (k, l) := 1 (k K, l L). Jeśli A jest K L-macierzą, K K i L L, to A K L jest K L - macierzą daną wzorem A K L (k, l) := A(k, l) (k K, l L ). Jeśli φ : K L jest funkcją, K K, L L i φ(k ) L, to definiujemy funkcję φ L K : K L wzorem (φ L K )(k) := φ(k) (k K ). Jeśli K jest zbiorem, to przez S K oznaczamy grupę permutacji zbioru K.

4 Rozdział 1 Podstawowe definicje 1.1 Grafy Rozpoczniemy od podstawowych definicji dla naszego wykładu. Grafem skierowanym D nazywamy każdą trójkę D = (V D, E D, p D ) taką, że: V D jest skończonym niepustym zbiorem, którego elementy nazywamy wierzchołkami grafu D, E D jest skończonym zbiorem, którego elementy nazywamy krawędziami grafu D, p D : E D V D V D jest funkcją, którą nazywamy odwzorowaniem incydencji. Jeśli π 1, π 2 : V D V D V D są naturalnymi rzutowaniami (tzn. π 1 (u, v) = u i π 2 (u, v) = v dla wszystkich wierzchołków u i v grafu D), to definiujemy funkcje s D, t D : E D V D wzorami s D := π 1 p D i t D := π 2 p D. Jeśli e jest krawędzią grafu D i p D (e) = (u, v), to mówimy, że wierzchołek u jest początkiem a wierzchołek v końcem krawędzi e. Jeśli u = v, to krawędź e nazywamy pętlą. Grafy skierowane przedstawiamy zwykle za pomocą rysunków, w których wierzchołki reprezentowane są przez punkty, zaś krawędzie przez strzałki, których początki i końce pokrywają się z początkami i końcami odpowiednich krawędzi. Na przykład, jeśli V D := {1, 2, 3, 4}, E D := {a, b, c, d, e, f} 4

5 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 5 oraz p D (a) := (1, 1), p D (b) := (1, 2), p D (c) := (2, 3), p D (d) := (3, 2), p D (e) := (2, 4), p D (f) := (2, 4), to odpowiedni rysunek ma postać d 3 (1.1) a 1 b 2 f c e 4. Oczywistym jest, że dany graf można narysować na wiele sposobów. Z drugiej strony, jeśli dla dwóch różnych grafów możemy wykonać identyczne rysunki, to grafy te powinniśmy też traktować jako identyczne. Ten efekt osiągamy poprzez wprowadzenie pojęcia izomorfizmu grafów. Izomorfizmem grafów skierowanych C i D nazywamy każdą bijekcję φ: V C V D taką, że #{e E C : p C (e) = (u, v)} = #{f E D : p D (f) = (φ(u), φ(v))} dla wszystkich wierzchołków u i v grafu C. Oczywiście, jeśli φ jest izomorfizmem grafów C i D, to φ 1 jest izomorfizmem grafów D i C. Jeśli istnieje izomorfizm grafów C i D, to grafy C i D nazywamy izomorficznymi i piszemy C D. Automorfizmem grafu skierowanego D nazywamy każdy izomorfizm grafu D ze sobą. Zbiór automorfizmów grafu D oznaczamy symbolem Aut(D). Zbiór automorfizmów grafu D tworzy grupę. Podgrafem grafu skierowanego D nazywamy każdy graf skierowany C taki, że V C V D, E C E D oraz p C = p X V C V C E D. Na przykład, następujący graf (1.2) a 1 b e. 2 4 jest podgrafem grafu z rysunku (1.1). Zauważmy, że aby zdefiniować podgraf C grafu D wystarczy zdefiniować zbiory V C i E C, które muszą spełniać warunek p D (E C ) V C V C.

6 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 6 Jeśli D jest grafem skierowanym i U V D, to przez U D oznaczamy podgraf indukowany przez zbiór U: jest to podgraf, którego zbiorem wierzchołków jest zbiór U oraz którego krawędziami są wszystkie krawędzie, których początek i koniec znajdują się w zbiorze U. Formalnie, V U D := U, E U D := p 1 D (U U) i p U D := p D U U E U D. Na przykład, podgraf grafu z rysunku (1.1) indukowany przez wierzchołki 1, 2 i 3 jest postaci (1.3) a 1 b 2 c d. 3 Podgraf, który jest indukowany przez pewny zbiór wierzchołków, nazywamy silnym podgrafem. Jeśli zbiór W jest właściwym podzbiorem zbioru wierzchołków grafu skierowanego D, to definiujemy graf D \W wzorem D \W := V D \W D. Innymi słowy, graf D \ W powstaje przez usunięcie z grafu D wierzchołków należących do zbioru W oraz wszystkich krawędzi, których końce lub początki należą do zbioru W. W szczególności, jeśli W = {v} dla pewnego wierzchołka v V G, to piszemy również D v zamiast D \ {v}. Podobnie, jeśli e E, to D e := (V D, E D \ {e}, p D ED \{e}), a więc graf D e powstaje z grafu D przez usunięcie krawędzi e. Aby zdefiniować grafy nieskierowane potrzebujemy dodatkowego oznaczenia. Jeśli X jest zbiorem oraz n jest liczbą naturalną, to przez P n (X) oznaczamy rodzinę wszystkich n-elementowych podzbiorów zbioru X. Grafem nieskierowanym G nazywamy każdą trójkę G = (V G, E G, p G ) taką, że: V G jest skończonym niepustym zbiorem, którego elementy nazywamy wierzchołkami grafu G, E G jest skończonym zbiorem, którego elementy nazywamy krawędziami grafu G, p G : E G P 1 (V G ) P 2 (V G ) jest funkcją, którą nazywamy odwzorowaniem incydencji. Jeśli e jest krawędzią grafu G i p G (e) = {u, v} (jeśli p G (e) P 1 (V G ), to u = v), to mówimy, że wierzchołki u i v są końcami krawędzi e. Jeśli u = v (tzn. p G (e) P 1 (V G )), to krawędź e nazywamy pętlą.

7 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 7 Jeśli będziemy używać słowa graf bez dodatkowego przymiotnika, będzie to oznaczało, że mamy do czynienia z grafem, który może być skierowany lub nieskierowany. Podobnie jak w przypadku grafów skierowanych, również grafy nieskierowane będziemy przedstawiać za pomocą rysunków. Ponownie wierzchołki reprezentowane są przez punkty, zaś krawędzie przez łuki łaczące końce odpowiednich krawędzi. Na przykład, jeśli oraz V G := {1, 2, 3, 4}, E G := {a, b, c, d, e, f} p G (a) := {1}, p G (b) := {1, 2}, p G (c) := {2, 3}, p G (d) := {3, 2}, p G (e) := {2, 4}, p G (f) := {2, 4}, to odpowiedni rysunek ma postać d 3 (1.4) a 1 b 2 f c e 4. Podobnie jak dla grafów skierowanych, także dla grafów nieskierowanych definiujemy pojęcia izomorfizmu i podgrafu (oraz pojęcia pochodne). Sformułowanie stosowanych definicji pozostawiamy Czytelnikowi. Niech G będzie grafem nieskierowanym. Wierzchołki u i w grafu G nazywamy sąsiednimi, jeśli u w oraz istnieje krawędź e grafu G taka, że p G (e) = {u, w}. W powyższej sytuacji mówimy również, że wierzchołek w jest sąsiadem wierzchołka u w grafie G (i na odwrót). Jeśli v jest wierzchołkiem grafu G, to przez N G (v) oznaczamy zbiór wierzchołków grafu G sąsiednich z wierzchołkiem v. Jeśli v jest wierzchołkiem grafu G, to krawędź e nazywamy incydentną z wierzchołkiem v, jeśli v p G (e). Podobnie, dwie krawędzie e i f nazywamy incydentnymi, jeśli p G (e) p G (f). Liczbę krawędzi incydentnych z wierzchołkiem v nazywamy stopniem wierzchołka v i oznaczamy deg G v. Jeśli deg G v = 0, to wierzchołek v nazywamy izolowanym. Graf G nazywamy regularnym stopnia k (w skrócie, k-regularnym), k N, jeśli deg G v = k dla każdego wierzchołka v V G. Mamy następującą prostą obserwację.

8 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 8 Stwierdzenie Jeśli G jest grafem nieskierowanym bez pętli, to v V G deg G (v) = 2 E G. Dowód. Policzymy na dwa sposoby liczbę par (e, v) takich, że e jest krawędzią grafu G i v p G (e). Ponieważ graf nie ma pętli, więc liczba takich par jest równa 2 E G. Z drugiej strony, dla każdego wierzchołka v V G mamy dokładnie deg G (v) krawędzi e E G takich, że v p G (e). Graf X nazywamy prostym, jeśli funkcja p X jest różnowartościowa. Innymi słowy, graf skierowany jest prosty jeśli nie istnieją dwie krawędzie o tym samym początku i tym samym końcu. Natomiast graf nieskierowany jest prosty, jeśli w każdym wierzchołku mamy co najwyżej jedną pętlę oraz dla dowolnych wierzchołków istnieje co najwyżej jedna krawędź łącząca te wierzchołki. Zauważmy, że grafy z rysunków (1.1) i (1.4) nie są proste. Przykładu skierowanych grafów prostych dostarczają nam rysunki (1.2) i (1.3). Jeśli graf X jest prosty, to będziemy zwykle utożsamiać zbiór E X ze zbiorem p X (E X ) oraz zakładać, że funkcja p X jest naturalnym włożeniem. Jeśli G jest prostym grafem nieskierowanym bez pętli, to definiujemy dopełnienie G grafu G usuwając istniejące krawędzie oraz łącząc krawędziami wierzchołki, które nie były sąsiednie w grafie G. Innymi słowy, V G := V G, E G := P 2 (V G ) \ E G i p G (e) := e (e E G ) (w powyższym wzorach zakładamy, że, zgodnie z wcześniejszą umową, funkcja p G jest naturalnym włożeniem). Zauważmy, że dopełnienie dopełnienia jest wyjściowym grafem, tzn. G = G. Ponadto, jeśli graf G jest k-regularny, to graf G jest (n k 1)-regularny, gdzie n := V G. Niech X będzie grafem. Mówimy, że graf X jest sumą grafów Y i Z (co zapisujemy, X = Y Z), jeśli istnieją podzbiory U i W zbioru V G takie, że Y = U X, Z = W X i E X = E Y E Z (tzn. każda strzałka łączy dwa wierzchołki należące do zbioru U lub dwa wierzchołki należące do zbioru W ). Jeśli dodatkowo U W = (a więc również E Y E Z = ), to mówimy, że X jest suma rozłączną grafów Y i Z oraz piszemy X = Y Z. Dla przykładu graf z rysunku 1.4 jest sumą (która nie jest rozłączna) podgrafów generowanych przez zbiory {1, 2} i {2, 3, 4}. Natomiast graf (1.5)

9 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 9 jest sumą rozłączną grafów i. Graf nazywamy spójnym, jeśli nie może być przedstawiony w postaci sumy rozłącznej dwóch grafów. Oczywiście graf z rysunku (1.5) nie jest spójny. Przykłady grafów spójnych przedstawiają rysunki (1.1) i (1.4). Dla każdego grafu X istnieją jednoznaczenie (z dokładnością do kolejności) wyznaczone grafy spójne Y 1,..., Y m takie, że X = Y 1... Y m. Grafy Y 1,..., Y m nazywamy składowymi grafu X. Liczbę składowych grafu X będziemy oznaczać przez κ(x). W przypadku grafów nieskierowanych spójność grafu można wyrazić również za pomocą istnienia dróg w grafie. Drogą z wierzchołka u do wierzchołka w (u-w-drogą) w grafie nieskierowanym G nazywamy ciąg σ = (e 1,..., e n ), n N +, krawędzi grafu G taki, że istnieją wierzchołki v 1,..., v n 1 takie, że p G (e i ) = {v i 1, v i } dla każdego i [1, n], gdzie v 0 := u i v n := w. Liczbę n nazywamy długością drogi σ (i oznaczamy symbolem l(σ)), zaś ciąg (v 0,..., v n ) śladem drogi σ. Dla każdego wierzchołka v definiujemy również drogę trywialną w wierzchołku v, którą oznaczamy symbolem 1 v. Długość l(1 v ) drogi 1 v wynosi 0, a jej ślad to ciąg (v). Drogę dodatniej długości nazywamy obiegiem, jeśli jej początek i koniec pokrywają się. Jeśli u i w są wierzchołkami grafu nieskierowanego G, to przez dist G (u, w) będziemy oznaczać długość najkrótszej drogi z u do w. Jeśli taka droga nie istnieje, to dist G (u, w) :=. Liczbę dist G (u, w) nazywamy odległością z u do w. Średnicą diam G grafu G nazywamy największą z liczb dist G (u, w), gdzie u i w przebiegają wierzchołki grafu G. Mamy następujący związek między średnicą a spójnością grafu G. Stwierdzenie Graf nieskierowany G jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy diam G <, tzn. dla dowolnych wierzchołków u i w grafu G istnieje droga z u do w. Dowód. Załóżmy najpierw, że graf G nie jest spójny. Wtedy istnieją niepuste podzbiory U i W zbioru wierzchołków takie, że G = U G W G. Wybierzmy wierzchołek u U. Przez indukcję na dist G (u, v) pokażemy, że jeśli v V G i dist G (u, v) <, to v U. W szczególności, jeśli wybierzemy wierzchołek w W, to otrzymamy dist G (u, w) =. Jeśli dist G (u, v) = 0, to v = u, więc teza jest oczywista. Jeśli dist G (u, v) > 0, to istnieje wierzchołek w V G taki, że dist G (u, w) = dist G (u, v) 1. W

10 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 10 szczególności, istnieje krawędź e E G taka, że p G (e) = {u, w}. Z założenia indukcyjnego, w U. Ponieważ p G (e) U lub p G (e) W, więc otrzymujemy stąd, że u U. Załóżmy teraz, że diam G =. Wybierzmy wierzchołek v V G. Niech i U := {u V G : dist G (v, u) < } W := {w V G : dist G (v, w) = }. Wtedy U (ponieważ u U), W (ponieważ diam G = ) oraz U W = i U W = V G (oczywiste). Aby pokazać, że G = U G W G (co zakończy dowód), wystarczy pokazać, że nie istnieje krawędź e E G taka, że p G (e) U i p G (e) W. Przypuśćmy, że jest przeciwnie, tzn. istnieje krawędź e E G taka, że p G (e) = {u, w}, gdzie u U i w W. Wtedy z nierówności trójkąta otrzymujemy, że sprzeczność. dist G (v, w) dist G (v, u) + 1 <, Spójność grafu narzuca ograniczenia na liczbę wierzchołków. Mamy następujący fakt. Stwierdzenie Jeśli G jest grafem spójnym, to istnieje podzbiór E E G taki, że E = V G 1 oraz graf (V G, E, p G E ) jest spójny. W szczególności, E G V G 1. Dowód. Tezę udowodnimy przez indukcję na V G + E G. Jeśli V G + E G = 1, to V G = 1 i E G = 0, więc teza jest oczywista. Załóżmy teraz, że V G + E G > 1. Ze spójności grafu G wynika, że E G. Wybierzmy krawędź e E G i niech G := G e. Jeśli graf G jest spójny, to tezę otrzymujemy przez indukcję. Załóżmy zatem, że graf G nie jest spójny. Wtedy p G (e) = {u, w} dla różnych wierzchołków u i w grafu G. Niech i U := {v V G : istnieje droga z u do v} W := {v V G : istnieje droga z w do v}.

11 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 11 Ze spójności grafu G wynika, że V G = U W. Ponadto grafy U G i W G są spójne. Z założenia indukcyjnego istnieją podzbiory E 1 E U G i E 2 E W G takie, że E 1 = U 1, E 2 = W 1 oraz grafy (U, E 1, p U G E1 ) i (W, E 2, p W G E2 ) są spójne. Wtedy teza zachodzi dla zbioru E := E 1 E 2 {e}. Minimalne grafy spójne nazywamy drzewami, tzn. graf nieskierowany G nazywamy drzewem, jeśli jest spójny i E G = V G 1. W Stwierdzeniu podamy inną charakteryzację drzew. Dla grafu skierowanego D stowarzyszony graf nieskierowany D otrzymywany jest przez zapomnienie orientacji strzałek. Formalnie D := (V D, E D, π p D ), gdzie π : V D V D P 1 (V D ) P 2 (V D ) jest funkcją zdefiniowaną wzorem π(u, v) := {u, v} (u, v V D ). Na przykład graf przedstawiony na rysunku (1.4) jest grafem nieskierowanym stowarzyszonym z grafem z rysunku (1.1). Jeśli graf nieskierowany G jest stowarzyszony z grafem skierowanym D, to mówimy również, że graf D jest ukierunkowaniem grafu G. Operacja sumy (rozłącznej) łączy grafy bez dodawania nowych krawędzi. Opiszemy operację, w którym łączymy sumowane grafy dodatkowymi krawędziami. Niech G i H będą dwoma grafami nieskierowanymi takimi, że V G V H = = E G E H. Złączeniem G + H grafów G i H nazywamy graf otrzymany z sumy rozłącznej G H grafów G i H przez dodanie krawędzi łączących każdy wierzchołek grafu G z każdym wierzchołkiem grafu H. Formalnie, i V G+H := V G V H, E G+H := E G E H {{u, w} : u V G i w V H } p G (e) jeśli e E G, p G+H (e) := p H (e) jeśli e E H, e w przeciwnym wypadku, Dla przykładu, graf 1 2 (e E G+H ). 3 4

12 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 12 jest złączeniem grafów 1 2 i 3. 4 Podzbiór U zbioru wierzchołków grafu nieskierowanego G nazywamy niezależnym, jeśli żadne dwa wierzchołki ze zbioru U nie są sąsiednie. Przez α(g) oznaczamy największą liczbę elementów niezależnego zbioru wierzchołków w grafie G. Z drugiej strony, przez χ(g) oznaczamy minimalną liczbę k N + taką, że istnieją zbiory niezależne U 1,..., U k takie, że V G = U 1 U k. Liczbę χ(g) nazywamy liczbą chromatyczną grafu G, gdyż jest to minimalna liczba kolorów, która jest potrzebna do pokolorowania wierzchołków grafu G w taki sposób, że żadne dwa wierzchołki pokolorowane tym samym kolorem nie są sąsiednie. 1.2 Przykłady grafów W tym podrozdziale przedstawimy kilka podstawowych klas grafów, które będą się pojawiać w naszej pracy Grafy puste i pełne Niech V będzie niepustym zbiorem skończonym. Przez N V będziemy oznaczać graf nieskierowany o zbiorze wierzchołków V i bez krawędzi, który będziemy nazywać grafem pustym. Innymi słowy, V NV := V oraz E NV :=. Z drugiej strony, przez K V będziemy oznaczać graf nieskierowany o zbiorze wierzchołków V, w którym każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią. Formalnie, i V KV := V, E KV := P 2 (V ) p KV (e) := e (e E KV ). Graf K V nazywamy grafem pełnym. Oczywiście, jeśli zbiory U i W są dwoma zbiorami skończonymi, to N U N W wtedy i tylko wtedy, gdy K U K W, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy U = W. Zauważmy, że K V = N V i, w konsekwencji, N V = K V. Ponadto, gdy zbiory U i W są rozłączne, to

13 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 13 K U W = K U + K W. Jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, to definiujemy N n := N [1,n] i K n := K [1,n]. Poniższy rysunek przedstawia graf pełny o 5 wierzchołkach.. Zauważmy, że jeśli U jest podzbiorem zbioru wierzchołków grafu nieskierowanego G, to zbiór U jest niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy U G = N U Grafy dwudzielne Ważną klasą grafów, które pojawiają się między innymi przy badaniu skojarzeń (np. w kontekście twierdzenia Halla o małżeństwach) są grafy dwudzielne. Graf nieskierowany G nazywamy dwudzielnym, jeśli istnieją podzbiory U i W zbioru wierzchołków takie, że V G = U W, U W = oraz każda krawędź łączy wierzchołek należący do zbioru U z wierzchołkiem należącym do zbioru W. Przykład grafu dwudzielnego przedstawia następujący rysunek: Będziemy potrzebować następującej charakteryzacji grafów dwudzielnych. Stwierdzenie Graf nieskierowany G jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera obiegów nieparzystej długości. Dowód. Załóżmy najpierw, że graf G jest dwudzielny. Wybierzmy podzbiory U i W zbioru V G takie, że V G = U W, U W = oraz każda krawędź łączy wierzchołek należący do zbioru U z wierzchołkiem należącym do zbioru W. Ustalmy również wierzchołek v grafu G oraz obieg σ w grafie G o początki i końcu w wierzchołku v. Bez straty ogólności możemy założyć, że v U. Jeśli (v 0, v 1,..., v m ) jest śladem drogi σ, to przez indukcję pokazujemy, że jeśli i [0, m], to v i U wtedy i tylko wtedy, gdy i jest liczbą parzystą. W szczególności, m jest liczbą parzystą, gdyż v m = v U. Załóżmy teraz, że graf G nie zawiera obiegów nieparzystej długości. Ponieważ wystarczy pokazać, że każda składowa grafu G jest grafem dwudzielnym,.

14 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 14 więc bez straty ogólności możemy założyć, że graf G jest spójny. Wybierzmy wierzchołek v grafu V i zdefiniujmy zbiory U i W wzorami: i U := {u V : dist G (v, u) jest liczbą parzystą}, W := {w V : dist G (v, w) jest liczbą nieparzystą}. Oczywiście U W =. Ponieważ graf G jest spójny, więc U W = V G (korzystamy tutaj ze Stwierdzenia 1.1.2). Dla zakończenia dowodu wystarczy zatem pokazać, że każda krawędź w grafie G łączy wierzchołek ze zbioru U z wierzchołkiem ze zbioru W. Przypuśćmy, że istnieje krawędź e w grafie G taka, że p G (e) U. Jeśli p G (e) = {u, u }, to istnieją drogi (e 1,..., e m) i (e 1,..., e n) o z v do u i u, odpowiednio, takie, że m i n są liczbami parzystymi. Wtedy droga (e 1,..., e m, e, e n,..., e 1) jest obiegiem nieparzystej długości w grafie G, co prowadzi do sprzeczności. Podobnie dochodzimy do sprzeczności, gdy istnieje krawędź e w grafie G łącząca dwa wierzchołki ze zbioru W, co kończy dowód. Niech U i W będą niepustymi rozłącznymi zbiorami skończonymi. Przez K U,W oznaczamy graf nieskierowany o zbiorze wierzchołków U W, w którym dla dowolnych wierzchołków u U i w W istnieje dokładnie jedna krawędź łącząca te wierzchołki oraz nie ma innych krawędzi. Formalnie, i V KU,W := U V, E KU,W := U W, p KV (u, w) := {u, w} (u U, w W ). Zauważmy, że K U,W = N U +N W. Graf K U,W jest grafem dwudzielnym, który nazywamy pełnym grafem dwudzielnym. Jeśli U, W, U i W są niepustymi zbiorami skończonymi, to K U,W K U,W wtedy i tylko wtedy, gdy { U, W } = { U, W } (tzn. U = U i W = W lub U = W i W = U ). Jeśli p i q są dodatnimi liczbami całkowitymi, to K p,q := K [1,p],[p+1,p+q]. Poniższy rysunek przedstawia graf K 2,3.

15 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE Ścieżki i cykle Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą. Przez P n 1 ścieżkę długości n 1, tzn. graf zdefiniowany wzorami oznaczać będziemy V Pn 1 := [1, n], E Pn 1 := {{p, p + 1} : p [1, n 1]}, i p Pn 1 (e) := e (e E Pn 1 ). Podobnie definiujemy cykl C n długości n wzorami V Cn := [1, n], E Cn := {{p, p + 1} : i [1, n 1]} {e 0 }, i p Cn (e) := { e jeśli e e 0, {n, 1} jeśli e = e 0, (e E Cn ). Oznaczenie ostatniej krawędzi przez e 0 zamiast {n, 1} jest konieczne, aby odróżnić krawędzie {1, 2} i {2, 1} w przypadku n = 2. Zauważmy, że P 0 = N 1, P 1 = K 2 i C 3 = K 3. Ścieżkę i cykl długości 5 przedstawiają następujące rysunki: i, odpowiednio. Ogólnie, graf nieskierowany G będziemy nazywać ścieżką (cyklem nieskierowanym), jeśli jest izomorficzny z grafem P n 1 (C n, odpowiednio), dla pewnej dodatniej liczby całkowitej n. Stwierdzenie Graf spójny G jest drzewem wtedy i tylko wtedy, gdy graf G nie zawiera podgrafu, który jest cyklem nieskierowanym. Dowód. Załóżmy najpierw, że graf G zawiera cykl nieskierowany H. Wybierzmy e V H. Korzystając ze Stwierdzenia 1.1.2, pokazujemy, że wtedy graf G e jest spójny. Stąd otrzymujemy, na mocy Stwierdzenia 1.1.3, że a więc graf G nie jest drzewem. E G > E G e V G 1,

16 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 16 Załóżmy teraz, że graf G nie jest drzewem, a więc E G > V G 1. Ze Stwierdzenia wynika, że istnieje krawędź e grafu G taka, że graf G e jest spójny. Niech p G (e) = {u, w} dla u, w V G. Niech σ = (e 1,..., e m ) będzie najkrótszą u-w-drogą w grafie G e oraz niech ciąg (u = v 0, v 1,..., v m = w) będzie śladem drogi σ. Wtedy v i v j jeśli i, j [0, m] i i j. Stąd wynika, ze podgraf H taki, że V H := {v 0,..., v m } i E H := {e, e 1..., e m } jest cyklem nieskierowanym. Wykorzystując Stwierdzenie 1.2.2, możemy udowodnić następująca prostą obserwację. Stwierdzenie Jeśli graf G jest drzewem takim, że V G > 1, to istnieje wierzchołek v V G taki, że deg G (v) = 1. Dowód. Stwierdzenie implikuje w szczególności, że w grafie G nie ma pętli. Ze Stwierdzenia wiemy wtedy, że v V G deg G (v) = 2 V G 2, zatem istnieje wierzchołek v V G taki, że deg G (v) < 2. Ponieważ graf G jest spójny i V G > 1, więc deg G (v) > 0, co kończy dowód. Omówimy teraz związek pomiędzy cyklami i obiegami, który wykorzystamy do zmodyfikowania charakteryzacji grafów dwudzielnych przedstawionej w Stwierdzeniu Stwierdzenie Graf nieskierowany G zawiera podgraf, który jest cyklem nieskierowanym nieparzystej długości, wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera obieg nieparzystej długości. Dowód. Załóżmy najpierw, że graf nieskierowany G zawiera podgraf H, który jest cyklem nieskierowanym. Z definicji cyklu nieskierowanego wynika, że istnieją parami różne wierzchołki v 1,..., v m oraz parami różne krawędzie e 1,..., e m grafu G takie, że V G = {v 1,..., v m }, E G = {e 1,..., e m } oraz p G (e i ) = {v i 1, v i } dla każdego i [1, m], gdzie v 0 := v m. Wtedy droga σ := (e 1,..., e m ) jest obiegiem w grafie H. Zauważmy również, że m jest wspólną długością cyklu H oraz obiegu σ. W szczególności, jeśli długość cyklu H jest nieparzysta, to długość obiegu σ też jest nieparzysta.

17 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 17 Załóżmy teraz, że w grafie G istnieje obieg σ = (e 1,..., e m ) nieparzystej długości. Przez indukcję ze względu na m pokażemy, że w grafie G istnieje podgraf H, który jest cyklem nieparzystej długości. Niech (v 0, v 1,..., v m ) będzie śladem drogi σ. Ponieważ σ jest obiegiem, więc v 0 = v m. Jeśli wierzchołki v 1,..., v m oraz krawędzie e 1,..., e m są parami różne, to definiujemy podgraf H wzorami V H := {v 1,..., v m } i E H := {e 1,..., e m }. Wtedy H jest cyklem długości m, co kończy dowód w tym przypadku. Załóżmy teraz, że istnieją indeksy i, j [1, m] takie, że i < j oraz v i = v j. Niech σ := (e 1,..., e i, e j+1,..., e m ) i σ := (e i+1,..., e j ). Wtedy σ i σ są obiegami w grafie G długości mniejszej niż m. Ponadto, długość jednego z obiegów σ i σ jest nieparzysta. Zatem tezę twierdzenia otrzymujemy przez indukcję. Załóżmy na zakończenie, że wierzchołki v 1,..., v m są parami różne, ale istnieją indeksy i, j [1, m] takie, że i < j oraz e i = e j. Wtedy {v i 1, v i } = {v j 1, v j }. Ponieważ wierzchołki v 1,..., v m są parami różne oraz v 0 = v m, oznacza to, że i = j 1, i 1 = 0 i j = m, skąd wynika, że m = 2, co jest niemożliwe, gdyż m jest liczbą nieparzystą. Wykorzystując Stwierdzenie 1.2.1, otrzymujemy natychmiast następujący wniosek. Wniosek Graf nieskierowany G jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu, który jest izomorficzny z cyklem nieparzystej długości. Graf N {0} + C n nazywamy kołem z n szprychami i oznaczamy W n. Poniższy rysunek przedstawia koło z 5 szprychami.. Ponownie, niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą. Przez Q n będziemy oznaczać n-wymiarowy sześcian, tzn. i V Qn := {0, 1} [1,n], E Qn := {{v, v + 1 i } : v V Qn, i [1, n], v(i) = 0}, p Qn (e) := e (e E Qn ).

18 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 18 W naszych rozważaniach będziemy również potrzebować cykli skierowanych. Permutację zbioru V nazywamy cykliczną, jeśli jej rząd (jako elementu grupy symetrycznej) jest równy V (dopuszczamy tutaj możliwość, że V = 1 i σ = Id V ).. Niech A będzie V V. Typowym przykładem permutacji cyklicznej jest permutacja (1, 2,..., n) zbioru [1, n]. Niech σ będzie permutacją cykliczną niepustego zbioru skończonego V Definiujemy graf C σ, który nazywamy cyklem skierowanym stowarzyszonym z permutacją σ, wzorami: i V Cσ := V, E Cσ := {(v, σ(v)) : v V } p Cσ (e) := e (e E Cn ). W szczególności, jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, to definiujemy C n := C (1,2,...,n), gdzie (1, 2,..., n) jest standardową permutacją cykliczną zbioru [1, n]. Graf C n nazywamy również skierowanym grafem cyklicznym długości n. Oczywiście cykl C n jest (izomorficzny z) grafem nieskierowanym stowarzyszonym z grafem C n. Poniższy rysunek przedstawia graf C n Grafy krawędziowe Ogólną metodę konstrukcji grafów z danego grafu dostarczają nam grafy krawędziowe. Niech G będzie prostym grafem nieskierowanym bez pętli. Przez L(G) oznaczamy prosty graf nieskierowany bez pętli, którego wierzchołkami są krawędzie grafu G oraz dwie krawędzie grafu G są sąsiednie w grafie L(G) wtedy i tylko wtedy, gdy są incydentne w grafie G. Innymi słowy, graf L(G) dany jest wzorami i V L(G) := E G, E L(G) := {(e, f) : e, f E G, e f i p G (e) p G (f) } p L(G) (α) := α (α E L(G) ).

19 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE 19 Graf L(G) nazywamy grafem krawędziowym grafu G. Dla przykładu, jeśli graf G jest postaci, to graf L(G) jest postaci. W przyszłości przydatna będzie następująca obserwacją. Stwierdzenie Jeśli G jest prostym grafem nieskierowanym bez pętli, który jest k-regularny, to graf L(G) jest (2 k 2)-regularny. Dowód. Ustalmy krawędź e grafu G. Wtedy p G (e) = {u, w} dla pewnych wierzchołków u i w grafu G takich, że u w (gdyż graf G nie ma pętli). Ponieważ graf G jest prosty i k-regularny, więc istnieje k 1 krawędzi f grafu G takich, że f e i p G (f) p G (e) = {u}. Podobnie, istnieje k 1 krawędzi f grafu G takich, że f e i p G (f) p G (e) = {w}. Oczywiście powyższe zbiory krawędzi są rozłączne oraz każdą krawędź incydentna z krawędzią e jest jednej z powyższych postaci.

20 Rozdział 2 Wielomian charakterystyczny grafu Celem tego rozdziału będzie przedstawienie podstawowych informacji na temat wielomianów charakterystycznych grafów. 2.1 Podstawowe definicje Następujące definicje będą odgrywały kluczową rolę w naszym wykładzie. Niech D będzie grafem skierowanym. Macierzą sąsiedztwa grafu D nazywamy V D V D -macierz A D zdefiniowaną wzorem: A D (u, v) := #{e E D : p D (e) = (u, v)} (u, v V D ). Wielomian charakterystyczny macierzy A D nazywamy wielomianem charakterystycznym grafu D i oznaczamy P D. Jeśli D jest grafem z rysunku (1.1), to A D = (oczywiście numeracja wierszy i kolumn jest identyczna z numeracją wierzchołków) i P D = t 4 t 3 t 2 + t. Mamy następujące oczywiste własności wielomianu charakterystycznego. Stwierdzenie Jeśli D jest grafem skierowanym, to P D jest wielomianem unormowanym stopnia V D. Jeśli λ jest pierwiastkiem wymiernym, to λ Z. 20

21 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 21 Dowód. Pierwsza część wynika natychmiast z własności wielomianów charakterystycznych macierzy. Druga cześć wynika z własności wielomianów o współczynnikach całkowitych (dowód zostawiamy jako proste ćwiczenie). Mamy analogiczne definicje dla grafów nieskierowanych. Niech G będzie grafem nieskierowanym. Macierzą sąsiedztwa grafu G nazywamy V G V G -macierz A G zdefiniowaną wzorem: A G (u, v) := #{e E D : p D (e) = {u, v}} (u, v V D ). Wielomian charakterystyczny macierzy A G nazywamy wielomianem charakterystycznym grafu G i oznaczamy P G. Zauważmy, że macierz sąsiedztwa grafu nieskierowanego jest symetryczna. Jeśli G jest grafem z rysunku (1.4), to A G = i P G = t 4 t 3 9t 2 + 8t. Ponadto, jeśli V jest niepustym zbiorem skończonym, to A NV = 0 V V oraz A KV = J V V I V. Wreszcie, jeśli U i W są niepustymi zbiorami skończonymi, to w postaci blokowej mamy [ ] 0U U J A KU,W = U W. J W U 0 W W Ogólniej, jeśli G i H są grafami nieskierowanymi takimi, że V G V H = = E G E H, to [ ] AG J A G+H = VG V H. Z drugiej strony, J VH V G A H [ ] AG 0 A G H = VG V H. 0 VH Y G A H Odpowiednik Stwierdzenia dla grafów nieskierowanych ma następującą postać.

22 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 22 Stwierdzenie Jeśli G jest grafem nieskierowanym, to P G jest wielomianem unormowanym stopnia V G. Jeśli λ jest pierwiastkiem wymiernym, to λ Z. Ponadto wszystkie pierwiastki wielomianu P G są rzeczywiste oraz istnieje baza ortonormalna przestrzeni R V G złożona z wektorów własnych macierzy A G. Dowód. Dowód pierwszej części jest identyczny jak dowód Stwierdzenia Druga część jest konsekwencją faktu, że macierz A G jest symetryczna. Podamy teraz interpretację współczynników potęg macierzy symetrycznych. Stwierdzenie Jeśli X jest grafem, u, w V X i k N, to A k X (u, w) jest liczbą u-w-dróg długości k w grafie X. Dowód. Jeśli k = 0 i k = 1, to teza jest oczywista. Gdy k > 1, to mamy następujący indukcyjny wzór a k (u, w) = v V G a k 1 (u, v) a 1 (v, w), gdzie dla l N i x, y V X a l (x, y) oznacza liczbę x-y-dróg długości l w grafie X. Z drugiej strony, A k X(u, w) = A k 1 X (u, v) A X(v, w), v V G więc teza wynika przez prostą indukcję. Macierz sąsiedztwa grafu możemy wykorzystać do badania, czy dwa grafy są izomorficzne. Mamy bowiem następującą obserwację (przypomnijmy, że macierzą permutacji nazywamy macierz, która ma w każdym wierszy i w każdej kolumnie dokładnie jedną jedynkę, a wszystkie pozostałe jej współczynniki są równe 0). Stwierdzenie Niech X i Y będą grafami (tego samego typu, tzn. oba grafy są skierowane lub oba grafy są nieskierowane). Wtedy grafy X i Y są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje V Y V X -macierz permutacji B taka, że A Y B = B A X. Dowód. Zauważmy, że V Y V X -macierze permutacji odpowiadają bijekcjom pomiędzy V X a V Y : istotnie, jeśli B jest V Y V X -macierzą permutacji, to

23 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 23 stosowna bijekcja φ : V X V Y y V Y, to dana jest poprzez warunek: jeśli x V X i φ(x) = y wtedy i tylko wtedy, gdy B(y, x) = 1. Funkcja odwrotną φ 1 do funkcji φ jest funkcja wyznaczona przez macierz B 1. Dla ustalenia uwagi załóżmy teraz, że grafy X i Y są skierowane. Niech B i φ będą odpowiadającymi sobie macierzą permutacji i bijekcją. Wtedy warunek A Y B = B A X jest równoważny warunkowi: dla dowolnych wierzchołków u i v grafu X #{e E G : p X (e) = (u, v)} = #{f E G : p Y (f) = (φ(u), φ(v))}. Istotnie, oraz #{e E G : p X (e) = (u, v)} = A X (u, v) #{f E G : p Y (f) = (φ(u), φ(v))} To kończy dowód. = A Y (φ(u), φ(v)) = (B 1 A Y B)(u, v). Zauważmy, że wielomian unormowany jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje pierwiastki i ich krotności. Powyższa obserwacja motywuje następujące definicje. Niech X będzie grafem (skierowanym lub nie). Wartości i wektory własne macierzy A X nazywamy wartościami i wektorami własnymi grafu X, odpowiednio. Przez spektrum Spec X grafu X rozumiemy zbiór jego wartości własnych wraz z informacją o ich krotności. Spektrum grafu X zapisujemy w postaci macierzy, której pierwszy wiersz zawiera pierwiastki wielomianu P X a drugi ich krotności, odpowiednio. Jeśli D jest grafem z rysunku (1.1), to ( ) Spec D = Zauważmy, że jeśli graf G jest nieskierowany, to ze Stwierdzenia wynika, że wszystkie wartości własne grafu G są rzeczywiste. Odnotujmy teraz kilka prostych własności spektrum grafów.

24 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 24 Stwierdzenie Jeśli graf X jest sumą rozłączną grafów Y i Z, to równoważnie P X = P Y P Z, Spec X = Spec Y Spec Z. Dowód. Teza wynika natychmiast z równości: [ ] AY 0 A X = VY V Z. 0 VZ Y Y A Z Stwierdzenie Niech λ 1,..., λ n będą wszystkimi wartościami własnymi grafu X (liczonymi wraz z krotnościami, a więc w szczególności n = V X ). Wtedy λ λ n = #{e E X : e jest pętlą}. Dowód. Mamy, że skąd natychmiast wynika teza. λ λ n = tr A X, Przy dodatkowych założeniach mamy podobny wynik dla sumy kwadratów wartości własnych. Stwierdzenie Niech G będzie prostym grafem nieskierowanym bez pętli. Jeśli λ 1,..., λ n są wszystkimi wartościami własnymi grafu G (liczonymi wraz z krotnościami, a więc w szczególności n = V G ), to Dowód. Wiadomo, że λ λ 2 n = 2 E G. λ λ 2 n = tr(a 2 G). Wykorzystując Stwierdzenia i nasze założenia, łatwo można zauważyć, że A 2 G (v, v) = deg G v dla każdego wierzchołka v V G, zatem teza wynika ze Stwierdzenia Na zakończenie tego podrozdziału przedstawimy związek między liczbą wartości własnych grafu G i jego średnicą. Stwierdzenie Jeśli G jest nieskierowanym grafem spójnym i d := diam G, to graf G ma co najmniej d + 1 różnych wartości własnych. Dowód. Niech V będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni V G V G -macierzy o współczynnikach rzeczywistych generowaną przez potęgi macierzy A G. Wtedy dim V = k, gdzie k jest liczbą wartości własnych. Z drugiej strony, macierze I VG, A G,..., A d G są liniowo niezależne. Istotnie, dla każdego p [0, d] istnieją wierzchołki u, v V G takie, że najkrótsza u-v-droga ma długość l. Stwierdzenia implikuje, że wtedy A p G (u, v) 0, ale Aq G (u, v) = 0 dla każdego q [0, p 1]. To kończy dowód.

25 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU Spektra wybranych grafów Opiszemy teraz spektrum dla niektórych klas grafów opisanych w podrozdziale 1.2. Rozpoczniemy od grafów pustych. Stwierdzenie (1) Jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, to ( ) 0 Spec N n =. n (2) Jeśli G jest grafem nieskierowanym takim, że ( ) 0 Spec G = n dla pewnej dodatniej liczby całkowitej n, to G N n. Dowód. (1) Teza wynika natychmiast z tego, że A Nn = 0 VNn,V Nn. (2) Załóżmy, że ( ) 0 Spec G = n dla pewnej dodatniej liczby całkowitej n. Oczywiście n = V G. Ponadto rk A G = 0, więc A G = 0 V V = A NVG. Stąd natychmiast wynika, że G N VG N n, gdzie dla dowodu pierwszego izomorfizmu można skorzystać ze Stwierdzenia Kolejnym naszym celem będzie opis spektrum grafu pełnego. Stwierdzenie (1) Jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, to ( ) 1 n 1 Spec K n =. n 1 1 (2) Jeśli G jest nieskierowanym grafem takim, że ( ) 1 n 1 Spec G = n 1 1 dla pewnej dodatniej liczby całkowitej n, to G K n.

26 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 26 Dowód. (1) Definiujemy macierz B wzorem Wtedy B = J VKn,V Kn, zatem B := A Kn + I VKn. Spec B = ( ) 0 n, n 1 1 gdyż rk B = 1 oraz B 1 VKn = n 1 VKn. Powyższy wzór natychmiast implikuje tezę. (2) Załóżmy, że ( ) 1 n 1 Spec G = n 1 1 dla pewnej dodatniej liczby całkowitej n. Oczywiście n = V G. Korzystając ze Stwierdzenia 2.1.6, wiemy, że w grafie G nie ma pętli. Zdefiniujmy macierz B wzorem B := A G + I VG. Wtedy B jest macierzą symetryczną rzędu 1 taką, że B(u, u) = 1 dla każdego wierzchołka u grafu G. W szczególności, jeśli u i v są dwoma różnymi wierzchołkami grafu G, to 0 = det B {u,v} {u,v} = B(u, u) B(v, v) B(u, v) B(v, u) = 1 (B(u, v)) 2. Ponieważ B(u, v) 0, więc B(u, v) = 1. Ostatecznie B = J VKG,V KG, więc A G = A KVG, skąd G K VG K n. Naszym kolejnym celem będzie opisanie spektrum pełnych grafów dwudzielnych. W tym celu sformułujemy ogólne własności, które będą przydatne także przy badaniu innych klas grafów. Twierdzenie Niech G będzie grafem k-regularnym, k N. (1) Wektor 1 VG jest wektorem własnym grafu G odpowiadającym wartości własnej k. (2) Krotność liczby k jako wartości własnej grafu G jest równa liczbie składowych grafu G. (3) Jeśli λ jest wartością własną grafu G, to λ k.

27 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 27 Dowód. (1) Łatwo sprawdzić, że A G 1 VG = k 1 VG. (2) Korzystając ze Stwierdzenia 2.1.5, wystarczy pokazać, że jeśli graf G jest spójny, to k jest jednokrotną wartością własną grafu G. Jeśli dodatkowo k = 0, to G jest grafem pustym i teza wynika ze Stwierdzenia Załóżmy zatem, że graf G jest spójny i k > 0. Ustalmy wektor własny v odpowiadający wartości własnej k i wybierzmy wierzchołek v taki, że v(v) = max{v(u) : u V G }. Przez indukcję ze względu dist G (v, u) pokażemy, że v(u) = v(v) dla każdego wierzchołka u grafu G. W konsekwencji, v = v(v) 1 VG, co zakończy dowód. Ustalmy zatem wierzchołek u grafu G. Jeśli dist G (v, u) = 0, to u = v, więc oczywiście v(u) = v(u). Załóżmy zatem, że dist G (v, u) > 0. Z założenia indukcyjnego istnieje wierzchołek w grafu G sąsiadujący z wierzchołkiem u taki, że v(w) = v(v). Wtedy k v(v) = k v(w) = (k v)(w) = (A G v)(w) = v(x) v(u) + (k 1)v(v), e E G p G (e)={x,w} co kończy dowód. (3) Wybierzmy wektor własny v grafu G odpowiadający wartości własnej λ oraz wierzchołek v grafu G taki, że Wtedy v(v) > 0. Ponadto, skąd wynika teza. v(v) = max{ v(u) : u V G }. λ v(v) = (λ v)(v) = (A G v)(v) = e E G p G (e)={v,u} v(u) k v(v), e E G p G (e)={v,u} v(u) Jako pierwszy wniosek opiszemy związek pomiędzy spektrum grafu regularnego i jego dopełnienia.

28 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 28 Wniosek Jeśli G jest grafem k-regularnym takim, że to n 1 P G = (t k) (t λ i ), i=1 n 1 P G = (t (n k 1)) (t ( λ i 1)). Dowód. Zauważmy, że n jest liczbą wierzchołków grafu G. Wiemy, że istnieją liniowo niezależne wektory v 1,..., v n 1 takie, że i=1 A G v i = λ i v i i v tr i 1 VG = 0 dla każdego i [1, n 1]. Wiemy też, że graf G jest (n k 1)-regularny, zatem na mocy Twierdzenia liczba n k 1 jest wartością własną grafu G, której odpowiada wektor 1 VG. Ponadto A G = J VG V G A G I VG V G, więc A G v i = ( λ i 1) v i dla każdego i [1, n 1], co kończy dowód. Wykorzystując Twierdzenie 2.2.3, możemy sformułować ogólną regułę, pozwalającą wyznaczyć spektrum złączenia dwóch grafów regularnych. Twierdzenie Jeśli G i H są grafami k- i l-regularnymi, odpowiednio, to P G P G+H = (t λ ) (t λ + ) t k P H t l, gdzie λ ± := (k + l) ± (k l) m n, 2 n := V G i m := V H. Dowód. Zauważmy, że A G+H = [ AG J VG V H J VH V G A H. ] Z Twierdzenia wiemy, że wektory 1 VG i 1 VH są wektorami własnymi grafów G i H, odpowiednio, których wartości własne są równe k i l, odpowiednio. Zatem istnieją wektory własne u 1,..., u n 1 oraz w 1,..., w m 1 grafów G i H, odpowiednio, takie, że wektory 1 VG, u 1,..., u n 1 oraz 1 VH, w 1,..., w m 1 tworzą bazy przestrzeni R V G i R V H, odpowiednio, oraz 1 T V G u p = 0 i

29 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 29 1 T V H w q = 0 dla wszystkich p [1, n 1] i q [1, m 1]. Wtedy wektory u 1,..., u n 1, w 1,..., w m 1 (traktowane jako elementy przestrzeni R V G V H ) są wektorami własnymi grafu G + H (z tymi samymi wartościami własnymi). Pozostałych dwóch wartości własnych grafu G + H możemy szukać wśród wektorów postaci v λ,µ := λ 1 VG + µ 1 VH, gdzie λ, µ R. Zauważmy, że A G+H v λ,µ = (k λ + m µ) 1 VG + (n λ + l µ) 1 VH, zatem wektor v λ,µ jest wektorem własnym grafu G wtedy i tylko wtedy, gdy wektor [λ, µ] T jest wektorem własnym macierzy [ ] k m B := n l (o tej samej wartości własnej). Wyliczając wartości własne macierzy B, dostajemy tezę. Stwierdzenie (1) Jeśli p i q są dodatnimi liczbami całkowitymi, to ( ) p q 0 p q Spec K p,q =. 1 p + q 2 1 (2) Jeśli G nieskierowanym spójnym grafem prostym takim, że ( ) p q 0 p q Spec G = 1 p + q 2 1 dla pewnych dodatnich liczb całkowitych p i q, to G K p,q. Dowód. (1) Zauważmy, że K p,q = N [1,p] +N [p+1,p+q], więc teza wynika natychmiast z Twierdzenia i Swierdzenia (zauważmy, że graf pusty jest 0-regularny). (2) Załóżmy, że G jest nieskierowanym spójnym grafem prostym takim, że ( ) p q 0 p q Spec G = 1 p + q 2 1 dla pewnych dodatnich liczb całkowitych p i q. Korzystając ze Stwierdzenia 2.1.6, wiemy, że w grafie G nie ma pętli, a więc A G (v, v) = 0 dla każdego wierzchołka v grafu G. Ponadto, rk A G = 2, więc istnieją wierzchołki u i w takie, że wiersze u-ty i w-ty stanowią bazę przestrzeni generowanej przez wiersze macierzy A G. Innymi słowy, dla każdego wierzchołka v istnieją (jednoznacznie wyznaczone) skalary λ v i µ v takie, że A G (v, x) = λ v A G (u, x) + µ v A G (w, x)

30 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 30 dla każdego wierzchołka x grafu G. Z symetryczności macierzy A G wynika, że wtedy również A G (x, v) = λ v A G (x, u) + µ v A G (x, w) dla dowolnych wierzchołków v i x grafu G. Zauważmy najpierw, że A G (u, w) 0. Istotnie, w przeciwnym przypadku A G (v, w) = λ v A G (u, w) + µ v A G (w, w) = 0 dla każdego wierzchołka v grafu G, więc G = {w} G (G w), co przeczy spójności grafu G. Ustalmy teraz wierzchołek v grafu G. Wtedy 0 = A G (v, v) = λ v A G (u, v) + µ v A G (w, v) = = λ v (λ v A G (u, u) + µ v A(u, w)) + µ v (λ v A G (w, u) + µ v A G (w, w)) = 2 λ v µ v A G (u, w), zatem λ v = 0 lub µ v = 0. Niech U := {v V G : λ v = 0} i W := {v V G : µ v = 0}. Z powyższej obserwacji wiemy, że V G = U W. Z drugiej strony, U W =. Istotnie, jeśli v U W, to A G (v, x) = 0 dla każdego wierzchołka x, więc G = {v} G (G v), co przeczy spójności grafu G. Pokażemy teraz, że A G (x, y) = 0, jeśli x, y U lub x, y W, oraz A G (x, y) 0, jeśli x U i y W (lub x W i y U). Dla dowodu pierwszej równości załóżmy, że x, y U. Wtedy A(x, y) = µ x A(w, y) = µ x µ y A(w, w) = 0. Podobnie, gdy x U i y W, to A(x, y) = µ x A(w, y) = µ x λ y A(w, u) 0. Korzystając z tego, że graf G jest prosty, otrzymujemy ostatecznie, że G K m,n, gdzie m := U i n := W. Zatem z części pierwszej mamy, że ( ) m n 0 m n Spec G =. 1 m + n 2 1

31 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 31 Korzystając dodatkowo z założenia na temat Spec G, mamy p q = m n i p + q = m + n, a więc {m, n} = {p, q}, co kończy dowód. Przedstawimy teraz przykłady wskazujące, że teza punktu (2) powyższego twierdzenia nie zachodzi, jeśli nie założymy, że graf jest spójny i prosty. Niech G będzie następującym grafem: (tzn. G = K 2,2 N 1 ). Wtedy Spec G = Spec K 2,2 Spec N 1 = ( ) = Spec K ,4, ale G K 1,4. Zauważmy, że graf G jest prosty, ale nie jest spójny. Niech G będzie następującym grafem: (każdy dolny wierzchołek, z wyjątkiem centralnego, jest połączony dokładnie jedną krawędzią z każdym wierzchołkiem górnym; wierzchołek centralny jest połączony z każdym wierzchołkiem górnym dokładnie dwiema krawędziami). Wtedy graf G jest spójny, ale nie jest prosty. Ponadto [ ] Spec G = = Spec K ,6, ale G K 6,6. Stwierdzenia i mogłyby sugerować, że jeśli Spec G = Spec H dla grafów nieskierowanych G i H, to G H. Powyższe przykłady pokazują, że ta implikacji nie jest w ogólności prawdziwa, jeśli nie założymy, że grafy G i H są proste i spójne. Poniższy przykład pokazuje, że nawet jeśli grafy G są spójne i proste, to z równości Spec G = Spec H nie musi wynikać, że G H.

32 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 32 Niech G i H będą grafami i, odpowiednio. Wtedy P G = t 6 7 t 4 4 t t t 1 = P H, ale grafy G i H nie są izomorficzne. Kolejnymi grafami, dla których opiszemy spektrum, są cykle i ścieżki. Aby opisać spektrum cyklu, opiszemy teraz ogólną metodę opisu spektrum specjalnej klasy macierzy. Niech V będzie niepustym zbiorem skończonym. Macierz A nazywamy cykliczną, jeśli istnieje permutacja cykliczna σ zbioru V taka, że A(σ(u), σ(w)) = A(u, w) dla dowolnych elementów u i w zbioru V. Bardziej obrazowo, macierz A jest cykliczna, jeśli elementy zbioru V można uporządkować w taki sposób, że kolejne wiersze macierze A są kolejnymi cyklicznymi przesunięciami pierwszego wiersza. Przykładami macierzy cyklicznych są macierze sąsiedztwa grafów K n i C n, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą. Opiszemy teraz metodę znajdowania spektrum macierzy cyklicznej. Stwierdzenie Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, V zbiorem n elementowym, A V V -macierzą taką, że istnieje σ permutacja cykliczna zbioru V taka, że A(σ(u), σ(w)) = A(u, w) dla dowolnych elementów u i w zbioru V. Wybierzmy element v zbioru V i zdefiniujemy wektory v 0,..., v n 1 C V oraz liczby λ 0,..., λ n 1 wzorami: oraz v m (σ p (v)) := ω m p (m, p [0, n 1]), n 1 λ m : = A(v, σ p (v)) ω p m, m [0, n 1], p=0

33 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 33 gdzie ω := cos( 2 π 2 π ) + ı sin( ) jest pierwotnym pierwiastkiem n-tego stopnia n n z jedynki. Wtedy wektory v 0,..., v n 1 są wektorami własnymi macierzy A tworzącymi bazę przestrzeni C V, przy czym dla każdego m [0, n 1]. A v m = λ m v m Dowód. Niech B będzie macierzą permutacji σ 1, tzn. { 1 jeśli w = σ(u), B(u, w) := 0 w przeciwnym wypadku, (u, w V ). Zauważmy, że B p v m = ω p m v m dla wszystkich m, p [0, n 1]. Ponadto W konsekwencji n 1 A = A(v, σ p (v)) B p. p=0 A v m = λ m v m dla każdego m [0, n 1]. Ponieważ v T p v q = 0 dla wszystkich p, q [0, n 1] takich, że p q, to kończy dowód. Zgodnie z zapowiedzią zastosujemy teraz powyższą metodę, aby wyznaczyć spektrum cyklu. Stwierdzenie Niech n 2 będzie liczbą całkowitą. Zdefiniujmy wektory wektory v 0,..., v n 1 C n wzorem: v m (p) := ω m (p 1) (m [0, n 1], p [1, n]). Wtedy wektory v 0,..., v n 1 są wektorami własnymi grafu C n tworzącymi bazę przestrzeni C n, przy czym ( 2 m ) (2.1) A Cn v m = 2 cos n π v m dla każdego m [0, n 1]. W szczególności, n 1 ( ( 2 m )) P Cn = t 2 cos n π, m=0

34 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 34 a więc ( 2 2 cos ( n 2 π) 2 cos ( ) 2 π) 2 n n Spec C n = ( jeśli n jest liczbą parzystą, 2 cos ( n 1 π) 2 cos ( ) 2 π) 2 n n jeśli n jest liczbą nieparzystą. Dowód. Zauważmy, że A G jest macierzą cykliczną stosowana permutacja σ jest równa (1, 2,..., n). Mamy { 1 jeśli p = 2, n, A(1, p) = 0 w przeciwnym wypadku. Zauważmy, że 2 = σ(1) i n = σ 1 (1). Zatem, korzystając ze Stwierdzenia 2.2.7, wiemy, że wektory v 0,..., v n 1 są wektorami własnymi macierzy A Cn tworzącymi bazę przestrzeni C n. Ponadto, jeśli m [0, n 1] i A v m = λ v m, to ( ( 2 π ) ( 2 π )) m ( ( 2 π ) ( 2 π λ = cos + ı sin + cos + ı sin n n n n ( 2 m π ) = 2 cos, n co kończy dowód. )) m Stwierdzenie można by udowodnić, sprawdzając bezpośrednim rachunkiem równość (2.1). Zaprezentowany powyżej dowód pokazuje, jako można znaleźć wartości i wektory własne cyklu nie znając wcześniej odpowiedzi. Stwierdzenie możemy wykorzystać, aby policzyć spektrum koła. Stwierdzenie Jeśli n 2 jest liczbą całkowitą, to P Wn = (t 1 n + 1) (t 1 + n 1 ( ( 2 p )) n + 1) t 2 cos n π. Dowód. Przypomnijmy, że V Wn = N {0} + V Cn. Graf N {0} jest 0-regularny, podczas gdy graf V Cn jest 2-regularny, zatem teza wynika z Twierdzenia oraz Stwierdzeń i Wykorzystamy teraz Stwierdzenie 2.2.8, aby opisać spektrum ścieżki. p=1

35 ROZDZIAŁ 2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY GRAFU 35 Stwierdzenie Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą. Zdefiniujmy wektory wektory v 1,..., v n C n wzorem: ( m p ) v m (p) := sin n + 1 π (m, p [1, n]). Wtedy wektory v 1,..., v n są wektorami własnymi grafu P n 1 tworzącymi bazę przestrzeni C n, przy czym ( m ) A Pn v m = 2 cos n + 1 π v m dla każdego m [1, n]. W szczególności, (2.2) Spec P n 1 = (2 ( cos n π) 2 cos ( n 1 π) 2 cos ( 1 π) ) n+1 n+1 n Dowód. Dla każdego wektora v C n definiujemy wektor ˆv C 2 n+2 wzorem: v(p) jeśli p [1, n], ˆv(p) := v(2 n + 2 p) jeśli p [n + 2, 2 n + 1], 0 jeśli p = n + 1, 2 n + 2, (tzn. ˆv = [ v(1)... v(n) 0 v(n)... v(1) 0 ].) Bezpośrednim rachunkiem można sprawdzić, że jeśli A Pn 1 v = λ v dla pewnych λ C i v C n, to A C2 n+2 ˆv = λ ˆv. Ze Stwierdzenia wynika zatem, że jeśli λ jest wartością własną grafu P n 1, to λ = 2 cos( m π) dla n+1 pewnego m [0, n+1]. Wiemy jednak również, że w(2 n+2) 0 dla każdego wektora własnego w grafu C 2 n+2 odpowiadającego wartościom własnym 2 i 2, zatem liczby 2 i 2 nie mogą wartościami własnymi grafu P n 1. Z drugiej strony, jeśli m [1, n], to liczba 2 cos( m π) jest dwukrotną wartością własną C 2 n+2 oraz istnieje wektor własny grafu C 2 n+2 odpowiadający n+1 wartości własnej 2 cos( m π) taki, że w(2 n + 2) 0. W szczególności, n+1 liczba 2 cos( m π) jest co najwyżej jednokrotną wartością własną grafu n+1 P n 1. Z drugiej jednak strony, graf P n 1 musi mieć n wartości własnych, skąd wynika opis spektrum grafu P n. Ustalmy teraz m [1, n]. Ze Stwierdzenia wiemy, że przestrzeń wektorów własnych grafu C 2 n+2 odpowiadających wartości własnej 2 cos( m π) n+1 jest generowana przez wektory u 1 i u 2, gdzie u 1 (p) := ω m (p 1) (p [1, 2 n + 2])

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Liga zadaniowa Seria I, 2014/2015, Piotr Nayar, Marta Strzelecka

Liga zadaniowa Seria I, 2014/2015, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Seria I, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: nayar@mimuw.edu.pl. Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres martast@mimuw.edu.pl,

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ. Gramatyki grafowe Def. Nieskierowany NL-graf (etykietowane wierzchołki) jest czwórką g = (V, E, Σ, ϕ), gdzie: V niepusty zbiór wierzchołków, E V V zbiór krawędzi, Σ - skończony, niepusty alfabet etykiet

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r.

Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r. 1 O KRÓTKICH CYKLACH W GRAFACH Wojciech Guzicki W. Guzicki: O krótkich cyklach w grafach 2 5zadań Zadanie 1.(XXXVII OM, zawody III stopnia, zadanie 5) W turnieju szachowym uczestniczy 2n zawodników(zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków grafu

Kolorowanie wierzchołków grafu Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo