Wykład 7. Algorytmy grafowe

Transkrypt

1 Wykład Algorytmy grafowe

2 Algorytmy grafowe i podstawowe algorytmy przeszukiwania Problem Definicje i własności Reprezentacja Przeszukiwanie wszerz (Breadthirst Search) Przeszukiwanie w głąb (Depthirst Search) Sortowanie topologiczne Literatura Cormen, Leiserson, Rivest, Wprowadzenie do algorytmów, rozdział

3 Problem Wiele zjawisk może być opisanych poprzez binarne relacje pomiędzy obiektami: Wszelkiego typu mapy drogowe i plany Odsyłacze w stronach WWW Graf jest abstrakcyjną strukturą opisującą takie binarne relacje pomiędzy elementami. Bardzo dużo problemów można sprowadzić do rozwiązywania zadań grafowych: najkrótszej ścieżki, połączenia pomiędzy węzłami, minimalnego drzewa rozpinającego, etc.

4 Przykład zastosowania Siatka połączeń lotniczych każdy wierzchołek reprezentuje miasto. każda krawędź reprezentuje bezpośrednie połączenie lotnicze pomiędzy miastami. pytanie o bezpośrednie połączenie = pytanie czy istnieje krawędź. pytanie o połączenie = czy istnieje droga z A do B. z połączeniami możemy powiązać koszty (grafy ważone), wtedy sensowne staje się pytanie o najtańsze połączenie z A do B.

5 Przykład: odnajdowanie właściwego połączenia w metrze Stacje są wierzchołkami Połączenia pomiędzy stacjami są krawędziami Najkrótsza droga= najmniejsza odległość, najmniejszy czas. Stacje, do których można dojechać (osiągalne).

6 Graf: definicja Grafem nazywamy parę G = (V,E), gdzie V = {v,.. v n } jest zbiorem wierzchołków, E = {e,.. e m } jest zbiorem krawędzi. Krawędź e k = (v i,v j ) łączy dwa wierzchołki v i i v j ze zbioru V. Krawędzie mogą być skierowane lub nie (uporządkowane lub nieuporządkowane): e ij : v i v j lub e ij : v i > v j Graf G nazywamy skończonym jeśli V i E są skończone. Przez rozmiar grafu G rozumiemy G = V + E.

7 Przykłady Niech V = {,,,,,} Graf skierowany Graf nieskierowany

8 Grafy z wagami (ważone) Grafem ważonym nazywamy graf dla którego każda krawędź ma przypisaną wagę (koszt) c(v i, v j ) >. Każdy graf można uważać za graf ważony (dla każdej krawędzi przypisujemy wagę ). Jeśli dwa wierzchołki nie są połączone to można je traktować jako połączone z wagą. Koszt ścieżki: suma kosztów poszczególnych krawędzi c k ( p) = c( v, ) i v i i=

9 Grafy skierowane W grafie skierowanym krawędzie są skierowane tj. e = (u,v) zaczyna się w u i kończy w v (v jest połączone z u). Dopuszczalne jest połączenie wierzchołka z samym sobą e = (u,u) Stopień wchodzący (indegree) d in (v) dla wierzchołka v jest ilością krawędzi wchodzących do v. Odpowiednio stopień wychodzący (outdegree) d out (v) dla wierzchołka v jest ilością krawędzi wychodzących z v. Σd in (v i ) = Σd out (v i ) Ścieżka z u do v w grafie G = (V,E) o długości k jest sekwencją wierzchołków <u = v,v,, v k = v> takąże dla i =,,k para (v i,v i ) należy do E.

10 Grafy nieskierowane W grafie nieskierowanym krawędź e = (u,v) łączy wierzchołki u i v. Grafy nieskierowane nie mogą mieć połączeń wierzchołka z samym sobą Połączenie jest relacją symetryczną: jeśli e = (u,v) to u jest sąsiadem v oraz v jest sąsiadem u. Stopień wierzchołka d(v) jest ilością jego sąsiadów Σd(v i ) = E. Określenie ścieżki w grafie tak samo jak dla grafu skierowanego.

11 erminologia Cyklem nazywamy ścieżkę, która rozpoczyna się i kończy w tym samym wierzchołku. Grafem spójnym nazywamy nieskierowany graf dla którego istnieje ścieżka pomiędzy dwoma dowolnymi wierzchołkami (każdy wierzchołek jest osiągalny, z każdego innego wierzchołka). Grafem silnie spójnym nazywamy graf skierowany, dla którego dla każdych dwóch wierzchołków u i v istnieje droga z u do v oraz z v do u. Graf G = (V,E ) jest podgrafem G = (V,E), jeśli G G jeśli V V oraz E E.

12 Rozmiar grafu Istnieje co najwyżej E = O( V ) krawędzi w grafie. Dowód: każdy węzeł może występować w co najwyżej V krawędziach. Graf dla którego E = V nazywamy kliką (każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią). W każdym spójnym grafie jest co najmniej E V krawędzi. Dowód: przez indukcje dla V. Graf planarny (graf płaski) graf, który da się narysować na płaszczyźnie tak, by łuki obrazujące krawędzie grafu nie przecinały się. Dla grafu planarnego mamy E = O( V ). Dwa minimalne grafy, które nie są planarne, to K i K,. wierdzenie Kuratowskiego () mówi, że graf skończony jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K ani z grafem K,.

13 ypy ścieżek Ścieżkę nazywamy prostą jeżeli żaden wierzchołek nie występuje w niej więcej niż raz Składa się z różnych wierzchołków Ścieżkę nazywamy cyklem wtedy i tylko wtedy jeśli v = v k. Rozpoczyna się i kończy w tym samym wierzchołku! W ścieżkach zawierających cykl jako podścieżkę wierzchołki mogą pojawiać się kilkakrotnie.

14 ypy ścieżek przykłady. {a,c,f,e} ścieżka prosta, L =. {a,b,d,c,f,e} ścieżka prosta, L =. {a,c,d,b,d,c,f,e} ścieżka zawiera cykl {d,b,d}. {a,c,d,b,a} cykl, L =. {a,c,f,e,b,d,c,a} cykl, L =

15 Grafy a drzewa Drzewo jest to spójny graf, który nie zawiera cykli. Drzewo ma E = V krawędzi. Następujące własności są równoważne:. G jest drzewem.. G nie ma cykli; dodanie nowej krawędzi buduje cykl.. G jest spójny; po usunięciu dowolnego węzła przestaje taki być. Podobnie można podąć definicje drzewa skierowanego.

16 Reprezentacja grafu Mamy dwie standardowe reprezentacje grafów:. Lista sąsiedztwa: dla każdego węzła v tworzymy listę liniową L v jego sąsiadów w grafie. Rozmiar takiej reprezentacji to: Θ( V + E ).. Macierz sąsiedztwa: macierz V V, w której krawędź e = (u,v) jest reprezentowana przez niezerowe wejście (u,v). Rozmiar takiej reprezentacji to : Θ( V ). Lista sąsiedztwa jest wygodniejsza dla dla rzadkich grafów. Macierz sąsiedztwa jest wygodniejsza dla dla gęstych grafów.

17 Przykład: reprezentacja listą sąsiedztwa V = {,,,,,} E = {(,),(,),(,),(,)} V L i nul l

18 Przykład: reprezentacja macierzą sąsiedztwa V = {,,,,,} E = {(,),(,),(,),(,)} A Dla grafów nieskierowanych, A = A

19 Porównanie reprezentacji lista sąsiedztwa bardziej zwarta niż macierz sąsiedztwa (dobra dla rzadkich grafów) stwierdzenie czy istnieje krawędź zajmuje więcej czasu macierz sąsiedztwa zawsze wymaga Θ(n ) pamięci często marnujemy dużo pamięci szybko możemy odnaleźć informację o krawędzi

20 Porównanie reprezentacji macierz sąsiedztwa Lista sąsiedztwa

21 Porównanie reprezentacji Macierz sąsiedztwa Lista sąsiedztwa Lista krawędzi pamięć Θ(V ) Θ(V + E) Θ(E) Sprawdzenie istnienia połączenia (u, v) Θ() Ο(outdegree[u]) Ο(E) Odnajdowanie krawędzi rozpoczynających się w u Θ(V) Ο(outdegree[u]) Θ(E) Odnajdowanie krawędzi kończących się w v Θ(V) Θ(E) Θ(E) Odnalezienie wszystkich krawędzi Θ(V ) Θ(E) Θ(E)

22 rawersowanie grafu Odnajdowanie połączeń Mając dany graf i wierzchołek s w tym grafie. Odszukać drogi do wszystkich pozostałych wierzchołków tj. czy istnieje połączenie pomiędzy s i v Najbardziej popularne są dwa algorytmy: Breadthirst Search (BS) przeszukiwanie wszerz Odnajduje drogi (najkrótsze drogi) w grafach nieskierowanych. Odnajduje połączone wierzchołki. Depthirst Search (DS) przeszukiwanie w głąb Odnajduje drogi w grafach nieskierowanych.. Odnajduje połączone wierzchołki. Przeprowadza topologiczne sortowanie w grafach skierowanych (liniowe uporządkowanie wierzchołków, w którym jeśli istnieje krawędź skierowana prowadząca od wierzchołka x do y, to x znajdzie się przed wierzchołkiem y. Innymi słowy, każdy wierzchołek poprzedza wszystkie te wierzchołki, do których prowadzą wychodzące od niego krawędzie).

23 BS i problem najkrótszej ścieżki Mając dany dowolny wierzchołek s, BS odwiedza wierzchołki w porządku rosnącym (względem odległości od s). W każdym kroku, BS odwiedza wszystkie osiągalne wierzchołki o stałej odległości. W taki sposób, BS odkrywa wszystkie drogi od s do innych wierzchołków. Co oznacza termin odległość? Ilość krawędzi w ścieżce od s. Przykład s= s Wierzchołki odległe o?,,, Wierzchołki odległe o?,,, Wierzchołki odległe o?

24 Algorytm BS // flag[ ]: visited table

25 BS przykład Lista sąsiedztwa Visited able (/) source Inicjalizacja tablicy (wszystko false) Q = { } Inicjalizacja kolejki Q (pusta)

26 Lista sąsiedztwa Visited able (/) source Oznaczamy jako odwiedzone Q = { }

27 Visited able (/) Neighbors source Oznacz sąsiadów,, jako odwiedzonych Q = {} Q = {,, } Dequeue. Umieść wszystkich nieodwiedzonych sąsiadów w kolejce

28 Visited able (/) source Neighbors Q = {,, } Q = {,,, } Oznacz nowoodwiedzonych, Dequeue. umieść wszystkich nieodwiedzonych sąsiadów w kolejce nie umieszczana w kolejce (już odwiedzona)

29 Visited able (/) Neighbors source Oznacz nowoodwiedzonych, Q = {,,, } Q = {,,,, } Dequeue. dodaj do kolejki nieodwiedzonych sąsiadów. tylko i nie były jeszcze odwiedzone

30 source Visited able (/) Q = {,,,, } Q = {,,, } Dequeue. nie posiada nieodwiedzonych sąsiadów! Neighbors

31 source Visited able (/) Q = {,,, } Q = {,, } Dequeue. nie ma nieodwiedzonych sąsiadów! Neighbors

32 source Visited able (/) Q = {,, } Q = {, } Dequeue. nie ma nieodwiedzonych sąsiadów! Neighbors

33 Visited able (/) Neighbors source Oznaczamy Q = {, } Q = {, } Dequeue. dodajemy do kolejki.

34 Visited able (/) source Neighbors Oznaczamy Q = {, } Q = {, } Dequeue. dodajemy do kolejki

35 Visited able (/) source Neighbors Q = {, } Q = { } Dequeue. nie ma nieodwiedzonych sąsiadów

36 source Visited able (/) Q = { } Q = { } Dequeue. brak nieodwiedzonych sąsiadów Neighbors

37 Visited able (/) source Co osiągnęliśmy? Q = { } SOP!!! Q jest pusta!!! Wszystkie wierzchołki zostały odwiedzone. Istnieje droga od wierzchołka Do wszystkich pozostałych w grafie

38 Złożoność czasowa BS (z wykorzystaniem list sąsiedztwa) Przyjmijmy n = ilość wierzchołków, m = ilość krawędzi. O(n + m) Każdy wierzchołek trafia do Q (enqueued i dequeued) co najwyżej raz. Każda iteracja zajmuje czas proporcjonalny do deg(v) + ( + ze względu na dequeue).

39 Czas wykonania W grafie o m krawędziach suma stopni wierzchołków wynosi? Σ vertex v deg(v) = m Stąd całkowity czas działania (pętla while): O( Σ vertex v (deg(v) + ) ) = O(m+n) = O(n+m) Suma wszystkich iteracji w pętli while!

40 Złożoność czasowa BS (z wykorzystaniem macierzy sąsiedztwa) Przyjmijmy n = ilość wierzchołków, m = ilość krawędzi. O(n ) Odnalezienie sąsiadów v wymaga przejrzenia wszystkich elementów w wierszu. Zajmuje to czas O(n). Sumując to dla wszystkich iteracji dostajemy O(n ). Dostajemy stąd, że, BS w tej wersji ma złożoność O(n ) niezależnie od ilości krawędzi m. Dla listy sąsiedztwa mieliśmy O(n+m); Jeśli m=o(n ), (graf gęsty) to dostajemy O(n+m)=O(n ).

41 Odnajdowanie najlepszych dróg BS pokazuje jedynie czy istnieje połączenie ze źródła s do pozostałych wierzchołków v. Nie odnajduje ścieżki! Potrzebujemy modyfikacji algorytmu odnajdującej ścieżki Jak to zrobić? Nie wiemy które wierzchołki leżą na ścieżce dopóki nie dojdziemy do v! Ale, dla pary {w,v}, wiemy czy w był odwiedzony z v. Efektywne rozwiązanie: Wykorzystać dodatkową tablicę pred[..n] do zapamiętywania poprzedników dla każdego wierzchołka. Pred[w] = v oznacza, że w został odwiedzony z v.

42 BS + wyznaczanie ścieżek inicjujemy pred[v] Oznaczamy skąd przyszliśmy.

43 Przykład source Visited able (/) Q = { } Pred

44 source Visited able (/) Q = { } Pred

45 source Visited able (/) Q = {} Q = {,, } Oznaczamy że przyszliśmy z. Neighbors Pred Dequeue

46 source Visited able (/) Q = {,, } Q = {,,, } Oznaczamy, że przyszliśmy z. Dequeue. Neighbors Pred

47 source Visited able (/) Q = {,,, } Q = {,,,, } Przyszliśmy z Dequeue. Neighbors Pred

48 source Visited able (/) Q = {,,,, } Q = {,,, } Dequeue. nie ma nieodwiedzonych sąsiadów! Neighbors Pred

49 source Visited able (/) Q = {,,, } Q = {,, } Dequeue. nie ma nieodwiedzonych sąsiadów! Neighbors Pred

50 source Visited able (/) Q = {,, } Q = {, } Dequeue. nie ma nieodwiedzonych sąsiadów! Neighbors Pred

51 source Visited able (/) Q = {, } Q = {, } Dequeue. Neighbors Pred

52 source Visited able (/) Q = {, } Q = {, } Dequeue. Neighbors Pred

53 source Visited able (/) Q = {, } Q = { } Dequeue. Neighbors Pred

54 source Visited able (/) Q = { } Q = { } Dequeue. Neighbors Pred

55 source Visited able (/) Q = { } SOP!!! Q jest pusta!!! ablicę Pred można teraz wykorzystać do pokazania ścieżek! Pred

56 Odnajdowanie ścieżek nodes visited from Algorytm rekursywny Np: Path(),, Path(),,, Path(),

57 BS ree Ścieżki odnalezione przez BS można przedstawić w postaci drzewa z korzeniem (nazywa się je BS tree), gdzie początkowy wierzchołek jest korzeniem. BS tree dla wierzchołka s=.

58 Przeszukiwanie w głąb Depthirst Search (DS) DS jest drugim popularnym algorytmem trawersowania grafów. Idea jest podobna do przechodzenia preorder (najpierw rodzic potem rekursywnie dzieci). DS może pokazać informacje o grafie które trudno uzyskać przy BS. Np. czy w grafie istnieją cykle?

59 Algorytm DS Algorytm DS odwiedza sąsiadów korzystając z rekurencji. Kiedykolwiek odwiedzamy v z u, rekursywnie odwiedzamy wszystkich nieodwiedzonych do tej pory sąsiadów v. Potem powracamy do u... Zauważmy: możliwe jest, że w nie był odwiedzony kiedy rekursywnie odwiedzaliśmy w, ale zostanie odwiedzony w czasie kiedy powrócimy z wywołania rekursywnego. u w v w w

60 Algorytm DS oznaczamy wszystkie nieodwiedzone wierzchołki Można podobnie jak poprzednio oznaczać Ścieżki przy pomocy pred[ ]. Oznaczamy węzeł jako odwiedzony. Dla wszystkich nieodwiedzonych sąsiadów wywołaj rekursywnie RDS(w)

61 Przykład Visited able (/) source Pred

62 source Visited able (/) Oznaczamy Jako odwiedzone Pred RDS( ) teraz wywołujemy RDS()

63 Visited able (/) source RDS( ) RDS() już odwiedzone, wywołujemy RDS() Rekursywne wywołanie odwiedzone Pred Pred[] oznaczone

64 Visited able (/) source Pred Oznaczamy jako odwiedzone i Pred[] RDS( ) RDS() Rekursywne RDS() > brak nieodwiedzonych sąsiadów, powrót do RDS() wywołanie

65 source Visited able (/) Pred RDS( ) RDS() teraz odwiedzamy > RDS() powrót do Rekursywne wywołanie

66 Visited able (/) source Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() > odwiedzamy, RDS() Ozn. i Pred[] Pred

67 Visited able (/) source Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() RDS() odwiedzamy RDS() Pred Oznaczamy i Pred[]

68 Visited able (/) source Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() RDS() RDS() odwiedzamy RDS() Pred Oznaczamy i Pred[]

69 Visited able (/) source Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() Pred Oznaczamy i Pred[] RDS() RDS() RDS() SOP wszyscy sąsiedzi są już odwiedzeni wracamy do RDS()

70 Visited able (/) source Powrót do Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() RDS() RDS() odwiedzamy > RDS() Pred

71 Visited able (/) source Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() RDS() RDS() RDS() już odwiedzone, wracamy do > RDS() Pred Oznaczamy i Pred[]

72 Visited able (/) source Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() RDS() RDS() RDS() RDS() odwiedzamy > RDS() Pred Oznaczamy i Pred[]

73 Visited able (/) source Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() RDS() RDS() RDS() RDS() Pred Oznaczamy i Pred[] RDS() > Stop brak nieodwiedzonych sąsiadów

74 Visited able (/) source Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() RDS() RDS() RDS() RDS() > Stop Pred

75 Visited able (/) source Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() RDS() RDS() RDS() > Stop Pred

76 Visited able (/) source Rekursywne wywołanie RDS( ) RDS() RDS() RDS() RDS() > Stop Pred

77 Visited able (/) Pred RDS( ) RDS() RDS() RDS() > Stop source Rekursywne wywołanie

78 Visited able (/) Pred RDS( ) RDS() RDS() > Stop source Rekursywne wywołanie

79 Visited able (/) Pred RDS( ) RDS() > Stop source Rekursywne wywołanie

80 Visited able (/) Pred RDS( ) > Stop Rekurencyjne wywołania zakończone source

81 Odnajdowanie ścieżek przy pomocy DS Visited able (/) Pred Np. Path() > Path() > Path() > source

82 Drzewo DS Otrzymujemy w taki sposób drzewo ścieżek (DStree). Warto zauważyć, że jest ono znacznie głębsze niż dla BS. Odzwierciedla on strukturę wywołań rekurencyjnych. kiedy odwiedzamy sąsiada w wierzchołka v, dodajemy w jako dziecko v. kiedy DS powraca z wierzchołka v, powracamy do rodzica v.

83 Złożoność czasowa DS (z zastosowaniem list sąsiedztwa) Nigdy nie odwiedzamy wierzchołka więcej niż raz. Musimy zatem sprawdzić wszystkie wierzchołki grafu. Wiemy, że Σ vertex v degree(v) = m, gdzie m jest ilością krawędzi. Dla każdego z wierzchołków zabiera to czas proporcjonalny do deg(v) +. Stąd czas wykonania DS jest proporcjonalny do sumy ilości wierzchołków i krawędzi (tak jak dla BS). O(n + m) gdzie n ilość wierzchołków, m ilość krawędzi. Inny zapis: O( v + e ) v = ilość wierzchołków (n) e = ilość krawędzi (m)

84 Zastosowania grafów: połączenia G = L N P O Q R M A D C E s Jak stwierdzić czy dwa wierzchołki są połączone? G B K Czy A jest połączone z? Czy A jest połączone z L? H

85 Problem połączeń Graf nazywamy spójnym jeśli dla każdej pary wierzchołków istnieje droga łącząca je. niespójny spójny Jak można stwierdzić czy graf jest spójny? Wykorzystać BS lub DS (wybierając dowolnie jakiś wierzchołek jako początek). Jeśli odwiedziliśmy wszystkie wierzchołki to graf jest spójny. Czas takiej procedury? O(n + m)

86 Spójne składowe

87 Spójne składowe Spójną składową grafu jest maksymalny spójny podgraf tego grafu. Zbiór spójnych składowych jest jednoznaczny dla każdego grafu. Przykład: poniższy graf można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy spójnych podgrafów: C, C i C.

88 Odnajdowanie spójnych składowych Odnajdujemy wszystkie wierzchołki połączone z v => tworzą jedną spójną składową Zwykły DS

89 Złożoność czasowa dla każdego z podgrafów (i=,, ): O ( n + m i i ) Stąd dla całego grafu: O( n + = + i mi ) O( ni mi ) = O( n + i i i m)

90 Grafy skierowane W grafie skierowanym krawędzie są skierowane tj. e = (u,v) zaczyna się w u i kończy w v (v jest połączone z u). Dopuszczalne jest połączenie wierzchołka z samym sobą e = (u,u) Stopień wchodzący (indegree) d in (v) dla wierzchołka v jest ilością krawędzi wchodzących do v. Odpowiednio stopień wychodzący (outdegree) d out (v) dla wierzchołka v jest ilością krawędzi wychodzących z v. Σd in (v i ) = Σd out (v i ) Ścieżka z u do v w grafie G = (V,E) o długości k jest sekwencją wierzchołków <u = v,v,, v k = v> takąże dla i =,,k para (v i,v i ) należy do E.

91 Reprezentacja grafów skierowanych Można korzystać zarówno z macierzy sąsiedztwa, jak i z list sąsiedztwa. do z

92 Skierowane grafy acykliczne Skierowana ścieżka jest sekwencją wierzchołków (v, v,..., v k ). Cykl skierowany jest skierowanąścieżką o tożsamym początku i końcu. Graf skierowany jest acykliczny jeśli nie zawiera cykli skierowanych.

93 Indegree i Outdegree W wypadku grafów skierowanych nie można po prostu mówić o stopniu wierzchołka deg(v) Zamiast tego będziemy mówić o ilości krawędzi wchodzących Indegree(v) oraz wychodzących z wierzchołka Outdegree(v) Każdej krawędź arc(u,v) będzie liczona razy: jako outdegree dla u oraz indegree dla v. vertex v indegree( v) = outdegree( v) = m vertex v

94 Obliczanie Indegree i Outdegree Outdegree łatwo obliczyć Przeglądamy listę adj[v] i liczymy sąsiadów. Obliczanie Indegree Rozpoczynamy od indegree[v]= dla każdego wierzchołka v. Przeglądamy listy adj[v] dla każdego v. Dla każdego odnalezionego wierzchołka: indegree[w]++; Czas wykonania: O(n+m).

95 Przykład Indeg()? Indeg()? Outdeg()? Ilość krawędzi? m = outdegree? indegree?

96 Zastosowanie grafów skierowanych Grafy skierowane często wykorzystuje się do reprezentacji zadań wzajemnie zależnych. j. takich że każde następne może rozpocząć się dopiero po zakończeniu innego. Zależności takie mogą być modelowane poprzez krawędzie skierowane (arc). arc (i,j) oznacza, że zadanie j nie może rozpocząć się przed zakończeniem zadania i. i j Oczywiście, żeby praca się zakończyła taki graf nie może być cykliczny.

97 Sortowanie topologiczne liniowe uporządkowanie wierzchołków, w którym jeśli istnieje krawędź skierowana prowadząca od wierzchołka x do y, to x znajdzie się przed wierzchołkiem y. Innymi słowy, każdy wierzchołek poprzedza wszystkie te wierzchołki, do których prowadzą wychodzące od niego krawędzie. Wierzchołki w każdym grafie acyklicznym skierowanym można posortować topologicznie na jeden lub więcej sposobów. np.

98 Algorytm sortowania topologicznego Zauważmy: Punkt startowy musi posiadać indegree równe. Jeśli takiego wierzchołka nie ma gram nie jest acykliczny Algorytm:. Jeśli indegree dla wierzchołka wynosi zero można od niego zacząć (wypisujemy).. Jeśli wierzchołek i został wypisany to krawędzie wychodzące z niego nie są już potrzebne możemy usunąć wszystkie krawędzie wychodzące z i oraz samo i.. Po usunięciu z grafu wierzchołka i pozostaje on acykliczny i można rozumowanie powtórzyć.

99 opological Sort Znajdujemy punkt startowy redukujemy indegree(w) Wkładamy nowy start do kolejki Q

100 Przykład Indegree start Q = { } OUPU:

101 Indegree Dequeue Q = { } > usuwamy krawędzie z uaktualniamy indegree sąsiadów (,, ) OUPU:

102 Indegree Q = {,, } Wkładamy do kolejki wszystkie nowe punkty startowe OUPU:

103 Indegree Dequeue Q = {, } usuwamy krawędzie.. uaktualniamy indegree sąsiadów (, ) OUPU:

104 Indegree Q = {,, } Enqueue OUPU:

105 Indegree Dequeue Q = {, } OUPU:

106 Indegree Dequeue Q = {,, } Enqueue OUPU:

107 Indegree Dequeue Q = {, } OUPU:

108 Indegree Dequeue Q = { } OUPU:

109 Indegree Dequeue Q = { } OUPU:

110 Indegree Dequeue Q = { } OUPU:

111 Indegree Dequeue Q = {, } Enqueue, OUPU:

112 Indegree Dequeue Q = { } OUPU:

113 Indegree Dequeue Q = {, } OUPU:

114 Indegree Dequeue Q = { } OUPU:

115 Indegree Dequeue Q = { } OUPU:

116 Indegree Dequeue Q = { } OUPU:

117 Indegree Dequeue Q = { } Enqueue. OUPU:

118 Indegree Dequeue Q = { } SOP brak sąsiadów OUPU:

119 OUPU:

120 Złożoność dla sortowania topologicznego Nigdy nie odwiedzamy wierzchołka więcej niż raz. Dla każdego wierzchołka, Sprawdzamy wszystkie wychodzące krawędzie, Co zabiera czas proporcjonalny do outdegree(v) +. Jeśli zsumujemy to dla wszystkich wierzchołków to dostaniemy czas O(n + m).