0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

Transkrypt

1 WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy je aksjomatami), definicji i twierdzeń, które wynikają z innych, już otrzymywanych przy użyciu wnioskowania logicznego Logika leży zatem u podstaw matematyki A (Definicja: zdania) Przez zdanie (w sensie logicznym) rozumiemy wyłącznie zdanie orzekające, które jest prawdziwe albo fałszywe O zdaniu prawdziwym mówimy, że ma ono wartość logiczną, natomiast o zdaniu fałszywym mówimy, że ma ono wartość logiczną A2 (Przykłady) Zdanie jest liczbą niewymierną jest prawdziwe to jest ma wartość logiczną ; natomiast zdanie jest liczbą naturalną jest fałszywe, czyli ma wartość logiczną Zdanie gramatyczne (pytania): Jaka jest liczba? nie będziemy uważali za zdanie w sensie logicznym Ono nie jest prawdziwe ani fałszywe A+B3 (Ćwiczenie) Zbadać, czy następujące wypowiedzi są zdaniami: ) jest dużą liczbą, 2) ile pierwiastków stopnia n ma liczba zespolona?, 3) 2, 4) 5 2, 5) nieprawda, że jest liczbą naturalną Zdania będziemy oznaczali małymi literami alfabetu Jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to piszemy p ; jeżeli zdanie q jest fałszywe, to piszemy q A+B4 (Funktory) Niech p i q będą dwoma zdaniami Z tych zdań można utworzyć zdanie złożone, korzystając ze spójników, zwanych w logice funktorami Funktory te przedstawiamy w tabeli:

2 Wartość Funktor Zdania złożone logiczna zdanie Symbol Nazwa Czytamy Symbol Nazwa Czytamy p q złożone nie p ~ czyli Negacja negacja -, - nie ~ p (nieprawda, (zaprzeczenie) zdania p - że p) Koniunkcja (iloczyn logiczny) Alternatywa (suma logiczna) Implikacja (wynikanie) Równoważność Nierównoważność (alternatywa wykluczająca) i p q lub p q jeżeli, to wtedy i tylko wtedy, gdy p q p q albo p q Koniunkcja zdań p i q alternatywa zdań p i q implikacja o poprzedniku p i następniku q równoważność zdań p i q Nierównoważność zdań p i q p i q p lub q jeżeli p, to q p wtedy i tylko wtedy, gdy q p albo q A+B5 (Uwaga: przykłady do hamowania ) 5 Jeśli p jest zdaniem prawdziwym, to ~p jest zdaniem fałszywym i na odwrót Na przykład zaprzeczeniem zdania każda liczba naturalna jest liczbą parzystą nie jest zdanie każda liczba naturalna jest liczbą nieparzystą dlatego, że oba zdania są fałszywe Zaprzeczeniem będzie zdanie nieprawda, że każda liczba naturalna jest liczbą parzystą lub istnieje liczba naturalna, która jest liczbą nieparzystą 52 Implikacja jest prawie zawsze prawdziwa, w szczególności jest prawdziwa, jeśli następnik implikacji jest prawdziwy Zdanie Jeżeli 2 jest liczbą nieparzystą, to 2 jest liczbą parzystą jest prawdziwe z definicji ( w sensie logicznym) 53 Jeżeli p q jest zdaniem prawdziwym, to zdanie p q jest także

3 prawdziwe, ale nie na odwrót Na przykład zdanie sin lub cos jest 2 prawdziwe, ale zdanie sin albo cos jest fałszywe 2 B+C6 (Ćwiczenie) Podać interpretację geometryczną i fizyczną funktorów Wskazówka: zdania p i q będziemy interpretowali jako przekaźniki w układzie elektrycznym: zamknięty odpowiada zdaniu prawdziwemu, natomiast otwarty odpowiada zdaniu fałszywemu B7 (Reguły wnioskowania) Każda reguła wnioskowania, czyli reguła otrzymania wniosków z przesłanek musi być taka, żeby od zdania prawdziwego prowadziła zawsze do zdania prawdziwego, np: 7 Reguła dołączania koniunkcji Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p i uznajemy za prawdziwe zdanie q, to należy uznać za prawdziwe zdanie pq 72 Reguła opuszczania koniunkcji Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie pq, to należy uznać za prawdziwe zdanie p i należy uznać za prawdziwe zdanie q 73 Reguła dołączania alternatywy Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p, to należy uznać za prawdziwe zdanie p q, gdzie q jest dowolnym zdaniem 74 Reguła opuszczania alternatywy Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie ~p i uznajemy za prawdziwe zdanie p q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q 75 Reguła odrywania Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p i uznajemy za prawdziwe zdanie p q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q 76 Reguła przechodniości implikacji Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p q i zdanie q r, to należy uznać za prawdziwe zdanie p r A+B8 (Schematy zdań) Mając do dyspozycji funktory logiczne możemy tworzyć zdania składające się z wielu zdań podrzędnych Abstrakcyjne wersje takich zdań złożonych, zbudowane z funktorów logicznych i zmiennych zdaniowych nazywamy schematami zdaniowymi lub wyrażeniami (formułami) rachunku zdań Zwracamy uwagę, że zmienne zdaniowe nie mają jednak ustalonej wartości logicznej Oznaczamy je podobnie jak zdania, na przykład p, q, r itd Zdania i funktory są elementami rachunku zdań Funktory odgrywają w tym rachunku rolę działań, zdania są obiektami, do których się te działania odnoszą A9 (Przykłady) Schematy ~p, p q, p q p q są to wszystkie wyrażenia rachunku zdań, natomiast p~q nie jest wyrażeniem rachunku zdań, ponieważ negacja jest funktorem jednoargumentowym (odnoszącym się do jednego tylko zdania) Każde wyrażenie rachunku zdań jest funkcją zdaniową zmiennych zdaniowych, która każdemu układowi wartości logicznych tych zmiennych przyporządkowuje wartość logiczną całego zdania

4 A (Definicja: tautologia) Prawo rachunku zdań lub tautologia jest to takie wyrażenie tego rachunku, które niezależnie od wartości logicznych podstawianych zdań zawsze dają zdanie złożone prawdziwe A+B (Przykłady: niektóre tautologii) Nazwa tautologii Zapis Prawo wyłączonego środka (~p) p Prawo podwójnego zaprzeczenia ~(~p) p Prawo rozdzielności (pq) (p r) (q r) zaprze- alternatywy [(~p) (~q)] czenie koniunkcji [~(pq)] [(~p) (~q)] Prawo zaprzeczania implikacji ~(pq) [p(~q)] ~(~p q) ~(~p)(~q) Prawo sprzeczności ~[p(~p)] Prawa de Morgana p (q r) p (p q) (p r) [~(p q)] Uwaga Gdy brak jest nawiasów, operacje wykonujemy w następującej kolejności: ~,,,, (prz: pq ~p q) A+C2 (Uwaga-ćwiczenie) Do sprawdzania tautologii może służyć metoda zero-jedynkowa, która polega na rozważeniu wszystkich układów wartości logicznych zmiennych zdaniowych, które występują w badanym wyrażeniu Zrobić to dla 4A+B A3 (Definicja) Funkcja (forma) zdaniowa (jednej lub większej liczby zmiennych) jest to wyrażenie zawierające zmienną, które staje się zdaniem, gdy za zmienną podstawiamy element, należący do dziedziny (zakresu) funkcji zdaniowej A4 (Przykład) Wyrażenie jest większy od 2 (4A+B3) jest funkcją zdaniowa; jej dziedzina jest zbiorem liczb rzeczywistych Dla pewnych liczb otrzymane zdanie będzie prawdziwe, dla innych fałszywe, ale zawsze będzie miało wartość logiczną A5 (Kwantyfikatory) Kwantyfikator ogólny, oznaczamy przez i czytamy dla każdego, oznacza, że w funkcji zdaniowej podstawiamy wszystkie dopuszczalne wartości zmiennej Kwantyfikator szczegółowy, oznaczamy przez i czytamy istnieje, oznacza, że wybieramy z zakresu zmiennej tylko jeden element

5 Niech będzie formą zdaniową z dziedziną Wtedy zdanie X : A( ) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ustalonego zdanie jest prawdziwe Zdanie X : A( ) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element, dla którego utworzone zdanie jest prawdziwe X A ( ) A ( ) X X A ( ) A6 (Przykłady) Zdanie : A( ), gdzie oznacza 5 2, jest fałszywe, ale zdanie : A( ) jest prawdziwe (mamy: : A( ) " 7" ) A ( ) A7 (Prawo de Morgana dla kwantyfikatorów) Mamy: 7) ( : A( )) ( :(~ A( ))) ; 72) ( : A( )) ( :(~ A( ))) A8 (Reguły rozdzielania dla zdań z kwantyfikatorami) 8) : P( ) Q( ) ( : P( )) ( : Q( )) ; 82) : P( ) Q( ) ( : P( )) ( : Q( )) B9 (Ćwiczenie) Sprawdzić, że zdanie : P( ) Q( ) może nie być równoważne zdaniu ( : P( )) ( : Q( )) A2 (Uwaga) Zamiast czasami pisze się, natomiast zamiast pisze się A+B2 (Definicja: algebra Boole a) Struktura algebraiczna ( B,,,';,) o dwóch działaniach dwuargumentowych, nazywanych odpowiednio dodawaniem i mnożeniem oraz jednym działaniu jednoargumentowym (uzupełnianie) i o wyróżnionych elementach i nazywamy algebrą Boole a jeśli spełnione są następujące warunki: ) oba działania i są przemienne i łączne: a, b, cb, a b b a, a b b a; def ( a b) c a ( b c) a b c, ( a b) c a ( b c) a b c; 2) mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odwrotnie: a ( b c) ( a b) ( a c), a ( b c) ( a b) ( a c) ; 3) wyróżnione elementy (zero) i (jedynka) spełniają warunki: a B, a a, a a; 4) uzupełnianie ' spełnia warunki: a a', a a' def '

6 A22 (Przykład: dwuelementowa algebra Boole a) Algebra ta jest złożona z zera i jedynki (to jest B={,}) i ma następujące tabelki działań: Ponad to: ' =, ' = A23 (Przykład) Rachunek zdań, zwany tez algebrą zdań, jest klasycznym przykładem dwuelementowej algebry Boole a Tutaj jest modułem (elementem neutralnym) dodawania, jest modułem (elementem neutralnym) mnożenia, suma każdego elementu i jego negacji jest modułem mnożenia, iloczyn każdego elementu i jego negacji jest modułem dodawania A+B24 (Optymalizacja (minimalizacja) form rachunku zdań) Forma rachunku zdań jest minimalna, jeżeli jest ona złożona z najmniejszego zbioru działań Przykład: [(p ~q) (q~p)] p q A+B25 (Interpretacja fizyczna działań dwuelementowej algebry Boole a) Ciekawym przykładem algebry Boole a jest algebra sieci elektrycznych (algebra rachunku zdań), budowanych z dwubiegunowych elementów (dwójników) poprzez szeregowe i równolegle ich łączenie Przypuśćmy, ze każdy z elementów sieci znajduje się w jednym z dwóch wykluczających sie stanów: przewodzi prąd () albo nie przewodzi () prądu Ćwiczenie (B) Zrobić interpretację fizyczną działań )-4) w 4A+B2 y = = = y z y z

7 B26 (Przykład algebry Boole a) Niech X będzie dowolnym zbiorem Zbiór wszystkich podzbiorów tego zbioru oznaczamy przez Wtedy zespół X ( 2,,, C;, X ) jest algebrą Boole a Dodawaniem tutaj jest wzięcie sumy zbiorów, mnożeniem wzięcie części wspólnej, rolę zera pełni zbiór pusty, a jedynki cały zbiór X, uzupełnianiem jest wzięcie dopełniania do pełnego zbioru X 2 X 5 GRAFY 5 Grafy podstawowe pojęcia: macierz incydencji, drogi i ich długości, cykle Eulera Grafy (wykresy), którymi się zajmujemy, są jak mapy drogowe, rysunki obwodów, schematy blokowe itd W tym sensie, że przedstawiają one połączenia lub relacje zachodzące między rożnymi fragmentami wykresu 5A (Definicja) Graf skierowany (digraf) G składa się z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V(G) wierzchołków grafu G i zbioru E(G) krawędzi grafu G oraz z funkcji ze zbioru E(G) w zbiór def V ( G) V ( G) {( p, q): pv ( G), q V ( G)} uporządkowanych par wierzchołków Jeśli e jest krawędzią grafu G i ( e) ( p, q), to p nazywamy początkiem krawędzi e, a q końcem krawędzi e i mówimy, że e biegnie od p do q Rysunkiem grafu skierowanego G jest wykres składający się z punktów, odpowiadających elementom zbioru V(G) oraz strzałek, odpowiadających elementom zbioru E(G) Różne krawędzie o danym początku i końcu nazywamy krawędziami wielokrotnymi Drogą w grafie skierowanym G nazywamy ciąg krawędzi taki, że koniec jednej krawędzi jest początkiem następnej Jeśli e,, e n należą do zbioru E(G), to e,, e n jest drogą, o ile istnieją wierzchołki, 2,, n, n takie, że ( ei ) ( i, i ) dla i,, n Mówimy, że e,, e n jest drogą (ścieżką) długości n od wierzchołka do wierzchołka n Droga jest zamknięta, jeśli n Jeśli każda krawędź jest jedyną krawędzią od i do i, to ten ciąg wierzchołków jednoznacznie określa drogę i możemy opisać tę drogę wypisując po kolei te wierzchołki Drogę zamkniętą długości co najmniej z ciągiem wierzchołków 2 n nazywamy cyklem, jeśli wszystkie wierzchołki,, n są różne (niektórzy e i

8 autorzy cyklem nazywają drogę zamkniętą) Graf skierowany (droga) nie mający cykli nazywamy grafem (drogą) acyklicznym Jeśli opuścimy strzałki (tzn kierunki) na krawędziach, to zamiast uporządkowanych par wierzchołków będziemy używać nieuporządkowany zbiór wierzchołków, wtedy mamy 5A2 (Definicja) Graf nieskierowany składa się z dwóch zbiorów, zbioru V(G) wierzchołków grafu G i zbioru E(G) krawędzi grafu G oraz z funkcji ze zbioru E(G) w zbiór {{ u, w}: u, w V( G)} wszystkich podzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V(G) Dla danej krawędzi e ze zbioru E(G) elementy ( e) { u, w} nazywamy wierzchołkami krawędzi e lub końcami e Wtedy mówimy, że krawędź e łączy swoje końce Pętla jest krawędzią tylko z jednym końcem Różne krawędzie e i f takie, że ( e) ( f) nazywamy krawędziami wielokrotnymi Rysunkiem grafu nieskierowanego G jest wykres składający się z punktów, odpowiadających wierzchołkom zbioru G, łuków czy odcinków odpowiadających krawędziom Ciąg krawędzi, które łączą się ze sobą, nazywamy drogą Długością drogi jest liczba krawędzi w tej drodze Drogą długości n od wierzchołka u do wierzchołka w nazywamy ciąg e,, e n wraz z ciągiem n wierzchołków, taki, że ( ei ) { i, i } dla i,, n oraz u, n w Wtedy e n e jest drogą od w do u Obie te drogi możemy nazywać drogami między wierzchołkami u i w Jeśli u=w, to drogę nazywamy zamkniętą Drogę nazywamy drogą prostą, jeśli jej wszystkie krawędzie są różne Mówimy, że wierzchołek w jest sąsiedni w stosunku do wierzchołka u, jeśli istnieje krawędź w E(G) z końcami w i u W podobny sposób definiujemy relacje sąsiedztwa dla krawędzi 5A+B3 (Uwaga) To, co opisaliśmy, niektórzy autorzy nazywają multigrafem, a termin graf lub graf prosty rezerwują dla takich grafów, które nie mają pętli czy krawędzi wielokrotnych Jeśli nie ma krawędzi wielokrotnych, to funkcja jest różnowartościowa i zbiór () e jednoznacznie określa krawędź e Wtedy po prostu wypisujemy krawędzie jako zbiory { u, w},{ u, u} { u} lub jako ciągi wierzchołków: uw, uu 5A+B4 (Definicja) Niech graf G nie ma pętli i jest skończony, tzn zbiory V( G) {,, m} i E( G) { e,, en} są skończone Wtedy macierzą incydencji grafu G nazywamy macierz [ a ], której elementy są określone wzorem: ij mn a) aij jeśli wierzchołek i jest początkiem krawędzi e j i aij jeśli i jest końcem e j, aij jeśli i nie należy do e j dla grafu skierowanego i

9 b) a ij jeśli wierzchołek przypadku dla grafu nieskierowanego i jest końcem krawędzi e j i aij w przeciwnym 5B5 (Definicja) Macierzą sąsiedztwa nazywamy macierz [ ] wyraz bij b ij jest liczbą krawędzi od wierzchołka jeśli nie istnieje krawędź od i do j i b ij mn do wierzchołka, której każdy j Zatem 5B6 (Fakt) Macierz sąsiedztwa grafu nieskierowanego jest macierzą symetryczną 5A+B7 (Definicja) Graf H jest podgrafem grafu G, jeśli V( H) V( G), E( H) E( G) oraz funkcje grafu G i grafu H są równe na E(H) Jeśli droga jest acykliczna, wtedy podgraf składający się z wierzchołków i krawędzi tej drogi jest również acykliczny 5A+B8 (Fakt) Każda droga zamknięta różnych wierzchołkach jest cyklem,, n e,, en długości co najmniej 3, o 5A+B9 (Fakt) Droga ma wszystkie wierzchołki różne wtedy i tylko wtedy, gdy jest prosta i acykliczna 5A+B (Fakt) Jeśli u i w są różnymi wierzchołkami grafu G i jeśli istnieje w grafie G droga z u do w, to istnieje prosta droga acykliczna z u do w 5A+B (Fakt) Jeśli e jest krawędzią w zamkniętej drodze prostej w grafie G, to e należy do jakiegoś cyklu 5A2 (Definicja) Stopień wierzchołka v oznaczamy symbolem deg(v) i definiujemy jako liczbę dwuwierzchołkowych krawędzi z v jako jednym z wierzchołków, plus podwójna liczba pętli o wierzchołku v 5B+C3 (Fakt) Liczba D k (G) wierzchołków stopnia k w grafie G jest niezmiennikiem izomorfizmu 5B4 (Fakt) Suma stopni wierzchołków grafu jest dwa razy większa od liczby krawędzi: deg( v) 2 E( G) Mamy też: D ( G) 2D2 ( G) 3D3 ( G) 2 E( G) vv ( G) 5A5 (Definicja) Drogę zamkniętą w grafie przechodzącą przez każdą krawędź dokładnie jeden raz nazywamy cyklem Eulera w tym grafie

10 5B6 (Fakt) Graf, który ma cykl Eulera, musi mieć wszystkie wierzchołki stopnia parzystego 5A7 (Definicja) Graf jest spójny, jeśli każda para różnych wierzchołków jest połączona drogą w tym grafie 5B8 (Fakt) Skończony graf spójny, w którym każdy wierzchołek ma stopień parzysty, ma cykl Eulera 5B9 (Definicja) Drogę zamkniętą, która przechodzi przez każdy wierzchołek grafu dokładnie jeden raz, z wyjątkiem ostatniego wierzchołka, którym ponownie jest pierwszy wierzchołek, nazywamy cyklem Hamiltona 52 Przykłady 5A+B+C2 (Przykład) Problem mostów królewieckich: czy można przejść się po mieście, pokazanym na Rysunku (a), przechodząc przez każdy most dokładnie jeden raz i wrócić do domu? rzeka wyspa wyspa 2 2 l2 l l3 3 3 l7 l5 l 6 l4 4 4 Graf (b) Graf (c) Znaleźć graf mostów królewieckich Rozważyć wszystkie pojęcia 5A-5B9 dla grafow (b) i (c)