WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

Transkrypt

1 WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1

2 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony bezmasowe: drgania sieci promieniowanie ciała doskonale czarnego Bosony o niezerowej masie: Kondensacja Bosego-Einsteina Ciecze Fermiego

3 Wprowadzenie Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe 3

4 (jednocząstkowych) W fizyce statystycznej często zachodzi potrzeba wyliczenia sumy postaci: Na przykład: średnia energia układu 4

5 Jeśli poziomy są gęsto położone, tzn. w Wtedy sumę można zastąpić całką D(E) jest właśnie gęstością stanów zdefiniwaną w ten sposób, że D(E) de jest liczbą stanów w przedziale [ E, E + de] ( D(E) de uwzględnia wszystkie stany, łącznie z ich degeneracją) 5

6 Przykład wyznaczania gęstości stanów: Układy nieoddziaływujące Funkcje falowe dla cząstki w jednowymiarowej studni o idealnie sztywnych ściankach i dla układów 3d: 6

7 Zakładając izotropowy ośrodek otrzymamy dla energii: gdzie zależność nazywa się relacją dyspersji Wtedy : 7

8 : 8

9 Stąd Co daje dla gęstości stanów wyrażenie: 9

10 To jest właśnie ogólny wynik, który potrzebujemy. Różne fizyczne modele odpowiadają różnym relacjom dyspersji Transformację gęstości stanów do zmiennych, które w danym momencie są najbardziej użyteczne otrzymamy posługując się ogólnymi relacjami mechaniki kwantowej: Oczywiście: λ dλ 10

11 !!! UWAGA 1: formalnie identyczny wzór otrzymamy gdy w klasycznym wyrażeniu: x 11

12 UWAGA 2: często całkuje się bezpośrednio po energiach; np. dla nieoddziaływujących cząstek mielibyśmy Jeśli dodatkowo występuje degeneracja (np. spinowa: s=2s+1, s-spin) poziomów, wtedy 12

13 : 13

14 UWAGA 3: Dla rzeczywistych układów D(E) (lub D( ) ) często wyznaczamy eksperymentalnie (fonony, magnony, etc.) UWAGA 4: formuły na gęstość stanów zależą oczywiście od wymiaru przestrzeni Zadanie: wyprowadzić odpowiednie wzory w funkcji d 14

15 Jako przykład przestudiujemy przypadki, gdzie zastosowanie mają mdzn kwantowe oscylatory. Większość rzeczywistych układów daje się w najniższym rzędzie rachunku perturbacyjnego opisać w tym języku np. fonony w krysztale; promieniowanie ciała doskonale czarnego, etc. 15

16 16

17 Pojedynczy, jednowymiarowy oscylator o częstości w j : 17

18 18

19 U F S 19

20 Mając entropię (bądź energię wewnętrzną) można wyliczyć np. ciepło właściwe: = 20

21 j j 21

22 Załóżmy obecnie, że liczba oscylatorów o częstościach {w j } z przedziału [ w, w +dw ], czyli gęstość stanów, dana jest przez D(w) dw 22

23 U? Zobaczymy, że identyczne wzory można otrzymać dla bezmasowych bosonów 23

24 Ciecze kwantowe bosonów i fermionów. Rola statystyk. W naturze istnieją jedynie bosony (fonony,fotony, atomy helu 4, ) i fermiony (elektrony, protony, neutrony) Tylko jeden fermion może być w danym stanie kwantowym Dowolna ilość bosonów może być w danym stanie kwantowym (kwantowe odpowiedniki fal w fizyce klasycznej). Wszystkie fundamentalne cząstki w przyrodzie posiadają spin, który jest wielokrotnością Dla nieparzystych wielokrotności mamy fermiony, dla parzystych- bosony. 24

25 Wśród bosonów istnieją bosony z zerową masą spoczynkową (fonony, fotony). Takie bosony mogą być swobodnie kreowane i anihilowane. Bosony o niezerowej masie spoczynkowej są zachowywane (np. Atomy helu 4, ). Prowadzi to do nowych zjawisk kondensacji Bosego- Einsteina. Jak liczyć sumy statystyczne w tym przypadku? Ograniczymy się do nieoddziaływujących bosonów i fermionów. Ogólny przypadek: sformułowanie w języku operatorów kreacji i anihilacji (II kwantyzacja, kwantowa teoria pola). 25

26 Dotychczas liczyliśmy: (lub dla nieoddziaływujących czastek) W przypadku nieoddziaływujących cząstek funkcja rozdziału redukuje się do iloczynu jednocząstkowych funkcji rozdziału: Z = j 1 j 2... j N e -b i=1 N E i j i = j 1 e -be 1 j 1 j 2 e -be 2 j 2... j N e -be N j N = Z 1 Z 2... Z N ; F = - b -1 ln Z i = i=1 i=1 N N F i 26

27 Formalizm (przy braku oddziaływań) można prosto uogólnić na układ identycznych nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego. Podajemy energie {e t } jakie mogą przyjmować nieoddziaływujące bosony (B) lub fermiony (F). Mamy n t B lub F, każdy o energii e t 27

28 28

29 Każdy poziom energetyczny e t jest, na ogół, g(e t )-razy zdegenerowany, np. 2l+1 razy (l-krętorbitalny), gdy energia nie zależy odrzutukrętu {-l,-l+1,, l-1, l}, bądź s = (2s+1)-razy, gdy nie zależy od spinu s. W dalszej analizie uwzględnimy explicite jedynie degenerację spinową. 29

30 .. 30

31 Przeanalizujemy obecnie 2 przykłady dla których wzór powyższy ma bezpośrednie zastosowanie, mianowicie termodynamikę drgań sieci w krysztale, oraz promieniowanie ciała doskonale czarnego. 31

32 Reasumując mechanika kwantowa nieoddziaływujących cząstek redukuje się do następujących modeli: (i nie ma energii drgań zerowych)