Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
|
|
- Zdzisław Drozd
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku
2
3 ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi przypiszemy długość (wagȩ i algorytmy bȩd a szukać drogi, dla której suma długości krawȩdzi jest najmniejsza 11 Grafy skierowane Definicja 11 Graf skierowany (zorientowany to dowolna para, ze skończonym zbiorem wierzchołków i zbiorem krawȩdzi Rysunek 11: Graf skierowany W grafie skierowanym krawȩdź jest skierowana od wierzchołka do wierzchołka Wierzchołek nazywamy pocz atkiem krawȩdzi, a wierzchołek końcem Na rysunkach krawȩdzie skierowane bȩdziemy przedstawiać jako strzałki Droga w grafie skierowanym jest to ci ag wierzchołków!" $#%#$#& ' *,+ +-, taki, że dla każdego (, wierzchołki /01!, "/ s a poł aczone krawȩdzi a, czyli 2/01!" "/ !9 %#$#%#$ ' Drogȩ nazywamy cyklem jeżeli ":;', oraz wszystkie wierzchołki 8!" $#$#%#& ' s a różne Na przykład ci ag wierzchołków jest cyklem w grafie z rysunku 11 Dla grafów skierowanych dopuszczamy cykl złożony z dwóch wierzchołków, na przykład ci ag stanowi cykl w grafie z rysunku 11 Krawȩdź typu 2< 1, w której pocz atek i koniec pokrywaj a siȩ, nazywamy pȩtl a Można przyj ać, że pȩtla jest cyklem długości jeden 3
4 4 Rozdział 1 Grafy skierowane Definicja 12 Graf skierowany jest (silnie spójny, jeżeli dla każdych dwóch jego wierzchołków i istnieje droga z do Przykład 13 Graf z rysunku 11 nie jest spójny, bo nie ma w nim drogi z do 12 Najkrótsze drogi w grafie Przypuśćmy teraz, że każdej krawȩdzi przypisano długość (wagȩ przy tym ujemne długości Dla każdej drogi w grafie 7 %#$#$#% Dopuszczamy zdefiniujmy jej długość jako sumȩ długości krawȩdzi, czyli Jeżeli /! 2"/01!" "/3 #, droga składa siȩ z pojedynczego punktu, to przyjmujemy, że jej długość wynosi 0 W tym rozdziale interesuj a nas algorytmy wyznaczania najkrótszej drogi ł acz acej dwa wierzchołki i w grafie Przykład 14 Jako przykład zastosowania algorytmu wyszukiwania najkrótszej drogi w grafie rozpatrzmy sieć poł aczeń, czyli graf, w którym krawȩdzie reprezentuj a ł acza pomiȩdzy wȩzłami Z każd a krawȩdzi a zwi azane jest prawdopodobieństwo, że krawȩdź zadziała bez awarii Zakładamy, że awarie poszczególnych krawȩdzi s a od siebie niezależne Przyjmijmy teraz długość krawȩdzi jako Najkrótsza droga jest wtedy drog a z najmniejszym prawdopodobieństwem awarii Łatwo zauważyć, że jeżeli w grafie s a cykle o ujemnej długości, to dla pewnych par wierzchołków nie istnieje najkrótsza droga miȩdzy nimi Powtarzaj ac przejście wzdłuż cyklu można wtedy otrzymywać drogi o długości dowolnie małej Dlatego w dalszej czȩści bȩdziemy zakładać, że w grafie wszystkie cykle s a dodatniej długości Problem znajdowania najkrótszej drogi w grafie nieskierowanym, jeżeli wszystkie krawȩdzie maj a dodatnie długości, można sprowadzić do przypadku grafu skierowanego Wystarczy każd a krawȩdź < zast apić przez dwie krawȩdzie 2< i Jeżeli w grafie s a krawȩdzie o ujemnych długościach, to sposób ten prowadzi do powstania cykli ujemnej długości Opisane tu algorytmy składaj a siȩ z dwóch etapów W pierwszym etapie wyznaczamy długości najkrótszych dróg z do wszystkich wierzchołków w grafie A dopiero w drugim etapie wyznaczymy najkrótsz a drogȩ z do Najpierw opiszemy drugi etap, czyli jak znaleźć najkrótsz a drogȩ z do, jeżeli znane s a odległości z do wszystkich wierzchołków grafu Algorytm ten bȩdziemy opisywać przy pomocy przykładu grafu z rysunku 12 2<,, jeżeli 4 Załóżmy, że Dla prostoty algorytmu przyjmujemy macierz zawiera odległości od do wszystkich pozostałych wierzchołków grafu
5 13 Algorytm Forda-Bellmana 5 Rysunek 12: Graf z długościami krawȩdzi przy tym, że v s a b c d t zawiera odległość od, czyli długość najkrótszej drogi z do Przyjmujemy oraz, jeżeli nie ma żadnej drogi z do Najkrótsz a drogȩ od do wyznaczamy teraz od końca Najpierw szukamy przedostatniego wierzchołka tej drogi, później trzeciego od końca i tak dalej Przedostatni wierzchołek najkrótszej drogi spełnia równość 2 # spełnia t a równość Zauważmy, że isnieje, to otrzymamy, czyli najkrótsz a drogȩ z do Jest też W naszym przykładzie tylko wierzchołek droga długości z do Jeżeli przedłużymy tȩ drogȩ o krawȩdź, drogȩ z do długości jasne, że taki wierzchołek istnieje Jest to przedostatni wierzchołek dowolnej najkrótszej drogi z do Trzeci od końca wierzchołek spełnia równość 2< W naszym przykładzie jest to i tak dalej, aż odtworzymy cał a drogȩ Algorytm ten musi zakończyć pracȩ, ponieważ kolejne wierzchołki odsłanianej drogi s a różne Inaczej mielibyśmy cykl, co nie jest możliwe, jeżeli w grafie wszystkie cykle s a dodatniej długości 13 Algorytm Forda-Bellmana W tym podrozdziale opiszemy pierwszy z algorytmów obliczania wartości macierzy Mówi ac z grubsza polega on na przyjȩciu najpierw pewnych górnych oszacowań na wartości i poprawianiu ich potem Jeżeli na jakimś etapie pracy algorytmu mamy war- tość, to znaczy, że znaleziono już drogȩ od do długości Jeżeli później algorytm znajdzie krótsz a drogȩ, to wartość zostanie poprawiona Znajdowanie krotszej drogi polega na szukaniu wierzchołka spełniaj acego warunek 3#
6 6 Rozdział 1 Grafy skierowane Algorytm [Forda-Bellmana] Dane wejściowe: Graf skierowany, długości krawȩdzi Dane wyjściowe: Macierz odległości z do wszystkich wierzchołków dla każdego 4 podstaw ; dla każdego - od 1 do zrób: dla każdego zrób: dla każdego 4 2< zrób: ( Algorytm Forda-Bellmana najpierw podstawia przybliżenie Potem w rundach, dla każdego wierzchołka 4 czy istnieje wierzchołek, który wyznacza krótsz a drogȩ do Jest to pierwsze algorytm sprawdza, Przykład 15 Algorytm Forda-Bellmana zastosowany do grafu z rysunku 12 działa w nastȩpuj acy sposób: Na pocz atku macierz przedstawia siȩ nastȩpuj aco: v s a b c d t W pierwszej iteracji zewnȩtrznej pȩtli, dla -, algorytm dla każdego wierzchołka sprawdza, czy istnieje wierzchołek, przez który wiedzie krótsza droga do I tak dla, stwierdza, 6 Oznacza, to, że droga z do a potem krawȩdzi a do jest krótsza od dotychczasowego oszacowania Dlatego algorytm podstawia 3 na Dla, wartość nie zmienia siȩ ponieważ droga przez 5 nie jest krótsza od dotychczasowego oszacowania Dla algorytm znajduje krótsz a drogȩ przez ; i zmienia na Dla : wartość macierzy nie jest korygowana, a dla algorytm odnajduje drogȩ przez, 5 i posyła wartości: Tak wiȩc po pierwszej iteracji pȩtli macierz ma nastȩpuj ace v s a b c d t W drugiej iteracji dla - tylko wartość zostaje poprawiona, gdyż Nowa wartość po drugiej iteracji macierz wygl ada tak v s a b c d t Pozostałe wartości nie zmieniaj a siȩ i W trzeciej iteracji pȩtli dla - algorytm najpierw znajduje krótsz a drogȩ do (przez i poprawia, a potem znajduje krótsz a drogȩ do (przez i poprawia Po trzeciej iteracji macierz wygl ada tak v s a b c d t
7 ( 14 Dodatnie długości, algorytm Dijsktry 7 Jest to ostateczna postać macierzy, gdyż w czwartej iteracji jej wartości nie s a już poprawione Aby udowodnić, że algorytm działa poprawnie pokażemy przez indukcjȩ, że po ( -tej iteracji zewnȩtrznej pȩtli zawiera długość najkrótszej drogi z do zawieraj acej co najwyżej ( krawȩdzi Przed pierwsz a iteracj a zawiera długość drogi złożonej z jednej lub zero krawȩdzi Załóżmy, że po ( iteracjach zawiera długość najkrótszej drogi z ( lub mniej krawȩdziami Przypuśćmy, że %#$#$#%! jest najkrótsz a spośród dróg z do $#%#$#$ z ( lub mniej krawȩdziami Droga! jest najkrótsz a drog a do! z ( lub mniej krawȩdziami Gdyby istniała krótsza droga do! z co najwyżej ( krawȩdziami, to mielibyśmy krótsz a %#$#$#$ drogȩ do z co najwyżej krawȩdziami; sprzeczność Czyli długość drogi! jest równa! po ( tej iteracji Dlatego po ( iteracji bȩdzie zawierać długość najkrótszej drogi do z ( krawȩdziami Po zakończeniu pracy algorytmu zawiera długość najkrótszej drogi z do, ponieważ, jeżeli w grafie wszystkie cykle s a dodatniej długości, to w minimalnej drodze żaden wierzchołek nie powtarza siȩ i droga nie zawiera wiȩcej niż krawȩdzi Algorytm zawiera trzy pȩtle zagnieżdżone jedna w drug a Zewnȩtrzna pȩtla wykonuje siȩ razy Dla każdego - 4 wewnȩtrzna pȩtla wykonuje siȩ razy, raz dla każdego, a dla każdego mamy wykonań najbardziej wewnȩtrznej pȩtli, czyli czas działania algorytmu można oszacować przez $ 9 +, gdzie i to stałe Tak wiȩc złożoność czasowa algorytmu wynosi 14 Dodatnie długości, algorytm Dijsktry W tym podrozdziale podamy algorytm znajdowania odległości od źródła do wszystkich wierzchołków grafu dla przypadku, gdy długości wszystkich krawȩdzi s a dodatnie Algorytm Dijkstry Dane wejściowe: Graf skierowany, dodatnie długości krawȩdzi Dane wyjściowe: Macierz odległości z do wszystkich wierzchołków dla każdego 4 podstaw ; dopóki powtarzaj: wybierz wierzchołek 4 ; dla każdego 4 taki, że 3 podstaw 4 2<
8 8 Rozdział 1 Grafy skierowane Podobnie jak w poprzednim algorytmie na pocz atku macierz zawiera długość krawȩdzi 1, a jeżeli takiej krawȩdzi nie ma, to Zbiór zawiera wierzchołki, dla których nie jest jeszcze wyliczona dokładna odległość od Poniżej pokażemy, że dla 4, zawiera długość najkrótszej spośród dróg, której przedostatni wierzchołek należy do Nastȩpnie w każdej iteracji zewnȩtrznej pȩtli bierzemy wierzchołek 4, który leży najbliżej od Jak siȩ za chwile okaże ten wierzchołek ma już prawidłow a wartość i dlatego jest on usuwany z Teraz korygujemy wartości dla pozostałych wierzchołków z uwzglȩdniaj ac drogi, w których wierzchołek jest przedostatni Przykład 16 Rysunek 13 przedstawia graf z dodatnimi długościami krawȩdzi Poniższa tabela ilustruje działanie algorytmu Dijkstry Pokazuje jak w kolejnych iteracjach zewnȩtrznej pȩtli wybrano wierzchołek oraz jak przedstawiaj a siȩ zbiór i macierz iteracja Rysunek 13: Graf z dodatnimi długościami krawȩdzi Aby udowodnić poprawność tego algorytmu, pokażemy przez indukcjȩ, że po każdej iteracji pȩtli mamy (a dla każdego wierzchołka 4 drogi z do,, zawiera ostateczn a długość minimalnej zawiera długość minimalnej spośród wszyst- (b dla każdego wierzchołka 4 kich dróg z do, w których przedostatni wierzchołek należy do 4 Przed pierwsz a pȩtl a tylko, Warunki (a i (b s a wiȩc spełnione, Ponieważ w najkrótszej drodze do nie ma pȩtli, wiȩc drogi, w których jest przedostatni składaj a siȩ tylko z jednej krawȩdzi, a dla każdego innego wierzchołka 4
9 15 Najkrótsza droga w grafach acyklicznych 9 W kolejnej iteracji wybieramy wierzchołek 4, dla którego jest najmniejsza Pokażemy, że wartość jest już ostateczna, czyli jest równa długości najkrótszej spośród wszystkich dróg z do Przypuśćmy, że istnieje krótsza droga i niech bȩdzie takim wierzchołkiem, że droga z do zawiera tylko wierzchołki z i wierzchołek przed nie należy do Mamy, bo inaczej mielibyśmy sprzeczność z założeniem indukcyjnym, że zawiera długość najkrótszej spośród dróg, z których przedostatni wierz- chołek nie jest z Zauważmy, że droga z do ma długość równ a aktualnej wartości Z drugiej strony ponieważ długości s a nieujemne mamy sprzeczność z zasad a wyboru + Dlatego może być usuniȩty z Nastȩpnie algorytm sprawdza dla każdego 4, czy istnieje jakaś droga z do, w której wierzchołek jest przedostani i która jest krót- sza od aktualnej wartości Zauważmy, że dotychczasowa wartość zawierała długość najkrótszej drogi do, w których przedostatnim wierzchołkiem był jakiś wierzchołek z różny od Dlatego po tym sprawdzeniu bȩdzie spełniony warunek (b Czas działania algorytmu Dijkstry jest, ponieważ mamy tylko podwójne zagnieżdżenie pȩtli i liczba iteracji obu jest ograniczona przez 15 Najkrótsza droga w grafach acyklicznych Inny przypadek, kiedy można szybciej niż w czasie policzyć długości najkrótszych dróg do wszystkich wierzchołków w grafie, zachodzi wtedy, gdy w grafie nie ma cykli Najpierw pokażemy, że w grafie acyklicznym można tak ponumerować wierzchołki tak, każda krawȩdź prowadziła od wierzchołka z niższym numerem do wierzchołka z wyższym numerem Lemat 17 W każdym skierowanym grafie którego nie wchodz a żadne krawȩdzie bez cykli istnieje wierzchołek, do Dowód: Weźmy dowolny wierzchołek! Jeżeli nie wchodzi do niego, żadna krawȩdź, to koniec, znaleźliśmy Jeżeli wchodzi, to niech bȩdzie wierzchołkiem, z którego prowadzi krawȩdź do 8! Albo jest dobry, albo prowadzi do niego krawȩdź od jakiegoś wierzchołka itd Ponieważ zbiór wierzchołków jest skończony i nie ma w nim cyklu, wiȩc ten ci ag musi siȩ kiedyś skończyć i dojdziemy do wierzchołka, do którego nie prowadz a żadne krawȩdzie Lemat 18 W skierowanym grafie acyklicznym można tak ponumerować wierzchołki, aby każda krawȩdź prowadziła od wierzchołka z niższym numerem do wierzchołka z wyższym numerem, czyli istnieje wzajemnie jednoznaczna funkcja $#%#$#& taka, że jeżeli 2< , to Dowód:
10 10 Rozdział 1 Grafy skierowane Jako dowód przedstawimy algorytm, który odpowiednio numeruje wierzchołki grafu kolejnymi liczbami naturalnymi Najpierw s a numerowane i usuwane z grafu wierzchołki, do których nie wchodz a żadne krawȩdzie Po usuniȩciu tych wierzchołków i wychodz acych z nich krawȩdzi znowu otrzymamy graf bez cykli, który zawiera wierzchołki bez wchodz acych krawȩdzi Teraz te z koleji wierzchołki s a numerowane kolejnymi numerami i usuwane z grafu, i tak dalej aż do ponumerowania wszystkich wierzchołków Rysunek 14: Graf acykliczny Przykład 19 Zastosujmy powyższy algorytm do grafu z rysunku 14 Wierzchołkami bez wchodz acych krawȩdzi s a i Przypisujemy wiȩc i oraz usuwamy i z grafu wraz z wychodz acymi z nich krawȩdziami Teraz wierzchołek nie ma wchodz acych krawȩdzi, przypisujemy mu i usuwamy z grafu W dalszych kro- kach algorytm przypisze wartości ma postać:, oraz v s a b c d t Ostatecznie hunkcja Przedstawimy teraz algorytm wyliczaj acy odległości z do wszystkich wierzchołków w grafie acyklicznym Zakładamy przy tym, że w grafie wierzchołki s a ponumerowane tak, jak opisano to w lemacie 18 Bez straty ogólności można założyć, że jest pierwszy, ponieważ nie ma ścieżek z do wierzchołków o niższych numerach Algorytm wyliczaj acy odległości wszystkich wierzchołków w grafie acyklicznym ; Dane wejściowe: acykliczny graf skierowany, długości krawȩdzi Dane wyjściowe: Macierz odległości z do wszystkich wierzchołków dla każdego 4 podstaw ; dla każdego 4 po kolei według numerów zrób: < dla każdego, 2<
11 16 Zadania 11 Udowodnimy przez indukcjȩ, że po ( -tej iteracji zewnȩtrznej pȩtli wierzchołki o numerch od 1 do ( maj a już prawidłowe wartości w macierzy Po pierwszej iteracji ma prawidłow a wartość numerach od 1 do ( maj a już prawidłowe wartości w macierzy obliczamy ( Zauważmy, że najkrótsza droga z do / przebiega przez wierzchołki o mniejszych od ( wynosi 1 "/3 2< "/3 i zostanie odnaleziona w pȩtli W ( tej iteracji pȩtli (zakładamy, że wierzchołki o numerach Niech bȩdzie przedostatnim wierzchołkiem na tej drodze Długość tej drogi Ponieważ mamy podwójne zagnieżdżenie pȩtli i w obu liczba iteracji jest ograniczona przez, czas działania algorytmu jest Przykład 110 (kontynuacja przykładu 19 Jeżeli zastosujemy ten algorytm do grafu z rysunku 14, to w kolejnych iteracjach zewnȩtrznej pȩtli obliczy on,,,, oraz 16 Zadania 1 Narysuj wszystkie grafy skierowane ze zbiorem wierzchołków z nich s a spójne? Które z nich s a izomorficzne? Które Wskazówka: Definicja izomorfizmu grafów skierowanych jest taka sama jak dla grafów nieskierowanych 2 Które z grafów przedstawionych na rysunkach w tym rozdziale s a spójne? 3 Narysuj możliwie jak najwiȩcej nieizomorficznych grafów skierowanych z trzema wierzchołkami 4 Narysuj parȩ różnych i izomorficznych grafów skierowanych z możliwie najmniejsz a liczb a wierzchołków Rysunek 15: Graf skierowany 5 Zastosuj algorytm Dijkstry i znajdź najkrótsz a drogȩ z do w grafie z rysunku 15 6 Zastosuj algorytm Forda-Bellmana do grafu z rysunku 15 7 Znajdź najkrótsz a drogȩ z do w grafach z rysunków 13 i 14 8 Zastosuj algorytm Forda-Bellmana do grafów z rysunków 13 i 14
12 12 Rozdział 1 Grafy skierowane 17 Problemy 171 Cykl Eulera w grafie skierowanym Cykl Eulera w grafie skierowanym jest to droga zamknięta przechodząca przez każdą krawędź grafu dokładnie jeden raz Udowodnij, że jeżeli graf skierowany jest spójny jako graf nieskierowany, to ma cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym jego wierzchołku liczba krawędzi wchodzących jest równa liczbie krawędzi wychodzących Jeżeli w grafie jest pętla, to liczymy ją jako krawędź wchodzącą do i jako wychodzącą z Zaproponuj algorytm wynajdywania cyklu Eulera w grafie skierowanym Które z grafów przedstawionych na rysunkach w tym rozdziale maj a cykle Eulera? 172 Ciag de Bruijna Ciąg de Bruijna rzędu to cykliczne ustawienie bitów takie, że każdy ciąg bitów występuje w tym cyklu dokładnie jeden raz jako kolejnych bitów Na przykład ciąg jest ciągiem de Bruijna rzędu 2 ( występuje na pozycjach 4 i 1, a ciąg jest ciągiem de Bruijna rzędu 3 ( występuje na pozycjach 7, 8 i 1, a na pozycjach 8, 1 i 2 % 0! : Aby otrzymaż ciąg de Bruijna rzędu rozważmy następujący graf skierowany G=(V,E Wierzchołki grafu to zbiór wszystkich ciągów bitów długosci Dwa wierzchołki, 4 tworzą krawędź, 4 wtedy i tylko wtedy, gdy ostatnich bitów jest takie samo jak pierwsze bitów Krawędź ta jest etykietowana ostatnim bitem Narysuj graf dla, i Udowodnij, że: Graf jest spójny (jako graf nieskierowany i posiada cykl Eulera Etykiety każdej drogi długości tworzą nazwę ostatniego wierzchołka tej drogi Cykl Eulera ma krawędzi i przechodzi przez każdy wierzchołek dwa razy Etykiety cyklu Eulera tworzą ciąg de Bruijna rzędu Wyznacz ciąg de Bruijna rzędu
Digraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoPorównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 2 czerwca 2002 roku 6 6 6 6 Rozdział 1 Grafy nieskierowane) Definicja 1.1 Graf nieskierowany) jest to para składaj aca siȩ ze skończonego zbioru wierzchołków
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoŚcieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne
TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoG. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko
Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko Zakład systemów Informacyjnych Wrocław 10.01.2008 Agenda prezentacji Cechy sieci Algorytmy grafowe Badanie centralności Algorytmy wyznaczania centralności
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoZagadnienie najkrótszej drogi w sieci
L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy
Bardziej szczegółowoLista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoMarek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowoAlgorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie
Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje
Bardziej szczegółowoLista 0. Kamil Matuszewski 1 marca 2016
Lista 0 Kamil Matuszewski marca 206 2 3 4 5 6 7 8 0 0 Zadanie 4 Udowodnić poprawność mnożenia po rosyjsku Zastanówmy się co robi nasz algorytm Mamy podane liczby n i m W każdym kroku liczbę n dzielimy
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Rekurencja 11 Wieże Hanoi Rekurencja jest to zdolność podprogramu (procedury lub funkcji) do wywoływania samego siebie Zacznijmy
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz
Bardziej szczegółowo5. Najkrótsze ścieżki
p. Definicja 5. Najkrótsze ścieżki 5.1 Odległości w grafach: definicje i własności (Długość ścieżki). Długościa ścieżki nazywamy liczbę krawędzi występujacych w tej ścieżce. Bardziej formalnie, jeżeli
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Poprawność programów Jeżeli projektujemy algorytmy lub piszemy programy, to ważne jest pytanie, czy nasz algorytm lub program
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoCzy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowo5c. Sieci i przepływy
5c. Sieci i przepływy Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5c. Sieci i przepływy zima 2016/2017 1 / 40 1 Definicje
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie Odpowiedzi do zadania domowego www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST 1) b 2) a 3) b 4) d 5) c 6) d 7) b 8) b 9) d 10) a Zad. 1 ODPOWIEDZI
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 5.Grafy.
Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte
Bardziej szczegółowoAlgebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoGrafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Bardziej szczegółowo6. Wstępne pojęcia teorii grafów
6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017
Bardziej szczegółowoIlustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoEgzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 7.Drzewa
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja
Bardziej szczegółowoGrafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków
Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,
Bardziej szczegółowoSzymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
Bardziej szczegółowo. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016
Podstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki 9 czerwca 2016 1 42 Plan 1 Wstęp 2 Teoria grafów 3 Grafy jako struktury danych 4 Zastosowania grafów 2 42 Wstęp Wstęp
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje. Plan. Wstęp. Teoria grafów Graf skierowany. Notatki. Notatki. Notatki. Notatki.
Podstawy Programowania Grafy i ich reprezentacje Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki 7 maja 09 / 4 Plan Wstęp Zastosowania grafów / 4 Wstęp Grafy są w informatyce strukturami danych stosowanymi w wielu
Bardziej szczegółowo0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI
J.NAWROCKI, M. ANTCZAK, H. ĆWIEK, W. FROHMBERG, A. HOFFA, M. KIERZYNKA, S.WĄSIK ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI ZAD. 1. Narysowad graf nieskierowany. Zmodyfikowad go w taki sposób, aby stał
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoOgólne wiadomości o grafach
Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część II - Sieci porównujące
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część II - Sieci porównujące Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://kaims.eti.pg.gda.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://kaims.eti.pg.gda.pl/
Bardziej szczegółowoSuma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw
Bardziej szczegółowoWykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika
Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów
Bardziej szczegółowoDroga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przykład. Przykład 1 Przykład 2. Twórcy Informacje wstępne Pseudokod Przykład. 1 Grafy skierowane z wagami - przypomnienie
Algorytmy Grafowe dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie b.wozna@ujd.edu.pl Wykład 1,11,1 B. Woźna-Szcześniak (UJD) Algorytmy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoWykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Bardziej szczegółowooperacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je.
Problem porządkowania zwanego również sortowaniem jest jednym z najważniejszych i najpopularniejszych zagadnień informatycznych. Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,, x n. Wynik: Uporządkowanie
Bardziej szczegółowoE: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowo0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze
1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa 11 Zdarzenia Podstawowym pojȩciem rachunku prawdopodobieństwa jest przestrzeń zdarzeń elementarnych,
Bardziej szczegółowo