Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3}

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3}"

Transkrypt

1 Grafy Definicja grafu nieskierowanego. Grafem nieskierowanym nazywamy uporządkowaną trójkę: gdzie: V- niepusty zbiór wierzchołków grafu G E- zbiór wszystkich krawędzi grafu G - funkcja ze zbioru E w zbiór : wszystkich podzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. Przykład: Graficzna prezentacja grafu: Niech G V E γ gdzie: V = {1, 2, 3}, E={a, b, c, d, e} Zaś funkcja γ określona jest za pomocą tabeli: f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3} Uwaga: 1 Pętla to krawędź łącząca wierzchołek z nim samym γ e v v} = {v}). 2 Krawędź wielokrotna to taka która się powtarza jeżeli krawędzie e i f są różne i γ e γ f to nazywamy je wielokrotnymi lub równoległymi. Jeżeli w grafie G a i b nie są krawędziami równoległymi oraz a y i b y z, to mówimy że: Krawędzie a i b są krawędziami sąsiednimi lub przyległymi mają wspólny wierzchołek y. Wierzchołki y oraz y i z są wierzchołkami sąsiednimi. Wierzchołek a także y jest incydentny do krawędzi a jest końcem tej krawędzi.

2 Definicja grafu prostego. Graf bez krawędzi wielokrotnych i pętli nazywamy grafem prostym. Przykład: Uwaga: W przypadku grafów bez krawędzi wielokrotnych w szczególności w przypadku grafów prostych definicja grafu sprowadza się do podania zbioru wierzchołków V i krawędzi w postaci p q gdzie p q V. Zatem graf bez krawędzi wielokrotnych w szczególności prosty można zapisać jako: pamiętając że. Definicja stopnia wierzchołka. Liczbę krawędzi incydentnych do danego wierzchołka v z pętlami liczonymi podwójnie nazywamy stopniem wierzchołka v i oznaczamy deg(v). Liczbę wierzchołków stopnia k oznaczamy Dk G i dla każdego grafu definiujemy ciąg stopni wierzchołków grafu G D0(G), D1(G), D2 G. Uwaga: 1) Wierzchołek stopnia zerowego nazywamy wierzchołkiem izolowanym. 2) Wierzchołek stopnia pierwszego nazywamy wierzchołkiem końcowym lub wiszącym. Definicja stopnia grafu. Stopniem grafu nazywamy najwyższy ze stopni jego wierzchołków tzn. liczbę: G ma deg v. Przykład:

3 W powyższym grafie: wierzchołki izolowane: 5 i x7 wierzchołki wiszące to 4 i x6 deg(x1)=2, deg(x2)=5, deg(x3)=4, deg(x8)=3 ciąg stopni wierzchołków tego grafu jest następujący stopień tego grafu wynosi 5 Definicja grafu skierowanego. Grafem skierowanym lub digrafem G nazywamy uporządkowaną trójkę gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchołków E- zbiorem krawędzi skierowanych łuków odwzorowaniem zbioru E w zbiór. Definicja źródła i ujścia w grafie skierowanym. Źródłem w digrafie nazywamy wierzchołek do którego nie wchodzi żaden łuk. Wierzchołek digrafu który nie jest początkiem żadnego łuku nazywamy ujściem. Definicja grafu ważonego. Grafem ważonym nazywamy graf w którym każdej krawędzi przyporządkowana jest liczba rzeczywista zwana wagą tej krawędzi. Przykład: Definicja drogi. Drogą w grafie G nazywamy skończony ciąg krawędzi taki że 1 oraz istnieją wierzchołki takie że dla 1. Uwaga: 1) Wierzchołek nazywamy wierzchołkiem początkowym, - wierzchołkiem końcowym drogi. 2) Jeżeli w drodze wierzchołek początkowy pokrywa się z wierzchołkiem końcowym to taką drogę nazywamy drogą zamkniętą. Definicja drogi prostej. Drogą prostą lub ścieżką nazywamy drogę w której wszystkie krawędzi są różne. Jeżeli jest drogą prostą to możemy identyfikować ją po wierzchołkach przez które przechodzi.

4 Przykład: Droga degbac jest drogą prostą. Droga fkhkc nie jest drogą prostą ponieważ krawędź k powtarza się dwa razy. Definicja cyklu w grafie. Zamkniętą drogę prostą której odpowiada ciąg wierzchołków, nazywamy cyklem jeśli wszystkie wierzchołki są różne. Przykład: Droga dgba jest drogą prostą zamkniętą.

5 Droga degba nie jest cyklem, chociaż jest drogą prostą zamkniętą ponieważ w ciągu wierzchołków odpowiadających tej drodze wierzchołek powtarza się. Definicja grafu acyklicznego. Graf nie zawierający cykli nazywamy grafem acyklicznym. Definicja grafu spójnego. Graf G nazywamy spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy każda para jego różnych wierzchołków jest połączona drogą w tym grafie. Zadanie komiwojażera Dlaczego komiwojażera? Komiwojażer ma odwiedzić kilka miast każde dokładnie jeden raz i powrócić do miasta z którego wyruszył przebywając łącznie najkrótszą najtańszą lub najszybciej przebytą drogę. Znane są odległości koszty lub czas przejazdu między każdą parą miast. Należy wyznaczyć komiwojażerowi trasę przejazdu tak aby mógł odwiedzić każde miasto dokładnie jeden raz i całkowita droga koszt lub czas podróży była/był możliwie najkrótsza/najmniejszy.

6 Definicja. Drogą Hamiltona nazywamy drogę która przechodzi przez każdy wierzchołek grafu dokładnie jeden raz. Cyklem Hamiltona nazywamy cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu. Sformułowanie problemu. Zbudujmy graf ważony którego wierzchołki są miastami. Każdą parę miast połączmy krawędziami. Każdej krawędzi nadajemy wagę równą 'odległości' między miastami odpowiadającymi wierzchołkom które są końcami tej krawędzi. Otrzymujemy w ten sposób graf pełny który ma tyle wierzchołków ile miast musi odwiedzić komiwojażer wliczając w to miasto z którego wyrusza. Odwiedzenie wszystkich miast odpowiada cyklowi Hamiltona. Poszukujemy więc w grafie pełnym cyklu Hamiltona o minimalnej sumie wag krawędzi. Wniosek: Problem ten możemy sformułować w teorii n - wierzchołkowej sieci pełnej a następnie znaleźć najkrótszy najtańszy lub najszybszy cykl Hamiltona. Mamy cykl a, b, c, d, e a ma wagę 230 cykl a b e c d a ma wagę 120 Teoretycznie problem komiwojażera można rozwiązać poprzez wyznaczenie 1 cykli Hamiltona i wybranie tego który ma najmniejszą sumę wag. Już przy pięciu miastach wszystkich możliwych tras podróży komiwojażera jest Można zauważyć że przy wiekszej liczbie miast rozważanie wszystkich możliwości nie jest najlepszym pomysłem. Dla zobrazowania problemu sprawdzenia wszystkich możliwych permutacji wierzchołków możliwych tras podam kilka obliczeń: Dla 3 miast jest 1 możliwość

7 Dla miast są 3 możliwości Dla 5 miast 12 tras Dla 6 już 60 tras Dla 7 miast 360 Dla 9 miast mamy dróg Dla 11 mamy Dla 26 miast dróg. Dlaczego rozwiązanie tego problemu zawsze istnieje? Dowolny graf pełny posiada co najmniej jeden cykl Hamiltona. Ponieważ graf ma skończoną liczbę wierzchołków to w zbiorze cykli Hamiltona istnieje taki (niekoniecznie jedyny który posiada minimalną sumę wag krawędzi. Rozwiązując problem komiwojażera możemy wybrać jedną z dwóch metod: metodę dokładną np. metodę podziału i ograniczeń która wygeneruje dokładne rozwiązanie ale działającą w czasie wykładniczym a więc metoda wolna metodę przybliżoną inaczej nazywaną metodą aproksymacyjną która generuje rozwiązanie bliskie optymalnemu ale działającą w czasie wielomianowym. Algorytmy przybliżone Czas rozwiązywania problemu komiwojażera można zmniejszyć stosując jeden ze znanych algorytmów przybliżonych które nie wymagają rozważania aż tak dużej liczby przypadków. Jednak algorytmy takie nie zawsze znajdują optymalne rozwiązanie. Stworzona przez nie trasa może być znacznie 'dłuższa' od najkrótszej. Stosowanie algorytmów przybliżonych wynika z konieczności wyboru pomiędzy szybkością znajdowania a 'jakością' znalezionego rozwiązania. Z reguły zakłada sie że wynik działania takiego algorytmu nie może być gorszy od optymalnego o więcej niż pewna ustalona z góry wartość. Rozwiązania heurystyczne Wyjaśnijmy najpierw słowo heurystyka jest to praktyczna oparta na doświadczeniu reguła postępowania która może znacznie uprościć lub skrócić proces rozwiązania rozważanego problemu gdy metoda rozwiązania nie jest znana lub jest zawiła i czasochłonna. Jeśli w zadaniu mamy do czynienia z wieloma rozwiązaniami ważne jest szybkie odrzucenie nieobiecujących kierunków poszukiwania rozwiązania. Zapewnia to ogromne oszczędności na kosztach obliczeniowych a w rezultacie przyspiesza znalezienie rozwiązania. Metody heurystyczne pozwalają na znalezienie w akceptowalnym czasie przynajmniej przybliżonego rozwiązania problemu choć nie gwarantują tego we wszystkich przypadkach.

8 Skuteczności kroków heurystycznych nie można w pełni udowodnić teoretycznie można jedynie pokazać doświadczalnie ich trafność. Algorytmy mrówkowe Owady żyjące w koloniach jak np. mrówki pszczoły rozwiązują w naturze złożone zadania. Budowa gniazda lub poszukiwanie pokarmu to zadania które przekraczają możliwości pojedynczego zwierzęcia. Jednak pojedynczy osobnik dysponuje umiejętnościami które po wykorzystaniu przez pozostałych członków populacji danej kolonii potrafią dać zaskakująco dobre rezultaty w rozwiązywaniu skomplikowanych problemów. Jedną z grup takich naturalnych społecznych algorytmów występującą w przyrodzie stanowią właśnie algorytmy mrówkowe. Algorytmy te zawdzięczają swoją nazwę oraz ideę działania analogii do natury. W 1991 M. Dorigo A. Colornie oraz R. Maniezzo na podstawie wcześniejszych badań wykonanych przez J. L. Deneubourga oraz S. Gossa, zainspirowani poszukiwaniem pokarmu przez mrówki argentyńskie przenieśli zachowanie kolonii mrówek na szukanie rozwiązań w kombinatorycznych problemach optymalizacyjnych. Mrówki orientują się w poszukiwaniu pokarmu przy pomocy substancji chemicznej feromonu którą wydzielają z tylnej części swojego ciała poruszając się. Podążające za nimi kolejne mrówki dokonują wyboru kierunku drogi na podstawie intensywności pozostawionego feromonu. Substancja ta pełni rolę wspólnego mózgu kolonii zapisując wybór drogi. Obserwacje natury pokazują że mrówki wyznaczają swoje drogi bezpośrednio pomiędzy swoim gniazdem a źródłem pokarmu. Fakt że droga ta jest najczęściej najkrótsza wynika z tego że na drogach częściej uczęszczanych znajduje się większa ilość feromonu i jest on dłużej zachowywany. W jednostce czasu może więc większa ilość mrówek przebiec odcinek krótszy niż ten który jest dłuższy. Fakt że mrówki wybierają zawsze krótszą drogę z większym prawdopodobieństwem powoduje że po pewnym czasie droga między gniazdem a pokarmem jest bardzo bliska drodze optymalnej. Przykłady zastosowań Rozwiązania problemu komiwojażera mają wiele praktycznych zastosowań: - w transporcie - w przemyśle np.: jeżeli maszyna wiertnicza ma zrobić kilka otworów w materiale komputer powinien wymyślić taką drogę żeby trasa przejścia wiertła między punktami była jak najkrótsza - ramię automatycznej maszyny nitującej rozmieszczającej nity na skrzydle samolotu porusza się z punktu do punktu i po umocowaniu n nitów w n różnych miejscach wraca do punktu wyjścia optymalna droga poruszania się ramienia jest rozwiązaniem odpowiedniego problemu komiwojażera. - zestaw maszyn ma być użyty do wyprodukowania n elementów. Zmiana obrabianego elementu na inny jest związana ze zmianą oprzyrządowania maszyny i koszty tej

9 dodatkowej czynności są znane optymalna kolejność wyprodukowania n elementów jest rozwiązaniem problemu komiwojażera. - także w poznawaniu struktury kryształów promień rentgenowski musi przejść w krysztale przez kilka tysięcy punktów Przepływ jednotowarowy w sieci Definicja sieci przepływowej. Siecią przepływową (G, s, t, c), nazywamy graf skierowany G=(V, E w którym wyróżniono wierzchołki : źródło s V i ujście t V oraz z każdą krawędzią związana jest funkcja przepustowości : 0 taka że Definicja przepływu w sieci. Przepływem w sieci (G, s,t, c nazywamy funkcję f: spełniającą warunki: dla mamy warunek ograniczenia przepustowości dla mamy 0 0 warunek skośnej symetrii dla każdego (warunek zachowania przepływu 0 Definicja wartości przepływu f. Wartość przepływu f oznaczamy f i definiujemy jako sumaryczną wielkość przepływu wypływającego z s wszystkimi krawędziami Definicja maksymalnego przepływu w sieci. Dla danej sieci (G, s, t, c przepływ f, którego wartość będzie maksymalna Nazywamy maksymalnym przepływem sieci G s, t, c)

10 Definicja przepustowości residualnej. Niech G s t c będzie siecią. f pewnym przepływem w tej sieci. Przepustowością residualną pary wierzchołków (u, v) sieci G s t c nazywamy liczbę Definicja sieci residualnej. Siecią residualną dla sieci (G, s, t, c) indukowaną przez przepływ f nazywamy sieć Gf, s, t, cf w której Gf = (V, Ef), przy czym Krawędzie sieci residualnej nazywamy krawędziami residualnymi. Definicja ścieżki powiększającej. Dla danej sieci G s t c i przepływu f ścieżką powiększającą p nazywamy każdą ścieżkę ze źródła s do ujścia t w sieci residualnej (Gf, s, t, cf). Twierdzenie Forda Fulkersona o maksymalnym przepływie i minimalnym przekroju Niech (G, s, t, c będzie siecią przepływową. f przepływem w tej sieci. Następujące warunki są równoważne: 1 przepływ f jest maksymalny 2 sieć residualna Gf, s, t, cf nie zawiera ścieżek powiększających 3) dla pewnego przekroju (S, T) w sieci (G, s, t, c) zachodzi f = c = (S, T) Podstawowy algorytm Forda-Fulkersona brzmi następująco: Wyzeruj wszystkie przepływy w sieci Dopóki w sieci residualnej istnieje ścieżka rozszerzająca p zwiększaj przepływ o cf p wzdłuż kanałów zgodnych z kierunkiem ścieżki a zmniejszaj przepływ wzdłuż kanałów przeciwnych (wygaszanie przepływu. Przepływ sieciowy rośnie o cf(p). Aby lepiej zrozumieć ten algorytm oprzyjmy się na prostym przykładzie. Oto nasza sieć przepływowa. W kanałach zaznaczyliśmy ich przepustowości. Przepływy są zerowe. Również przepływ sieci f Dla zerowych przepływów sieć residualna jest identyczna z siecią pierwotną. Szukamy w niej ścieżki rozszerzającej która połączy źródło s z ujściem t. Takich ścieżek może być

11 wiele. Umówmy się że wybieramy najkrótszą z nich mającą najmniej krawędzi. Na przykład może to być ścieżka: Na ścieżce p znajdują się trzy kanały sieci residualnej: s A A B i B t. Przepustowość residualna cf p ścieżki jest równa najmniejszej przepustowości residualnej jej kanałów. Najmniejszą przepustowość residualną posiada kanał B-t dla którego cf(b,t) = 6. Zatem wzdłuż krawędzi ścieżki przepływ można zwiększyć o 6 jednostek. O tyle rośnie również przepływ sieciowy czyli fnowy = fstary + cf(p) = = 6 Zwiększenie przepływu w kanale sieci pierwotnej o cf(p) odpowiada zmniejszeniu przepustowości residualnej tego kanału. Jednocześnie wraz z pojawieniem się przepływu w kanale sieci pierwotnej powstaje kanał przeciwny w sieci residualnej o przepustowości residualnej równej przepływowi. Nasza sieć residualna wygląda teraz następująco: Przepustowość residualna kanału s A wynosi 3 - oznacza to iż kanałem tym można wciąż jeszcze przesłać trzy dodatkowe jednostki przepływu. Zwróćmy uwagę iż w siei residualnej pojawił się kanał przeciwny A s o przepustowości residualnej cf(a,s) = 6. Kanał A B może jeszcze przesłać 1 dodatkową jednostkę przepływu. Również tutaj pojawił się kanał przeciwny o przepustowości residualnej równej 6. Kanał B t przestał istnieć w sieci residualnej ponieważ osiągnął już swoją maksymalną przepustowość - 6 jednostek przepływu. Nie może on być dalej wykorzystywany do

12 powiększania przepływu. Na jego miejscu mamy jednak kanał przeciwny z przepustowością residualną równą 6. W nowej sieci residualnej szukamy kolejnej ścieżki rozszerzającej: Przepływ zwiększamy f i modyfikujemy przepustowości residualne krawędzi ścieżki rozszerzającej otrzymując nową sieć residualną: Z sieci residualnej znikają kanały s A i A C - wykorzystały już swój potencjał zwiększania przepływu. Szukamy kolejnej ścieżki rozszerzającej: p s D E t cf(p) = 6 Przepływ zwiększamy f Wzdłuż ścieżki rozszerzającej modyfikujemy odpowiednio przepustowości residualne kanałów i otrzymujemy nową sieć residualną:

13 W nowej sieci residualnej zniknął kanał D E. Wciąż jednakże możemy znaleźć nową ścieżkę rozszerzającą: p s D C t cf(p) = 3 Przepływ zwiększamy f Po zmodyfikowaniu sieci residualnej otrzymujemy: W tej sieci residualnej nie znajdziemy już żadnej ścieżki rozszerzającej - ze źródła s nie wychodzi żaden kanał. Otrzymaliśmy maksymalny przepływ. Z sieci residualnej można w prosty sposób przejść do sieci przepływowej wraz z rozkładem przepływów na poszczególne kanały. Wystarczy od przepustowości kanałów odjąć otrzymane przepustowości residualne - dla nieistniejących kanałów ich przepustowość residualna wynosi 0. W efekcie otrzymamy następującą sieć przepływową z wyznaczonym maksymalnym przepływem sieciowym:

14

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Mrówkowe. Daniel Błaszkiewicz. 11 maja 2011. Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego

Algorytmy Mrówkowe. Daniel Błaszkiewicz. 11 maja 2011. Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego Algorytmy Mrówkowe Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego 11 maja 2011 Opis Mrówki w naturze Algorytmy to stosunkowo nowy gatunek algorytmów optymalizacyjnych stworzony przez Marco Dorigo w 1992

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Grafem skierowanym. Typowe zastosowania grafów skierowanych obejmują wiele dziedzin:

Grafem skierowanym. Typowe zastosowania grafów skierowanych obejmują wiele dziedzin: Grafem skierowanym D (inaczej digrafem) nazywamy parę(v, A), gdzie V jest skończonym zbiorem wierzchołków, A jest zbiorem par uporządkowanych(u, v) o elementach ze zbioru V. Elementy zbioru A nazywamy

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Heurystyki. Strategie poszukiwań

Heurystyki. Strategie poszukiwań Sztuczna inteligencja Heurystyki. Strategie poszukiwań Jacek Bartman Zakład Elektrotechniki i Informatyki Instytut Techniki Uniwersytet Rzeszowski DLACZEGO METODY PRZESZUKIWANIA? Sztuczna Inteligencja

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

Matematyka od zaraz zatrudnię

Matematyka od zaraz zatrudnię Uniwersytet Jagielloński Gdzie jest matematyka? Soczewka, 26-28 listopada 2010 Kolorowanie grafów Dobre kolorowanie wierzchołków grafu, to nadanie im kolorów w taki sposób, że każde dwa wierzchołki połaczone

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Metody przeszukiwania

Metody przeszukiwania Metody przeszukiwania Co to jest przeszukiwanie Przeszukiwanie polega na odnajdywaniu rozwiązania w dyskretnej przestrzeni rozwiązao. Zwykle przeszukiwanie polega na znalezieniu określonego rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Metody Programowania

Metody Programowania POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie teorii grafów w Geograficznych Systemach Informacyjnych

Zastosowanie teorii grafów w Geograficznych Systemach Informacyjnych Zastosowanie teorii grafów w Geograficznych Systemach Informacyjnych Katarzyna Lange Centrum GIS Uniwersytet Gdański Wydział Oceanografii i Geografii Najważniejsze osiągnięcia teorii grafów były rezultatem

Bardziej szczegółowo

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Algorytm zachłanny pobiera po kolei elementy danych, za każdym razem wybierając taki, który wydaje się najlepszy w zakresie spełniania pewnych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca

Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca na przykładzie generatora planu zajęć Matematyka Stosowana i Informatyka Stosowana Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechnika Gdańska

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

B jest globalnym pokryciem zbioru {d} wtedy i tylko wtedy, gdy {d} zależy od B i nie istnieje B T takie, że {d} zależy od B ;

B jest globalnym pokryciem zbioru {d} wtedy i tylko wtedy, gdy {d} zależy od B i nie istnieje B T takie, że {d} zależy od B ; Algorytm LEM1 Oznaczenia i definicje: U - uniwersum, tj. zbiór obiektów; A - zbiór atrybutów warunkowych; d - atrybut decyzyjny; IND(B) = {(x, y) U U : a B a(x) = a(y)} - relacja nierozróżnialności, tj.

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI J.NAWROCKI, M. ANTCZAK, H. ĆWIEK, W. FROHMBERG, A. HOFFA, M. KIERZYNKA, S.WĄSIK ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI ZAD. 1. Narysowad graf nieskierowany. Zmodyfikowad go w taki sposób, aby stał

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

MIO - LABORATORIUM. Imię i nazwisko Rok ak. Gr. Sem. Komputer Data ... 20 / EC3 VIII LAB...

MIO - LABORATORIUM. Imię i nazwisko Rok ak. Gr. Sem. Komputer Data ... 20 / EC3 VIII LAB... MIO - LABORATORIUM Temat ćwiczenia: TSP - Problem komiwojażera Imię i nazwisko Rok ak. Gr. Sem. Komputer Data Podpis prowadzącego... 20 / EC3 VIII LAB...... Zadanie Zapoznać się z problemem komiwojażera

Bardziej szczegółowo

Ubogi kartograf Kolorowanie grafu

Ubogi kartograf Kolorowanie grafu Temat 13 Ubogi kartograf Kolorowanie grafu Streszczenie Wiele problemów optymalizacyjnych dotyczy sytuacji, gdy dwa zdarzenia nie mogą wystąpić w tym samym momencie lub gdy pewne obiekty nie mogą do siebie.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia

Bardziej szczegółowo

Sztuczna Inteligencja Projekt

Sztuczna Inteligencja Projekt Sztuczna Inteligencja Projekt Temat: Algorytm LEM2 Liczba osób realizujących projekt: 2 1. Zaimplementować algorytm LEM 2. 2. Zaimplementować klasyfikator Classif ier. 3. Za pomocą algorytmu LEM 2 wygenerować

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Zadanie do wykonania 1) Utwórz na pulpicie katalog w formacie Imię nazwisko, w którym umieść wszystkie pliki związane z

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe

ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl METODY HEURYSTYCZNE ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe opracował:

Bardziej szczegółowo

Temat 9. Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające

Temat 9. Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające Temat 9 Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające Streszczenie Nasze życie związane jest z funkcjonowaniem wielu sieci: telefonicznych, energetycznych, komputerowych i drogowych. W przypadku każdej

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH Barbara Popowska bpopowsk@math.put.poznan.pl Politechnika Poznańska http://www.put.poznan.pl/ PROGRAM REFERATU 1. WPROWADZENIE 2. GRAF JAKO MODEL

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

Scenariusz 14. Miejscowość turystyczna

Scenariusz 14. Miejscowość turystyczna Scenariusz 14. Miejscowość turystyczna Znakomitym modelem wielu problemów (np. inżynierskich) mogą być obiekty matematyczne zwane grafami. Dzięki temu abstrakcyjnemu przedstawieniu danego problemu projektowanie

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Krótka historia algorytmów

Algorytm. Krótka historia algorytmów Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Systemy przekazywania wiadomości z założeniem bezbłędności działania

Wykład 1. Systemy przekazywania wiadomości z założeniem bezbłędności działania Mariusz Juszczyk 16 marca 2010 Seminarium badawcze Wykład 1. Systemy przekazywania wiadomości z założeniem bezbłędności działania Wstęp Systemy przekazywania wiadomości wymagają wprowadzenia pewnych podstawowych

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Strategie Zespołowe (SZ) dr inż. Tomasz Białaszewski

Strategie Zespołowe (SZ) dr inż. Tomasz Białaszewski Strategie Zespołowe (SZ) dr inż. Tomasz Białaszewski Tematyka wykładu Algorytmy Inteligencji Roju (Swarm Intelligence, SI) Optymalizacja kolonią mrówek (Ant Colony Optimization, ACO) Optymalizacja rojem

Bardziej szczegółowo

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 2: Przeszukiwanie grafów cz. 2 strategie heurystyczne

LABORATORIUM 2: Przeszukiwanie grafów cz. 2 strategie heurystyczne Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl METODY HEURYSTYCZNE LABORATORIUM 2: Przeszukiwanie grafów cz. 2 strategie heurystyczne

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej)

Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej) Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej) Firma budowlana Z&Z podjęła się zadania wystawienia placu zabaw dla dzieci w terminie nie przekraczającym 20 dni. Listę czynności do wykonania zawiera

Bardziej szczegółowo

Testowanie i walidacja oprogramowania

Testowanie i walidacja oprogramowania Testowanie i walidacja oprogramowania Inżynieria oprogramowania, sem.5 cz. 5 Rok akademicki 2010/2011 Dr inż. Wojciech Koziński Przykład Obliczmy sumę: 0+1+2+...+i, i є [0,100] read(i); if((i < 0)(i >

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Słowo algorytm pochodzi od perskiego matematyka Mohammed ibn Musa al-kowarizimi (Algorismus - łacina) z IX w. ne.

Algorytm. Słowo algorytm pochodzi od perskiego matematyka Mohammed ibn Musa al-kowarizimi (Algorismus - łacina) z IX w. ne. Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 5- Klasyczne systemy kolejkowe i ich analiza dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 16,23listopada2015r. Analiza

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Nie przesuwaj ani nie pochylaj stołu, na którym wykonujesz doświadczenie.

Uwaga: Nie przesuwaj ani nie pochylaj stołu, na którym wykonujesz doświadczenie. Mając do dyspozycji 20 kartek papieru o gramaturze 80 g/m 2 i wymiarach 297mm na 210mm (format A4), 2 spinacze biurowe o masie 0,36 g każdy, nitkę, probówkę, taśmę klejącą, nożyczki, zbadaj, czy maksymalna

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania Poniższy dokument zawiera przykładowe rozwiązania zadań z I etapu I edycji konkursu (2014 r.). Rozwiązania w formie takiej jak przedstawiona niżej uzyskałyby pełną liczbę punktów

Bardziej szczegółowo

Krzyżówka oraz hasła do krzyżówki. Kalina R., Przewodnik po matematyce dla klas VII-VIII, część IV, SENS, Poznań 1997, s.20-22.

Krzyżówka oraz hasła do krzyżówki. Kalina R., Przewodnik po matematyce dla klas VII-VIII, część IV, SENS, Poznań 1997, s.20-22. Omnibus matematyczny 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: zna pojęcia matematyczne z zakresu szkoły podstawowej i gimnazjum. b) Umiejętności Uczeń: potrafi podać odpowiednie pojęcie matematyczne na podstawie

Bardziej szczegółowo

PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE

PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE Zestaw 1: T Przykład - problem domina T Czy podanym zestawem kafelków można pokryć dowolny płaski obszar zachowując odpowiedniość kolorów na styku kafelków? (dysponujemy nieograniczoną

Bardziej szczegółowo

Drzewa rozpinajace, zbiory rozłaczne, czas zamortyzowany

Drzewa rozpinajace, zbiory rozłaczne, czas zamortyzowany , 1 2 3, czas zamortyzowany zajęcia 3. Wojciech Śmietanka, Tomasz Kulczyński, Błażej Osiński rozpinajace, 1 2 3 rozpinajace Mamy graf nieskierowany, ważony, wagi większe od 0. Chcemy wybrać taki podzbiór

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1. Oprocentowanie lokat i kredytów - zna pojęcie procentu prostego i składanego; - oblicza

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie. Barbara Doncer

Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie. Barbara Doncer Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie Barbara Doncer opiekun: mgr Wiesława Kałużny Kraków, 2014r. Wstęp Jak rozstrzygnąć, kto ma większe szanse na zwycięstwo w grach losowych, jak zaplanować spacer po rynku,

Bardziej szczegółowo

EDUKACYJNE I EKONOMICZNE ASPEKTY ZASTOSOWANIA CYKLU HAMILTONA W PROJEKTOWANIU I TESTOWANIU OPROGRAMOWANIA

EDUKACYJNE I EKONOMICZNE ASPEKTY ZASTOSOWANIA CYKLU HAMILTONA W PROJEKTOWANIU I TESTOWANIU OPROGRAMOWANIA Marek Żukowicz General and Professional Education 4/2014 pp. 95-102 ISSN 2084-1469 EDUKACYJNE I EKONOMICZNE ASPEKTY ZASTOSOWANIA CYKLU HAMILTONA W PROJEKTOWANIU I TESTOWANIU OPROGRAMOWANIA EDUCATIONAL

Bardziej szczegółowo

Przestrzenne układy oporników

Przestrzenne układy oporników Przestrzenne układy oporników Bartosz Marchlewicz Tomasz Sokołowski Mateusz Zych Pod opieką prof. dr. hab. Janusza Kempy Liceum Ogólnokształcące im. marsz. S. Małachowskiego w Płocku 2 Wstęp Do podjęcia

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski. Dane w sieciach. (i inne historie) Marcin Bieńkowski

Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski. Dane w sieciach. (i inne historie) Marcin Bieńkowski Dane w sieciach (i inne historie) Marcin Bieńkowski Jak przechowywać dane w sieciach (strony WWW, bazy danych, ) tak, żeby dowolne ciągi odwołań do (części) tych obiektów mogły być obsłużone małym kosztem?

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część II Na rysunku przedstawiony jest obszar pewnego miasta wraz z zaznaczonymi szkołami podstawowymi. Wyobraźmy sobie, że mamy przydzielić

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

WZORU UŻYTKOWEGO PL 67148 Y1. UNITED PACKAGING SPÓŁKA AKCYJNA, Poznań, PL 10.09.2012 BUP 19/12 30.05.2014 WUP 05/14. MATEUSZ PŁÓCIENNIK, Poznań, PL

WZORU UŻYTKOWEGO PL 67148 Y1. UNITED PACKAGING SPÓŁKA AKCYJNA, Poznań, PL 10.09.2012 BUP 19/12 30.05.2014 WUP 05/14. MATEUSZ PŁÓCIENNIK, Poznań, PL PL 67148 Y1 RZECZPOSPOLITA POLSKA Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (12) OPIS OCHRONNY WZORU UŻYTKOWEGO (21) Numer zgłoszenia: 119796 (22) Data zgłoszenia: 01.03.2011 (19) PL (11) 67148 (13) Y1

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

Sieci Bayesa mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Sosnowiec, 2011

Sieci Bayesa mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Sosnowiec, 2011 Sieci Bayesa mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Sosnowiec, 2011 Sieć Bayesowska służy do przedstawiania zależności pomiędzy zdarzeniami bazując na rachunku prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Czym jest prąd elektryczny

Czym jest prąd elektryczny Prąd elektryczny Ruch elektronów w przewodniku Wektor gęstości prądu Przewodność elektryczna Prawo Ohma Klasyczny model przewodnictwa w metalach Zależność przewodności/oporności od temperatury dla metali,

Bardziej szczegółowo

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Wykład VII Kierunek Informatyka - semestr V Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Problem pakowania plecaka System kryptograficzny Merklego-Hellmana

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

wagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0

wagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0 Wartość liczby pozycyjnej System dziesiętny W rozdziale opiszemy pozycyjne systemy liczbowe. Wiedza ta znakomicie ułatwi nam zrozumienie sposobu przechowywania liczb w pamięci komputerów. Na pierwszy ogień

Bardziej szczegółowo