Praca doktorska. PhD thesis

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Praca doktorska. PhD thesis"

Transkrypt

1 Praca doktorska Unifikacja stałych sprzężenia oddziaływań cechowania Modelu Standardowego w niektórych jego rozszerzeniach. PhD thesis Unification of gauge coupling constants of the Standard Model in some of its extensions. mgr Paweł Pachołek Uniwersytet Warszawski, Wydział izyki, nstytut izyki Teoretycznej University of Warsaw, aculty of Physics, nstitute of Theoretical Physics Hoża 69, Warszawa, Polska Hoża 69, Warsaw, Poland Promotor Supervisor: prof. dr hab. Stefan Pokorski

2 Abstract in English: Streszczenie This PhD thesis is about some models of Grand Unification in Particle Physics. The main idea of Grand Unification is that the gauge group of the Standard Model - SU3 c SU L U Y can be embedded into larger simple group like SU5 or SO0 and all gauge fields of the Standard Model can be embedded into representations of this group. The necessary condition that has to be satisfied in every GUT Grand Unification Theory is the unification of gauge coupling constants of the Standard Model gauge group into one gauge coupling constant of the simple GUT gauge group. n this thesis, we consider the RGE Renormalization Group Equation running and unification of gauge coupling constants of the Standard Model in some of its extensions that can be embedded into some GUT theories. n the first part of the thesis, we consider some supersymmetric models with flavor symmetry that could explain the hierarchy of the fermion masses and elements of the CKM matrix. The flavor symmetry, which is usually U, U, SU or SU3, has to be spontaneously broken by VEVs Vacuum Expectation Values of special fields that are called flavons. The UV-completion of a non-renormalizable theory with flavons contain another fields that are called flavor messengers. These fields, in contrast to flavons, are charged under the Standard Model gauge group, so they have influence on the RGE running of gauge coupling constants. We investigate this influence under assumptions of perturbativity and unification of gauge coupling constants in flavor models, which can be embedded into supersymmetric GUT theories based on SU5 gauge group. n all considered models, there are flavor messengers that are under many aspects similar to Higgs fieldsh u andh d from the MSSM Minimal Supersymmetric Standard Model: they have the same charges under the Standard Model gauge group, they are embeddable into pentaplets 5 and anti-pentaplets 5 of SU5 and they couple in a similar way to Standard Model fermions through the Yukawa couplings. Such models are usually denoted by HUVC Higgs UV Completion. The main results of our investigation in this part of the thesis are lower bounds on masses of flavor messengers coming from the assumptions of perturbativity and unification of gauge coupling constants. We obtain analytic -loop results and numeric -loop results. or two very specific models with SU3 flavor symmetry, we include Yukawa coupling constants in the RGE system. The RGE equations solved numerically in these two models are -loop for gauge coupling constants and -loop for Yukawa coupling constants. We show that -loop constraints are always stronger than -loop ones in all considered models. n the second part of the thesis, we embed a theory with Z gauge boson related to extra U gauge group into a supersymmetric GUT theory based on SO0 gauge group. Two possible sequences of SO0 breaking via VEVs of appropriate Higgs fields are considered. Gauge coupling unification provides constraints on low energy values of two additional gauge coupling constants related to Z interactions with fermions. Our main purpose is to investigate in detail the freedom in these two values due to different scales of subsequent SO0 breaking and unknown threshold mass corrections in the gauge RGEs. These corrections are mainly generated by Higgs representations and can be large because of the large dimensions of these representations. To account for many free mass parameters, effective threshold mass corrections have been introduced. Analytic results that show the allowed regions of values of two additional gauge coupling constants have been derived at -loop level. or a few points in parameter-space that belong to one of these allowed regions -loop running of gauge coupling constants has been compared with more precise running, which is -loop for gauge coupling constants and -loop for Yukawa coupling constants. -loop results have been compared with experimental constraints from electroweak precision tests and from the most recent LHC Large Hadron Collider data. t appears that in the set of theories that can be embedded into GUTs with the SO0 gauge group, the lower bound on the Z mass is close to TeV Teraelectronovolts.

3 Streszczenie po polsku: Tematem tej pracy doktorskiej są pewne teorie Wielkiej Unifikacji w fizyce cząstek elementarnych. Podstawową ideą Wielkiej Unifikacji jest możliwość zanurzenia grupy symetrii cechowania Modelu Standardowego - SU3 c SU L U Y w większą, prostą grupę np. SU5 lub SO0 oraz możliwość zanurzenia wszystkich pól cechowania Modelu Standardowego w reprezentacje tej grupy. Warunkiem koniecznym, który musi być spełniony w każdej teorii Wielkiej Unifikacji ang. Grand Unification Theory - GUT jest unifikacja trzech stałych cechowania Modelu Standardowego do jednej stałej cechowania związanej z prostą grupą Wielkiej Unifikacji. W tej pracy, rozważamy biegnięcie stałych cechowania Modelu Standardowego zdeterminowane przez Równania Grupy Renormalizacji ang. Renormalization Group Equation - RGE oraz unifikację tych stałych w pewnych supersymetrycznych rozszerzeniach Modelu Standardowego, które mogą zostać zanurzone w teorie Wielkiej Unifikacji. W pierwszej części pracy, rozważamy pewne supersymetryczne modele z symetrią zapachową, która może wyjaśnić hierarchię mas fermionów i elementów macierzy CKM Cabibbo- Kobayashi-Maskawa. Symetria zapachowa, najczęściej zadana przez grupę U, U, SU albo SU3, musi zostać spontanicznie złamana przez wartości próżniowe ang. Vacuum Expectation Values - VEVs specjalnych pół nazywanych flawonami ang. flavons. Ultrafioletowe domknięcie ang. Ultra-Violet completion - UV-completion nierenormalizowalnej teorii z flawonami zawiera jeszcze inne pola nazywane zapachowymi messengerami ang. flavour messengers. Pola te, w przeciwieństwie do flawonów, są naładowane względem grupy Modelu Standardowego, więc mają wpływ na biegnięcie stałych cechowania zgodnie z Równaniami Grupy Renormalizacji. Badamy ten wpływ, zakładając przy tym perturbacyjność i unifikację stałych cechowania w tych modelach z symetrią zapachową, które mogą zostać zanurzone w supersymetryczne teorie Wielkiej Unifikacji oparte na grupie symetrii cechowania SU5. We wszystkich rozważanych modelach, występują zapachowe messengery, które pod wieloma względami przypominają pola Higgsa H u i H d z MSSMu ang. Minimal Supersymmetric Standard Model: mają takie same ładunki względem grupy Modelu Standardowego, są zanurzalne w pentaplety 5 i anty-pentaplety 5 grupy SU5 oraz sprzęgają się w podobny sposób do fermionów Modelu Standardowego poprzez sprzężenia Yukawy. Takie modele są zwykle oznaczane skrótem HUVC ang. Higgs Ultra-Violet Completion. Podstawowe wyniki naszych rozważań z tej części pracy to dolne ograniczenia na masy zapachowych messengerów, pochodzące z zakładanej perturbacyjności i unifikacji stałych cechowania. Otrzymujemy zarówno analityczne wyniki -pętlowe jak też numeryczne wyniki -pętlowe. Dla dwóch konkretnych modeli z symetrią zapachową SU3, uwzględniamy w układzie Równań Grupy Renormalizacji stałe sprzężenia Yukawy. Równania te, rozwiązywane numerycznie w owych dwóch modelach, są równaniami -pętlowymi dla stałych cechowania i równaniami -pętlowymi dla stałych sprzężenia Yukawy. Pokazujemy, że -pętlowe ograniczenia są zawsze silniejsze niż ograniczenia -pętlowe we wszystkich rozważanych modelach. W drugiej części pracy 3, zanurzamy teorię z bozonem cechowania Z związanym z dodatkową grupą symetrii cechowania U w supersymetryczną teorią Wielkiej Unifikacji opartą na grupie symetrii cechowania SO0. Rozważamy dwa możliwe schematy spontanicznego łamania grupy SO0 przez wartości próżniowe odpowiednich pól Higgsa. Unifikacja stałych cechowania dostarcza ograniczeń na niskoenergetyczne wartości dwóch dodatkowych stałych cechowania związanych z oddziaływaniem bozonu Z z fermionami. Naszym głównym celem jest szczegółowe zbadanie swobody wartości tych dwóch stałych spowodowanej różnymi skalami kilkustopniowego łamania grupy SO0 i nieznanymi masowymi poprawkami progowymi w Równaniach Grupy Renormalizacji dla stałych cechowania. Poprawki te są generowane przez m. in. reprezentacje Higgsa i mogą być duże z powodu dużej wymiarowości tych reprezentacji. Aby uwzględnić wiele różnych wolnych parametrów, wprowadzamy efektywne masowe poprawki progowe. Wyniki, które pokazują dozwolone obszary wartości dwóch dodatkowych stałych cechowania zostały uzyskane analitycznie w przybliżeniu -pętlowym. Dla kilku punktów w przestrzeni parametrów, które należą do jednego z tych dozwolonych obszarów, -pętlowe biegnięcie stałych cechowania zostało porównane z 3

4 bardziej precyzyjnym biegnięciem, które jest -pętlowe dla stałych cechowania i -pętlowe dla stałych sprzężenia Yukawy. Wyniki -pętlowe zostały porównane z ograniczeniami doświadczalnymi pochodzącymi z precyzyjnych pomiarów elektrosłabych oraz z najnowszych danych z akceleratora LHC ang. Large Hadron Collider. Okazuje się, że w zbiorze teorii, które mogą zostać zanurzone w teorie Wielkiej Unifikacji z grupą symetrii cechowania SO0, dolne ograniczenie na masę bozonu Z jest zbliżone do TeV Teraelektronowolty. 4

5 Spis treści Wprowadzenie 6. Model Standardowy Wielka Unifikacja Supersymetria Symetrie zapachowe w teoriach Wielkiej Unifikacji z grupą SU5 0. Wprowadzenie do rozważanych modeli Model HUVC Perturbacyjność w modelu HUVC Unifikacja w modelu HUVC Model HUVC Perturbacyjność i unifikacja w modelu HUVC Uogólnienie - Modele HUVCN Podsumowanie Zanurzenie teorii z bozonem Z w teorie Wielkiej Unifikacji z grupą SO Modele z grupą U N - formalizm i parametryzacja Związek modeli Z z grupą Wielkiej Unifikacji SO Analityczne, -pętlowe biegnięcie stałych cechowania Prosty schemat odprzęgania pętlowe Równania Grupy Renormalizacji z rozszczepieniem mas ,5-pętlowe biegnięcie stałych cechowania i Yukawy w Przypadku B Porównanie z ograniczeniami doświadczalnymi Podsumowanie Całościowe podsumowanie 66 5 Podziękowania 67 A Wyprowadzenie -pętlowych Równań Grupy Renormalizacji 67 A. Oznaczenia A. Użyte wzory A.3 Przypadek niesupersymetryczny A.3. Wyznaczenie kontrczłonu Z A.3. Wyznaczenie kontrczłonu Z A A.3.3 Wyznaczenie kontrczłonu Z3 A A.3.4 Wyznaczenie kontrczłonu Z 3ab A.3.5 Wyznaczenie funkcji βg A oraz βg ab A.4 Przypadek supersymetryczny A.4. Wyznaczenie kontrczłonu Z A.4. Wyznaczenie kontrczłonu Z A A.4.3 Wyznaczenie kontrczłonu Z3 A A.4.4 Wyznaczenie funkcji βg A oraz βg ab B Równania grupy renormalizacji dla więcej niż jednej grupy cechowania U 93 C Tabele reprezentacji pól kwantowych 95 C. Tabele reprezentacji pól kwantowych w części C. Tabele reprezentacji pól kwantowych w części

6 D Superpotencjały i człony masowe 03 D. Superpotencjały w części D. Superpotencjały i człony masowe proporcjonalne do µ 0 w części E Ograniczenia doświadczalne z CMS 04 Wprowadzenie izyka cząstek elementarnych zajmuje się podstawowymi składnikami materii oraz oddziaływaniami pomiędzy nimi. Jest ona oparta na relatywistycznej, Kwantowej Teorii Pola, w której podstawowymi obiektami są pola kwantowe [], [], [5]. Cząstki elementarne są pewnymi szczególnymi stanami pól kwantowych. Wśród oddziaływań pomiędzy cząstkami polami kwantowymi, które można opisać za pomocą odpowiedniego lagranżjanu, szczególną rolę odgrywają oddziaływania związane z pewną lokalną symetrią lagranżjanu nazywaną symetrią cechowania [], [3], [5]. Jest ona wyrażona przez odpowiednią grupę Liego nazywaną grupą symetrii cechowania. Wszystkie pola kwantowe występują w reprezentacjach tej grupy. Niezmienniczość lagranżjanu względem symetrii cechowania wymaga istnienia pewnych oddziaływań wraz z polami kwantowymi będącymi nośnikami tych oddziaływań. Oddziaływania te są nazywane oddziaływaniami cechowania, a ich nośniki - bozonami cechowania. Bozony cechowania występują zawsze w reprezentacjach dołączonych odpowiednich prostych podgrup grupy symetrii cechowania. W niniejszej, wstępnej części pracy, zostaną przedstawione podstawowe teorie i idee, które zdominowały współczesną fizykę cząstek elementarnych: Model Standardowy, Wielka Unifikacja i Supersymetria. Następnie, w dwóch kolejnych częściach pracy, zostaną przedstawione nowe wyniki uzyskane w konkretnych teoriach, będących rozszerzeniami Modelu Standardowego. Wszystkie rozważane teorie są oparte na Supersymetrii, ale główną motywacją do rozważenia ich w niniejszej pracy jest idea Wielkiej Unifikacji.. Model Standardowy W fizyce cząstek elementarnych od ponad 30 lat podstawową teorią opisującą znane cząstki i oddziaływania pomiędzy nimi jest tzw. Model Standardowy. Niniejszy rozdział pracy z konieczności koncentruje się tylko na tych aspektach Modelu Standardowego, które są istotne dla dwóch głównych części pracy. Bardziej szczegółowe informacje na temat tej teorii można znaleźć w wielu książkach takich jak [], [4], [5]. Jednym z fundamentów Modelu Standardowego jest grupa symetrii cechowania SU3 c SU L U Y. Jej prosta podgrupa SU3 c jest związana z oddziaływaniem cechowania, które jest nazywane oddziaływaniem silnym. Podgrupa SU L U Y opisuje natomiast dwa inne oddziaływania cechowania: oddziaływanie elektromagnetyczne i oddziaływanie słabe, które jest przyczyną m.in. rozpadów promieniotwórczych β + i β. Z prostymi podgrupami grupy Modelu Standardowego -SU3 c,su L iu Y są związane stałe sprzężenia zwykle oznaczane odpowiednio przez g 3, g i g. Model Standardowy zawiera następujące pola kwantowe, będące reprezentacjami grupy SU3 c SU L U Y. ermiony Weyla lewo-chiralne: Q i [3,] 6, u Ri [ 3, ] 3, d Ri [ 3, ] 3, Li [,], e Ri [,], gdzie i,,3. Wektorowe bozony cechowania: g [8,]0, W [,3]0, B [,]0 3. Skalarny bozon Higgsa: H [,] 6

7 ermiony występują w trzech generacjach indeksowanych literą i. Gwiazdka, oznaczająca sprzężenie zespolone, została użyta aby przedstawić wszystkie fermiony jako lewo-chiralne. Taka konwencja okaże się przydatna w następnym rozdziale. Dolny prawy indeks R oznacza, że dane pole jest prawo-chiralne bez gwiazdki. Pierwsza liczba w każdym z powyższych nawiasów kwadratowych oznacza wymiar danej reprezentacji względem podgrupy SU3 c, druga liczba oznacza wymiar reprezentacji względem podgrupy SU L, a liczba w nawiasie okrągłym to słaby hiperładunek, czyli wartość własna generatora Y z abelowej podgrupy U Y. Pola Q i, u i R oraz d i R są nazywane polami kwarkowymi, natomiast pola Li i e i R - polami leptonowymi. Cząstki, będące stanami tych pól, są nazywane odpowiednio kwarkami i leptonami. Kwarki podlegają oddziaływaniu silnemu, przenoszonemu przez gluony - g. Oddziaływanie to wiąże kwarki wewnątrz hadronów, nie dopuszczając do pojawienia się kwarków swobodnych. Leptony są singletami grupy SU3 c, więc nie podlegają bezpośrednio oddziaływaniu silnemu i mogą występować jako cząstki swobodne. Bozony cechowania W i B są nośnikami oddziaływań elektromagnetycznych i słabych. Lagranżjan Modelu Standardowego - L SM jest dość skomplikowany i wygodnie jest podzielić go na kilka części: L SM = L gauge kin +L ferm +L Higgs +L Yukawa Część L gauge kin to wyrazy kinetyczne dla bozonów cechowania. Wprowadźmy następujące operatory: µν B = µ B ν ν B µ G α W µν = µ W α ν ν W α µ g f αβγ W β µw γ ν 3 G α gµν = µ g α ν ν g α µ g 3 f αβγ g β µg γ ν 4 W powyższych wzorach indeksy µ,ν to indeksy lorentzowskie, a indeksy α,β,γ numerują generatory odpowiednich prostych podgrup grupy symetrii cechowania oraz związane z nimi bozony cechowania. Wówczas część lagranżjanu L gauge kin można zapisać w następujący sposób: L gauge kin = 4 µν B Bµν 4 3 α= G αµν W Gα W µν 4 8 α= G αµν g G α gµν 5 Niezmienniczość względem symetrii cechowania członów L ferm i L Higgs wymaga wprowadzenia pochodnej kowariantnej D µ, która w Modelu Standardowym jest wyrażona następującym wzorem: 3 8 D µ = µ i Yg B µ + T α g Wµ α + J α g 3 gµ α 6 α= Symbole Y, T α i J α oznaczają generatory grup odpowiednio U Y, SU L i SU3 c występujące w reprezentacji pola, na które działa pochodna kowariantna dla singletów danej grupy odpowiednie generatory są równe zeru. Człon L ferm można zapisać w postaci: α= L ferm = i Ψ γ µ D µ Ψ 7 We wzorze 7 indeks przebiega po piętnastu fermionowych reprezentacjach grupy Modelu Standardowego - Q i, u Ri, d Ri, L i oraz e Ri. Pole Ψ jest reprezentacją lewo-chiralnych spinorów Weyla zapisanych w notacji Diraca. Człon L Higgs można zapisać w postaci: L Higgs = D µ H + D µ H λ H H+ H +m HH + H 8 7

8 Człon L Yukawa wygląda następująco: L Yukawa = Y ij u iτ H T Q i u Rj Y ij d H+ Q i d Rj Y ij e H + L i e Rj + h.c. 9 Stałe sprzężenia Yu ij, Y ij d i Y e ij to stałe sprzężenia Yukawy dla Modelu Standardowego, występujące w trzech generacyjnych macierzach 3 3. W ogólności każde sprzężenie dwóch fermionów z jednym skalarem jest nazywane sprzężeniem Yukawy, a każda występująca w nim stała sprzężenia - stałą Yukawy. Podsumowując, w Modelu Standardowym, podobnie jak w teoriach będących jego rozszerzeniami, mamy trzy podstawowe renormalizowalne rodzaje oddziaływań sprzężeń:. Sprzężenia cechowania. Odpowiadające im stałe sprzężenia będą oznaczane ogólnie literą g. W Modelu Standardowym mamy trzy takie stałe - g 3, g i g.. Sprzężenia Yukawy. Odpowiadające im stałe sprzężenia będą oznaczane ogólnie literą Y. W Modelu Standardowym mamy trzy macierze takich stałych - Yu ij, Y ij d i Ye ij. 3. Sprzężenia 4-skalarne. Odpowiadające im stałe sprzężenia będą oznaczane ogólnie literą λ. W Modelu Standardowym mamy tylko jedną taką stałą - λ H. Jednym z najbardziej istotnych aspektów Modelu Standardowego jest mechanizm Brouta- Englerta-Higgsa, który w dalszej części pracy jest nazywany w skrócie mechanizmem Higgsa. Pole Higgsa H uzyskuje wartość próżniową w minimum potencjału V H = λ H H + H m H H+ H, będącego częścią L Higgs 8. Można łatwo sprawdzić, że minimalizacja tego potencjału prowadzi do następującego wyniku: H + H = m H = v 0 λ H W powyższym wzorze nawias... oznacza wartość próżniową danego pola. Pole H, będące dubletem grupy SU L, można rozpisać na składowe w następujący sposób: [ ] [ ] H+ H +ih H = = H 0 H 3 +ih 4 Pola H, H, H 3 oraz H 4 to pojedyncze, rzeczywiste pola skalarne. Potencjał V H, zapisany jako funkcja tych czterech pól, posiada globalną symetrię SU L SU R. Uzyskiwana wartość próżniowa v jest standardowo umieszczana w polu H 3 - rozpoczynając od dowolnego rozkładu tej wartości pomiędzy pola H, H, H 3 i H 4 można użyć transformacji grupy SU L do przeniesienia jej w całości do pola H 3, które można wówczas zapisać w następujący sposób: H 3 = v +h Rzeczywiste pole h jest fizycznym bozonem Higgsa, który jest identyfikowany z cząstką o masie ok. 5 GeV odkrytą w CERN w 0 roku [33], [34]. Globalna symetria SU L SU R zostaje złamana do symetrii SU v, nazywanej symetrią Custodial, która zachowuje postać H 3 daną wzorem. Trzy pozostałe pola - H, H i H 4 oraz ich kombinacje liniowe są bezmasowe i są nazywane bozonami Goldstone a. Mechanizm Higgsa polega na eliminacji bozonów Goldstona za pomocą lokalnej transformacji cechowania SU L. Trzy stopnie swobody odpowiadające tym bozonom stają się podłużnymi składowymi polaryzacji trzech spośród czterech bozonów cechowania grupy SU L U Y. Te trzy bozony cechowania kombinacje liniowe bozonów B, W, W i W 3 uzyskują w ten sposób masy proporcjonalne do wartości próżniowej v. Grupa cechowania SU L U Y posiada podgrupę zawierającą transformacje, które nie powodują ponownego wygenerowania usuniętych bozonów Goldstone a. Jest ona zwykle oznaczana przez 8

9 U EM lub U Q. Generator tej grupy - Q jest generatorem ładunku elektromagnetycznego wartość własna tego generatora dla danego pola jest ładunkiem elektromagnetycznym tego pola. Według skrótowego i powszechnie stosowanego nazewnictwa grupa symetrii cechowania SU L U Y jest spontanicznie łamana do grupy symetrii cechowania U Q przez wartość próżniową pola Higgsa - v 46 GeV. Generator grupy U Q jest sumą dwóch generatorów grupy SU L U Y. Q = T 3 +Y 3 T 3 jest generatorem grupy SU L, który ma postać diagonalną w działaniu na pole H wyrażone wzorem. Bozon cechowania związany z tym generatorem - W 3 oraz bozon B tworzą dwie kombinacje liniowe, z których jedna jest bezmasowym fotonem oznaczanym przez A Q lub γ, a druga jest bozonem Z 0 o masie v g +g, który jest identyfikowany z fizycznym bozonem Z o masie = 9.876±0.00 GeV [30]. Zależność pomiędzy pierwotnymi bozonami B i W 3, a bozonami A Q i Z 0 wygląda następująco: [ AQ Z 0 ] [ cosθw sinθ = W sinθ W cosθ W ] [ B W 3 Kąt θ W jest nazywany kątem Weinberga i jest on określony przez następujące wzory: sinθ W = g g +g cosθ W = ] 4 g g +g 5 Oprócz bozonu Z 0 masę uzyskują również bozony W + = W + iw oraz W = W iw. Jest ona równa v g = ± 0.05 GeV [30]. Masywne bozony Z 0, W + i W są nośnikami oddziaływania słabego, podczas gdy bezmasowy foton jest nośnikiem oddziaływania elektromagnetycznego. Mechanizm Higgsa jest również odpowiedzialny za nadawanie mas fermionom poprzez sprzężenia Yukawy zawarte w L Yukawa. ermionowe dublety grupy SU L można rozpisać na składowe podobnie, jak pole H: [ ] [ ] uli vli Q i = L i = 6 Wówczas w L Yukawa mamy następujące efektywne człony masowe fermionów: L Yukawa L mas ferm = Y ij u d Li e Li v u Li u Rj Y ij v d Li d Rj Y ij v e Li e Rj + h.c. 7 Jak widać, pola v Li nazywane neutrinami pozostają bezmasowe. Jest to jedno z nielicznych błędnych przewidywań Modelu Standardowego. W części 3 Model Standardowy jest rozszerzony przez teorie, które uwzględniają obserwowane, niezerowe masy neutrin. W celu uzyskania pól fermionowych odpowiadających fizycznym cząstkom należy zdiagonalizować trzy efektywne macierze masy - Yu ij v, Y ij v d oraz Ye ij v poprzez unitarne obroty pól fermionowych w przestrzeni generacyjnej. Obracając w ten sposób całe reprezentacje początkowej grupy symetrii cechowania - Q i, u i R, di R, Li i e i R w szczególności obracając u Li tak samo, jak d Li oraz v Li tak samo, jak e Li można zdiagonalizować tylko dwie spośród trzech efektywnych fermionowych macierzy masy - Yu ij v i Ye ij v albo Y ij v d i Ye ij v. Nie można natomiast zdiagonalizować jednocześnie Yu ij v i Y ij v d. Aby to osiągnąć, trzeba "rozciąć" multiplety Q i, czyli obrócić u Li inaczej niż d Li. Skutkiem ubocznym takiego przejścia do bazy fizycznych pól fermionowych o dobrze zdefiniowanej masie jest pojawienie się dodatkowej macierzy w sprzężeniach fizycznych fermionów do bozonów W ±. Macierz ta jest nazywana macierzą Cabbibo-Kobayashi-Maskawy w skrócie CKM i jest zwykle oznaczana symbolem V CKM. Zapiszmy obroty pól u Li i d Li w następujący sposób: 9 d e

10 u Li = U Lij u Lj d Li = D Lij d Lj 8 Pola u Lj oraz d Lj to lewo-chiralne składowe fizycznych fermionów o ustalonej masie. Wówczas macierz V CKM jest zdefiniowana następującym wzorem: V CKMij = U + Lik D Lkj 9 Choć Model Standardowy odniósł duży sukces i przeszedł pomyślnie wiele weryfikacji eksperymentalnych, jest wiele powodów, dla których fizycy cząstek formułują inne teorie. Jedną z podstawowych motywacji jest omawiana w tej pracy unifikacja oddziaływań. Oprócz znanych oddziaływań, zawartych w Modelu Standardowym, w niektórych teoriach występują też inne oddziaływania, często jeszcze słabsze niż oddziaływanie słabe. Jednym z celów niniejszej pracy jest szczegółowe zbadanie kilku takich teorii z użyciem niestandardowej metody wyznaczania dozwolonego obszaru w przestrzeni parametrów. Taki obszar można porównać z ograniczeniami doświadczalnymi, co w niniejszej pracy również zostało uczynione.. Wielka Unifikacja Skoro Model Standardowy zawiera potwierdzone doświadczalnie łamanie symetrii cechowania, to można przypuszczać, że w przyrodzie istnieją jeszcze inne większe symetrie cechowania, które również są złamane. Dotychczasowy brak eksperymentalnej weryfikacji istnienia takich złamanych symetrii można wyjaśnić zakładając, że skala energii, związana z łamaniem tych symetrii jest istotnie większa niż 00 GeV - skala łamania symetrii elektrosłabej. W takim przypadku dodatkowe symetrie cechowania mogą znajdować się poza zasięgiem dotychczas przeprowadzonych eksperymentów. Teorie Wielkiej Unifikacji zakładają, że grupa Modelu Standardowego - SU3 c SU L U Y jest pozostałością po złamaniu większej grupy - G GUT tak, jak grupa SU3 c U Q jest pozostałością po złamaniu grupy Modelu Standardowego. Szczególnie ciekawa jest sytuacja, w której grupa G GUT jest grupą prostą, ponieważ mamy wtedy tylko jedną fundamentalną stałą cechowania. Oczywiście istnieje nieskończenie wiele grup prostych, zawierających grupę Modelu Standardowego, więc większość konkretnych teorii Wielkiej Unifikacji jest oparta na kilku najmniejszych o najmniejszych wymiarach i rzędach. Grupa Modelu Standardowego ma rząd równy 4, więc jest to też najmniejszy możliwy rząd grupy G GUT. stnieje tylko jedna prosta G GUT o rzędzie 4 - SU5. Pierwsza teoria Wielkiej Unifikacji została sformułowana przez Georgi a i Glashow a w roku 974 [6]. Była ona oparta na grupie SU5 i zawierała możliwie najmniejszą ilość pól kwantowych potrzebnych do odtworzenia Modelu Standardowego jako niskoenergetycznej teorii efektywnej. [ ] d. ermiony: 5 i = Ri, 0 i = L i u Ri Q i e Ri. Wektorowe bozony cechowania: 4 = 3. Skalary: 5 H = [ T H ], 4 H = g H X H X + H W H B H g X X + W B 0

11 Liczby po lewych stronach powyższych równości oznaczają reprezentacje względem grupy SU5. Po prawych stronach tych równości napisano ich rozkład na reprezentacje grupy Modelu Standardowego. Wśród nich są nowe reprezentacje, nie występujące w samym Modelu Standardowym:. Bozony cechowania spoza Modelu Standardowego: X + [ 3,] 5 6, X [3,] 5 6. Skalary spoza Modelu Standardowego: T [3,] 3, gh [8,]0, X H [3,] 5 6, X + H [ 3,] 5 6, WH [,3]0, B H [,]0 Skalar B H uzyskuje wartość próżniową, która łamie grupę SU5 do grupy Modelu Standardowego i nadaje masy bozonom cechowania X + i X. Wartość ta jest wiele rzędów wielkości większa niż wartość próżniowa v z Modelu Standardowego. Pola X H i X+ H są bozonami Goldstone a, a ich stopnie swobody poprzez mechanizm Higgsa stają się podłużnymi polaryzacjami bozonów cechowania odpowiednio X i X +. Unifikacja reprezentacji grupy Modelu Standardowego do reprezentacji grupy SU5 wymaga przeskalowania słabego hiperładunku Y. Jednym z pierwotnych generatorów grupy SU5 jest 3 bowiem generator Ŷ = 5Y. Analogicznie można wprowadzić odpowiednią stałą sprzężenia - 5 g = 3 g 3. Unikamy w ten sposób wprowadzenia liczby 5 do Lagranżjanu, ponieważ g Y = g Ŷ. Jednym z podstawowych warunków unifikacji bezpośrednio do jednej grupy prostej jest istnienie skali energii, przy której trzy stałe sprzężenia g 3, g i g osiągają tę samą wartość. Wartość ta może być wówczas interpretowana jako wartość pojedynczej stałej cechowania związanej z grupą G GUT. Warto zauważyć, że to stała g, a nie g powinna być unifikowana ze stałymi g i g 3. Skala energii, przy której dochodzi do takiej unifikacji stałych cechowania jest potencjalną skalą łamania symetrii G GUT. Niestety w teorii Georgi a i Glashow a taka skala nie istnieje. Przy skali ok GeV tę samą wartość osiągają stałe g i g, ale stała g 3 jest istotnie większa. W teorii tej istnieje tylko jeden swobodny parametr, który może mieć istotny wpływ na biegnięcie stałych cechowania. Jest nim masa trypletu T - M T. Pozostałe pola spoza Modelu Standardowego uczestniczą w procesie łamania symetrii SU5, więc ich masy powinny być zbliżone do ewentualnej skali unifikacji. W przeciwieństwie do nich tryplet T może być istotnie lżejszy, generując poprawki progowe, których nie można zaniedbać przy rozważaniu biegnięcia stałych g, g i g 3 od skali w górę aż do ewentualnej skali unifikacji tych stałych lub do skali, przy której g = g w przypadku braku takiej unifikacji. Można by zatem spróbować dobrać wartość M T w taki sposób, żeby doprowadzić do unifikacji wszystkich trzech stałych cechowania przy tej samej skali. Aby sprawdzić, czy jest to możliwe, należy najpierw ustalić postać Równań Grupy Renormalizacji ang. Renormalization Group Equation - RGE dla Modelu Standardowego. Ogólna postać Równań Grupy Renormalizacji dla stałych cechowania została podana w Appendiksie B. Appendiks A zawiera wyprowadzenie tych równań w przybliżeniu -pętlowym. Równania mają prostszą postać, gdy stałe g A dla A {,,3} zostają zastąpione stałymi α A = g A 4π. W przybliżeniu -pętlowym można wówczas rozwiązać owe równania analitycznie: α A µ x = α A µ y b A π ln µ x i µ y to dwie skale energii takie, że µ x > µ y. Parametry b zostały szczegółowo zdefiniowane w Appendiksie B. Zależą one od indeksów Dynkina uwzględnionych pól kwantowych. Z tego powodu rozwiązanie 0 jest poprawne tylko wtedy, gdy w danej teorii nie ma pól z fizycznymi masami większymi niż µ y, ale mniejszymi niż µ x. Takie pola, odcałkowane dla skal energii mniejszych od ich fizycznych mas, zmieniałyby wartości parametrów b i w ten sposób generowałyby poprawki progowe. µx µ y 0

12 W Modelu Standardowym mamy następujące wartości parametrów b oznaczane dodatkowym górnym indeksem SM - angielski skrót oznaczający Model Standardowy: b SM = 4 0 b SM = 9 6 b SM 3 = 7 Będziemy potrzebowali również warunków początkowych dla stałych cechowania α A. Standardową skalą energii, dla której podawane są początkowe wartości różnych stałych Modelu Standardowego w celu badania ich wysokoenergetycznego biegnięcia, jest masa bozonu Z - = 9.876±0.00 GeV. W pracy [30] podano wartości α 3, sin θ W oraz α EM = α sin θ W przy skali. Można z nich łatwo obliczyć wartości, które będą bezpośrednio używane w całej pracy: α = ± α = ± α 3 = 0.84± Załóżmy teraz, że skalarny tryplet T ma masę M T większą niż i mniejszą niż oczekiwana skala unifikacji, którą będziemy oznaczać symbolemµ. Wówczas wzór 0 zostaje zmodyfikowany przez poprawkę progową pochodzącą od tego trypletu, jeżeli podstawimy µ y = i µ x = µ : α5 µ = α A µ = α A bµ A π ln µ + bt A π ln MT α 5 jest zunifikowaną stałą cechowania grupy SU5. b T A to wkład do parametru b A pochodzący od trypletu T. b µ A to wartość parametru b A przy skali µ, a zatem uwzględniająca tryplet T: b µ A = bsm A +bt A. Wartości bt A są następujące: b T = b T = 0 b T 3 = 45 6 Można teraz wstawić wartości parametrów b do wzoru 3 otrzymując układ równań: α5 µ = α µ = α 37 80π ln µ + 90π ln MT α 5 µ = α µ = α + 9 π ln α5 µ = α3 µ = α3 + 4 π ln µ µ + π ln Rozwiązanie powyższego układu względem M T jest następujące: [ π 958 M T = exp 75 α 990 α 968 ] α 3 MT Podstawiając wartości ze wzoru otrzymuję wynik, który z oczywistych względów jest nie do zaakceptowania: M T = GeV. Otrzymana wartość jest wielokrotnie większa nawet od skali Plancka - M Pl = GeV [30], więc tym bardziej od ewentualnej skali unifikacji µ. Efekty -pętlowe są zbyt małe, aby istotnie poprawić sytuację. Na Wykresie pokazano otrzymane numerycznie -pętlowe biegnięcie stałych cechowania dla M T = 0 0 GeV przy zaniedbaniu stałych Yukawy oraz stałych sprzężeń 4-skalarnych. Rozwiązane numerycznie Równania Grupy Renormalizacji zostały otrzymane ze wzorów podanych w Appendiksie B. Poniżej skali M T = 0 0 rozwiązywane równania nie uwzględniają trypletu T. Wartości stałych cechowania przy skali M T, otrzymane z numerycznego rozwiązania w przedziale skal [,M T ] są w naturalny sposób warunkami początkowymi dla rozwiązania w przedziale skal [M T,µ ]. Skala µ jest formalnie zdefiniowana jako skala, przy której α = α

13 Rysunek : -pętlowe biegnięcie stałych cechowania w teorii Georgi a i Glashow a. Lewa pionowa linia oznacza przyjętą wartość masy trypletu T - M T = 0 0 GeV. Stałe α i α uzyskują tę samą wartość przy skali GeV, która jest oznaczona środkową pionową linią. Prawa pionowa linia pokazuje wartość Masy Plancka - M Pl. Czerwona linia pokazuje, jakie byłoby biegnięcie zunifikowanej stałej α 5, gdyby doszło do unifikacji. 3

14 Zamiast ograniczyć się do stwierdzenia, że przy skali µ nie dochodzi do unifikacji, wprowadzimy parametr, który będzie miarą odchylenia od unifikacji. Będzie on oznaczany symbolem D, a jego definicja jest następująca: D = α 3µ α µ α 3 µ +α µ 9 W teorii Georgi a i Glashow a dla M T = 0 0 GeV otrzymujemy -pętlowo wartość D = Można oczywiście zmieniać wartość D poprzez zmianę wartości M T, ale w bardzo niewielkim zakresie - nie można otrzymać wartości D mniejszej niż dla M T = µ oraz większej niż dla M T =. Tak mała czułość parametru D na wartość M T jest pośrednio widoczna na wykresie. Przy skali M T dochodzi do skokowej zmiany nachylenia linii przedstawiających wartości stałych α i α 3. Zmiana ta jest jednak zbyt mała, aby można ją było zobaczyć na wykresie. Wniosek jest taki, że parametry b T A mające dominujący wpływ na zmianę biegnięcia stałych cechowania są zbyt małe, aby tryplet M T o dopuszczalnej masie mógł doprowadzić do unifikacji stałych cechowania. Poza tym zarówno masa trypletu T, jak i skala unifikacji µ, którą można utożsamić z masą ciężkich bozonów cechowania X, są ograniczone przez efekt, który do tej pory nie był brany pod uwagę - rozpad swobodnego protonu [7]. Według Modelu Standardowego taki proces jest niemożliwy, ale oddziaływania fermionów Modelu Standardowego z bozonami cechowania X umożliwiają jego zajście, podobnie jak sprzężenia Yukawy standardowych fermionów z trypletem T. Średni czas życia protonu musi być wielokrotnie większy niż wiek wszechświata i wynosić co najmniej. 0 9 lat [30]. Rozpad protonu nie został jeszcze zaobserwowany. Dotychczasowe eksperymenty pozwalają ustalić dolne ograniczenie na czas życia protonu i górne ograniczenia na poszczególne szerokości jego rozpadu [30]. Ograniczenia te są z kolei źródłem dolnych ograniczeń na wartość skali unifikacji µ oraz masę trypletu T. W niniejszej pracy ograniczenia wynikające z rozpadu protonu nie będą szczegółowo rozpatrywane. Zostaną uwzględnione jedynie w przybliżeniu poprzez założenie, że bozony cechowania i inne cząstki, które mogą powodować rozpad protonu mają masy większe niż ok. 0 6 GeV. Pokazaliśmy, że pojedynczy tryplet T nie jest w stanie doprowadzić do unifikacji stałych cechowania. Można jednak rozważać teorie, w których dodatkowych pól o masach w przedziale [,µ ] jest więcej i dzięki temu można uzyskać unifikację stałych cechowania. W następnym rozdziale wprowadzimy supersymetrię, która w naturalny sposób przewiduje istnienie takich pól oraz pozwala rozwiązać pewien istotny problem Modelu Standardowego nazywany Problemem Hierarchii..3 Supersymetria Niniejszy rozdział pracy jest dość wybiórczym wprowadzeniem do Supersymetrii. Bardziej szczegółowe informacje na jej temat m in. na temat supersymetrycznego rozwiązania Problemu Hierarchii, łamania Supersymetrii, transportu tego łamania do sektora widzialnego oraz supergrawitacji można znaleźć w wielu książkach takich, jak [7], [8] oraz w pracy [9]. Supersymetria charakteryzuje się tym, że każdemu fermionowi odpowiada bozon o identycznej masie i ładunkach grupy symetrii cechowania. Taka sytuacja nie ma miejsca w obserwowanym świecie, więc w realistycznych teoriach supersymetria jest spontanicznie łamana poniżej pewnej dużej skali energii. Matematycznym fundamentem supersymetrii jest struktura zwana superprzestrzenią. Superprzestrzeń jest sumą prostą zwykłej czasoprzestrzeni czterowymiarowej oraz czterowymiarowej algebry zespolonych, antykomutujących zmiennych Grassmanowskich, które będziemy ogólnie oznaczać symbolem θ lub η. Antyprzemienne działanie w tej algebrze będziemy oznaczać tak 4

15 samo, jak mnożenie: θ θ = θ θ, a w szczególności: θ = θ θ = 0 30 Cztery liniowo niezależne zmienne Grassmanowskie są pogrupowane w dwa dublety, które będziemy oznaczać symbolami θ α, gdzie α {,} oraz θ α, gdzie α {,}. Można łatwo zauważyć, że dublety te spełniają następujące relacje: { θ α,θ β} = { θ α,θ β } = { θ α,θ β } = 0, gdzie {θ,θ } = θ θ +θ θ 3 Superprzestrzeń może być zatem parametryzowana przez następujący zbiór zmiennych: { } x µ,θ α,θ β 3 x µ jest wektorem w zwykłej czasoprzestrzeni µ {,,3,4}. Aby opisywać transformacje superprzestrzeni należy rozszerzyć algebrę Poincare go do tzw. superalgebry. Oprócz standardowych generatorów algebry Poincare go występują w niej również generatory, które będziemy oznaczać symbolami Q α oraz Q β. Generatory te mają pewne własności spinorów Weila. Można też używać odpowiednika spinora Diraca: ] Q r = [ Qα Q α Superalgebra jest jedną z tzw. algebr z gradacją i jest dana następującymi wzorami: { Qr,Q s } = γ µ rs P µ [Q r,p µ ] = 0 [Q r,m µν ] = iσ µν rsq s 34 Do wzorów 34 należy jeszcze dodać standardowe relacje z algebry Poincare go. Ostatni z tych wzorów uwidacznia wspomnianą wyżej analogię pomiędzy Q r, a spinorem Diraca. Aby uniknąć skomplikowanych wzorów, transformacja superprzestrzeni zostanie pokazana na przykładzie tzw. supertranslacji, czyli bez udziału obrotów generowanych przez M µν. Supertranslacja S jest dana następującym, ogólnym wzorem: [ Sy µ,η α,η α = exp i y µ P µ +η α Q α +η Q α] α Jej działanie na superprzestrzeń wygląda następująco: { Sy µ,η α,η α x µ,θ β,θ β } { = x µ +y µ +iη α σ µ α β θ β iθ β σ µ β α η α,θ β +η β,θ β +η β } 36 Teraz przechodzimy do rozważenia superpól, czyli funkcji określonych na superprzestrzeni. Po pierwsze warto zauważyć, że analityczne funkcje zawierające antykomutujące argumenty Grassmanowskie są zawsze wielomianami tych argumentów. W szczególności dla funkcji jednej zmiennej Grassmanowskiej θ mamy: θ = + n=0 a n θ n = a 0 +a θ 37 W dalszej części tego rozdziału będziemy stosować uproszczoną notację bez indeksów: Θ = θ α Θ = θ α Ξ = η α Ξ = η α x = x µ 38 ΘΞ = θ α η α = θ α ǫ αβ η β = θ η θ η analogicznie dla iloczynu ΘΞ 39 5

16 Dowolne fundamentalne superpole można zapisać w następujący sposób: x,θ,θ = fx+θρx+θχx+θ mx+θ nx+ +Θσ ν Θν µ x+θ Θλx+Θ Θϑx+Θ Θ dx 40 Pola f, m, n, d to zespolone pola skalarne, pola ρ α, ϑ α, χ α, λ α to spinory Weyla ρ α i ϑ α są lewo-chiralne, a χ α i λ α są prawo-chiralne, natomiast ν µ jest zespolonym polem wektorowym. Superpole transformuje się w naturalny sposób pod wpływem transformacji superprzestrzeni. Dla supertranslacji S tak transformacja wygląda następująco: { x,θ,θ = S x,θ,θs = x,θ,θ, gdzie x,θ,θ } = S { x,θ,θ } 4 Transformacja infinitezymalna jest natomiast dana wzorem: δ S x,θ,θ = x,θ,θ x,θ,θ = [ x,θ,θ, iy µ P µ +ΞQ+ΞQ ] [ = = η α θ +η α α +y µ +iξσ µ Θ+iΞσ µ Θ θ α x ]x,θ,θ µ 4 We wzorze 4 S = Sy, Ξ, Ξ. Ogólna reprezentacja superpola dana wzorem 40 jest redukowalna przywiedlna pod działaniem supersymetrycznych transformacji. W celu znalezienia reprezentacji nieredukowalnych, warto jest wprowadzić kowariantną pochodną spinorową D α taką, że: Jest ona dana następującym wzorem: D α [δ S ] = δ S [D α ] 43 D α = θ α iσµ α α θ α x µ i analogicznie: D α = θ α iθα σ µ α α x µ 44 Przykładem nieredukowalnej reprezentacji transformacji supersymetrycznych jest superpole chiralne Ψ zdefiniowane następująco: D α Ψx,Θ,Θ = 0 45 Powyższy warunek jest niezmienniczy względem supersymetrycznych transformacji. Okazuje się, że przy rozważaniu superpól chiralnych wygodnie jest wprowadzić nowy zestaw zmiennych x zdefiniowany następująco: x = x iθσ µ Θ 46 Wówczas superpole chiralne Ψ można wyrazić w następujący sposób: Ψ x,θ = ψ x+ Θρ x+θ x 47 ψ i to zespolone pola skalarne, a ρ jest lewo-chiralnym spinorem Weyla. Pole transformuje się w całkowitą pochodną i jest nazywane polem pomocniczym ang. auxiliary field. Na przykładzie superpola chiralnego widać wspomnianą na początku rozdziału odpowiedniość pomiędzy bozonami, a fermionami. W tym przypadku fermionom pola ρ α odpowiadają bozony pola ψ. Podobne pary bozon-fermion występują również w innych nieredukowalnych superpolach. Wprowadzamy użyteczne oznaczenia. Symbol X Θ będzie oznaczał niegrassmanowską funkcję, która mnoży Θ w rozwinięciu superpola X względem zmiennych grassmanowskich. W przypadku superpola chiralnego Ψ na podstawie wzoru 47 widać, że jest to po prostu funkcja. Analogiczne oznaczenia będziemy stosować również dla niegrassmanowskich funkcji mnożących inne Grassmanowskie wielomiany takie jak Θ lub Θ Θ. Niegrassmanowska funkcja, która nie mnoży żadnych zmiennych Grassmanowskich jest zerowym wyrazem Grassmanowskiego rozwinięcia będzie natomiast oznaczana symbolem X 0. 6

17 Teraz przechodzimy do wprowadzenia elementów supersymetrycznego działania. Pierwotna wersja działania jest wyrażona za pomocą superpól i zawiera całkę po rzeczywistych zmiennych czasoprzestrzennych oraz całkę po zmiennych Grassmanowskich. Ta ostatnia jest liniowa, podobnie jak zwykła całka. Jej jednoznaczna definicja wymaga jeszcze dwóch aksjomatów: dθ = 0 θdθ = 48 Widać że całkowanie to działa tak, jak różniczkowanie zwykłych zmiennych rzeczywistych. Dla dubletu Θ przyjmuje się następującą definicję: d Θ... = ǫ αβ dθ α dθ β... = dθ dθ W analogiczny sposób jest zdefiniowana całka d Θ... Można łatwo sprawdzić, że: d Θ = 0, d ΘΘ = 0, d ΘΘ =. Poprawny, supersymetrycznie niezmienniczy, wkład do działania otrzymuje się już wówczas, gdy całkowane jest pojedyncze superpole chiralne: S Ψ = d 4 x d ΘΨ = d 4 x Ψ Θ = d 4 x 50 δ S S Ψ = 0, ponieważ δ S jest całkowitą pochodną. Przy konstrukcji bardziej ogólnego członu działania dla większej ilości superpól chiralnych korzysta się z faktu, że dowolna analityczna funkcja dowolnej ilości superpól chiralnych jest również superpolem chiralnym. Taka funkcja jest nazywana superpotencjałem. Będziemy ją oznaczać symbolem W. Człon działania dla superpotencjału, będącego funkcją chiralnych superpól Ψ Ω, wygląda następująco: S W = d 4 x d ΘWΨ Ω = d 4 x WΨ Ω Θ 5, gdzie: WΨ Ω Θ = Π Π δw δψ Π ψ Ω ρ Π ρ Σ 0 Π,Σ δ W δψ Π δψ Σ ψ Ω 5 0 ndeksy Ω, Π orazσprzebiegają po pojedynczych superpolach chiralnych. Działanie S W nie daje jednak żadnego członu kinetycznego. Aby uzyskać człon kinetyczny, wprowadza się rzeczywiste superpole, będące funkcją superpól chiralnych oraz superpól do nich sprzężonych antychiralnych. Takie superpole jest nazywane potencjałem Kählera i będziemy je oznaczać symbolem K. Najprostszy możliwy potencjał Kählera ma postać: Ψ + jest superpolem antychiralnym, spełniającym warunek: K Ψ = Ψ + Ψ 53 D α Ψ + x,θ,θ = 0 54 Ψ + można, podobnie jak Ψ, wyrazić jako funkcję tylko dwóch zestawów argumentów, ale są one inne: x oraz Θ. W tej sytuacji najlepiej jest wyrazić potencjał Kählera jako funkcję argumentów pierwotnych: x, Θ oraz Θ. Wówczas można otrzymać wzór: K Ψ Θ Θ = µψ x µ ψx+iρxσ µ µ ρx+ xx+ całkowita pochodna 55 Pola ψ, ρ oraz są tymi samymi polami, które występują we wzorze 47. K Ψ Θ jest jedynym Θ potrzebnym członem K Ψ, ponieważ: S KΨ = d 4 x d Θ d ΘK Ψ = d 4 x K Ψ Θ Θ 56 7

18 Na podstawie wzorów 55 i 56 widać, że otrzymuje się poprawne człony kinetyczne dla pól ψ i ρ. Dla pojedynczego superpola chiralnego Ψ, trywialnego potencjału Kählera K Ψ oraz pewnego superpotencjału W Ψ, będącego funkcją tylko superpola Ψ, całkowite działanie wygląda następująco: S Ψ = S KΨ +S WΨ +S W Ψ = d 4 x d Θ d ΘK Ψ Ψx,Θ,Θ,Ψ + x,θ,θ+ + d 4 x d ΘW Ψ Ψ x,θ+ d 4 x d ΘW Ψ Ψ + x,θ 57 Działanie S Ψ można przekształcić, wyrażając je za pomocą pól ψ, ρ i, eliminując przy tym zmienne Grassmanowskie: S Ψ = d 4 x K Ψ Θ Θ ψx,ρx,x,ψ x,ρx, x+ + d 4 x W Ψ Θ ψ x,ρ x, x+ d 4 x W Ψ Θ ψ x,ρ x, x 58 W drugim i trzecim członie działania S Ψ warto teraz zamienić zmienne odpowiednio x x oraz x x. W wyniku takiej zamiany pojawiają się ponownie zmienne Grassmanowskie. Na szczęście redukują się one, ponieważ trzeci człon działania jest sprzężeniem drugiego. Otrzymuje się następującą postać działania: S Ψ = d 4 x [ µ ψ x µ ψx+iρxσ µ µ ρx+ xx+x δw δψ 0 ψx+ + x δw ] δψ 0 ψ x ρxρx δ W 0 ψx δψ ρxρx δ W 0 ψ 59 x δψ Widać, że pole nie ma członu kinetycznego. Z postaci działania danej wzorem 59 można wyprowadzić równanie Eulera - Lagrange a dla pola : x = δw δψ ψ x 60 0 Pole można teraz łatwo wyeliminować poprzez podstawienie wzoru 60 do wzoru 59. Ta własność uzasadnia nazwę "pole pomocnicze". Nie występuje ono w ostatecznej, użytecznej postaci działania: S Ψ = [ d 4 x µ ψ x µ ψx+iρxσ µ µ ρx δw 0 ψx + ρxρx δ W δψ 0 ψx ρxρx δ W δψ 0 ψ x δψ ] 6 Potencjał we wzorze 6 jest powszechnie nazywany -członami. Ogólnie -człony to część potencjału, która zależy od superpotencjału W. Przechodząc do supersymetrycznych teorii z symetrię cechowania, należy zmodyfikować potencjał Kählera, wprowadzając do niego nieredukowalne, rzeczywiste superpola nazywane wektorowymi. Bozony cechowania są zawarte w superpolach wektorowych. Po uzyskaniu ostatecznej postaci działania w supersymetrycznej teorii z symetrią cechowania, otrzymuje się pewien dodatkowy wkład do potencjału, pochodzący z potencjału Kählera i nazywany D-członami. Najprostszym realistycznym modelem supersymetrycznym jest Minimalny Supersymetryczny Model Standardowy ang. Minimal Supersymmetric Standard Model - MSSM, czyli minimalne supersymetryczne rozszerzenie Modelu Standardowego. Grupa cechowania MSSMu jest taka sama jak dla Modelu Standardowego: SU3 c SU L U Y. Znane z Modelu Standardowego fermiony są w MSSMie składowymi superpól chiralnych. Skalarne bozony występujące w tych superpolach mają nazwy takie, jak stowarzyszone z nimi fermiony z dodatkowym przedrostkiem s- np. skwarki, selektron itp.. Bozony cechowania są składowymi superpól wektorowych, które zawierają również fermiony o spinie. ermiony te mają nazwy podobne do stowarzyszonych bozonów cechowania z dodatkowym przyrostkiem - ino np. wino, gluino. Ogólnie są one nazywane gauginami od angielskiego słowa - "gauge" oznaczającego cechowanie. W MSSMie 8

19 występują jeszcze cztery chiralne superpola zawarte w dwóch dubletach grupy SU L. Dublety te są oznaczane symbolami H u i H d. Mają one następujące ładunki względem grupy Modelu Standardowego: H u [,] H d [,] Konwencja we wzorze 6 jest taka sama, jak w rozdziale. dla reprezentacji Modelu Standardowego. Pola skalarne zawarte w dubletach H u i H d są nazywane bozonami Higgsa, ponieważ pełnią taką samą rolę, jak pojedynczy bozon Higgsa w Modelu Standardowym - są odpowiedzialne za spontaniczne łamanie symetrii elektrosłabej. Wartości próżniowe uzyskiwane przez skalary z dubletów H u i H d są zwykle oznaczane symbolami odpowiednio v u i v d. W MSSMie można wprowadzić odpowiednik wartości próżniowej v z Modelu Standardowego, która ma tę samą wartość 46 GeV i wyraża się wzorem: v = vu +vd 63 Bardzo ważnym parametrem MSSMu o nieznanej wartości jest iloraz wartości próżniowych: v u = vsinβ 0, v d vcosβ = tanβ, gdzie β π ermiony stowarzyszone z bozonami Higgsa są nazywane Higgsinami. W kontekście tej pracy szczególnie istotny jest superpotencjał modelu MSSM, który będziemy oznaczać symbolem W MSSM. Wyraża się on następującym wzorem: W MSSM = µh u H d Y ij u iτ H u T Q i u Rj Y ij d iτ H d T Q i d Rj Y ij e iτ H d T L i e Rj 65 We wzorze 65 mamy superpola chiralne, które są oznaczane w taki sam sposób, jak należące do nich fermiony z Modelu Standardowego. Dalsza część pracy jest jednak napisana w sposób umożliwiający łatwe odróżnienie superpól od ich części składowych pomimo stosowania tych samych oznaczeń. Parametr masowy µ ma wartość rzędu 00 GeV. Warto zauważyć nieprzypadkowe podobieństwo superpotencjału W MSSM do części potencjału L Yukawa z Modelu Standardowego, danej wzorem 9. Sprzężenie pola Higgsa H + musiało zostać zastąpione nowym polem H d niezależnym od pola H u - bezpośredniego odpowiednika pola H, ponieważ superpotencjał musi być analityczną funkcją superpól chiralnych, a zatem nie może zawierać sprzężeń tych pól. Jest to podstawowa przyczyna wprowadzenia do MSSMu superpola H d, które mając słaby hiperładunek przeciwny do słabego hiperładunku superpola H u, zastępuje sprzężenie tego pola. Macierze masy fermionów są generowane przez W MSSM po złamaniu symetrii elektrosłabej: 6 64 Yu ij vsinβ Y ij vcosβ d Ye ij vcosβ 66 W porównaniu z Modelem Standardowym, otrzymujemy dodatkową zależność od kąta β. Wartości elementów tych macierzy muszą być oczywiście takie same, jak w Modelu Standardowym bo masy fermionów i elementy macierzy CKM muszą być takie same. W praktyce wartość kąta β ma więc wpływ na wartości stałych Yukawy - Yu ij, Y ij d i Ye ij. stotną cechą MSSMu oraz pozostałych teorii supersymetrycznych rozpatrywanych w tej pracy jest brak pierwotnych stałych sprzężeń 4-skalarnych. Jedynymi pierwotnymi parametrami bezwymiarowymi są więc stałe cechowania oraz stałe Yukawy. Dzięki temu odpowiednie Równania Grupy Renormalizacji są znacznie prostsze niż w teoriach niesupersymetrycznych, co widać w Appendiksie B. W MSSMie, w przybliżeniu -pętlowym otrzymujemy następujące wartości parametrów b: b MSSM = 33 5 b MSSM = b MSSM 3 =

20 Powyższe wartości opisują biegnięcie stałych cechowania tylko przy skalach energii większych od mas wszystkich cząstek MSSMu. Przy niższych skalach energii trzeba wprowadzić odpowiednie poprawki progowe. Spektrum MSSMu jest nieznane z wyjątkiem cząstek z Modelu Standardowego, więc można je dopasować tak, aby poprawki progowe prowadziły do unifikacji stałych cechowania. W najprostszym przypadku można przyjąć, że masy wszystkich cząstek MSSMu spoza Modelu Standardowego są sobie równe. Wspólną wartość wszystkich tych mas oznaczmy przez M SUSY. Wówczas, wykonując proste obliczenia, można dopasować wartość M SUSY tak, aby otrzymać ścisłą -pętlową unifikację stałych cechowania. Dla centralnych wartości eksperymentalnych stałych α, α 3 i α otrzymujemy M SUSY = 6.86 GeV, a maksymalna wartość M SUSY po dopuszczeniu 3σ-wych odchyleń od tych centralnych wartości eksperymentalnych to 08.4 GeV. Obie wartości są zbyt małe wykluczone przez wyniki z LHC. W supersymetrycznych teoriach Wielkiej Unifikacji z grupą SU5 opartych na MSSMie sytuacja jest jednak dużo lepsza niż w teorii Georgi a i Glashow a. Aby się o tym przekonać, wybierzmy bardziej realistyczną wartość M SUSY = TeV i obliczmy w MSSMie, w przybliżeniu -pętlowym wartość odchylenia od unifikacji - D dla centralnych wartości eksperymentalnych stałych α, α 3 i α. Uzyskany wynik to D = Jest to wartość ponad 4-krotnie mniejsza niż minimalna wartość D w teorii Georgi a i Glashow a. Poza tym przybliżona unifikacja zachodzi przy skali µ = GeV - znacznie większej niż skala µ = GeV otrzymana w teorii Georgi a i Glashow a i łatwiejszej do pogodzenia z ograniczeniami związanymi z rozpadem swobodnego protonu. Chcąc uzyskać ścisłą unifikację stałych cechowania w supersymetrycznej teorii Wielkiej Unifikacji należy rozszczepić skalę M SUSY przyjąć bardziej skomplikowane spektrum MSSMu lub uwzględnić poprawki progowe od dodatkowych superpól, które nie występują w MSSMie. Wprowadzenie do teorii niektórych takich superpól i tak jest konieczne z innych powodów. Dobrym przykładem są dwa tryplety tryplet i antytryplet grupy SU3 c, które są potrzebne do zanurzenia pól H u i H d w reprezentacje odpowiednio 5 u i 5 d grupy SU5. Symetrie zapachowe w teoriach Wielkiej Unifikacji z grupą SU5 Jeden z bardzo ciekawych otwartych problemów Modelu Standardowego dotyczy istnienia w nim trzech generacji fermionów. W Modelu Standardowym nie ma żadnego teoretycznego wyjaśnienia istnienia akurat trzech generacji cząstek, które nie różnią się od siebie pod względem reprezentacji grupy symetrii cechowania. stnieją rozszerzenia Modelu Standardowego, które przynajmniej częściowo odpowiadają na to zagadnienie poprzez dodatkowe symetrie nazywane symetriami zapachowymi. ermiony występujące w Modelu Standardowym są reprezentacjami tych symetrii. Grupa symetrii zapachowej będzie ogólnie oznaczana przez G. Najbardziej popularne grupy zapachowe to U, U, SU i SU3. Generatory grupy zapachowej komutują z generatorami grupy Modelu Standardowego. Oczywiście w realistycznej teorii grupa zapachowa musi zostać spontanicznie złamana tak aby odtworzyć hierarchiczną strukturę mas fermionów i macierzy CKM. Pole pola łamiące grupę zapachową są nazywane flawonami ang. flavons. lawony uzyskują wartości próżniowe w minimum odpowiedniego potencjału, który jednak nie będzie rozważany w tej pracy. Są one skalarami i singletami względem grupy Modelu Standardowego, ponieważ ani ta grupa ani tym bardziej symetria Lorentza nie mogą być spontanicznie łamane przez ich wartości próżniowe. Gdyby symetria zapachowa była symetrią globalną, to po jej spontanicznym złamaniu niektóre pola flawonowe stałyby się bezmasowymi bozonami Goldstone a. stnienie takich cząstek jest oczywiście sprzeczne z doświadczeniem. Z tego powodu będziemy zakładać, że symetria zapachowa jest symetrią cechowania, a zapachowe bozony Gold- 0

LHC i po co nam On. Piotr Traczyk CERN

LHC i po co nam On. Piotr Traczyk CERN LHC i po co nam On Piotr Traczyk CERN LHC: po co nam On Piotr Traczyk CERN Detektory przy LHC Planowane są 4(+2) eksperymenty na LHC ATLAS ALICE CMS LHCb 5 Program fizyczny LHC 6 Program fizyczny LHC

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Motywacja do dokładnego wyznaczania elementów macierzy Cabbibo-Kobayashi-Maskawy ( )

Motywacja do dokładnego wyznaczania elementów macierzy Cabbibo-Kobayashi-Maskawy ( ) Lucja Sławianowska 7 grudnia 2001 Motywacja do dokładnego wyznaczania elementów macierzy Cabbibo-Kobayashi-Maskawy ( ) macierz opisuje łamanie CP i niezachowanie zapachu w Modelu Standardowym jest to jedyne

Bardziej szczegółowo

Czego oczekujemy od LHC? Piotr Traczyk. IPJ Warszawa

Czego oczekujemy od LHC? Piotr Traczyk. IPJ Warszawa Czego oczekujemy od LHC? Piotr Traczyk IPJ Warszawa Plan 1)Dwa słowa o LHC 2)Eksperymenty i program fizyczny 3)Kilka wybranych tematów - szczegółowo 2 LHC Large Hadron Collider UWAGA! Start jeszcze w tym

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Czego brakuje w Modelu Standardowym

Czego brakuje w Modelu Standardowym Czego brakuje w Modelu Standardowym What is missing in the Standard Model concepts and ideas Instytut Problemów Jądrowych im. A. Sołtana w Świerku 1 Plan Równania Maxwella droga do QED Symetria cechowania

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

OD MODELU STANDARDOWEGO DO M-TEORII. modele teoriopolowe. elementarnych.

OD MODELU STANDARDOWEGO DO M-TEORII. modele teoriopolowe. elementarnych. J. Lukierski Gdańsk 09. 2003 OD MODELU STANDARDOWEGO DO M-TEORII 1859 1925 1. Podstawowe relatywistyczne modele teoriopolowe. 1968 1971 2. Model standardowy teorii cząstek elementarnych. 1921 1925 3. Pierwsze

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Podróż do początków Wszechświata: czyli czym zajmujemy się w laboratorium CERN

Podróż do początków Wszechświata: czyli czym zajmujemy się w laboratorium CERN Podróż do początków Wszechświata: czyli czym zajmujemy się w laboratorium CERN mgr inż. Małgorzata Janik - majanik@cern.ch mgr inż. Łukasz Graczykowski - lgraczyk@cern.ch Zakład Fizyki Jądrowej, Wydział

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Skalarne prady zmieniajace zapach kwarków w supersymetrycznym modelu standardowym

Skalarne prady zmieniajace zapach kwarków w supersymetrycznym modelu standardowym Skalarne prady zmieniajace zapach kwarków w supersymetrycznym modelu standardowym Łucja Sławianowska Praca doktorska wykonana w Zakładzie Teorii Cząstek Elementarnych Instytutu Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Model Standardowy i model Higgsa. Sławomir Stachniewicz, IF PK

Model Standardowy i model Higgsa. Sławomir Stachniewicz, IF PK Model Standardowy i model Higgsa Sławomir Stachniewicz, IF PK 1. Wstęp. Model Standardowy to obecnie obowiązująca teoria cząstek elementarnych, które są składnikami materii. Model Higgsa to dodatek do

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Równania Maxwella. 6.1 Pierwsza para

Rozdział 6. Równania Maxwella. 6.1 Pierwsza para Rozdział 6 Równania Maxwella Podstawą elektrodynamiki klasycznej są równania Maxwella, które wiążą pola elektryczne E i magnetyczne B ze sobą oraz z ładunkami i prądami elektrycznymi. Pola E i B są funkcjami

Bardziej szczegółowo

Compact Muon Solenoid

Compact Muon Solenoid Compact Muon Solenoid (po co i jak) Piotr Traczyk CERN Compact ATLAS CMS 2 Muon Detektor CMS był projektowany pod kątem optymalnej detekcji mionów Miony stanowią stosunkowo czysty sygnał Pojawiają się

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Czy umiemy mnożyć wektory?

Czy umiemy mnożyć wektory? Czy umiemy mnożyć wektory? wprowadzenie do algebry geometrycznej Jacek Grela 1 UJ 2010 Plan działania Motywacja Wprowadzenie do algebry geometrycznej Algebra 2D, 3D Przykład fizyczny Algebra czasoprzestrzeni

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Fizyka cząstek elementarnych. Tadeusz Lesiak

Fizyka cząstek elementarnych. Tadeusz Lesiak Fizyka cząstek elementarnych Tadeusz Lesiak 1 WYKŁAD III Rola symetrii w fizyce cząstek elementarnych T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 2 Rola symetrii w fizyce Symetria mnie uspokaja. Brak symetrii

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. Oddziaływania kolorowe cd. Oddziaływania słabe. Wszechświat cząstek elementarnych dla przyrodników

WYKŁAD 6. Oddziaływania kolorowe cd. Oddziaływania słabe. Wszechświat cząstek elementarnych dla przyrodników Wszechświat cząstek elementarnych dla przyrodników WYKŁAD 6 Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW 11.XI.2009 Oddziaływania kolorowe cd. Oddziaływania słabe Cztery podstawowe oddziaływania Oddziaływanie grawitacyjne

Bardziej szczegółowo

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c r. akad. 005/ 006 V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c 1. Relatywistyczny pęd. Relatywistyczne równanie ruchu. Relatywistyczna energia kinetyczna 3. Relatywistyczna energia całkowita i energia

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Oddziaływania słabe i elektrosłabe

Oddziaływania słabe i elektrosłabe Oddziaływania słabe i elektrosłabe IX ODDZIAŁYWANIA SŁABE Kiedy są widoczne. Jak bardzo są słabe. Teoria Fermiego Ciężkie bozony pośredniczące. Łamanie parzystości P. ODDZIAŁYWANIA ELEKTROSŁABE Słabe a

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Wielka Unifikacja. Elementy fizyki czastek elementarnych. Wykład IX. Co to jest ładunek?...

Wielka Unifikacja. Elementy fizyki czastek elementarnych. Wykład IX. Co to jest ładunek?... Wielka Unifikacja Wykład IX Co to jest ładunek?... Elementy fizyki czastek elementarnych Biegnaca stała sprzężenia i renormalizacja w QED Asymptotyczna swoboda QCD Unifikacja SU(5) QED Ładunek elektryczny

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika cząstek o spinie 1/2

Elektrodynamika cząstek o spinie 1/2 Elektrodynamika cząstek o spinie 1/2 Dodatkowa gama^0, aby mieć odpowiedniość z oddziaływaniem nierelatywistycznym dla składowych, gdy A^mu=A^0 Tak powstają tzw. Reguły Feynmana Przykłady Spiny Spiny s,s'

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym

Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym Ćwiczenie 11A Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym 11A.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu mierzy się przy pomocy wagi siłę elektrodynamiczną, działającą na odcinek przewodnika

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Lekcja Strona z 2 Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Rozwiązywanie pojedynczego równania - funkcja root Do rozwiązywania jednego równania z jedną niewiadomą służy funkcja root(f(z), z), gdzie:

Bardziej szczegółowo

Wykład 43 Cząstki elementarne - przedłużenie

Wykład 43 Cząstki elementarne - przedłużenie Wykład 4 Cząstki elementarne - przedłużenie Hadrony Cząstki elementarne oddziałujące silnie nazywają hadronami ( nazwa hadron oznacza "wielki" "masywny"). Hadrony są podzielony na dwie grupy: mezony i

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Metoda Karnaugh. B A BC A

Metoda Karnaugh. B A BC A Metoda Karnaugh. Powszechnie uważa się, iż układ o mniejszej liczbie elementów jest tańszy i bardziej niezawodny, a spośród dwóch układów o takiej samej liczbie elementów logicznych lepszy jest ten, który

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład VI Elementy teorii grup Wstęp do teorii grup Teoria grup (TG) = matematyka symetrii liczne zastosowania w fizyce i chemii Odpowiada na ważne pytanie: jakie

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Studnia skończona. Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach:

Studnia skończona. Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Studnia skończona Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: V z Okazuje się, że zamiana nie jest dobrym rozwiązaniem problemu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8. Wszechświat cząstek elementarnych dla przyrodników. Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW 25.11.2011

WYKŁAD 8. Wszechświat cząstek elementarnych dla przyrodników. Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW 25.11.2011 Wszechświat cząstek elementarnych dla przyrodników WYKŁAD 8 Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW 25.11.2011 Współczesne eksperymenty Wprowadzenie Akceleratory Zderzacze Detektory LHC Mapa drogowa Współczesne

Bardziej szczegółowo

IV.4.4 Ruch w polach elektrycznym i magnetycznym. Siła Lorentza. Spektrometry magnetyczne

IV.4.4 Ruch w polach elektrycznym i magnetycznym. Siła Lorentza. Spektrometry magnetyczne r. akad. 005/ 006 IV.4.4 Ruch w polach elektrycznym i magnetycznym. Siła Lorentza. Spektrometry magnetyczne Jan Królikowski Fizyka IBC 1 r. akad. 005/ 006 Pole elektryczne i magnetyczne Pole elektryczne

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r= Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy matematyki

1. Podstawy matematyki 1. Podstawy matematyki 1.1. Pola Pole wiąże wielkość fizyczną z położeniem punktu w przestrzeni W przypadku, gdy pole jest zależne od czasu, możemy je zapisać jako. Najprostszym przykładem pola jest pole

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

Metody rezonansowe. Magnetyczny rezonans jądrowy Magnetometr protonowy

Metody rezonansowe. Magnetyczny rezonans jądrowy Magnetometr protonowy Metody rezonansowe Magnetyczny rezonans jądrowy Magnetometr protonowy Co należy wiedzieć Efekt Zeemana, precesja Larmora Wektor magnetyzacji w podstawowym eksperymencie NMR Transformacja Fouriera Procesy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Teoria Wielkiego Wybuchu FIZYKA 3 MICHAŁ MARZANTOWICZ

Teoria Wielkiego Wybuchu FIZYKA 3 MICHAŁ MARZANTOWICZ Teoria Wielkiego Wybuchu Epoki rozwoju Wszechświata Wczesny Wszechświat Epoka Plancka (10-43 s): jedno podstawowe oddziaływanie Wielka Unifikacja (10-36 s): oddzielenie siły grawitacji od reszty oddziaływań

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo